Initial commit
This commit is contained in:
commit
eb3a958324
14
.gitignore
vendored
Normal file
14
.gitignore
vendored
Normal file
@ -0,0 +1,14 @@
|
||||
*~
|
||||
.DS_Store
|
||||
*.aux
|
||||
*.fdb_latexmk
|
||||
*.fls
|
||||
*.log
|
||||
*.out
|
||||
*.pdf
|
||||
*.synctex.gz
|
||||
*.toc
|
||||
*.brf
|
||||
*.idx
|
||||
*.ind
|
||||
*.ilg
|
||||
161
algebra.tex
Normal file
161
algebra.tex
Normal file
@ -0,0 +1,161 @@
|
||||
\documentclass[12pt]{article}
|
||||
\usepackage[T2A]{fontenc}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage[russian]{babel}
|
||||
%\usepackage{amsfonts}
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
\usepackage{amsthm}
|
||||
\usepackage{ccfonts,eulervm,microtype}
|
||||
\renewcommand{\bfdefault}{sbc}
|
||||
|
||||
\usepackage[margin=0.7in,bmargin=1.2in]{geometry}
|
||||
\usepackage{multicol}
|
||||
|
||||
\usepackage{hyperref}
|
||||
|
||||
\usepackage{mathabx}
|
||||
|
||||
\usepackage{tikz-cd}
|
||||
\usepackage{tikz}
|
||||
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc}
|
||||
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
|
||||
\theoremstyle{plain}
|
||||
\newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection]
|
||||
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}
|
||||
\newtheorem{proposition}[theorem]{Предложение}
|
||||
\newtheorem{exercise}[theorem]{Упражнение}
|
||||
\newtheorem{corollary}[theorem]{Следствие}
|
||||
|
||||
\theoremstyle{remark}
|
||||
\newtheorem{example}[theorem]{Пример}
|
||||
\newtheorem{examples}[theorem]{Примеры}
|
||||
\newtheorem{remark}[theorem]{Замечание}
|
||||
|
||||
\theoremstyle{definition}
|
||||
\newtheorem{definition}[theorem]{Определение}
|
||||
|
||||
|
||||
\renewcommand{\emptyset}{\varnothing}
|
||||
\newcommand\mbZ{\mathbb Z}
|
||||
\newcommand\ph{\varphi}
|
||||
\newcommand\trleq{\trianglelefteq}
|
||||
\newcommand\isom{\cong}
|
||||
%\def\l{\lambda}
|
||||
%\def\m{\mu}
|
||||
\newcommand\la{\langle}
|
||||
\newcommand\ra{\rangle}
|
||||
\newcommand\mb{\mathbb}
|
||||
\newcommand\mc{\mathcal}
|
||||
\newcommand\divs{\,\lower.4ex\vdots\,}
|
||||
\newcommand\ol{\overline}
|
||||
\newcommand\eps{\varepsilon}
|
||||
|
||||
\DeclareMathOperator{\ev}{ev}
|
||||
\DeclareMathOperator{\id}{id}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Ree}{Re}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Img}{Im}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Arg}{Arg}
|
||||
\DeclareMathOperator{\End}{End}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
|
||||
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
|
||||
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
|
||||
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
|
||||
\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
|
||||
\DeclareMathOperator{\mmod}{mod}
|
||||
\DeclareMathOperator{\cchar}{char}
|
||||
|
||||
\DeclareMathOperator{\logn}{ln}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Logn}{Ln}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Frac}{Frac}
|
||||
|
||||
\DeclareMathOperator{\inv}{inv}
|
||||
\DeclareMathOperator{\adj}{adj}
|
||||
\DeclareMathOperator{\rk}{rk}
|
||||
\DeclareMathOperator{\pr}{pr}
|
||||
|
||||
\DeclareMathOperator{\pow}{pow}
|
||||
%\DeclareMathOperator{\deg}{deg}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix}
|
||||
|
||||
\DeclareMathOperator{\Map}{Map}
|
||||
\DeclareMathOperator{\const}{const}
|
||||
|
||||
|
||||
\newcommand\tld{\widetilde}
|
||||
\newcommand\rsa{\rightsquigarrow}
|
||||
\newcommand\mbC{\mathbb C}
|
||||
\newcommand\mbR{\mathbb R}
|
||||
|
||||
\newcommand\literature[1]{{\small{\sc Литература}: #1}}
|
||||
|
||||
\newcommand\dfn[1]{{\bf #1}}
|
||||
|
||||
\makeindex
|
||||
|
||||
%\includeonly{multilinear}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\title{Алгебра и теория чисел\footnote{Конспект
|
||||
лекций для механиков, 2014--2015 учебный год; предварительная
|
||||
версия}}
|
||||
\author{Александр Лузгарев}
|
||||
\date{}
|
||||
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
\tableofcontents
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
|
||||
В начале каждого подраздела указана вспомогательная
|
||||
литература. Обозначения:
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item {}[F] Д. К. Фаддеев, {\it Лекции по алгебре}, М.: Наука, 1984.
|
||||
\item {}[K1] А. И. Кострикин, {\it Введение в алгебру. Часть I. Основы
|
||||
алгебры}, 3-е изд. --- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
|
||||
\item {}[K2] А. И. Кострикин, {\it Введение в алгебру. Часть II. Линейная
|
||||
алгебра}, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000.
|
||||
\item {}[K3] А. И. Кострикин, {\it Введение в алгебру. Часть
|
||||
III. Основные структуры}, М.: ФИЗ\-МАТЛИТ, 2004.
|
||||
\item {}[vdW] Б. Л. ван дер Варден, {\it Алгебра}, М.: Мир, 1976.
|
||||
\item {}[Bog] О. В. Богопольский, {\it Введение в теорию групп},
|
||||
Москва--Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.
|
||||
\item {}[KM] А. И. Кострикин, Ю. И. Манин, {\it Линейная алгебра и
|
||||
геометрия}, М.: Наука, 1986.
|
||||
\item {}[V] И. М. Виноградов, {\it Основы теории чисел}, М., 1952.
|
||||
\item {}[B] А. А. Бухштаб, {\it Теория чисел}, М.: Просвещение, 1966.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
% И. М. Гельфанд, Лекции по линейной алгебре.
|
||||
% Халмош, Конечномерные векторные пространства.
|
||||
|
||||
|
||||
\vfill\eject
|
||||
|
||||
\include{set-theory}
|
||||
\include{number-theory}
|
||||
\include{complex-numbers}
|
||||
\include{polynomials}
|
||||
\include{linear-algebra}
|
||||
\include{vector-spaces}
|
||||
\include{linear-maps}
|
||||
\include{jordan-form}
|
||||
\include{euclidean-spaces}
|
||||
\include{group-theory}
|
||||
\include{multilinear}
|
||||
|
||||
\clearpage
|
||||
\addcontentsline{toc}{section}{\indexname}
|
||||
\input{algebra.ind}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
% группа углов как пример фактор-группы
|
||||
|
||||
|
||||
571
complex-numbers.tex
Normal file
571
complex-numbers.tex
Normal file
@ -0,0 +1,571 @@
|
||||
\section{Комплексные числа}
|
||||
|
||||
\subsection{Определение комплексных чисел}
|
||||
|
||||
\literature{[F], гл. II, \S~1, пп. 1--5; [K1], гл. 5, \S~1, пп. 1--2.}
|
||||
|
||||
Комплексные числа представляют собой расширение поля вещественных
|
||||
чисел, обладающее гораздо более приятными алгебраическими
|
||||
свойствами. Наш подход к определению комплексных чисел
|
||||
аксиоматический~--- мы сначала описываем некоторое множество с
|
||||
операциями, которое оказывается полем, а потом показываем, что оно
|
||||
содержит вещественные числа и задумываемся о мотивации.
|
||||
|
||||
\begin{definition}\label{def_complex}
|
||||
Рассмотрим множество $\mb R\times\mb R$ пар вещественных чисел.
|
||||
Введем на нем операции сложения и умножения:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
&(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),\\
|
||||
&(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc).
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}\label{complex_ring}
|
||||
Множество с операциями, определенное в~\ref{def_complex}, является
|
||||
ассоциативным коммутативным кольцом с единицей.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Необходимо проверить восемь аксиом из определения~\ref{def:ring}.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=((a+c)+e,(b+d)+f)$,
|
||||
$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a,b)+(c+e,d+f)=(a+(b+c),d+(e+f))$. Полученные
|
||||
выражения равны, поскольку сложение вещественных чисел ассоциативно.
|
||||
\item Нейтральным элементом по сложению является пара
|
||||
$(0,0)$. Действительно, $(a,b)+(0,0)=(a+0,b+0)=(a,b)$, и по
|
||||
коммутативности сложения (аксиома 4) то же верно, если складывать в
|
||||
другом порядке.
|
||||
\item Противоположным элементом к паре $(a,b)$ является пара
|
||||
$(-a,-b)$. Действительно, $(a,b)+(-a,-b)=(a+(-a),b+(-b))=(0,0)$.
|
||||
\item $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(c+a,d+b)=(c,a)+(d,b)$.
|
||||
\item $((a,b)\cdot(c,d))\cdot(e,f)=(ac-bd,ad+bc)\cdot(e,f)
|
||||
=((ac-bd)e-(ad+bc)f,(ac-bd)f+(ad+bc)e)$. С другой стороны,
|
||||
$(a,b)\cdot((c,d)\cdot(e,f))=(a,b)\cdot(ce-df,cf+de)
|
||||
=(a(ce-df)-b(cf+de),a(cf+de)+b(ce-df))$. Раскрытие скобок
|
||||
показывает, что полученные выражения равны.
|
||||
\item Нейтральным элементом по умножению является пара
|
||||
$(1,0)$. Действительно, $(a,b)\cdot(1,0)=(a\cdot-b\cdot 0,a\cdot
|
||||
0+b\cdot 1=(a,b)$, и этого достаточно в силу коммутативности
|
||||
умножения (аксиома 7).
|
||||
\item $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ и $(c,d)\cdot
|
||||
(a,b)=(ca-db,cb+da)$.
|
||||
\item $(a,b)\cdot ((c,d)+(e,f))=(a,b)\cdot
|
||||
(c+e,d+f)=(a(c+e)-b(d+f),a(d+f)-b(c+e))$. С другой стороны,
|
||||
$(a,b)\cdot (c,d) + (a,b)\cdot (e,f)=(ac-bd,ad+bc)+(ae-bf,af+be)
|
||||
=(ac-bd+ae-bf,ad+bc+af+be)$. Раскрытие скобок показывает, что
|
||||
полученные выражения равны; и этого достаточно в силу
|
||||
коммутативности умножения (аксиома 7).
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Множество таких пар вещественных чисел с определенными
|
||||
в~\ref{def_complex} операциями
|
||||
обозначается через $\mb C$; его элементы называются \dfn{комплексными
|
||||
числами}\index{комплексное число}.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Множество вещественных чисел можно считать
|
||||
подмножеством множества комплексных чисел: число $a\in\mb R$ можно
|
||||
рассматривать как комплексное число $(a,0)$. При этом введенные нами
|
||||
операции на парах превращаются в обычные операции над комплексными
|
||||
числами: действительно, $(a,0)+(b,0)=(a+b,0)$ и $(a,0)\cdot
|
||||
(b,0)=(ab,0)$; единица $(1,0)$ и нуль $(0,0)$ в множестве комплексных
|
||||
чисел являются вещественными числами $1$ и $0$. Заметим также, что
|
||||
$a\cdot (c,d)=(a,0)\cdot (c,d)=(ac,ad)$.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Пусть $z=(a,b)$~--- комплексное число; запишем
|
||||
$z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=a+b\cdot(0,1)$. Комплексное число $(0,1)$
|
||||
обозначается через $i$ и называется \dfn{мнимой единицей}\index{мнимая
|
||||
единица}; основанием
|
||||
этому служит тому, что $i^2=-1$. Запись
|
||||
$z=a+bi$ называется \dfn{алгебраической формой записи комплексного
|
||||
числа}\index{комплексное число!алгебраическая форма записи},
|
||||
вещественные числа $a$ и $b$~--- \dfn{вещественной
|
||||
частью}\index{вещественная часть} и
|
||||
\dfn{мнимой частью}\index{мнимая часть} комплексного числа $z$
|
||||
соответственно. Обозначения: $a=\Ree(z)$, $b=\Img(z)$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Теперь мы можем забыть про интерпретацию комплексного числа как пары
|
||||
вещественных чисел и считать, что комплексное число~--- это выражение
|
||||
вида $a+bi$ с вещественными $a,b$. При этом введенные нами
|
||||
в~\ref{def_complex} операцию переписываются в алгебраической форме
|
||||
следующим образом:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
(a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i,\\
|
||||
(a+bi)\cdot (c+di)&=(ac-bd)+(ad+bc)i.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Иными словами, комплексные числа~--- это выражения вида $a+bi$,
|
||||
которые складываются и перемножаются согласно обычным правилам
|
||||
обращения с числами с учетом равенства $i^2=-1$.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\subsection{Комплексное сопряжение и модуль}
|
||||
|
||||
\literature{[F], гл. II, \S~1, пп. 3--5, \S~2, пп. 1--4; [K1], гл. 5, \S~1, п. 3.}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Сопоставим комплексному числу $z=a+bi$ комплексное число
|
||||
$\overline{z}=a-bi$. Полученное отображение $\mb C\to\mb C$ называется
|
||||
\dfn{сопряжением}\index{сопряжение}, а число $\overline{z}$~--- \dfn{сопряженным} к
|
||||
числу $z$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}[Свойства сопряжения]
|
||||
Для любых комплексных чисел $z,w\in\mb C$ выполняются следующие свойства:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$;
|
||||
\item $\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot\overline{w}$;
|
||||
\item $\overline{\overline{z}}=z$;
|
||||
\item $z=\overline{z}$ тогда и только тогда, когда $z\in\mb R$;
|
||||
\item $\overline{z}\cdot z=z\cdot\overline{z}$~--- неотрицательное
|
||||
вещественное число; оно равно нулю тогда и только тогда, когда
|
||||
$z=0$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Пусть $z=a+bi$, $w=c+di$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\ol{(a+bi)+(c+di)}=\ol{(a+c)+(b+d)i}=(a+c)-(b+d)i$,
|
||||
$\ol{a+bi}+\ol{c+di}=(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+d)i$.
|
||||
\item $\ol{(a+bi)(c+di)}=\ol{(ac-bd)+(ad+bc)i}=(ac-bd)-(ad+bc)i$,
|
||||
$\ol{a+bi}\cdot\ol{c+di}=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i$.
|
||||
\item $\ol{\ol{z}}=\ol{a-bi}=a+bi$.
|
||||
\item Если $z\in\mb R$, то $z=a+0i$ и $\ol{z}=a-0i=z$. Обратно, если
|
||||
$a+bi=a-bi$, то $b=-b$, откуда $b=0$ и $z=a\in\mb R$.
|
||||
\item $z\cdot\ol{z}=(a+bi)(a-bi)=(a^2+b^2)+(-ab+ba)i=a^2+b^2\geq 0$, и
|
||||
$a^2+b^2=0$ тогда и только тогда, когда $a=b=0$, то есть, когда $z=0$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition}\label{dfn:absolute_value_complex}
|
||||
Поскольку $z\cdot\overline{z}$~--- неотрицательное вещественное число,
|
||||
из него можно извлечь (также неотрицательный) квадратный корень. Этот
|
||||
корень называется \dfn{модулем}\index{модуль} комплексного числа $z$ и
|
||||
обозначается
|
||||
через $|z|$; таким образом, $z\cdot\overline{z}=|z|^2$. Если
|
||||
$z=a+bi$~--- алгебраическая форма записи комплексного числа, то
|
||||
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
Множество $\mb C$ комплексных чисел является полем.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
После доказательства теоремы~\ref{complex_ring} остается проверить
|
||||
наличие обратного по умножению у каждого ненулевого элемента. Пусть
|
||||
$z\in\mb C$, $z\neq 0$. Тогда $|z|\neq 0$. Рассмотрим число
|
||||
$z'=\frac{1}{|z|^2}\overline{z}$; легко видеть, что $z\cdot z'=z'\cdot
|
||||
z=1$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Таким образом, в множестве комплексных чисел можно делить на ненулевые
|
||||
элементы: $z/w=zw^{-1}$. Также определена операция возведения в целую
|
||||
степень: если $n>0$, то $z^n=\underbrace{z\cdot\dots\cdot z}_{n}$,
|
||||
если $n<0$ (и $z\neq 0$), то $z^n=\underbrace{z^{-1}\cdot\dots\cdot z^{-1}}_{-n}$,
|
||||
если же $n=0$, то $z^0=1$. Нетрудно видеть, что эта операция
|
||||
удовлетворяет обычным свойствам возведения в степень, типа
|
||||
$z^{m+n}=z^m\cdot z^n$ и $(zw)^n=z^nw^n$.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}[Свойства модуля комплексных
|
||||
чисел]\label{prop_abs_properties}
|
||||
\hspace{1em}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $|z|\cdot |w|=|z\cdot w|$;
|
||||
\item если $w\neq 0$, то $|z|/|w|=|z/w|$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $|zw|=\sqrt{(zw)(\ol{zw})}
|
||||
=\sqrt{z\cdot w\cdot\ol{z}\cdot\ol{w}}
|
||||
=\sqrt{z\ol{z}\cdot w\ol{w}}=\sqrt{z\ol{z}}\sqrt{w\ol{w}}
|
||||
=|z|\cdot|w|$.
|
||||
\item Домножая на $|w|$, получаем, что нужно доказать $|z|=|z/w|\cdot
|
||||
|w|$, что следует из первой части.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Комплексные числа удобно изображать в виде точек плоскости. Рассмотрим
|
||||
декартову систему координат на плоскости и сопоставим комплексному
|
||||
числу $a+bi$ вектор с координатами $(a,b)$ (то есть, радиус-вектор
|
||||
точки $(a,b)$). Сложение векторов (как и комплексных чисел) происходит
|
||||
покоординатно, поэтому сумма векторов изображает сумму комплексных
|
||||
чисел. Модуль комплексного числа в силу теоремы Пифагора равен длине
|
||||
соответствующего вектора.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}[Неравенство треугольника]
|
||||
Для любых комплексных чисел $z_1,z_2,z_3$ выполнено неравенство
|
||||
$|z_1-z_2|+|z_2-z_3|\geq |z_3-z_1|$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Обозначим $z=z_1-z_2$, $w=z_2-z_3$; нужно доказать, что $|z|+|w|\geq
|
||||
|z+w|$. Заметим, что если $z+w=0$, неравенство очевидно.
|
||||
Запишем $1=\frac{z}{z+w}+\frac{w}{z+w}$. Согласно правилу сложения
|
||||
комплексных чисел,
|
||||
$\Ree{1}=\Ree(\frac{z}{z+w})+\Ree(\frac{w}{z+w})$. Заметим, что
|
||||
$\Ree(z)\leq |z|$ для любого комплексного числа $z$, поэтому
|
||||
$\Ree{1}\leq |\frac{z}{z+w}|+|\frac{w}{z+w}|$. Домножая на
|
||||
знаменатель, получаем необходимое неравенство.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
% 29.10.2014
|
||||
|
||||
\subsection{Тригонометрическая форма записи комплексного числа}
|
||||
|
||||
\literature{[F], гл. II, \S~2, пп. 1--6; [K1], гл. 5, \S~1, п. 4.}
|
||||
|
||||
\begin{definition}\label{dfn:trigonometric_form}
|
||||
Пусть $z=a+bi\in\mb C$~--- ненулевое комплексное число. Обозначим
|
||||
через $r=\sqrt{a^2+b^2}$ модуль числа $z$. Вещественные
|
||||
числа $a/r$ и
|
||||
$b/r$ таковы, что сумма их квадратов равна $1$. Поэтому
|
||||
найдется такой угол $\ph$, что $a/r=\cos(\ph)$,
|
||||
$b/r=\sin(\ph)$. Такой угол $\ph$ называется
|
||||
\dfn{аргументом}\index{аргумент}
|
||||
комплексного числа $z$. Заметим, что при этом
|
||||
$$
|
||||
z=|z|\cdot z/|z|=|z|(\frac{a}{r}+\frac{b}{r}i)=|z|(\cos(\ph)+i\sin(\ph)).
|
||||
$$
|
||||
Выражение $z=r(\cos(\ph)+i\sin(\ph))$ называется
|
||||
\dfn{тригонометрической формой записи комплексного
|
||||
числа}\index{комплексное число!тригонометрическая
|
||||
форма}. Обозначение: $\ph=\arg(z)$. Как обычно,
|
||||
можно считать, что аргумент (как и любой угол) записывается
|
||||
вещественным числом с точностью до $2\pi k$, $k\in\mb Z$. Если выбрать
|
||||
представитель в полуинтервале $[0,2\pi)$, получим то, что называется
|
||||
\dfn{главным значением аргумента}\index{аргумент!главное значение}, оно обозначается через $\Arg(z)$
|
||||
Обратно, по
|
||||
модулю $r$ и аргументу $\ph$ комплексное число $z$ однозначно
|
||||
восстанавливается: $z=a+bi$, $a=r\cos(\ph)$, $b=r\sin(\ph)$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
{\small
|
||||
Обратите внимание на необходимость осторожного обращения с понятием
|
||||
угол. Аргумент комплексного числа $z$, вообще говоря, является не
|
||||
вещественным числом, а углом (позднее мы придадим этому точный смысл:
|
||||
$\arg(z)$~--- элемент {\it группы углов},
|
||||
см.~пример~\ref{examples:group}(\ref{item:group_of_angles})). Этот угол можно
|
||||
записать вещественным числом, но не однозначным образом: некоторые
|
||||
вещественные числа записывают одинаковые углы. Например, числа $0$,
|
||||
$2\pi$, $-2\pi$, $4\pi$, $-4\pi$,\dots ~--- это разные формы записи
|
||||
одного и того же угла. При этом два вещественных числа $\alpha$ и
|
||||
$\beta$ записывают один и тот же угол если и только если они
|
||||
отличаются на целое кратное $2\pi$: $\alpha-\beta = 2\pi k$ для
|
||||
некоторого $k\in\mb Z$. Это похоже на делимость целых чисел: $\alpha$
|
||||
и $\beta$ задают один угол, если их разность <<делится>> на
|
||||
$2\pi$. Это наводит на мысль, что углы~--- это классы эквивалентности
|
||||
по описанному отношению <<сравнимости по модулю $2\pi$>>.
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}[Единственность тригонометрической формы записи]\label{prop_trig_unique}
|
||||
Пусть $r,r'$~--- положительные вещественные числа, $\ph,\ph'$~---
|
||||
углы, $z=r(\cos(\ph)+i\sin(\ph))$, $z'=r'(\cos(\ph')+i\sin(\ph'))$
|
||||
Равенство комплексных чисел
|
||||
$z=z'$ выполнено тогда и
|
||||
только тогда, когда $r=r'$ и $\ph=\ph'$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Модуль комплексного числа $z$ равен
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\sqrt{(r\cos(\ph))^2+(r\sin(\ph))^2}&=\sqrt{(r^2((\cos(\ph))^2+(\sin(\ph))^2))}\\
|
||||
&=r;
|
||||
\end{align*}
|
||||
аналогично, модуль комплексного числа $z'$ равен $r'$. Если $z=z'$, то
|
||||
$r=r'$, откуда $z/r=z'/r'$. Значит,
|
||||
$\cos(\ph)+i\sin(\ph)=\cos(\ph')+i\sin(\ph')$, откуда
|
||||
$\cos(\ph)=\cos(\ph')$ и $\sin(\ph)=\sin(\ph')$. Но если у двух углов
|
||||
совпадают синусы и совпадают косинусы, то они равны. Поэтому и
|
||||
$\ph=\ph'$.
|
||||
Обратно, если $r=r'$ и $\ph=\ph'$, то очевидно, что $z=z'$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Таким образом, $z$ можно задавать не парой вещественных чисел, а парой
|
||||
$(|z|,\arg(z))$, состоящей из положительного вещественного числа и
|
||||
угла. Единственное исключение~--- случай $z=0$: у нуля модуль равен
|
||||
нулю, а аргумент вообще не определен. Чем полезно такое задание? В
|
||||
алгебраической форме записи комплексные числа легко складывать:
|
||||
вещественные части складываются и мнимые части
|
||||
складываются. Оказывается, в тригонометрической форме записи
|
||||
комплексные числа легко перемножать.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}\label{thm_complex_mult}
|
||||
При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а
|
||||
аргументы складываются. Иными словами, если $z,w\in\mb C^*$, то
|
||||
$|zw|=|z|\cdot |w|$ и $\arg(zw)=\arg(z)+\arg(w)$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Первое утверждение было доказано в
|
||||
предложении~\ref{prop_abs_properties}. Обозначим $\ph=\arg(z)$,
|
||||
$\psi=\arg(w)$. Заметим, что
|
||||
\begin{align*}
|
||||
zw&=|z|(\cos(\ph)+i\sin(\ph))|w|(\cos(\psi)+i\sin(\psi))\\
|
||||
&=|z|\cdot |w|(\cos(\ph)\cos(\psi)-\sin(\ph)\sin(\psi)+i(\cos(\ph)\sin(\psi)+\sin(\ph)\cos(\ph)))\\
|
||||
&=|z|\cdot |w|(\cos(\ph+\psi)+i\sin(\ph+\psi)).
|
||||
\end{align*}
|
||||
С другой стороны, $zw=|zw|\cdot (\cos(\arg(zw))+i\sin(\arg(zw)))$.
|
||||
По предложению~\ref{prop_trig_unique} из этого следует, что
|
||||
$|zw|=|z|\cdot |w|$ (что мы знали и раньше) и
|
||||
$\arg(zw)=\ph+\psi=\arg(z)+\arg(w)$, что и требовалось.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}\label{cor_complex_inverse}
|
||||
Для любого ненулевого комплексного числа $z=r(\cos(\ph)+i\sin(\ph))$ имеем
|
||||
$z^{-1}=r^{-1}(\cos(-\ph)+i\sin(-\ph))$.
|
||||
\end{corollary}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}
|
||||
При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
|
||||
\end{corollary}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}[Формула де Муавра]\label{thm_de_moivre}
|
||||
Для любого ненулевого комплексного числа $z=r(\cos(\ph)+i\sin(\ph))$
|
||||
и любого целого $n$ имеет место равенство $z^n=r^n(\cos(n\ph)+i\sin(n\ph))$.
|
||||
\end{corollary}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Для $n=0$ равенство очевидно; для $n>0$ следует из
|
||||
теоремы~\ref{thm_complex_mult} по индукции, а случай отрицательного
|
||||
$n$ сводится к случаю положительного при помощи равенства
|
||||
$z^n=(z^{-1})^{-n}$ и следствия~\ref{cor_complex_inverse}.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{Корни из комплексных чисел}
|
||||
|
||||
\literature{[F], гл. II, \S~3, пп. 1--2; [K1], гл. 5, \S~1, п. 4.}
|
||||
|
||||
Пусть $n$~--- положительное натуральное число, $w\in\mb C$. Посмотрим
|
||||
на решения уравнения $z^n=w$. Во-первых, заметим, что если $w=0$, то
|
||||
и $z=0$ (иначе из равенства $z^n=0$ делением на $z^n$ получаем
|
||||
$1=0$). Пусть теперь $w\neq 0$. Запишем $w$ и $z$ в тригонометрической
|
||||
форме: $w=r(\cos(\ph)+i\sin(\ph))$,
|
||||
$z=|z|\cdot(\cos(\arg(z))+i\sin(\arg(z)))$.
|
||||
По формуле де Муавра (\ref{thm_de_moivre})
|
||||
$z^n=|z|^n\cdot(\cos(n\arg(z))+i\sin(n\arg(z)))$. Приравнивая $z^n$ к
|
||||
$w$ и пользуясь единственностью тригонометрической записи
|
||||
(\ref{prop_trig_unique}), получаем, что $|z|^n=r$ и
|
||||
$n\arg(z)=\ph$. Отсюда следует, что $|z|=r^{1/n}$. Кроме того,
|
||||
равенство углов $n\arg(z)=\ph$ означает равенство $n\psi=\ph+2\pi k$,
|
||||
где $\psi$~--- некоторый числовой представитель угла $\arg(z)$, а
|
||||
$k$~--- целое число.
|
||||
Значит, $\psi=(\ph+2\pi k)/n$.
|
||||
|
||||
\begin{theorem}\label{thm_roots_of_complex_number}
|
||||
Пусть $w=r(\cos(\ph)+i\sin(\ph))\in\mb C^*$, $n$~--- положительное натуральное
|
||||
число. Существует ровно $n$ комплексных чисел $z$ таких, что $z^n=w$;
|
||||
можно записать их так:
|
||||
$$
|
||||
z=r^{1/n}\left(\cos\left(\frac{\ph+2\pi k}{n}\right) +
|
||||
i\sin\left(\frac{\ph+2\pi k}{n}\right)\right),
|
||||
$$
|
||||
где $k=0,1,\dots,n-1$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Выше мы проверили, что решения уравнения $z^n=w$ имеют вид
|
||||
$$
|
||||
z_k=r^{1/n}\left(\cos\left(\frac{\ph+2\pi k}{n}\right) +
|
||||
i\sin\left(\frac{\ph+2\pi k}{n}\right)\right).
|
||||
$$
|
||||
Осталось разобраться с их количеством и устранить неоднозначность:
|
||||
дело в том, что при различных целых $k$ эта формула часто дает
|
||||
одинаковые значения $z$. А именно, $z_k=z_l$ тогда и только тогда,
|
||||
когда углы $(\ph+2\pi k)/n$ и $(\ph+2\pi l)/n$ совпадают. А это
|
||||
происходит тогда, когда их числовые значения отличаются на целое
|
||||
кратное $2\pi$: $(\ph+2\pi k)/n=(\ph+2\pi l)/n+2\pi t$, откуда
|
||||
$\ph+2\pi k=\ph+2\pi l+2\pi tn$ и $k-l=tn$, то есть, $k\equiv
|
||||
l\pmod{n}$. Значит различных значений $z$ столько же, сколько классов
|
||||
вычетов по модулю $n$, и можно выбрать $z_k$, соответствующие
|
||||
различным представителям $k$ этих классов вычетов
|
||||
(см.~\ref{rem_cong_representatives}), например, $k=0,1,\dots,n-1$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{Корни из единицы}
|
||||
|
||||
\literature{[F], гл. II, \S~4, пп. 1--4.}
|
||||
|
||||
Пусть $n$~--- положительное натуральное число. Посмотрим на решения
|
||||
уравнения $z^n=1$ в комплексных числах.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Пусть $n\in\mb N$, $n\geq 1$. Комплексное число $z\in\mb C$ называется
|
||||
\dfn{корнем $n$-ой степени из $1$}\index{корень!степени $n$}, если $z^n=1$. Множество всех корней
|
||||
степени $n$ из $1$ обозначается через $\mu_n$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}[Свойства корней $n$-ой степени из 1]
|
||||
Для каждого натурального $n\geq 1$ существуют ровно $n$ корней степени $n$
|
||||
из $1$; это числа
|
||||
$\eps_0^{(n)},\eps_1^{(n)},\dots,\eps_{n-1}^{(n)}$, где
|
||||
$$
|
||||
\eps_k^{(n)}=\cos(\frac{2\pi k}{n})+i\sin(\frac{2\pi k}{n}).
|
||||
$$
|
||||
При этом произведение двух корней степени $n$ из $1$ является корнем
|
||||
степени $n$ из $1$; обратный к корню степени $n$ из $1$ является
|
||||
корнем степени $n$ из $1$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Формула для $\eps_k^{(n)}$ немедленно следует из
|
||||
теоремы~\ref{thm_roots_of_complex_number} (с учетом того, что $|1|=1$
|
||||
и $\arg(1)=0$.
|
||||
Если $z,w\in\mu_n$, то $z^n=1$,
|
||||
$w^n=1$, откуда $(zw)^n=z^n\cdot w^n=1$, поэтому и $zw\in\mu_n$. Кроме
|
||||
того, $(z^{-1})^n=(z^n)^{-1}=1$, поэтому и $z^{-1}\in\mu_n$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{remark}[Геометрическая интерпретация корней из единицы]\label{rem:roots_of_unity_geometry}
|
||||
Из формулы для $\eps_k^{(n)}$ видно, что модули всех корней степени
|
||||
$n$ из $1$ равны единице, а аргументы равны
|
||||
$0,2\pi/n,4\pi/n,\dots,2(n-1)\pi/n$, то есть, образуют арифметическую
|
||||
прогрессию с разностью $2\pi/n$. Значит, на комплексной плоскости
|
||||
точки $\eps_k^{(n)}$ лежат на окружности с центром в $0$ и радиусом 1,
|
||||
и углы $\angle AOB$ для двух соседних точек $A$, $B$, равны
|
||||
$2\pi/n$. Из этого следует, что точки $\eps_k^{(n)}$ лежат в вершинах
|
||||
правильного $n$-угольника с центром в $0$. Кроме того, так как
|
||||
$\eps_0^{(n)}=1$, число $1$ является одной из вершин этого $n$-угольника.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Вернемся к уравнению $z^n=w$ для комплексного числа $w\neq 0$. Пусть
|
||||
$z_0$~--- некоторое решение этого уравнения; тогда $z_0^n=w$ и,
|
||||
разделив первоначальное уравнение на это равенство, получаем
|
||||
$z^n/z_0^n=w/w=1$, откуда $(z/z_0)^n=1$, то есть, $z/z_0$ является
|
||||
корнем степени $n$ из $1$. Поэтому $z/z_0=\eps_k^{(n)}$ для некоторого
|
||||
$k$, и $z=z_0\eps_k^{(n)}$. Таким образом, любое решение уравнения
|
||||
$z^n=w$ отличается от некоторого фиксированного решения $z_0$
|
||||
домножением на корень степени $n$ из $1$.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Корень $n$-ой степени из $1$ называется
|
||||
\dfn{первообразным}\index{корень!первообразный}, если он
|
||||
не является корнем из $1$ никакой меньшей, чем $n$, степени. Иными
|
||||
словами, $z$ называется первообразным корнем степени $n$ из $1$, если
|
||||
$z^n=1$ и $z^m\neq 1$ при $0<m<n$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Заметим, что $\eps_1^{(n)}=\cos(2\pi/n)+i\sin(2\pi/n)$ является
|
||||
первообразным корнем степени $n$ из $1$. Действительно, если
|
||||
$(\cos(2\pi/n)+i\sin(2\pi/n))^m=1$ для некоторого $0<m<n$, то
|
||||
по формуле Муавра $\cos(2\pi m/n)+i\sin(2\pi m/n)=1$, откуда $2\pi
|
||||
m/n=2\pi k$ для некоторого целого $k$. Получаем $m=kn$, то есть, $m$
|
||||
делится на $n$, что невозможно.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
Пусть $\eps$~--- корень степени $n$ из $1$. Равносильны:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\eps$~--- первообразный корень;
|
||||
\item все числа $1=\eps^0, \eps^1, \eps^2,\dots,\eps^{n-1}$ различны.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
$(2)\Leftrightarrow (1)$: если $\eps^m=1$ для некоторого $0<m<n$, то
|
||||
среди указанных чисел есть совпадающие.
|
||||
$(1)\Leftrightarrow (2)$: если $\eps^k=\eps^m$ для некоторых $k,m$, то
|
||||
можно считать, что $k>m$; тогда $\eps^k/\eps^m=\eps^{k-m}=1$. Из
|
||||
определения первообразного корня следует, что $k=m$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
% 05.11.2014
|
||||
|
||||
\begin{proposition}\label{prop_primitive_root_criteria}
|
||||
Пусть $n\geq 1$~--- натуральное число, $0\geq k\geq n-1$.
|
||||
Корень $\eps_k^{(n)}$ степени $n$ из $1$ является первообразным тогда
|
||||
и только тогда, когда $\gcd(k,n)=1$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Обозначим $\eps=\eps_1^{(n)}$. Нетрудно видеть, что $\eps_k^{(n)}=\eps^k$.
|
||||
Если $\gcd(k,n)=d>1$, то
|
||||
$(\eps_k^{(n)})^{n/d}=(\eps^k)^{n/d}=\eps^{kn/d}=(\eps^n)^{k/d}=1^{k/d}=1$
|
||||
(здесь важно, что $k/d$~--- целое число). Это значит, что
|
||||
$\eps_k^{(n)}$ является корнем степени $n/d$ из $1$, и, поскольку $n/d<n$, не
|
||||
является первообразным корнем степени $n$ из $1$.
|
||||
|
||||
Обратно, если $\gcd(k,n)=1$, покажем, что $\eps_k^{(n)}=\eps^k$~---
|
||||
первообразный корень степени $n$ из $1$.
|
||||
Действительно, предположим,
|
||||
что $(\eps^k)^m=\eps^{km}=1$, где $0<m<n$. Но
|
||||
$\eps^{km}=(\cos(2\pi/n)+i\sin(2\pi/n))^{km}= (\cos(2\pi
|
||||
km/n)+i\sin(2\pi km/n))=1$, откуда $2\pi km/n=2\pi t$ для некоторого
|
||||
целого $t$. Это означает, что $km=nt$, то есть, $n\divides km$. Но
|
||||
$k$ и $n$ взаимно просты; по свойству~\ref{coprime_prop3} взаимной
|
||||
простоты (\ref{prop_properties_of_coprime}) теперь
|
||||
$n\divides m$~--- противоречие с предположением $0<m<n$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}
|
||||
Количество первообразных корней степени $n$ из $1$ равно $\ph(n)$.
|
||||
\end{corollary}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Следует из предложения~\ref{prop_primitive_root_criteria} и
|
||||
определения функции Эйлера (\ref{def_euler_function}).
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{Экспоненциальная форма записи комплексного числа}
|
||||
|
||||
\literature{[F], гл. II, \S~5, пп. 1--3.}
|
||||
|
||||
Мы видели, что аргумент комплексного числа ведет себя подобно
|
||||
логарифму: аргумент произведения равен сумме аргументов. Это
|
||||
оправдывает следующее определение.
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Пусть $z=a+bi$~--- комплексное число. Положим
|
||||
$e^z=e^a(\cos(b)+i\sin(b))$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
Заметим, что основное свойство экспоненты выполняется при таком
|
||||
определении.
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
$e^{z_1+z_2}=e^{z_1}\cdot e^{z_2}$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Пусть $z_1=a_1+b_1i$, $z_2=a_2+b_2i$, тогда
|
||||
$z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$ и
|
||||
\begin{align*}
|
||||
e^{z_1}\cdot e^{z_2} &=
|
||||
e^{a_1}(\cos(b_1)+i\sin(b_1)e^{a_2}(\cos(b_2)+i\sin(b_2))\\
|
||||
&=e^{a_1+a_2}(\cos(b_1+b_2)+i\sin(b_1+b_2)\\
|
||||
&=e^{z_1+z_2}.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
При этом $e^{i\ph}=\cos(\ph)+i\sin(\ph)$; в частности, $e^{i\pi}=-1$.
|
||||
Теперь для любого ненулевого комплексного числа
|
||||
$z=r(\cos(\ph)+i\sin(\ph))$ можно записать
|
||||
$z=re^{i\ph}=e^{\logn(r)+i\ph}$. Эта запись называется
|
||||
\dfn{экспоненциальной формой записи комплексного
|
||||
числа}\index{комплексное число!экспоненциальная форма}.
|
||||
|
||||
Попытаемся теперь определить обратную функцию~--- логарифм. Основное
|
||||
свойство логарифма должно сохраниться: логарифм должен быть обратной
|
||||
функцией к экспоненте. Заметим, что экспонента переводит сумму в
|
||||
произведение: $e^{a+b} = e^a\cdot e^b$. Поэтому логарифм должен
|
||||
переводить произведение в сумму: $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$.
|
||||
Таким образом, если определить логарифм вообще возможно,
|
||||
то для комплексного числа
|
||||
$z=r(\cos(\ph)+i\sin(\ph)) = r\cdot e^{i\ph}$ должно
|
||||
выполняться $\logn(z)=\logn(r)+\logn(e^{i\ph})=\logn(r)+i\ph$.
|
||||
Проблема состоит в том, что аргумент $\ph$ комплексного числа $z$
|
||||
определен не вполне однозначно, а с точностью до прибавления целого
|
||||
кратного числа $2\pi$. Поэтому и логарифм должен быть определен не
|
||||
однозначно, а с точностью до целого кратного числа $2\pi i$.
|
||||
Часто через $\Logn(z)$ обозначают все множество значений, то есть,
|
||||
$\Logn(r(\cos(\ph)+i\sin(\ph)))=\{\logn(r)+i\ph+2\pi i k\mid k\in\mb Z\}$.
|
||||
Под записью $\logn(z)$ мы будем понимать {\it какое-нибудь} значение
|
||||
логарифма, то есть, какой-то элемент множества $\Logn(z)$. При этом из
|
||||
основного свойства экспоненты немедленно следует основное свойство
|
||||
логарифма: $\logn(z_1z_2)=\logn(z_1)+\logn(z_2)$. Понимать это равенство,
|
||||
конечно, следует с точностью до слагаемого вида $2\pi ik$; например,
|
||||
$\logn(1)=0$ и $\logn(-1)=\pi i$, но в то же время
|
||||
$\logn(1)=\logn((-1)\cdot(-1))=\logn(-1)+\logn(-1)
|
||||
=\pi i+\pi i = 2\pi i$.
|
||||
2135
euclidean-spaces.tex
Normal file
2135
euclidean-spaces.tex
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
1421
group-theory.tex
Normal file
1421
group-theory.tex
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
1934
jordan-form.tex
Normal file
1934
jordan-form.tex
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
1940
linear-algebra.tex
Normal file
1940
linear-algebra.tex
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
1564
linear-maps.tex
Normal file
1564
linear-maps.tex
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
1122
multilinear.tex
Normal file
1122
multilinear.tex
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
1298
number-theory.tex
Normal file
1298
number-theory.tex
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
1483
polynomials.tex
Normal file
1483
polynomials.tex
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
828
set-theory.tex
Normal file
828
set-theory.tex
Normal file
@ -0,0 +1,828 @@
|
||||
|
||||
\section{Наивная теория множеств}
|
||||
|
||||
\subsection{Множества}
|
||||
|
||||
\literature{[K1], гл. 1, \S~5, п. 1; [vdW], гл. 1, \S~1.}
|
||||
|
||||
Мы не будем давать точных определений основным понятиям теории
|
||||
множеств, этим занимается аксиоматическая теория множеств. Наш подход
|
||||
к теории множеств совершенно наивен; под множеством мы будем понимать
|
||||
некоторый {\it набор} ({\it совокупность}, {\it семейство})
|
||||
объектов~--- {\it элементов}. Природа этих объектов для нас не очень
|
||||
важна: это могут
|
||||
быть, скажем, натуральные числа, а могут быть другие
|
||||
множества. Множество полностью определяется своими элементами. Иными
|
||||
словами, два множества $A$ и $B$ равны тогда и только тогда, когда они
|
||||
состоят из одних и тех же элементов: $x\in A$ тогда и только тогда,
|
||||
когда $x\in B$.
|
||||
|
||||
Как задать множество? Самый простой способ~--- перечислить его
|
||||
элементы следующим образом: $A=\{1,2,3\}$.
|
||||
Сразу отметим, что каждый
|
||||
объект $x$ может либо являться элементом данного множества $A$ (это
|
||||
записывается так: $x\in A$), либо не
|
||||
являться его элементом ($x\not\in A$); он не может быть элементом
|
||||
множества $A$ <<два раза>>. Поэтому запись $\{1,2,1,3,3,2\}$ задает то
|
||||
же самое множество, что и запись $\{1,2,3\}$, и запись $\{2,3,1\}$.
|
||||
|
||||
Прямое перечисление может задать только конечное множество. Для
|
||||
задания бесконечных множеств можно использовать неформальную запись с
|
||||
многоточием, например, $\mb N=\{0,1,2,3,\dots\}$~--- множество натуральных
|
||||
чисел.
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Мы будем считать, что $0$ является натуральным числом.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
В такой записи с многоточием мы предполагаем, что читатель понимает,
|
||||
какие именно элементы имеются в виду. Многоточие может стоять и
|
||||
справа, и слева: например, запись $\{\dots,-4,-2,0,2,4,\dots\}$ призвана
|
||||
обозначать множество четных чисел.
|
||||
|
||||
Мы предполагаем также, что нам известны такие множества, изучающиеся в
|
||||
школе, как множество вещественных чисел $\mb R$, множество
|
||||
рациональных чисел $\mb Q$, множество целых чисел $\mb Z$.
|
||||
|
||||
Очень важный пример множества~--- пустое множество $\emptyset$. Это
|
||||
такое множество, что высказывание $x\in\emptyset$ ложно для любого
|
||||
объекта $x$.
|
||||
|
||||
Чуть более строгий способ задания множества: $A=\{s\in S\mid s\text{
|
||||
удовлетворяет свойству }P\}$; здесь вертикальная черта $\mid$
|
||||
читается как <<таких, что>>, а $P$~--- то, что в математической
|
||||
логике называется {\it предикатом}, то есть, высказыванием, которое
|
||||
может для каждого объекта $s$ быть истинным или ложным. Для записи
|
||||
предикатов (и вообще высказываний) полезны значки $\forall$ (<<для
|
||||
любого>>), $\exists$ (<<существует>>) и $\exists!$ (<<существует
|
||||
единственный>>). Эти значки называются {\it кванторами} и также имеют
|
||||
строгий смысл, но для нас они будут служить просто сокращениями
|
||||
интуитивно понятных фраз <<для любого>>, <<существует>> и <<существует
|
||||
единственный>>. Например, $\forall x\in\mathbb N, x>-5$ и $\exists!
|
||||
x\in\mathbb N, 3x=15$~--- истинные
|
||||
высказывания, а $\forall x\in\mathbb N, x<20$~--- ложное.
|
||||
|
||||
Теперь мы можем более точным образом описать множество всех четных
|
||||
чисел: $\{x\in\mb Z\mid \exists y\in\mb Z: x=2y\}$. Еще одно полезное
|
||||
сокращение позволяет записать множество четных чисел так: $\{2x\mid
|
||||
x\in\mb Z\}$. Множество четных чисел мы будем обозначать через $2\mb
|
||||
Z$.
|
||||
|
||||
Обратите внимание, что порядок, в котором идут кванторы в
|
||||
высказывании, чрезвычайно важен: высказывание $\forall x\in\mb Z\exists
|
||||
y\in\mb Z:x=y+1$, очевидно, истинно (из любого целого числа можно
|
||||
вычесть $1$). А вот высказывание $\exists y\in\mb Z\forall x\in\mb
|
||||
Z:x=y+1$ означает существование такого загадочного целого числа $y$,
|
||||
которое на единицу меньше любого целого числа. Понятно, что это
|
||||
высказывание ложно.
|
||||
|
||||
На самом деле, запись $\{s\in S\mid s\text{
|
||||
удовлетворяет свойству }P\}$ задает не просто множество, а
|
||||
{\it подмножество} множества $S$. Если множество $T$ таково, что любой
|
||||
элемент множества $T$ является и элементом множества $S$, то говорят,
|
||||
что $T$ является подмножеством $S$ и пишут $T\subseteq S$. Более
|
||||
строго, $T\subseteq S$ тогда и только тогда, когда из $x\in T$ следует
|
||||
$x\in S$. Конструкцию <<из \dots следует \dots>> можно записывать
|
||||
значком $\Rightarrow$; в определении подмножества тогда можно писать
|
||||
$x\in T\Rightarrow x\in S$. Заметим, что стрелочка идет только в одну
|
||||
сторону; если бы было верно и $x\in S\Rightarrow x\in T$, то множества
|
||||
$S$ и $T$ совпадали бы. Таким образом, если $T\subseteq S$ и
|
||||
$S\subseteq T$, то $S=T$, поскольку в этом случае $x\in
|
||||
S\Leftrightarrow X\in T$; множества $S$ и $T$ состоят из
|
||||
одних и тех же элементов.
|
||||
|
||||
Примеры: $\mb N\subseteq\mb Z\subseteq\mb Q\subseteq\mb R$. Кроме
|
||||
того, $2\mb Z\subseteq\mb Z$. Более того, $\emptyset\subseteq X$ для
|
||||
любого множества $X$: пустое множество является подмножеством любого
|
||||
множества. В частности, $\emptyset\subseteq\emptyset$. Не следует
|
||||
путать значки $\subseteq$ и $\in$: так, $\emptyset\not\in\emptyset$. К
|
||||
тому же, слева от значка $\in$ может стоять объект любой природы, а
|
||||
слева от значка $\subseteq$~--- только множество.
|
||||
|
||||
Следующее важное понятие~--- {\it мощность} множества. Неформально
|
||||
говоря, это количество элементов в множестве. Мощность множества $X$
|
||||
обозначается через $|X|$. Четко различаются два
|
||||
случая: когда мощность множества конечна и когда она
|
||||
бесконечна. Если мощность множества конечна, то она измеряется
|
||||
натуральным числом (вообще говоря, это практически является
|
||||
определением натурального числа). Например, $|\emptyset|=0$,
|
||||
$|\{1,2,3\}|=|\{2,1,3,2,2,1\}|=3$. Когда мощность множества $X$ не является
|
||||
натуральным числом, говорят, что $X$ бесконечно: $|X|=\infty$.
|
||||
Если множество $X$ конечно, то любое его подмножество $Y$ также
|
||||
конечно, и $|Y|\leq |X|$. Более того, если $Y$~--- подмножество
|
||||
конечного множества $X$,
|
||||
то $|Y|=|X|$ тогда и только тогда,
|
||||
когда $Y=X$. Если же $Y\subseteq X$ и $Y\neq X$ (в этом случае
|
||||
говорят, что $Y$~--- {\it собственное подмножество} $X$), то $|Y|<|X|$.
|
||||
|
||||
\subsection{Операции над множествами}
|
||||
|
||||
\literature{[K1], гл. 1, \S~5, п. 1; [vdW], гл. 1, \S~1.}
|
||||
|
||||
Операции над множествами предоставляют массу способов получать новые
|
||||
множества из уже имеющихся. Мы обсудим по крайней мере следующие
|
||||
операции:
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item объединение $\cup$,
|
||||
\item пересечение $\cap$,
|
||||
\item разность $\setminus$,
|
||||
\item симметрическая разность $\Delta$,
|
||||
\item (декартово) произведение $\times$,
|
||||
\item несвязное объединение (копроизведение) $\coprod$,
|
||||
\item факторизация $/$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Пересечение $A\cap B$ множеств $A$ и $B$ состоит из всех элементов, лежащих и в
|
||||
$A$, и в $B$. Более формально, $x\in A\cap B$ тогда и только тогда,
|
||||
когда $x\in A$ и $x\in B$.
|
||||
|
||||
Объединение $A\cup B$ множеств $A$ и $B$ состоит из всех элементов,
|
||||
лежащих в $A$ или в $B$ (возможно, и в $A$, и в $B$). Иначе говоря,
|
||||
$x\in A\cup B$ тогда и только тогда, когда $x\in A$ или $x\in B$.
|
||||
|
||||
Разность $A\setminus B$ состоит из элементов $A$, не лежащих в $B$:
|
||||
$A\setminus B=\{x\in A\mid x\not\in B\}$. Иначе говоря, $x\in
|
||||
A\setminus B$ тогда и только тогда, когда $x\in A$ и $x\not\in B$.
|
||||
|
||||
Симметрическая разность $A$ и $B$ состоит из элементов, лежащих ровно
|
||||
в одном из этих множеств. Это можно записать, например, так: $A\Delta
|
||||
B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)$.
|
||||
|
||||
Несвязное объединение $A\coprod B$ предназначено для того, чтобы
|
||||
объединить два
|
||||
множества $A$ и $B$ (которые, возможно, имеют непустое пересечение)
|
||||
так, чтобы в результате элементы из $A$ и из $B$ <<не
|
||||
перемешались>>: все элементы из $A$ оказались отличными от всех
|
||||
элементов из $B$. Представьте, что элементы множества $A$ выкрашены в
|
||||
красный цвет, а элементы $B$~--- в синий цвет. После этого они стали
|
||||
все различны (их пересечение стало пустым), и мы рассмотрели их
|
||||
объединение. Если множества $A$ и $B$ конечны, то $|A\coprod
|
||||
B|=|A|+|B|$.
|
||||
|
||||
Произведение множества $A$ и $B$~--- это множество всех упорядоченных
|
||||
пар $(a,b)$, где $a\in A$, $b\in B$. Запись $(a,b)$ означает, что мы
|
||||
заботимся о порядке элементов $a,b$ (в отличие от записи
|
||||
$\{a,b\}$): пара $(a,b)$, вообще говоря, не равна паре $(b,a)$, если
|
||||
$a\neq b$. Более строго, $(a,b)=(a',b')$ тогда и только тогда, когда
|
||||
$a=a'$ и $b=b'$.
|
||||
|
||||
Итак, $A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}$. Например,
|
||||
$$
|
||||
\{1,2,3\}\times\{x,y\}=\{(1,x),(2,x),(3,x),(1,y),(2,y),(3,y)\}.
|
||||
$$
|
||||
В
|
||||
школе изучают декартову плоскость, которая фактически представляет
|
||||
собой квадрат вещественной прямой: $\mb R^2=\mb R\times\mb
|
||||
R$. Заметим, что $|A\times B|=|A|\times |B|$ для конечных множеств
|
||||
$A$, $B$.
|
||||
|
||||
Несложно обобщить понятия пересечения и объединения на несколько
|
||||
множеств: $A_1\cap A_2\cap\dots\cap A_n$, $A_1\cup A_2\cup\dots\cup
|
||||
A_n$. Например, $A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4=((A_1\cap A_2)\cap
|
||||
A_3)\cap A_4$; и на самом деле порядок расстановки скобок в таком
|
||||
выражении не имеет значения. Более интересно попробовать обобщить
|
||||
понятие произведения; заметим, что $A_1\times (A_2\times A_3)$ не
|
||||
равно $(A_1\times A_2)\times A_3$. Действительно, первое множество
|
||||
состоит из упорядоченных пар, первый элемент которых лежит в $A_1$, а
|
||||
второй является упорядоченной парой элементов из $A_2$ и $A_3$. В то
|
||||
же время второе множество состоит из совершенно других упорядоченных
|
||||
пар: первый их элемент является упорядоченной парой элементов из $A_1$
|
||||
и $A_2$, а второй элемент лежит в множестве $A_3$. Но по аналогии с
|
||||
упорядоченной парой можно определить {\it упорядоченную тройку} и
|
||||
получить множество $A_1\times A_2\times A_3=\{(a_1,a_2,a_3)\mid a_1\in
|
||||
A_1,a_2\in A_2,a_3\in A_3\}$ (не совпадающее ни с $A_1\times(A_2\times
|
||||
A_3)$, ни с $(A_1\times A_2)\times A_3$!). Совершенно аналогично
|
||||
определяется {\it упорядоченная $n$-ка} или {\it кортеж} из $n$
|
||||
элементов $(a_1,\dots,a_n)$, что позволяет определить произведение
|
||||
$A_1\times A_2\times\dots\times A_n$.
|
||||
|
||||
Несложно определить пересечение и объединение для произвольного (не
|
||||
обязательно конечного) набора множеств: если $(A_i)_{i\in I}$~---
|
||||
семейство множеств, проиндексированное некоторым индексным множеством
|
||||
$I$, то $\bigcap_{i\in I}A_i$~--- пересечение множеств $A_i$~---
|
||||
состоит из элементов, которые лежат в каждом $A_i$, а $\bigcup_{i\in
|
||||
I}A_i$~--- объединение множеств $A_i$~--- состоит из элементов,
|
||||
которые лежат хотя бы в одном из $A_i$.
|
||||
|
||||
С помощью упорядоченных пар
|
||||
мы можем более строго определить несвязное объединение множеств
|
||||
$A$ и $B$: рассмотрим множества $\{0\}\times A$ и $\{1\}\times B$
|
||||
(состоящие из <<покрашенных элементов>> $(0,a)$ для $a\in A$ и $(1,b)$
|
||||
для $b\in B$). Теперь все элементы $(0,a)$ и $(1,b)$ уж точно
|
||||
различны, и можно положить $A\coprod B=(\{0\}\times A)\cup(\{1\}\times
|
||||
B)$.
|
||||
|
||||
\subsection{Отображения}
|
||||
|
||||
\literature{[K1], гл. 1, \S~5, п. 2, [vdW], гл. 1, \S~2.}
|
||||
|
||||
{\em Наивное определение}: \dfn{отображение}\index{отображение}
|
||||
$f\colon X\to Y$
|
||||
сопоставляет
|
||||
каждому элементу $x\in X$ некоторый элемент $y\in Y$. При этом пишут
|
||||
$y=f(x)$ или $x\mapsto y$ и $y$ называют \dfn{образом}\index{образ}
|
||||
элемента $x$ при отображении
|
||||
$f$. Вместе с каждым отображением нужно помнить его
|
||||
\dfn{область определения}\index{область определения} $X$ и
|
||||
\dfn{область значений}\index{область значений} $Y$; например,
|
||||
отображения
|
||||
$\mathbb N\to\mathbb N$, $x\mapsto x^2$ и $\mb R\to\mb R$, $x\mapsto
|
||||
x^2$~--- два совершенно разных отображения.
|
||||
|
||||
Для каждого множества $X$ можно рассмотреть \dfn{тождественное
|
||||
отображение}\index{тождественное отображение} $\id_X\colon X\to X$,
|
||||
переводящее каждый элемент $x\in X$ в $x$.
|
||||
|
||||
С каждым декартовым произведением $X\times Y$ множеств $X$ и $Y$
|
||||
связаны отображения $\pi_1\colon X\times Y\to X$ и $\pi_2\colon
|
||||
X\times Y\to Y$, определенные следующим образом: отображение $\pi_1$
|
||||
сопоставляет паре $(x,y)$ элементов $x\in X$, $y\in Y$ элемент $x$, а
|
||||
отображение $\pi_2$ сопоставляет этой паре элемент $y$. Эти
|
||||
отображения называются \dfn{каноническими
|
||||
проекциями}\index{каноническая проекция}.
|
||||
|
||||
Пусть $f\colon X\to Y$~--- отображение, и $A\subseteq X$;
|
||||
\dfn{образом}\index{образ} подмножества $A$ называется
|
||||
множество образов всех элементов из $A$: $f(A)=\{y\in Y\mid \exists
|
||||
x\in A\colon f(x)=y\}=\{f(x)\mid x\in A\}$. Если же $B\subseteq Y$,
|
||||
можно посмотреть на все элементы $X$, образы которых лежат в
|
||||
$B$. Получаем \dfn{(полный) прообраз}\index{прообраз} подмножества $B$:
|
||||
$f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}$. Вообще, говорят, что $x$
|
||||
является прообразом элемента $y\in Y$, если $f(x)=y$; таким образом,
|
||||
полный прообраз подмножества составлен из всех прообразов всех его
|
||||
элементов.
|
||||
|
||||
%17.09.2014
|
||||
|
||||
Если $f\colon X\to Y$~--- отображение множеств и $A\subseteq X$, можно
|
||||
определить \dfn{ограничение}\index{ограничение} отображения $f$ на
|
||||
$A$. Это отображение,
|
||||
которое мы будем обозначать через $f|_A$, из $A$ в $Y$, задаваемое,
|
||||
неформально говоря, тем же правилом, что и $f$. Более точно,
|
||||
$f|_A(x)=f(x)$ для всех $x\in A$.
|
||||
|
||||
Пусть теперь даны два отображения, $f\colon X\to Y$, $g\colon Y\to
|
||||
Z$. Их \dfn{композиция}\index{композиция} $g\circ f$~--- это новое
|
||||
отображение из $X$ в
|
||||
$Z$, переводящее элемент $x\in X$ в $g(f(x))\in Z$. То есть, $(g\circ
|
||||
f)(x)=g(f(x))$ для всех $x\in X$. Обратите внимание, что мы записываем
|
||||
композицию справа налево: в записи $g\circ f$ сначала применяется $f$,
|
||||
а потом $g$.
|
||||
|
||||
\begin{theorem}[Ассоциативность композиции]\label{thm_composition_associative}
|
||||
Пусть $X,Y,Z,T$~--- множества, $f\colon X\to Y$, $g\colon Y\to Z$,
|
||||
$h\colon Z\to T$. Тогда отображения $(h\circ g)\circ f$ и $h\circ
|
||||
(g\circ f)$ из $X$ в $T$ совпадают.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Что значит, что два отображения совпадают? Во-первых, должны совпадать
|
||||
их области определения и значений; и действительно, $(h\circ g)\circ
|
||||
f$ и $h\circ (g\circ f)$ действуют из $X$ в $T$. Во-вторых, они должны
|
||||
совпадать в каждой точке. Возьмем любой элемент $x\in X$ и проверим,
|
||||
что $((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ (g\circ f))(x)$. Действительно,
|
||||
$$((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))$$
|
||||
и
|
||||
$$(h\circ(g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x))).$$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Еще одно полезное свойство композиции: пусть $f\colon X\to Y$~---
|
||||
отображение. Тогда $f\circ\id_X=\id_Y\circ f=f$. Действительно,
|
||||
$(f\circ\id_X)(x)=f(\id_X(x))=f(x)$ и $(\id_Y\circ
|
||||
f)(x)=\id_Y(f(x))=f(x)$.
|
||||
|
||||
Все отображения из множества $X$ в множество $Y$ образуют множество,
|
||||
которое мы будем обозначать через $\Map(X,Y)$ или через
|
||||
$Y^X$. Последнее обозначение связано с тем, что для конечных $X$, $Y$
|
||||
имеет место равенство $|Y^X|=|Y|^{|X|}$. В частности, если
|
||||
$X=\emptyset$, то существует ровно одно отображение из $X$ в $Y$:
|
||||
$|Y^\emptyset|=1$. Если же, наоборот, $Y=\emptyset$, то для непустого
|
||||
$X$ отображений из $X$ в $\emptyset$ вообще нет: точке из $X$ нечего
|
||||
сопоставить. Таким образом, $\emptyset^X=\emptyset$ для непустого
|
||||
$X$. Наконец, для пустого $Y$, как и для любого другого,
|
||||
существует ровно одно отображение из $\emptyset$ в $Y$
|
||||
(тождественное), поэтому $|\emptyset^\emptyset|=1$.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Пусть $f\colon X\to Y$~--- отображение.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
$f$ называется \dfn{инъективным отображением}, или
|
||||
\dfn{инъекцией}\index{инъекция}, если из
|
||||
$x_1\neq x_2$ следует, что $f(x_1)\neq f(x_2)$ для $x_1,x_2\in
|
||||
X$. Иными словами, у каждого элемента $Y$ не более одного прообраза.
|
||||
\item
|
||||
$f$ называется \dfn{сюръективным отображением}, или
|
||||
\dfn{сюръекцией}\index{сюръекция}, если
|
||||
для каждого $y\in Y$ найдется $x\in X$ такой, что $f(x)=y$. Иными
|
||||
словами, у каждого элеента $Y$ не менее одного прообраза.
|
||||
\item
|
||||
$f$ называется \dfn{биективным отображением}, или
|
||||
\dfn{биекцией}\index{биекция}, если
|
||||
оно инъективно и сюръективно.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Обозначим через $\mb R_{\geq 0}$ множество неотрицательных
|
||||
вещественных чисел: $\mb R_{\geq 0}=\{x\in\mb R\mid x\geq
|
||||
0\}$. Рассмотрим четыре отображения
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
&&f_1\colon\mb R\to\mb R, x\mapsto x^2;\\
|
||||
&&f_2\colon\mb R\to\mb R_{\geq 0}, x\mapsto x^2;\\
|
||||
&&f_3\colon\mb R_{\geq 0}\to\mb R, x\mapsto x^2;\\
|
||||
&&f_4\colon\mb R_{\geq 0}\to\mb R_{\geq 0}, x\mapsto x^2.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{example}
|
||||
Хотя эти отображения задаются одной и той же формулой (возведение в
|
||||
квадрат), их свойства совершенно различны: $f_4$ биективно; $f_3$
|
||||
инъективно, но не сюръективно; $f_2$ сюръективно, но не инъективно;
|
||||
$f_1$ не инъективно и не сюръективно.
|
||||
|
||||
\begin{definition}\label{dfn:inverse-map}
|
||||
Пусть $f\colon X\to Y$~--- отображение. Отображение $g\colon Y\to X$
|
||||
называется \dfn{левым обратным}\index{обратное отображение!левое} к
|
||||
$f$, если $g\circ f = \id_X$. Отображение $g\colon Y\to X$ называется
|
||||
\dfn{правым обратным}\index{обратное отображение!правое} к $f$, если
|
||||
$f\circ g = \id_Y$. Наконец, $g$ называется
|
||||
\dfn{[двусторонним] обратным}\index{обратное отображение} к $f$, если
|
||||
оно одновременно является левым обратным и правым обратным к $f$.
|
||||
Отображение $f$ называется
|
||||
\dfn{обратимым слева}\index{обратимое отображение!слева},
|
||||
если у него есть левое обратное,
|
||||
\dfn{обратимым справа}\index{обратимое отображение!справа}, если у
|
||||
него есть правое обратное, и просто
|
||||
\dfn{обратимым}\index{обратимое отображение} (или
|
||||
\dfn{двусторонне обратимым}\index{обратимое отображение!двусторонне}),
|
||||
если у него есть обратное.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}\label{lemma:invertible_left_and_right}
|
||||
Если у отображение $f\colon X\to Y$ есть левое обратное и правое
|
||||
обратное, то они совпадают. Таким образом, отображение обратимо тогда
|
||||
и только тогда, когда оно обратимо слева и обратимо справа.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Пусть у $f$ есть левое обратное $g_L$ и правое обратное $g_R$. По
|
||||
определению это означает, что
|
||||
$g_L\circ f=\id_X$ и $f\circ g_R = \id_Y$.
|
||||
Рассмотрим отображение $(g_L\circ f)\circ g_R$. По теореме об
|
||||
ассоциативности композиции~\ref{thm_composition_associative} оно равно
|
||||
$g_L\circ (f\circ g_R)$. С другой стороны,
|
||||
$(g_L\circ f)\circ g_R = \id_X\circ g_R = g_R$ и
|
||||
$g_L\circ (f\circ g_R) = g_L\circ\id_Y = g_L$. Поэтому $g_L = g_R$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Покажем, что мы на самом деле уже встречали понятия левой, правой и
|
||||
двусторонней обратимости под другими названиями.
|
||||
|
||||
\begin{theorem}\label{thm:sur-inj-reformulations}
|
||||
Пусть $f\colon X\to Y$~--- отображение.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Пусть $X$ непусто. $f$ обратимо слева тогда и только тогда,
|
||||
когда $f$ инъективно.
|
||||
\item $f$ обратимо справа тогда и только тогда, когда $f$ сюръективно.
|
||||
\item $f$ обратимо тогда и только тогда, когда $f$ биективно.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
Предположим, что $f$ обратимо слева, то есть, $g\circ f = \id_X$ для
|
||||
некоторого $g\colon Y\to X$. Покажем инъективность $f$: пусть
|
||||
$x_1,x_2\in X$ таковы, что $f(x_1) = f(x_2)$. Применяя $g$, получаем,
|
||||
что $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$. Но $g(f(x)) = (g\circ f)(x) = \id_X(x) =
|
||||
x$ для всех $x\in X$, поэтому $x_1 = x_2$.
|
||||
|
||||
Обратно, предположим, что $f$ инъективно, построим к $f$ левое
|
||||
обратное отображение $g\colon Y\to X$. В силу непустоты $X$ можно
|
||||
выбрать некоторый элемент $c\in X$. Для определения отображения $g$
|
||||
нам нужно задать его значение для каждого $y\in Y$. Возьмем $y\in Y$;
|
||||
в силу инъективности найдется не более одного элемента $x\in X$
|
||||
такого, что $f(x) = y$. Если такой элемент (ровно один) есть, положим
|
||||
$g(y) = x$. Если же его нет, положим $g(y) = c$.
|
||||
Проверим, что так определенное отображение $g$ действительно является
|
||||
левым обратным к $f$. Действительно, для всякого $x_0\in X$ элемент
|
||||
$f(x_0)$ лежит в $Y$, и есть ровно один элемент $x\in X$ такой, что
|
||||
$f(x) = f(x_0)$~--- это сам $x_0$. Поэтому в силу нашего определения
|
||||
$g(f(x_0)) = x_0 = \id_X(x_0)$. Мы получили, что для произвольного
|
||||
$x_0\in X$ справедливо $(g\circ f)(x_0) = \id_X(x_0)$. Поэтому
|
||||
$g\circ f = \id_X$.
|
||||
\item
|
||||
Предположим, что $f$ обратимо справа, то есть, $f\circ g = \id_Y$ для
|
||||
некоторого $g\colon Y\to X$. Покажем сюръективность $f$; нужно
|
||||
проверить, что для каждого $y\in Y$ найдется элемент $x\in X$ такой,
|
||||
что $f(x) = y$. Действительно, положим $x = g(y)$. Тогда
|
||||
$f(x) = f(g(y)) = (f\circ g)(y) = \id_Y(y) = y$.
|
||||
|
||||
Обратно, предположим, что $f$ сюръективно. Построим отображение
|
||||
$g\colon Y\to X$ такое, что $f\circ g = \id_Y$. Для этого мы должны
|
||||
определить $g(y)$ для каждого $y\in Y$. В силу сюръективности найдется
|
||||
хотя бы один элемент $x\in X$ такой, что $f(x) = y$. Тогда положим
|
||||
$g(y) = x$. Очевидно, что $f(g(y)) = y$ для всех $y\in Y$.
|
||||
|
||||
{\small
|
||||
\begin{remark}\label{remark:axiom-of-choice}
|
||||
На самом деле тот факт, что мы можем {\it одновременно} для каждого
|
||||
$y\in Y$ выбрать один какой-нибудь элемент $x\in X$ со свойством
|
||||
$f(x)=y$, и получится корректно заданное отображение, является одной
|
||||
из аксиом теории множеств (она
|
||||
называется~\dfn{аксиомой выбора}\index{аксиома выбора}). Фактически,
|
||||
она равносильна как раз тому, что мы доказываем: обратимости справа
|
||||
любого сюръективного отображения. Заметим, что при доказательстве
|
||||
первого пункта теоремы такой проблемы не возникает: там при построении
|
||||
левого обратного отображения мы либо выбираем единственный прообраз,
|
||||
либо (в случае пустого прообраза) отправляем наш элемент в
|
||||
фиксированный элемент $c$. Здесь же прообраз может быть огромным, и
|
||||
возможность одновременно в огромном количестве прообразов выбрать по
|
||||
одному элементу как раз и гарантируется аксиомой выбора. Мы не
|
||||
обсуждаем строгую формализацию понятия множества, поэтому игнорируем
|
||||
все проблемы, связанные с аксиомой выбора.
|
||||
\end{remark}
|
||||
}
|
||||
\item Пусть $f$ обратимо. Тогда, очевидно, оно обратимо слева и
|
||||
обратимо справа. По доказанному выше, из этого следует, что $f$
|
||||
инъективно и сюръективно (заметим, что в доказательстве того, что из
|
||||
обратимости слева следует инъективность, мы не использовали
|
||||
предположение о непустоте $X$). Значит, $f$ биективно.
|
||||
|
||||
Обратно, пусть $f$ биективно, то есть, инъективно и
|
||||
сюръективно. Предположим сначала, что $X$ непусто. Тогда, по
|
||||
доказанному выше, $f$ обратимо слева и обратимо справа. По
|
||||
лемме~\ref{lemma:invertible_left_and_right} из этого следует, что
|
||||
$f$ обратимо. Осталось рассмотреть случай, когда $X =
|
||||
\emptyset$. Покажем, что в этом случае и $Y = \emptyset$. Для этого
|
||||
вспомним, что $f$ сюръективно. По определению это означает, что для
|
||||
каждого $y\in Y$ найдется $x\in X$ такой, что $f(x) = y$. Если $Y$
|
||||
непусто, то для какого-нибудь элемента $y\in Y$ должен найтись
|
||||
элемент $x\in X$, а это невозможно, поскольку $X$ пусто. Мы
|
||||
показали, что $X = Y = \emptyset$; но в этом случае есть
|
||||
единственное отображение $f\colon X\to Y$ (тождественное), и
|
||||
единственное отображение $g\colon Y\to X$ будет обратным к нему.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Если $f\colon X\to Y$~--- некоторое отображение, можно рассмотреть его
|
||||
\dfn{график}\index{график}
|
||||
$$
|
||||
\Gamma_f=\{(x,f(x))\mid x\in X\}\subseteq X\times Y.
|
||||
$$
|
||||
Это понятие помогает нам дать точное определение понятию
|
||||
отображения. Нетрудно видеть, что график отображения $f$ однозначно
|
||||
определяет само $f$. С другой стороны, какие подмножества $X\times Y$
|
||||
могут быть графиками отображений из $X$ в $Y$? Нетрудно понять, что
|
||||
над каждой точкой $x\in X$ должна находиться ровно одна точка $(x,y)$
|
||||
из графика (у каждой точки $x$ есть ровно один образ). Это приводит
|
||||
нас к следующему определению.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Упорядоченная тройка $(X,Y,\Gamma)$, где $X,Y$~--- множества и
|
||||
$\Gamma\subseteq X\times Y$, называется
|
||||
\dfn{отображением}\index{отображение} из $X$ в
|
||||
$Y$, если
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item для любого $x\in X$ из того, что $(x,y_1)\in\Gamma$ и
|
||||
$(x,y_2)\in\Gamma$, следует, что $y_1=y_2$;
|
||||
\item для любого $x\in X$ существует $y\in Y$ такое, что
|
||||
$(x,y)\in\Gamma$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\subsection{Бинарные отношения}
|
||||
|
||||
\literature{[K1], гл. 1, \S~6, п. 1.}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\dfn{Бинарным отношением}\index{отношение!бинарное} на множестве $S$
|
||||
называется подмножество
|
||||
$R\subseteq S\times S$. Если $(x,y)\in S$, говорят, что
|
||||
\dfn{$x$ находится в отношении $R$ с $y$}\index{отношение}, и пишут
|
||||
$xRy$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
%24.09.2014
|
||||
|
||||
\begin{examples}\label{examples:relations}
|
||||
Отношение $\geq$ на множестве $\mb R$: $\geq=\{(x,y)\in\mb R\times\mb
|
||||
R\mid x\geq y\}$. Аналогично~--- на множестве $\mb Z$, или
|
||||
на множестве $\mb N$. Отношения $\leq$, $>$, $<$ на тех же
|
||||
множествах. Отношение равенства на $\mb R$: $\{(x,x)\mid x\in\mb
|
||||
R\}$~--- аналогично на любом множестве.
|
||||
Отношение делимости на целых числах (точное определение будет
|
||||
дано во второй главе).
|
||||
На множестве всех прямых на декартовой плоскости можно ввести
|
||||
отношение параллельности и отношение перпендикулярности.
|
||||
\end{examples}
|
||||
|
||||
Для визуализации отношений полезно рисовать их графики~---
|
||||
изображать множества точек, координаты которых лежат в данном
|
||||
отношении.
|
||||
|
||||
\subsection{Отношения эквивалентности}
|
||||
|
||||
\literature{[K1], гл. 1, \S~6, п. 2; [vdW], гл. 1, \S~5.}
|
||||
|
||||
Определение отношения достаточно общее; на практике встречаются
|
||||
отношения,
|
||||
удовлетворяющие некоторым из следующих свойств.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Пусть $R\subseteq X\times X$~--- бинарное отношение на множестве $X$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $R$ называется \dfn{рефлексивным}\index{отношение!рефлексивное},
|
||||
если для любого $x\in X$
|
||||
выполнено $xRx$.
|
||||
\item $R$ называется \dfn{симметричным}\index{отношение!симметричное},
|
||||
если для любых $x,y\in X$ из
|
||||
$xRy$ следует $yRx$.
|
||||
\item $R$ называется \dfn{транзитивным}\index{отношение!транзитивное},
|
||||
если для любых $x,y,z\in X$
|
||||
из $xRy$ и $yRz$ следует $xRz$.
|
||||
\item $R$ называется \dfn{отношением
|
||||
эквивалентности}\index{отношение!эквивалентности}, если оно
|
||||
рефлексивно, симметрично и транзитивно.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{examples}
|
||||
Посмотрим на примеры~\ref{examples:relations}.
|
||||
Нетрудно видеть, что отношения $\geq$, $\leq$, $>$, $<$ на множестве
|
||||
$\mb R$ транзитивны, но не симметричны. При этом отношения $\geq$ и
|
||||
$\leq$ рефлексивны. Отношение равенства на любом множестве является
|
||||
отношением эквивалентности. Отношение делимости рефлексивно и
|
||||
транзитивно. Отношение параллельности прямых на плоскости (если
|
||||
учесть, что прямая параллельна самой себе) является отношением
|
||||
эквивалентности. Отношение перпендикулярности симметрично, но не
|
||||
рефлексивно и не транзитивно.
|
||||
\end{examples}
|
||||
|
||||
\begin{definition}\label{def_equiv_class}
|
||||
Пусть $\sim$~--- отношение эквивалентности на множестве $X$. Для
|
||||
элемента $x\in X$ рассмотрим множество $\{y\in X\mid y\sim x\}$. Мы
|
||||
будем обозначать его через $\overline{x}$ или $[x]$ и называть
|
||||
\dfn{классом эквивалентности}\index{класс эквивалентности} элемента $x$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}[О разбиении на классы эквивалентности]\label{thm_quotient_set}
|
||||
Пусть $\sim$~--- отношение эквивалентности на множестве $X$.
|
||||
Тогда $X$ разбивается на классы эквивалентности, то есть, каждый
|
||||
элемент множества $X$ лежит в каком-то классе, и любые два класса либо
|
||||
не пересекаются, либо совпадают.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Из рефлексивности следует, что $x\in\overline{x}$, поэтому каждый
|
||||
элемент лежит в каком-то классе. Пусть $\overline{x}$ и
|
||||
$\overline{y}$~--- два класса эквивалентности и
|
||||
$\overline{x}\cap\overline{y}\neq\emptyset$. Выберем
|
||||
$z\in\overline{x}\cap\overline{y}$; тогда $z\sim x$ и $z\sim
|
||||
y$. Докажем, что на самом деле $\overline{x}=\overline{y}$, проверив
|
||||
включения в обе стороны. Возьмем $t\in\overline{x}$; тогда $t\sim
|
||||
x$, $x\sim z$, $z\sim y$, откуда $t\sim y$, то есть,
|
||||
$t\in\overline{y}$. Поэтому
|
||||
$\overline{x}\subseteq\overline{y}$. Аналогично,
|
||||
$\overline{y}\subseteq\overline{x}$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition}\label{def_quotient_set}
|
||||
Пусть $\sim$~--- отношение эквивалентности на множестве $X$.
|
||||
Множество всех классов эквивалентности элементов $X$ называется
|
||||
\dfn{фактор-множеством}\index{фактор-множество} множества $X$ по
|
||||
отношению $\sim$ и
|
||||
обозначается через $X/\sim$. Отображение $\pi\colon X\to X/\sim$,
|
||||
сопоставляющее каждому элементу $x\in X$ его класс эквивалентности
|
||||
$\overline{x}$, называется
|
||||
\dfn{канонической проекцией}\index{каноническая проекция} множества
|
||||
$X$ на фактор-множество $X/\sim$. Нетрудно видеть, что это отображение
|
||||
сюръективно.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\subsection{Метод математической индукции}
|
||||
|
||||
\literature{[K1], гл. 1, \S~7; [vdW], гл. 1, \S~3; [B], гл. 1, п. 2.}
|
||||
|
||||
Пусть $P(n)$~--- набор высказываний, зависящий от натурального
|
||||
параметра $n$. \dfn{Принцип математической индукции}\index{принцип
|
||||
математической индукции} гласит, что если
|
||||
$P(0)$
|
||||
истинно (\dfn{база индукции}\index{база индукции}) и для любого
|
||||
натурального $k$ из истинности $P(k)$ следует истинность
|
||||
$P(k+1)$ (\dfn{индукционный переход}\index{индукционный переход}), то
|
||||
$P(n)$
|
||||
истинно для всех натуральных $n$.
|
||||
|
||||
Эквивалентная переформулировка принципа математической индукции
|
||||
гласит, что в любом непустом множестве натуральных чисел есть
|
||||
минимальный элемент. Этот принцип (или какой-то равносильный ему), как
|
||||
правило, принимается за аксиому в современных аксиоматиках натуральных
|
||||
чисел.
|
||||
|
||||
Покажем, что если в любом непустом множестве натуральных чисел есть
|
||||
минимальный элемент, то принцип математической индукции
|
||||
выполняется. Будем действовать от противного: предположим, что $P(0)$
|
||||
истинно, и для любого $k\in\mb N$ из истинности $P(k)$ следует
|
||||
истинность $P(k+1)$, но, в то же время, $P(n)$ истинно не для всех
|
||||
$n$. Пусть $A\subseteq\mb N$~--- множество натуральных чисел $n$, для
|
||||
которых $P(n)$ ложно; оно непусто по нашему предположению.
|
||||
Тогда в $A$ есть минимальный элемент $a$. Если $a=0$, то $P(0)$ ложно
|
||||
(поскольку $a\in A$), что противоречит базе индукции. Если же $a>0$,
|
||||
то $a-1$ также является натуральным числом, и $a-1\notin A$ в силу
|
||||
минимальности. Поэтому $P(a-1)$ истинно. Но тогда из индукционного
|
||||
перехода следует, что и $P(a) = P((a-1)+1)$ истинно~--- противоречие.
|
||||
|
||||
Принципа математической индукции равносилен следующему
|
||||
принципу полной индукции: пусть
|
||||
$P(n)$~--- набор высказываний, зависящий от натурального параметра
|
||||
$n$. Если $P(0)$ истинно и из истинности $P(0), P(1),\dots,P(k)$
|
||||
следует истинность $P(k+1)$, то $P(n)$ истинно для всех натуральных $n$.
|
||||
|
||||
\subsection{Операции}
|
||||
|
||||
\literature{[K1], гл. 4, \S~1, п. 1.}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Пусть $X$~--- множество. \dfn{Бинарной
|
||||
операцией}\index{операция!бинарная} на множестве $X$
|
||||
называется отображение $X\times X\to X$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{examples}
|
||||
Отображения $\mb R\times\mb R\to\mb R$, задаваемые формулами
|
||||
$(a,b)\mapsto a+b$, $(a,b)\mapsto ab$, $(a,b)\mapsto a-b$, являются
|
||||
бинарными операциями. Отображение $(a,b)\mapsto a^b$ является бинарной
|
||||
операцией на множестве $\mb N_{\geq 0}$ положительных натуральных чисел.
|
||||
\end{examples}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Пусть $\ph\colon X\times X\to X$~--- бинарная операция на множестве $X$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Операция $\ph$ называется
|
||||
\dfn{ассоциативной}\index{операция!ассоциативная}\index{ассоциативность}, если
|
||||
$\ph(\ph(a,b),c)=\ph(a,\ph(b,c))$ выполняется для всех
|
||||
$a,b,c\in X$.
|
||||
\item Операция $\ph$ называется
|
||||
\dfn{коммутативной}\index{операция!коммутативная}\index{коммутативность},
|
||||
если
|
||||
$\ph(a,b)=\ph(b,a)$ выполняется для всех $a,b\in X$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
Нетрудно видеть, что операции сложения и умножения на множестве
|
||||
вещественных чисел являются ассоциативными и коммутативными, а вот
|
||||
возведение в степень
|
||||
положительных натуральных положительных чисел не является ни
|
||||
ассоциативной, ни коммутативной операцией.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Пусть $\bullet$~--- бинарная операция на множестве $X$.
|
||||
Элемент $e\in X$ называется
|
||||
\dfn{левым нейтральным}\index{нейтральный элемент!левый}
|
||||
(или \dfn{левой единицей}\index{единица!левая}) по отношению к операции
|
||||
$\bullet$, если $e\bullet x = x$ для любого $x\in X$. Элемент $e\in X$
|
||||
называется
|
||||
\dfn{правым нейтральным}\index{нейтральный элемент!правый} (или
|
||||
\dfn{правой единицей}\index{единица!правая}) по
|
||||
отношению к $\bullet$, если
|
||||
$x\bullet e = x$ для любого $x\in X$. Элемент $e\in X$ называется
|
||||
\dfn{нейтральным}\index{нейтральный элемент} (или
|
||||
\dfn{единицей}\index{единица}), если он одновременно является
|
||||
левым и правым нейтральным.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
Отметим, что бинарная операция возведения в степень на множестве
|
||||
$\mb R$ обладает правой единицей (это $1$: действительно, $a^1 = a$),
|
||||
но не обладает левой единицей.
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Если $\bullet\colon X\times X\to X$~--- бинарная операция,
|
||||
и в $X$ есть правая единица и левая единица относительно
|
||||
$\bullet$, то они совпадают.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Действительно, если $e_L\in X$~--- левая единица, а $e_R\in X$~---
|
||||
правая единица, то по определению левой единицы выполнено $e_L\bullet
|
||||
e_R = e_R$, а по определению правой единицы выполнено $e_L\bullet e_R
|
||||
= e_L$. Поэтому
|
||||
$e_L = e_L\bullet e_R = e_R$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Пусть $\bullet$~--- бинарная операция на множестве $X$, и в $X$ есть
|
||||
нейтральный элемент $e$ относительно этой операции.
|
||||
Пусть $x\in X$. Элемент $y\in X$ называется
|
||||
\dfn{левым обратным}\index{обратный элемент!левый}
|
||||
(относительно операции $\bullet$) к $x$, если $yx = e$.
|
||||
Элемент $y\in X$ называется
|
||||
\dfn{правым обратным}\index{обратный элемент!правый} (относительно
|
||||
операции $\bullet$) к $x$, если $xy = e$.
|
||||
Если $y\in X$ одновременно является левым и правым обратным к
|
||||
$x$, то он называется просто \dfn{обратным}\index{обратный элемент} к
|
||||
$x$. Элемент $x$ называется
|
||||
\dfn{обратимым слева}\index{обратимый элемент!слева},
|
||||
если у него есть левый
|
||||
обратный, \dfn{обратимым справа}\index{обратимый элемент!справа},
|
||||
если у него есть правый обратный, и
|
||||
\dfn{обратимым}\index{обратимый элемент}, если у него есть обратный.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Пусть $\bullet$~--- бинарная операция на множестве $X$, и в $X$ есть
|
||||
нейтральный элемент $e$ относительно это операции. Предположим, что
|
||||
операция $\bullet$ ассоциативна. Пусть элемент $x$ обратим слева и
|
||||
обратим справа. Тогда он обратим. Иными словами, если у элемента есть
|
||||
левый и правый обратный относительно ассоциативной операции, то они
|
||||
совпадают.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Пусть $y_L$~--- левый обратный к $x$, а $y_R$~--- правый обратный к
|
||||
$x$. По определению это означает, что $y_L\bullet x = e$
|
||||
и $x\bullet y_R = e$. Но тогда
|
||||
$$
|
||||
y_R = e\bullet y_R = (y_L\bullet x)\bullet y_R = y_L\bullet (x\bullet y_R) =
|
||||
y_L\bullet e = y_L
|
||||
$$
|
||||
(обратите внимание, что в середине мы воспользовались ассоциативностью
|
||||
операции $\bullet$).
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Пусть на $X$ задана бинарная операция $\bullet$, и $a,b,c\in
|
||||
X$. Выражение $a\bullet b\bullet c$ не определено: для его однозначной
|
||||
интерпретации необходимо расставить скобки, и получится либо
|
||||
$(a\bullet b)\bullet c$, либо $a\bullet (b\bullet c)$. Если операция
|
||||
$\bullet$ ассоциативна, то результат вычисления этих двух выражений
|
||||
одинаков. Пусть теперь $a,b,c,d\in X$. Скобки в выражении $a\bullet
|
||||
b\bullet c\bullet d$ можно расставить уже пятью вариантами:
|
||||
$$
|
||||
((a\bullet b)\bullet c)\bullet d,\quad
|
||||
(a\bullet (b\bullet c))\bullet d,\quad
|
||||
(a\bullet b)\bullet (c\bullet d),\quad
|
||||
a\bullet((b\bullet c)\bullet d),\quad
|
||||
a\bullet (b\bullet (c\bullet d)).
|
||||
$$
|
||||
Оказывается, что если операция $\bullet$ ассоциативна, то результат
|
||||
вычисления всех этих выражений одинаков.
|
||||
Аналогично, в выаржении любой длины для указания порядка, в котором
|
||||
выполняются операции, необходимо расставить скобки. Оказывается, для
|
||||
ассоциативной операции результат выполнения
|
||||
не зависит от порядка расстановки скобок. Это
|
||||
свойство называется \dfn{обобщенной
|
||||
ассоциативностью}\index{ассоциативность!обобщенная}. Поэтому для
|
||||
ассоциативных операций ставить скобки в подобных выражениях не
|
||||
обязательно.
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
Если на множестве $X$ задана ассоциативная операция $\bullet$, то она
|
||||
обладает обобщенной ассоциативностью: результат вычисления выражения
|
||||
$x_1\bullet x_2\bullet\dots\bullet x_n$ не зависит от расстановки в
|
||||
нем скобок.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Будем доказывать индукцией по $n$. База $n=3$ является определением
|
||||
ассоциативности. Пусть теперь $n>3$, и для всех меньших $n$ теорема
|
||||
уже доказана.
|
||||
Достаточно показать, что результат при любой расстановке скобок
|
||||
совпадает с результатом при следующей расстановке, в которой все скобки
|
||||
<<сдвинуты влево>>
|
||||
$$
|
||||
(\dots ((x_1\bullet x_2)\bullet x_3)\bullet\dots\bullet x_n).
|
||||
$$
|
||||
Возьмем произвольную расстановку и посмотрим на действие, которое
|
||||
выполняется последним: оно состоит в перемножении некоторого выражения
|
||||
от $x_1,\dots,x_k$ и некоторого выражения от $x_{k+1},\dots,x_n$:
|
||||
$$
|
||||
(\dots x_1\bullet\dots\bullet x_k\dots) \bullet
|
||||
(\dots x_{k+1}\bullet\dots\bullet x_n\dots).
|
||||
$$
|
||||
При этом $1 < k < n$.
|
||||
|
||||
Предположим сначала, что $k = n-1$. Тогда последняя операция состоит в
|
||||
перемножении скобки, в которой стоят $x_1,\dots,x_{n-1}$, на $x_n$. В
|
||||
выражении от $x_1,\dots,x_{n-1}$ мы можем, по предположению индукции,
|
||||
сдвинуть все скобки влево, не меняя результата. Приписывая справа
|
||||
$x_n$, получаем как раз выражение нужного вида уже от
|
||||
$x_1,\dots,x_n$, и доказательство закончено.
|
||||
|
||||
Пусть теперь $k<n-1$. Заметим, что во второй скобке стоят
|
||||
$x_{k+1},\dots,x_n$~--- здесь хотя бы два элемента, и меньше, чем
|
||||
$n$. По предположению индукции мы можем расставить в этом выражении
|
||||
скобки нашим выбранным способом, не меняя результата:
|
||||
$$
|
||||
\underbrace{\left(\dots x_1\bullet\dots\bullet x_k\dots\right)}_{A} \bullet
|
||||
(\underbrace{(\dots (x_{k+1}\bullet x_{k+2})\bullet\dots\bullet x_{n-1})}_B\bullet\underbrace{x_n}_C)
|
||||
$$
|
||||
(тут нужно отметить, что рассуждение работает и при $k=n-2$; в этом
|
||||
случае во второй скобке стоит лишь два элемента, и формально мы не
|
||||
можем применить предположение индукции, но в этом нет ничего страшного).
|
||||
Применим теперь ассоциативность к полученному выражению вида
|
||||
$A\bullet (B\bullet C)$ и заменим его на $(A\bullet B)\bullet C$:
|
||||
$$
|
||||
(\underbrace{\dots x_1\bullet\dots\bullet x_k\dots}_{A} \bullet
|
||||
\underbrace{\dots (x_{k+1}\bullet x_{k+2})\bullet\dots\bullet x_{n-1}}_B)\bullet\underbrace{x_n}_C)
|
||||
$$
|
||||
Заметим, что теперь последняя выполняемая операция~--- умножения
|
||||
некоторого выражения от переменных $x_1,\dots,x_{n-1}$ на $x_n$. Это
|
||||
означает,
|
||||
что мы свели задачу к уже разобранному случаю $k=n-1$; теперь можно,
|
||||
как и выше, воспользоваться предположением индукции, расставить скобки
|
||||
в выражении от $x_1,\dots,x_{n-1}$ нужным образом, и мы сразу получим
|
||||
необходимую расстановку.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
957
vector-spaces.tex
Normal file
957
vector-spaces.tex
Normal file
@ -0,0 +1,957 @@
|
||||
|
||||
|
||||
%%% 2015
|
||||
|
||||
% 17.02.2015
|
||||
|
||||
\section{Векторные пространства}\label{section_vector_spaces}
|
||||
|
||||
\subsection{Первые определения}
|
||||
\literature{[F], гл. XII, \S~1, п. 1, \S~2, пп. 1, 2; [K2], гл. 1,
|
||||
\S~1; [KM], ч. 1, \S~1; [vdW], гл. 4, \S~19.}
|
||||
|
||||
Неформально говоря, векторное пространство~--- это множество, элементы
|
||||
которого называются векторами, на котором определены операции сложения
|
||||
векторов и умножения вектора на число, причем выполняются некоторые
|
||||
естественные свойства этих операций. Здесь <<число>> означает
|
||||
произвольный элемент некоторого основного поля $k$.
|
||||
\begin{definition}\label{def:vector_space}
|
||||
Пусть $k$~--- поле.
|
||||
Множество $V$ вместе с операциями $+\colon V\times V\to V$,
|
||||
$\cdot\colon V\times k\to V$ называется \dfn{векторным
|
||||
пространством}\index{векторное пространство}
|
||||
(точнее~--- \dfn{правым векторным пространством}),
|
||||
если выполняются следующие свойства (называемые {\em аксиомами
|
||||
векторного пространства}):
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $(u+v)+w=u+(v+w)$ для любых $u,v,w\in V$ ({\em ассоциативность сложения});
|
||||
\item существует $0\in V$ такой, что $0+v=v+0=v$ для всех $v\in V$
|
||||
({\em нейтральный элемент по сложению});
|
||||
\item для любого $v\in V$ найдется элемент $-v\in V$ такой, что
|
||||
$v+(-v)=(-v)+v=0$ ({\em обратный элемент по сложению=противоположный
|
||||
элемент});
|
||||
\item $u+v=v+u$ для любых $u,v\in V$ ({\em коммутативность сложения});
|
||||
\item $(u+v)a=u\cdot a+v\cdot a$ для любых $u,v\in V$,
|
||||
$a\in k$ ({\em левая дистрибутивность});
|
||||
\item $u(a+b) = u\cdot a + u\cdot b$ для любых $u\in V$,
|
||||
$a,b\in k$ ({\em правая дистрибутивность});
|
||||
\item $u\cdot(a\cdot b)=(u\cdot a)\cdot b$ для любых $u\in V$,
|
||||
$a,b\in k$ ({\em внешняя ассоциативность});
|
||||
\item $u\cdot 1 = u$ для любого $u\in U$ ({\em унитальность}).
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
При этом элементы пространства $V$ называются
|
||||
\dfn{векторами}\index{вектор}, а
|
||||
элементы поля $k$~--- \dfn{скалярами}\index{скаляр}.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Заметим, что первые три аксиомы не включают в себя умножение на скаляр
|
||||
и выражают тот факт, что $V$ с операцией сложения является {\em
|
||||
группой} (см. определение~\ref{def_group}); четвертая аксиома
|
||||
означает, что эта группа коммутативна.
|
||||
\end{remark}
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Обратите внимание, что знаки $+$ и $\cdot$ в аксиомах используются в
|
||||
разных смыслах: $+$ может означать сложение как в векторном
|
||||
пространстве $V$, так и в поле $k$, а $\cdot$ означает умножение
|
||||
скаляра на вектор и умножение скаляров в поле $k$. Упражнение:
|
||||
про каждый знак $+$ и $\cdot$ в аксиомах векторного пространства
|
||||
скажите, какую именно операцию он обозначает.
|
||||
Символ <<$0$>> также используется в дальнейшем в двух смыслах: он может
|
||||
обозначать как нулевой элемент поля, так и нулевой элемент векторного
|
||||
пространства. При желании мы могли бы как-нибудь различать их (некоторые
|
||||
авторы пишут $\overline{0}$ для нулевого вектора), но
|
||||
не будем этого делать, поскольку из контекста всегда ясно, какой
|
||||
элемент имеется в виду (а если не ясно, читатель получает
|
||||
хорошее упражнение).
|
||||
\end{remark}
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Мы постараемся всегда при умножении вектора на скаляр записывать
|
||||
вектор слева, а вектор справа, то есть, писать $v\cdot a$ для $v\in V$
|
||||
и $a\in k$. Вместе с тем, можно было бы везде писать $a\cdot v$
|
||||
вместо $v\cdot a$. Читателю предлагается переписать
|
||||
определение~\ref{def:vector_space} в таких терминах и убедиться, что
|
||||
получатся совершенно аналогичные аксиомы (за счет коммутативности
|
||||
умножения в поле!) Более щепетильные авторы различают две конвенции
|
||||
в записи и говорят о {\em правых векторных пространствах}
|
||||
и {\em левых векторных пространствах}, соответственно.
|
||||
Отметим, что естественное обобщение понятия векторного пространства
|
||||
на произвольные кольца (не обязательно коммутативные) требует
|
||||
строгого различения этих двух понятий.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{examples}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Для натурального $n$ рассмотрим множество всех столбцов высоты
|
||||
$n$, состоящих из элементов поля $k$:
|
||||
$k^n=\{\begin{pmatrix}a_1 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}\mid a_i\in
|
||||
k\}$. Введем на $k^n$ естественные операции [покомпонентного]
|
||||
сложения и [покомпонентного] умножения на скаляры. Тогда $k^n$
|
||||
превратится в векторное пространство над полем $k$: справедливость
|
||||
всех аксиом немедленно следует из свойств операций над матрицами,
|
||||
поскольку можно рассматривать такие столбцы как матрицы $n\times 1$:
|
||||
$k^n=M(n,1,k)$.
|
||||
\item Аналогично, множество всех строк длины $n$ над $k$ с
|
||||
покомпонентными операциями сложения и умножения на скаляры образует
|
||||
векторное пространство над $k$; мы будем обозначать его через
|
||||
${}^nk$. Альтернативно, ${}^nk=M(1,n,k)$.
|
||||
\item Обобщая предыдущие примеры, можно заметить, что множество
|
||||
$M(m,n,k)$ всех матриц фиксированного размера $m\times n$ с обычными
|
||||
операциями сложения матриц и умножения на скаляры образует векторное
|
||||
пространство над $k$.
|
||||
\item Аналогично первым двум примерам, можно рассмотреть множества столбцов
|
||||
{\em бесконечной высоты} и строк {\em бесконечной ширины}, состоящих
|
||||
из элементов поля $k$. И то, и другое~--- это просто множество бесконечных
|
||||
последовательностей $a_1,a_2,\dots$, где все $a_i$ лежат в $k$.
|
||||
Различие между множеством столбцов и множеством строк лишь в форме записи.
|
||||
Множество таких последовательностей, воспринимаемых как столбцы,
|
||||
мы будем обозначать через $k^\infty$, а множество последовательностей,
|
||||
воспринимаемых как строки~--- через ${}^{\infty}k$.
|
||||
На каждом из этих множеств определены операции [покомпонентного]
|
||||
сложения и [покомпонентного] умножения на элементы поля $k$. Несложно
|
||||
проверить выполнение для них всех свойств из
|
||||
определения~\ref{def:vector_space}, поэтому $k^\infty$ и ${}^{\infty}k$
|
||||
являются векторными пространствами над полем $k$.
|
||||
\item Пусть $E$~--- множество [свободных] векторов на стандартной
|
||||
эвклидовой плоскости. Из школьного курса известно, что сложение
|
||||
векторов и умножение векторов на вещественные числа обладает всеми
|
||||
свойствами из определения векторного пространства. Поэтому $E$ можно
|
||||
рассматривать как векторное пространство над $\mb R$.
|
||||
Аналогично, множество векторов в трехмерном пространстве является
|
||||
векторным пространством над $\mb R$.
|
||||
\item Пусть $k\subseteq L$~--- поля. Элементы $L$ можно складывать
|
||||
между собой и умножать на элементы поля $k$ (на самом деле, их можно
|
||||
перемножать и между собой, но мы забудем про эту операцию). Все
|
||||
свойства из определения векторного пространства немедленно следуют
|
||||
из свойств операций в поле. Поэтому
|
||||
$L$ естественным образом является векторным пространством над
|
||||
$k$. Например, $\mb R$~--- векторное пространство над $\mb Q$, а
|
||||
$\mb C$~--- векторное пространство над $\mb Q$ и над $\mb R$. Кроме
|
||||
того, любое поле является (не очень интересным) векторным
|
||||
пространством над самим собой.
|
||||
\item Многочлены от одной переменной над полем $k$ можно складывать
|
||||
между собой и умножать на скаляры из $k$; поэтому $k[x]$ (с
|
||||
естественными операциями) является векторным пространством над $k$
|
||||
(необходимые аксиомы немедленно следуют из свойств операций в
|
||||
$k[x]$).
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{examples}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
Пусть $V$~--- векторное пространство над $k$. Тогда
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v\cdot 0=0$ для любого вектора $v\in V$, где $0\in k$;
|
||||
\item $0\cdot a = 0$ для любого скаляра $a\in k$, где $0$~--- нулевой вектор;
|
||||
\item $v\cdot (-1)=-v$ для любого вектора $v\in V$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Заметим, что $v\cdot 0 = v\cdot (0+0) = v\cdot 0 + v\cdot
|
||||
0$. Прибавим к обеим частям $-(v\cdot 0)$; получим
|
||||
$(-v\cdot 0) + v\cdot 0 = (-v\cdot 0) + v\cdot 0 + v\cdot 0$, откуда
|
||||
$0=0+v\cdot 0=v\cdot 0$, что и требовалось.
|
||||
\item Заметим, что $0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a
|
||||
+ 0\cdot a$. Прибавим к обеим частям $-(0\cdot a)$; получим
|
||||
$-(0\cdot a) + 0\cdot a = -(0\cdot a) + 0\cdot a
|
||||
+ 0\cdot a$, откуда $0 = 0 + 0\cdot a = 0\cdot a$,
|
||||
что и требовалось.
|
||||
\item Воспользуемся первой частью: $0 = v\cdot 0 = v\cdot (1+(-1)) =
|
||||
v\cdot 1 + v\cdot (-1) = v + v\cdot (-1)$. Прибавим к обеим частям
|
||||
$(-v)$; получим $-v = (-v) + v + v\cdot (-1) = 0 + v\cdot (-1) =
|
||||
v\cdot (-1)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{Подпространства}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Пусть $V$~--- векторное пространство над полем $k$.
|
||||
Подмножество $U\subseteq V$ называется
|
||||
\dfn{подпространством}\index{подпространство}, если выполнены следующие условия:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $0\in U$;
|
||||
\item если $u,v\in U$, то и $u+v\in U$;
|
||||
\item если $u\in U$, $a\in k$, то $u\cdot a\in U$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Тот факт, что $U$ является подпространством $V$, мы будем обозначать
|
||||
так: $U\leq V$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Если $U\leq V$, то $-u\in U$ для любого $u\in
|
||||
U$. Действительно, для любого $u\in U$
|
||||
выполнено $-u = u\cdot (-1)\in U$.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{examples}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item В любом пространстве $V$ есть <<тривиальные>> подпространства
|
||||
$0\leq V$ и $V\leq V$.
|
||||
\item Пусть $V = k[x]$, $U = \{f\in k[x]\mid f(1) = 0\}$. Тогда
|
||||
$U\leq V$.
|
||||
\item Пусть $k[x]_{\leq n}$~--- множество многочленов степени не выше
|
||||
$n$: $k[x]_{\leq n}=\{f\in k[x]\mid \deg(f)\leq n\}$. Нетрудно
|
||||
проверить, что $k[x]_{\leq n}\leq k[x]$.
|
||||
\item Множество векторов, параллельных некоторой плоскости, является
|
||||
подпространством трехмерного пространства векторов.
|
||||
% добавить пример про все подпространства плоскости и трехмерного пространства!
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{examples}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Пересечение произвольного набора подпространств пространства $V$
|
||||
является подпространством в $V$.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Пусть $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$~--- подпространства в
|
||||
$V$. Пусть $u,v\in\bigcap_{\alpha\in A}U_\alpha$. По определению
|
||||
пересечения выполнено $u,v\in U_\alpha$ для всех $\alpha$. Так как
|
||||
$U_\alpha\leq V$, то для каждого $\alpha$ выполнено $u+v\in U_\alpha$,
|
||||
откуда $u+v\in\bigcap_{\alpha\in A}U_\alpha$. Кроме того, если
|
||||
$a\in k$, то для каждого $\alpha$ выполнено $ua\in
|
||||
U_\alpha$, откуда $ua\in\bigcap_{\alpha\in A}U_\alpha$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Пусть $U_1,\dots,U_m$~--- подпространства в $V$.
|
||||
\dfn{Суммой} подпространств $U_1,\dots,U_m$ называется множество
|
||||
всевозможных сумм элементов $U_1,\dots,U_m$.
|
||||
Обозначение: $U_1+\dots+U_m$.
|
||||
Более точно,
|
||||
$$
|
||||
U_1+\dots+U_m = \{u_1+\dots+u_m\mid u_1\in U_1,\dots,u_m\in U_m\}.
|
||||
$$
|
||||
\end{definition}
|
||||
Несложно проверить (упражнение!), что для любых подпространств
|
||||
$U_1,\dots,U_m$ в $V$ их сумма $U_1+\dots+U_m$ также является
|
||||
подпространством в $V$.
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Пусть $U_1,\dots,U_m$~--- подпространства векторного пространства $V$.
|
||||
Тогда их сумма $U_1+\dots+U_m$~--- это наименьшее (по включение)
|
||||
векторное подпространство в $V$, содержащее каждое из подпространств
|
||||
$U_1,\dots,U_m$.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Очевидно, что каждое из подпространств $U_1,\dots,U_m$ содержится
|
||||
в сумме $U_1+\dots+U_m$ (достаточно рассмотреть суммы
|
||||
вида $u_1+\dots+u_m$, в которых все элементы, кроме одного, равны нулю).
|
||||
С другой стороны, если некоторое подпространство пространства $V$
|
||||
содержит $U_1,\dots,U_m$, то оно обязано содержать и все элементы
|
||||
вида $u_1+\dots+u_m$ ($u_i\in U_i$), поэтому обязано содержать
|
||||
$U_1+\dots+U_m$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Итак, любой элемент $u\in U_1+\dots+U_m$ можно представить
|
||||
в виде $u = u_1+\dots+u_m$ для некоторых $u_i\in U_i$.
|
||||
Нас интересует случай, когда такое представление
|
||||
{\em единственно}.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Пусть $U_1,\dots,U_m$~--- подпространства векторного пространства $V$.
|
||||
Будем говорить, что $V$ является \dfn{прямой суммой} подпространств
|
||||
$U_1,\dots,U_m$, если каждый элемент $v\in V$ можно единственным образом
|
||||
представить в виде суммы $v = u_1+\dots+u_m$, где все $u_i\in U_i$.
|
||||
Обозначение: $V=U_1\oplus\dots\oplus U_m$ или
|
||||
$V = \bigoplus_{i=1}^m U_i$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{examples}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Пусть $V = k^3$~--- пространство столбцов высоты $3$ над полем $k$,
|
||||
$U = \{\begin{pmatrix} * \\ * \\ 0 \end{pmatrix}\}$~--- подпространство
|
||||
столбцов, третья координата которых равна нулю,
|
||||
$W = \{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ * \end{pmatrix}\}$~--- подпространство
|
||||
столбцов, первые две координаты которых равны нулю.
|
||||
Тогда $V$ является прямой суммой $U$ и $W$: $V = U\oplus W$.
|
||||
\item Пусть $V = k^n$~--- пространство столбцов высоты $n$ над полем $k$.
|
||||
Обозначим через $U_i$ подпространство столбцов в $V$, в которых на всех
|
||||
местах кроме, возможно, $i$-го, стоит нуль:
|
||||
$$
|
||||
U_i = \{\begin{pmatrix}0 \\ \vdots \\ 0 \\ * \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}\}.
|
||||
$$
|
||||
Тогда $V = U_1\oplus\dots\oplus U_n$.
|
||||
\item Пусть теперь снова $V = k^3$, $U_1$~--- множество столбцов вида
|
||||
$\begin{pmatrix} a \\ a \\ 0\end{pmatrix}$, где $a\in k$;
|
||||
$U_2$~--- множество столбцов вида
|
||||
$\begin{pmatrix} b \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$, где $b\in k$;
|
||||
$U_3$~--- множество столбцов вида
|
||||
$\begin{pmatrix} 0 \\ c \\ d\end{pmatrix}$, где $c,d\in k$.
|
||||
Тогда $V$ {\em не является} прямой суммой подпространств $U_1, U_2, U_3$.
|
||||
Дело в том, что столбец вида $\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$
|
||||
можно разными способами представить в виде суммы трех векторов $u_1\in U_1$,
|
||||
$u_2\in U_2$, $u_3\in U_3$. Действительно,
|
||||
во-первых,
|
||||
$$
|
||||
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
|
||||
=
|
||||
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} +
|
||||
\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} +
|
||||
\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix},
|
||||
$$
|
||||
а во-вторых, разумеется,
|
||||
$$
|
||||
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
|
||||
=
|
||||
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} +
|
||||
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} +
|
||||
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}.
|
||||
$$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{examples}
|
||||
|
||||
В последнем примере мы показали, что пространство {\em не является}
|
||||
прямой суммой данных подпространств, предъявив два различных разложения
|
||||
для {\em нулевого} вектора. Предположим теперь, что у нас есть набор
|
||||
подпространств в $V$, сумма которых равна $V$. Следующее предложение
|
||||
показывает, что для доказательства того, что эта сумма прямая,
|
||||
достаточно доказать, что $0$ единственным образом представляется
|
||||
в виде суммы векторов из этих подпространств.
|
||||
|
||||
\begin{proposition}\label{prop:direct_sum_zero_criteria}
|
||||
Пусть $U_1,\dots,U_n$~--- подпространства в $V$.
|
||||
Пространство $V$ является прямой суммой этих подпространств тогда
|
||||
и только тогда, когда выполняются два следующих условия:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $V = U_1 + \dots + U_n$;
|
||||
\item если $0 = u_1 + \dots + u_n$ для некоторых $u_i\in U_i$, то
|
||||
$u_1 = \dots = u_n = 0$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Предположим сначала, что $V = U_1\oplus\dots\oplus V_n$.
|
||||
Тогда по определению $V = U_1 + \dots + U_n$.
|
||||
Предположим, что $0 = u_1 + \dots + u_n$, где $u_1\in U_1,\dots,u_n\in U_n$.
|
||||
Заметим, что также $0 = 0 + \dots + 0$, где $0\in U_1,\dots,0\in U_n$.
|
||||
Из определения прямой суммы теперь следует, что
|
||||
$u_1 = 0,\dots,u_n=0$.
|
||||
|
||||
Обратно, пусть выполняются два условия выше, и пусть $v\in V$.
|
||||
Из первого условия следует, что мы можем записать
|
||||
$v = u_1 + \dots + u_n$ для некоторых $u_1\in U_1,\dots,u_n\in U_n$.
|
||||
Осталось доказать, что такое представление единственно.
|
||||
Если $v = u'_1 + \dots + u'_n$ для $u'_1\in U_1,\dots,u'_n\in U_n$,
|
||||
то $0 = v - v = (u_1 - u'_1) + \dots + (u_n - u'_n)$, где каждая
|
||||
разность $u_i - u'_i$ лежит в $U_i$. Из второго условия теперь
|
||||
следует, что $u_i - u'_i = 0$ для всех $i$, то есть,
|
||||
что два данных разложения на самом деле совпадают.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Приведем еще один полезный критерий разложения пространства
|
||||
в прямую сумму {\em двух} подпространств.
|
||||
|
||||
\begin{proposition}\label{prop:direct-sum-criteria-for-2}
|
||||
Пусть $U,W\leq V$. Пространство $V$ является прямой суммой $U$ и $W$
|
||||
тогда и только тогда, когда $V = U+W$ и $U\cap W = \{0\}$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Предположим, что $V = U\oplus W$. Тогда $V = U + W$ по определению
|
||||
прямой суммы. Если $v\in U\cap W$, то можно записать
|
||||
$0 = v + (-v)$, где $v\in U$, $(-v)\in W$. Из единственности представления
|
||||
$0$ в виде суммы векторов из $U$ и $W$ теперь следует, что $v=0$.
|
||||
Поэтому $U\cap W = \{0\}$.
|
||||
|
||||
Для доказательства обратного утверждения предположим, что $V = U+W$
|
||||
и $U\cap W = \{0\}$. Пусть $0 = u+w$, где $u\in U$, $w\in W$.
|
||||
По предложению~\ref{prop:direct_sum_zero_criteria}
|
||||
нам достаточно доказать, что $u=w=0$. Но из $0=u+w$ следует,
|
||||
что $u = -w\in W$, в то время $u\in U$. Значит,
|
||||
$u\in U\cap W$, и потому $u=0$ и $w = -u = 0$, что и требовалось.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Представьте три прямые $U_1$, $U_2$, $U_3$, проходящие через $0$
|
||||
на эвклидовой плоскости $V$. Очевидно, что $V = U_1 + U_2 + U_3$
|
||||
и $U_1\cap U_2 = U_2\cap U_3 = U_3\cap U_1 = \{0\}$.
|
||||
Это значит, что {\em наивное} обобщение предложения~\ref{prop:direct-sum-criteria-for-2}
|
||||
неверно.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
% 02.03.2015
|
||||
|
||||
\subsection{Линейная зависимость и независимость}
|
||||
\literature{[F], гл. XII, \S~1, п. 2; [K2], гл. 1,
|
||||
\S~1, п. 2, \S~2, п. 1; [KM], ч. 1, \S~2; [vdW], гл. 4, \S~19.}
|
||||
|
||||
\begin{definition}\label{dfn:linear-combination-and-span}
|
||||
Пусть $V$~--- векторное пространство над $k$, $v_1,\dots,v_n\in V$ и
|
||||
$a_1,\dots,a_n\in k$. Выражение вида
|
||||
$v_1a_1+\dots+v_na_n$ называется \dfn{линейной
|
||||
комбинацией}\index{линейная комбинация} элементов
|
||||
$v_1,\dots,v_n$. Отметим, что иногда линейной
|
||||
комбинацией называется сама формальная сумма
|
||||
$v_1a_1+\dots+v_na_n$, а иногда~--- ее значение (то есть,
|
||||
элемент $V$).
|
||||
Множество всех линейных комбинаций векторов $v_1,\dots,v_m$
|
||||
называется их \dfn{линейной оболочкой} и обозначается
|
||||
через $\la v_1,\dots,v_m\ra$.
|
||||
Полезно определить линейную оболочку и для бесконечного множества векторов:
|
||||
пусть $S\subseteq V$~--- произвольное подмножество векторного
|
||||
пространства $V$. Его линейной оболочкой называется
|
||||
множество всех линейных комбинаций вида $v_1a_1 + \dots + v_na_n$,
|
||||
где $v_1,\dots,v_n\in S$. Обозначение: $\la S\ra$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Нетрудно проверить, что линейная оболочка произвольного подмножества
|
||||
в $V$ является векторным подпространством в $V$.
|
||||
Заметим также, что линейная оболочка пустого подмножества
|
||||
$\varnothing\subset V$ равна тривиальному подпространству $\{0\}$.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{definition}\label{dfn:spanning-set}
|
||||
Пусть $V$~--- векторное пространство, $v_1,\dots,v_m\in V$.
|
||||
Будем говорить, что $v_1,\dots,v_m$~--- \dfn{система образующих}
|
||||
пространства $V$ (или что векторы $v_1,\dots,v_m$ \dfn{порождают}
|
||||
пространство $V$, или что пространство $V$ \dfn{порождается}
|
||||
векторами $v_1,\dots,v_m$), если их линейная оболочка совпадает с $V$:
|
||||
$\la v_1,\dots,v_m\ra = V$.
|
||||
Пространство называется \dfn{конечномерным}, если
|
||||
оно порождается некоторым конечным набором векторов.
|
||||
Можно определить систему образующих и в случае бесконечного набора
|
||||
векторов: подмножество $S\subseteq V$ называется \dfn{системой образующих}
|
||||
пространства $V$, если его линейная оболочка совпадает с $V$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
\begin{examples}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Пространство столбцов $k^n$ конечномерно. Действительно, обозначим
|
||||
через $e_i\in k^n$ столбец, у которого в $i$-ой позиции стоит $1$, а
|
||||
в остальных~--- $0$. Нетрудно проверить, что векторы
|
||||
$e_1,\dots,e_n$ порождают $k^n$.
|
||||
\item Пространство многочленов $k[x]$ над полем $k$ не является конечномерным.
|
||||
Действительно, предположим, что оно порождается некоторым конечным набором
|
||||
многочленов. Пусть $m$~--- наибольшая из степеней этих многочленов.
|
||||
Тогда все линейные комбинации элементов нашего набора являются многочленами
|
||||
степени не выше $m$, и поэтому их множество не совпадает со всем
|
||||
пространством $k[x]$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{examples}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Пространство, не являющееся конечномерным, называется
|
||||
\dfn{бесконечномерным}. По определению это означает, что
|
||||
{\em никакой} конечный набор элементов этого пространства не порождает его.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
Пусть $v_1,\dots,v_n\in V$, и пусть $v\in\la v_1,\dots,v_n\ra$. По определению
|
||||
это означает, что существуют коэффициенты $a_1,\dots,a_n\in k$ такие,
|
||||
что $v = v_1a_1 + \dots + v_na_n$.
|
||||
Зададимся вопросом: единственен ли такой набор коэффициентов?
|
||||
Пусть $b_1,\dots,b_n\in k$~--- еще один набор скаляров, для которого
|
||||
$v = v_1b_1 + \dots + v_nb_n$.
|
||||
Вычитая одно равенство из другого, получаем
|
||||
$0 = v_1(b_1 - a_1) + \dots + v_n(b_n - a_n)$.
|
||||
Мы записали $0$ как линейную комбинацию векторов $v_1,\dots,v_m$.
|
||||
Если единственный способ сделать это тривиален (положить все коэффициенты
|
||||
равными $0$), то $b_i = a_i$ для всех $i$, и поэтому наш набор коэффициентов
|
||||
$a_1,\dots,a_n$ единственен.
|
||||
|
||||
\begin{definition}\label{def:linearly_independent}
|
||||
Набор векторов $v_1,\dots,v_n\in V$ называется \dfn{линейно независимым},
|
||||
если из равенства $v_1a_1 + \dots + v_na_n = 0$ следует, что
|
||||
$a_1 = \dots = a_n$. Назовем выражение вида
|
||||
$v_1a_1 + \dots + v_na_n$ \dfn{тривиальной линейной комбинацией},
|
||||
если все ее коэффициенты равны нулю: $a_1 = \dots = a_n$.
|
||||
Тогда векторы $v_1,\dots,v_n\in V$ линейно независимым если и только если
|
||||
никакая их нетривиальная линейная комбинация не равна нулю.
|
||||
В таком виде определение удобно обобщить на произвольное (не обязательно
|
||||
конечное) множество векторов: подмножество $S\subseteq V$ назовем
|
||||
\dfn{линейно независимым}, если из того, что некоторая линейная комбинация
|
||||
векторов $S$ равна нулю, следует, что все ее коэффициенты равны нулю.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Набор векторов $S\subseteq V$, который {\em не является} линейно независимым,
|
||||
называется \dfn{линейно зависимым}. По определению это означает,
|
||||
что {\em существует} некоторая нетривиальная линейная комбинация
|
||||
векторов из $S$, которая равна нулю. Таким образом,
|
||||
набор $v_1,\dots,v_n\in V$ \dfn{линейно зависим}, если существуют
|
||||
коэффициенты $a_1,\dots,a_n\in k$, не все из которых равны нулю, такие,
|
||||
что $v_1a_1 + \dots + v_na_n = 0$
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Еще одна полезная переформулировка: набор векторов линейно зависим тогда и только тогда,
|
||||
когда некоторый вектор из него выражается через остальные (то есть,
|
||||
лежит в линейной оболочке остальных). Действительно,
|
||||
если набор $S$ линейно зависим, то существует нетривиальная линейная зависимость
|
||||
вида $v_1a_1 + \dots + v_na_n = 0$. Нетривиальность означает, что некоторый
|
||||
ее коэффициент отличен от нуля; без ограничения общности можно считать,
|
||||
что $a_1\neq 0$. Но тогда $v_1 = -\frac{a_2}{a_1}v_2 - \dots - \frac{a_n}{a_1}v_n$.
|
||||
Обратное следствие очевидно. Упражнение: проверьте,
|
||||
что наша переформулировка работает и для <<вырожденных>> случаев
|
||||
наборов из одного вектора.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Рассуждение перед определением~\ref{def:linearly_independent} показывает,
|
||||
что набор $v_1,\dots,v_n$ линейно независим тогда и только тогда,
|
||||
когда у каждого вектора из линейной оболочки $\la v_1,\dots,v_n\ra$ есть
|
||||
только одно представление в виде линейной комбинации векторов
|
||||
$v_1,\dots,v_n$. Аналогично, линейная независимость
|
||||
произвольного подмножества $S\subseteq V$ означает, что
|
||||
у каждого вектора из линейной оболочки $\la S\ra$ есть только
|
||||
одно представление в виде линейной комбинации векторов из $S$.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{examples}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Набор из трех векторов
|
||||
$\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},
|
||||
\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},
|
||||
\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \in k^4$
|
||||
линейно независим. Действительно, их линейная комбинация с коэффициентами
|
||||
$a_1,a_2,a_3$ равна $\begin{pmatrix} a_1 \\ 0 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}$,
|
||||
и из равенства нулю этого вектора следует, что $a_1 = a_2 = a_3$.
|
||||
\item Пусть $n$~--- произвольное натуральное число.
|
||||
Тогда набор $1,x,x^2,\dots,x^n$ линейно независим в пространстве
|
||||
многочленов $k[x]$ (упражнение!). Более того, бесконечное множество
|
||||
$\{1,x,x^2,\dots,x^n,\dots\}$ линейно независимо в $k[x]$.
|
||||
\item Любое множество векторов, содержащее нулевой вектор, линейно зависимо.
|
||||
\item Набор из одного вектора $v\in V$ линейно независим тогда и только тогда,
|
||||
когда $v\neq 0$.
|
||||
\item Набор из двух векторов $u,v\in V$ линейно независим тогда и только тогда,
|
||||
когда ни один из них не получается из другого умножением на скаляр
|
||||
(почему?).
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{examples}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}\label{lemma_lnz_lz_up_down}
|
||||
Пусть $V$~--- векторное пространство, $X\subseteq Y\subseteq V$. Если
|
||||
$Y$ линейно независимо, то и $X$ линейно независимо. Если $X$ линейно
|
||||
зависимо, то и $Y$ линейно зависимо.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Очевидно.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Следующая лемма окажется чрезвычайно полезной. Она утверждает, что если
|
||||
имеется линейно зависимый набор векторов, в котором первый вектор отличен
|
||||
от нуля, то один из векторов набора выражается через предыдущие;
|
||||
тогда его можно выбросить, не изменив линейную оболочку набора.
|
||||
|
||||
\begin{lemma}[о линейной зависимости]\label{lemma:linear-dependence-lemma}
|
||||
Пусть набор $(v_1,\dots,v_n)$ векторов пространства $V$ линейно зависим, и
|
||||
$v_1\neq 0$. Тогда существует индекс $j\in\{2,\dots,n\}$ такой, что
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $v_j\in\la v_1,\dots,v_{j-1}\ra$;
|
||||
\item $\la v_1,\dots,v_n\ra = \la v_1,\dots,\widehat{v_j},\dots,v_n\ra$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
По условию найдутся $a_1,\dots,a_n\in k$ такие, что
|
||||
$v_1a_1+\dots+v_na_n = 0$.
|
||||
Пусть $j$~--- наибольший индекс, для которого $a_j\neq 0$.
|
||||
Тогда
|
||||
$$
|
||||
v_j = - \frac{a_1}{a_j}v_1 - \dots - \frac{a_{j-1}}{a_j}v_{j-1},
|
||||
$$
|
||||
и первый пункт доказан. Очевидно, что
|
||||
$\la v_1,\dots,\widehat{v_j},\dots,v_n\ra\subseteq\la v_1,\dots,v_n\ra$.
|
||||
Покажем обратное включение. Пусть $u\in \la v_1,\dots,v_n\ra$.
|
||||
Это означает, что $u = v_1c_1 + \dots + v_nc_n$ для некоторых
|
||||
$c_1,\dots,c_n\in k$. Заменим в правой части
|
||||
вектор $v_j$ на его выражение через $v_1,\dots,v_{j-1}$; получим,
|
||||
что $u$ есть линейная комбинация векторов $v_1,\dots,\widehat{v_j},\dots,v_n$,
|
||||
что и требовалось.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}\label{cor:lnz-becomes-lz}
|
||||
Пусть набор векторов $v_1,\dots,v_n$ линейно независим, и $v\in V$.
|
||||
Набор $v_1,\dots,v_n,v$ линейно зависим тогда и только тогда,
|
||||
когда $v$ лежит в $\la v_1,\dots,v_n\ra$.
|
||||
\end{corollary}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Если набор $v_1,\dots,v_n,v$ линейно зависим, то
|
||||
(по лемме~\ref{lemma:linear-dependence-lemma}) некоторый вектор в нем
|
||||
выражается через предыдущие. Это не может быть один из $v_1,\dots,v_n$
|
||||
в силу линейной независимости $v_1,\dots,v_n$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Следующая теорема играет ключевую роль в изучении линейно независимых
|
||||
и порождающих систем.
|
||||
|
||||
\begin{theorem}\label{thm:independent-set-smaller-than-generating}
|
||||
В конечномерном векторном пространстве количество элементов в любом линейно независимом
|
||||
множестве не превосходит количества элементов в любом порождающем множестве.
|
||||
Иными словами, если $u_1,\dots,u_m$ линейно независимые векторы пространства $V$,
|
||||
и $\la v_1,\dots,v_n\ra = V$, то $m\leq n$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Опишем процесс, на каждом шаге которого мы заменяем один
|
||||
вектор из $\{v_i\}$ на один вектор из $\{u_j\}$.
|
||||
Заметим сначала, что при добавлении к $v_1,\dots,v_n$ любого вектора
|
||||
мы получим линейно зависимую систему. В частности, набор
|
||||
$u_1,v_1,\dots,v_n$ линейно зависим. По лемме~\ref{lemma:linear-dependence-lemma}
|
||||
мы можем выкинуть из этого набора один из векторов $v_1,\dots,v_n$
|
||||
(скажем, $v_j$) так,
|
||||
что оставшиеся векторы все еще будут порождать $V$.
|
||||
Мы получили набор вида $u_1,v_1,\dots,\widehat{v_j},\dots,v_n$, порождающий $V$.
|
||||
Снова заметим, что при добавлении к нему любого вектора мы получим линейно зависимую
|
||||
систему. В частности, система $u_1,u_2,v_1,\dots,\widehat{v_j},\dots,v_n$ линейно зависима.
|
||||
По лемме~\ref{lemma:linear-dependence-lemma} какой-то вектор в ней выражается через предыдущие.
|
||||
Понятно, что это не $u_2$: это бы означало, что $u_1,u_2$ линейно зависимы.
|
||||
Значит, это один из $v_i$. Лемма~\ref{lemma:linear-dependence-lemma} утверждает, что его
|
||||
можно выбросить, и оставшиеся векторы все еще будут порождать $V$.
|
||||
|
||||
Теперь ясно, что мы можем продолжать этот процесс: на $i$-ом шаге у нас есть
|
||||
порождающий набор $u_1,\dots,u_{i-1},v_{j_1},\dots$ длины $n$. Добавим к нему вектор $u_i$,
|
||||
поместив его после $u_{i-1}$, и получим линейно зависимый набор
|
||||
$u_1,\dots,u_i,v_{j_1},\dots$. По лемме~\ref{lemma:linear-dependence-lemma} некоторый
|
||||
вектор из этого набора выражается через предыдущие. Это не может быть один из векторов
|
||||
$u_1,\dots,u_i$ в силу линейной независимости набора $u_1,\dots,u_m$.
|
||||
Поэтому это один из $v_i$; его можно выбросить и линейная оболочка набора не изменится.
|
||||
|
||||
Заметим теперь, что на каждом шаге мы заменяем один вектор из $v_i$ на один вектор
|
||||
из $u_j$.
|
||||
Если же $m>n$, это означает, что после $n$-го шага мы получили порождающий набор
|
||||
вида $u_1,\dots,u_n$. Добавляя вектор $u_{n+1}$ мы должны получить линейно зависимый
|
||||
набор, который в то же время является подмножеством линейно независимого набора
|
||||
$u_1,\dots,u_m$, чего не может быть.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}\label{prop:subspace-of-fin-dim-is-fin-dim}
|
||||
Любое подпространство конечномерного векторного пространства конечномерно.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Пусть $V$~--- конечномерное пространство, $U\leq V$. Построим цепочку
|
||||
векторов $v_1,v_2,\dots$ следующим образом.
|
||||
Заметим для начала, что если $U = \{0\}$, то $U$ конечномерно и доказывать
|
||||
нечего. Если же $U\neq \{0\}$, выберем ненулевой вектор $v_1\in U$.
|
||||
Очевидно, что $\la v_1\ra\subseteq U$.
|
||||
Если на самом деле $\la v_1\ra = U$, то доказательство окончено. Иначе
|
||||
можно выбрать $v_2\in U$ так, что $v_2\notin\la v_1\ra$.
|
||||
Теперь мы получили набор $v_1,v_2$, и $\la v_1,v_2\ra\subseteq U$.
|
||||
Продолжим процесс: на $i$-ом шаге у нас есть набор $v_1,\dots,v_{i-1}$ такой,
|
||||
что $\la v_1,\dots,v_{i-1}\ra\subseteq U$. Если на самом деле имеет место равенство,
|
||||
то $U$ конечномерно, что и требовалось. Если нет~--- выберем
|
||||
$v_i\in U$ так, что $v_i\notin\la v_1,\dots,v_{i-1}$. Заметим, что
|
||||
на каждом шаге мы получаем линейно независимый набор. Действительно,
|
||||
если векторы $v_1,\dots,v_i$ линейно зависимы, то по лемме~\ref{lemma:linear-dependence-lemma}
|
||||
какой-то из них выражается через предыдущие, что невозможно в силу выбора
|
||||
каждого вектора.
|
||||
Но по теореме~\ref{thm:independent-set-smaller-than-generating} длина
|
||||
этого линейно независимого набора векторов пространства $V$ не превосходит
|
||||
количества элементов в некотором (конечном) порождающем множестве (которое
|
||||
существует по предположению теоремы). Поэтому описанный процесс не может
|
||||
продолжаться бесконечно.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{Базис}
|
||||
\literature{[F], гл. XII, \S~1, п. 2; [K2], гл. 1,
|
||||
\S~2, п. 1--2; [KM], ч. 1, \S~2; [vdW], гл. 4, \S~20.}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Пусть $V$~--- векторное пространство над полем $k$.
|
||||
Набор векторов называется \dfn{базисом} пространства $V$,
|
||||
если он одновременно линейно независим и порождает $V$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
Неформально говоря, линейно независимые наборы векторов очень
|
||||
<<маленькие>>, а системы образующих~--- <<большие>>. На стыке этих
|
||||
двух плохо совместимых свойств возникает понятие базиса. Сейчас мы
|
||||
сформулируем и докажем несколько эквивалентных переформулировок
|
||||
понятия базиса.
|
||||
|
||||
\begin{theorem}\label{thm:basis-equiv}
|
||||
Подмножество $\mc B\subseteq V$ является базисом тогда и только тогда,
|
||||
когда любой вектор $V$ представляется в виде линейной комбинации
|
||||
элементов из $\mc B$, причем единственным образом.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Если $\mc B$~--- базис, то по определению системы образующих любой
|
||||
вектор из $V$ представляется в виде линейной комбинации элементов из
|
||||
$\mc B$. Если таких представления у вектора $v\in V$ два, например,
|
||||
$u_1a_1+\dots+u_na_n = v = u_1b_1+\dots+u_nb_n$ для
|
||||
некоторых $u_i\in\mc B$, $a_i,b_i\in k$, то
|
||||
$u_1(a_1-b_1)+\dots+u_n(a_n-b_n)=0$, и из линейной
|
||||
независимости $\mc B$ следует, что все коэффициенты в этой линейной
|
||||
комбинации равны $0$, откуда $a_i=b_i$ для всех $i$, и на
|
||||
самом деле два представления вектора $v$ совпадают.
|
||||
|
||||
Обратно, если любой вектор $V$ представляется в виде линейной
|
||||
комбинации элементов из $\mc B$ единственным образом, то $\mc B$
|
||||
является системой образующих, и если она линейно зависима, то имеется
|
||||
нетривиальная линейная комбинация
|
||||
$v_1a_1+\dots+v_na_n=0=v_1\cdot 0+\dots+v_n\cdot 0$. Мы
|
||||
получили два различных представления одного вектора $0\in V$ (они
|
||||
различны, поскольку не все $a_i$ равны нулю)~--- противоречие.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}\label{thm:spanning-list-contains-basis}
|
||||
Из любой конечной системы образующих пространства $V$ можно выбрать
|
||||
базис.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Пусть $v_1,\dots,v_n$~--- система образующих пространства $V$.
|
||||
Сейчас мы выбросим из нее некоторые векторы так, чтобы она стала базисом $V$.
|
||||
А именно, последовательно для $j=1,2,\dots,n$, мы выбросим
|
||||
$v_j$, если $v_j\in\la v_1,\dots,v_{j-1}\ra$. Заметим, что при каждом выбрасывании
|
||||
линейная оболочка векторов не меняется, поскольку мы выбрасываем только такие векторы,
|
||||
которые выражаются через предыдущие. Покажем, что полученный в итоге
|
||||
набор векторов линейно независим. Если он линейно зависим, то
|
||||
по лемме~\ref{lemma:linear-dependence-lemma} там найдется вектор, лежащий
|
||||
в линейной оболочке предыдущих; но такой вектор был бы выкинут в процессе.
|
||||
Заметим, что лемму~\ref{lemma:linear-dependence-lemma} можно применить, поскольку
|
||||
первый вектор в нашем наборе обязан быть ненулевым: линейная оболочка пустого
|
||||
набора равна $\{0\}$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
% 16.03.2015
|
||||
|
||||
\begin{corollary}\label{cor:a-basis-exists}
|
||||
В любом конечномерном пространстве есть базис.
|
||||
\end{corollary}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
По определению, в конечномерном пространстве есть конечная система образующих.
|
||||
По теореме~\ref{thm:spanning-list-contains-basis} из нее можно выбрать базис.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
На самом деле, базис есть в любом пространстве, даже бесконечномерном.
|
||||
Доказательство этого факта, однако, требует тонкого рассуждения
|
||||
с использованием {\em аксиомы выбора}\index{аксиома выбора}
|
||||
(см. замечание~\ref{remark:axiom-of-choice}
|
||||
в недрах доказательства теоремы~\ref{thm:sur-inj-reformulations}),
|
||||
поэтому мы воздержимся от него. В нашем курсе речь будет вестись только
|
||||
о конечномерных пространствах; формулировки для бесконечномерных пространств
|
||||
мы приводим только тогда, когда они в точности повторяют формулировки
|
||||
в конечномерном случае.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
Следующая теорема в некотором смысле двойственна
|
||||
теореме~\ref{thm:spanning-list-contains-basis}.
|
||||
\begin{theorem}\label{thm:li-contained-in-a-basis}
|
||||
Любой линейно независимый набор векторов в конечномерном пространстве
|
||||
можно дополнить до базиса.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Пусть $u_1,\dots,u_m$~--- линейно независимая система векторов пространства $V$,
|
||||
и пусть $v_1,\dots,v_n$~--- произвольная порождающая система пространства $V$
|
||||
(она существует по определению конечномерности).
|
||||
Положим для начала $\mc B = \{u_1,\dots,u_m\}$ и
|
||||
проделаем следующую процедуру последовательно для $j=1,\dots,n$:
|
||||
если вектор $v_j$ не лежит в линейной оболочке $\la\mc B\ra$ множества $\mc B$,
|
||||
то добавим его к $\mc B$; а если лежит~--- пропустим. Заметим, что
|
||||
после каждого такого шага множество $\mc B$ все еще линейно независимо
|
||||
(следствие~\ref{cor:lnz-becomes-lz}). После $n$-го шага мы получим,
|
||||
что {\em каждый} из векторов $v_1,\dots,v_n$ лежит в $\la\mc B\ra$.
|
||||
Но тогда и любой вектор, выражающийся через $v_1,\dots,v_n$, лежит
|
||||
в $\la\mc B\ra$. Поэтому $\la\mc B\ra = V$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
В качестве применения теоремы~\ref{thm:li-contained-in-a-basis} приведем следующий
|
||||
полезный результат.
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
Пусть $V$~--- конечномерное пространство, $U\leq V$. Тогда существует
|
||||
подпространство $W\leq V$ такое, что $U\oplus W = V$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
По предложению~\ref{prop:subspace-of-fin-dim-is-fin-dim} пространство $U$
|
||||
конечномерно. По следствию~\ref{cor:a-basis-exists} в нем есть базис,
|
||||
скажем, $u_1,\dots,u_m$. Система векторов $u_1,\dots,u_m$ в пространстве
|
||||
$V$ линейно независима; по теореме~\ref{thm:li-contained-in-a-basis}
|
||||
ее можно дополнить до базиса. Этот базис имеет вид
|
||||
$u_1,\dots,u_m,w_1,\dots,w_n$ для некоторых векторов $w_1,\dots,w_n\in V$.
|
||||
Пусть $W = \la w_1,\dots,w_n\ra$. Покажем, что $U\oplus W = V$.
|
||||
По предложению~\ref{prop:direct-sum-criteria-for-2} для этого достаточно
|
||||
проверить, что $U + W = V$ и $U\cap W = \{0\}$.
|
||||
|
||||
Покажем сначала, что $U + W = V$.
|
||||
Пусть $v\in V$; поскольку $u_1,\dots,u_m,w_1,\dots,w_n$~--- базис $V$,
|
||||
можно записать
|
||||
$v = u_1a_1 + \dots + u_ma_m + w_1b_1 + \dots + w_nb_n$
|
||||
для некоторых скаляров $a_i,b_j\in k$.
|
||||
Обозначим $u = u_1a_1 + \dots + u_ma_m$, $w = w_1b_1 + \dots + w_nb_n$;
|
||||
тогда $v = u+w$, причем $u\in U$, $w\in W$.
|
||||
|
||||
Пусть теперь $v\in U\cap W$. Тогда существуют скаляры $a_i,b_j\in k$
|
||||
такие, что $v = u_1a_1 + \dots + u_ma_m = w_1b_1 + \dots + w_nb_n$.
|
||||
Но тогда $u_1a_1 + \dots + u_ma_m - w_1b_1 - \dots - w_nb_n = 0$~---
|
||||
линейная комбинация, равная нулю. Из линейной независимости
|
||||
нашего набора следует, что все ее коэффициенты равны нулю,
|
||||
а потому и $v=0$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Размерность}
|
||||
\literature{[F], гл. XII, \S~1, п. 2; [K2], гл. 1,
|
||||
\S~2, п. 1--2; [KM], ч. 1, \S~2; [vdW], гл. 4, \S~19.}
|
||||
|
||||
Мы говорили о {\em конечномерных} пространствах, не зная, что такое
|
||||
{\em размерность}. Как же определить размерность векторного пространства?
|
||||
Интуитивно понятно, что размерность пространства столбцов $k^n$ должна равняться $n$.
|
||||
Заметим, что столбцы
|
||||
$$
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
|
||||
\end{pmatrix},
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0
|
||||
\end{pmatrix},\dots,
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$$
|
||||
образуют базис в $k^n$. Поэтому хочется определить размерность пространства $V$
|
||||
как количество элементов в базисе $V$. Но возникает проблема: в {\em каком} базисе?
|
||||
Конечномерное пространство $V$ может иметь много различных базисов,
|
||||
и могло бы оказаться, что у него есть базисы разной длины.
|
||||
Следующая теорема утверждает, что этого не происходит.
|
||||
|
||||
\begin{theorem}\label{thm:bases-have-equal-cardinality}
|
||||
Пусть $V$~--- конечномерное векторное пространство. В любых двух
|
||||
базисах $V$ поровну элементов.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Пусть $\mc B_1$, $\mc B_2$~--- два [конечных] базиса $V$.
|
||||
Тогда $\mc B_1$~--- линейно независимая система, а $\mc B_2$~--- порождающая
|
||||
система; по теореме~\ref{thm:independent-set-smaller-than-generating}
|
||||
количество элементов в $\mc B_1$ не больше, чем в $\mc B_2$.
|
||||
С другой стороны, $\mc B_2$~--- линейно независимая система,
|
||||
а $\mc B_1$~--- порождающая, поэтому количество элементов
|
||||
в $\mc B_2$ не больше, чем в $\mc B_1$. Поэтому в них поровну элементов.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Пусть $V$~--- конечномерное векторное пространство над полем
|
||||
$k$. Количество элементов в любом его базисе называется
|
||||
\dfn{размерностью}\index{размерность} пространства $V$ и обозначается
|
||||
через
|
||||
$\dim_kV$ или просто через $\dim V$. Если же в $V$ нет конечной
|
||||
системы образующих, то любой
|
||||
базис $V$ содержит бесконечное число элементов; в этом случае мы пишем
|
||||
$\dim_kV=\infty$ и говорим, что пространство $V$
|
||||
\dfn{бесконечномерно}\index{векторное пространство!бесконечномерное}.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}\label{prop:dimension_is_monotonic}
|
||||
Пусть $V$~--- конечномерное векторное пространство над $k$ и
|
||||
$U<V$. Тогда $\dim_kU\leq\dim_kV$. Более того, $\dim_kU=\dim_kV$ тогда
|
||||
и только тогда, когда $U=V$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Пусть $n=\dim_kV$ и $\mc B$~--- некоторый базис $U$. Заметим, что
|
||||
$\mc B$~--- линейно независимая система векторов в пространстве
|
||||
$V$. По теореме~\ref{thm:li-contained-in-a-basis} ее можно дополнить
|
||||
до базиса $V$. Значит, $|\mc B| = \dim_k U$ не превосходит размерности $V$.
|
||||
|
||||
Если при этом $\dim_kU = \dim_kV$, то это дополнение должно быть того
|
||||
же размера, что и само множество $\mc B$. Это означает,
|
||||
что $\mc B$ является базисом всего пространства $V$,
|
||||
значит, $U = \la\mc B\ra = V$. Обратное очевидно: если $U = V$,
|
||||
то $\dim_k U = \dim_k V$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Представим, что перед нами [конечный] набор векторов
|
||||
пространства $V$. Как показать, что он образует базис?
|
||||
Можно действовать по определению и проверить два факта:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item этот набор линейно независим;
|
||||
\item этот набор порождает $V$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Оказывается, из теорем~\ref{thm:spanning-list-contains-basis}
|
||||
и~\ref{thm:li-contained-in-a-basis}
|
||||
(вместе с теоремой~\ref{thm:bases-have-equal-cardinality}) следует, что проверку любого
|
||||
одного из этих пунктов можно опустить, если мы уже знаем, что
|
||||
в нашем наборе нужное количество элементов: столько, какова
|
||||
размерность пространства $V$. Разумеется, для этого мы должны
|
||||
заранее знать эту размерность.
|
||||
\begin{proposition}\label{prop:right-dim-implies-basis}
|
||||
Пусть $V$~--- конечномерное векторное пространство.
|
||||
Любая система образующих $V$ длины $\dim(V)$ является базисом $V$.
|
||||
Любая линейно независимая система длины $\dim(V)$ является
|
||||
базисом $V$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
По теореме~\ref{thm:spanning-list-contains-basis} из
|
||||
системы образующих можно выбрать базис. Поскольку этот базис
|
||||
должен иметь длину $\dim(V)$, как и исходная система, то
|
||||
она сама является базисом.
|
||||
Аналогично, по теореме~\ref{thm:li-contained-in-a-basis} любую
|
||||
линейно независимую систему можно дополнить до базиса.
|
||||
Поскольку в ней уже
|
||||
столько же элементов, сколько в любом базисе, это дополнение
|
||||
должно быть пустым. Значит, она сама является базисом.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Следующая теорема выражает размерность суммы подпространств
|
||||
через размерности самих подпространств и их пересечения.
|
||||
\begin{theorem}[Грассмана]
|
||||
Пусть $U_1,U_2\leq V$. Тогда
|
||||
$$
|
||||
\dim(U_1+U_2) = \dim(U_1) + \dim(U_2) - \dim(U_1\cap U_2).
|
||||
$$
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Пусть $\{u_1,\dots,u_m\}$~--- произвольный базис пространства
|
||||
$U_1\cap U_2$ (и, таким образом, $m = \dim(U_1\cap U_2$).
|
||||
Система $\{u_1,\dots,u_m\}$ линейно независима как набор
|
||||
векторов в $U_1$, и поэтому ее можно дополнить до базиса:
|
||||
пусть $\{u_1,\dots,u_m,v_1\,dots,v_l\}$~--- базис $U_1$.
|
||||
Аналогично, система $\{u_1,\dots,u_m\}$ линейно независима
|
||||
как набор векторов в $U_2$, и поэтому ее можно дополнить
|
||||
до базиса пространства $U_2$: пусть
|
||||
$\{u_1,\dots,u_m,w_1,\dots,w_n\}$~--- этот базис.
|
||||
|
||||
Покажем, что
|
||||
набор $\mc B = \{u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_l,w_1,\dots,w_n\}$
|
||||
является базисом пространства $U_1+U_2$.
|
||||
Это система образующих: действительно, любой вектор в $U_1+U_2$
|
||||
по определению есть сумма вектора из $U_1$ и вектора из $U_2$,
|
||||
и каждый из этих двух векторов есть линейная комбинация
|
||||
векторов из $\mc B$. Поэтому $\la\mc B\ra$ содержит $U_1+U_2$;
|
||||
с другой стороны, все векторы из $\mc B$ лежат в $U_1+U_2$,
|
||||
поэтому на самом деле $\la\mc B\ra = U_1 + U_2$.
|
||||
|
||||
Осталось проверить, что множество $\mc B$ линейно независимо.
|
||||
Предположим, что $u_1a_1+\dots+u_ma_m + v_1b_1+\dots+v_lb_l +
|
||||
w_1c_1+\dots +w_nc_n = 0$. Перепишем это равенство:
|
||||
$$
|
||||
w_1c_1+\dots+w_nc_n = -u_1a_1-\dots-u_ma_m - v_1b_1-\dots-v_lb_l.
|
||||
$$
|
||||
Заметим, что левая часть лежит в $U_2$, а правая лежит в $U_1$.
|
||||
Поэтому $w_1c_1+\dots+w_nc_n\in U_1\cap U_2$. Мы знаем базис
|
||||
в $U_1\cap U_2$~--- это $\{u_1,\dots,u_m\}$. Поэтому
|
||||
$$
|
||||
w_1c_1 + \dots + w_nc_n = u_1d_1+\dots+u_md_m.
|
||||
$$
|
||||
Но набор векторов $\{u_1,\dots,u_m,w_1,\dots,w_n\}$
|
||||
линейно независим; поэтому из последнего равенства следует,
|
||||
что все коэффициенты в нем равны 0.
|
||||
В частности, $c_1=\dots=c_n=0$.
|
||||
Поэтому наша исходная линейная зависимость имеет вид
|
||||
$$
|
||||
u_1a_1+\dots+u_ma_m + v_1b_1+\dots+v_lb_l = 0.
|
||||
$$
|
||||
Но набор $\{u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_l\}$ также линейно
|
||||
независим, и потому $a_1 = \dots = a_m = v_1 = \dots = v_l = 0$;
|
||||
значит, исходная линейная комбинация тривиальна,
|
||||
что и требовалось.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}\label{cor:direct-sum-dimension}
|
||||
Если $V = U_1\oplus U_2$, то $\dim(V) = \dim(U_1)+\dim(U_2)$.
|
||||
\end{corollary}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Очевидно.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
Пусть пространство $V$ конечномерно, и $U_1,\dots,U_m$~--- его
|
||||
подпространства такие, что $V = U_1 + \dots + U_m$
|
||||
и $\dim(V) = \dim(U_1) + \dots + \dim(U_m)$.
|
||||
Тогда $V = U_1\oplus \dots \oplus U_m$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Выберем базис в каждом подпространстве $U_i$. Объединение этих
|
||||
базисов является порождающей системой векторов в $V$
|
||||
(поскольку $V$ является суммой $U_i$), а их количество
|
||||
равно размерности $V$. По предложению~\ref{prop:right-dim-implies-basis}
|
||||
он является базисом в $V$. Обозначим этот базис через $\mc B$.
|
||||
По определению прямой суммы нам нужно доказать, что если
|
||||
$0 = u_1+\dots+u_m$ для некоторых $u_i\in U_i$, то $u_1=\dots=u_m=0$.
|
||||
Разложим каждый вектор $u_i$ по выбранному базису пространства
|
||||
$U_i$~--- мы получим некоторую линейную комбинацию элементов
|
||||
базиса $\mc B$. Из ее равенства нулю следует, что все ее коэффициенты
|
||||
равны нулю, а потому и все $u_i$ равны нулю, что и требовалось.
|
||||
\end{proof}
|
||||
Loading…
x
Reference in New Issue
Block a user