diff --git a/algebra.pdf b/algebra.pdf index 09cb96a..a7a91ab 100644 Binary files a/algebra.pdf and b/algebra.pdf differ diff --git a/euclidean-spaces.tex b/euclidean-spaces.tex index 1956582..36cac6d 100644 --- a/euclidean-spaces.tex +++ b/euclidean-spaces.tex @@ -359,7 +359,7 @@ $$ Таким образом, мы показали, что матрица Грама симметрической билинейной формы является симметрической, а матрица Грама эрмитовой -билинейной формы является эрмитовой. +полуторалинейной формы является эрмитовой. Обратно, по любой симметрической матрице над $\mb R$ можно построить симметрическую билинейную форму, а по любой эрмитовой матрице над $\mb @@ -479,7 +479,7 @@ $e_i\perp e_j$ при $i\neq j$. Этот базис называется \begin{lemma}\label{lem:orthogonality_implies_independency} Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство. Если ненулевые векторы $e_1,\dots,e_n\in V$ попарно ортогональны, -то они линейно независимо. Если, кроме того, $\dim V=n$, то векторы +то они линейно независимы. Если, кроме того, $\dim V=n$, то векторы $e_1,\dots,e_n$ образуют ортогональный базис. \end{lemma} \begin{proof} @@ -678,7 +678,7 @@ $\ol{C}=C$ для $C\in M(n,\mb R)$. \begin{theorem} Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство. -Пусть $\mc E$, $\mc F$~--- ортогональные базисы $V$, и +Пусть $\mc E$, $\mc F$~--- ортонормированные базисы $V$, и $C=(\mc E\rsa\mc F)$~--- матрица перехода между ними. Тогда матрица $C$ ортогональна в случае эвклидова пространства и унитарна в случае унитарного пространства. @@ -687,7 +687,7 @@ $C$ ортогональна в случае эвклидова простран По теореме~\ref{thm:Gram_matrix_change_of_coordinates} выполнено $G_{\mc F} = \ol{C}^T\cdot G_{\mc E}\cdot C$, где $G_{\mc E}$, $G_{\mc F}$~--- матрицы Грама формы $B$ в базисах $\mc E$, -$\mc F$ соответственно. Но базисы $\mc E$, $\mc F$ ортогональны, +$\mc F$ соответственно. Но базисы $\mc E$, $\mc F$ ортонормированы, поэтому $G_{\mc E} = G_{\mc F} = E$. Значит, $E = \ol{C}^T\cdot C$, и матрица $C$ ортогональна в эвклидовом случае и унитарна в унитарном случае.