\section{Комплексные числа} \subsection{Определение комплексных чисел} \literature{[F], гл. II, \S~1, пп. 1--5; [K1], гл. 5, \S~1, пп. 1--2.} Комплексные числа представляют собой расширение поля вещественных чисел, обладающее гораздо более приятными алгебраическими свойствами. Наш подход к определению комплексных чисел аксиоматический~--- мы сначала описываем некоторое множество с операциями, которое оказывается полем, а потом показываем, что оно содержит вещественные числа и задумываемся о мотивации. \begin{definition}\label{def_complex} Рассмотрим множество $\mb R\times\mb R$ пар вещественных чисел. Введем на нем операции сложения и умножения: \begin{align*} &(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),\\ &(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc). \end{align*} \end{definition} \begin{theorem}\label{complex_ring} Множество с операциями, определенное в~\ref{def_complex}, является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей. \end{theorem} \begin{proof} Необходимо проверить восемь аксиом из определения~\ref{def:ring}. \begin{enumerate} \item $((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=((a+c)+e,(b+d)+f)$, $(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a,b)+(c+e,d+f)=(a+(b+c),d+(e+f))$. Полученные выражения равны, поскольку сложение вещественных чисел ассоциативно. \item Нейтральным элементом по сложению является пара $(0,0)$. Действительно, $(a,b)+(0,0)=(a+0,b+0)=(a,b)$, и по коммутативности сложения (аксиома 4) то же верно, если складывать в другом порядке. \item Противоположным элементом к паре $(a,b)$ является пара $(-a,-b)$. Действительно, $(a,b)+(-a,-b)=(a+(-a),b+(-b))=(0,0)$. \item $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(c+a,d+b)=(c,a)+(d,b)$. \item $((a,b)\cdot(c,d))\cdot(e,f)=(ac-bd,ad+bc)\cdot(e,f) =((ac-bd)e-(ad+bc)f,(ac-bd)f+(ad+bc)e)$. С другой стороны, $(a,b)\cdot((c,d)\cdot(e,f))=(a,b)\cdot(ce-df,cf+de) =(a(ce-df)-b(cf+de),a(cf+de)+b(ce-df))$. Раскрытие скобок показывает, что полученные выражения равны. \item Нейтральным элементом по умножению является пара $(1,0)$. Действительно, $(a,b)\cdot(1,0)=(a\cdot-b\cdot 0,a\cdot 0+b\cdot 1=(a,b)$, и этого достаточно в силу коммутативности умножения (аксиома 7). \item $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ и $(c,d)\cdot (a,b)=(ca-db,cb+da)$. \item $(a,b)\cdot ((c,d)+(e,f))=(a,b)\cdot (c+e,d+f)=(a(c+e)-b(d+f),a(d+f)-b(c+e))$. С другой стороны, $(a,b)\cdot (c,d) + (a,b)\cdot (e,f)=(ac-bd,ad+bc)+(ae-bf,af+be) =(ac-bd+ae-bf,ad+bc+af+be)$. Раскрытие скобок показывает, что полученные выражения равны; и этого достаточно в силу коммутативности умножения (аксиома 7). \end{enumerate} \end{proof} \begin{definition} Множество таких пар вещественных чисел с определенными в~\ref{def_complex} операциями обозначается через $\mb C$; его элементы называются \dfn{комплексными числами}\index{комплексное число}. \end{definition} \begin{remark} Множество вещественных чисел можно считать подмножеством множества комплексных чисел: число $a\in\mb R$ можно рассматривать как комплексное число $(a,0)$. При этом введенные нами операции на парах превращаются в обычные операции над комплексными числами: действительно, $(a,0)+(b,0)=(a+b,0)$ и $(a,0)\cdot (b,0)=(ab,0)$; единица $(1,0)$ и нуль $(0,0)$ в множестве комплексных чисел являются вещественными числами $1$ и $0$. Заметим также, что $a\cdot (c,d)=(a,0)\cdot (c,d)=(ac,ad)$. \end{remark} \begin{definition} Пусть $z=(a,b)$~--- комплексное число; запишем $z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=a+b\cdot(0,1)$. Комплексное число $(0,1)$ обозначается через $i$ и называется \dfn{мнимой единицей}\index{мнимая единица}; основанием этому служит тому, что $i^2=-1$. Запись $z=a+bi$ называется \dfn{алгебраической формой записи комплексного числа}\index{комплексное число!алгебраическая форма записи}, вещественные числа $a$ и $b$~--- \dfn{вещественной частью}\index{вещественная часть} и \dfn{мнимой частью}\index{мнимая часть} комплексного числа $z$ соответственно. Обозначения: $a=\Ree(z)$, $b=\Img(z)$. \end{definition} \begin{remark} Теперь мы можем забыть про интерпретацию комплексного числа как пары вещественных чисел и считать, что комплексное число~--- это выражение вида $a+bi$ с вещественными $a,b$. При этом введенные нами в~\ref{def_complex} операцию переписываются в алгебраической форме следующим образом: \begin{align*} (a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i,\\ (a+bi)\cdot (c+di)&=(ac-bd)+(ad+bc)i. \end{align*} Иными словами, комплексные числа~--- это выражения вида $a+bi$, которые складываются и перемножаются согласно обычным правилам обращения с числами с учетом равенства $i^2=-1$. \end{remark} \subsection{Комплексное сопряжение и модуль} \literature{[F], гл. II, \S~1, пп. 3--5, \S~2, пп. 1--4; [K1], гл. 5, \S~1, п. 3.} \begin{definition} Сопоставим комплексному числу $z=a+bi$ комплексное число $\overline{z}=a-bi$. Полученное отображение $\mb C\to\mb C$ называется \dfn{сопряжением}\index{сопряжение}, а число $\overline{z}$~--- \dfn{сопряженным} к числу $z$. \end{definition} \begin{proposition}[Свойства сопряжения] Для любых комплексных чисел $z,w\in\mb C$ выполняются следующие свойства: \begin{enumerate} \item $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$; \item $\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot\overline{w}$; \item $\overline{\overline{z}}=z$; \item $z=\overline{z}$ тогда и только тогда, когда $z\in\mb R$; \item $\overline{z}\cdot z=z\cdot\overline{z}$~--- неотрицательное вещественное число; оно равно нулю тогда и только тогда, когда $z=0$. \end{enumerate} \end{proposition} \begin{proof} Пусть $z=a+bi$, $w=c+di$. \begin{enumerate} \item $\ol{(a+bi)+(c+di)}=\ol{(a+c)+(b+d)i}=(a+c)-(b+d)i$, $\ol{a+bi}+\ol{c+di}=(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+d)i$. \item $\ol{(a+bi)(c+di)}=\ol{(ac-bd)+(ad+bc)i}=(ac-bd)-(ad+bc)i$, $\ol{a+bi}\cdot\ol{c+di}=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i$. \item $\ol{\ol{z}}=\ol{a-bi}=a+bi$. \item Если $z\in\mb R$, то $z=a+0i$ и $\ol{z}=a-0i=z$. Обратно, если $a+bi=a-bi$, то $b=-b$, откуда $b=0$ и $z=a\in\mb R$. \item $z\cdot\ol{z}=(a+bi)(a-bi)=(a^2+b^2)+(-ab+ba)i=a^2+b^2\geq 0$, и $a^2+b^2=0$ тогда и только тогда, когда $a=b=0$, то есть, когда $z=0$. \end{enumerate} \end{proof} \begin{definition}\label{dfn:absolute_value_complex} Поскольку $z\cdot\overline{z}$~--- неотрицательное вещественное число, из него можно извлечь (также неотрицательный) квадратный корень. Этот корень называется \dfn{модулем}\index{модуль} комплексного числа $z$ и обозначается через $|z|$; таким образом, $z\cdot\overline{z}=|z|^2$. Если $z=a+bi$~--- алгебраическая форма записи комплексного числа, то $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. \end{definition} \begin{proposition} Множество $\mb C$ комплексных чисел является полем. \end{proposition} \begin{proof} После доказательства теоремы~\ref{complex_ring} остается проверить наличие обратного по умножению у каждого ненулевого элемента. Пусть $z\in\mb C$, $z\neq 0$. Тогда $|z|\neq 0$. Рассмотрим число $z'=\frac{1}{|z|^2}\overline{z}$; легко видеть, что $z\cdot z'=z'\cdot z=1$. \end{proof} \begin{remark} Таким образом, в множестве комплексных чисел можно делить на ненулевые элементы: $z/w=zw^{-1}$. Также определена операция возведения в целую степень: если $n>0$, то $z^n=\underbrace{z\cdot\dots\cdot z}_{n}$, если $n<0$ (и $z\neq 0$), то $z^n=\underbrace{z^{-1}\cdot\dots\cdot z^{-1}}_{-n}$, если же $n=0$, то $z^0=1$. Нетрудно видеть, что эта операция удовлетворяет обычным свойствам возведения в степень, типа $z^{m+n}=z^m\cdot z^n$ и $(zw)^n=z^nw^n$. \end{remark} \begin{proposition}[Свойства модуля комплексных чисел]\label{prop_abs_properties} \hspace{1em} \begin{enumerate} \item $|z|\cdot |w|=|z\cdot w|$; \item если $w\neq 0$, то $|z|/|w|=|z/w|$. \end{enumerate} \end{proposition} \begin{proof} \begin{enumerate} \item $|zw|=\sqrt{(zw)(\ol{zw})} =\sqrt{z\cdot w\cdot\ol{z}\cdot\ol{w}} =\sqrt{z\ol{z}\cdot w\ol{w}}=\sqrt{z\ol{z}}\sqrt{w\ol{w}} =|z|\cdot|w|$. \item Домножая на $|w|$, получаем, что нужно доказать $|z|=|z/w|\cdot |w|$, что следует из первой части. \end{enumerate} \end{proof} \begin{remark} Комплексные числа удобно изображать в виде точек плоскости. Рассмотрим декартову систему координат на плоскости и сопоставим комплексному числу $a+bi$ вектор с координатами $(a,b)$ (то есть, радиус-вектор точки $(a,b)$). Сложение векторов (как и комплексных чисел) происходит покоординатно, поэтому сумма векторов изображает сумму комплексных чисел. Модуль комплексного числа в силу теоремы Пифагора равен длине соответствующего вектора. \end{remark} \begin{proposition}[Неравенство треугольника] Для любых комплексных чисел $z_1,z_2,z_3$ выполнено неравенство $|z_1-z_2|+|z_2-z_3|\geq |z_3-z_1|$. \end{proposition} \begin{proof} Обозначим $z=z_1-z_2$, $w=z_2-z_3$; нужно доказать, что $|z|+|w|\geq |z+w|$. Заметим, что если $z+w=0$, неравенство очевидно. Запишем $1=\frac{z}{z+w}+\frac{w}{z+w}$. Согласно правилу сложения комплексных чисел, $\Ree{1}=\Ree(\frac{z}{z+w})+\Ree(\frac{w}{z+w})$. Заметим, что $\Ree(z)\leq |z|$ для любого комплексного числа $z$, поэтому $\Ree{1}\leq |\frac{z}{z+w}|+|\frac{w}{z+w}|$. Домножая на знаменатель, получаем необходимое неравенство. \end{proof} % 29.10.2014 \subsection{Тригонометрическая форма записи комплексного числа} \literature{[F], гл. II, \S~2, пп. 1--6; [K1], гл. 5, \S~1, п. 4.} \begin{definition}\label{dfn:trigonometric_form} Пусть $z=a+bi\in\mb C$~--- ненулевое комплексное число. Обозначим через $r=\sqrt{a^2+b^2}$ модуль числа $z$. Вещественные числа $a/r$ и $b/r$ таковы, что сумма их квадратов равна $1$. Поэтому найдется такой угол $\ph$, что $a/r=\cos(\ph)$, $b/r=\sin(\ph)$. Такой угол $\ph$ называется \dfn{аргументом}\index{аргумент} комплексного числа $z$. Заметим, что при этом $$ z=|z|\cdot z/|z|=|z|(\frac{a}{r}+\frac{b}{r}i)=|z|(\cos(\ph)+i\sin(\ph)). $$ Выражение $z=r(\cos(\ph)+i\sin(\ph))$ называется \dfn{тригонометрической формой записи комплексного числа}\index{комплексное число!тригонометрическая форма}. Обозначение: $\ph=\arg(z)$. Как обычно, можно считать, что аргумент (как и любой угол) записывается вещественным числом с точностью до $2\pi k$, $k\in\mb Z$. Если выбрать представитель в полуинтервале $[0,2\pi)$, получим то, что называется \dfn{главным значением аргумента}\index{аргумент!главное значение}, оно обозначается через $\Arg(z)$ Обратно, по модулю $r$ и аргументу $\ph$ комплексное число $z$ однозначно восстанавливается: $z=a+bi$, $a=r\cos(\ph)$, $b=r\sin(\ph)$. \end{definition} {\small Обратите внимание на необходимость осторожного обращения с понятием угол. Аргумент комплексного числа $z$, вообще говоря, является не вещественным числом, а углом (позднее мы придадим этому точный смысл: $\arg(z)$~--- элемент {\it группы углов}, см.~пример~\ref{examples:group}(\ref{item:group_of_angles})). Этот угол можно записать вещественным числом, но не однозначным образом: некоторые вещественные числа записывают одинаковые углы. Например, числа $0$, $2\pi$, $-2\pi$, $4\pi$, $-4\pi$,\dots ~--- это разные формы записи одного и того же угла. При этом два вещественных числа $\alpha$ и $\beta$ записывают один и тот же угол если и только если они отличаются на целое кратное $2\pi$: $\alpha-\beta = 2\pi k$ для некоторого $k\in\mb Z$. Это похоже на делимость целых чисел: $\alpha$ и $\beta$ задают один угол, если их разность <<делится>> на $2\pi$. Это наводит на мысль, что углы~--- это классы эквивалентности по описанному отношению <<сравнимости по модулю $2\pi$>>. } \begin{proposition}[Единственность тригонометрической формы записи]\label{prop_trig_unique} Пусть $r,r'$~--- положительные вещественные числа, $\ph,\ph'$~--- углы, $z=r(\cos(\ph)+i\sin(\ph))$, $z'=r'(\cos(\ph')+i\sin(\ph'))$ Равенство комплексных чисел $z=z'$ выполнено тогда и только тогда, когда $r=r'$ и $\ph=\ph'$. \end{proposition} \begin{proof} Модуль комплексного числа $z$ равен \begin{align*} \sqrt{(r\cos(\ph))^2+(r\sin(\ph))^2}&=\sqrt{(r^2((\cos(\ph))^2+(\sin(\ph))^2))}\\ &=r; \end{align*} аналогично, модуль комплексного числа $z'$ равен $r'$. Если $z=z'$, то $r=r'$, откуда $z/r=z'/r'$. Значит, $\cos(\ph)+i\sin(\ph)=\cos(\ph')+i\sin(\ph')$, откуда $\cos(\ph)=\cos(\ph')$ и $\sin(\ph)=\sin(\ph')$. Но если у двух углов совпадают синусы и совпадают косинусы, то они равны. Поэтому и $\ph=\ph'$. Обратно, если $r=r'$ и $\ph=\ph'$, то очевидно, что $z=z'$. \end{proof} \begin{remark} Таким образом, $z$ можно задавать не парой вещественных чисел, а парой $(|z|,\arg(z))$, состоящей из положительного вещественного числа и угла. Единственное исключение~--- случай $z=0$: у нуля модуль равен нулю, а аргумент вообще не определен. Чем полезно такое задание? В алгебраической форме записи комплексные числа легко складывать: вещественные части складываются и мнимые части складываются. Оказывается, в тригонометрической форме записи комплексные числа легко перемножать. \end{remark} \begin{theorem}\label{thm_complex_mult} При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Иными словами, если $z,w\in\mb C^*$, то $|zw|=|z|\cdot |w|$ и $\arg(zw)=\arg(z)+\arg(w)$. \end{theorem} \begin{proof} Первое утверждение было доказано в предложении~\ref{prop_abs_properties}. Обозначим $\ph=\arg(z)$, $\psi=\arg(w)$. Заметим, что \begin{align*} zw&=|z|(\cos(\ph)+i\sin(\ph))|w|(\cos(\psi)+i\sin(\psi))\\ &=|z|\cdot |w|(\cos(\ph)\cos(\psi)-\sin(\ph)\sin(\psi)+i(\cos(\ph)\sin(\psi)+\sin(\ph)\cos(\ph)))\\ &=|z|\cdot |w|(\cos(\ph+\psi)+i\sin(\ph+\psi)). \end{align*} С другой стороны, $zw=|zw|\cdot (\cos(\arg(zw))+i\sin(\arg(zw)))$. По предложению~\ref{prop_trig_unique} из этого следует, что $|zw|=|z|\cdot |w|$ (что мы знали и раньше) и $\arg(zw)=\ph+\psi=\arg(z)+\arg(w)$, что и требовалось. \end{proof} \begin{corollary}\label{cor_complex_inverse} Для любого ненулевого комплексного числа $z=r(\cos(\ph)+i\sin(\ph))$ имеем $z^{-1}=r^{-1}(\cos(-\ph)+i\sin(-\ph))$. \end{corollary} \begin{corollary} При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются. \end{corollary} \begin{corollary}[Формула де Муавра]\label{thm_de_moivre} Для любого ненулевого комплексного числа $z=r(\cos(\ph)+i\sin(\ph))$ и любого целого $n$ имеет место равенство $z^n=r^n(\cos(n\ph)+i\sin(n\ph))$. \end{corollary} \begin{proof} Для $n=0$ равенство очевидно; для $n>0$ следует из теоремы~\ref{thm_complex_mult} по индукции, а случай отрицательного $n$ сводится к случаю положительного при помощи равенства $z^n=(z^{-1})^{-n}$ и следствия~\ref{cor_complex_inverse}. \end{proof} \subsection{Корни из комплексных чисел} \literature{[F], гл. II, \S~3, пп. 1--2; [K1], гл. 5, \S~1, п. 4.} Пусть $n$~--- положительное натуральное число, $w\in\mb C$. Посмотрим на решения уравнения $z^n=w$. Во-первых, заметим, что если $w=0$, то и $z=0$ (иначе из равенства $z^n=0$ делением на $z^n$ получаем $1=0$). Пусть теперь $w\neq 0$. Запишем $w$ и $z$ в тригонометрической форме: $w=r(\cos(\ph)+i\sin(\ph))$, $z=|z|\cdot(\cos(\arg(z))+i\sin(\arg(z)))$. По формуле де Муавра (\ref{thm_de_moivre}) $z^n=|z|^n\cdot(\cos(n\arg(z))+i\sin(n\arg(z)))$. Приравнивая $z^n$ к $w$ и пользуясь единственностью тригонометрической записи (\ref{prop_trig_unique}), получаем, что $|z|^n=r$ и $n\arg(z)=\ph$. Отсюда следует, что $|z|=r^{1/n}$. Кроме того, равенство углов $n\arg(z)=\ph$ означает равенство $n\psi=\ph+2\pi k$, где $\psi$~--- некоторый числовой представитель угла $\arg(z)$, а $k$~--- целое число. Значит, $\psi=(\ph+2\pi k)/n$. \begin{theorem}\label{thm_roots_of_complex_number} Пусть $w=r(\cos(\ph)+i\sin(\ph))\in\mb C^*$, $n$~--- положительное натуральное число. Существует ровно $n$ комплексных чисел $z$ таких, что $z^n=w$; можно записать их так: $$ z=r^{1/n}\left(\cos\left(\frac{\ph+2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\ph+2\pi k}{n}\right)\right), $$ где $k=0,1,\dots,n-1$. \end{theorem} \begin{proof} Выше мы проверили, что решения уравнения $z^n=w$ имеют вид $$ z_k=r^{1/n}\left(\cos\left(\frac{\ph+2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\ph+2\pi k}{n}\right)\right). $$ Осталось разобраться с их количеством и устранить неоднозначность: дело в том, что при различных целых $k$ эта формула часто дает одинаковые значения $z$. А именно, $z_k=z_l$ тогда и только тогда, когда углы $(\ph+2\pi k)/n$ и $(\ph+2\pi l)/n$ совпадают. А это происходит тогда, когда их числовые значения отличаются на целое кратное $2\pi$: $(\ph+2\pi k)/n=(\ph+2\pi l)/n+2\pi t$, откуда $\ph+2\pi k=\ph+2\pi l+2\pi tn$ и $k-l=tn$, то есть, $k\equiv l\pmod{n}$. Значит различных значений $z$ столько же, сколько классов вычетов по модулю $n$, и можно выбрать $z_k$, соответствующие различным представителям $k$ этих классов вычетов (см.~\ref{rem_cong_representatives}), например, $k=0,1,\dots,n-1$. \end{proof} \subsection{Корни из единицы} \literature{[F], гл. II, \S~4, пп. 1--4.} Пусть $n$~--- положительное натуральное число. Посмотрим на решения уравнения $z^n=1$ в комплексных числах. \begin{definition} Пусть $n\in\mb N$, $n\geq 1$. Комплексное число $z\in\mb C$ называется \dfn{корнем $n$-ой степени из $1$}\index{корень!степени $n$}, если $z^n=1$. Множество всех корней степени $n$ из $1$ обозначается через $\mu_n$. \end{definition} \begin{proposition}[Свойства корней $n$-ой степени из 1] Для каждого натурального $n\geq 1$ существуют ровно $n$ корней степени $n$ из $1$; это числа $\eps_0^{(n)},\eps_1^{(n)},\dots,\eps_{n-1}^{(n)}$, где $$ \eps_k^{(n)}=\cos(\frac{2\pi k}{n})+i\sin(\frac{2\pi k}{n}). $$ При этом произведение двух корней степени $n$ из $1$ является корнем степени $n$ из $1$; обратный к корню степени $n$ из $1$ является корнем степени $n$ из $1$. \end{proposition} \begin{proof} Формула для $\eps_k^{(n)}$ немедленно следует из теоремы~\ref{thm_roots_of_complex_number} (с учетом того, что $|1|=1$ и $\arg(1)=0$. Если $z,w\in\mu_n$, то $z^n=1$, $w^n=1$, откуда $(zw)^n=z^n\cdot w^n=1$, поэтому и $zw\in\mu_n$. Кроме того, $(z^{-1})^n=(z^n)^{-1}=1$, поэтому и $z^{-1}\in\mu_n$. \end{proof} \begin{remark}[Геометрическая интерпретация корней из единицы]\label{rem:roots_of_unity_geometry} Из формулы для $\eps_k^{(n)}$ видно, что модули всех корней степени $n$ из $1$ равны единице, а аргументы равны $0,2\pi/n,4\pi/n,\dots,2(n-1)\pi/n$, то есть, образуют арифметическую прогрессию с разностью $2\pi/n$. Значит, на комплексной плоскости точки $\eps_k^{(n)}$ лежат на окружности с центром в $0$ и радиусом 1, и углы $\angle AOB$ для двух соседних точек $A$, $B$, равны $2\pi/n$. Из этого следует, что точки $\eps_k^{(n)}$ лежат в вершинах правильного $n$-угольника с центром в $0$. Кроме того, так как $\eps_0^{(n)}=1$, число $1$ является одной из вершин этого $n$-угольника. \end{remark} \begin{remark} Вернемся к уравнению $z^n=w$ для комплексного числа $w\neq 0$. Пусть $z_0$~--- некоторое решение этого уравнения; тогда $z_0^n=w$ и, разделив первоначальное уравнение на это равенство, получаем $z^n/z_0^n=w/w=1$, откуда $(z/z_0)^n=1$, то есть, $z/z_0$ является корнем степени $n$ из $1$. Поэтому $z/z_0=\eps_k^{(n)}$ для некоторого $k$, и $z=z_0\eps_k^{(n)}$. Таким образом, любое решение уравнения $z^n=w$ отличается от некоторого фиксированного решения $z_0$ домножением на корень степени $n$ из $1$. \end{remark} \begin{definition} Корень $n$-ой степени из $1$ называется \dfn{первообразным}\index{корень!первообразный}, если он не является корнем из $1$ никакой меньшей, чем $n$, степени. Иными словами, $z$ называется первообразным корнем степени $n$ из $1$, если $z^n=1$ и $z^m\neq 1$ при $0m$; тогда $\eps^k/\eps^m=\eps^{k-m}=1$. Из определения первообразного корня следует, что $k=m$. \end{proof} % 05.11.2014 \begin{proposition}\label{prop_primitive_root_criteria} Пусть $n\geq 1$~--- натуральное число, $0\geq k\geq n-1$. Корень $\eps_k^{(n)}$ степени $n$ из $1$ является первообразным тогда и только тогда, когда $\gcd(k,n)=1$. \end{proposition} \begin{proof} Обозначим $\eps=\eps_1^{(n)}$. Нетрудно видеть, что $\eps_k^{(n)}=\eps^k$. Если $\gcd(k,n)=d>1$, то $(\eps_k^{(n)})^{n/d}=(\eps^k)^{n/d}=\eps^{kn/d}=(\eps^n)^{k/d}=1^{k/d}=1$ (здесь важно, что $k/d$~--- целое число). Это значит, что $\eps_k^{(n)}$ является корнем степени $n/d$ из $1$, и, поскольку $n/d