Corrected errata in 10.5–10.10 subsections

group-theory.tex

@@ -896,7 +896,7 @@ $h\mapsto gh$, задает биекцию между $H$ и $gH$. Действ
 $gh=gh'$, то $h=h'$, и в силу определения смежного класса это
 отображение сюръективно. Поэтому в каждом смежном классе столько же
 элементов, сколько в подгруппе $H$. Таким образом, элементы $G$
-разбиваются на $|G:H|$ смежных классов, в каждом по $H$
+разбиваются на $|G:H|$ смежных классов, в каждом по $|H|$
 элементов. Отсюда сразу следует требуемое равенство.
 \end{proof}
 \begin{corollary}\label{cor:order_divides}
@@ -911,7 +911,7 @@ $gh=gh'$, то $h=h'$, и в силу определения смежного к
 \end{proof}
 
 \begin{corollary}\label{cor:power_order}
-Пусть $G$~--- конечная группа. Тогда $g^{|G|} = 1$ для любого $g\in G$.
+Пусть $G$~--- конечная группа. Тогда $g^{|G|} = e$ для любого $g\in G$.
 \end{corollary}
 
 В качестве примера приложения теоремы Лагранжа выведем из нее теорему
@@ -989,7 +989,7 @@ i_2\colon H\to G\times H,&\;\; h\mapsto (e,h),\\
   $\Img(i_2)=\Ker(\pi_1)=\{e\}\times H$~--- нормальные подгруппы в
   $G\times H$;
 \item $\pi_1\circ i_1 = \id_G$, $\pi_2\circ i_2 = \id_H$;
-  $\pi_1\circ i_2 = 0$, $\pi_2\circ i_1 = 0$;
+  $\pi_1\circ i_2 = e$, $\pi_2\circ i_1 = e$;
 \end{enumerate}
 \end{proposition}
 \begin{proof}
@@ -1052,7 +1052,7 @@ $g'^{-1}g = e = h'h^{-1}$, откуда $g=g'$ и $h=h'$.
 Проверим, что $\ph$~--- гомоморфизм групп. Возьмем $y\in F$ и запишем
 его в виде $y = g'h'$, где $g',h'\in H$.
 Тогда $xy = (gh)(g'h') = g(hg')h' = (gg')(hh')$ (по
-свойству~\ref{item:they_commute}. По определению $\ph$ теперь
+свойству~\ref{item:they_commute}). По определению $\ph$ теперь
 $\ph(xy) = (gg',hh')$, в то время как $\ph(x) = (g,h)$, $\ph(y) =
 (g',h')$, и, стало быть, $\ph(x)\ph(y) = (g,h)(g',h') = (gg', hh')$.
 
@@ -1118,7 +1118,7 @@ $(i_1\;\;i_2\;\;\dots\;\;i_{k-1}\;\;i_k) =
 \end{theorem}
 \begin{proof}
 Будем вести индукцию по числу $i\in\{1,\dots,n\}$ таких, что
-$\pi(i)\neq i$, то есть, по $n-\Fix(\pi)$.
+$\pi(i)\neq i$, то есть, по $n-|\Fix(\pi)|$.
 Если это число равно $0$, то перестановка $\pi$
 тождественна и, таким образом, есть произведение пустого множества
 циклов. Это база индукции. Докажем переход.
@@ -1146,7 +1146,7 @@ $j\in\{1,\dots,n\}\setminus\{i_1,\dots,i_k\}$.
 
 Это значит, что к $\pi'$ можно применить предположение индукции:
 действительно, $\Fix(\pi') = \Fix(\pi)\cup\{i_1,\dots,i_k\}$, поэтому
-мощность множества $\{i\in\{1,\dots,n\}\mid \pi'(i)\neq i$ на $k$
+мощность множества $\{i\in\{1,\dots,n\}\mid \pi'(i)\neq i\}$ на $k$
 меньше, чем мощность аналогичного множества для $\pi$.
 По предположению индукции $\pi'$ можно записать в виде произведения
 независимых циклов, носители которых не пересекаются с $\Fix(\pi')$:
@@ -1314,6 +1314,7 @@ $\Img(\pi)$ изоморфна $G$ и является подгруппой в $
 \subsection{Диэдральная группа}
 
 \literature{[K3], гл. 1, \S~4, п. 5.}
+\nopagebreak
 
 Рассмотрим на эвклидовой плоскости правильный $n$-угольник с вершинами
 $A_1,\dots,A_n$ и центром в начале координат (точке $O$).