1564 lines
94 KiB
TeX
1564 lines
94 KiB
TeX
\section{Линейные отображения}
|
||
|
||
\subsection{Первые определения}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XII, \S~4, п. 1.; [K2], гл. 2, \S~1, п. 1; [KM],
|
||
ч. 1, \S~3, пп. 1, 2; [vdW], гл. IV, \S~23.}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $V$, $W$~--- векторные пространства над полем $k$.
|
||
Отображение $T\colon V\to W$ называется \dfn{линейным},
|
||
если
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $T(u+v)=T(u) + T(v)$;
|
||
\item $T(va) = T(v)a$ для всех $a\in k$, $v\in V$.
|
||
\end{itemize}
|
||
Иногда вместо $T(v)$ мы будем писать $Tv$.
|
||
Множество всех линейных отображений из $V$ в $W$ мы будем
|
||
обозначать через $\Hom(V,W)$.
|
||
Линейное отображение часто называется
|
||
\dfn{гомоморфизмом}\index{гомоморфизм!векторных пространств} векторных
|
||
пространств; оно называется
|
||
\dfn{эндоморфизмом}\index{эндоморфизм!векторных пространств}, если $U=V$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Обозначим через $0$ отображение, которое любой вектор $v\in V$
|
||
переводит в $0\in W$; то есть, $0(v)=0$ для всех $v\in V$.
|
||
Нетрудно видеть, что оно линейно, то есть,
|
||
$0\in\Hom(V,W)$. Обратите внимание, что мы используем тот же
|
||
символ $0$, что и для обозначения нулевого элемента поля $k$
|
||
и нулевых элементов в векторных пространствах $V$ и $W$.
|
||
\end{example}
|
||
\begin{example}
|
||
Для каждого векторного пространства $V$ можно рассмотреть
|
||
тождественное отображение $\id_V\colon V\to V$.
|
||
Нетрудно проверить, что он линейно; таким образом,
|
||
$\id_V\in\Hom(V,W)$.
|
||
\end{example}
|
||
\begin{example}\label{example:linear-derivative}
|
||
Для пространства многочленов $k[x]$ можно рассмотреть отображение
|
||
{\em дифференцирования} $T\colon k[x]\to k[x]$, сопоставляющее каждому
|
||
многочлену $f\in k[x]$ его производную $f'$. Это отображение линейно,
|
||
поскольку $(f+g)' = f' + g'$ и $(fa)' = f'a$ для всех
|
||
$f,g\in k[x]$ и $a\in k$ (см.
|
||
предложение~\ref{prop:derivative-properties}).
|
||
\end{example}
|
||
\begin{example}\label{example:linear-timesx}
|
||
Отображение $k[x]\to k[x]$, умножающее каждый многочлен на $x$,
|
||
является линейным.
|
||
\end{example}
|
||
\begin{example}
|
||
Снова рассмотрим пространство многочленов $k[x]$, и пусть
|
||
$c\in k$~--- фиксированный элемент основного поля.
|
||
Рассмотрим отображение $\ev_c\colon k[x]\to k$, сопоставляющее
|
||
каждому многочлену $f\in k[x]$ его значение в точке $c$.
|
||
Иными словами, $\ev_c(f) = f(c)$.
|
||
Это отображение линейно (см. предложение~\ref{prop:evaluation-properties});
|
||
оно называется \dfn{эвалюацией в точке $c$}.
|
||
\end{example}
|
||
\begin{example}
|
||
Пусть $k=\mb R$; рассмотрим отображение $T\colon \mb R[x]\to\mb R$,
|
||
сопоставляющее многочлену $f\in\mb R[x]$ значение интеграла
|
||
$$
|
||
T(f) = \int_0^1 f(x)\;dx.
|
||
$$
|
||
Из простейших свойств определенного интеграла следует, что
|
||
отображение $T$ линейно.
|
||
\end{example}
|
||
\begin{example}
|
||
Рассмотрим пространство бесконечных последовательностей ${}^\infty k$.
|
||
Отображение $T\colon {}^\infty k\to {}^\infty k$, сопоставляющее
|
||
последовательности $(x_1,x_2,\dots)$ последовательность
|
||
$(x_2,x_3,\dots)$ ({\em сдвиг влево}) является линейным.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
Пусть $T\colon V\to W$~--- линейное отображение, и пусть
|
||
$v_1,\dots,v_n$~--- базис пространства $V$.
|
||
Если $v\in V$, то можно записать $v = v_1a_1 + \dots + v_na_n$
|
||
для некоторых $a_1,\dots,a_n\in k$. Тогда
|
||
из определения линейности следует, что
|
||
$T(v) = T(v_1)a_1 + \dots + T(v_n)a_n$.
|
||
Это означает, что значение $T$ на любом векторе $v$ полностью
|
||
определяется своими значениями на базисе. Обратно, можно задать
|
||
значения $T(v_1),\dots, T(v_n)\in W$ {\em произвольным} образом,
|
||
и по этим данным однозначно восстанавливается единственное
|
||
линейное отображение из $V$ в $W$.
|
||
\begin{theorem}[Универсальное свойство базиса]\label{thm:universal-basis-property}
|
||
Пусть $V,W$~--- конечномерные векторные пространства,
|
||
$v_1,\dots,v_n$~--- базис $V$, и пусть заданы произвольные
|
||
векторы $w_1,\dots,w_n\in W$.
|
||
Существует единственное линейное отображение $T\colon V\to W$
|
||
такое, что $T(v_i) = w_i$ для всех $i=1,\dots,n$.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Возьмем вектор $v\in V$ и разложим его базису $v_1,\dots,v_n$:
|
||
$v = v_1a_1 + \dots + v_na_n$.
|
||
Если $T(v_i) = w_i$ для $i=1,\dots,n$, то
|
||
\begin{align*}
|
||
T(v) &= T(v_1a_1+\dots+v_na_n) \\
|
||
&= T(v_1)a_1+\dots+T(v_n)a_n \\
|
||
&= w_1a_1 + \dots + w_na_n.
|
||
\end{align*}
|
||
Таким образом, значение $T$ на $v$ однозначно определено
|
||
(поскольку коэффициенты $a_1,\dots,a_n$ однозначно определяются
|
||
вектором $v$, см. теорему~\ref{thm:basis-equiv}).
|
||
Это рассуждение работает для произвольного вектора $v\in V$,
|
||
поэтому линейное отображение $T$, удовлетворяющее условиям
|
||
$T(v_i) = w_i$, единственно.
|
||
|
||
Обратно, если нам дан базис $\{v_i\}$ в $V$ и
|
||
векторы $\{w_i\}$, то для произвольного вектора
|
||
$v = v_1a_1 + \dots + v_na_n$ положим
|
||
$T(v) = w_1a_1 + \dots + w_na_n$ (это выражение определено
|
||
однозначно по теореме~\ref{thm:basis-equiv}).
|
||
Мы получили отображение $T\colon V\to W$; осталось доказать, что
|
||
оно линейно. Действительно, пусть $u,v\in V$,
|
||
причем $v = v_1a_1+\dots+v_na_n$ и $u=v_1b_1+\dots+v_nb_n$.
|
||
Тогда по нашему определению
|
||
$T(v) = w_1a_1 + \dots + w_na_n$,
|
||
$T(u) = w_1b_1 + \dots + w_nb_n$.
|
||
Сложение выражений для $u$ и $v$ показывает, что
|
||
$u+v = v_1(a_1+b_1) + \dots + v_n(a_n+b_n)$, и по определению
|
||
$T$ тогда $T(u+v) = w_1(a_1+b_1) + \dots + w_n(a_n+b_n)$.
|
||
Нетрудно видеть теперь, что $T(u+v) = T(u) + T(v)$.
|
||
Если, кроме того, $a\in k$,
|
||
то $va = v_1a_1a + \dots + v_na_na$, и потому
|
||
$T(va) = w_1a_1a + \dots + w_na_na$. Легко проверить,
|
||
что $T(va) = T(v)a$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Операции над линейными отображениями}\label{subsect:hom_space}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XII, \S~4, пп. 4--6; [K2], гл. 2, \S~1, п. 1;
|
||
\S~2, пп. 1--2; [KM], ч. 1, \S~3; [vdW], гл. IV, \S~23.}
|
||
|
||
|
||
Пусть $V,W$~--- векторные пространства над $k$. Оказывается,
|
||
множество $\Hom(V,W)$ всех линейных отображений из $V$ в $W$
|
||
естественным образом снабжается структурой векторного
|
||
пространства над $k$.
|
||
Чтобы продемонстрировать это, мы должны определить на нем
|
||
две операции: сложение и умножение на скаляр.
|
||
Пусть $S,T\colon V\to W$~--- линейные отображения.
|
||
Определим новое отображение $S+T\colon V\to W$
|
||
формулой $(S+T)(v) = S(v) + T(v)$ для всех $v\in V$.
|
||
Нетрудно проверить, что отображение $S+T$ линейно.
|
||
Поэтому для $S,T\in\Hom(V,W)$ мы построили их сумму
|
||
$S+T\in\Hom(V,W)$.
|
||
Если же $S\colon V\to W$~--- линейное отображение, и $a\in k$,
|
||
можно определить отображение $Sa\colon V\to W$ формулой
|
||
$(Sa)(v) = S(v)a$. Это отображение также линейно, то есть,
|
||
$Sa\in\Hom(V,W)$.
|
||
|
||
Теперь можно проверить, что введенные операции действительно
|
||
превращают $\Hom(V,W)$ в векторное пространство.
|
||
Роль нулевого элемента в нем играет нулевое отображение
|
||
$0\colon\Hom(V,W)$. Для примера проверим одно условие из
|
||
определения векторного пространства:
|
||
пусть $S,T\in\Hom(V,W)$, $a\in k$.
|
||
Тогда для всех $v\in V$ выполнены равенства
|
||
\begin{align*}
|
||
((S+T)a)(v) &= ((S+T)(v))\cdot a \\
|
||
&= (S(v)+T(v))a \\
|
||
&= (S(v)a) + (T(v)a) \\
|
||
&= (Sa)(v) + (Ta)(v) \\
|
||
&= (Sa+Ta)(v)
|
||
\end{align*}
|
||
Поэтому отображения $(S+T)a$, $Sa+Ta$ из $V$ в $W$ совпадают.
|
||
|
||
% 23.03.2015
|
||
|
||
Более того, некоторые линейные отображения можно <<перемножать>>.
|
||
Пусть $U,V,W$~--- векторные пространства над $k$.
|
||
Возьмем линейные отображения $T\in\Hom(U,V)$ и
|
||
$S\in\Hom(V,W)$. Тогда имеет смысл рассматривать их композицию
|
||
$S\circ T\colon U\to W$. Оказывается, отображение $S\circ T$
|
||
также является линейным. Действительно, напомним, что
|
||
$(S\circ T)(u) = S(T(u))$ для всех $u\in U$ по определению
|
||
композиции.
|
||
Поэтому
|
||
\begin{align*}
|
||
(S\circ T)(u_1+u_2) &= S(T(u_1+u_2)) \\
|
||
&= S(T(u_1)+T(u_2)) \\
|
||
&= S(T(u_1))+S(T(u_2)) \\
|
||
&= (S\circ T)(u_1) + (S\circ T)(u_2)
|
||
\end{align*}
|
||
для всех $u_1,u_2\in U$. Если же $u\in U$, $a\in k$, то
|
||
$$
|
||
(S\circ T)(ua) = S(T(ua)) = S(T(u)a) = S(T(u))a
|
||
= (S\circ T)(u)a.
|
||
$$
|
||
Значит, $S\circ T\in\Hom(U,W)$.
|
||
Вместо $S\circ T$ мы будем часто писать $ST$ и воспринимать
|
||
$ST$ как {\em произведение} линейных отображений $S$ и $T$.
|
||
|
||
Заметим, что композиция линейных отображений автоматически
|
||
ассоциативна (по теореме~\ref{thm_composition_associative}),
|
||
то есть, $R(ST) = (RS)T$ для трех линейных отображений таких,
|
||
что указанные композиции имеют смысл.
|
||
Тождественные отображения линейны и играют роль нейтральных
|
||
элементов: $T\id_V = \id_W T$ для $T\in\Hom(V,W)$.
|
||
Наконец, несложно проверить (упражнение!), что
|
||
умножение и сложение линейных отображений обладают свойством
|
||
дистрибутивности: если $T,T_1,T_2\in\Hom(U,V)$
|
||
и $S,S_1,S_2\in\Hom(V,W)$
|
||
то $(S_1+S_2)T = S_1T + S_2T$ и $S(T_1+T_2) = ST_1 + ST_2$.
|
||
|
||
Конечно, произведение линейных отображений некоммутативно:
|
||
равенство $ST=TS$ не обязано выполняться, даже если обе его
|
||
части имеют смысл. Например, если $T\in\Hom(k[x],k[x])$~---
|
||
отображение дифференцирования многочленов
|
||
(см. пример~\ref{example:linear-derivative}),
|
||
а $S\in\Hom(k[x],k[x])$~--- умножение на $x$
|
||
(см. пример~\ref{example:linear-timesx}),
|
||
то $((ST)(f))(x) = xf'(x)$,
|
||
а $((TS)(f))(x) = (xf(x))' = xf'(x) + f(x)$.
|
||
Таким образом, $ST-TS = \id_{k[x]}$.
|
||
|
||
\subsection{Ядро и образ}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XII, \S~4, п. 1; [K2], гл. 2, \S~1, пп. 1, 3;
|
||
[KM], ч. 1, \S~3.}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $T\in\Hom(V,W)$~--- линейное отображение. Его
|
||
\dfn{ядром} называется множество векторов, переходящих
|
||
в $0$ под действием $T$:
|
||
$$
|
||
\Ker(T) = \{v\in V\mid T(v) = 0\}.
|
||
$$
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Если $T\in\Hom(k[x],k[x])$~--- дифференцирование
|
||
(см. пример~\ref{example:linear-derivative}), то
|
||
$\Ker(T) = \{f\in k[x] \mid f'=0\}$. Если поле $k$
|
||
имеет характеристику $0$, то $\Ker(T)$ состоит только из
|
||
констант, то есть, $\Ker(T) = k\subseteq k[x]$~--- одномерное
|
||
подпространство в $k[x]$. Если же
|
||
$\cchar k = p$, то существуют и неконстантные многочлены
|
||
$f\in k[x]$
|
||
такие, что $f'=0$. Например, таков многочлен $x^p$,
|
||
а потому и любой многочлен от $x^p$: действительно,
|
||
обозначим $g(x) = x^p$, тогда
|
||
$(f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x) = 0$.
|
||
Можно показать (упражнение!),
|
||
что $\Ker(T)$ в этом случае в точности состоит
|
||
из многочленов от $x^p$, то есть, от многочленов вида
|
||
$\sum_{j=0}^n a_j x^{jp}$. Таким образом,
|
||
$\Ker(T) = k[x^p]$ в этом случае бесконечномерно.
|
||
\end{example}
|
||
\begin{example}
|
||
Пусть $T\in\Hom(k[x],k[x])$~--- умножение на $x$
|
||
(см. пример~\ref{example:linear-timesx}).
|
||
Тогда $\Ker(T) = 0$.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:kernel-is-subspace}
|
||
Если $T\in\Hom(V,W)$, то $\Ker(T)$ является подпространством
|
||
в $V$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Заметим, что $T(0) = T(0+0) = T(0)+T(0)$, откуда
|
||
$T(0)=0$. Значит, $0\in\Ker(T)$.
|
||
Если $u,v\in\Ker(T)$, то по определению $T(u)=T(v)=0$.
|
||
Тогда и $T(u+v) = T(u)+T(v) = 0+0=0$, то есть, $u+v\in\Ker(T)$.
|
||
Наконец, если $u\in\Ker(T)$ и $a\in k$, то
|
||
$T(u)=0$ и $T(ua)=T(u)a=0\cdot a = 0$, откуда $ua\in\Ker(T)$.
|
||
Вышесказанное означает, что $\Ker(T)\leq V$.
|
||
\end{proof}
|
||
\begin{proposition}\label{prop:injective-iff-kernel-trivial}
|
||
Пусть $T\in\Hom(V,W)$. Отображение $T$ инъективно тогда и только
|
||
тогда, когда $\Ker(T) = 0$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Предположим, что $T$ инъективно. Множество $\Ker(T)$ состоит из
|
||
тех векторов $v$, для которых $T(v) = 0$. Мы знаем, что
|
||
$T(0)=0$ и из инъективности следует, что других таких векторов
|
||
нет; поэтому $\Ker(T) = \{0\}$.
|
||
|
||
Обратно, предположим, что $\Ker(T)=0$. Для проверки инъективности
|
||
возьмем $v_1,v_2\in V$ такие, что $T(v_1)=T(v_2)$ и покажем,
|
||
что $v_1=v_2$. Действительно, тогда $T(v_1-v_2) =
|
||
T(v_1)-T(v_2) = 0$, и потому $v_1-v_2\in\Ker(T) = \{0\}$,
|
||
откуда $v_1-v_2=0$, что и требовалось.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $T\in\Hom(V,W)$. Его \dfn{образом} называется его
|
||
образ как обычного отображения, то есть, множество
|
||
$$
|
||
\Img(T) = \{T(v)\mid v\in V\}.
|
||
$$
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:image-is-subspace}
|
||
Если $T\in\Hom(V,W)$, то $\Img(T)$ является подпространством
|
||
в $W$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Из равенства $T(0)=0$ следует, что $0\in\Img(T)$.
|
||
Если $w_1,w_2\in\Img(T)$, то найдутся $v_1,v_2\in V$ такие, что
|
||
$T(v_1)=w_1$ и $T(v_2)=w_2$. Но тогда
|
||
$T(v_1+v_2) = T(v_1) + T(v_2) = w_1 + w_2$, и потому
|
||
$w_1 + w_2 \in \Img(T)$.
|
||
Если $w\in\Img(T)$, то $T(v)=w$ для некоторого $v\in V$.
|
||
Пусть $a\in k$; тогда $T(va) = T(v)a = wa$, и потому
|
||
$wa\in\Img(T)$. По определению тогда $\Img(T)\leq W$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{theorem}[О гомоморфизме]\label{thm:homomorphism-linear}
|
||
Пусть $V$~--- конечномерное пространство, $T\in\Hom(V,W)$~---
|
||
линейное отображение. Тогда $\Img(T)$ является конечномерным
|
||
подпространством в $W$ и, кроме того,
|
||
$$
|
||
\dim(V) = \dim(\Ker(T)) + \dim(\Img(T)).
|
||
$$
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $u_1,\dots,u_m$~--- базис $\Ker(T)$. Этот линейно
|
||
независимый набор векторов можно продолжить до базиса
|
||
$(u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_n)$ всего пространства $V$
|
||
по теореме~\ref{thm:li-contained-in-a-basis}.
|
||
Таким образом, $\dim(\Ker(T)) = m$ и $\dim(V) = m+n$;
|
||
нам остается лишь доказать, что $\dim(\Img(T)) = n$.
|
||
Для этого рассмотрим векторы $T(v_1),\dots,T(v_n)$ и покажем,
|
||
что они образуют базис подпространства $\Img(T)$. Очевидно,
|
||
что они лежат в $\Img(T)$, и потому
|
||
$\la T(v_1),\dots,T(v_n)\ra\subseteq\Img(T)$. Обратно, если
|
||
$w\in\Img(T)$, то $w=T(v)$ для некоторого $v\in V$.
|
||
Разложим $v$ по нашем базису пространства $V$:
|
||
$$
|
||
v = u_1a_1+\dots+u_ma_m + v_1b_1+\dots+v_nb_n
|
||
$$
|
||
и применим к этому разложению отображение $T$:
|
||
$$
|
||
w = T(v) = T(u_1a_1+\dots+u_ma_m + v_1b_1 + \dots + v_nb_n)
|
||
= T(v_1)b_1 + \dots + T(v_n)b_n.
|
||
$$
|
||
Поэтому $w\in \la T(v_1),\dots,T(v_n)\ra$.
|
||
Осталось показать, что векторы $T(v_1),\dots,T(v_n)$
|
||
линейно независимы. Пусть
|
||
$T(v_1)c_1 + \dots + T(v_n)c_n = 0$~--- некоторая линейная комбинация.
|
||
Тогда $0=T(v_1c_1+\dots+v_nc_n)$. Это означает, что
|
||
вектор $v_1c_1+\dots+v_nc_n$ лежит в $\Ker(T)$.
|
||
Мы знаем базис $\Ker(T)$,потому
|
||
$v_1c_1+\dots+v_nc_n = u_1d_1 + \dots +u_md_m$ для некоторых
|
||
$d_i\in k$. Но набор векторов $u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_n$
|
||
лниейно независим. Значит, все коэффициенты $c_i,d_j$ равны
|
||
нулю, и исходная линейная комбинация векторов
|
||
$T(v_1),\dots,T(v_n)$ тривиальна.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Приведем пару полезных следствий этой теоремы; оказывается,
|
||
уже тривиальные соображения неотрицательности размерности
|
||
имеют серьезные последствия.
|
||
|
||
\begin{corollary}
|
||
Пусть $V,W$~--- векторные пространства над $k$, и
|
||
$\dim V < \dim W$. Не существует сюръективных линейных
|
||
отображений $V\to W$.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
Предположим, что линейное отображение
|
||
$T\colon V\to W$ сюръективно. Тогда
|
||
$\Img(T) = W$, и по теореме~\ref{thm:homomorphism-linear}
|
||
$\dim(V) = \dim(\Ker(T)) + \dim(\Img(T))
|
||
= \dim(\Ker(T)) + \dim(W)$.
|
||
Но $\dim(\Ker(T))\geq 0$, и поэтому
|
||
$\dim(V) \geq \dim(W)$~--- противоречие с условием.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{corollary}\label{cor:no-injective-maps}
|
||
Пусть $V,W$~--- векторные пространства над $k$,
|
||
и $\dim V > \dim W$. Не существует инъективных линейных
|
||
отображений $V\to W$.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
Предположим, что линейное отображение $T\colon V\to W$ инъективно.
|
||
По предложению~\ref{prop:injective-iff-kernel-trivial}
|
||
ядро $T$ тривиально. По теореме~\ref{thm:homomorphism-linear}
|
||
$\dim(V) = \dim(\Ker(T)) + \dim(\Img(T)) = \dim(\Img(T))
|
||
\leq \dim(W)$ (последнее неравенство выполнено
|
||
по предложению~\ref{prop:dimension_is_monotonic})~---
|
||
противоречие с условием.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Матрица линейного отображения}
|
||
\literature{[F], гл. XII, \S~4, пп. 1--3; [K2], гл. 2, \S~1, п. 2;
|
||
\S~2, п. 3; [KM], ч. 1, \S~4; [vdW], гл. IV, \S~23.}
|
||
|
||
Пусть $V,W$~--- два конечномерных пространства,
|
||
и пусть $\mc B = (v_1,\dots,v_n)$~--- упорядоченный базис $V$,
|
||
а $\mc B' = (w_1,\dots,w_m)$~--- упорядоченный базис $W$.
|
||
Универсальное свойства базиса
|
||
(теорема~\ref{thm:universal-basis-property}) означает, что
|
||
для задания линейного отображение $T\colon V\to W$
|
||
достаточно задать векторы $T(v_1),\dots,T(v_n)\in W$.
|
||
Каждый вектор $T(v_j)$, в свою очередь, можно разложить
|
||
по базису $\mc B'$. Задание $T(v_j)$, таким образом, равносильно
|
||
заданию коэффициентов в этом разложении.
|
||
Мы получили, что линейное отображение $T\colon V\to W$
|
||
в итоге задается конечным набором скаляров~--- при условии, что
|
||
в пространствах $V$ и $W$ выбраны базисы.
|
||
Этот набор скаляров удобно записывать в виде матрицы.
|
||
|
||
\begin{definition}\label{dfn:matrix-of-linear-map}
|
||
Пусть $T\colon V\to W$~--- линейное отображение между
|
||
конечномерными пространствами, и пусть выбраны
|
||
упорядоченные базисы
|
||
$\mc B = (v_1,\dots,v_n)$ в $V$
|
||
и $\mc B' = (w_1,\dots,w_m)$ в $W$.
|
||
Разложим каждый вектор $T(v_j)$ по базису $\mc B'$
|
||
и запишем
|
||
$$
|
||
T(v_j) = w_1a_{1j} + w_2a_{2j} + \dots + w_ma_{mj}.
|
||
$$
|
||
Набор коэффициентов $(a_{ij})_{\substack{1\leq i\leq m \\
|
||
1\leq j\leq n}}$ мы воспринимаем как матрицу
|
||
размера $m\times n$; она называется
|
||
\dfn{матрицей линейного отображения $T$ в базисах $\mc B$,
|
||
$\mc B'$} и обозначается через $[T]_{\mc B,\mc B'}$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
Как мы увидим ниже (см. теорему~\ref{thm:hom-isomorphic-to-m}),
|
||
линейное отображение полностью определяется
|
||
своей матрицей (в выбранных базисах). Известные нам операции
|
||
над линейными отображениями (сложение, умножение на скаляр,
|
||
композиция) при этом превращаются в известные
|
||
нам операции над матрицами (сложение, умножение на скаляр,
|
||
произведение). Ниже мы введем понятие координат вектора,
|
||
и тогда рассуждения с абстрактными векторными пространствами
|
||
и линейными отображениями можно будет сводить к конкретным
|
||
матричным вычислениям. Иными словами, матрицы полезны, когда
|
||
вам нужно <<засучить рукава>> и вычислить что-нибудь конкретное.
|
||
В то же время, всегда нужно помнить, что для перехода к матрицам
|
||
нужно зафиксировать базисы в рассматриваемых пространствах,
|
||
что может привести к утрате симметрии и некоторой неуклюжести.
|
||
|
||
Пусть $T,S\colon V\to W$~--- линейные отображения, и
|
||
в пространствах $V,W$ выбраны базисы, как в
|
||
определении~\ref{dfn:matrix-of-linear-map}.
|
||
Покажем, что матрица суммы $T+S$ этих отображений
|
||
является суммой матрицы отображения $T$ и матрицы отображения $S$.
|
||
Иными словами, $[T+S]_{\mc B,\mc B'} = [T]_{\mc B,\mc B'}
|
||
+ [S]_{\mc B,\mc B'}$.
|
||
Пусть $[T]_{\mc B,\mc B'} = (a_{ij})$,
|
||
$[S]_{\mc B,\mc B'} = (b_{ij})$.
|
||
По определению это означает, что
|
||
$T(v_j) = \sum_{i=1}^m w_ia_{ij}$,
|
||
$S(v_j) = \sum_{i=1}^m w_ib_{ij}$.
|
||
Но тогда $(T+S)(v_j) = T(v_j) + S(v_j)
|
||
= \sum_{i=1}^m w_i(a_{ij}+b_{ij})$.
|
||
Значит, в разложении вектора $(T+S)(v_j)$ по базису $\mc B'$
|
||
коэффициент при $w_i$ равен $a_{ij}+b_{ij}$.
|
||
Это означает, что в матрице $[T+S]_{\mc B,\mc B'}$
|
||
в позиции $(i,j)$ стоит $a_{ij} + b_{ij}$.
|
||
Но это и есть определение суммы матриц $[T]_{\mc B,\mc B'}$
|
||
и $[S]_{\mc B,\mc B'}$.
|
||
|
||
Совершенно аналогичное рассуждение показывает, что
|
||
$[Ta]_{\mc B,\mc B'} = [T]_{\mc B,\mc B'}\cdot a$ для
|
||
любого скаляра $a\in k$.
|
||
Доказанные факты можно сформулировать следующим образом.
|
||
\begin{theorem}\label{thm:taking-matrix-is-linear}
|
||
Пусть $V,W$~--- конечномерные векторные пространства над полем $k$,
|
||
и $\mc B,\mc B'$~--- базисы в $V,W$ соответственно.
|
||
Обозначим $n=\dim(V)$, $m=\dim(W)$.
|
||
Отображение $\ph\colon \Hom(V,W) \to M(m,n,k)$, сопоставляющее
|
||
линейному отображению $T\in\Hom(V,W)$ его матрицу
|
||
$[T]_{\mc B,\mc B'}$ в базисах $\mc B,\mc B'$, является линейным.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Для проверки линейности $\ph$ по определению нужно показать,
|
||
что $[T+S]_{\mc B,\mc B'} = [T]_{\mc B,\mc B'} + [S]_{\mc B,\mc B'}$
|
||
и $[Ta]_{\mc B,\mc B'} = [T]_{\mc B,\mc B'}a$ для всех
|
||
$T,S\in\Hom(V,W)$, $a\in k$, что и было доказано выше.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Гораздо интереснее посмотреть, что
|
||
происходит при композиции линейных отображений.
|
||
\begin{theorem}\label{thm:composition-is-multiplication}
|
||
Пусть $U,V,W$~--- три векторных пространства с базисами
|
||
$\mc B = (u_1,\dots,u_l)$,
|
||
$\mc B' = (v_1,\dots,v_m)$,
|
||
$\mc B'' = (w_1,\dots,w_n)$, соответственно,
|
||
и пусть $S\colon U\to V$, $T\colon V\to W$~--- линейные отображения.
|
||
Тогда
|
||
$[T\circ S]_{\mc B,\mc B''} = [T]_{\mc B',\mc B''}\cdot
|
||
[S]_{\mc B,\mc B'}$.
|
||
\end{theorem}
|
||
Читатель может проверить, что написанное выражение имеет смысл:
|
||
в правой части стоят матрицы таких размеров, что их можно
|
||
перемножить, и в результате получается матрица того же размера,
|
||
что и в левой части.
|
||
|
||
Доказательство этого факта нужно воспринимать как
|
||
(слегка запоздалое) объяснение определения умножения матриц.
|
||
В самом деле, единственная причина, по которой умножение
|
||
матриц выглядит так, как оно выглядит~--- это взаимно
|
||
однозначное соответствие между матрицами и линейными отображениями,
|
||
которое превращает композицию линейных отображений
|
||
в умножение матриц. Каждый, кто задумается, что происходит
|
||
при композиции линейных отображений (подстановке одних линейных
|
||
выражений в другие), неизбежно обязан открыть умножение матриц.
|
||
|
||
Итак, пусть $[T]_{\mc B',\mc B''} = (a_{ij}) \in M(n,m,k)$,
|
||
$[S]_{\mc B,\mc B'} = (b_{ij}) \in M(m,l,k)$.
|
||
Как найти матрицу отображения $T\circ S$?
|
||
По определению мы должны разложить каждый вектор
|
||
вида $(T\circ S)(u_p)$ по базису $w_1,\dots,w_n$.
|
||
Заметим, что $(T\circ S)(u_p) = T(S(u_p))$,
|
||
а $S(u_p)$ мы умеем раскладывать по базису пространства $V$.
|
||
А именно,
|
||
$$
|
||
S(u_p) = \sum_{j=1}^m v_jb_{jp}.
|
||
$$
|
||
Получаем, что
|
||
\begin{align*}
|
||
(T\circ S)(u_p) &= T\left(\sum_{j=1}^m v_jb_{jp}\right)\\
|
||
&= \sum_{j=1}^m T(v_j)b_{jp},
|
||
\end{align*}
|
||
где в последнем равенстве мы воспользовались линейностью
|
||
отображения $T$. Теперь можно подставить в полученное
|
||
выражение разложение для каждого вектора вида
|
||
$T(v_j) = \sum_{i=1}^n w_i a_{ij}$.
|
||
После несложных преобразований сумм получаем
|
||
\begin{align*}
|
||
(T\circ S)(u_p) &= \sum_{j=1}^m T(v_j)b_{ji} \\
|
||
&= \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n w_i a_{ij} b_{jp} \\
|
||
&= \sum_{i=1}^n w_i\left( \sum_{j=1}^m a_{ij}b_{jp}\right).
|
||
\end{align*}
|
||
Коэффициент при $w_i$ в полученном разложении и равен
|
||
коэффициенту, стоящему в позиции $(i,p)$ матрицы
|
||
$[T\circ S]_{\mc B,\mc B''}$.
|
||
Он оказался равен $\sum_{j=1}^m a_{ij}b_{jp}$,
|
||
и потому матрица $[T\circ S]_{\mc B,\mc B''}$ равна
|
||
произведению матриц
|
||
$[T]_{\mc B',\mc B''}\cdot [S]_{\mc B,\mc B'}$.
|
||
|
||
Мы узнали, как понятие матрицы линейного отображение
|
||
ведет себя при сложении отображений, умножении на скаляры,
|
||
композиции. Есть еще одна операция над линейными
|
||
отображениями, самая простая: мы можем в линейное
|
||
отображение $T\colon V\to W$ подставить вектор из
|
||
$V$ и получить вектор из $W$.
|
||
Отображению $T$ мы сопоставили матрицу; сейчас мы сопоставим
|
||
векторам из $V$ и $W$ некоторые столбцы (матрицы ширину $1$)
|
||
таким образом, что вычисление результата действия
|
||
линейного отображения на векторе сведется к умножению
|
||
матрицы на столбец.
|
||
|
||
А именно, пусть $\mc B = (v_1,\dots,v_n)$~--- базис
|
||
векторного пространства $V$.
|
||
Любой вектор $v\in V$ можно разложить по этому базису,
|
||
то есть, записать его в виде линейной комбинации
|
||
элементов $\mc B$:
|
||
$$
|
||
v = v_1a_1+\dots+v_na_n,\quad a_i\in k.
|
||
$$
|
||
Запишем полученные скаляры $a_1,\dots,a_n$
|
||
в столбец. Полученный элемент пространства
|
||
$k^n$ называется \dfn{столбцом координат}
|
||
(или \dfn{координатным столбцом})
|
||
\dfn{вектора $v$ в базисе $\mc B$} и обозначается так:
|
||
$$
|
||
[v]_{\mc B} = \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
Коэффициенты $a_1,\dots,a_n$ называются
|
||
\dfn{координатами вектора $v$ в базисе $\mc B$}.
|
||
Обратите внимание на сходство этой записи с обозначением
|
||
для матрицы линейного оператора в выбранных базисах.
|
||
|
||
Таким образом, как только мы выбрали базис $\mc B$
|
||
в пространстве $V$, каждому вектору из $V$
|
||
сопоставляется столбец $[v]_{\mc B}\in k^n$.
|
||
Более того, указанное сопоставление хорошо согласовано
|
||
с операциями в пространстве $V$: если сложить два вектора,
|
||
то соответствующие им координатные столбцы сложатся,
|
||
а если вектор умножить на скаляр, то его координатный столбец
|
||
умножится на этот же скаляр.
|
||
Есть более короткий способ выразить указанные свойства:
|
||
сопоставление вектору $v\in V$ его координатного столбца
|
||
{\em линейно}. Сформулируем это в виде теоремы.
|
||
\begin{theorem}\label{thm:taking-coordinates-is-linear-map}
|
||
Пусть $V$~--- конечномерное векторное пространство над
|
||
полем $k$; $\mc B = \{v_1,\dots,v_n\}$~--- его базис.
|
||
Отображение
|
||
\begin{align*}
|
||
V & \to k^n,\\
|
||
v & \mapsto [v]_{\mc B}
|
||
\end{align*}
|
||
линейно.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Фактически, нам нужно показать, что если $v,v'\in V$,
|
||
$a\in k$, то
|
||
$[v+v']_{\mc B} = [v]_{\mc B} + [v']_{\mc B}$
|
||
и $[va]_{\mc B} = [v]_{\mc B} \cdot a$.
|
||
Пусть
|
||
$$
|
||
[v]_{\mc B} = \begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix},
|
||
\quad
|
||
[v']_{\mc B} = \begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
По определению это означает, что
|
||
\begin{align*}
|
||
v &= v_1a_1 + \dots + v_na_n,\\
|
||
v' &= v_1b_1 + \dots + v_nb_n.
|
||
\end{align*}
|
||
Сложим эти два равенства:
|
||
$$
|
||
v+v' = v_1(a_1+b_1) + \dots + v_m(a_n+b_n).
|
||
$$
|
||
Но тогда
|
||
$$
|
||
[v+v']_{\mc B} = \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\
|
||
\vdots \\ a_n + b_n \end{pmatrix}
|
||
= \begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} +
|
||
\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}
|
||
= [v]_{\mc B} + [v']_{\mc B},
|
||
$$
|
||
что и требовалось. Доказательство для умножения на скаляр
|
||
совершенно аналогично и оставляется читателю в качестве
|
||
упражнения.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Теперь мы готовы сделать последний шаг в установлении
|
||
соответствия между действиями с векторными пространствами
|
||
с одной стороны, и вычислениями с матрицами с другой стороны.
|
||
|
||
\begin{theorem}\label{thm:matrix-multiplied-by-vector}
|
||
Пусть $T\colon V\to W$~--- линейное отображение между
|
||
конечномерными пространствами $V$ и $W$, и пусть
|
||
$\mc B = (v_1,\dots,v_n)$~--- базис $V$, а
|
||
$\mc B' = (w_1,\dots,v_m)$~--- базис $W$.
|
||
Тогда
|
||
$$
|
||
[Tv]_{\mc B'} = [T]_{\mc B,\mc B'}\cdot [v]_{\mc B}
|
||
$$
|
||
для любого вектора $v\in V$.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $v = v_1c_1 + \dots + v_nc_n$, то есть,
|
||
$$
|
||
[v]_{\mc B} = \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n
|
||
\end{pmatrix},
|
||
$$
|
||
и пусть
|
||
$[T]_{\mc B,\mc B'} = (a_{ij})$~--- матрица отображения $T$.
|
||
Тогда
|
||
$$
|
||
T(v) = T(\sum_{j=1}^n v_j c_j) = \sum_{j=1}^n T(v_j)c_j
|
||
= \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m w_ia_{ij}\right) c_j
|
||
= \sum_{i=1}^m w_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij}c_j \right).
|
||
$$
|
||
Значит, $i$-я координата вектора $T(v)$ в базисе $\mc B'$
|
||
равна $\sum_{j=1}^n a_{ij}c_j$.
|
||
Но это и означает, что столбец $[T(v)]_{\mc B'}$ равен
|
||
произведению матрицы $(a_{ij}) = [T]_{\mc B,\mc B'}$
|
||
на столбец $[v]_{\mc B}$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Изоморфизм}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Линейное отображение $T\colon V\to W$ называется \dfn{обратимым}, если
|
||
существует линейное отображение $S\colon W\to V$ такое, что $S\circ T = \id_V$
|
||
и $T\circ S = \id_W$. Такое $S$ называется \dfn{обратным} к $T$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:invertible-linear-iff-iso}
|
||
Линейное отображение $T\colon V\to W$ обратимо тогда и только тогда, когда
|
||
оно биективно.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Если $T$ обратимо, то обратное к нему является обратным отображением
|
||
в теоретико-множественном смысле (определение~\ref{dfn:inverse-map}),
|
||
и потому биективно по теореме~\ref{thm:sur-inj-reformulations}.
|
||
|
||
Если же отображение $T$ биективно, то
|
||
(снова по теореме~\ref{thm:sur-inj-reformulations}) существует отображение
|
||
множеств $S\colon W\to V$ такое, что $S\circ T = \id_V$ и $T\circ S = \id_W$.
|
||
Можно и явно построить это $S$: для каждого $w\in W$ заметим,
|
||
что (по определению биективности) существует единственное $v\in V$
|
||
такое, что $T(v) = w$; тогда положим $S(w) = v$.
|
||
Осталось проверить, что это отображение линейно. Действительно,
|
||
возьмем $w_1,w_2\in W$ и пусть $S(w_1) = v_1$, $S(w_2) = v_2$.
|
||
Это означает, что $T(v_1)=w_1$, $T(v_2)=w_2$.
|
||
Но тогда $T(v_1+v_2) = w_1+w_2$, и потому $S(w_1+w_2) = v_1+v_2 = S(w_1)+S(w_2)$.
|
||
Кроме того, если $w\in W$ и $a\in k$, пусть $S(w) = v$.
|
||
Это означает, что $T(v) = w$, откуда $T(va) = wa$, и, стало быть,
|
||
$S(wa) = va = S(w)a$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Обратимое линейное отображение иногда называется \dfn{изоморфизмом}. Если между
|
||
пространствами $V$ и $W$ существует изоморфизм $T\colon V\to W$,
|
||
они называются \dfn{изоморфными}. Обозначение: $V\isom W$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{theorem}\label{thm:isomorphic-iff-equidimensional}
|
||
Два конечномерных векторных пространства над $k$ изоморфны тогда и только тогда,
|
||
когда их размерности равны.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $V\isom W$, то есть, существует обратимое линейное отображение $T\colon V\to W$.
|
||
По предложению~\ref{prop:invertible-linear-iff-iso} $T$ биективно. В частности,
|
||
$T$ инъективно, и потому $\Ker(T)=0$ (теорема~\ref{prop:injective-iff-kernel-trivial});
|
||
кроме того, $T$ сюръективно, и потому $\Img(T)=W$.
|
||
Воспользуемся теоремой о гомоморфизме~\ref{thm:homomorphism-linear}:
|
||
$$
|
||
\dim\Ker(T) + \dim\Img(T) = \dim(V).
|
||
$$
|
||
В нашем случае $\dim\Ker(T)=0$ и $\dim\Img(T)=\dim W$; поэтому $\dim V = \dim W$, что и
|
||
требовалось.
|
||
|
||
Обратно, пусть $\dim V = \dim W = n$. Выберем базис $v_1,\dots,v_n$ в $V$
|
||
и базис $w_1,\dots,w_n$ в $W$. По теореме~\ref{thm:universal-basis-property} для задания
|
||
линейного отображения $T\colon V\to W$ достаточно задать $T(v_i)$ для всех $i$.
|
||
Положим $T(v_i)=w_i$ и покажем, что полученное отображение $T$ является изоморфизмом.
|
||
Для этого (по предложению~\ref{prop:invertible-linear-iff-iso}) достаточно проверить,
|
||
что оно инъективно и сюръективно.
|
||
|
||
Для инъективности
|
||
(по предложению~\ref{prop:injective-iff-kernel-trivial}) нужно показать, что $\Ker(T)=0$.
|
||
Возьмем $v\in\Ker(T)$. Разложим $v$ по базису пространства $V$:
|
||
$v = v_1a_1 + \dots + v_na_n$. Тогда
|
||
$0 = T(v) = T(v_1)a_1+\dots+T(v_n)a_n = w_1a_1+\dots+w_na_n$.
|
||
Но элементы $w_1,\dots,w_n\in W$ образуют базис, и потому линейно независимы. Их
|
||
линейная комбинация оказалась равна нулю~--- поэтому все ее коэффициенты равны
|
||
нулю: $a_1=\dots=a_n=0$. Но тогда и $v = 0$.
|
||
|
||
Осталось проверить, что $T$ сюръективно. Но любой вектор $W$ есть линейная комбинация
|
||
векторов $w_1,\dots,w_n$, поэтому является образом соответствующей линейной комбинации
|
||
векторов $v_1,\dots,v_n$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{corollary}
|
||
Любое конечномерное векторное пространство $V$ изоморфно пространству
|
||
$k^n$, где $n=\dim(V)$.
|
||
Более того, если $\mc B$~--- некоторый базис пространства $V$,
|
||
то отображение $\ph\colon v\mapsto [v]_{\mc B}$ устанавливает изоморфизм между
|
||
$V$ и $k^n$.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $\dim(V)=n$; тогда $\dim(k^n)=n=\dim(V)$, и
|
||
по теореме~\ref{thm:isomorphic-iff-equidimensional} пространства $V$ и $k^n$
|
||
изоморфны.
|
||
|
||
Для доказательства второго утверждения обозначим элементы базиса $\mc B$
|
||
через $v_1,\dots,v_n$.
|
||
Мы уже знаем, что отображение $v\mapsto [v]_{\mc B}$ линейно
|
||
(теорема~\ref{thm:taking-coordinates-is-linear-map}); проверим, что это
|
||
изоморфизм. Для этого нужно проверить, что его ядро тривиально, а образ
|
||
совпадает с $k^n$. Возьмем $v\in\Ker(\ph)$; это означает, что столбец
|
||
координат вектора $v$ нулевой. Но тогда по определению координат
|
||
$v=v_10+\dots+v_n0 = 0$. Значит, $\Ker(\ph)=0$. Пусть теперь
|
||
$w\in k^n$~--- некоторый столбец, состоящий из скаляров
|
||
$a_1,\dots,a_n$. Рассмотрим вектор $v = v_1a_1 + \dots + v_na_n\in V$.
|
||
Легко видеть, что $[v]_{\mc B} = w$, что доказывает сюръективность
|
||
отображения $\ph$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Таким образом, любое конечномерное пространство изоморфно пространству столбцов.
|
||
Подчеркнем, что этот изоморфизм зависит от выбора базиса (в таком случае говорят,
|
||
что этот изоморфизм {\em не является каноническим}): в разных базисах один
|
||
и тот же вектор, как правило, имеет разные наборы координат.
|
||
|
||
\begin{theorem}\label{thm:hom-isomorphic-to-m}
|
||
Пусть $V,W$~--- конечномерные векторные пространства над полем $k$.
|
||
Пространство $\Hom(V,W)$ линейных отображений из $V$ в $W$ изоморфно
|
||
векторному пространству $M(m,n,k)$ матриц размера $m\times n$ над $k$,
|
||
где $m=\dim W$, $n=\dim V$.
|
||
Более того, если $\mc B,\mc B'$~--- базисы в $V,W$ соответственно, то
|
||
отображение $\ph\colon T\mapsto [T]_{\mc B,\mc B'}$ устанавливает
|
||
изоморфизм между $\Hom(V,W)$ и $M(m,n,k)$.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Мы сразу докажем второе утверждение.
|
||
Обозначим элементы $\mc B$ через $v_1,\dots,v_n$,
|
||
а элементы $\mc B'$ через $w_1,\dots,w_m$.
|
||
По теореме~\ref{thm:taking-matrix-is-linear}
|
||
отображение $\ph$ линейно. Проверим, что его ядро тривиально, а образ
|
||
совпадает с $M(m,n,k)$. Пусть $T\in\Ker(\ph)$. Это значит, что у линейного
|
||
отображения $T$ матрица нулевая. По определению матрицы это значит,
|
||
что все координаты вектора $T(v_j)$ в базисе $\mc B'$ равны нулю,
|
||
а потому $T(v_j)=0$ для всех $j$. Но мы знаем одно такое линейное отображение:
|
||
это $0\in\Hom(V,W)$. По единственности в универсальном свойстве
|
||
базиса (теорема~\ref{thm:universal-basis-property}) $T=0$.
|
||
Наконец, пусть $A=(a_{ij})\in M(m,n,k)$~--- некоторая матрица. Мы утверждаем, что существует
|
||
линейное отображение $T\colon U\to V$, матрица которого в базисах $\mc B,\mc B'$
|
||
совпадает с $A$. Действительно, положим
|
||
$T(v_j) = w_1a_1+\dots+w_ma_m$. По теореме~\ref{thm:universal-basis-property}
|
||
это однозначно определяет линейное отображение $T$, и очевидно, что
|
||
$[T]_{\mc B,\mc B'} = A$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{corollary}\label{cor:dim-of-hom-space}
|
||
Если пространства $V,W$ конечномерны, то $\dim\Hom(V,W) = \dim V\cdot\dim W$.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
Очевидно, что размерность пространства матриц $M(m,n,k)$ равна $mn$; осталось
|
||
применить теорему~\ref{thm:hom-isomorphic-to-m}
|
||
и теорему~\ref{thm:isomorphic-iff-equidimensional}.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Важный частный случай понятия линейного отображения~--- {\em линейный оператор}.
|
||
\begin{definition}
|
||
Линейное отображение $T\colon V\to V$ называется \dfn{линейным оператором}
|
||
на пространстве $V$, или \dfn{эндоморфизмом} пространства $V$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:operators-bij-inj-surj}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор на конечномерном пространстве $V$.
|
||
Следующие утверждения равносильны.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Отображение $T$ биективно.
|
||
\item Отображение $T$ инъективно.
|
||
\item Отображение $T$ сюръективно.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Очевидно, что из (1) следуют (2) и (3). Покажем, что из (2) следует (1).
|
||
Если $T$ инъективно, то $\Ker T=0$ (предложение~\ref{prop:injective-iff-kernel-trivial}).
|
||
По теореме о гомоморфизме (теорема~\ref{thm:homomorphism-linear})
|
||
$\dim\Ker T + \dim\Img T = \dim V$. Первое слагаемое равно нулю, поэтому
|
||
$\dim\Img T = \dim V$. В то же время, $\Img T$~--- подпространство в $V$,
|
||
и по предложению~\ref{prop:dimension_is_monotonic} из совпадения размерностей
|
||
следует, что $\Img T = V$, что означает сюръективность, а потому и биективность
|
||
отображения $T$.
|
||
|
||
Осталось показать, что из (3) следует (1). Снова воспользуемся теоремой о гомоморфизме:
|
||
$\dim\Ker T + \dim\Img T = \dim V$. Теперь по предположению $\Img T = \dim V$, и,
|
||
стало быть, $\dim\Ker T=0$. Значит, подпространство $\Ker T$ тривиально, и потому
|
||
$T$ инъективно и, следовательно, биективно.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{theorem}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство. Множество $\Hom(V,V)$ всех линейных операторов
|
||
на $V$ образует ассоциативное кольцо с единицей относительно сложения и композиции.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Мы уже знаем, что сложение линейных отображений ассоциативно, коммутативно, обладает
|
||
нейтральным элементом $0$ и обратными элементами. Кроме того, композиция (которая играет
|
||
роль умножения) ассоциативна и обладает нейтральным элементом $\id_V$. Осталось проверить
|
||
левую и правую дистрибутивность. Ограничимся проверкой одной из них.
|
||
Пусть $S,T,U\in\Hom(V,V)$. Для каждого $v\in V$ выполнено
|
||
$$
|
||
(S\circ (T+U))(v) = S((T+U)(v)) = S(T(v)+U(v)) = S(T(v)) + S(U(v))
|
||
= (S\circ T)(v) + (S\circ U)(v) = (S\circ T + S\circ U)(v),
|
||
$$
|
||
а потому отображения $S\circ (T+U)$ и $S\circ T + S\circ U$ совпадают.
|
||
\end{proof}
|
||
Отметим, что в конечномерном случае кольцо операторов на $V$ {\em изоморфно} кольцу
|
||
квадратных матриц порядка $n = \dim V$
|
||
(см. замечание~\ref{rem:matrix_multiplication_properties}). Поясним, что означает
|
||
слово <<изоморфизм>> в этом контексте (пока мы обсуждали только изоморфизм
|
||
векторных пространств, но не колец).
|
||
Пусть $\mc B$~--- базис пространства $V$, и $\dim V = n$.
|
||
Из теоремы~\ref{thm:hom-isomorphic-to-m} следует, что
|
||
отображение $T\mapsto [T]_{\mc B}$ является биекцией между $\Hom(V,V)$
|
||
и $M(n,n,k)$, переводящей сложение в сложение. Кроме того,
|
||
по теореме~\ref{thm:composition-is-multiplication} она переводит
|
||
композицию операторов в умножение. Наконец, тождественный оператор
|
||
переходит при этом отображении в единичную матрицу. Мы получили биекцию
|
||
между кольцами, которая сохраняет все операции
|
||
(включая <<взятие единичного элемента>>). Такая биекция и называется
|
||
<<изоморфизмом колец>>; ее существование означает, что указанные кольца
|
||
<<ведут себя одинаково>>.
|
||
|
||
\subsection{Ранг матрицы}
|
||
\literature{[F], гл. IV, \S~3, пп. 4--6; [K1], гл. 2,
|
||
\S~2, п. 1--2; [vdW], гл. IV, \S\S~22, 23.}
|
||
|
||
Первым приложением теории векторных пространств для нас станет
|
||
определение ранга матрицы, которые мы неформально обсуждали после
|
||
доказательства теоремы~\ref{thm_pdq}. Напомним, что любую матрицу
|
||
$A\in M(m,n,k)$ можно представить в виде
|
||
$A=P\left(\begin{matrix}
|
||
E_r & 0\\
|
||
0 & 0\end{matrix}\right)Q$, где $P,Q$~--- некоторые обратимые
|
||
матрицы. Мы покажем, что на самом деле натуральное число $r$ не
|
||
зависит от выбора такого представления, и поэтому имеет право
|
||
называться {\it рангом} матрицы $A$.
|
||
Для этого мы введем еще несколько понятий ранга, и покажем, что все
|
||
они совпадают друг с другом.
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $A=(a_{ij})\in M(m,n,k)$. Линейная оболочка столбцов матрицы $A$
|
||
называется \dfn{пространством столбцов матрицы $A$}\index{векторное
|
||
пространство!столбцов матрицы}; по определению
|
||
оно является подпространством в $k^m$. Иными словами, это пространство
|
||
$$\la\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{m1}\end{pmatrix},
|
||
\dots,
|
||
\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots\\a_{mn}\end{pmatrix}\ra\leq
|
||
k^m.$$
|
||
Линейная оболочка строк матрицы $A$ называется \dfn{пространством
|
||
строк матрицы $A$}\index{векторное пространство!строк матрицы}; по
|
||
определению оно является подпространством в
|
||
${}^nk$. Иными словами, это пространство
|
||
$$\la\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\end{pmatrix},\dots,
|
||
\begin{pmatrix}a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{pmatrix}\ra\leq {}^nk.$$
|
||
\end{definition}
|
||
Таким образом, пространство столбцов состоит из всевозможных линейных
|
||
комбинаций столбцов матрицы $A$; аналогично и со строками.
|
||
\begin{definition}
|
||
\dfn{Столбцовым рангом}\index{ранг матрицы!столбцовый} матрицы $A$ называется размерность ее
|
||
пространства столбцов; \dfn{строчным рангом}\index{ранг
|
||
матрицы!строчный} $A$ называется
|
||
размерность ее пространства строк.
|
||
\end{definition}
|
||
Очевидно, что столбцовый ранг матрицы $A\in M(m,n,k)$ не превосходит
|
||
$n$, а ее строчный ранг не превосходит $m$.
|
||
Для определения следующего понятия~--- {\em тензорного ранга}~---
|
||
необходимо сначала определить матрицы ранга $1$.
|
||
\begin{definition}
|
||
Матрица $A\in M(m,n,k)$ называется \dfn{матрицей ранга
|
||
$1$}\index{матрица!ранга $1$}, если
|
||
$A\neq 0$ и $A$ можно представить в виде $A=uv$, где $u\in k^m$, $v\in
|
||
{}^nk$. \dfn{Тензорным рангом}\index{ранг матрицы!тензорный} матрицы $A$ называется наименьшее
|
||
натуральное число $r$ такое, что $A$ можно представить в виде суммы
|
||
$r$ матриц ранга $1$. Иными словами, тензорный ранг $A$~--- это
|
||
наименьшее $r$, при котором существуют столбцы $u_1,\dots,u_r\in k^m$
|
||
и строки $v_1,\dots v_r\in {}^nk$ такие, что $A=u_1v_1+\dots+u_rv_r$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
Заметим, что тензорный ранг матрицы $A\in M(m,n,k)$ определен: он не
|
||
превосходит $mn$. Действительно, несложно представить матрицу
|
||
$A=(a_{ij})$ в виде суммы $mn$ матриц ранга $1$: мы видели, что
|
||
$A=\sum_{i,j}a_{ij}e_{ij}$, а матрица $a_{ij}e_{ij}$ имеет ранг $1$:
|
||
$$
|
||
a_{ij}e_{ij} = \begin{pmatrix}0 \\ \vdots \\ 0 \\ a_{ij} \\ 0 \\
|
||
\vdots \\ 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 & \dots & 0 & 1 & 0 &
|
||
\dots & 0\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
Здесь в столбце высоты $m$ элемент $a_{ij}$ стоит в позиции $i$, и в
|
||
строке длины $n$ элемент $1$ стоит в позиции $j$.
|
||
|
||
\begin{theorem}
|
||
Тензорный ранг матрицы не изменяется при домножении ее слева или
|
||
справа на обратимую матрицу. В частности, тензорный ранг матрицы
|
||
сохраняется при элементарных преобразованиях ее строк и столбцов.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $A\in M(m,n,k)$~--- матрица тензорного ранга $r$. Тогда мы можем
|
||
записать $A=u_1v_1+\dots+u_rv_r$ для некоторых столбцов
|
||
$u_1,\dots,u_r\in k^m$ и строк $v_1,\dots,v_r\in {}^nk$.
|
||
Если матрица $B\in M(m,k)$ обратима, то
|
||
$BA=B(u_1v_1+\dots+u_rv_r)=(Bu_1)v_1+\dots+(Bu_r)v_r$~--- сумма $r$
|
||
матриц ранга $1$, поэтому тензорный ранг $BA$ не превосходит $r$. С
|
||
другой стороны, если тензорный ранг $BA$ меньше $r$, то можно записать
|
||
$BA=u'_1v'_1+\dots+u'_pv'_p$ для $p<r$ и после домножения на $B^{-1}$
|
||
слева мы получили бы, что $A$ является суммой $p$ матриц ранга $1$~---
|
||
противоречие. Доказательство для домножения на обратимую матрицу
|
||
справа совершенно аналогично.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{theorem}\label{thm_ranks}
|
||
Тензорный ранг матрицы равен ее строчному рангу и столбцовому рангу.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть размерность пространства строк матрицы $A\in M(m,n,k)$ равна
|
||
$d$. Это значит, что каждая строка матрицы $A$ является некоторой
|
||
линейной комбинацией строк $v_1,\dots,v_d\in {}^nk$.
|
||
Запишем эту линейную комбинацию:
|
||
$a_{i*} = \lambda_{i1}v_1+\dots+\lambda_{id}v_d$.
|
||
Заметим, что $A=e_1a_{1*}+e_2a_{2*}+\dots+e_ma_{m*}$, где
|
||
$e_i=\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}$~---
|
||
стандартный базисный столбец в $k^m$.
|
||
Таким образом,
|
||
$$
|
||
A=e_1(\lambda_{11}v_1+\dots+\lambda_{1d}v_d) + \dots +
|
||
e_m(\lambda_{21}v_1+\dots+\lambda_{md}v_d).
|
||
$$
|
||
Раскрывая скобки, получаем, что $A=u_1v_1+\dots+u_dv_d$ для некоторых
|
||
столбцов $u_1,\dots,u_d\in k^m$.
|
||
Поэтому тензорный ранг $A$ не превосходит $d$.
|
||
|
||
Обратно, если $r$~--- тензорный ранг матрицы $A$, то
|
||
$u_1v_1+\dots+u_rv_r$, поэтому каждая строка матрицы $A$ является
|
||
линейной комбинацией строк $v_1,\dots,v_r$. Это означает, что
|
||
$v_1,\dots,v_r$~--- система образующих пространства строк матрицы
|
||
$A$. В силу следствия~\ref{thm:independent-set-smaller-than-generating}
|
||
получаем, что $d\leq r$.
|
||
|
||
Доказательство для столбцового ранга совершенно аналогично (или можно
|
||
заметить, что тензорный ранг не меняется при транспонировании).
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Общее значение тензорного, строчного и столбцового рангов матрицы $A$
|
||
называется ее \dfn{рангом}\index{ранг} и обозначается через $\rk(A)$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
Теперь мы можем связать понятие тензорного ранга с понятием ранга,
|
||
введенным после доказательства следствия~\ref{cor_pdq}.
|
||
\begin{corollary}\label{cor_pdq_and_rank}
|
||
Пусть матрица $A\in M(m,n,k)$ представлена в виде $A=PDQ$, где $P\in
|
||
M(m,k)$, $Q\in M(n,k)$~--- обратимые матрицы, а
|
||
$D=\begin{pmatrix}E_r&0\\0&0\end{pmatrix}$~--- окаймленная единичная
|
||
матрица. Тогда $r$ равно тензорному рангу матрицы $A$.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
По теореме~\ref{thm_ranks} тензорный ранг матрицы $A$ равен тензорному
|
||
рангу матрицы $\begin{pmatrix}E_r&0\\0&0\end{pmatrix}$; с другой
|
||
стороны, очевидно, что строчный ранг этой матрицы равен $r$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{corollary}\label{cor_invertibility_rank}
|
||
Матрица $A\in M(n,k)$ обратима тогда и только тогда, когда ее ранг
|
||
равен $n$.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
Простая комбинация следствия~\ref{cor_invertible_pdq} и
|
||
следствия~\ref{cor_pdq_and_rank}.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{theorem}[Кронекера--Капелли]
|
||
Система линейных уравнений имеет решение
|
||
(\dfn{совместна}\index{система линейных уравнений!совместная}) тогда и
|
||
только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу ее
|
||
расширенной матрицы. Если, кроме того, этот ранг равен количеству
|
||
неизвестных, то система имеет единственное решение.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Рассмотрим систему линейных уравнений $AX=B$.
|
||
Пусть $u_1,\dots,u_n$~--- столбцы матрицы $A$.
|
||
Система $AX=B$ имеет решение тогда и только тогда, когда существуют
|
||
$x_1,\dots,x_n\in k$ такие, что $u_1x_1+\dots+u_nx_n=B$. Это, в свою
|
||
очередь равносильно тому, что $B$ лежит в линейной оболочке векторов
|
||
$u_1,\dots,u_n$, то есть, тому, что $\la u_1,\dots,u_n\ra =
|
||
\la u_1,\dots,u_n,B\ra$. Это равенство и означает совпадение
|
||
[столбцовых] рангов матриц $A$ и $(A|B)$.
|
||
|
||
Если же ранг равен количеству неизвестных $n$, то пространство $\la
|
||
u_1,\dots,u_n\ra$ имеет размерность $n$. При этом $\la
|
||
u_1,\dots,u_n\ra$~--- его система образующих, и из нее можно выбрать
|
||
базис, в котором должно быть $n$ элементов. Значит, $u_1,\dots,u_n$
|
||
образуют базис пространства столбцов матрицы $A$. Поэтому вектор $B$
|
||
имеет единственное представление в виде $B=u_1x_1+\dots+u_nx_n$, что и
|
||
означает единственность решения системы.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
|
||
% 05.04.2015
|
||
|
||
\subsection{Фактор-пространство}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XII, \S~2, п. 5; [K2], гл. 1, \S~2, п. 6; [KM],
|
||
ч. 1, \S~6.}
|
||
|
||
\begin{definition}\label{def:quotient_space}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над полем $k$, $U\leq V$. Будем
|
||
говорить, что элементы $v_1,v_2\in V$ \dfn{сравнимы по модулю
|
||
$U$}\index{сравнение по модулю!подпространства},
|
||
если $v_1-v_2\in U$. Обозначения: $v_1\sim_U v_2$, $v_1\sim v_2$ (если
|
||
понятно, по модулю какого подпространства рассматривается сравнение).
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
Пользуясь определением подпространства,
|
||
несложно проверить, что сравнение по модулю подпространства $U\leq V$
|
||
является отношением эквивалентности на $V$. Действительно, это отношение
|
||
рефлексивно: $v\sim v$, поскольку $v-v=0\in U$. Оно симметрично: если
|
||
$v_1\sim v_2$, то $v_1-v_2\in U$; тогда и $v_2-v_1=(v_1-v_2)\cdot
|
||
(-1)\in U$. Наконец, если $v_1\sim v_2$ и $v_2\sim v_3$, то
|
||
$v_1-v_2\in U$ и $v_2-v_3\in U$; отсюда
|
||
$v_1-v_3=(v_1-v_2)+(v_2-v_3)\in U$, поэтому $v_1\sim v_3$.
|
||
|
||
Раз мы получили отношение эквивалентности, то по
|
||
теореме~\ref{thm_quotient_set} сразу получаем разбиение на классы
|
||
эквивалентности. Мы будем обозначать класс эквивалентности элемента
|
||
$v\in V$ по отношению $\sim_U$ через $\overline{v}$ или через
|
||
$v+U$. Последнее обозначение имеет также следующий смысл: для любых
|
||
подмножеств $S,T\subseteq V$ можно определить их сумму $S+T=\{s+t\mid
|
||
s\in S, t\in T\}$ и результат умножения на скаляр $\lambda\in k$:
|
||
$S\lambda=\{s\lambda\mid s\in S\}$. В этих обозначениях класс
|
||
эквивалентности $v+U$~--- это в точности $\{v\}+U=\{v+u\mid u\in U\}$.
|
||
|
||
Фактор-множество множества $V$ по отношению эквивалентности $\sim_U$
|
||
мы будем обозначать через $V/U$. Наша ближайшая цель~--- ввести на нем
|
||
структуру векторного пространства.
|
||
Для этого необходимо определить сумму классов и результат умножения
|
||
класса на скаляр из $k$. Это, как и в случае построения кольца
|
||
классов вычетов (см. п.~\ref{subsect_residues}), осуществляется с
|
||
помощью операций над представителями классов: чтобы сложить два
|
||
элемента фактор-пространства, посмотрим, в каком классе лежит сумма
|
||
двух [любых] представителей этих элементов; чтобы умножить элемент на
|
||
скаляр, умножим любой его представитель на этот скаляр и посмотрим на
|
||
класс результата.
|
||
Точнее, положим $(v_1+U)+(v_2+U)=(v_1+v_2)+U$ и
|
||
$(v+U)a=va+U$ для любых $v,v_1,v_2\in V$ и $a\in k$.
|
||
В других обозначениях,
|
||
$\overline{v_1}+\overline{v_2} = \overline{v_1+v_2}$ и
|
||
$\overline{v}\cdot a = \overline{v\cdot a}$.
|
||
Как всегда, необходимо проверить {\em корректность} данного
|
||
определения, то есть, тот факт, что результат операций не зависит от
|
||
выбора представителей. Это делается совершенно прямолинейно, поэтому
|
||
мы оставляем проверку читателю в качестве упражнения.
|
||
Наконец, проверим, что полученные операции превращают $V/U$ в
|
||
векторное пространство над $k$.
|
||
\begin{proposition}\label{prop:quotient_space}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над полем $k$, $U\leq
|
||
V$. Фактор-множество $V/U$ вместе с введенными выше операциями
|
||
является векторным пространством над $k$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Все проверки тривиальны; приведем выкладки с минимальными
|
||
комментариями.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $(\ol{v_1}+\ol{v_2})+\ol{v_3} = \ol{v_1+v_2}+\ol{v_3} =
|
||
\ol{(v_1+v_2)+v_3} = \ol{v_1+(v_2+v_3)} = \ol{v_1}+\ol{v_2+v_3} =
|
||
\ol{v_1}+(\ol{v_2}+\ol{v_3})$.
|
||
\item $\ol{v}+\ol{0}=\ol{v+0}=\ol{v}$, поэтому $\ol{0}\in V/U$ играет
|
||
роль нейтрального элемента по сложению.
|
||
\item $\ol{v}+\ol{-v}=\ol{v+(-v)}=\ol{0}$, поэтому $\ol{-v}$~---
|
||
обратный по сложению к $\ol{v}$.
|
||
\item $\ol{v_1}+\ol{v_2}=\ol{v_1+v_2}=\ol{v_2+v_1}=\ol{v_2}+\ol{v_1}$.
|
||
\item $(\ol{v_1}+\ol{v_2})\cdot a = \ol{v_1+v_2}\cdot a =
|
||
\ol{(v_1+v_2)\cdot a} = \ol{v_1 a+v_2 a} =
|
||
\ol{v_1 a} + \ol{v_2 a} = \ol{v_1}\cdot a +
|
||
\ol{v_2}\cdot a$.
|
||
\item $\ol{v}(a+b) = \ol{v(a+b)} = \ol{va+vb}
|
||
= \ol{va} + \ol{vb} = \ol{v}\cdot a + \ol{v}\cdot b$.
|
||
\item $\ol{v}(ab) = \ol{v(ab)} = \ol{(va)b} =
|
||
\ol{va}\cdot b = (\ol{v}\cdot a)\cdot b$.
|
||
\item $\ol{v}\cdot 1 = \ol{v\cdot 1} = \ol{v}$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
С каждым отношением эквивалентности связана каноническая проекция
|
||
исходного множества на фактор-множество. В нашем случае она является
|
||
отображением $V\to V/U$, сопоставляющим вектору $v\in V$ его класс
|
||
$\ol{v}=v+U$. Нетрудно видеть, что это отображение является линейным:
|
||
действительно, $\ol{v_1+v_2}=\ol{v_1}+\ol{v_2}$ и
|
||
$\ol{v\lambda}=(\ol{v})\lambda$ просто по определению операций в фактор-пространстве.
|
||
|
||
%\subsection{Ядро и образ линейного отображения}
|
||
|
||
%\literature{[F], гл. XII, \S~4, п. 1; [K2], гл. 2, \S~1, пп. 1, 3;
|
||
% [KM], ч. 1, \S~3.}
|
||
|
||
\begin{theorem}[Теорема о гомоморфизме]\label{thm_homomorphism}
|
||
Пусть $\ph\colon U\to V$~--- линейное отображение. Тогда
|
||
$U/\Ker(\ph)\isom\Img(\ph)$.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Построим отображение $f\colon U/\Ker(\ph)\to\Img(\ph)$:
|
||
отправим класс $u+\Ker(\ph)$ в $\ph(u)\in\Img(\ph)$.
|
||
Проверим, что $f$ корректно определено, то есть, не зависит от выбора
|
||
представителя класса из $U/\Ker(\ph)$. Действительно, если
|
||
$u+\Ker(\ph)=u'+\Ker(\ph)$, то $u'-u\in\Ker(\ph)$, откуда
|
||
$0=\ph(u'-u)=\ph(u')-\ph(u)$. Значит, $\ph(u')=\ph(u)$, что и
|
||
требовалось.
|
||
|
||
Отображение $f$ является линейным. Действительно, если $u_1,u_2\in U$,
|
||
то $f(\ol{u_1})=\ph(u_1)$ и $f(\ol{u_2})=\ph(u_2)$, поэтому
|
||
$f(\ol{u_1})+f(\ol{u_2}) = \ph(u_1)+\ph(u_2)$. С другой стороны,
|
||
$f(\ol{u_1}+\ol{u_2}) = f(\ol{u_1+u_2}) = \ph(u_1+u_2) =
|
||
\ph(u_1)+\ph(u_2)$~--- то же самое. Наконец, если $u\in U$ и
|
||
$a\in k$, то $f(\ol{u})a=\ph(u)a$ и
|
||
$f(\ol{u}\cdot a) = f(\ol{u a}) = \ph(ua) =
|
||
\ph(u)a$.
|
||
|
||
Проверим, что $f$ биективно. Заметим, что из $\ph(u)=0$ следует, что
|
||
$u\in\Ker(\ph)$, то есть, что $\ol{u}=\ol{0}\in U/\Ker(\ph)$; поэтому
|
||
$f$ инъективно. С другой стороны, для каждого $v\in\Img(\ph)$
|
||
существует $u\in U$ такое, что $v=\ph(u)$. Тогда $f(\ol{u})=\ph(u)=v$,
|
||
поэтому $f$ сюръективно.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Относительный базис}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XII, \S~2, пп. 4--6; [K2], гл. 1, \S~2, пп. 4, 5.}
|
||
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над полем $k$, $U\leq V$.
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Набор векторов $v_1,\dots,v_n\in V$ называется \dfn{линейно независимым над
|
||
$U$}\index{линейная независимость!над подпространством}, если
|
||
из $v_1a_1+\dots+v_na_n\in U$ следует, что
|
||
$a_1=\dots=a_n=0$.
|
||
Набор векторов $v_1,\dots,v_n\in V$ называется \dfn{порождающей системой
|
||
над $U$}\index{порождающая система!над подпространством} (или
|
||
\dfn{системой образующих $V$ над $U$}\index{система образующих!над
|
||
подпространством}), если любой вектор из $V$ можно представить в виде
|
||
$v_1a_1+\dots+v_na_n+u$ для некоторых
|
||
$a_1,\dots,a_n\in k$ и $u\in U$.
|
||
Наконец, набор $v_1,\dots,v_n\in V$ называется \dfn{относительным
|
||
базисом $V$ над $U$}\index{базис!относительный}, если он линейно независим
|
||
над $U$ и является порождающей системой над $U$.
|
||
Нетрудно видеть, что это равносильно тому, что любой вектор $V$
|
||
представляется в виде $v_1a_1+\dots+v_na_n+u$ для
|
||
некоторого $u\in U$ {\em единственным образом}.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{theorem}\label{thm_relative_basis}
|
||
Следующие условия равносильны:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $v_1,\dots,v_n$~--- относительный базис $V$ над $U$;
|
||
\item $v_1+U,\dots,v_n+U$~--- базис фактор-пространства $V/U$;
|
||
\item $v_1,\dots,v_n$ вместе с некоторым базисом пространства $U$ в
|
||
совокупности образуют базис пространства $V$;
|
||
\item $v_1,\dots,v_n$~--- базис некоторого дополнения $U$ в $V$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item[$1\Rightarrow 2$] Пусть $v_1,\dots,v_n$~--- относительный базис
|
||
$V$ над $U$. Проверим, что система $v_1+U,\dots,v_n+U$ линейно
|
||
независима. Действительно, если
|
||
$(v_1+U)a_1+\dots+(v_n+U)a_n=0\in V/U$,
|
||
то $(v_1a_1+\dots+v_na_n)+U=0\in V/U$.
|
||
Это означает, что $v_1a_1+\dots+v_na_n\in U$, откуда по
|
||
определению линейной независимости над $U$ следует
|
||
$a_1=\dots=a_n=0$.
|
||
Кроме того, любой вектор $v\in V$ можно представить в виде
|
||
$v = v_1a_1+\dots+v_na_n+u$ для некоторых
|
||
$a_1,\dots,a_n\in k$ и $u\in U$. Тогда
|
||
$\ol{v}=\ol{v_1}a_1 + \dots + \ol{v_n}a_n$, поскольку
|
||
$\ol{u}=0$. Значит, $\ol{v_1},\dots,\ol{v_n}$~--- система образующих
|
||
$V/U$.
|
||
\item[$2\Rightarrow 3$] Пусть $v_1+U,\dots,v_n+U$~--- базис $V/U$,
|
||
$u_1,\dots,u_k$~--- некоторый базис $U$. Тогда для любого вектора
|
||
$v\in V$ класс $v+U\in V/U$ можно представить в виде
|
||
$v+U=(v_1+U)a_1 + \dots + (v_n+U)a_n = (v_1a_1 +
|
||
\dots + v_na_n) + U$. Поэтому $v\sim_U v_1a_1 + \dots +
|
||
v_na_n$ и $v-(v_1a_1+\dots+v_na_n) = u\in
|
||
U$. Разложим вектор $u$ по базису $u_1,\dots,u_k$:
|
||
$u = u_1b_1 + \dots + u_kb_k$. Получаем, что
|
||
$v = v_1a_1 + \dots + v_na_n + u_1b_1 + \dots +
|
||
u_kb_k$.
|
||
Это доказывает, что $v_1,\dots,v_n,u_1,\dots,u_k$~--- базис $V$.
|
||
Наконец, если $v_1a_1 + \dots + v_na_n + u_1b_1 +
|
||
\dots + u_kb_k = 0$, то $v_1a_1 + \dots + v_na_n =
|
||
-u_1b_1 - \dots - u_kb_k\in U$, поэтому
|
||
$\ol{v_1a_1 + \dots + v_na_n} = \ol{0}$, и в силу
|
||
линейной независимости $\ol{v_1},\dots,\ol{v_n}$ в $V/U$ из этого
|
||
следует, что $a_1 = \dots = a_n = 0$.
|
||
\item[$3\Rightarrow 4$] Пусть $u_1,\dots,u_k$~--- базис $U$ такой, что
|
||
$v_1,\dots,v_n,u_1,\dots,u_k$~--- базис $V$. Тогда
|
||
$\la v_1,\dots,v_n\ra + \la u_1,\dots,u_k\ra = V$, откуда
|
||
$\la v_1,\dots,v_n\ra$~--- дополнение к $U$ в $V$.
|
||
\item[$4\Rightarrow 1$] Пусть $\la v_1,\dots,v_n\ra=U'$; по
|
||
предположению, $V=U\oplus U'$. Если $v = v_1a_1 + \dots +
|
||
v_na_n\in U$, то $v\in U\cap U'$, откуда $v=0$, и в силу
|
||
линейной независимости векторов $v_1,\dots,v_n$, получаем $a_1 = \dots =
|
||
a_n = 0$.
|
||
Наконец, любой вектор $v\in V$ можно представить в виде $v=u+u'$ для
|
||
некоторых $u\in U$, $u'\in U'$. Запишем $u' = v_1a_1 + \dots +
|
||
v_na_n$; получаем, что $v = v_1a_1 + \dots +
|
||
v_na_n + u$.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{corollary}
|
||
Пусть $U\leq V$~--- векторные пространства. Тогда
|
||
$\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U)$.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
Выберем базис $u_1,\dots,u_k$ в $U$ и базис $\ol{v_1},\dots,\ol{v_n}$
|
||
в $V/U$. По части~3 теоремы~\ref{thm_relative_basis} набор
|
||
$u_1,\dots,u_k,v_1,\dots,v_n$ является базисом в $V$, состоящим из
|
||
$k+n$ элементов.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
% 13.04.2015
|
||
|
||
\subsection{Матрица перехода}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XII, \S~1, п. 4; [K2], гл. I, \S~2, п. 3; [KM],
|
||
ч. 1, \S~4, п. 7.}
|
||
|
||
Напомним, что выбор базиса $\mc B$ в конечномерном пространстве $V$,
|
||
$\dim(V)=n$, задает
|
||
изоморфизм между $V$ и пространством столбцов $k^n$: у каждого
|
||
вектора $v$ появляется координатный столбец $[v]_{\mc B}$, состоящий
|
||
из $n$ координат вектора $v$ в базисе $\mc B$.
|
||
|
||
Пусть теперь $\mc B'$~--- еще один базис пространства $V$. Возникает
|
||
естественный вопрос: как связаны между собой координаты вектора $v$ в
|
||
базисах $\mc B$ и $\mc B'$? Ответ на этот вопрос формулируется с
|
||
помощью {\em матрицы перехода} между базисами.
|
||
|
||
\begin{definition}\label{def:change_of_basis_matrix}
|
||
Пусть $\mc B=\{u_1,\dots,u_n\}$, $\mc B'=\{v_1,\dots,v_n\}$~--- базисы
|
||
конечномерного пространства $V$. В частности, векторы $v_j$ можно
|
||
разложить по базису $\mc B$:
|
||
$$
|
||
v_j=\sum_{i=1}^n u_ic_{ij}.
|
||
$$
|
||
Матрица $C=(c_{ij})_{i,j=1}^n$, составленная из коэффициентов этих
|
||
разложений, называется~\dfn{матрицей перехода}\index{матрица!перехода}
|
||
от базиса $\mc B$ к
|
||
базису $\mc B'$ и обозначается через $(\mc B\rsa\mc B')$. Иными
|
||
словами, матрица $(\mc B\rsa\mc B')$ составлена из координатных
|
||
столбцов векторов $v_1,\dots,v_n$ в базисе $\mc B$:
|
||
$$
|
||
(\mc B\rsa\mc B')=\begin{pmatrix}[v_1]_{\mc B} & [v_2]_{\mc B} & \dots
|
||
& [v_n]_{\mc B}\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
В этой ситуации $\mc B$ называется \dfn{старым базисом}, $\mc B'$~---
|
||
\dfn{новым базисом}, а $(\mc B\rsa\mc B')$~--- \dfn{матрицей перехода
|
||
от старого базиса к новому}.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
Символически мы можем записать
|
||
$$
|
||
\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & \dots & v_n\end{pmatrix} =
|
||
\begin{pmatrix}u_1 & u_2 & \dots & u_n\end{pmatrix}\cdot
|
||
(\mc B\rsa\mc B').
|
||
$$
|
||
В такой записи слева стоит строчка, составленная из {\em векторов}
|
||
пространства $V$, а справа~--- произведение такой строчки на матрицу
|
||
над $k$. Переменожая строчку векторов на столбцы матрицы над $k$ мы
|
||
будем получать линейные комбинации этих векторов, поэтому в правой
|
||
части после перемножения окажется строчка, состоящая из $n$
|
||
линейных комбинаций векторов $u_1,\dots,u_n$. Равенство теперь означает,
|
||
что вектор $v_j$ равен $j$-й из этих линейных комбинаций.
|
||
|
||
|
||
\begin{proposition}[Свойства матрицы перехода]
|
||
Пусть $\mc B=\{u_1,\dots,u_n\}$, $\mc B'=\{v_1,\dots,v_n\}$,
|
||
$\mc B''=\{w_1,\dots,w_n\}$~--- базисы конечномерного пространства
|
||
$V$. Тогда
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $(\mc B\rsa\mc B)=E$;
|
||
\item $(\mc B\rsa\mc B'')=(\mc B\rsa\mc B')\cdot (\mc B'\rsa\mc B'')$;
|
||
\item матрица $(\mc B\rsa\mc B')$ обратима и
|
||
$(\mc B\rsa\mc B')^{-1}=(\mc B'\rsa\mc B)$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Очевидно: столбец координат вектора $u_i$ в базисе
|
||
$\{u_1,\dots,u_n\}$ равен $e_i$, то есть, равен $i$-му столбцу
|
||
единичной матрицы.
|
||
\item Мы знаем, что $$(w_1,\dots,w_n)=(u_1,\dots,u_n)(\mc B\rsa\mc
|
||
B'').$$
|
||
С другой стороны, $(w_1,\dots,w_n) = (v_1,\dots,v_n)(\mc B'\rsa\mc B'')
|
||
= (u_1,\dots,u_n)(\mc B\rsa\mc B')(\mc B'\rsa\mc B'')$.
|
||
Поэтому
|
||
$$
|
||
(u_1,\dots,u_n)(\mc B\rsa\mc B'') = (u_1,\dots,u_n)(\mc B\rsa\mc
|
||
B')(\mc B'\rsa\mc B'').
|
||
$$
|
||
Поскольку $(u_1,\dots,u_n)$ является базисом, из равенства линейных
|
||
комбинаций векторов $u_1,\dots,u_n$ следует равенство всех их
|
||
коэффициентов, поэтому
|
||
$$
|
||
(\mc B\rsa\mc B'') = (\mc B\rsa\mc B')(\mc B'\rsa\mc B''),
|
||
$$
|
||
что и требовалось.
|
||
\item Из первых двух пунктов следует, что $(\mc B\rsa\mc B')\cdot(\mc
|
||
B'\rsa\mc B) = (\mc B\rsa\mc B) = E$; аналогично, $(\mc B'\rsa\mc
|
||
B)\cdot(\mc B\rsa\mc B') = (\mc B'\rsa\mc B') = E$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Теперь мы можем связать координаты одного и того же вектора в разных
|
||
базисах.
|
||
|
||
\begin{theorem}\label{thm:change_of_coordinates}
|
||
Пусть $V$~--- конечномерное векторное пространство, $\mc B$, $\mc
|
||
B'$~--- базисы $V$. Тогда для любого вектора $v\in V$ выполнено
|
||
$$
|
||
[v]_{\mc B'} = (\mc B'\rsa\mc B)\cdot [v]_{\mc B}.
|
||
$$
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{remark}\label{rem:contravariant_change}
|
||
Это означает, что координаты вектора в базисе преобразуются
|
||
{\em контравариантно} при замене базиса: координаты в новом базисе
|
||
получаются из координат в старом базисе домножением на матрицу
|
||
перехода {\em из нового базиса в старый}.
|
||
\end{remark}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $\mc B=\{u_1,\dots,u_n\}$, $\mc B'=\{v_1,\dots,v_n\}$.
|
||
Запишем $[v]_{\mc B} =
|
||
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}$ и
|
||
$[v]_{\mc B'} =
|
||
\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}$.
|
||
По определению это означает,
|
||
что $v = u_1x_1+\dots+u_nx_n = v_1y_1+\dots+v_2y_2$,
|
||
то есть,
|
||
$$v=\begin{pmatrix}u_1 & \dots & u_n\end{pmatrix}
|
||
\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} =
|
||
\begin{pmatrix}v_1 & \dots & v_n\end{pmatrix}
|
||
\begin{pmatrix}y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}.$$
|
||
По определению матрицы перехода имеем
|
||
$\begin{pmatrix}v_1 & \dots & v_n\end{pmatrix}
|
||
=\begin{pmatrix}u_1 & \dots & u_n\end{pmatrix}
|
||
\cdot (\mc B\rsa\mc B')$.
|
||
Подставляя это в полученное равенство, получаем
|
||
$$
|
||
v=\begin{pmatrix}u_1 & \dots & u_n\end{pmatrix}
|
||
\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} =
|
||
=\begin{pmatrix}u_1 & \dots & u_n\end{pmatrix}
|
||
(\mc B\rsa\mc B')
|
||
\begin{pmatrix}y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
Но $(u_1,\dots,u_n)$ является базисом, поэтому из равенства линейных
|
||
комбинаций этих векторов следует равенство их коэффициентов.
|
||
Значит,
|
||
$$
|
||
\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} =
|
||
(\mc B\rsa\mc B')
|
||
\begin{pmatrix}y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix},
|
||
$$
|
||
что и требовалось доказать.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
|
||
% \subsection{Матрица линейного отображения}\label{subsect:matrix_of_a_linear_map}
|
||
|
||
%\literature{[F], гл. XII, \S~4, пп. 1--3; [K2], гл. 2, \S~1, п. 2;
|
||
% \S~2, п. 3; [KM], ч. 1, \S~4; [vdW], гл. IV, \S~23.}
|
||
|
||
Еще один естественный вопрос~--- что происходит с матрицей отображения
|
||
при замене базисов в пространствах?
|
||
Пусть в пространстве $U$ заданы базисы $\mc B$ и $\mc C$, а в
|
||
пространстве $V$~--- базисы $\mc B'$ и $\mc C'$. У каждого линейного
|
||
отображения $\ph\colon U\to V$ имеется матрица $[\ph]_{\mc B,\mc B'}$
|
||
в базисах $\mc B,\mc B'$ и матрица $[\ph]_{\mc C,\mc C'}$ в базисах
|
||
$\mc C,\mc C'$.
|
||
|
||
\begin{theorem}\label{thm_matrix_under_change_of_bases}
|
||
Пусть $U,V$~--- векторные пространства над полем $k$,
|
||
$\ph\colon U\to V$~--- линейное отображение,
|
||
$\mc B$, $\mc
|
||
C$~--- базисы в $U$, $\mc B'$, $\mc C'$~--- базисы в $V$. Тогда
|
||
$$
|
||
[\ph]_{\mc C,\mc C'} = (\mc B'\rsa\mc C')^{-1}[\ph]_{\mc B,\mc B'}(\mc
|
||
B\rsa\mc C)
|
||
$$
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $u\in U$; тогда
|
||
$[\ph(u)]_{\mc B'} = [\ph]_{\mc B,\mc B'}\cdot[u]_{\mc B}$
|
||
и $[\ph(u)]_{\mc C'} = [\ph]_{\mc C,\mc C'}\cdot[u]_{\mc C}$.
|
||
Кроме того, $[u]_{\mc B} = (\mc B\rsa \mc C)[u]_{\mc C}$ и
|
||
$[\ph(u)]_{\mc C'} = (\mc C'\rsa \mc B')[\ph(u)]_{\mc B'}$.
|
||
Поэтому
|
||
\begin{align*}
|
||
[\ph]_{\mc C,\mc C'}\cdot [u]_{\mc C} &=
|
||
[\ph(u)]_{\mc C'} = (\mc C'\rsa\mc B')[\ph(u)]_{\mc B'} \\
|
||
&= (\mc C'\rsa\mc B')[\ph]_{\mc B,\mc B'}\cdot[u]_{\mc B} \\
|
||
&= (\mc C'\rsa\mc B')[\ph]_{\mc B,\mc B'}\cdot(\mc B\rsa\mc C)[u]_{\mc
|
||
C}
|
||
\end{align*}
|
||
для всех векторов $u\in U$.
|
||
По предложению~\ref{prop:equal-matrices} из этого следует
|
||
нужное равенство матриц.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Итак, при замене базисов в пространствах $U$ и $V$ матрица отображения
|
||
$\ph\colon U\to V$ домножается справа на матрицу замены базиса в $U$ и
|
||
слева~--- на обратную матрицу замены базиса в $V$. Это можно
|
||
использовать следующим образом: для фиксированного отображения $\ph$
|
||
попробуем подобрать базисы в $U$ и $V$ так, чтобы матрица $\ph$ в этих
|
||
базисах выглядела наиболее простым образом.
|
||
|
||
\begin{theorem}[Каноническая форма матрицы линейного отображения]\label{thm_homomorphism_canonical}
|
||
Пусть $\ph\colon U\to V$~--- гомоморфизм векторных пространств. Тогда
|
||
найдутся базис $\mc B$ в $U$ и базис $\mc B'$ в $V$ такие, что матрица
|
||
$[\ph]_{\mc B,\mc B'}$ является окаймленной единичной:
|
||
$[\ph]_{\mc B,\mc B'} = \begin{pmatrix}E_r & 0\\0&0\end{pmatrix}$.
|
||
При этом $r=\dim(\Img(\ph))$.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
По теореме о гомоморфизме (\ref{thm_homomorphism}) имеется изоморфизм
|
||
$\tld\ph\colon U/\Ker(\ph)\isom\Img(\ph)$.
|
||
Выберем какой-нибудь базис в $\Ker(\ph)$ и базис в $U/\Ker(\ph)$; по
|
||
теореме~\ref{thm_relative_basis} мы получим базис в $U$; пусть это
|
||
$e_1,\dots,e_n$,
|
||
причем $e_1,\dots,e_r$~--- относительный базис $U$ над $\Ker(\ph)$, а
|
||
$e_{r+1},\dots,e_n$~--- базис $\Ker(\ph)$.
|
||
Базису $\ol{e_1},\dots,\ol{e_r}$ в $U/\Ker(\ph)$ в силу
|
||
изоморфизма $\tld\ph$ соответствует базис $f_1,\dots,f_r$ в
|
||
$\Img(\ph)$; при этом $\ph(e_i)=f_i$ для $i=1,\dots,r$, и видно, что
|
||
$r=\dim(\Img(\ph))$.
|
||
Наконец, поскольку $\Img(\ph)\leq V$, можно дополнить систему
|
||
$f_1,\dots,f_r$ до базиса $V$ векторами $f_{r+1},\dots,f_m$.
|
||
Поскольку $\ph(e_i)=f_i$ для $i=1,\dots,r$ и $\ph(e_i)=0$ для $i\geq
|
||
r+1$, матрица $\ph$ в базисах $(e_1,\dots,e_n)$, $(f_1,\dots,f_m)$
|
||
имеет нужный вид.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Фактически мы получили еще одно доказательство
|
||
следствия~\ref{cor_pdq}.
|
||
\begin{remark}\label{rem_rank_homomorphism}
|
||
Размерность образа отображения $\ph$ называется
|
||
\dfn{рангом}\index{ранг!линейного отображения} $\ph$; по
|
||
теореме~\ref{thm_homomorphism_canonical} ранг линейного отображения
|
||
равен рангу его матрицы (в любой паре базисов, поскольку при
|
||
домножении на обратимые матрицы ранг не меняется).
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\begin{remark}\label{rem:rank-is-dim-im}
|
||
Приведем еще одну характеризацию ранга: {\em размерность образа
|
||
линейного отображения равна рангу его матрицы}. Действительно,
|
||
по теореме~\ref{thm_homomorphism_canonical} можно выбрать базис так,
|
||
что матрица нашего отображения станет окаймленной единичной.
|
||
Для окаймленной единичной матрицы ранга $r$ очевидно, что образ
|
||
соответствующего линейного отображения имеет размерность $r$~---
|
||
этот образ есть просто линейная оболочка первых $r$ базисных векторов.
|
||
Осталось вспомнить, что при замене базиса происходит домножение
|
||
матрицы линейного отображения на обратимые матрицы слева и справа,
|
||
что, как мы знаем, не меняет ранга матрицы.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\begin{proposition}
|
||
Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений
|
||
равна числу неизвестных минус ранг матрицы этой системы.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть речь идет о системе $AX=0$, где $A\in M(m,n,k)$, и $X\in k^n$~---
|
||
столбец неизвестных. Рассмотрим линейный оператор
|
||
$T\colon k^n\to k^m$, $X\mapsto AX$. Нетрудно понять, что его матрица
|
||
относительно стандартных базисов $k^n$, $k^m$ равна $A$.
|
||
Пространство решений системы $AX=0$~--- это в точности ядро оператора
|
||
$T$. Ранг матрицы $A$, как мы заметили выше~--- это размерность
|
||
образа оператора $T$. Число неизвестных здесь равно $n$.
|
||
Осталось применить теорему о гомоморфизме~\ref{thm:homomorphism-linear}.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{corollary}
|
||
Пусть $A\in M(m,n,k)$.
|
||
Однородная линейная система уравнений $AX=0$ имеет нетривиальное (то
|
||
есть, ненулевое) решение тогда и только тогда, когда $\rk(A)<n$. В
|
||
частности, если $m<n$, то эта система всегда имеет нетривиальное
|
||
решение; если же $m=n$, то она имеет нетривиальное решение тогда и
|
||
только тогда, когда матрица $A$ необратима.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
Нетривиальное решение системы $AX=0$ существует тогда и только тогда,
|
||
когда размерность пространства решение строго больше $0$, что по
|
||
предыдущей теореме равносильно неравенству $\rk(A)<n$. Если $m<n$, то
|
||
ранг матрицы $A$, будучи равен строчному рангу, не превосходит $m$:
|
||
$\rk(A)\leq m<n$, поэтому нетривиальное решение имеется. Если же
|
||
$m=n$, то неравенство $\rk(A)<n$ по
|
||
следствию~\ref{cor_invertibility_rank} равносильно необратимости $A$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Докажем еще раз теорему Кронекера--Капелли.
|
||
\begin{theorem}[Кронекера--Капелли]\label{thm_kronecker_kapelli_2}
|
||
Система линейных уравнений $AX=B$ имеет решение тогда и только тогда,
|
||
когда ранг матрицы $A$ равен рангу расширенной матрицы $(A|B)$. При
|
||
этом решение единственно тогда и только тогда, когда, дополнительно,
|
||
этот ранг равен числу неизвестных $n$.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Рассмотрим соответствующее линейное отображение $T\colon k^n\to
|
||
k^m$, $X\mapsto AX$.
|
||
Образ $T$~--- это подпространство, порожденное векторами
|
||
$T(e_1),\dots,T(e_n)$, то есть, пространство столбцов матрицы
|
||
$A$. Значит, $B$ лежит в $\Img(T)$ тогда и только тогда, когда
|
||
столбец $B$ является линейной комбинацией столбцов матрицы $A$. По
|
||
предложению~\ref{prop_structure_of_solutions_linear_system} имеется
|
||
биекция между множеством решений системы
|
||
$AX=B$ и множеством решений однородной системы $AX=0$; это множество
|
||
состоит из одной точки тогда и только тогда, когда $\Ker(T)=0$, то
|
||
есть, когда $\rk(A)=\dim(\Img(T))=n$.
|
||
\end{proof}
|