mahalex/algebra-mech
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Actions Packages Projects Releases Wiki Activity

Corrected errata in 9.10–9.12 subsections

Browse Source
This commit is contained in:
broadwaylamb 2016-06-18 22:41:04 +03:00
parent af005d50a5
commit 297e2ceeba
2 changed files with 8 additions and 7 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

BIN
algebra.pdf
View File

Binary file not shown.

15
euclidean-spaces.tex
View File

@ -1148,7 +1148,7 @@ $$
\begin{lemma}\label{lem:complex-unitary-1} \begin{lemma}\label{lem:complex-unitary-1}
Пусть $V$~--- унитарное пространство (внимание!), Пусть $V$~--- унитарное пространство (внимание!),
$T\colon V\to V$~--- линейный оператора. $T\colon V\to V$~--- линейный оператор.
Предположим, что $B(T(v),v) = 0$ для всех $v\in V$. Предположим, что $B(T(v),v) = 0$ для всех $v\in V$.
Тогда $T = 0$. Тогда $T = 0$.
\end{lemma} \end{lemma}
@ -1198,7 +1198,7 @@ $$
\begin{remark} \begin{remark}
Замечание~\ref{rem:complex-unitary-counterexample} показывает, Замечание~\ref{rem:complex-unitary-counterexample} показывает,
что на эвклидовом пространстве оператор $T$ может удовлетворять что на эвклидовом пространстве ненулевой оператор $T$ может удовлетворять
тождеству $B(T(v),v)=0$ для всех $v\in V$. Однако, тождеству $B(T(v),v)=0$ для всех $v\in V$. Однако,
этого не может случиться для самосопряженного оператора. этого не может случиться для самосопряженного оператора.
\end{remark} \end{remark}
@ -1257,7 +1257,7 @@ $||T(v)|| = ||T^*(v)||$ для всех $v\in V$.
\begin{proof} \begin{proof}
Заметим, что оператор $T^*\circ T - T\circ T^*$ самосопряжен. Заметим, что оператор $T^*\circ T - T\circ T^*$ самосопряжен.
По лемме~\ref{lem:selfadjoint-zero-characterisation} По лемме~\ref{lem:selfadjoint-zero-characterisation}
равенство $T^*\circ T - T\circ T^*$ равносильно тому, равенство $T^*\circ T - T\circ T^*$ нулю равносильно тому,
что $B((T^*\circ T - T\circ T^*)(v),v) = 0$ для всех $v\in V$, что $B((T^*\circ T - T\circ T^*)(v),v) = 0$ для всех $v\in V$,
что равносильно равенству что равносильно равенству
$B(T^*(T(v)),v) = B(T(T^*(v)),v)$ для всех $v\in V$. $B(T^*(T(v)),v) = B(T(T^*(v)),v)$ для всех $v\in V$.
@ -1292,7 +1292,7 @@ $T$, соответствующие различным собственным ч
По предложению~\ref{prop:normal-operator-adjoint-eigenvalues} По предложению~\ref{prop:normal-operator-adjoint-eigenvalues}
теперь $T^*(u) = u\ol\lambda$. теперь $T^*(u) = u\ol\lambda$.
Поэтому $(\lambda-\mu)B(u,v) = B(u\ol\lambda,v) - B(u,v\mu) Поэтому $(\lambda-\mu)B(u,v) = B(u\ol\lambda,v) - B(u,v\mu)
= B(T(u),v) - B(u,T^*(v)) = 0$. = B(T^*(u),v) - B(u,T(v)) = 0$.
Поскольку $\lambda\neq\mu$, из этого равенства следует, что Поскольку $\lambda\neq\mu$, из этого равенства следует, что
$B(u,v)=0$, что и требовалось. $B(u,v)=0$, что и требовалось.
\end{proof} \end{proof}
@ -1318,7 +1318,7 @@ $V$ диагональна.
\begin{proof} \begin{proof}
Очевидно, что $(2)\Leftrightarrow(3)$ (см. также Очевидно, что $(2)\Leftrightarrow(3)$ (см. также
доказательство теоремы~\ref{thm:diagonalizable-equivalent}). доказательство теоремы~\ref{thm:diagonalizable-equivalent}).
Покажем, что из (3) следует (1). Пусть матрица $t$ в некотором Покажем, что из (3) следует (1). Пусть матрица $T$ в некотором
ортонормированном базисе $\mc B$ диагональна. ортонормированном базисе $\mc B$ диагональна.
По предложению~\ref{prop:adjoint_matrix} По предложению~\ref{prop:adjoint_matrix}
матрица $T^*$ тогда получается из матрицы $T$ транспонированием матрица $T^*$ тогда получается из матрицы $T$ транспонированием
@ -1505,7 +1505,7 @@ $V$ диагональна.
диагональна. Но диагональная матрица совпадает со своей диагональна. Но диагональная матрица совпадает со своей
транспонированной, поэтому $T=T^*$, откуда следует $(1)$. транспонированной, поэтому $T=T^*$, откуда следует $(1)$.
Теперь мы докажем. что из $(1)$ следует $(2)$ индукцией по размености Теперь мы докажем, что из $(1)$ следует $(2)$ индукцией по размерности
пространства $V$. пространства $V$.
Если $\dim(V)=1$, утверждение очевидно. Если $\dim(V)=1$, утверждение очевидно.
Пусть теперь $\dim(V) > 1$, и оператора $T$ самосопряжен. Пусть теперь $\dim(V) > 1$, и оператора $T$ самосопряжен.
@ -1518,7 +1518,7 @@ $V$ диагональна.
и оператор $T|_{U^\perp}$ самосопряжен. и оператор $T|_{U^\perp}$ самосопряжен.
По предположению индукции у $U^\perp$ есть ортонормальный базис, По предположению индукции у $U^\perp$ есть ортонормальный базис,
состоящий из собственных векторов оператора $T|_{U^\perp}$. состоящий из собственных векторов оператора $T|_{U^\perp}$.
Присоединив к нему $u$, получаем ортонормальный базис $U^\perp$, Присоединив к нему $u$, получаем ортонормальный базис $V$,
состоящий из собственных векторов оператора $T$. состоящий из собственных векторов оператора $T$.
\end{proof} \end{proof}
@ -1673,6 +1673,7 @@ $(2)\Rightarrow (1)$: несложно проверить, что матрица
\literature{[F], гл. XIII, \S~5; [K2], гл. 3, \S~3, пп. 3, 6; [KM], \literature{[F], гл. XIII, \S~5; [K2], гл. 3, \S~3, пп. 3, 6; [KM],
ч. 2, \S~7, пп. 1--2, 4; \S~8, пп. 2--6.} ч. 2, \S~7, пп. 1--2, 4; \S~8, пп. 2--6.}
\nopagebreak
Сейчас мы применим знания, полученные при изучении нормальных Сейчас мы применим знания, полученные при изучении нормальных
операторов, к некоторым частным случаям. операторов, к некоторым частным случаям.