diff --git a/algebra.pdf b/algebra.pdf
index fc96b39..09cb96a 100644
Binary files a/algebra.pdf and b/algebra.pdf differ
diff --git a/euclidean-spaces.tex b/euclidean-spaces.tex
index 7769807..1956582 100644
--- a/euclidean-spaces.tex
+++ b/euclidean-spaces.tex
@@ -158,10 +158,10 @@ $B(iv,iv) = -B(v,v)$ для всех $v\in V$.
 $B(u,v) = \ol{u}^Tv$. 
 Нетрудно видеть, что эта форма полуторалинейная
 \begin{align*}
-&B(u,v_1+v_2) = u^T(v_1+v_2) = \ol{u}^Tv_1 + \ol{u}^Tv_2 = B(u,v_1) +
+&B(u,v_1+v_2) = \ol{u}^T(v_1+v_2) = \ol{u}^Tv_1 + \ol{u}^Tv_2 = B(u,v_1) +
 B(u,v_2)\\
 &B(u,v\lambda)=\ol{u}^T(v\lambda)=\lambda(\ol{u}^Tv)=\lambda B(u,v)\\
-&B(u_1+u_2,v) = \ol{(u_1+u_2)}^Tv = \ol{u_1}^tv + \ol{u_2}^Tv = B(u_1,v)
+&B(u_1+u_2,v) = \ol{(u_1+u_2)}^Tv = \ol{u_1}^Tv + \ol{u_2}^Tv = B(u_1,v)
 + B(u_2,v)\\
 &B(u\lambda,v)=\ol{(u\lambda)}^Tv=\ol\lambda(\ol{u}^Tv)=\ol\lambda B(u,v)\\
 \end{align*}
@@ -227,7 +227,7 @@ $||v|| = \sqrt{B(v,v)}$ \dfn{длиной}\index{длина вектора} $v$.
 \begin{lemma}\label{lem:triangle_inequality}
 Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство, $u,v,\in V$. Тогда
 \begin{enumerate}
-\item ({\it Однородность нормы}). $||\lambda v|| = |\lambda|\cdot
+\item ({\it Однородность нормы}). $||v\lambda|| = |\lambda|\cdot
   ||v||$ для любого $\lambda\in k$.
 \item ({\it Теорема Пифагора}). Если $B(u,v)=0$, то $||u+v||^2 = ||u||^2
   + ||v||^2$.
@@ -243,7 +243,7 @@ $|B(u,v)|\leq ||u||\cdot ||v||$, причем равенство достига
 
 Однородность нормы следует из полуторалинейности:
 $$
-||\lambda v||^2 = B(\lambda v,\lambda v) =
+||v\lambda||^2 = B(v\lambda, v\lambda ) =
 \lambda\ol{\lambda}B(v,v) = |\lambda|^2\cdot ||v||^2.
 $$
 
@@ -253,15 +253,15 @@ $$
 
 Для доказательства неравенства Коши--Буняковского--Шварца положим
 $$
-w = u - \frac{B(u,v)}{B(v,v)}v
+w = u - v\frac{B(u,v)}{B(v,v)}
 $$
-и заметим, что $$B(w,v) = B(u-\frac{B(u,v)}{B(v,v)}v,v)
+и заметим, что $$B(w,v) = B(u-v\frac{B(u,v)}{B(v,v)},v)
  = B(u,v) - \frac{B(u,v)}{B(v,v)}B(v,v) = 0.$$
 Это означает, что векторы $v$ и $w$ ортогональны. Поэтому и вектор
-$\frac{B(u,v)}{B(v,v)}v$ ортогонален вектору $w$. Применим к этой паре
+$v\frac{B(u,v)}{B(v,v)}$ ортогонален вектору $w$. Применим к этой паре
 векторов теорему Пифагора:
 $$
-||u||^2 = ||w||^2 + ||\frac{B(u,v)}{B(v,v)}v||^2 = ||w||^2 +
+||u||^2 = ||w||^2 + ||v\frac{B(u,v)}{B(v,v)}||^2 = ||w||^2 +
 \frac{|B(u,v)|^2}{||v||^2} \geq \frac{|B(u,v)|^2}{||v||^2},
 $$
 откуда $|B(u,v)|\leq ||u||\cdot ||v||$.