Corrected errata in 9.13–9.14 subsections
This commit is contained in:
broadwaylamb
parent
297e2ceeba
commit
304da8cc0d
BIN
algebra.pdf
BIN
algebra.pdf
Binary file not shown.
@ -1533,32 +1533,32 @@ $T\colon V\to V$~--- линейный оператор.
|
||||
\item $T$ нормален, но не самосопряжен;
|
||||
\item матрица $T$ в любом ортонормальном базисе $V$ имеет вид
|
||||
$$
|
||||
\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix},
|
||||
\begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha\end{pmatrix},
|
||||
$$
|
||||
где $b\neq 0$;
|
||||
где $\beta\neq 0$;
|
||||
\item матрица $T$ в некотором ортонормальном базисе $V$ имеет вид
|
||||
$$
|
||||
\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix},
|
||||
\begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha\end{pmatrix},
|
||||
$$
|
||||
где $b > 0$.
|
||||
где $\beta > 0$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
$(1)\Rightarrow (2)$. Пусть $e_1,e_2$~--- ортонормальный базис
|
||||
пространства $V$, и пусть матрица $T$ в этом базисе имеет вид
|
||||
$$
|
||||
\begin{pmatrix}a & c\\b & d\end{pmatrix}.
|
||||
\begin{pmatrix}\alpha & \gamma\\\beta & \delta\end{pmatrix}.
|
||||
$$
|
||||
Тогда $||T(e_1)||^2 = a^2 + b^2$, $||T^*(e_1)||^2 = a^2 + c^2$.
|
||||
Тогда $||T(e_1)||^2 = \alpha^2 + \beta^2$, $||T^*(e_1)||^2 = \alpha^2 + \gamma^2$.
|
||||
По предложению~\ref{prop:normal-operator-equiv} эти числа равны,
|
||||
откуда $c = \pm b$. Если $c=b$, то $T$ самосопряжен (его матрица
|
||||
симметричны), поэтому $c = -b$, при этом $b\neq 0$.
|
||||
откуда $\gamma = \pm \beta$. Если $\gamma=\beta$, то $T$ самосопряжен (его матрица
|
||||
симметрична), поэтому $\gamma = -\beta$, при этом $\beta\neq 0$.
|
||||
Перемножим теперь матрицы
|
||||
$T$ и $T^*= T^T$ в одном и в другом порядке. Результаты должны
|
||||
совпасть, но в правом верхнем углу у одной матрицы стоит $bd$, а у
|
||||
другой $ab$. Значит, $a=d$, и мы получили матрицу нужного вида.
|
||||
совпасть, но в правом верхнем углу у одной матрицы стоит $\beta\delta$, а у
|
||||
другой $\alpha\beta$. Значит, $\alpha=\delta$, и мы получили матрицу нужного вида.
|
||||
|
||||
$(2)\Rightarrow (3)$. Если в нашем базисе уже $b>0$, то все доказано,
|
||||
$(2)\Rightarrow (3)$. Если в нашем базисе уже $\beta>0$, то все доказано,
|
||||
а если нет~--- поменяем знак у второго базисного вектора.
|
||||
|
||||
$(3)\Rightarrow (1)$. Если $T$ имеет указанный вид, то видно, что $T$
|
||||
@ -1626,9 +1626,9 @@ $T|_{U^\perp}$ нормален.
|
||||
матрица оператора $T$ блочно-диагональна, причем каждый блок имеет
|
||||
либо размер $1\times 1$, либо размер $2\times 2$ и вид
|
||||
$$
|
||||
\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix},
|
||||
\begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha\end{pmatrix},
|
||||
$$
|
||||
где $b > 0$.
|
||||
где $\beta > 0$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
@ -1717,7 +1717,7 @@ $V$, в котором матрица оператора $a$ диагональ
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Если оператор самосопряженный, кососимметрический, нормальный, то по
|
||||
Если оператор самосопряженный, кососимметрический, унитарный, то по
|
||||
теореме~\ref{thm:spectral-unitary} существует базис, в котором его
|
||||
матрица диагональна. Если он самосопряжен, то каждый диагональный
|
||||
блок $1\times 1$ самосопряжен, поэтому в нем стоит комплексное число
|
||||
@ -1740,14 +1740,14 @@ $V$, в котором матрица оператора $a$ диагональ
|
||||
\item Оператор $a$ является кососимметрическим тогда и
|
||||
только тогда, когда существует ортонормированный базис пространства
|
||||
$V$, в котором матрица оператора $a$ имеет блочно-диагональный
|
||||
вид, и каждый блок выглядит как $(0)$ или $\begin{pmatrix} 0 & -b
|
||||
\\ b & 0\end{pmatrix}$ для $b\in\mb R$, $\beta > 0$.
|
||||
вид, и каждый блок выглядит как $(0)$ или $\begin{pmatrix} 0 & -\beta
|
||||
\\ \beta & 0\end{pmatrix}$ для $\beta\in\mb R$, $\beta > 0$.
|
||||
\item Оператор $a$ является ортогональным тогда и
|
||||
только тогда, когда существует ортонормированный базис пространства
|
||||
$V$, в котором матрица оператора $a$ имеет блочно-диагональный
|
||||
вид, и каждый блок выглядит как $(1)$, $(-1)$
|
||||
или $\begin{pmatrix}a&-b\\ b & a\end{pmatrix}$ для
|
||||
$a,b\in\mb R$, $b > 0$, $a^2 + b^2 = 1$.
|
||||
или $\begin{pmatrix}\alpha&-\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$ для
|
||||
$\alpha,\beta\in\mb R$, $\beta > 0$, $\alpha^2 + \beta^2 = 1$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
@ -1756,18 +1756,18 @@ $a,b\in\mb R$, $b > 0$, $a^2 + b^2 = 1$.
|
||||
матрица блочно-диагональна, с блоками вида
|
||||
$$
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
a & -b\\
|
||||
b & a
|
||||
\alpha & -\beta\\
|
||||
\beta & \alpha
|
||||
\end{pmatrix},
|
||||
$$
|
||||
где $b>0$.
|
||||
Если он самосопряжен, то каждый диагональный блок самосопряжен, что
|
||||
для блока $2\times 2$ указанного вида означает, что $b=-b$,
|
||||
для блока $2\times 2$ указанного вида означает, что $\beta=-\beta$,
|
||||
что невозможно. Поэтому остаются только блоки размера $1\times 1$,
|
||||
что означает диагональность матрицы. Аналогично, из кососимметричности
|
||||
для блока $2\times 2$ следует, что $a=0$, а для блока $(\lambda)$
|
||||
для блока $2\times 2$ следует, что $\alpha=0$, а для блока $(\lambda)$
|
||||
размера $1\times 1$~--- что $\lambda = 0$. Наконец, из ортогональности
|
||||
для блока $2\times 2$ следует, что $s^2+b^2=1$, а для блока
|
||||
для блока $2\times 2$ следует, что $\alpha^2+\beta^2=1$, а для блока
|
||||
$(\lambda)$~--- что $\lambda^2=1$, откуда следует, что $\lambda=\pm 1$.
|
||||
|
||||
Обратно, если матрица оператора состоит из блоков указанного вида,
|
||||
@ -1820,7 +1820,7 @@ $||a(v)|| = ||v||$ для всех $v\in V$.
|
||||
\lambda B(u,v) + \ol\lambda\lambda B(v,v).
|
||||
\end{align*}
|
||||
Воспользуемся равенствами $B(a(x),a(x)) = B(x,x)$ и $B(x,y) =
|
||||
\ol{B(x,y)}$:
|
||||
\ol{B(y,x)}$:
|
||||
$$
|
||||
\lambda B(a(u),a(v)) + \ol{\lambda B(a(u),a(v))} =
|
||||
\lambda B(u,v) + \ol{\lambda B(u,v)}.
|
||||
@ -1838,7 +1838,7 @@ $||a(v)|| = ||v||$ для всех $v\in V$.
|
||||
Пусть $V = \mb R^3$~--- трехмерное вещественное пространство со
|
||||
стандартным эвклидовым скалярным произведением, $a\colon\mb
|
||||
R^3\to\mb R^3$~--- изометрия на $\mb R^3$. Тогда в некотором
|
||||
ортогональном базисе матрица оператора $a$ имеет вид
|
||||
ортонормированном базисе матрица оператора $a$ имеет вид
|
||||
$$
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
\pm 1 & 0 & 0\\
|
||||
@ -1852,7 +1852,7 @@ $$
|
||||
\end{corollary}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
По лемме~\ref{lem:isometry_equiv} оператор $a$ ортогонален. По
|
||||
теореме~\ref{thm:euclidean_canonical_forms} найдется ортогональный
|
||||
теореме~\ref{thm:euclidean_canonical_forms} найдется ортонормированный
|
||||
базис $V$, в котором матрица оператора $a$ имеет блочно-диагональный
|
||||
вид, и блоки имеют вид $(\pm 1)$ или
|
||||
$\begin{pmatrix}\cos(\ph)&\sin(\ph)\\-\sin(\ph)&\cos(\ph)\end{pmatrix}$. Если
|
||||
@ -1866,17 +1866,17 @@ $\begin{pmatrix}\cos(\ph)&\sin(\ph)\\-\sin(\ph)&\cos(\ph)\end{pmatrix}$
|
||||
\begin{corollary}[Приведение вещественной квадратичной формы к
|
||||
диагональному виду при помощи ортогонального преобразования]
|
||||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово пространство, и пусть
|
||||
$q\colon V\times V\to B$~--- симметрическая билинейная
|
||||
$q\colon V\times V\to \mb R$~--- симметрическая билинейная
|
||||
форма. Существует ортогональный базис пространства $V$, в котором
|
||||
матрица Грама формы $q$ имеет диагональный вид.
|
||||
\end{corollary}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Выберем некоторый ортонормированный базис $\mc B$ пространства $V$;
|
||||
пусть $Q$~--- матрица Грама формы $q$ в этом базисе.
|
||||
Поскольку форма $q$ симметрична, матрица $Q$ является симметричной
|
||||
Поскольку форма $q$ симметрична, матрица $Q$ является симметрической
|
||||
матрицей: $Q^T = Q$. Рассмотрим $Q$ как матрицу некоторого оператора
|
||||
$a$ на пространстве $V$; по предложению~\ref{prop:adjoint_matrix}
|
||||
оператор $q$ самосопряжен.
|
||||
оператор $a$ самосопряжен.
|
||||
По теореме~\ref{thm:euclidean_canonical_forms} существует
|
||||
ортонормированный базис $\mc C$ пространства $V$, в котором матрица
|
||||
оператора $a$ диагональна. Это означает, что
|
||||
@ -1932,6 +1932,7 @@ $\lambda_1,\dots,\lambda_m$, и кратность $\lambda_i$ равна раз
|
||||
\subsection{Положительно определенные операторы}
|
||||
|
||||
\literature{[F], гл. XIII, \S~4, п. 4; [K2], гл. 3, \S~3, пп. 8, 9.}
|
||||
\nopagebreak
|
||||
|
||||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство, $a\colon V\to
|
||||
V$~--- самосопряженный оператор на нем.
|
||||
@ -1984,11 +1985,11 @@ $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ на диагонали. По
|
||||
теоремам~\ref{thm:unitary_canonical_forms}
|
||||
и~\ref{thm:euclidean_canonical_forms} мы уже знаем, что $a$
|
||||
самосопряжен. Разложим произвольный вектор $v$ по базису $\mc B$:
|
||||
$v = \sum_i c_i e_i$.
|
||||
Тогда $a(v) = \sum_i c_i a(e_i) = \sum_i c_i\lambda_i e_i$.
|
||||
$v = \sum_i e_i c_i$.
|
||||
Тогда $a(v) = \sum_i a(e_i) c_i = \sum_i e_i c_i\lambda_i$.
|
||||
Поэтому
|
||||
$$
|
||||
B(a(v),v) = B(\sum_i c_i\lambda_i e_i,\sum_j c_i e_j)
|
||||
B(a(v),v) = B(\sum_i e_i c_i\lambda_i,\sum_j e_j c_i)
|
||||
= \sum_{i,j}\overline{c_i}\lambda_i c_j B(e_i,e_j)
|
||||
= \sum_i\lambda_i \overline{c_i}c_i B(e_i,e_i)
|
||||
= \sum_i\lambda_i |c_i|^2 \geq 0.
|
||||
@ -2120,7 +2121,7 @@ p^{-1}p^2 p^{-1} = \id$, что и требовалось.
|
||||
|
||||
Наконец, если $pu = a = p'u'$, то $(pu)^* = (p'u')^*$, откуда $u^* p =
|
||||
(u')^*p'$. Из этого следует, что
|
||||
$(pu)(u^*p) = (p'u')((u')^*p^*)$, откуда $p^2 = (p')^2$, и в силу
|
||||
$(pu)(u^*p) = (p'u')((u')^*p')$, откуда $p^2 = (p')^2$, и в силу
|
||||
единственности извлечения квадратного корня
|
||||
(теорема~\ref{thm:square_root_positive}), получаем, что
|
||||
$p=p'$, и, стало быть, $u=u'$.
|
||||
|
||||
Loading…
x
Reference in New Issue
Block a user