Corrected errata in 9.13–9.14 subsections

euclidean-spaces.tex

@@ -1533,32 +1533,32 @@ $T\colon V\to V$~--- линейный оператор.
 \item $T$ нормален, но не самосопряжен;
 \item матрица $T$ в любом ортонормальном базисе $V$ имеет вид
 $$
-\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix},
+\begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha\end{pmatrix},
 $$
-где $b\neq 0$;
+где $\beta\neq 0$;
 \item матрица $T$ в некотором ортонормальном базисе $V$ имеет вид
 $$
-\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix},
+\begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha\end{pmatrix},
 $$
-где $b > 0$.
+где $\beta > 0$.
 \end{enumerate}
 \end{proposition}
 \begin{proof}
 $(1)\Rightarrow (2)$. Пусть $e_1,e_2$~--- ортонормальный базис
 пространства $V$, и пусть матрица $T$ в этом базисе имеет вид
 $$
-\begin{pmatrix}a & c\\b & d\end{pmatrix}.
+\begin{pmatrix}\alpha & \gamma\\\beta & \delta\end{pmatrix}.
 $$
-Тогда $||T(e_1)||^2 = a^2 + b^2$, $||T^*(e_1)||^2 = a^2 + c^2$.
+Тогда $||T(e_1)||^2 = \alpha^2 + \beta^2$, $||T^*(e_1)||^2 = \alpha^2 + \gamma^2$.
 По предложению~\ref{prop:normal-operator-equiv} эти числа равны,
-откуда $c = \pm b$. Если $c=b$, то $T$ самосопряжен (его матрица
+откуда $\gamma = \pm \beta$. Если $\gamma=\beta$, то $T$ самосопряжен (его матрица
-симметричны), поэтому $c = -b$, при этом $b\neq 0$.
+симметрична), поэтому $\gamma = -\beta$, при этом $\beta\neq 0$.
 Перемножим теперь матрицы
 $T$ и $T^*= T^T$ в одном и в другом порядке. Результаты должны
-совпасть, но в правом верхнем углу у одной матрицы стоит $bd$, а у
+совпасть, но в правом верхнем углу у одной матрицы стоит $\beta\delta$, а у
-другой $ab$. Значит, $a=d$, и мы получили матрицу нужного вида.
+другой $\alpha\beta$. Значит, $\alpha=\delta$, и мы получили матрицу нужного вида.
 
-$(2)\Rightarrow (3)$. Если в нашем базисе уже $b>0$, то все доказано,
+$(2)\Rightarrow (3)$. Если в нашем базисе уже $\beta>0$, то все доказано,
 а если нет~--- поменяем знак у второго базисного вектора.
 
 $(3)\Rightarrow (1)$. Если $T$ имеет указанный вид, то видно, что $T$
@@ -1626,9 +1626,9 @@ $T|_{U^\perp}$ нормален.
 матрица оператора $T$ блочно-диагональна, причем каждый блок имеет
 либо размер $1\times 1$, либо размер $2\times 2$ и вид
 $$
-\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix},
+\begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha\end{pmatrix},
 $$
-где $b > 0$.
+где $\beta > 0$.
 \end{enumerate}
 \end{theorem}
 \begin{proof}
@@ -1717,7 +1717,7 @@ $V$, в котором матрица оператора $a$ диагональ
 \end{enumerate}
 \end{theorem}
 \begin{proof}
-Если оператор самосопряженный, кососимметрический, нормальный, то по
+Если оператор самосопряженный, кососимметрический, унитарный, то по
 теореме~\ref{thm:spectral-unitary} существует базис, в котором его
 матрица диагональна. Если он самосопряжен, то каждый диагональный
 блок $1\times 1$ самосопряжен, поэтому в нем стоит комплексное число
@@ -1740,14 +1740,14 @@ $V$, в котором матрица оператора $a$ диагональ
 \item Оператор $a$ является кососимметрическим тогда и
 только тогда, когда существует ортонормированный базис пространства
 $V$, в котором матрица оператора $a$ имеет блочно-диагональный
-вид, и каждый блок выглядит как $(0)$ или  $\begin{pmatrix} 0 & -b
+вид, и каждый блок выглядит как $(0)$ или  $\begin{pmatrix} 0 & -\beta
-  \\ b & 0\end{pmatrix}$ для $b\in\mb R$, $\beta > 0$.
+  \\ \beta & 0\end{pmatrix}$ для $\beta\in\mb R$, $\beta > 0$.
 \item Оператор $a$ является ортогональным тогда и
 только тогда, когда существует ортонормированный базис пространства
 $V$, в котором матрица оператора $a$ имеет блочно-диагональный
 вид, и каждый блок выглядит как $(1)$, $(-1)$
-или $\begin{pmatrix}a&-b\\ b & a\end{pmatrix}$ для
+или $\begin{pmatrix}\alpha&-\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$ для
-$a,b\in\mb R$, $b > 0$, $a^2 + b^2 = 1$.
+$\alpha,\beta\in\mb R$, $\beta > 0$, $\alpha^2 + \beta^2 = 1$.
 \end{enumerate}
 \end{theorem}
 \begin{proof}
@@ -1756,18 +1756,18 @@ $a,b\in\mb R$, $b > 0$, $a^2 + b^2 = 1$.
 матрица блочно-диагональна, с блоками вида
 $$
 \begin{pmatrix}
-a & -b\\
+\alpha & -\beta\\
-b & a
+\beta & \alpha
 \end{pmatrix},
 $$
 где $b>0$.
 Если он самосопряжен, то каждый диагональный блок самосопряжен, что
-для блока $2\times 2$ указанного вида означает, что $b=-b$,
+для блока $2\times 2$ указанного вида означает, что $\beta=-\beta$,
 что невозможно. Поэтому остаются только блоки размера $1\times 1$,
 что означает диагональность матрицы. Аналогично, из кососимметричности
-для блока $2\times 2$ следует, что $a=0$, а для блока $(\lambda)$
+для блока $2\times 2$ следует, что $\alpha=0$, а для блока $(\lambda)$
 размера $1\times 1$~--- что $\lambda = 0$. Наконец, из ортогональности
-для блока $2\times 2$ следует, что $s^2+b^2=1$, а для блока
+для блока $2\times 2$ следует, что $\alpha^2+\beta^2=1$, а для блока
 $(\lambda)$~--- что $\lambda^2=1$, откуда следует, что $\lambda=\pm 1$.
 
 Обратно, если матрица оператора состоит из блоков указанного вида,
@@ -1820,7 +1820,7 @@ $||a(v)|| = ||v||$ для всех $v\in V$.
   \lambda B(u,v) + \ol\lambda\lambda B(v,v).
   \end{align*}
   Воспользуемся равенствами $B(a(x),a(x)) = B(x,x)$ и $B(x,y) =
-  \ol{B(x,y)}$:
+  \ol{B(y,x)}$:
   $$
   \lambda B(a(u),a(v)) + \ol{\lambda B(a(u),a(v))} =
   \lambda B(u,v) + \ol{\lambda B(u,v)}.
@@ -1838,7 +1838,7 @@ $||a(v)|| = ||v||$ для всех $v\in V$.
 Пусть $V = \mb R^3$~--- трехмерное вещественное пространство со
 стандартным эвклидовым скалярным произведением, $a\colon\mb
 R^3\to\mb R^3$~--- изометрия на $\mb R^3$. Тогда в некотором
-ортогональном базисе матрица оператора $a$ имеет вид
+ортонормированном базисе матрица оператора $a$ имеет вид
 $$
 \begin{pmatrix}
 \pm 1 & 0 & 0\\
@@ -1852,7 +1852,7 @@ $$
 \end{corollary}
 \begin{proof}
 По лемме~\ref{lem:isometry_equiv} оператор $a$ ортогонален. По
-теореме~\ref{thm:euclidean_canonical_forms} найдется ортогональный
+теореме~\ref{thm:euclidean_canonical_forms} найдется ортонормированный
 базис $V$, в котором матрица оператора $a$ имеет блочно-диагональный
 вид, и блоки имеют вид $(\pm 1)$ или
 $\begin{pmatrix}\cos(\ph)&\sin(\ph)\\-\sin(\ph)&\cos(\ph)\end{pmatrix}$. Если
@@ -1866,17 +1866,17 @@ $\begin{pmatrix}\cos(\ph)&\sin(\ph)\\-\sin(\ph)&\cos(\ph)\end{pmatrix}$
 \begin{corollary}[Приведение вещественной квадратичной формы к
   диагональному виду при помощи ортогонального преобразования]
 Пусть $(V,B)$~--- эвклидово пространство, и пусть
-$q\colon V\times V\to B$~--- симметрическая билинейная
+$q\colon V\times V\to \mb R$~--- симметрическая билинейная
 форма. Существует ортогональный базис пространства $V$, в котором
 матрица Грама формы $q$ имеет диагональный вид.
 \end{corollary}
 \begin{proof}
 Выберем некоторый ортонормированный базис $\mc B$ пространства $V$;
 пусть $Q$~--- матрица Грама формы $q$ в этом базисе.
-Поскольку форма $q$ симметрична, матрица $Q$ является симметричной
+Поскольку форма $q$ симметрична, матрица $Q$ является симметрической
 матрицей: $Q^T = Q$. Рассмотрим $Q$ как матрицу некоторого оператора
 $a$ на пространстве $V$; по предложению~\ref{prop:adjoint_matrix}
-оператор $q$ самосопряжен.
+оператор $a$ самосопряжен.
 По теореме~\ref{thm:euclidean_canonical_forms} существует
 ортонормированный базис $\mc C$ пространства $V$, в котором матрица
 оператора $a$ диагональна. Это означает, что
@@ -1932,6 +1932,7 @@ $\lambda_1,\dots,\lambda_m$, и кратность $\lambda_i$ равна раз
 \subsection{Положительно определенные операторы}
 
 \literature{[F], гл. XIII, \S~4, п. 4; [K2], гл. 3, \S~3, пп. 8, 9.}
+\nopagebreak
 
 Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство, $a\colon V\to
 V$~--- самосопряженный оператор на нем.
@@ -1984,11 +1985,11 @@ $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ на диагонали. По
 теоремам~\ref{thm:unitary_canonical_forms}
 и~\ref{thm:euclidean_canonical_forms} мы уже знаем, что $a$
 самосопряжен. Разложим произвольный вектор $v$ по базису $\mc B$:
-$v = \sum_i c_i e_i$.
+$v = \sum_i e_i c_i$.
-Тогда $a(v) = \sum_i c_i a(e_i) = \sum_i c_i\lambda_i e_i$.
+Тогда $a(v) = \sum_i a(e_i) c_i = \sum_i e_i c_i\lambda_i$.
 Поэтому
 $$
-B(a(v),v) = B(\sum_i c_i\lambda_i e_i,\sum_j c_i e_j)
+B(a(v),v) = B(\sum_i e_i c_i\lambda_i,\sum_j e_j c_i)
 = \sum_{i,j}\overline{c_i}\lambda_i c_j B(e_i,e_j)
 = \sum_i\lambda_i \overline{c_i}c_i B(e_i,e_i)
 = \sum_i\lambda_i |c_i|^2 \geq 0.
@@ -2120,7 +2121,7 @@ p^{-1}p^2 p^{-1} = \id$, что и требовалось.
 
 Наконец, если $pu = a = p'u'$, то $(pu)^* = (p'u')^*$, откуда $u^* p =
 (u')^*p'$. Из этого следует, что
-$(pu)(u^*p) = (p'u')((u')^*p^*)$, откуда $p^2 = (p')^2$, и в силу
+$(pu)(u^*p) = (p'u')((u')^*p')$, откуда $p^2 = (p')^2$, и в силу
 единственности извлечения квадратного корня
 (теорема~\ref{thm:square_root_positive}), получаем, что
 $p=p'$, и, стало быть, $u=u'$.