109 lines
6.2 KiB
TeX
109 lines
6.2 KiB
TeX
\documentclass[12pt]{article}
|
||
\usepackage[T2A]{fontenc}
|
||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||
\usepackage[russian]{babel}
|
||
\usepackage{mdwlist}
|
||
\usepackage{amsfonts}
|
||
\usepackage{amssymb}
|
||
\usepackage{amsmath}
|
||
\usepackage{amsthm}
|
||
\usepackage{paralist}
|
||
\usepackage{ccfonts,eulervm,euler}
|
||
\renewcommand{\bfdefault}{sbc}
|
||
%\usepackage{ulem}
|
||
\usepackage[margin=0.7in,bmargin=0.7in]{geometry}
|
||
|
||
|
||
\pagestyle{empty}
|
||
|
||
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
|
||
|
||
\newcommand\glava[1]{{\bf\hfill #1}}
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
|
||
\begin{center}
|
||
{\Large Вопросы экзамена по алгебре}
|
||
\par\medskip
|
||
Группы 251, 253 (лектор Александр Лузгарев)
|
||
\par\medskip
|
||
Четвертый семестр, весна 2016
|
||
\end{center}
|
||
|
||
\glava{Эвклидовы и унитарные пространства}
|
||
\begin{compactenum}
|
||
\item Эвклидовы и унитарные пространства: определения и первые
|
||
примеры.
|
||
\item Норма и угол.
|
||
\item Матрица Грама.
|
||
\item Поведение матрицы Грама при замене базиса, ее обратимость.
|
||
\item Ортогонализация Грама--Шмидта.
|
||
\item Ортогональные и унитарные матрицы, равносильные определения.
|
||
\item Ортонормированные базисы. Теорема Риса.
|
||
\item Ортогональное дополнение, его свойства.
|
||
\item Ортогональная проекция.
|
||
\item Сопряженное отображение: существование и единственность.
|
||
\item Свойства сопряжения. Матрица сопряженного отображения.
|
||
\item Самосопряженные операторы. Критерий равенства нулю самосопряженного оператора.
|
||
\item Нормальные операторы, их собственные числа и векторы.
|
||
\item Спектральная теорема для нормальных операторов в унитарном пространстве.
|
||
\item Спектральная теорема для самосопряженных операторов в эвклидовом пространстве.
|
||
\item Спектральная теорема для нормальных операторов в эвклидовом пространстве.
|
||
\item Самосопряженные, кососимметрические, унитарные операторы в
|
||
унитарных и эвклидовых пространствах.
|
||
\item Изометрии.
|
||
\item Теорема Эйлера о вращениях, приведение квадратичной формы к
|
||
диагональному виду, разложение пространства в ортогональную прямую
|
||
сумму собственных подпространств.
|
||
\item Положительно определенные операторы.
|
||
\item Извлечение квадратного корня из положительно определенного
|
||
оператора.
|
||
\item Полярное разложение.
|
||
\suspend{compactenum}
|
||
\glava{Теория групп}
|
||
\resume{compactenum}
|
||
\item Группы: определение, примеры.
|
||
\item Подгруппы: определение, примеры. Подгруппы аддитивной группы.
|
||
\item Подгруппа, порожденная множеством: две конструкции
|
||
\item Классы смежности, разбиение на классы и соответствующие
|
||
отношения эквивалентности.
|
||
\item Нормальные подгруппы: определение и равносильные
|
||
переформулировки.
|
||
\item Гомоморфизмы групп: определение, примеры.
|
||
\item Ядро и образ гомоморфизма.
|
||
\item Ядро и инъективность, изоморфизм и биективность.
|
||
\item Конструкция фактор-группы.
|
||
\item Теорема о гомоморфизме.
|
||
\item Циклические группы: определение и классификация. Порядок
|
||
элемента.
|
||
\item Равномощность множеств левых и правых смежных классов. Теорема
|
||
Лагранжа.
|
||
\item Следствия теоремы Лагранжа.
|
||
\item Прямое произведение групп
|
||
\item Критерий разложения группы в прямое произведение подгрупп.
|
||
\item Разложение перестановки в произведение независимых циклов.
|
||
\item Описание классов сопряженности в симметрической группе.
|
||
\item Теорема Кэли.
|
||
\item Диэдральная группа.
|
||
\suspend{compactenum}
|
||
\glava{Полилинейная алгебра}
|
||
\resume{compactenum}
|
||
\item Тензорное произведение двух пространств.
|
||
\item Тензорное произведение нескольких пространств. Ассоциативность,
|
||
коммутативность. Тензорный базис.
|
||
\item Двойственное пространство. Изоморфизм пространства с дважды
|
||
двойственным.
|
||
\item Выражение $\Hom$ через $\otimes$.
|
||
\item Двойственность и $\otimes$.
|
||
\item Сопряженность $\otimes$ и $\Hom$.
|
||
\item Тензорное произведение линейных отображений. Его свойства,
|
||
тензорное произведение $\Hom$-пространств.
|
||
\item Кронекерово произведение матриц. Матрица тензорного
|
||
произведения.
|
||
\item Тензорные пространства. Координаты тензора.
|
||
\item Преобразование координат тензора при замене базиса.
|
||
\end{compactenum}
|
||
|
||
\end{document}
|
||
|