From 310ac1776b5c94c88826d45003bc2c5e1db09c91 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alexander Luzgarev <mahalex@gmail.com>
Date: Thu, 9 Jun 2016 22:17:14 +0300
Subject: [PATCH] Add example: the circle group

---
 group-theory.tex | 21 +++++++++++++++++++--
 1 file changed, 19 insertions(+), 2 deletions(-)

diff --git a/group-theory.tex b/group-theory.tex
index 9f3d719..cc1d02b 100644
--- a/group-theory.tex
+++ b/group-theory.tex
@@ -107,7 +107,9 @@ $a\circ b=b\circ a$ для всех $a,b\in G$.
   (поскольку модуль комплексного числа мультипликативен,
   см. предложение~\ref{prop_abs_properties}).
   Она часто называется \dfn{группой углов}\index{группа!углов}.
-  Ниже (см.~\ref{???}) мы приведем другое ее описание, не использующее
+  Ниже
+  (см.~пример~\ref{examples:quotient-groups}~(\ref{item:angles-as-quotient-group}))
+  мы приведем другое ее описание, не использующее
   комплексных чисел.
 \item\label{item:geometric_groups} Наиболее архетипичный пример группы
   выглядит так: рассмотрим все обратимые преобразования
@@ -693,7 +695,7 @@ G/H$ является гомоморфизмом, напрямую следуе
 $\pi(xy) = (xy)H$.
 \end{proof}
 
-\begin{examples}
+\begin{examples}\label{examples:quotient-groups}
 \begin{enumerate}
 \item $G/G\isom\{e\}$. Действительно, имеется только один класс
   смежности $G$ по $G$.
@@ -705,6 +707,21 @@ $\pi(xy) = (xy)H$.
   $G/\{e\}$ та же, что была в $G$.
 \item Мы уже встречали группу $\mb Z/m\mb Z$: это аддитивная группа
   кольца вычетов по модулю $m$.
+\item\label{item:angles-as-quotient-group}
+  Рассмотрим аддитивную группу поля вещественных чисел $\mbR$
+  и подгруппу $2\pi\mbZ = \{2\pi n\mid n\in\mbZ\}$ в ней.
+  Фактор-группу $\mbR/2\pi\mbZ$ естественно представлять как множество
+  вещественных чисел <<с точностью до целых кратных $2\pi$>>. Например,
+  в этой группе есть элемент $3\pi/2$ (точнее, образ элемента
+  $3\pi/2\in\mbR$ относительно канонической проекции) и элемент
+  $\pi$. Их сумма равна $3\pi/2 + \pi = 5\pi/2 = \pi/2\in\mb R/2\pi\mbZ$,
+  поскольку сложение происходит <<по модулю $2\pi$>>.
+  Нетрудно понять, что эта группа изоморфна группе $\mb T$ комплексных
+  чисел модуля $1$
+  (см. пример~\ref{examples:group}~(\ref{item:group_of_angles}))~---
+  изоморфизм устанавливается взятием аргумента.
+  Поэтому группа $\mbR/2\pi\mbZ$, как и группа $\mb T$, часто
+  называется \dfn{группой углов}.\index{группа!углов}
 \end{enumerate}
 \end{examples}