\section{Наивная теория множеств} \subsection{Множества} \literature{[K1], гл. 1, \S~5, п. 1; [vdW], гл. 1, \S~1.} Мы не будем давать точных определений основным понятиям теории множеств, этим занимается аксиоматическая теория множеств. Наш подход к теории множеств совершенно наивен; под множеством мы будем понимать некоторый {\it набор} ({\it совокупность}, {\it семейство}) объектов~--- {\it элементов}. Природа этих объектов для нас не очень важна: это могут быть, скажем, натуральные числа, а могут быть другие множества. Множество полностью определяется своими элементами. Иными словами, два множества $A$ и $B$ равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов: $x\in A$ тогда и только тогда, когда $x\in B$. Как задать множество? Самый простой способ~--- перечислить его элементы следующим образом: $A=\{1,2,3\}$. Сразу отметим, что каждый объект $x$ может либо являться элементом данного множества $A$ (это записывается так: $x\in A$), либо не являться его элементом ($x\not\in A$); он не может быть элементом множества $A$ <<два раза>>. Поэтому запись $\{1,2,1,3,3,2\}$ задает то же самое множество, что и запись $\{1,2,3\}$, и запись $\{2,3,1\}$. Прямое перечисление может задать только конечное множество. Для задания бесконечных множеств можно использовать неформальную запись с многоточием, например, $\mb N=\{0,1,2,3,\dots\}$~--- множество натуральных чисел. \begin{remark} Мы будем считать, что $0$ является натуральным числом. \end{remark} В такой записи с многоточием мы предполагаем, что читатель понимает, какие именно элементы имеются в виду. Многоточие может стоять и справа, и слева: например, запись $\{\dots,-4,-2,0,2,4,\dots\}$ призвана обозначать множество четных чисел. Мы предполагаем также, что нам известны такие множества, изучающиеся в школе, как множество вещественных чисел $\mb R$, множество рациональных чисел $\mb Q$, множество целых чисел $\mb Z$. Очень важный пример множества~--- пустое множество $\emptyset$. Это такое множество, что высказывание $x\in\emptyset$ ложно для любого объекта $x$. Чуть более строгий способ задания множества: $A=\{s\in S\mid s\text{ удовлетворяет свойству }P\}$; здесь вертикальная черта $\mid$ читается как <<таких, что>>, а $P$~--- то, что в математической логике называется {\it предикатом}, то есть, высказыванием, которое может для каждого объекта $s$ быть истинным или ложным. Для записи предикатов (и вообще высказываний) полезны значки $\forall$ (<<для любого>>), $\exists$ (<<существует>>) и $\exists!$ (<<существует единственный>>). Эти значки называются {\it кванторами} и также имеют строгий смысл, но для нас они будут служить просто сокращениями интуитивно понятных фраз <<для любого>>, <<существует>> и <<существует единственный>>. Например, $\forall x\in\mathbb N, x>-5$ и $\exists! x\in\mathbb N, 3x=15$~--- истинные высказывания, а $\forall x\in\mathbb N, x<20$~--- ложное. Теперь мы можем более точным образом описать множество всех четных чисел: $\{x\in\mb Z\mid \exists y\in\mb Z: x=2y\}$. Еще одно полезное сокращение позволяет записать множество четных чисел так: $\{2x\mid x\in\mb Z\}$. Множество четных чисел мы будем обозначать через $2\mb Z$. Обратите внимание, что порядок, в котором идут кванторы в высказывании, чрезвычайно важен: высказывание $\forall x\in\mb Z\exists y\in\mb Z:x=y+1$, очевидно, истинно (из любого целого числа можно вычесть $1$). А вот высказывание $\exists y\in\mb Z\forall x\in\mb Z:x=y+1$ означает существование такого загадочного целого числа $y$, которое на единицу меньше любого целого числа. Понятно, что это высказывание ложно. На самом деле, запись $\{s\in S\mid s\text{ удовлетворяет свойству }P\}$ задает не просто множество, а {\it подмножество} множества $S$. Если множество $T$ таково, что любой элемент множества $T$ является и элементом множества $S$, то говорят, что $T$ является подмножеством $S$ и пишут $T\subseteq S$. Более строго, $T\subseteq S$ тогда и только тогда, когда из $x\in T$ следует $x\in S$. Конструкцию <<из \dots следует \dots>> можно записывать значком $\Rightarrow$; в определении подмножества тогда можно писать $x\in T\Rightarrow x\in S$. Заметим, что стрелочка идет только в одну сторону; если бы было верно и $x\in S\Rightarrow x\in T$, то множества $S$ и $T$ совпадали бы. Таким образом, если $T\subseteq S$ и $S\subseteq T$, то $S=T$, поскольку в этом случае $x\in S\Leftrightarrow X\in T$; множества $S$ и $T$ состоят из одних и тех же элементов. Примеры: $\mb N\subseteq\mb Z\subseteq\mb Q\subseteq\mb R$. Кроме того, $2\mb Z\subseteq\mb Z$. Более того, $\emptyset\subseteq X$ для любого множества $X$: пустое множество является подмножеством любого множества. В частности, $\emptyset\subseteq\emptyset$. Не следует путать значки $\subseteq$ и $\in$: так, $\emptyset\not\in\emptyset$. К тому же, слева от значка $\in$ может стоять объект любой природы, а слева от значка $\subseteq$~--- только множество. Следующее важное понятие~--- {\it мощность} множества. Неформально говоря, это количество элементов в множестве. Мощность множества $X$ обозначается через $|X|$. Четко различаются два случая: когда мощность множества конечна и когда она бесконечна. Если мощность множества конечна, то она измеряется натуральным числом (вообще говоря, это практически является определением натурального числа). Например, $|\emptyset|=0$, $|\{1,2,3\}|=|\{2,1,3,2,2,1\}|=3$. Когда мощность множества $X$ не является натуральным числом, говорят, что $X$ бесконечно: $|X|=\infty$. Если множество $X$ конечно, то любое его подмножество $Y$ также конечно, и $|Y|\leq |X|$. Более того, если $Y$~--- подмножество конечного множества $X$, то $|Y|=|X|$ тогда и только тогда, когда $Y=X$. Если же $Y\subseteq X$ и $Y\neq X$ (в этом случае говорят, что $Y$~--- {\it собственное подмножество} $X$), то $|Y|<|X|$. \subsection{Операции над множествами} \literature{[K1], гл. 1, \S~5, п. 1; [vdW], гл. 1, \S~1.} Операции над множествами предоставляют массу способов получать новые множества из уже имеющихся. Мы обсудим по крайней мере следующие операции: \begin{itemize} \item объединение $\cup$, \item пересечение $\cap$, \item разность $\setminus$, \item симметрическая разность $\Delta$, \item (декартово) произведение $\times$, \item несвязное объединение (копроизведение) $\coprod$, \item факторизация $/$. \end{itemize} Пересечение $A\cap B$ множеств $A$ и $B$ состоит из всех элементов, лежащих и в $A$, и в $B$. Более формально, $x\in A\cap B$ тогда и только тогда, когда $x\in A$ и $x\in B$. Объединение $A\cup B$ множеств $A$ и $B$ состоит из всех элементов, лежащих в $A$ или в $B$ (возможно, и в $A$, и в $B$). Иначе говоря, $x\in A\cup B$ тогда и только тогда, когда $x\in A$ или $x\in B$. Разность $A\setminus B$ состоит из элементов $A$, не лежащих в $B$: $A\setminus B=\{x\in A\mid x\not\in B\}$. Иначе говоря, $x\in A\setminus B$ тогда и только тогда, когда $x\in A$ и $x\not\in B$. Симметрическая разность $A$ и $B$ состоит из элементов, лежащих ровно в одном из этих множеств. Это можно записать, например, так: $A\Delta B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)$. Несвязное объединение $A\coprod B$ предназначено для того, чтобы объединить два множества $A$ и $B$ (которые, возможно, имеют непустое пересечение) так, чтобы в результате элементы из $A$ и из $B$ <<не перемешались>>: все элементы из $A$ оказались отличными от всех элементов из $B$. Представьте, что элементы множества $A$ выкрашены в красный цвет, а элементы $B$~--- в синий цвет. После этого они стали все различны (их пересечение стало пустым), и мы рассмотрели их объединение. Если множества $A$ и $B$ конечны, то $|A\coprod B|=|A|+|B|$. Произведение множества $A$ и $B$~--- это множество всех упорядоченных пар $(a,b)$, где $a\in A$, $b\in B$. Запись $(a,b)$ означает, что мы заботимся о порядке элементов $a,b$ (в отличие от записи $\{a,b\}$): пара $(a,b)$, вообще говоря, не равна паре $(b,a)$, если $a\neq b$. Более строго, $(a,b)=(a',b')$ тогда и только тогда, когда $a=a'$ и $b=b'$. Итак, $A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}$. Например, $$ \{1,2,3\}\times\{x,y\}=\{(1,x),(2,x),(3,x),(1,y),(2,y),(3,y)\}. $$ В школе изучают декартову плоскость, которая фактически представляет собой квадрат вещественной прямой: $\mb R^2=\mb R\times\mb R$. Заметим, что $|A\times B|=|A|\times |B|$ для конечных множеств $A$, $B$. Несложно обобщить понятия пересечения и объединения на несколько множеств: $A_1\cap A_2\cap\dots\cap A_n$, $A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n$. Например, $A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4=((A_1\cap A_2)\cap A_3)\cap A_4$; и на самом деле порядок расстановки скобок в таком выражении не имеет значения. Более интересно попробовать обобщить понятие произведения; заметим, что $A_1\times (A_2\times A_3)$ не равно $(A_1\times A_2)\times A_3$. Действительно, первое множество состоит из упорядоченных пар, первый элемент которых лежит в $A_1$, а второй является упорядоченной парой элементов из $A_2$ и $A_3$. В то же время второе множество состоит из совершенно других упорядоченных пар: первый их элемент является упорядоченной парой элементов из $A_1$ и $A_2$, а второй элемент лежит в множестве $A_3$. Но по аналогии с упорядоченной парой можно определить {\it упорядоченную тройку} и получить множество $A_1\times A_2\times A_3=\{(a_1,a_2,a_3)\mid a_1\in A_1,a_2\in A_2,a_3\in A_3\}$ (не совпадающее ни с $A_1\times(A_2\times A_3)$, ни с $(A_1\times A_2)\times A_3$!). Совершенно аналогично определяется {\it упорядоченная $n$-ка} или {\it кортеж} из $n$ элементов $(a_1,\dots,a_n)$, что позволяет определить произведение $A_1\times A_2\times\dots\times A_n$. Несложно определить пересечение и объединение для произвольного (не обязательно конечного) набора множеств: если $(A_i)_{i\in I}$~--- семейство множеств, проиндексированное некоторым индексным множеством $I$, то $\bigcap_{i\in I}A_i$~--- пересечение множеств $A_i$~--- состоит из элементов, которые лежат в каждом $A_i$, а $\bigcup_{i\in I}A_i$~--- объединение множеств $A_i$~--- состоит из элементов, которые лежат хотя бы в одном из $A_i$. С помощью упорядоченных пар мы можем более строго определить несвязное объединение множеств $A$ и $B$: рассмотрим множества $\{0\}\times A$ и $\{1\}\times B$ (состоящие из <<покрашенных элементов>> $(0,a)$ для $a\in A$ и $(1,b)$ для $b\in B$). Теперь все элементы $(0,a)$ и $(1,b)$ уж точно различны, и можно положить $A\coprod B=(\{0\}\times A)\cup(\{1\}\times B)$. \subsection{Отображения} \literature{[K1], гл. 1, \S~5, п. 2, [vdW], гл. 1, \S~2.} {\em Наивное определение}: \dfn{отображение}\index{отображение} $f\colon X\to Y$ сопоставляет каждому элементу $x\in X$ некоторый элемент $y\in Y$. При этом пишут $y=f(x)$ или $x\mapsto y$ и $y$ называют \dfn{образом}\index{образ} элемента $x$ при отображении $f$. Вместе с каждым отображением нужно помнить его \dfn{область определения}\index{область определения} $X$ и \dfn{область значений}\index{область значений} $Y$; например, отображения $\mathbb N\to\mathbb N$, $x\mapsto x^2$ и $\mb R\to\mb R$, $x\mapsto x^2$~--- два совершенно разных отображения. Для каждого множества $X$ можно рассмотреть \dfn{тождественное отображение}\index{тождественное отображение} $\id_X\colon X\to X$, переводящее каждый элемент $x\in X$ в $x$. С каждым декартовым произведением $X\times Y$ множеств $X$ и $Y$ связаны отображения $\pi_1\colon X\times Y\to X$ и $\pi_2\colon X\times Y\to Y$, определенные следующим образом: отображение $\pi_1$ сопоставляет паре $(x,y)$ элементов $x\in X$, $y\in Y$ элемент $x$, а отображение $\pi_2$ сопоставляет этой паре элемент $y$. Эти отображения называются \dfn{каноническими проекциями}\index{каноническая проекция}. Пусть $f\colon X\to Y$~--- отображение, и $A\subseteq X$; \dfn{образом}\index{образ} подмножества $A$ называется множество образов всех элементов из $A$: $f(A)=\{y\in Y\mid \exists x\in A\colon f(x)=y\}=\{f(x)\mid x\in A\}$. Если же $B\subseteq Y$, можно посмотреть на все элементы $X$, образы которых лежат в $B$. Получаем \dfn{(полный) прообраз}\index{прообраз} подмножества $B$: $f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}$. Вообще, говорят, что $x$ является прообразом элемента $y\in Y$, если $f(x)=y$; таким образом, полный прообраз подмножества составлен из всех прообразов всех его элементов. %17.09.2014 Если $f\colon X\to Y$~--- отображение множеств и $A\subseteq X$, можно определить \dfn{ограничение}\index{ограничение} отображения $f$ на $A$. Это отображение, которое мы будем обозначать через $f|_A$, из $A$ в $Y$, задаваемое, неформально говоря, тем же правилом, что и $f$. Более точно, $f|_A(x)=f(x)$ для всех $x\in A$. Пусть теперь даны два отображения, $f\colon X\to Y$, $g\colon Y\to Z$. Их \dfn{композиция}\index{композиция} $g\circ f$~--- это новое отображение из $X$ в $Z$, переводящее элемент $x\in X$ в $g(f(x))\in Z$. То есть, $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ для всех $x\in X$. Обратите внимание, что мы записываем композицию справа налево: в записи $g\circ f$ сначала применяется $f$, а потом $g$. \begin{theorem}[Ассоциативность композиции]\label{thm_composition_associative} Пусть $X,Y,Z,T$~--- множества, $f\colon X\to Y$, $g\colon Y\to Z$, $h\colon Z\to T$. Тогда отображения $(h\circ g)\circ f$ и $h\circ (g\circ f)$ из $X$ в $T$ совпадают. \end{theorem} \begin{proof} Что значит, что два отображения совпадают? Во-первых, должны совпадать их области определения и значений; и действительно, $(h\circ g)\circ f$ и $h\circ (g\circ f)$ действуют из $X$ в $T$. Во-вторых, они должны совпадать в каждой точке. Возьмем любой элемент $x\in X$ и проверим, что $((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ (g\circ f))(x)$. Действительно, $$((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))$$ и $$(h\circ(g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x))).$$ \end{proof} Еще одно полезное свойство композиции: пусть $f\colon X\to Y$~--- отображение. Тогда $f\circ\id_X=\id_Y\circ f=f$. Действительно, $(f\circ\id_X)(x)=f(\id_X(x))=f(x)$ и $(\id_Y\circ f)(x)=\id_Y(f(x))=f(x)$. Все отображения из множества $X$ в множество $Y$ образуют множество, которое мы будем обозначать через $\Map(X,Y)$ или через $Y^X$. Последнее обозначение связано с тем, что для конечных $X$, $Y$ имеет место равенство $|Y^X|=|Y|^{|X|}$. В частности, если $X=\emptyset$, то существует ровно одно отображение из $X$ в $Y$: $|Y^\emptyset|=1$. Если же, наоборот, $Y=\emptyset$, то для непустого $X$ отображений из $X$ в $\emptyset$ вообще нет: точке из $X$ нечего сопоставить. Таким образом, $\emptyset^X=\emptyset$ для непустого $X$. Наконец, для пустого $Y$, как и для любого другого, существует ровно одно отображение из $\emptyset$ в $Y$ (тождественное), поэтому $|\emptyset^\emptyset|=1$. \begin{definition} Пусть $f\colon X\to Y$~--- отображение. \begin{enumerate} \item $f$ называется \dfn{инъективным отображением}, или \dfn{инъекцией}\index{инъекция}, если из $x_1\neq x_2$ следует, что $f(x_1)\neq f(x_2)$ для $x_1,x_2\in X$. Иными словами, у каждого элемента $Y$ не более одного прообраза. \item $f$ называется \dfn{сюръективным отображением}, или \dfn{сюръекцией}\index{сюръекция}, если для каждого $y\in Y$ найдется $x\in X$ такой, что $f(x)=y$. Иными словами, у каждого элеента $Y$ не менее одного прообраза. \item $f$ называется \dfn{биективным отображением}, или \dfn{биекцией}\index{биекция}, если оно инъективно и сюръективно. \end{enumerate} \end{definition} \begin{example} Обозначим через $\mb R_{\geq 0}$ множество неотрицательных вещественных чисел: $\mb R_{\geq 0}=\{x\in\mb R\mid x\geq 0\}$. Рассмотрим четыре отображения \begin{eqnarray*} &&f_1\colon\mb R\to\mb R, x\mapsto x^2;\\ &&f_2\colon\mb R\to\mb R_{\geq 0}, x\mapsto x^2;\\ &&f_3\colon\mb R_{\geq 0}\to\mb R, x\mapsto x^2;\\ &&f_4\colon\mb R_{\geq 0}\to\mb R_{\geq 0}, x\mapsto x^2. \end{eqnarray*} \end{example} Хотя эти отображения задаются одной и той же формулой (возведение в квадрат), их свойства совершенно различны: $f_4$ биективно; $f_3$ инъективно, но не сюръективно; $f_2$ сюръективно, но не инъективно; $f_1$ не инъективно и не сюръективно. \begin{definition}\label{dfn:inverse-map} Пусть $f\colon X\to Y$~--- отображение. Отображение $g\colon Y\to X$ называется \dfn{левым обратным}\index{обратное отображение!левое} к $f$, если $g\circ f = \id_X$. Отображение $g\colon Y\to X$ называется \dfn{правым обратным}\index{обратное отображение!правое} к $f$, если $f\circ g = \id_Y$. Наконец, $g$ называется \dfn{[двусторонним] обратным}\index{обратное отображение} к $f$, если оно одновременно является левым обратным и правым обратным к $f$. Отображение $f$ называется \dfn{обратимым слева}\index{обратимое отображение!слева}, если у него есть левое обратное, \dfn{обратимым справа}\index{обратимое отображение!справа}, если у него есть правое обратное, и просто \dfn{обратимым}\index{обратимое отображение} (или \dfn{двусторонне обратимым}\index{обратимое отображение!двусторонне}), если у него есть обратное. \end{definition} \begin{lemma}\label{lemma:invertible_left_and_right} Если у отображения $f\colon X\to Y$ есть левое обратное и правое обратное, то они совпадают. Таким образом, отображение обратимо тогда и только тогда, когда оно обратимо слева и обратимо справа. \end{lemma} \begin{proof} Пусть у $f$ есть левое обратное $g_L$ и правое обратное $g_R$. По определению это означает, что $g_L\circ f=\id_X$ и $f\circ g_R = \id_Y$. Рассмотрим отображение $(g_L\circ f)\circ g_R$. По теореме об ассоциативности композиции~\ref{thm_composition_associative} оно равно $g_L\circ (f\circ g_R)$. С другой стороны, $(g_L\circ f)\circ g_R = \id_X\circ g_R = g_R$ и $g_L\circ (f\circ g_R) = g_L\circ\id_Y = g_L$. Поэтому $g_L = g_R$. \end{proof} Покажем, что мы на самом деле уже встречали понятия левой, правой и двусторонней обратимости под другими названиями. \begin{theorem}\label{thm:sur-inj-reformulations} Пусть $f\colon X\to Y$~--- отображение. \begin{enumerate} \item Пусть $X$ непусто. $f$ обратимо слева тогда и только тогда, когда $f$ инъективно. \item $f$ обратимо справа тогда и только тогда, когда $f$ сюръективно. \item $f$ обратимо тогда и только тогда, когда $f$ биективно. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Предположим, что $f$ обратимо слева, то есть, $g\circ f = \id_X$ для некоторого $g\colon Y\to X$. Покажем инъективность $f$: пусть $x_1,x_2\in X$ таковы, что $f(x_1) = f(x_2)$. Применяя $g$, получаем, что $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$. Но $g(f(x)) = (g\circ f)(x) = \id_X(x) = x$ для всех $x\in X$, поэтому $x_1 = x_2$. Обратно, предположим, что $f$ инъективно, построим к $f$ левое обратное отображение $g\colon Y\to X$. В силу непустоты $X$ можно выбрать некоторый элемент $c\in X$. Для определения отображения $g$ нам нужно задать его значение для каждого $y\in Y$. Возьмем $y\in Y$; в силу инъективности найдется не более одного элемента $x\in X$ такого, что $f(x) = y$. Если такой элемент (ровно один) есть, положим $g(y) = x$. Если же его нет, положим $g(y) = c$. Проверим, что так определенное отображение $g$ действительно является левым обратным к $f$. Действительно, для всякого $x_0\in X$ элемент $f(x_0)$ лежит в $Y$, и есть ровно один элемент $x\in X$ такой, что $f(x) = f(x_0)$~--- это сам $x_0$. Поэтому в силу нашего определения $g(f(x_0)) = x_0 = \id_X(x_0)$. Мы получили, что для произвольного $x_0\in X$ справедливо $(g\circ f)(x_0) = \id_X(x_0)$. Поэтому $g\circ f = \id_X$. \item Предположим, что $f$ обратимо справа, то есть, $f\circ g = \id_Y$ для некоторого $g\colon Y\to X$. Покажем сюръективность $f$; нужно проверить, что для каждого $y\in Y$ найдется элемент $x\in X$ такой, что $f(x) = y$. Действительно, положим $x = g(y)$. Тогда $f(x) = f(g(y)) = (f\circ g)(y) = \id_Y(y) = y$. Обратно, предположим, что $f$ сюръективно. Построим отображение $g\colon Y\to X$ такое, что $f\circ g = \id_Y$. Для этого мы должны определить $g(y)$ для каждого $y\in Y$. В силу сюръективности найдется хотя бы один элемент $x\in X$ такой, что $f(x) = y$. Тогда положим $g(y) = x$. Очевидно, что $f(g(y)) = y$ для всех $y\in Y$. {\small \begin{remark}\label{remark:axiom-of-choice} На самом деле тот факт, что мы можем {\it одновременно} для каждого $y\in Y$ выбрать один какой-нибудь элемент $x\in X$ со свойством $f(x)=y$, и получится корректно заданное отображение, является одной из аксиом теории множеств (она называется~\dfn{аксиомой выбора}\index{аксиома выбора}). Фактически, она равносильна как раз тому, что мы доказываем: обратимости справа любого сюръективного отображения. Заметим, что при доказательстве первого пункта теоремы такой проблемы не возникает: там при построении левого обратного отображения мы либо выбираем единственный прообраз, либо (в случае пустого прообраза) отправляем наш элемент в фиксированный элемент $c$. Здесь же прообраз может быть огромным, и возможность одновременно в огромном количестве прообразов выбрать по одному элементу как раз и гарантируется аксиомой выбора. Мы не обсуждаем строгую формализацию понятия множества, поэтому игнорируем все проблемы, связанные с аксиомой выбора. \end{remark} } \item Пусть $f$ обратимо. Тогда, очевидно, оно обратимо слева и обратимо справа. По доказанному выше, из этого следует, что $f$ инъективно и сюръективно (заметим, что в доказательстве того, что из обратимости слева следует инъективность, мы не использовали предположение о непустоте $X$). Значит, $f$ биективно. Обратно, пусть $f$ биективно, то есть, инъективно и сюръективно. Предположим сначала, что $X$ непусто. Тогда, по доказанному выше, $f$ обратимо слева и обратимо справа. По лемме~\ref{lemma:invertible_left_and_right} из этого следует, что $f$ обратимо. Осталось рассмотреть случай, когда $X = \emptyset$. Покажем, что в этом случае и $Y = \emptyset$. Для этого вспомним, что $f$ сюръективно. По определению это означает, что для каждого $y\in Y$ найдется $x\in X$ такой, что $f(x) = y$. Если $Y$ непусто, то для какого-нибудь элемента $y\in Y$ должен найтись элемент $x\in X$, а это невозможно, поскольку $X$ пусто. Мы показали, что $X = Y = \emptyset$; но в этом случае есть единственное отображение $f\colon X\to Y$ (тождественное), и единственное отображение $g\colon Y\to X$ будет обратным к нему. \end{enumerate} \end{proof} Если $f\colon X\to Y$~--- некоторое отображение, можно рассмотреть его \dfn{график}\index{график} $$ \Gamma_f=\{(x,f(x))\mid x\in X\}\subseteq X\times Y. $$ Это понятие помогает нам дать точное определение понятию отображения. Нетрудно видеть, что график отображения $f$ однозначно определяет само $f$. С другой стороны, какие подмножества $X\times Y$ могут быть графиками отображений из $X$ в $Y$? Нетрудно понять, что над каждой точкой $x\in X$ должна находиться ровно одна точка $(x,y)$ из графика (у каждой точки $x$ есть ровно один образ). Это приводит нас к следующему определению. \begin{definition} Упорядоченная тройка $(X,Y,\Gamma)$, где $X,Y$~--- множества и $\Gamma\subseteq X\times Y$, называется \dfn{отображением}\index{отображение} из $X$ в $Y$, если \begin{enumerate} \item для любого $x\in X$ из того, что $(x,y_1)\in\Gamma$ и $(x,y_2)\in\Gamma$, следует, что $y_1=y_2$; \item для любого $x\in X$ существует $y\in Y$ такое, что $(x,y)\in\Gamma$. \end{enumerate} \end{definition} \subsection{Бинарные отношения} \literature{[K1], гл. 1, \S~6, п. 1.} \begin{definition} \dfn{Бинарным отношением}\index{отношение!бинарное} на множестве $S$ называется подмножество $R\subseteq S\times S$. Если $(x,y)\in S$, говорят, что \dfn{$x$ находится в отношении $R$ с $y$}\index{отношение}, и пишут $xRy$. \end{definition} %24.09.2014 \begin{examples}\label{examples:relations} Отношение $\geq$ на множестве $\mb R$: $\geq=\{(x,y)\in\mb R\times\mb R\mid x\geq y\}$. Аналогично~--- на множестве $\mb Z$, или на множестве $\mb N$. Отношения $\leq$, $>$, $<$ на тех же множествах. Отношение равенства на $\mb R$: $\{(x,x)\mid x\in\mb R\}$~--- аналогично на любом множестве. Отношение делимости на целых числах (точное определение будет дано во второй главе). На множестве всех прямых на декартовой плоскости можно ввести отношение параллельности и отношение перпендикулярности. \end{examples} Для визуализации отношений полезно рисовать их графики~--- изображать множества точек, координаты которых лежат в данном отношении. \subsection{Отношения эквивалентности} \literature{[K1], гл. 1, \S~6, п. 2; [vdW], гл. 1, \S~5.} Определение отношения достаточно общее; на практике встречаются отношения, удовлетворяющие некоторым из следующих свойств. \begin{definition} Пусть $R\subseteq X\times X$~--- бинарное отношение на множестве $X$. \begin{enumerate} \item $R$ называется \dfn{рефлексивным}\index{отношение!рефлексивное}, если для любого $x\in X$ выполнено $xRx$. \item $R$ называется \dfn{симметричным}\index{отношение!симметричное}, если для любых $x,y\in X$ из $xRy$ следует $yRx$. \item $R$ называется \dfn{транзитивным}\index{отношение!транзитивное}, если для любых $x,y,z\in X$ из $xRy$ и $yRz$ следует $xRz$. \item $R$ называется \dfn{отношением эквивалентности}\index{отношение!эквивалентности}, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. \end{enumerate} \end{definition} \begin{examples} Посмотрим на примеры~\ref{examples:relations}. Нетрудно видеть, что отношения $\geq$, $\leq$, $>$, $<$ на множестве $\mb R$ транзитивны, но не симметричны. При этом отношения $\geq$ и $\leq$ рефлексивны. Отношение равенства на любом множестве является отношением эквивалентности. Отношение делимости рефлексивно и транзитивно. Отношение параллельности прямых на плоскости (если учесть, что прямая параллельна самой себе) является отношением эквивалентности. Отношение перпендикулярности симметрично, но не рефлексивно и не транзитивно. \end{examples} \begin{definition}\label{def_equiv_class} Пусть $\sim$~--- отношение эквивалентности на множестве $X$. Для элемента $x\in X$ рассмотрим множество $\{y\in X\mid y\sim x\}$. Мы будем обозначать его через $\overline{x}$ или $[x]$ и называть \dfn{классом эквивалентности}\index{класс эквивалентности} элемента $x$. \end{definition} \begin{theorem}[О разбиении на классы эквивалентности]\label{thm_quotient_set} Пусть $\sim$~--- отношение эквивалентности на множестве $X$. Тогда $X$ разбивается на классы эквивалентности, то есть, каждый элемент множества $X$ лежит в каком-то классе, и любые два класса либо не пересекаются, либо совпадают. \end{theorem} \begin{proof} Из рефлексивности следует, что $x\in\overline{x}$, поэтому каждый элемент лежит в каком-то классе. Пусть $\overline{x}$ и $\overline{y}$~--- два класса эквивалентности и $\overline{x}\cap\overline{y}\neq\emptyset$. Выберем $z\in\overline{x}\cap\overline{y}$; тогда $z\sim x$ и $z\sim y$. Докажем, что на самом деле $\overline{x}=\overline{y}$, проверив включения в обе стороны. Возьмем $t\in\overline{x}$; тогда $t\sim x$, $x\sim z$, $z\sim y$, откуда $t\sim y$, то есть, $t\in\overline{y}$. Поэтому $\overline{x}\subseteq\overline{y}$. Аналогично, $\overline{y}\subseteq\overline{x}$. \end{proof} \begin{definition}\label{def_quotient_set} Пусть $\sim$~--- отношение эквивалентности на множестве $X$. Множество всех классов эквивалентности элементов $X$ называется \dfn{фактор-множеством}\index{фактор-множество} множества $X$ по отношению $\sim$ и обозначается через $X/\sim$. Отображение $\pi\colon X\to X/\sim$, сопоставляющее каждому элементу $x\in X$ его класс эквивалентности $\overline{x}$, называется \dfn{канонической проекцией}\index{каноническая проекция} множества $X$ на фактор-множество $X/\sim$. Нетрудно видеть, что это отображение сюръективно. \end{definition} \subsection{Метод математической индукции} \literature{[K1], гл. 1, \S~7; [vdW], гл. 1, \S~3; [B], гл. 1, п. 2.} Пусть $P(n)$~--- набор высказываний, зависящий от натурального параметра $n$. \dfn{Принцип математической индукции}\index{принцип математической индукции} гласит, что если $P(0)$ истинно (\dfn{база индукции}\index{база индукции}) и для любого натурального $k$ из истинности $P(k)$ следует истинность $P(k+1)$ (\dfn{индукционный переход}\index{индукционный переход}), то $P(n)$ истинно для всех натуральных $n$. Эквивалентная переформулировка принципа математической индукции гласит, что в любом непустом множестве натуральных чисел есть минимальный элемент. Этот принцип (или какой-то равносильный ему), как правило, принимается за аксиому в современных аксиоматиках натуральных чисел. Покажем, что если в любом непустом множестве натуральных чисел есть минимальный элемент, то принцип математической индукции выполняется. Будем действовать от противного: предположим, что $P(0)$ истинно, и для любого $k\in\mb N$ из истинности $P(k)$ следует истинность $P(k+1)$, но, в то же время, $P(n)$ истинно не для всех $n$. Пусть $A\subseteq\mb N$~--- множество натуральных чисел $n$, для которых $P(n)$ ложно; оно непусто по нашему предположению. Тогда в $A$ есть минимальный элемент $a$. Если $a=0$, то $P(0)$ ложно (поскольку $a\in A$), что противоречит базе индукции. Если же $a>0$, то $a-1$ также является натуральным числом, и $a-1\notin A$ в силу минимальности. Поэтому $P(a-1)$ истинно. Но тогда из индукционного перехода следует, что и $P(a) = P((a-1)+1)$ истинно~--- противоречие. Принципа математической индукции равносилен следующему принципу полной индукции: пусть $P(n)$~--- набор высказываний, зависящий от натурального параметра $n$. Если $P(0)$ истинно и из истинности $P(0), P(1),\dots,P(k)$ следует истинность $P(k+1)$, то $P(n)$ истинно для всех натуральных $n$. \subsection{Операции} \literature{[K1], гл. 4, \S~1, п. 1.} \begin{definition} Пусть $X$~--- множество. \dfn{Бинарной операцией}\index{операция!бинарная} на множестве $X$ называется отображение $X\times X\to X$. \end{definition} \begin{examples} Отображения $\mb R\times\mb R\to\mb R$, задаваемые формулами $(a,b)\mapsto a+b$, $(a,b)\mapsto ab$, $(a,b)\mapsto a-b$, являются бинарными операциями. Отображение $(a,b)\mapsto a^b$ является бинарной операцией на множестве $\mb N$. \end{examples} \begin{definition} Пусть $\ph\colon X\times X\to X$~--- бинарная операция на множестве $X$. \begin{enumerate} \item Операция $\ph$ называется \dfn{ассоциативной}\index{операция!ассоциативная}\index{ассоциативность}, если $\ph(\ph(a,b),c)=\ph(a,\ph(b,c))$ выполняется для всех $a,b,c\in X$. \item Операция $\ph$ называется \dfn{коммутативной}\index{операция!коммутативная}\index{коммутативность}, если $\ph(a,b)=\ph(b,a)$ выполняется для всех $a,b\in X$. \end{enumerate} \end{definition} Нетрудно видеть, что операции сложения и умножения на множестве вещественных чисел являются ассоциативными и коммутативными, а вот возведение в степень натуральных чисел не является ни ассоциативной, ни коммутативной операцией. \begin{definition} Пусть $\bullet$~--- бинарная операция на множестве $X$. Элемент $e\in X$ называется \dfn{левым нейтральным}\index{нейтральный элемент!левый} (или \dfn{левой единицей}\index{единица!левая}) по отношению к операции $\bullet$, если $e\bullet x = x$ для любого $x\in X$. Элемент $e\in X$ называется \dfn{правым нейтральным}\index{нейтральный элемент!правый} (или \dfn{правой единицей}\index{единица!правая}) по отношению к $\bullet$, если $x\bullet e = x$ для любого $x\in X$. Элемент $e\in X$ называется \dfn{нейтральным}\index{нейтральный элемент} (или \dfn{единицей}\index{единица}), если он одновременно является левым и правым нейтральным. \end{definition} Отметим, что бинарная операция возведения в степень на множестве $\mb R$ обладает правой единицей (это $1$: действительно, $a^1 = a$), но не обладает левой единицей. \begin{lemma} Если $\bullet\colon X\times X\to X$~--- бинарная операция, и в $X$ есть правая единица и левая единица относительно $\bullet$, то они совпадают. \end{lemma} \begin{proof} Действительно, если $e_L\in X$~--- левая единица, а $e_R\in X$~--- правая единица, то по определению левой единицы выполнено $e_L\bullet e_R = e_R$, а по определению правой единицы выполнено $e_L\bullet e_R = e_L$. Поэтому $e_L = e_L\bullet e_R = e_R$. \end{proof} \begin{definition} Пусть $\bullet$~--- бинарная операция на множестве $X$, и в $X$ есть нейтральный элемент $e$ относительно этой операции. Пусть $x\in X$. Элемент $y\in X$ называется \dfn{левым обратным}\index{обратный элемент!левый} (относительно операции $\bullet$) к $x$, если $yx = e$. Элемент $y\in X$ называется \dfn{правым обратным}\index{обратный элемент!правый} (относительно операции $\bullet$) к $x$, если $xy = e$. Если $y\in X$ одновременно является левым и правым обратным к $x$, то он называется просто \dfn{обратным}\index{обратный элемент} к $x$. Элемент $x$ называется \dfn{обратимым слева}\index{обратимый элемент!слева}, если у него есть левый обратный, \dfn{обратимым справа}\index{обратимый элемент!справа}, если у него есть правый обратный, и \dfn{обратимым}\index{обратимый элемент}, если у него есть обратный. \end{definition} \begin{lemma} Пусть $\bullet$~--- бинарная операция на множестве $X$, и в $X$ есть нейтральный элемент $e$ относительно это операции. Предположим, что операция $\bullet$ ассоциативна. Пусть элемент $x$ обратим слева и обратим справа. Тогда он обратим. Иными словами, если у элемента есть левый и правый обратный относительно ассоциативной операции, то они совпадают. \end{lemma} \begin{proof} Пусть $y_L$~--- левый обратный к $x$, а $y_R$~--- правый обратный к $x$. По определению это означает, что $y_L\bullet x = e$ и $x\bullet y_R = e$. Но тогда $$ y_R = e\bullet y_R = (y_L\bullet x)\bullet y_R = y_L\bullet (x\bullet y_R) = y_L\bullet e = y_L $$ (обратите внимание, что в середине мы воспользовались ассоциативностью операции $\bullet$). \end{proof} Пусть на $X$ задана бинарная операция $\bullet$, и $a,b,c\in X$. Выражение $a\bullet b\bullet c$ не определено: для его однозначной интерпретации необходимо расставить скобки, и получится либо $(a\bullet b)\bullet c$, либо $a\bullet (b\bullet c)$. Если операция $\bullet$ ассоциативна, то результат вычисления этих двух выражений одинаков. Пусть теперь $a,b,c,d\in X$. Скобки в выражении $a\bullet b\bullet c\bullet d$ можно расставить уже пятью вариантами: $$ ((a\bullet b)\bullet c)\bullet d,\quad (a\bullet (b\bullet c))\bullet d,\quad (a\bullet b)\bullet (c\bullet d),\quad a\bullet((b\bullet c)\bullet d),\quad a\bullet (b\bullet (c\bullet d)). $$ Оказывается, что если операция $\bullet$ ассоциативна, то результат вычисления всех этих выражений одинаков. Аналогично, в выаржении любой длины для указания порядка, в котором выполняются операции, необходимо расставить скобки. Оказывается, для ассоциативной операции результат выполнения не зависит от порядка расстановки скобок. Это свойство называется \dfn{обобщенной ассоциативностью}\index{ассоциативность!обобщенная}. Поэтому для ассоциативных операций ставить скобки в подобных выражениях не обязательно. \begin{theorem} Если на множестве $X$ задана ассоциативная операция $\bullet$, то она обладает обобщенной ассоциативностью: результат вычисления выражения $x_1\bullet x_2\bullet\dots\bullet x_n$ не зависит от расстановки в нем скобок. \end{theorem} \begin{proof} Будем доказывать индукцией по $n$. База $n=3$ является определением ассоциативности. Пусть теперь $n>3$, и для всех меньших $n$ теорема уже доказана. Достаточно показать, что результат при любой расстановке скобок совпадает с результатом при следующей расстановке, в которой все скобки <<сдвинуты влево>> $$ (\dots ((x_1\bullet x_2)\bullet x_3)\bullet\dots\bullet x_n). $$ Возьмем произвольную расстановку и посмотрим на действие, которое выполняется последним: оно состоит в перемножении некоторого выражения от $x_1,\dots,x_k$ и некоторого выражения от $x_{k+1},\dots,x_n$: $$ (\dots x_1\bullet\dots\bullet x_k\dots) \bullet (\dots x_{k+1}\bullet\dots\bullet x_n\dots). $$ При этом $1 \leq k < n$. Предположим сначала, что $k = n-1$. Тогда последняя операция состоит в перемножении скобки, в которой стоят $x_1,\dots,x_{n-1}$, на $x_n$. В выражении от $x_1,\dots,x_{n-1}$ мы можем, по предположению индукции, сдвинуть все скобки влево, не меняя результата. Приписывая справа $x_n$, получаем как раз выражение нужного вида уже от $x_1,\dots,x_n$, и доказательство закончено. Пусть теперь $k