GitHub
commit
c2aaa4ffa9
BIN
algebra.pdf
BIN
algebra.pdf
Binary file not shown.
@ -12,7 +12,7 @@
|
||||
\usepackage[margin=0.7in,bmargin=1.2in]{geometry}
|
||||
\usepackage{multicol}
|
||||
|
||||
\usepackage[colorlinks=true,pagebackref=true]{hyperref}
|
||||
\usepackage[colorlinks=false,pagebackref=true]{hyperref}
|
||||
|
||||
\usepackage{mathabx}
|
||||
|
||||
@ -102,7 +102,7 @@
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\title{Алгебра и теория чисел\footnote{Конспект
|
||||
лекций для механиков, 2014--2015 учебный год; предварительная
|
||||
лекций для механиков, 2014--2016; предварительная
|
||||
версия}}
|
||||
\author{Александр Лузгарев}
|
||||
\date{}
|
||||
|
||||
@ -158,10 +158,10 @@ $B(iv,iv) = -B(v,v)$ для всех $v\in V$.
|
||||
$B(u,v) = \ol{u}^Tv$.
|
||||
Нетрудно видеть, что эта форма полуторалинейная
|
||||
\begin{align*}
|
||||
&B(u,v_1+v_2) = u^T(v_1+v_2) = \ol{u}^Tv_1 + \ol{u}^Tv_2 = B(u,v_1) +
|
||||
&B(u,v_1+v_2) = \ol{u}^T(v_1+v_2) = \ol{u}^Tv_1 + \ol{u}^Tv_2 = B(u,v_1) +
|
||||
B(u,v_2)\\
|
||||
&B(u,v\lambda)=\ol{u}^T(v\lambda)=\lambda(\ol{u}^Tv)=\lambda B(u,v)\\
|
||||
&B(u_1+u_2,v) = \ol{(u_1+u_2)}^Tv = \ol{u_1}^tv + \ol{u_2}^Tv = B(u_1,v)
|
||||
&B(u_1+u_2,v) = \ol{(u_1+u_2)}^Tv = \ol{u_1}^Tv + \ol{u_2}^Tv = B(u_1,v)
|
||||
+ B(u_2,v)\\
|
||||
&B(u\lambda,v)=\ol{(u\lambda)}^Tv=\ol\lambda(\ol{u}^Tv)=\ol\lambda B(u,v)\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
@ -227,7 +227,7 @@ $||v|| = \sqrt{B(v,v)}$ \dfn{длиной}\index{длина вектора} $v$.
|
||||
\begin{lemma}\label{lem:triangle_inequality}
|
||||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство, $u,v,\in V$. Тогда
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item ({\it Однородность нормы}). $||\lambda v|| = |\lambda|\cdot
|
||||
\item ({\it Однородность нормы}). $||v\lambda|| = |\lambda|\cdot
|
||||
||v||$ для любого $\lambda\in k$.
|
||||
\item ({\it Теорема Пифагора}). Если $B(u,v)=0$, то $||u+v||^2 = ||u||^2
|
||||
+ ||v||^2$.
|
||||
@ -243,7 +243,7 @@ $|B(u,v)|\leq ||u||\cdot ||v||$, причем равенство достига
|
||||
|
||||
Однородность нормы следует из полуторалинейности:
|
||||
$$
|
||||
||\lambda v||^2 = B(\lambda v,\lambda v) =
|
||||
||v\lambda||^2 = B(v\lambda, v\lambda ) =
|
||||
\lambda\ol{\lambda}B(v,v) = |\lambda|^2\cdot ||v||^2.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
@ -253,15 +253,15 @@ $$
|
||||
|
||||
Для доказательства неравенства Коши--Буняковского--Шварца положим
|
||||
$$
|
||||
w = u - \frac{B(u,v)}{B(v,v)}v
|
||||
w = u - v\frac{B(u,v)}{B(v,v)}
|
||||
$$
|
||||
и заметим, что $$B(w,v) = B(u-\frac{B(u,v)}{B(v,v)}v,v)
|
||||
и заметим, что $$B(w,v) = B(u-v\frac{B(u,v)}{B(v,v)},v)
|
||||
= B(u,v) - \frac{B(u,v)}{B(v,v)}B(v,v) = 0.$$
|
||||
Это означает, что векторы $v$ и $w$ ортогональны. Поэтому и вектор
|
||||
$\frac{B(u,v)}{B(v,v)}v$ ортогонален вектору $w$. Применим к этой паре
|
||||
$v\frac{B(u,v)}{B(v,v)}$ ортогонален вектору $w$. Применим к этой паре
|
||||
векторов теорему Пифагора:
|
||||
$$
|
||||
||u||^2 = ||w||^2 + ||\frac{B(u,v)}{B(v,v)}v||^2 = ||w||^2 +
|
||||
||u||^2 = ||w||^2 + ||v\frac{B(u,v)}{B(v,v)}||^2 = ||w||^2 +
|
||||
\frac{|B(u,v)|^2}{||v||^2} \geq \frac{|B(u,v)|^2}{||v||^2},
|
||||
$$
|
||||
откуда $|B(u,v)|\leq ||u||\cdot ||v||$.
|
||||
@ -359,7 +359,7 @@ $$
|
||||
|
||||
Таким образом, мы показали, что матрица Грама симметрической
|
||||
билинейной формы является симметрической, а матрица Грама эрмитовой
|
||||
билинейной формы является эрмитовой.
|
||||
полуторалинейной формы является эрмитовой.
|
||||
|
||||
Обратно, по любой симметрической матрице над $\mb R$ можно построить
|
||||
симметрическую билинейную форму, а по любой эрмитовой матрице над $\mb
|
||||
@ -479,7 +479,7 @@ $e_i\perp e_j$ при $i\neq j$. Этот базис называется
|
||||
\begin{lemma}\label{lem:orthogonality_implies_independency}
|
||||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство. Если ненулевые
|
||||
векторы $e_1,\dots,e_n\in V$ попарно ортогональны,
|
||||
то они линейно независимо. Если, кроме того, $\dim V=n$, то векторы
|
||||
то они линейно независимы. Если, кроме того, $\dim V=n$, то векторы
|
||||
$e_1,\dots,e_n$ образуют ортогональный базис.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
@ -678,7 +678,7 @@ $\ol{C}=C$ для $C\in M(n,\mb R)$.
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство.
|
||||
Пусть $\mc E$, $\mc F$~--- ортогональные базисы $V$, и
|
||||
Пусть $\mc E$, $\mc F$~--- ортонормированные базисы $V$, и
|
||||
$C=(\mc E\rsa\mc F)$~--- матрица перехода между ними. Тогда матрица
|
||||
$C$ ортогональна в случае эвклидова пространства и унитарна в случае
|
||||
унитарного пространства.
|
||||
@ -687,7 +687,7 @@ $C$ ортогональна в случае эвклидова простран
|
||||
По теореме~\ref{thm:Gram_matrix_change_of_coordinates} выполнено
|
||||
$G_{\mc F} = \ol{C}^T\cdot G_{\mc E}\cdot C$, где
|
||||
$G_{\mc E}$, $G_{\mc F}$~--- матрицы Грама формы $B$ в базисах $\mc E$,
|
||||
$\mc F$ соответственно. Но базисы $\mc E$, $\mc F$ ортогональны,
|
||||
$\mc F$ соответственно. Но базисы $\mc E$, $\mc F$ ортонормированы,
|
||||
поэтому $G_{\mc E} = G_{\mc F} = E$. Значит, $E = \ol{C}^T\cdot C$, и
|
||||
матрица $C$ ортогональна в эвклидовом случае и унитарна в унитарном
|
||||
случае.
|
||||
@ -750,7 +750,7 @@ $$
|
||||
Применяя к этому равенству отображение $\ph$ и пользуясь его линейностью, получаем
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\ph(v) &= \ph(e_1 B(e_1,v) + e_2 B(e_2, v) + \dots + e_n B(e_n,v)) \\
|
||||
&= \ph(e_1)B(e_1,v) + \ph(e_2)B(e_2,v) + \dots + \ph(e_n B(e_n) \\
|
||||
&= \ph(e_1)B(e_1,v) + \ph(e_2)B(e_2,v) + \dots + \ph(e_n)B(e_n) \\
|
||||
&= B(e_1\overline{\ph(e_1)} + e_2\overline{\ph(e_2)} + \dots + e_n\overline{\ph(e_n)},v).
|
||||
\end{align*}
|
||||
Заметим, что первый аргумент полученного выражения не зависит от $v$.
|
||||
@ -830,7 +830,7 @@ $U\leq V$~--- конечномерное подпространство в $V$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{num:orth-comp-prop-findim-1} $V = U\oplus U^\perp$;
|
||||
\item если, кроме того, $V$ конечномерно, то $\dim (U^\perp) = \dim (V) - \dim (U)$;
|
||||
\item $(U\perp)^\perp = U$.
|
||||
\item $(U^\perp)^\perp = U$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
@ -927,7 +927,7 @@ $U\leq V$~--- конечномерное подпространство, $v\in V
|
||||
$w_1+w_2\in U^\perp$. По определению
|
||||
$\pr_U(v_1) = u_1$, $\pr_U(v_2) = u_2$ и
|
||||
$\pr_U(v_1+v_2) = u_1 + u_2 = \pr_U(v_1) + \pr_U(v_2)$.
|
||||
Мы показали аддитивность отображения $\pr_U$. Если $v\in U$
|
||||
Мы показали аддитивность отображения $\pr_U$. Если $v\in V$
|
||||
и $v = u + w$ для $u\in U$, $w\in U^\perp$, то
|
||||
$v\lambda = u\lambda + w\lambda$, откуда следует и однородность
|
||||
$\pr_U$.
|
||||
@ -1039,7 +1039,7 @@ $(\eta\circ\ph)^* = \ph^*\circ\eta^*$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
B(v,(\ph+\psi)^*(v')) &= B'((\ph+\psi)(v),v') \\
|
||||
&= B'(\ph(v) + \psi(v),v') \\
|
||||
&= B'(\ph(v),v') + B(\psi(v),v') \\
|
||||
&= B'(\ph(v),v') + B'(\psi(v),v') \\
|
||||
&= B(v,\ph^*(v')) + B(v,\psi^*(v')) \\
|
||||
&= B(v,\ph^*(v')+\psi^*(v')),
|
||||
\end{align*}
|
||||
@ -1148,7 +1148,7 @@ $$
|
||||
|
||||
\begin{lemma}\label{lem:complex-unitary-1}
|
||||
Пусть $V$~--- унитарное пространство (внимание!),
|
||||
$T\colon V\to V$~--- линейный оператора.
|
||||
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор.
|
||||
Предположим, что $B(T(v),v) = 0$ для всех $v\in V$.
|
||||
Тогда $T = 0$.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
@ -1198,7 +1198,7 @@ $$
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Замечание~\ref{rem:complex-unitary-counterexample} показывает,
|
||||
что на эвклидовом пространстве оператор $T$ может удовлетворять
|
||||
что на эвклидовом пространстве ненулевой оператор $T$ может удовлетворять
|
||||
тождеству $B(T(v),v)=0$ для всех $v\in V$. Однако,
|
||||
этого не может случиться для самосопряженного оператора.
|
||||
\end{remark}
|
||||
@ -1257,7 +1257,7 @@ $||T(v)|| = ||T^*(v)||$ для всех $v\in V$.
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Заметим, что оператор $T^*\circ T - T\circ T^*$ самосопряжен.
|
||||
По лемме~\ref{lem:selfadjoint-zero-characterisation}
|
||||
равенство $T^*\circ T - T\circ T^*$ равносильно тому,
|
||||
равенство $T^*\circ T - T\circ T^*$ нулю равносильно тому,
|
||||
что $B((T^*\circ T - T\circ T^*)(v),v) = 0$ для всех $v\in V$,
|
||||
что равносильно равенству
|
||||
$B(T^*(T(v)),v) = B(T(T^*(v)),v)$ для всех $v\in V$.
|
||||
@ -1292,7 +1292,7 @@ $T$, соответствующие различным собственным ч
|
||||
По предложению~\ref{prop:normal-operator-adjoint-eigenvalues}
|
||||
теперь $T^*(u) = u\ol\lambda$.
|
||||
Поэтому $(\lambda-\mu)B(u,v) = B(u\ol\lambda,v) - B(u,v\mu)
|
||||
= B(T(u),v) - B(u,T^*(v)) = 0$.
|
||||
= B(T^*(u),v) - B(u,T(v)) = 0$.
|
||||
Поскольку $\lambda\neq\mu$, из этого равенства следует, что
|
||||
$B(u,v)=0$, что и требовалось.
|
||||
\end{proof}
|
||||
@ -1318,7 +1318,7 @@ $V$ диагональна.
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Очевидно, что $(2)\Leftrightarrow(3)$ (см. также
|
||||
доказательство теоремы~\ref{thm:diagonalizable-equivalent}).
|
||||
Покажем, что из (3) следует (1). Пусть матрица $t$ в некотором
|
||||
Покажем, что из (3) следует (1). Пусть матрица $T$ в некотором
|
||||
ортонормированном базисе $\mc B$ диагональна.
|
||||
По предложению~\ref{prop:adjoint_matrix}
|
||||
матрица $T^*$ тогда получается из матрицы $T$ транспонированием
|
||||
@ -1505,7 +1505,7 @@ $V$ диагональна.
|
||||
диагональна. Но диагональная матрица совпадает со своей
|
||||
транспонированной, поэтому $T=T^*$, откуда следует $(1)$.
|
||||
|
||||
Теперь мы докажем. что из $(1)$ следует $(2)$ индукцией по размености
|
||||
Теперь мы докажем, что из $(1)$ следует $(2)$ индукцией по размерности
|
||||
пространства $V$.
|
||||
Если $\dim(V)=1$, утверждение очевидно.
|
||||
Пусть теперь $\dim(V) > 1$, и оператора $T$ самосопряжен.
|
||||
@ -1518,7 +1518,7 @@ $V$ диагональна.
|
||||
и оператор $T|_{U^\perp}$ самосопряжен.
|
||||
По предположению индукции у $U^\perp$ есть ортонормальный базис,
|
||||
состоящий из собственных векторов оператора $T|_{U^\perp}$.
|
||||
Присоединив к нему $u$, получаем ортонормальный базис $U^\perp$,
|
||||
Присоединив к нему $u$, получаем ортонормальный базис $V$,
|
||||
состоящий из собственных векторов оператора $T$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
@ -1533,32 +1533,32 @@ $T\colon V\to V$~--- линейный оператор.
|
||||
\item $T$ нормален, но не самосопряжен;
|
||||
\item матрица $T$ в любом ортонормальном базисе $V$ имеет вид
|
||||
$$
|
||||
\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix},
|
||||
\begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha\end{pmatrix},
|
||||
$$
|
||||
где $b\neq 0$;
|
||||
где $\beta\neq 0$;
|
||||
\item матрица $T$ в некотором ортонормальном базисе $V$ имеет вид
|
||||
$$
|
||||
\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix},
|
||||
\begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha\end{pmatrix},
|
||||
$$
|
||||
где $b > 0$.
|
||||
где $\beta > 0$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
$(1)\Rightarrow (2)$. Пусть $e_1,e_2$~--- ортонормальный базис
|
||||
пространства $V$, и пусть матрица $T$ в этом базисе имеет вид
|
||||
$$
|
||||
\begin{pmatrix}a & c\\b & d\end{pmatrix}.
|
||||
\begin{pmatrix}\alpha & \gamma\\\beta & \delta\end{pmatrix}.
|
||||
$$
|
||||
Тогда $||T(e_1)||^2 = a^2 + b^2$, $||T^*(e_1)||^2 = a^2 + c^2$.
|
||||
Тогда $||T(e_1)||^2 = \alpha^2 + \beta^2$, $||T^*(e_1)||^2 = \alpha^2 + \gamma^2$.
|
||||
По предложению~\ref{prop:normal-operator-equiv} эти числа равны,
|
||||
откуда $c = \pm b$. Если $c=b$, то $T$ самосопряжен (его матрица
|
||||
симметричны), поэтому $c = -b$, при этом $b\neq 0$.
|
||||
откуда $\gamma = \pm \beta$. Если $\gamma=\beta$, то $T$ самосопряжен (его матрица
|
||||
симметрична), поэтому $\gamma = -\beta$, при этом $\beta\neq 0$.
|
||||
Перемножим теперь матрицы
|
||||
$T$ и $T^*= T^T$ в одном и в другом порядке. Результаты должны
|
||||
совпасть, но в правом верхнем углу у одной матрицы стоит $bd$, а у
|
||||
другой $ab$. Значит, $a=d$, и мы получили матрицу нужного вида.
|
||||
совпасть, но в правом верхнем углу у одной матрицы стоит $\beta\delta$, а у
|
||||
другой $\alpha\beta$. Значит, $\alpha=\delta$, и мы получили матрицу нужного вида.
|
||||
|
||||
$(2)\Rightarrow (3)$. Если в нашем базисе уже $b>0$, то все доказано,
|
||||
$(2)\Rightarrow (3)$. Если в нашем базисе уже $\beta>0$, то все доказано,
|
||||
а если нет~--- поменяем знак у второго базисного вектора.
|
||||
|
||||
$(3)\Rightarrow (1)$. Если $T$ имеет указанный вид, то видно, что $T$
|
||||
@ -1626,9 +1626,9 @@ $T|_{U^\perp}$ нормален.
|
||||
матрица оператора $T$ блочно-диагональна, причем каждый блок имеет
|
||||
либо размер $1\times 1$, либо размер $2\times 2$ и вид
|
||||
$$
|
||||
\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix},
|
||||
\begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha\end{pmatrix},
|
||||
$$
|
||||
где $b > 0$.
|
||||
где $\beta > 0$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
@ -1673,6 +1673,7 @@ $(2)\Rightarrow (1)$: несложно проверить, что матрица
|
||||
|
||||
\literature{[F], гл. XIII, \S~5; [K2], гл. 3, \S~3, пп. 3, 6; [KM],
|
||||
ч. 2, \S~7, пп. 1--2, 4; \S~8, пп. 2--6.}
|
||||
\nopagebreak
|
||||
|
||||
Сейчас мы применим знания, полученные при изучении нормальных
|
||||
операторов, к некоторым частным случаям.
|
||||
@ -1716,7 +1717,7 @@ $V$, в котором матрица оператора $a$ диагональ
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Если оператор самосопряженный, кососимметрический, нормальный, то по
|
||||
Если оператор самосопряженный, кососимметрический, унитарный, то по
|
||||
теореме~\ref{thm:spectral-unitary} существует базис, в котором его
|
||||
матрица диагональна. Если он самосопряжен, то каждый диагональный
|
||||
блок $1\times 1$ самосопряжен, поэтому в нем стоит комплексное число
|
||||
@ -1739,14 +1740,14 @@ $V$, в котором матрица оператора $a$ диагональ
|
||||
\item Оператор $a$ является кососимметрическим тогда и
|
||||
только тогда, когда существует ортонормированный базис пространства
|
||||
$V$, в котором матрица оператора $a$ имеет блочно-диагональный
|
||||
вид, и каждый блок выглядит как $(0)$ или $\begin{pmatrix} 0 & -b
|
||||
\\ b & 0\end{pmatrix}$ для $b\in\mb R$, $\beta > 0$.
|
||||
вид, и каждый блок выглядит как $(0)$ или $\begin{pmatrix} 0 & -\beta
|
||||
\\ \beta & 0\end{pmatrix}$ для $\beta\in\mb R$, $\beta > 0$.
|
||||
\item Оператор $a$ является ортогональным тогда и
|
||||
только тогда, когда существует ортонормированный базис пространства
|
||||
$V$, в котором матрица оператора $a$ имеет блочно-диагональный
|
||||
вид, и каждый блок выглядит как $(1)$, $(-1)$
|
||||
или $\begin{pmatrix}a&-b\\ b & a\end{pmatrix}$ для
|
||||
$a,b\in\mb R$, $b > 0$, $a^2 + b^2 = 1$.
|
||||
или $\begin{pmatrix}\alpha&-\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$ для
|
||||
$\alpha,\beta\in\mb R$, $\beta > 0$, $\alpha^2 + \beta^2 = 1$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
@ -1755,18 +1756,18 @@ $a,b\in\mb R$, $b > 0$, $a^2 + b^2 = 1$.
|
||||
матрица блочно-диагональна, с блоками вида
|
||||
$$
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
a & -b\\
|
||||
b & a
|
||||
\alpha & -\beta\\
|
||||
\beta & \alpha
|
||||
\end{pmatrix},
|
||||
$$
|
||||
где $b>0$.
|
||||
Если он самосопряжен, то каждый диагональный блок самосопряжен, что
|
||||
для блока $2\times 2$ указанного вида означает, что $b=-b$,
|
||||
для блока $2\times 2$ указанного вида означает, что $\beta=-\beta$,
|
||||
что невозможно. Поэтому остаются только блоки размера $1\times 1$,
|
||||
что означает диагональность матрицы. Аналогично, из кососимметричности
|
||||
для блока $2\times 2$ следует, что $a=0$, а для блока $(\lambda)$
|
||||
для блока $2\times 2$ следует, что $\alpha=0$, а для блока $(\lambda)$
|
||||
размера $1\times 1$~--- что $\lambda = 0$. Наконец, из ортогональности
|
||||
для блока $2\times 2$ следует, что $s^2+b^2=1$, а для блока
|
||||
для блока $2\times 2$ следует, что $\alpha^2+\beta^2=1$, а для блока
|
||||
$(\lambda)$~--- что $\lambda^2=1$, откуда следует, что $\lambda=\pm 1$.
|
||||
|
||||
Обратно, если матрица оператора состоит из блоков указанного вида,
|
||||
@ -1819,7 +1820,7 @@ $||a(v)|| = ||v||$ для всех $v\in V$.
|
||||
\lambda B(u,v) + \ol\lambda\lambda B(v,v).
|
||||
\end{align*}
|
||||
Воспользуемся равенствами $B(a(x),a(x)) = B(x,x)$ и $B(x,y) =
|
||||
\ol{B(x,y)}$:
|
||||
\ol{B(y,x)}$:
|
||||
$$
|
||||
\lambda B(a(u),a(v)) + \ol{\lambda B(a(u),a(v))} =
|
||||
\lambda B(u,v) + \ol{\lambda B(u,v)}.
|
||||
@ -1837,7 +1838,7 @@ $||a(v)|| = ||v||$ для всех $v\in V$.
|
||||
Пусть $V = \mb R^3$~--- трехмерное вещественное пространство со
|
||||
стандартным эвклидовым скалярным произведением, $a\colon\mb
|
||||
R^3\to\mb R^3$~--- изометрия на $\mb R^3$. Тогда в некотором
|
||||
ортогональном базисе матрица оператора $a$ имеет вид
|
||||
ортонормированном базисе матрица оператора $a$ имеет вид
|
||||
$$
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
\pm 1 & 0 & 0\\
|
||||
@ -1851,7 +1852,7 @@ $$
|
||||
\end{corollary}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
По лемме~\ref{lem:isometry_equiv} оператор $a$ ортогонален. По
|
||||
теореме~\ref{thm:euclidean_canonical_forms} найдется ортогональный
|
||||
теореме~\ref{thm:euclidean_canonical_forms} найдется ортонормированный
|
||||
базис $V$, в котором матрица оператора $a$ имеет блочно-диагональный
|
||||
вид, и блоки имеют вид $(\pm 1)$ или
|
||||
$\begin{pmatrix}\cos(\ph)&\sin(\ph)\\-\sin(\ph)&\cos(\ph)\end{pmatrix}$. Если
|
||||
@ -1865,17 +1866,17 @@ $\begin{pmatrix}\cos(\ph)&\sin(\ph)\\-\sin(\ph)&\cos(\ph)\end{pmatrix}$
|
||||
\begin{corollary}[Приведение вещественной квадратичной формы к
|
||||
диагональному виду при помощи ортогонального преобразования]
|
||||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово пространство, и пусть
|
||||
$q\colon V\times V\to B$~--- симметрическая билинейная
|
||||
$q\colon V\times V\to \mb R$~--- симметрическая билинейная
|
||||
форма. Существует ортогональный базис пространства $V$, в котором
|
||||
матрица Грама формы $q$ имеет диагональный вид.
|
||||
\end{corollary}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Выберем некоторый ортонормированный базис $\mc B$ пространства $V$;
|
||||
пусть $Q$~--- матрица Грама формы $q$ в этом базисе.
|
||||
Поскольку форма $q$ симметрична, матрица $Q$ является симметричной
|
||||
Поскольку форма $q$ симметрична, матрица $Q$ является симметрической
|
||||
матрицей: $Q^T = Q$. Рассмотрим $Q$ как матрицу некоторого оператора
|
||||
$a$ на пространстве $V$; по предложению~\ref{prop:adjoint_matrix}
|
||||
оператор $q$ самосопряжен.
|
||||
оператор $a$ самосопряжен.
|
||||
По теореме~\ref{thm:euclidean_canonical_forms} существует
|
||||
ортонормированный базис $\mc C$ пространства $V$, в котором матрица
|
||||
оператора $a$ диагональна. Это означает, что
|
||||
@ -1931,6 +1932,7 @@ $\lambda_1,\dots,\lambda_m$, и кратность $\lambda_i$ равна раз
|
||||
\subsection{Положительно определенные операторы}
|
||||
|
||||
\literature{[F], гл. XIII, \S~4, п. 4; [K2], гл. 3, \S~3, пп. 8, 9.}
|
||||
\nopagebreak
|
||||
|
||||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство, $a\colon V\to
|
||||
V$~--- самосопряженный оператор на нем.
|
||||
@ -1983,11 +1985,11 @@ $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ на диагонали. По
|
||||
теоремам~\ref{thm:unitary_canonical_forms}
|
||||
и~\ref{thm:euclidean_canonical_forms} мы уже знаем, что $a$
|
||||
самосопряжен. Разложим произвольный вектор $v$ по базису $\mc B$:
|
||||
$v = \sum_i c_i e_i$.
|
||||
Тогда $a(v) = \sum_i c_i a(e_i) = \sum_i c_i\lambda_i e_i$.
|
||||
$v = \sum_i e_i c_i$.
|
||||
Тогда $a(v) = \sum_i a(e_i) c_i = \sum_i e_i c_i\lambda_i$.
|
||||
Поэтому
|
||||
$$
|
||||
B(a(v),v) = B(\sum_i c_i\lambda_i e_i,\sum_j c_i e_j)
|
||||
B(a(v),v) = B(\sum_i e_i c_i\lambda_i,\sum_j e_j c_i)
|
||||
= \sum_{i,j}\overline{c_i}\lambda_i c_j B(e_i,e_j)
|
||||
= \sum_i\lambda_i \overline{c_i}c_i B(e_i,e_i)
|
||||
= \sum_i\lambda_i |c_i|^2 \geq 0.
|
||||
@ -2119,7 +2121,7 @@ p^{-1}p^2 p^{-1} = \id$, что и требовалось.
|
||||
|
||||
Наконец, если $pu = a = p'u'$, то $(pu)^* = (p'u')^*$, откуда $u^* p =
|
||||
(u')^*p'$. Из этого следует, что
|
||||
$(pu)(u^*p) = (p'u')((u')^*p^*)$, откуда $p^2 = (p')^2$, и в силу
|
||||
$(pu)(u^*p) = (p'u')((u')^*p')$, откуда $p^2 = (p')^2$, и в силу
|
||||
единственности извлечения квадратного корня
|
||||
(теорема~\ref{thm:square_root_positive}), получаем, что
|
||||
$p=p'$, и, стало быть, $u=u'$.
|
||||
|
||||
@ -413,8 +413,8 @@ $G/H$. Множество левых смежных классов $G$ по $H$
|
||||
по модулю подпространства (см. определение~\ref{def:quotient_space});
|
||||
однако, отсутствие коммутативности приводит к тому, что необходимо
|
||||
рассматривать два варианта обобщения: условие $v_1-v_2\in U$ из
|
||||
определения~\ref{def:quotient_space} мы заменяем на $v_1v_2^{-1}$ в
|
||||
одном варианте и на $v_2^{-1}$ в другом. Если группа $G$ абелева, то
|
||||
определения~\ref{def:quotient_space} мы заменяем на $v_1v_2^{-1}\in U$ в
|
||||
одном варианте и на $v_2^{-1}v_1\in U$ в другом. Если группа $G$ абелева, то
|
||||
$gH = Hg$ для всех $g\in G$, и отношения $\sim_H$, ${}_H{\sim}$
|
||||
совпадают.
|
||||
\end{remark}
|
||||
@ -481,6 +481,7 @@ $ghg^{-1} = {}^gh$.
|
||||
абелевой группы нормальны.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\hspace{0em}
|
||||
\begin{examples}\label{examples:normal_subgroups}
|
||||
\hspace{1em}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
@ -573,7 +574,7 @@ $\ph(x)^{-1} = \ph(x^{-1})$.
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Пусть $\ph\colon G\to H$~--- гомоморфизм групп. \dfn{Ядром}
|
||||
гомоморфизма $\ph$ называется множество $\Ker(\ph)=\{x\in G\mid
|
||||
f\ph(x) = e_H\}$ (полный прообраз единицы). \dfn{Образом} гомоморфизма
|
||||
\ph(x) = e_H\}$ (полный прообраз единицы). \dfn{Образом} гомоморфизма
|
||||
$\ph$ называется его теоретико-множественный образ: $\Img(\ph) =
|
||||
\{y\in H\mid y = \ph(x)\text{ для некоторого }x\in G\}$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
@ -621,14 +622,14 @@ $\ph$ сюръективно тогда и только тогда, когда $
|
||||
|
||||
\begin{lemma}\label{lem:injective_homo}
|
||||
Пусть $\ph\colon G\to H$~--- гомоморфизм групп. Он инъективен тогда и
|
||||
только тогда, когда $\Ker(\ph) = e$.
|
||||
только тогда, когда $\Ker(\ph) = \{e\}$.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Если $\ph$ инъективен, то есть только один элемент $g\in G$ такой, что
|
||||
$\ph(g) =e$, и мы знаем, что $\ph(e)=e$.
|
||||
Обратно, если $\Ker(\ph)=e$ и $g,g'\in G$ таковы, что
|
||||
Обратно, если $\Ker(\ph)=\{e\}$ и $g,g'\in G$ таковы, что
|
||||
$\ph(g)=\ph(g')$, то $\ph(g^{-1}g') = \ph(g)^{-1}\ph(g') = e$, поэтому
|
||||
$g^{-1}g'\in\Ker(\ph)=e$, откуда $g = g'$.
|
||||
$g^{-1}g'\in\Ker(\ph)=\{e\}$, откуда $g = g'$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
@ -895,7 +896,7 @@ $h\mapsto gh$, задает биекцию между $H$ и $gH$. Действ
|
||||
$gh=gh'$, то $h=h'$, и в силу определения смежного класса это
|
||||
отображение сюръективно. Поэтому в каждом смежном классе столько же
|
||||
элементов, сколько в подгруппе $H$. Таким образом, элементы $G$
|
||||
разбиваются на $|G:H|$ смежных классов, в каждом по $H$
|
||||
разбиваются на $|G:H|$ смежных классов, в каждом по $|H|$
|
||||
элементов. Отсюда сразу следует требуемое равенство.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\begin{corollary}\label{cor:order_divides}
|
||||
@ -910,7 +911,7 @@ $gh=gh'$, то $h=h'$, и в силу определения смежного к
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}\label{cor:power_order}
|
||||
Пусть $G$~--- конечная группа. Тогда $g^{|G|} = 1$ для любого $g\in G$.
|
||||
Пусть $G$~--- конечная группа. Тогда $g^{|G|} = e$ для любого $g\in G$.
|
||||
\end{corollary}
|
||||
|
||||
В качестве примера приложения теоремы Лагранжа выведем из нее теорему
|
||||
@ -988,7 +989,7 @@ i_2\colon H\to G\times H,&\;\; h\mapsto (e,h),\\
|
||||
$\Img(i_2)=\Ker(\pi_1)=\{e\}\times H$~--- нормальные подгруппы в
|
||||
$G\times H$;
|
||||
\item $\pi_1\circ i_1 = \id_G$, $\pi_2\circ i_2 = \id_H$;
|
||||
$\pi_1\circ i_2 = 0$, $\pi_2\circ i_1 = 0$;
|
||||
$\pi_1\circ i_2 = e$, $\pi_2\circ i_1 = e$;
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
@ -1051,7 +1052,7 @@ $g'^{-1}g = e = h'h^{-1}$, откуда $g=g'$ и $h=h'$.
|
||||
Проверим, что $\ph$~--- гомоморфизм групп. Возьмем $y\in F$ и запишем
|
||||
его в виде $y = g'h'$, где $g',h'\in H$.
|
||||
Тогда $xy = (gh)(g'h') = g(hg')h' = (gg')(hh')$ (по
|
||||
свойству~\ref{item:they_commute}. По определению $\ph$ теперь
|
||||
свойству~\ref{item:they_commute}). По определению $\ph$ теперь
|
||||
$\ph(xy) = (gg',hh')$, в то время как $\ph(x) = (g,h)$, $\ph(y) =
|
||||
(g',h')$, и, стало быть, $\ph(x)\ph(y) = (g,h)(g',h') = (gg', hh')$.
|
||||
|
||||
@ -1117,7 +1118,7 @@ $(i_1\;\;i_2\;\;\dots\;\;i_{k-1}\;\;i_k) =
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Будем вести индукцию по числу $i\in\{1,\dots,n\}$ таких, что
|
||||
$\pi(i)\neq i$, то есть, по $n-\Fix(\pi)$.
|
||||
$\pi(i)\neq i$, то есть, по $n-|\Fix(\pi)|$.
|
||||
Если это число равно $0$, то перестановка $\pi$
|
||||
тождественна и, таким образом, есть произведение пустого множества
|
||||
циклов. Это база индукции. Докажем переход.
|
||||
@ -1145,7 +1146,7 @@ $j\in\{1,\dots,n\}\setminus\{i_1,\dots,i_k\}$.
|
||||
|
||||
Это значит, что к $\pi'$ можно применить предположение индукции:
|
||||
действительно, $\Fix(\pi') = \Fix(\pi)\cup\{i_1,\dots,i_k\}$, поэтому
|
||||
мощность множества $\{i\in\{1,\dots,n\}\mid \pi'(i)\neq i$ на $k$
|
||||
мощность множества $\{i\in\{1,\dots,n\}\mid \pi'(i)\neq i\}$ на $k$
|
||||
меньше, чем мощность аналогичного множества для $\pi$.
|
||||
По предположению индукции $\pi'$ можно записать в виде произведения
|
||||
независимых циклов, носители которых не пересекаются с $\Fix(\pi')$:
|
||||
@ -1313,6 +1314,7 @@ $\Img(\pi)$ изоморфна $G$ и является подгруппой в $
|
||||
\subsection{Диэдральная группа}
|
||||
|
||||
\literature{[K3], гл. 1, \S~4, п. 5.}
|
||||
\nopagebreak
|
||||
|
||||
Рассмотрим на эвклидовой плоскости правильный $n$-угольник с вершинами
|
||||
$A_1,\dots,A_n$ и центром в начале координат (точке $O$).
|
||||
|
||||
@ -39,7 +39,7 @@ $$
|
||||
(см. раздел~\ref{ssect:det}).
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Оказывается, что полилинейные отображения из $V_1\times\dots V_m$ в
|
||||
Оказывается, что полилинейные отображения из $V_1\times\dots\times V_m$ в
|
||||
$U$ в точности соответствуют {\em линейными} отображениям из
|
||||
некоторого нового объекта (тензорного произведения пространств
|
||||
$V_1,\dots,V_m$) в $U$.
|
||||
@ -267,16 +267,16 @@ n$, образуют базис пространства $V\otimes W$.
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Рассмотрим пространство $X$ размерности $mn$, базис которого состоит
|
||||
из элементов вида $e_i\otimes f_j$. Сейчас мы определим билинейное
|
||||
отображение $V\otimes W\to X$ и проверим, что $X$ вместе с этим
|
||||
отображение $V\times W\to X$ и проверим, что $X$ вместе с этим
|
||||
отображением удовлетворяет универсальному свойству тензорного
|
||||
произведения.
|
||||
|
||||
Для определения $\ph$ сначала положим $\ph(e_i,f_j) = e_i\otimes f_j$.
|
||||
Для двух произвольных векторов $v = \sum_i\lambda_i e_i\in V$
|
||||
и $w = \sum_j\mu_j f_j\in W$ теперь определим $\ph(u,v)$ так,
|
||||
и $w = \sum_j\mu_j f_j\in W$ теперь определим $\ph(v,w)$ так,
|
||||
чтобы $\ph$ было билинейным. Раскрывая скобки, получаем, что
|
||||
$\ph(u,v) = \sum_{i,j}\lambda_i\mu_j e_i\otimes f_j$.
|
||||
Очевидно, что построенное отображение $\ph\colon U\times V\to X$
|
||||
$\ph(v,w) = \sum_{i,j}\lambda_i\mu_j e_i\otimes f_j$.
|
||||
Очевидно, что построенное отображение $\ph\colon V\times W\to X$
|
||||
билинейно.
|
||||
|
||||
Пусть теперь $U$~--- еще одно векторное пространство над $k$, и пусть
|
||||
@ -297,8 +297,8 @@ $\ph(e_i,f_j)$ принимать значения $\psi(e_i,f_j)$, поэтом
|
||||
|
||||
\begin{definition}\label{dfn:tensor_basis}
|
||||
Базис из предложения~\ref{prop:tensor_product_basis} называется
|
||||
\dfn{тензорным базисом}\index{тензорный базис} пространства $U\otimes
|
||||
V$. Обычно мы
|
||||
\dfn{тензорным базисом}\index{тензорный базис} пространства $V\otimes
|
||||
W$. Обычно мы
|
||||
упорядочиваем его следующим ({\em лексикографическим}) образом:
|
||||
$e_1\otimes f_1$, $e_1\otimes f_2$, \dots, $e_1\otimes f_n$, \dots,
|
||||
$e_m\otimes f_1$, $e_m\otimes f_2$, \dots, $e_m\otimes f_n$.
|
||||
@ -336,7 +336,7 @@ $e_m\otimes f_1$, $e_m\otimes f_2$, \dots, $e_m\otimes f_n$.
|
||||
$\ph\colon V_1\times\dots\times V_s\to V_1\otimes\dots\otimes V_s$
|
||||
таким, что для любого полилинейного отображения
|
||||
$\psi\colon V_1\times\dots\times V_s\to U$ в некоторое векторное
|
||||
пространство $W$ существует единственное линейное отображение
|
||||
пространство $U$ существует единственное линейное отображение
|
||||
$\tld\psi\colon V_1\otimes\dots\otimes V_s\to U$ такое,
|
||||
что $\psi = \tld\psi\circ\ph$:
|
||||
$$
|
||||
@ -425,7 +425,7 @@ $u\otimes v$ в $v\otimes u$; доказательство завершаетс
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
Пусть $V_1,\dots,V_s$~--- векторные пространства над полем $k$
|
||||
размерностей $n_1,\dots,n_s$;
|
||||
$\mc B_j=\{e^j_1,\dots,e^j_{n_j}\}$~--- базис $V_i$ для каждого
|
||||
$\mc B_j=\{e^j_1,\dots,e^j_{n_j}\}$~--- базис $V_j$ для каждого
|
||||
$j=1,\dots,s$.
|
||||
Тогда элементы вида $e^1_{i_1}\otimes\dots\otimes e^s_{i_s}$, где
|
||||
$1\leq i_k\leq n_k$ для всех $k=1,\dots,s$, образуют базис
|
||||
@ -557,7 +557,7 @@ v^{**}(\psi)$ и $v^{**}(\lambda\ph) = (\lambda\ph)(v) = \lambda\cdot\ph(v)
|
||||
k$, достаточно проверить, что результаты их применения к произвольному
|
||||
элементу $\ph\in V^*$ совпадают:
|
||||
$(v+w)^{**}(\ph) = \ph(v+w) = \ph(v)+\ph(w) = v^{**}(\ph) +
|
||||
w^{**}(\psi)$, $(\lambda v)^{**}(\ph) = \ph(\lambda v) =
|
||||
w^{**}(\ph)$, $(\lambda v)^{**}(\ph) = \ph(\lambda v) =
|
||||
\lambda\cdot\ph(v) = \lambda\cdot v^{**}(\ph)$.
|
||||
|
||||
Мы получили линейное отображение $V\to V^{**}$. Покажем, что оно
|
||||
@ -566,7 +566,7 @@ w^{**}(\psi)$, $(\lambda v)^{**}(\ph) = \ph(\lambda v) =
|
||||
что $v^{**}(\ph) = 0$ для всех $\ph\in V^*$, то есть, что $\ph(v)=0$
|
||||
для всех $\ph\colon V\to k$. Покажем, что из этого следует, что
|
||||
$v=0$. Действительно, если $v\neq 0$, то вектор $v$ можно дополнить до
|
||||
базиса $(v,e_1,e_2,\dots)$ пространства $v$. Определим функцию
|
||||
базиса $(v,e_1,e_2,\dots)$ пространства $V$. Определим функцию
|
||||
$\ph_v\in V^*$ равенствами $\ph_v(v)=1$, $\ph_v(e_i)=0$ для всех
|
||||
$i$. По универсальному свойству базиса этого достаточно для
|
||||
корректного определения линейного отображения $\ph_v\colon V\to k$. По
|
||||
@ -721,7 +721,7 @@ $$
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Заметим сначала, что размерности обеих частей равны
|
||||
$\dim(U)\cdot\dim(V)\cdot\dim(W)$. Рассмотрим произвольный элемент
|
||||
$\ph\colon\Hom(U,\Hom(V,W))$. Он сопоставляет (линейным образом)
|
||||
$\ph\in\Hom(U,\Hom(V,W))$. Он сопоставляет (линейным образом)
|
||||
каждому элементу $u\in U$ некоторое линейное отображение
|
||||
$\ph_u\colon V\to W$, $v\mapsto\ph_u(v)$. Построим теперь по этому
|
||||
элементу $\ph$ линейное отображение из $U\otimes V$ в $W$ следующим
|
||||
@ -767,7 +767,7 @@ $$\ph\otimes\psi\colon U\otimes W\to V\otimes Z.$$
|
||||
Покажем, что это определение обладает естественными свойствами.
|
||||
|
||||
\begin{theorem}\label{thm:tensor_product_maps}
|
||||
Тензорное произведение линейных отображение обладает следующими
|
||||
Тензорное произведение линейных отображений обладает следующими
|
||||
свойствами:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $(\ph'\ph)\otimes(\psi'\psi) =
|
||||
@ -899,7 +899,7 @@ $$
|
||||
Если матрица оператора $\ph$ в базисе $(e_i)$ равна $a$, а матрица
|
||||
оператора $\psi$ в базисе $(f_j)$ равна $b$, то матрица оператора
|
||||
$\ph\otimes\psi$ в тензорном базисе $(e_i\otimes f_j)$ равна
|
||||
кронекеровому произведениею $a\times b$.
|
||||
кронекеровому произведениею $a\otimes b$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Пусть $u\in U$, $v\in V$~--- произвольные векторы. По определению
|
||||
@ -1005,10 +1005,11 @@ $1\leq i_1,\dots,i_p,j_1,\dots,j_q\leq n$.
|
||||
$$
|
||||
x = \sum_{\substack{i_1,\dots,i_p \\ j_1,\dots,j_q}}
|
||||
x^{i_1\dots i_p}_{j_1\dots j_q} e_{i_1}\otimes\dots\otimes
|
||||
e_{i_p}\otimes e^{j_1}\otimes e^{j_q},
|
||||
e_{i_p}\otimes e^{j_1}\otimes\dots\otimes e^{j_q},
|
||||
$$
|
||||
где $x^{i_1\dots i_p}_{j_1\dots j_q}\in k$~--- координаты тензора в
|
||||
этом базисе.
|
||||
|
||||
Традиционно тензор задавался явным перечислением своих координат. При
|
||||
этом, поскольку этот набор зависит от выбора базиса, приходится
|
||||
указывать, как же преобразуются координаты тензора при другом выборе
|
||||
|
||||
BIN
program-4.pdf
BIN
program-4.pdf
Binary file not shown.
@ -63,7 +63,7 @@
|
||||
\glava{Теория групп}
|
||||
\resume{compactenum}
|
||||
\item Группы: определение, примеры.
|
||||
\item Подгруппы: определение, примеры. Подгруппы циклической группы.
|
||||
\item Подгруппы: определение, примеры. Подгруппы аддитивной группы.
|
||||
\item Подгруппа, порожденная множеством: две конструкции
|
||||
\item Классы смежности, разбиение на классы и соответствующие
|
||||
отношения эквивалентности.
|
||||
|
||||
Loading…
x
Reference in New Issue
Block a user