128 lines
8.2 KiB
TeX
128 lines
8.2 KiB
TeX
\documentclass[12pt]{article}
|
||
\usepackage[T2A]{fontenc}
|
||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||
\usepackage[russian]{babel}
|
||
\usepackage{mdwlist}
|
||
\usepackage{amsfonts}
|
||
\usepackage{amssymb}
|
||
\usepackage{amsmath}
|
||
\usepackage{amsthm}
|
||
\usepackage{paralist}
|
||
\usepackage{ccfonts,eulervm,euler}
|
||
\renewcommand{\bfdefault}{sbc}
|
||
%\usepackage{ulem}
|
||
\usepackage[margin=0.7in,bmargin=0.7in]{geometry}
|
||
|
||
|
||
\pagestyle{empty}
|
||
|
||
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
|
||
|
||
\newcommand\glava[1]{{\medskip\bf\hfill #1}}
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
|
||
\begin{center}
|
||
{\Large Вопросы экзамена по алгебре}
|
||
\par\medskip
|
||
Группы 151, 153 (лектор Александр Лузгарев)
|
||
\par\medskip
|
||
Первый семестр, осень 2016
|
||
\end{center}
|
||
|
||
\glava{Глава 3. Комплексные числа}
|
||
\begin{compactenum}
|
||
\item Комплексные числа: определение, алгебраическая форма записи.
|
||
\item Комплексное сопряжение и модуль. Деление комплексных чисел.
|
||
\item Неравенство треугольника. Тригонометрическая форма записи
|
||
комплексного числа.
|
||
\item Перемножение комплексных чисел в тригонометрической
|
||
форме. Формула Муавра.
|
||
\item Корни $n$-ой степени из комплексного числа. Свойства корней из
|
||
единицы.
|
||
\item Первообразные корни из единицы, их количество.
|
||
\item Экспоненциальная форма записи комплексного числа и логарифм.
|
||
\suspend{compactenum}
|
||
\glava{Глава 4. Кольцо многочленов}
|
||
\resume{compactenum}
|
||
\item Кольцо многочленов над кольцом.
|
||
\item Теорема о степени произведения многочленов
|
||
над областью целостности и ее следствия.
|
||
\item Делимость в кольце многочленов. Теорема о делении с остатком.
|
||
\item Многочлен как функция. Лемма Безу.
|
||
\item Выделение линейных множителей и число различных корней
|
||
многочлена над полем. Формальное и функциональное равенство
|
||
многочленов.
|
||
\item Алгебраическая замкнутость. Разложение многочленов над полями
|
||
комплексных и вещественных чисел.
|
||
\item Определение и свойства производной. Связь между корнями
|
||
многочлена и его производной.
|
||
\item Характеристика поля. Поведение кратности корня при взятии
|
||
производной над полем характеристики $0$.
|
||
\item Интерполяционная задача, единственность ее решения.
|
||
Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона.
|
||
\item Наибольший общий делитель многочленов: существование и линейное
|
||
представление.
|
||
\item Алгорифм Эвклида для многочленов. Оценка на степень
|
||
коэффициентов в линейном представлении НОД.
|
||
\item Неприводимые многочлены. Основная теорема арифметики в кольце
|
||
многочленов.
|
||
\item Конструкция поля частных области целостности: эквивалентность
|
||
дробей, введение операций и проверка аксиом поля.
|
||
\item Поле рациональных функций. Правильные дроби, их
|
||
свойства. Выделение многочлена из дроби.
|
||
\item Простейшие дроби: две леммы о разложении знаменателя.
|
||
\item Теорема о представлении правильной дроби в виде суммы
|
||
простейших.
|
||
\item Простейшие дроби над полями комплексных и вещественных
|
||
чисел. Нахождение коэффициентов в случае простых корней.
|
||
\suspend{compactenum}
|
||
\glava{Глава 5. Вычислительная линейная алгебра}
|
||
\resume{compactenum}
|
||
\item Системы линейных уравнений и матрицы. Элементарные
|
||
преобразования и связь с множеством решений.
|
||
\item Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
|
||
\item Матрицы, свойства сложения и умножения.
|
||
\item Транспонирование и его свойства. Матричные единицы.
|
||
\item Матрицы элементарных преобразований. Элементарные преобразования
|
||
строк и столбцов как умножения на матрицы.
|
||
\item Приведение матрицы к окаймленному единичному виду элементарными
|
||
преобразованиями. Связь с обратимостью.
|
||
\item Блочные матрицы и операции над ними.
|
||
\item Группа перестановок. Табличная запись перестановки.
|
||
\item Разложение перестановки в произведение [элементарных]
|
||
транспозиций.
|
||
\item Число инверсий и знак перестановки. Изменение знака при
|
||
домножении на транспозицию.
|
||
\item Знак как число транспозиций в разложении. Мультипликативность
|
||
знака.
|
||
\suspend{compactenum}
|
||
\glava{Глава 6. Векторные пространства}
|
||
\resume{compactenum}
|
||
\item Определение векторного пространства, простейшие свойства,
|
||
примеры.
|
||
\item Подпространства: определение и примеры. Пересечение
|
||
и сумма подпространств.
|
||
\item Прямая сумма подпространств. Критерии разложения пространства
|
||
в прямую сумму подпространств.
|
||
\item Системы образующих и линейно независимые системы. Примеры.
|
||
\item Лемма о линейной зависимости. Следствие о добавлении вектора
|
||
к линейно независимой системе.
|
||
\item Количество элементов в линейно независимой и порождающей
|
||
системах.
|
||
\item Конечномерность подпространства конечномерного пространства.
|
||
\item Базис, определение и эквивалентная переформулировка.
|
||
Любая система образующих содержит базис.
|
||
\item Любая линейно независимая система содержится в базисе.
|
||
Дополнение пространства до прямой суммы.
|
||
\item Равномощность всех базисов. Размерность подпространства.
|
||
\item Теорема Грассмана о размерности суммы подпространств.
|
||
\item Если длина порождающей системы равна размерности, то это
|
||
базис; то же для линейно независимой системы.
|
||
Размерность прямой суммы подпространств. Критерий разложения
|
||
в прямую сумму, использующий размерность.
|
||
\end{compactenum}
|
||
|
||
\end{document}
|
||
|