Add first exam questions

program-1.tex

@@ -0,0 +1,127 @@
+\documentclass[12pt]{article}
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[russian]{babel}
+\usepackage{mdwlist}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{paralist}
+\usepackage{ccfonts,eulervm,euler}
+\renewcommand{\bfdefault}{sbc}
+%\usepackage{ulem}
+\usepackage[margin=0.7in,bmargin=0.7in]{geometry}
+
+
+\pagestyle{empty}
+
+\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
+
+\newcommand\glava[1]{{\medskip\bf\hfill #1}}
+
+\begin{document}
+
+\begin{center}
+{\Large Вопросы экзамена по алгебре}
+\par\medskip
+Группы 151, 153 (лектор Александр Лузгарев)
+\par\medskip
+Первый семестр, осень 2016
+\end{center}
+
+\glava{Глава 3. Комплексные числа}
+\begin{compactenum}
+\item Комплексные числа: определение, алгебраическая форма записи.
+\item Комплексное сопряжение и модуль. Деление комплексных чисел.
+\item Неравенство треугольника. Тригонометрическая форма записи
+  комплексного числа.
+\item Перемножение комплексных чисел в тригонометрической
+  форме. Формула Муавра.
+\item Корни $n$-ой степени из комплексного числа. Свойства корней из
+  единицы.
+\item Первообразные корни из единицы, их количество.
+\item Экспоненциальная форма записи комплексного числа и логарифм.
+\suspend{compactenum}
+\glava{Глава 4. Кольцо многочленов}
+\resume{compactenum}
+\item Кольцо многочленов над кольцом.
+\item Теорема о степени произведения многочленов
+  над областью целостности и ее следствия.
+\item Делимость в кольце многочленов. Теорема о делении с остатком.
+\item Многочлен как функция. Лемма Безу.
+\item Выделение линейных множителей и число различных корней
+  многочлена над полем. Формальное и функциональное равенство
+  многочленов.
+\item Алгебраическая замкнутость. Разложение многочленов над полями
+  комплексных и вещественных чисел.
+\item Определение и свойства производной. Связь между корнями
+  многочлена и его производной.
+\item Характеристика поля. Поведение кратности корня при взятии
+  производной над полем характеристики $0$.
+\item Интерполяционная задача, единственность ее решения.
+  Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона.
+\item Наибольший общий делитель многочленов: существование и линейное
+  представление.
+\item Алгорифм Эвклида для многочленов. Оценка на степень
+  коэффициентов в линейном представлении НОД.
+\item Неприводимые многочлены. Основная теорема арифметики в кольце
+  многочленов.
+\item Конструкция поля частных области целостности: эквивалентность
+  дробей, введение операций и проверка аксиом поля.
+\item Поле рациональных функций. Правильные дроби, их
+  свойства. Выделение многочлена из дроби.
+\item Простейшие дроби: две леммы о разложении знаменателя.
+\item Теорема о представлении правильной дроби в виде суммы
+  простейших.
+\item Простейшие дроби над полями комплексных и вещественных
+  чисел. Нахождение коэффициентов в случае простых корней.
+\suspend{compactenum}
+\glava{Глава 5. Вычислительная линейная алгебра}
+\resume{compactenum}
+\item Системы линейных уравнений и матрицы. Элементарные
+  преобразования и связь с множеством решений.
+\item Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
+\item Матрицы, свойства сложения и умножения.
+\item Транспонирование и его свойства. Матричные единицы.
+\item Матрицы элементарных преобразований. Элементарные преобразования
+  строк и столбцов как умножения на матрицы.
+\item Приведение матрицы к окаймленному единичному виду элементарными
+  преобразованиями. Связь с обратимостью.
+\item Блочные матрицы и операции над ними.
+\item Группа перестановок. Табличная запись перестановки.
+\item Разложение перестановки в произведение [элементарных]
+  транспозиций.
+\item Число инверсий и знак перестановки. Изменение знака при
+  домножении на транспозицию.
+\item Знак как число транспозиций в разложении. Мультипликативность
+  знака.
+\suspend{compactenum}
+\glava{Глава 6. Векторные пространства}
+\resume{compactenum}
+  \item Определение векторного пространства, простейшие свойства,
+  примеры.
+\item Подпространства: определение и примеры. Пересечение
+  и сумма подпространств.
+\item Прямая сумма подпространств. Критерии разложения пространства
+  в прямую сумму подпространств.
+\item Системы образующих и линейно независимые системы. Примеры.
+\item Лемма о линейной зависимости. Следствие о добавлении вектора
+к линейно независимой системе.
+\item Количество элементов в линейно независимой и порождающей
+системах.
+\item Конечномерность подпространства конечномерного пространства.
+\item Базис, определение и эквивалентная переформулировка.
+Любая система образующих содержит базис.
+\item Любая линейно независимая система содержится в базисе.
+Дополнение пространства до прямой суммы.
+\item Равномощность всех базисов. Размерность подпространства.
+\item Теорема Грассмана о размерности суммы подпространств.
+\item Если длина порождающей системы равна размерности, то это
+базис; то же для линейно независимой системы.
+Размерность прямой суммы подпространств. Критерий разложения
+в прямую сумму, использующий размерность.
+\end{compactenum}
+
+\end{document}
+