mahalex/algebra-mech
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Actions Packages Projects Releases Wiki Activity

Corrected errata in 10.5–10.10 subsections

Browse Source
This commit is contained in:
Sergej Jaskiewicz 2016-06-19 23:51:43 +03:00
parent b0f15f866c
commit 1508eb7e77
2 changed files with 7 additions and 6 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

BIN
algebra.pdf
View File

Binary file not shown.

13
group-theory.tex
View File

@ -896,7 +896,7 @@ $h\mapsto gh$, задает биекцию между $H$ и $gH$. Действ
$gh=gh'$, то $h=h'$, и в силу определения смежного класса это $gh=gh'$, то $h=h'$, и в силу определения смежного класса это
отображение сюръективно. Поэтому в каждом смежном классе столько же отображение сюръективно. Поэтому в каждом смежном классе столько же
элементов, сколько в подгруппе $H$. Таким образом, элементы $G$ элементов, сколько в подгруппе $H$. Таким образом, элементы $G$
разбиваются на $|G:H|$ смежных классов, в каждом по $H$ разбиваются на $|G:H|$ смежных классов, в каждом по $|H|$
элементов. Отсюда сразу следует требуемое равенство. элементов. Отсюда сразу следует требуемое равенство.
\end{proof} \end{proof}
\begin{corollary}\label{cor:order_divides} \begin{corollary}\label{cor:order_divides}
@ -911,7 +911,7 @@ $gh=gh'$, то $h=h'$, и в силу определения смежного к
\end{proof} \end{proof}
\begin{corollary}\label{cor:power_order} \begin{corollary}\label{cor:power_order}
Пусть $G$~--- конечная группа. Тогда $g^{|G|} = 1$ для любого $g\in G$. Пусть $G$~--- конечная группа. Тогда $g^{|G|} = e$ для любого $g\in G$.
\end{corollary} \end{corollary}
В качестве примера приложения теоремы Лагранжа выведем из нее теорему В качестве примера приложения теоремы Лагранжа выведем из нее теорему
@ -989,7 +989,7 @@ i_2\colon H\to G\times H,&\;\; h\mapsto (e,h),\\
$\Img(i_2)=\Ker(\pi_1)=\{e\}\times H$~--- нормальные подгруппы в $\Img(i_2)=\Ker(\pi_1)=\{e\}\times H$~--- нормальные подгруппы в
$G\times H$; $G\times H$;
\item $\pi_1\circ i_1 = \id_G$, $\pi_2\circ i_2 = \id_H$; \item $\pi_1\circ i_1 = \id_G$, $\pi_2\circ i_2 = \id_H$;
$\pi_1\circ i_2 = 0$, $\pi_2\circ i_1 = 0$; $\pi_1\circ i_2 = e$, $\pi_2\circ i_1 = e$;
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{proposition} \end{proposition}
\begin{proof} \begin{proof}
@ -1052,7 +1052,7 @@ $g'^{-1}g = e = h'h^{-1}$, откуда $g=g'$ и $h=h'$.
Проверим, что $\ph$~--- гомоморфизм групп. Возьмем $y\in F$ и запишем Проверим, что $\ph$~--- гомоморфизм групп. Возьмем $y\in F$ и запишем
его в виде $y = g'h'$, где $g',h'\in H$. его в виде $y = g'h'$, где $g',h'\in H$.
Тогда $xy = (gh)(g'h') = g(hg')h' = (gg')(hh')$ (по Тогда $xy = (gh)(g'h') = g(hg')h' = (gg')(hh')$ (по
свойству~\ref{item:they_commute}. По определению $\ph$ теперь свойству~\ref{item:they_commute}). По определению $\ph$ теперь
$\ph(xy) = (gg',hh')$, в то время как $\ph(x) = (g,h)$, $\ph(y) = $\ph(xy) = (gg',hh')$, в то время как $\ph(x) = (g,h)$, $\ph(y) =
(g',h')$, и, стало быть, $\ph(x)\ph(y) = (g,h)(g',h') = (gg', hh')$. (g',h')$, и, стало быть, $\ph(x)\ph(y) = (g,h)(g',h') = (gg', hh')$.
@ -1118,7 +1118,7 @@ $(i_1\;\;i_2\;\;\dots\;\;i_{k-1}\;\;i_k) =
\end{theorem} \end{theorem}
\begin{proof} \begin{proof}
Будем вести индукцию по числу $i\in\{1,\dots,n\}$ таких, что Будем вести индукцию по числу $i\in\{1,\dots,n\}$ таких, что
$\pi(i)\neq i$, то есть, по $n-\Fix(\pi)$. $\pi(i)\neq i$, то есть, по $n-|\Fix(\pi)|$.
Если это число равно $0$, то перестановка $\pi$ Если это число равно $0$, то перестановка $\pi$
тождественна и, таким образом, есть произведение пустого множества тождественна и, таким образом, есть произведение пустого множества
циклов. Это база индукции. Докажем переход. циклов. Это база индукции. Докажем переход.
@ -1146,7 +1146,7 @@ $j\in\{1,\dots,n\}\setminus\{i_1,\dots,i_k\}$.
Это значит, что к $\pi'$ можно применить предположение индукции: Это значит, что к $\pi'$ можно применить предположение индукции:
действительно, $\Fix(\pi') = \Fix(\pi)\cup\{i_1,\dots,i_k\}$, поэтому действительно, $\Fix(\pi') = \Fix(\pi)\cup\{i_1,\dots,i_k\}$, поэтому
мощность множества $\{i\in\{1,\dots,n\}\mid \pi'(i)\neq i$ на $k$ мощность множества $\{i\in\{1,\dots,n\}\mid \pi'(i)\neq i\}$ на $k$
меньше, чем мощность аналогичного множества для $\pi$. меньше, чем мощность аналогичного множества для $\pi$.
По предположению индукции $\pi'$ можно записать в виде произведения По предположению индукции $\pi'$ можно записать в виде произведения
независимых циклов, носители которых не пересекаются с $\Fix(\pi')$: независимых циклов, носители которых не пересекаются с $\Fix(\pi')$:
@ -1314,6 +1314,7 @@ $\Img(\pi)$ изоморфна $G$ и является подгруппой в $
\subsection{Диэдральная группа} \subsection{Диэдральная группа}
\literature{[K3], гл. 1, \S~4, п. 5.} \literature{[K3], гл. 1, \S~4, п. 5.}
\nopagebreak
Рассмотрим на эвклидовой плоскости правильный $n$-угольник с вершинами Рассмотрим на эвклидовой плоскости правильный $n$-угольник с вершинами
$A_1,\dots,A_n$ и центром в начале координат (точке $O$). $A_1,\dots,A_n$ и центром в начале координат (точке $O$).