diff --git a/algebra.pdf b/algebra.pdf
index 532161f..dba028a 100644
Binary files a/algebra.pdf and b/algebra.pdf differ
diff --git a/set-theory.tex b/set-theory.tex
index 23f1a28..e87cc31 100644
--- a/set-theory.tex
+++ b/set-theory.tex
@@ -358,7 +358,7 @@ $f\circ g = \id_Y$. Наконец, $g$ называется
 \end{definition}
 
 \begin{lemma}\label{lemma:invertible_left_and_right}
-Если у отображение $f\colon X\to Y$ есть левое обратное и правое
+Если у отображения $f\colon X\to Y$ есть левое обратное и правое
 обратное, то они совпадают. Таким образом, отображение обратимо тогда
 и только тогда, когда оно обратимо слева и обратимо справа.
 \end{lemma}
@@ -649,7 +649,7 @@ $n$. Если $P(0)$ истинно и из истинности $P(0), P(1),\do
 Отображения $\mb R\times\mb R\to\mb R$, задаваемые формулами
 $(a,b)\mapsto a+b$, $(a,b)\mapsto ab$, $(a,b)\mapsto a-b$, являются
 бинарными операциями. Отображение $(a,b)\mapsto a^b$ является бинарной
-операцией на множестве $\mb N_{\geq 0}$ положительных натуральных чисел.
+операцией на множестве $\mb N$.
 \end{examples}
 
 \begin{definition}
@@ -668,7 +668,7 @@ $a,b,c\in X$.
 Нетрудно видеть, что операции сложения и умножения на множестве
 вещественных чисел являются ассоциативными и коммутативными, а вот
 возведение в степень
-положительных натуральных положительных чисел не является ни
+натуральных чисел не является ни
 ассоциативной, ни коммутативной операцией.
 
 \begin{definition}
@@ -791,7 +791,7 @@ $$
 (\dots x_1\bullet\dots\bullet x_k\dots) \bullet
 (\dots x_{k+1}\bullet\dots\bullet x_n\dots).
 $$
-При этом $1 < k < n$.
+При этом $1 \leq k < n$.
 
 Предположим сначала, что $k = n-1$. Тогда последняя операция состоит в
 перемножении скобки, в которой стоят $x_1,\dots,x_{n-1}$, на $x_n$. В