Corrected errata in 11.1–11.4 subsections

multilinear.tex

@@ -39,7 +39,7 @@ $$
   (см. раздел~\ref{ssect:det}).
 \end{itemize}
 
-Оказывается, что полилинейные отображения из $V_1\times\dots V_m$ в
+Оказывается, что полилинейные отображения из $V_1\times\dots\times V_m$ в
 $U$ в точности соответствуют {\em линейными} отображениям из
 некоторого нового объекта (тензорного произведения пространств
 $V_1,\dots,V_m$) в $U$.
@@ -273,10 +273,10 @@ n$, образуют базис пространства $V\otimes W$.
 
 Для определения $\ph$ сначала положим $\ph(e_i,f_j) = e_i\otimes f_j$.
 Для двух произвольных векторов $v = \sum_i\lambda_i e_i\in V$
-и $w = \sum_j\mu_j f_j\in W$ теперь определим $\ph(u,v)$ так,
+и $w = \sum_j\mu_j f_j\in W$ теперь определим $\ph(v,w)$ так,
 чтобы $\ph$ было билинейным. Раскрывая скобки, получаем, что
-$\ph(u,v) = \sum_{i,j}\lambda_i\mu_j e_i\otimes f_j$.
+$\ph(v,w) = \sum_{i,j}\lambda_i\mu_j e_i\otimes f_j$.
-Очевидно, что построенное отображение $\ph\colon U\times V\to X$
+Очевидно, что построенное отображение $\ph\colon V\times W\to X$
 билинейно.
 
 Пусть теперь $U$~--- еще одно векторное пространство над $k$, и пусть
@@ -297,8 +297,8 @@ $\ph(e_i,f_j)$ принимать значения $\psi(e_i,f_j)$, поэтом
 
 \begin{definition}\label{dfn:tensor_basis}
 Базис из предложения~\ref{prop:tensor_product_basis} называется
-\dfn{тензорным базисом}\index{тензорный базис} пространства $U\otimes
+\dfn{тензорным базисом}\index{тензорный базис} пространства $V\otimes
-V$. Обычно мы
+W$. Обычно мы
 упорядочиваем его следующим ({\em лексикографическим}) образом:
 $e_1\otimes f_1$, $e_1\otimes f_2$, \dots, $e_1\otimes f_n$, \dots,
 $e_m\otimes f_1$, $e_m\otimes f_2$, \dots, $e_m\otimes f_n$.
@@ -336,7 +336,7 @@ $e_m\otimes f_1$, $e_m\otimes f_2$, \dots, $e_m\otimes f_n$.
 $\ph\colon V_1\times\dots\times V_s\to V_1\otimes\dots\otimes V_s$
 таким, что для любого полилинейного отображения
 $\psi\colon V_1\times\dots\times V_s\to U$ в некоторое векторное
-пространство $W$ существует единственное линейное отображение
+пространство $U$ существует единственное линейное отображение
 $\tld\psi\colon V_1\otimes\dots\otimes V_s\to U$ такое,
 что $\psi = \tld\psi\circ\ph$:
 $$
@@ -425,7 +425,7 @@ $u\otimes v$ в $v\otimes u$; доказательство завершаетс
 \begin{proposition}
 Пусть $V_1,\dots,V_s$~--- векторные пространства над полем $k$
 размерностей $n_1,\dots,n_s$;
-$\mc B_j=\{e^j_1,\dots,e^j_{n_j}\}$~--- базис $V_i$ для каждого
+$\mc B_j=\{e^j_1,\dots,e^j_{n_j}\}$~--- базис $V_j$ для каждого
 $j=1,\dots,s$.
 Тогда элементы вида $e^1_{i_1}\otimes\dots\otimes e^s_{i_s}$, где
 $1\leq i_k\leq n_k$ для всех $k=1,\dots,s$, образуют базис
@@ -557,7 +557,7 @@ v^{**}(\psi)$ и $v^{**}(\lambda\ph) = (\lambda\ph)(v) = \lambda\cdot\ph(v)
 k$, достаточно проверить, что результаты их применения к произвольному
 элементу $\ph\in V^*$ совпадают:
 $(v+w)^{**}(\ph) = \ph(v+w) = \ph(v)+\ph(w) = v^{**}(\ph) +
-w^{**}(\psi)$, $(\lambda v)^{**}(\ph) = \ph(\lambda v) =
+w^{**}(\ph)$, $(\lambda v)^{**}(\ph) = \ph(\lambda v) =
 \lambda\cdot\ph(v) = \lambda\cdot v^{**}(\ph)$.
 
 Мы получили линейное отображение $V\to V^{**}$. Покажем, что оно
@@ -566,7 +566,7 @@ w^{**}(\psi)$, $(\lambda v)^{**}(\ph) = \ph(\lambda v) =
 что $v^{**}(\ph) = 0$ для всех $\ph\in V^*$, то есть, что $\ph(v)=0$
 для всех $\ph\colon V\to k$. Покажем, что из этого следует, что
 $v=0$. Действительно, если $v\neq 0$, то вектор $v$ можно дополнить до
-базиса $(v,e_1,e_2,\dots)$ пространства $v$. Определим функцию
+базиса $(v,e_1,e_2,\dots)$ пространства $V$. Определим функцию
 $\ph_v\in V^*$ равенствами $\ph_v(v)=1$, $\ph_v(e_i)=0$ для всех
 $i$. По универсальному свойству базиса этого достаточно для
 корректного определения линейного отображения $\ph_v\colon V\to k$. По