1299 lines
79 KiB
TeX
1299 lines
79 KiB
TeX
\section{Элементарная теория чисел}
|
||
|
||
В этой главе мы в основном работаем с множеством целых чисел $\mb Z$.
|
||
|
||
\subsection{Делимость целых чисел}\label{subsect_divide}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. I, \S~1, пп. 1, 2; [K1], гл. 1, \S~9, п. 3; [V],
|
||
гл. I, \S~1; [B], гл. 1, п. 2.}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $x$, $y$~--- целые числа. Говорят, что
|
||
$x$ \dfn{делит}\index{делимость!целых чисел} $y$
|
||
(или, что $y$ \dfn{делится на} $x$) если
|
||
существует такое целое число $k$, что $y=xk$. Обозначение:
|
||
$x\divides y$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{proposition}
|
||
Для любых целых $x,y,z$ выполнено:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $x\divides x$, $1\divides x$, $(-x)\divides x$,
|
||
$(-1)\divides x$;
|
||
\item если $x\divides y$ и $y\divides z$, то $x\divides z$ (отношение
|
||
делимости транзитивно);
|
||
\item если $x\divides y$ и $x\divides z$, то $x\divides y+z$;
|
||
\item если $x\divides y$, то $x\divides yz$;
|
||
\item если $z\neq 0$, то $xz\divides yz$ равносильно $x\divides y$;
|
||
\item $x\divides 0$; если $0\divides x$, то $x=0$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $x=x\cdot 1=1\cdot x=(-x)\cdot(-1)=(-1)\cdot(-x)$.
|
||
\item Если $y=xk$, $z=yl$, то $z = (xk)l = x(kl)$.
|
||
\item Если $y=xk$, $z=xl$, то $y+z=x(k+l)$.
|
||
\item Если $y=xk$, поэтому $yz=(xk)z = x(kz)$.
|
||
\item Если $y=xk$, то $yz=xzk$; обратно, если $yz=xzk$, то
|
||
$(y-xk)z=0$. Из $z\neq 0$ теперь следует, что $y-xk=0$, то есть,
|
||
$y=xk$.
|
||
\item $0=x\cdot 0$; если $x=0\cdot k$, то $x=0$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Если $x\divides y$ и $y\divides x$, говорят, что числа $x$ и $y$
|
||
\dfn{ассоциированы}\index{ассоциированность!целых чисел}.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{remark}\label{rem:integers_up_to_sign}
|
||
Заметим, что это означает, что $y=xk$ и $x=yl$, откуда $x=xkl$. Если
|
||
$x=0$, то и $y=0$; иначе $1=kl$, поэтому $|k|=|l|=1$ и либо $k=l=1$,
|
||
либо $k=l=-1$. Стало быть, $y=x$ или $y=-x$.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
% 01.10.2014
|
||
|
||
\begin{theorem}[О делении с остатком]
|
||
Пусть $a,b\in\mb Z$, $b\neq 0$. Тогда существуют единственные целые
|
||
числа $q$ (неполное частное) и $r$ (остаток) такие, что $a=bq+r$ и
|
||
$0\leq r\leq |b|-1$.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Предположим сначала, что $b>0$ и $a\geq 0$.
|
||
Доказываем индукцией по $a$.
|
||
База: $a<b$. В этом случае $a=b\cdot 0+a$ и $0\leq a\leq b-1$.
|
||
Переход: пусть теперь $a\geq b$; посмотрим на число $a-b$, снова
|
||
$a-b\geq 0$ и $a-b<a$, поэтому по предположению индукции найдутся
|
||
$q'$, $r'$ такие, что $a-b=bq'+r'$ и $0\leq r'\leq b-1$. Но тогда
|
||
$a=b(q'+1)+r'$.
|
||
\
|
||
Пусть теперь $a<0$; но тогда $-a\geq 0$ и, по доказанному, найдутся
|
||
$q'$, $r'$ такие, что $-a=bq'+r'$, $0\leq r'\leq b-1$.
|
||
Из этого
|
||
получаем, что $a=-bq'-r'$. Если $r'=0$, то $a=b(-q')+0$, и все
|
||
доказано.
|
||
Если же $1\leq r'\leq b-1$, то $a=b(-q')-b+b-r'=b(-q'-1)+(b-r')$. Заметим, что
|
||
$-b+1\leq -r'\leq -1$, поэтому $1\leq b-r'\leq b-1$, и все доказано.
|
||
|
||
Наконец, предположим, что $b<0$; тогда $-b>0$ и можно найти $q',r'$
|
||
такие, что $a=(-b)q'+r'$ и $0\leq r'\leq -b-1$. Но тогда $a=b(-q')+r'$
|
||
и $0\leq r'\leq |b|-1$, что и требовалось.
|
||
|
||
Осталось доказать единственность. Пусть $a=bq+r=bq'+r'$; тогда
|
||
$b(q-q')=(r'-r)$. Если $q=q'$, то и $r=r'$. Если же $q\neq q'$, то
|
||
$|b|\cdot |q-q'|=|r-r'|$ и левая часть $\geq |b|$. С другой стороны,
|
||
$0\leq r,r'\leq |b|-1$, поэтому правая часть не превосходит
|
||
$|b|-1$, противоречие.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Наибольший общий делитель и алгорифм Эвклида}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. I, \S~1, пп. 3, 4; [K1], гл. 1, \S~9, п. 2; [V],
|
||
гл. I, \S~2; [B], гл. 3, пп. 1, 2.}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $a,b\in\mb Z$. Говорят, что целое число $d$ является \dfn{общим
|
||
делителем}\index{делитель!общий} $a$ и $b$, если $d\divides a$ и
|
||
$d\divides b$.
|
||
\end{definition}
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $a,b\in\mb Z$. Целое число $d$ называется
|
||
\dfn{наибольшим общим
|
||
делителем}\index{делитель!наибольший общий!целых чисел}\index{наибольший общий делитель} (\dfn{НОД})
|
||
чисел $a$ и $b$, если
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $d$~--- общий делитель $a$ и $b$;
|
||
\item если $d'$~--- общий делитель $a$ и $b$, то $d'\divides d$.
|
||
\end{itemize}
|
||
Обозначение: $d=\gcd(a,b)$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
Заметим, что НОД двух целых чисел (если он существует) единственен с
|
||
точностью до знака. А именно, если $d$ и
|
||
$d'$~--- два наибольших общих делителя чисел $a$ и $b$,
|
||
то из определения
|
||
следует, что $d\divides d'$ и $d'\divides d$, откуда по
|
||
замечанию~\ref{rem:integers_up_to_sign} следует, что $d=\pm d'$.
|
||
Поэтому важно понимать, что выражение $\gcd(a,b)$ не является
|
||
однозначно определенным целым числом, а лишь обозначает
|
||
{\em какой-нибудь} из наибольших общих делителей чисел $a$ и
|
||
$b$. Например, если $\gcd(a,b)=d$, то и $\gcd(a,b)=-d$.
|
||
|
||
Легко видеть, что $\gcd(0,a)=a$; в частности,
|
||
$\gcd(0,0)=0$.
|
||
|
||
{\small
|
||
Некоторые авторы называют наибольшим общим делителем не произвольное
|
||
целое, а {\it натуральное} число с этими свойствами. При этом
|
||
наибольший общий
|
||
делитель становится единственным: действительно, из пары целых чисел
|
||
$d$ и $-d$ всегда ровно одно является натуральным.
|
||
Однако, такая точка зрения неудобна, поскольку при обобщении понятия
|
||
наибольшего общего делителя на другие кольца (например, на кольцо
|
||
многочленов~--- см. раздел~\ref{ssect:polynomial_gcd}) подобного рода
|
||
единственность невозможно обеспечить.}
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:gcd_linear}
|
||
Наибольший общий делитель двух целых чисел $a,b$ существует и
|
||
представляется в виде $d=au_0+bv_0$ для некоторых целых $u_0$, $v_0$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Если $a=b=0$, то мы уже знаем, что $\gcd(a,b)=0$, и доказывать
|
||
нечего. Теперь можно считать, что $a\neq 0$.
|
||
Рассмотрим множество всех натуральных чисел вида $au+bv$ для
|
||
всевозможных целых $u,v$ и выберем в нем наименьший ненулевой
|
||
элемент (это множество непусто: например, оно содержит $|a|$).
|
||
Обозначим его через $d$; по
|
||
построению имеем $d=au_0+bv_0$ для некоторых целых $u_0,v_0$.
|
||
Покажем, что $d$ является общим делителем $a$ и $b$. Поделим $a$ на
|
||
$d$ с остатком: $a=dq+r=(au_0+bv_0)q+r$, откуда
|
||
$r=a(1-u_0q)+b(-v_0q)$. Однако, $r<d$~-- натуральное число, а $d$ было
|
||
наименьшим натуральным числом, представляемым в виде
|
||
$d=ax+by$. Значит, $r=0$ и $a$ делится на $d$. Аналогично, $b$ делится
|
||
на $d$.
|
||
|
||
Докажем
|
||
теперь, что $d$~--- это наибольший общий делитель $a$ и $b$. Пусть
|
||
$d'$~--- какой-то общий делитель $a$ и $b$: $d'\divides a$ и
|
||
$d'\divides b$. Тогда по свойствам делимости $d'\divides au_0$,
|
||
$d'\divides bv_0$, и
|
||
$d'\divides au_0+bv_0 = d$, что и требовалось.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Выражение $d=au_0+bv_0$ из предложения~\ref{prop:gcd_linear}
|
||
называется
|
||
\dfn{линейным представлением НОД}\index{линейное представление НОД}.
|
||
|
||
Практический способ для нахождения наибольшего общего делителя~---
|
||
алгорифм Эвклида.
|
||
|
||
Пусть $a,b\in\mb Z$. Наша цель~--- найти $\gcd(a,b)$. Заметим сразу,
|
||
что $\gcd(a,b) = \gcd(|a|,|b|)$, поэтому можно считать, что
|
||
$a,b\in\mb N$.
|
||
Если одно из
|
||
чисел $a,b$ равно $0$, цель достигнута.
|
||
Иначе пусть для определенности
|
||
$a\geq b>0$. Делим с остатком $a$ на $b$:
|
||
$a=bq_0+r_0$.
|
||
Посмотрим на пару $(b,r_0)$ и применим ту же операцию к ней (теперь мы
|
||
знаем, что $b>r_0$):
|
||
$b=r_0q_1+r_1$
|
||
и так далее:
|
||
$r_0=r_1q_2+r_2$\dots
|
||
Заметим, что максимальное число в паре всегда уменьшается; значит,
|
||
процесс когда-то остановится (остаток станет равен нулю).
|
||
Мы утверждаем, что последний ненулевой остаток в этой цепочке равен
|
||
$\gcd(a,b)$. Для доказательства этого факта нам понадобится следующая
|
||
лемма.
|
||
\begin{lemma}
|
||
Пусть $a,b,q,r\in\mb Z$.
|
||
Если $a=bq+r$, то $\gcd(a,b)=\gcd(b,r)$.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Действительно, пусть
|
||
$d=\gcd(a,b)$ и $d'=\gcd(b,r)$. С одной стороны, $d\divides a$,
|
||
$d\divides b$, откуда $d\divides (a-bq) = r$, и из определения
|
||
$d'=\gcd(b,r)$ следует, что
|
||
$d\divides d'$. Кроме того, $d'\divides b$, $d'\divides r$, откуда
|
||
$d'\divides bq+r = a$, и из определения $d=\gcd(a,b)$ следует, что
|
||
$d'\divides d$. Мы получили, что $d\divides d'$ и
|
||
$d'\divides d$; это означает, что $d=\pm d'$, и потому $\gcd(a,b) =
|
||
\gcd(b,r)$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Поэтому
|
||
наибольший общий делитель пары, с которой мы работаем в алгорифме
|
||
Эвклида, не меняется; и как только в паре
|
||
появился $0$, другое число в паре должно быть равно $\gcd(a,b)$.
|
||
|
||
Более того, алгорифм Эвклида позволяет находить и линейное
|
||
представление НОД. Действительно, в конце алгорифма мы приходим к паре
|
||
$(d,0)$ и линейное представление очевидно: $d=d\cdot 1+0\cdot 0$. На
|
||
каждом шаге мы переходим от пары $(a,b)$ к паре $(b,r)$, где $a=bq+r$;
|
||
если мы уже знаем, что $d=bx'+ry'$, то, подставляя $r=a-bq$, имеем
|
||
$d=bx'+(a-bq)y'= ay'+b(x'-qy')$.
|
||
|
||
\subsection{Свойства НОД и взаимная простота}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. I, \S~1, п. 5; [V],
|
||
гл. I, \S~2; [B], гл. 3, пп. 1, 3.}
|
||
|
||
\begin{proposition}[Свойства НОД]\label{prop_properties_gcd}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $\gcd(x,y)=x$ тогда и только тогда, когда $x\divides y$.\label{gcd_prop1}
|
||
\item $\gcd(\gcd(x,y),z)=\gcd(x,\gcd(y,z))$.
|
||
\item $\gcd(zx,zy)=z\cdot\gcd(x,y)$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Если $\gcd(x,y)=x$, то $x\divides y$ по определению. Обратно, пусть
|
||
$x\divides y$, тогда $x$~--- общий делитель $x$ и $y$, и если $d'$~---
|
||
какой-то общий делитель $x,y$, то, в частности, $d'\divides x$. Значит,
|
||
$\gcd(x,y)=x$.
|
||
\item Любой общий делитель $\gcd(x,y)$ и $z$ является общим делителем
|
||
$x$, $y$ и $z$; то же можно сказать про любой общий делитель $x$ и
|
||
$\gcd(y,z)$. Позже мы распространим определение $\gcd$ на несколько
|
||
элементов и увидим, что и левая, и правая части необходимого
|
||
равенства равны $\gcd(x,y,z)$.
|
||
\item Если $z=0$, то и слева, и справа стоит $0$; доказывать
|
||
нечего. Пусть $\gcd(x,y)=d$; $d\divides x$, $d\divides y$, откуда
|
||
$zd\divides zx$ и $zd\divides zy$; поэтому $zd\divides \gcd(zx,zy)$.
|
||
Обратно, очевидно, что $z\divides zx$, $z\divides zy$,
|
||
поэтому $z\divides\gcd(zx,zy)$. Запишем $\gcd(zx,zy)=zc$ для некоторого
|
||
$c$. Значит, $zc\divides zx$, $zc\divides zy$, откуда после
|
||
сокращения (с учетом того, что $z\neq 0$) получаем $c\divides x$ и
|
||
$c\divides y$. Поэтому $c\divides \gcd(x,y)=d$, откуда
|
||
$zc\divides zd$, то есть, $\gcd(zx,zy)\divides zd$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Числа $a,b$ называются \dfn{взаимно простыми}\index{взаимная
|
||
простота}, если
|
||
$\gcd(a,b)=1$. Обозначение: $a\perp b$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{proposition}[Свойства взаимной
|
||
простоты]\label{prop_properties_of_coprime}
|
||
Пусть $a,b,c$~--- некоторые целые числа.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Если $a\perp b$ и $a\perp c$, то $a\perp bc$.\label{coprime_prop1}
|
||
\item $a\perp b$ тогда и только тогда, когда существуют целые числа
|
||
$u_0$, $v_0$ такие, что $au_0+bv_0=1$.\label{coprime_prop2}
|
||
\item Если $c\divides ab$ и $a\perp c$, то $c\divides b$.\label{coprime_prop3}
|
||
\item Если $b_1\divides a$, $b_2\divides a$ и $b_1\perp b_2$, то
|
||
$b_1b_2\divides a$.\label{coprime_prop4}
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item
|
||
\begin{align*}
|
||
\gcd(a,bc)&=\gcd(\gcd(a,ac),bc)\\
|
||
&=\gcd(a,\gcd(ac,bc))\\
|
||
&=\gcd(a,c\gcd(a,b))\\
|
||
&=\gcd(a,c)\\
|
||
&=1.
|
||
\end{align*}
|
||
\item если $a\perp b$, то $1=au_0+bv_0$~--- линейное представление
|
||
НОД. Обратно, если $au_0+bv_0=1$ и $d=\gcd(a,b)$, то $d\divides au_0$,
|
||
$d\divides bv_0$, откуда $d\divides au_0+bv_0 = 1$ и $d=1$.
|
||
\item Запишем $au_0+cv_0=1$ и умножим на $b$:
|
||
$abu_0+cbv_0=b$. Мы знаем, что $c\divides ab$, поэтому $c\divides
|
||
abu_0$. Кроме того, очевидно, что $c\divides cbv_0$. Поэтому $c$
|
||
делит и их сумму $abu_0+cbv_0 = b$.
|
||
\item $a=b_1k$ делится на $b_2$, $b_1\perp b_2$, по предыдущему
|
||
свойству $k$ делится
|
||
на $b_2$: $k=b_2l$, откуда $a=b_1k=b_1b_2l$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Линейные диофантовы уравнения}
|
||
|
||
\literature{[B], гл. 14, п. 2.}
|
||
|
||
Пусть $a,b,c\in\mb Z$.
|
||
Нас интересуют решения $(x,y)$ уравнения $ax+by=c$.
|
||
Если $a=b=0$, то при $c=0$ решение любое, а при $c\neq 0$ решений нет.
|
||
|
||
Если $b=0$, $a\neq 0$, получаем уравнение $ax=c$. Если $a\divides c$, то
|
||
$x=c/a$, $y$~--- любое; иначе решений нет.
|
||
|
||
Обозначим $d=\gcd(a,b)$. Заметим, что $d\divides a$, $d\divides b$,
|
||
поэтому $d$ должно делить выражение
|
||
$ax+by$ при всех $x,y$. Значит, если $d$ не делит $c$,
|
||
то решений нет.
|
||
|
||
Пусть теперь $d\divides c$. Запишем $a=da'$, $b=db'$,
|
||
$c=dc'$; тогда обе части нашего уравнения можно
|
||
поделить на $d$ и прийти к эквивалентному уравнению $a'x+b'y=c'$, для
|
||
которого уже $\gcd(a',b')=1$ (поскольку
|
||
$d=\gcd(a,b)=\gcd(da',db')=d\gcd(a',b')$).
|
||
|
||
Поэтому теперь можно считать, что $\gcd(a,b)=1$.
|
||
Мы знаем, что есть линейное представление НОД:
|
||
$au_0+bv_0=1$. Умножая на $c$ обе части, получаем, что
|
||
$a(u_0c)+b(v_0c)=c$. Обозначим $x_0=u_0c$, $y_0=v_0c$. Мы получили,
|
||
что у нашего уравнения есть решение $(x_0,y_0)$. Как найти все
|
||
решения?
|
||
|
||
Пусть $(x,y)$~--- какое-то решение уравнения $ax+by=c$. Вычитая
|
||
$ax_0+by_0=c$ из этого равенства, получаем $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$,
|
||
откуда $a(x-x_0)=b(y_0-y)$. Стало быть, $b\divides a(x-x_0)$; но $a\perp
|
||
b$, поэтому $b\divides x-x_0$. Запишем $x-x_0=bt$; тогда $abt=b(y_0-y)$,
|
||
откуда $y_0-y=at$. Получили, что произвольное решение $(x,y)$ нашего
|
||
уравнения выглядит так: $x=x_0+bt$, $y=y_0-at$. Итак, если
|
||
$(x_0,y_0)$~--- какое-то одно решение уравнения $ax+by=c$, то все его
|
||
решения имеют вид $(x_0+bt,y_0-at)$ для $t\in\mb Z$. Обратно, прямая
|
||
подстановка показывает, что $(x_0+bt,y_0-at)$ действительно является
|
||
решением нашего уравнения.
|
||
|
||
Теперь посмотрим на случай нескольких переменных. Для этого нам
|
||
понадобится расширить понятие НОД на случай нескольких чисел.
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $a_1,\dots,a_n\in\mb Z$. Натуральное число $d$ называется
|
||
\dfn{наибольшим общим делителем}\index{делитель!наибольший
|
||
общий!нескольких чисел} чисел $a_1,\dots,a_n$, если
|
||
выполняются следующие условия:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $d$~--- общий делитель $a_1,\dots,a_n$ (то есть, $d$ делит
|
||
каждое $a_i$);
|
||
\item если $d'$~--- общий делитель $a_1,\dots,a_n$, то $d'\divides d$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
Обозначение: $d=\gcd(a_1,\dots,a_n)$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{exercise}
|
||
Докажите следующие свойства НОД:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $\gcd(a_1,\dots,a_n)=\gcd(\gcd(a_1,a_2),a_3,\dots,a_n)$;
|
||
\item $\gcd$ не зависит от порядка аргументов;
|
||
\item $\gcd(za_1,za_2,\dots,za_n)=|z|\gcd(a_1,\dots,a_n)$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{exercise}
|
||
Из этого упражнения, в частности, следует, что НОД нескольких чисел
|
||
существует и единственен.
|
||
|
||
% 08.10.2014
|
||
|
||
\begin{theorem}[Критерий разрешимости линейного диофантова уравнения
|
||
от нескольких переменных]
|
||
Пусть $a_1,\dots,a_n,c\in\mb Z$. Линейное уравнение
|
||
$$
|
||
a_1x_1+\dots+a_nx_n=c
|
||
$$
|
||
разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда
|
||
$\gcd(a_1,\dots,a_n)$ делит $c$.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Очевидно, что если это уравнение разрешимо, то каждое слагаемое в
|
||
левой части делится на $\gcd(a_1,\dots,a_n)$, поэтому и $c$ на него
|
||
делится. Докажем теперь, что если $c$ делится на
|
||
$d=\gcd(a_1,\dots,a_n)$, то уравнение разрешимо.
|
||
|
||
Из нашего анализа линейного диофантова уравнения от двух переменных
|
||
следует, что этот критерий верен для $n=2$. Это будет базой для
|
||
индукции по $n$. Пусть теперь $n\geq 3$.
|
||
Рассмотрим следующее уравнение:
|
||
$$
|
||
\gcd(a_1,a_2)y_1+a_3y_3+\dots+a_ny_n=c.
|
||
$$
|
||
Это линейное диофантово уравнение от $n-1$ неизвестных
|
||
$y_1,y_3,\dots,y_n$. По предположению индукции оно разрешимо тогда и
|
||
только тогда, когда его правая часть, $c$, делится на
|
||
$\gcd(\gcd(a_1,a_2),a_3,\dots,a_n)=\gcd(a_1,a_2,a_3,\dots,a_n)=d$. У
|
||
нас по условию $d\divides c$, поэтому новое уравнение имеет решение
|
||
$(y_1,y_3,\dots,y_n)$. Построим теперь решение нашего первоначального
|
||
уравнения. Посмотрим на еще одно вспомогательное уравнение
|
||
$$
|
||
a_1x_1+a_2x_2=\gcd(a_1,a_2)y_1
|
||
$$
|
||
с неизвестными $x_1,x_2$. Правая часть делится на НОД его
|
||
коэффициентов, поэтому оно разрешимо. Итак, мы нашли $x_1,x_2$;
|
||
положим теперь $x_3=y_3,\dots,x_n=y_n$. Тогда
|
||
\begin{align*}
|
||
a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+\dots+a_nx_n&=\gcd(a_1,a_2)y_1+a_3x_3+\dots+a_nx_n\\
|
||
&=\gcd(a_1,a_2)y_1+a_3y_3+\dots+a_ny_n\\
|
||
&=c,
|
||
\end{align*}
|
||
поэтому $(x_1,\dots,x_n)$~--- решение исходного уравнения.
|
||
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Основная теорема арифметики}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. I, \S~1, п. 6; [K1], гл. 1, \S~9, п. 1; [V],
|
||
гл. I, \S~5, \S~6; [B], гл. 2, п. 1.}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Натуральное число $p$, отличное от $0$ и $1$,
|
||
называется \dfn{простым}\index{простое число}, если из того, что
|
||
$p=xy$ для некоторых целых $x$, $y$,
|
||
следует, что $x$ ассоциировано с $p$ или $y$ ассоциировано с $p$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
При этом, если $x$ ассоциировано с $p$, то $y$ ассоциировано с $1$;
|
||
если же $y$ ассоциировано с $p$, то $x$ ассоциировано с $1$.
|
||
Альтернативное определение: натуральное число $p>1$ называется
|
||
простым, если у него нет натуральных делителей, кроме $1$ и $p$.
|
||
|
||
\begin{proposition}[Свойства простых чисел]\label{primes_properties}
|
||
Пусть $p$~--- простое число.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item если $n$~--- целое число, и $p$ не делит $n$, то $p$ и
|
||
$n$ взаимно просты;\label{primes_prop1}
|
||
\item пусть $a,b\in\mbZ$; если $p$ делит $ab$, то $p$ делит $a$ или $p$
|
||
делит $b$;\label{primes_prop2}
|
||
\item если $p$ делит произведение нескольких целых чисел,
|
||
то $p$ делит хотя бы одно из них;\label{primes_prop6}
|
||
\item всякое целое число, большее 1, делится по крайней мере на одно
|
||
простое;\label{primes_prop3}
|
||
\item простых чисел бесконечно много;
|
||
\item если $p_1$ и $p_2$~--- два различных простых числа,
|
||
то они взаимно просты.\label{primes_prop5}
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Предположим, что $p$ не делит $n$, и пусть $d=\gcd(n,p)$. При
|
||
этом $d\divides p$, поэтому $d$ либо
|
||
ассоциировано с $p$, либо ассоциировано с $1$. Заметим, что $d$
|
||
также делит $n$, поэтому если $d$ ассоциировано
|
||
с $p$, то $p$ делит $n$~--- противоречие. Значит, $d$
|
||
ассоциировано с $1$, откуда $n\perp p$.
|
||
\item Пусть $p$ делит $ab$, но не делит $a$. По
|
||
предыдущему свойству $a\perp p$, и по свойству взаимно простых чисел
|
||
получаем, что $p\divides b$.
|
||
\item Индукция по $n$; база~--- пункт
|
||
(\ref{primes_prop2}). $p\divides (a_1a_2)a_3\dots a_n$,
|
||
поэтому либо $a_1a_2$, либо какое-то из $a_i$ (при $i>2$) делится
|
||
на $p$; если $a_1a_2$ делится на $p$, то либо $a_1$, либо $a_2$
|
||
делится на $p$.
|
||
\item Пусть $n>1$. Если $n$ простое, доказывать нечего. Если же $n$ не
|
||
простое, то $n=m_1n_1$ для некоторых целых чисел $n_1,m_1$, причем
|
||
$1<n_1<n$ и $1<m_1<n$. Посмотрим теперь на $n_1$: оно либо простое,
|
||
либо нет; если оно не простое, можно снова записать $n_1=m_2n_2$, и
|
||
так далее. Заметим, что $n>n_1>n_2>\dots$, поэтому бесконечно долго
|
||
этот процесс продолжаться не может~--- все эти числа
|
||
натуральные. Значит, на каком-то шаге мы получим простое число
|
||
$n_k$; нетрудно видеть, что $n$ на него делится.
|
||
\item Предположим обратное; пусть $\{p_1,\dots,p_k\}$~--- множество
|
||
всех простых чисел. Рассмотрим число $n=p_1\cdot
|
||
p_2\cdot\dots\cdot p_k+1$. По предыдущему свойству $n$ делится на
|
||
какое-то простое число $p$; при этом если $p=p_i$ для некоторого
|
||
$i$, то $1=n-p_1\cdot p_2\cdot\dots\cdot p_k$ делится на $p_i$, чего
|
||
быть не может. Значит, число $p$ не входит в множество
|
||
$\{p_1,\dots,p_k\}$.
|
||
\item Пусть $p_1$ и $p_2$ не взаимно просты; тогда по пункту
|
||
(\ref{primes_prop1}) имеем $p_1\divides p_2$ и $p_2\divides p_1$, то
|
||
есть, они равны.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{theorem}[Основная теорема арифметики]\label{theorem_ota}
|
||
Каждое натуральное число, большее нуля, может быть представлено в
|
||
виде произведения простых чисел, и два таких разложения могут
|
||
отличаться только порядком следования сомножителей.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Существование разложения для натурального числа $n$ докажем индукцией
|
||
по $n$. База: если $n=1$, доказывать нечего~--- произведение пустого
|
||
множества простых чисел равно $1$. Переход: пусть теперь $n>1$. По
|
||
свойству (\ref{primes_prop3}) предложения \ref{primes_properties}
|
||
мы знаем, что $n=p_1n_1$ для некоторого простого $p_1$. Теперь $n_1<n$
|
||
и мы можем применить предположение индукции к $n_1$:
|
||
$n_1=p_2\cdots p_k$ для некоторых простых $p_2,\dots,p_k$. Отсюда
|
||
$n=p_1p_2\cdots p_k$~--- произведение простых чисел.
|
||
|
||
Докажем единственность разложения. Для этого снова проведем индукцию
|
||
по $n$. В случае $n=1$ снова доказывать нечего. Пусть $n=p_1\cdots
|
||
p_k=q_1\cdots q_l$. Видим, что произведение $p_1\cdots p_k$ делится на
|
||
$q_1$. По свойству~\ref{primes_prop6} простых чисел
|
||
(\ref{primes_properties})
|
||
один из сомножителей $p_1,\dots,p_k$ делится на $q_1$. Пусть это
|
||
$p_i$: $q_1\divides p_i$. Но по свойству~\ref{primes_prop5} простых чисел
|
||
(\ref{primes_properties}) из этого следует, что $p_i=q_1$. Поделим
|
||
теперь обе части равенства $p_1\cdots p_k=q_1\cdots q_l$ на
|
||
$p_i=q_1$: $p_1\cdots\widehat{p_i}\cdots p_k=q_1\cdots q_l$ (здесь
|
||
крышечка над $p_i$ означает, что соответствующий множитель
|
||
пропущен). Полученное произведение меньше $n$; по предположению
|
||
индукции, разложения в левой и правой частях отличаются лишь порядком
|
||
следования простых сомножителей. Значит, и первоначальные разложения
|
||
$p_1\cdots p_k=q_1\cdots q_l$ отличаются лишь порядком сомножителей.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $n$~--- натуральное число, большее $0$.
|
||
Сгруппируем одинаковые простые числа в разложении
|
||
$n$ вместе, расположим их в порядке возрастания и запишем
|
||
$n=p_1^{k_1}\cdots p_s^{k_s}$, где $p_1<\dots<p_s$~--- простые, и
|
||
$k_1,\dots,k_s>0$~--- натуральные числа. Такая (очевидно, однозначная)
|
||
запись называется \dfn{каноническим разложением}\index{каноническое разложение}
|
||
натурального числа $n$ на простые множители.
|
||
\end{definition}
|
||
\begin{remark}\label{remark_canonical_zeros}
|
||
На практике полезно допускать в каноническом разложении и нулевые
|
||
показатели $k_1,\dots,k_s$ (конечно,
|
||
при этом потеряется однозначность записи). К примеру, мы будем
|
||
пользоваться тем, что если $m$, $n$~--- два ненулевых натуральных
|
||
числа, то можно записать их в виде $m=p_1^{k_1}\dots p_s^{k_s}$,
|
||
$n=p_1^{l_1}\dots p_s^{l_s}$ для некоторых {\it общих} простых
|
||
$p_1,\dots,p_s$ и натуральных $k_1,\dots,k_s,l_1,\dots,l_s$: если
|
||
какие-то простые
|
||
множители, скажем, есть в каноническом разложении $m$, но отсутствуют
|
||
в разложении $n$, можно дописать их в разложение $n$ с нулевыми показателями.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
Приведем несколько примеров использования канонического
|
||
разложения. Пусть $m$, $n$~--- ненулевые натуральные числа. Как по
|
||
каноническому разложению $m$ и $n$ определить, делится ли $m$ на $n$?
|
||
Запишем (пользуясь замечанием~\ref{remark_canonical_zeros})
|
||
$m=p_1^{k_1}\cdots p_s^{k_s}$ и $n=p_1^{l_1}\cdots p_s^{l_s}$ для
|
||
некоторых простых $p_1,\cdots,p_s$. Если $m$ делит $n$, можно
|
||
записать $n=mr$. Пусть $r=q_1\cdots q_t$~--- какое-то разложение $r$
|
||
на простые множители. Тогда равенство $n=mr$ превращается в равенство
|
||
\begin{equation}
|
||
p_1^{l_1}\cdots p_s^{l_s} = p_1^{k_1}\cdots p_s^{k_s}q_1\cdots q_t.\label{eq_mnr}
|
||
\end{equation}
|
||
Можно посмотреть на это равенство как на два разложения числа $m$ в
|
||
произведение простых. По основной теореме арифметики
|
||
(\ref{theorem_ota}) они должны совпадать с точностью до перестановки
|
||
множителей. Стало быть, если в разложении $m$ встретилось $p_i^{k_i}$
|
||
для $k_i>0$, то справа в равенстве~\ref{eq_mnr} простой сомножитель
|
||
$p_i$ встретился как минимум $k_i$ раз; значит, и слева он должен
|
||
встретиться как минимум $k_i$ раз. Однако слева показатель при $l_i$
|
||
равен $l_i$. Значит, $k_i\leq l_i$. Если же $k_i=0$ для какого-то $i$,
|
||
то неравенство $k_i\leq l_i$ выполнено автоматически.
|
||
Обратно, если $k_i\leq l_i$ для всех $i=1,\dots,s$, то
|
||
$n = m\cdot p_1^{l_i-k_i}\cdots p_s^{l_s-k_s}$.
|
||
Мы доказали следующее предложение:
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop_can_decomposition_divisors}
|
||
Пусть $m=p_1^{k_1}\cdots p_s^{k_s}$, $n=p_1^{l_1}\cdots p_s^{l_s}$ для
|
||
некоторых простых $p_1,\dots,p_s$.
|
||
$m$ делит $n$ тогда и только тогда, когда
|
||
$k_i\leq l_i$ для всех $i=1,\dots,s$.
|
||
\end{proposition}
|
||
|
||
Теперь нетрудно посчитать количество всех натуральных делителей числа по
|
||
его каноническом разложению.
|
||
\begin{proposition}
|
||
Пусть $n=p_1^{l_1}\cdots p_s^{l_s}$~--- каноническое разложение числа
|
||
$n$. Тогда количество всех натуральных делителей $n$ равно
|
||
$(1+l_1)\cdots(1+l_s)$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
По предложению~\ref{prop_can_decomposition_divisors} каждый делитель
|
||
$n$ имеет вид $p_1^{k_1}\cdots p_s^{k_s}$ для некоторых $k_i$ таких,
|
||
что $0\leq k_i\leq l_i$, и по основной теореме арифметики
|
||
(\ref{theorem_ota}) различные наборы $(k_i)$ приводят к различным
|
||
делителям. Значит, количество натуральных делителей $n$ равно
|
||
количеству таких наборов. Заметим, что у нас имеется $1+l_i$ вариантов
|
||
для выбора натурального $k_i$ с условием $0\leq ka_i\leq l_i$, и все
|
||
эти выборы независимы друг от друга, поэтому
|
||
простой комбинаторный подсчет показывает, что количество наборов
|
||
$(k_i)$ равно $(1+l_1)\cdots (1+l_s)$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Выразим теперь каноническое разложение наибольшего общего делителя
|
||
чисел $m$ и $n$ через канонические разложения $m$ и $n$.
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop_gcd_canonical}
|
||
Если $m=p_1^{k_1}\cdots p_s^{k_s}$, $n=p_1^{l_1}\cdots p_s^{l_s}$ для
|
||
некоторых простых $p_1<\dots<p_s$ и $d=\gcd(m,n)$, то
|
||
$d=p_1^{\min(k_1,l_1)}\cdots p_s^{\min(k_s,l_s)}$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Проверим, что $d$ является общим делителем $m$ и $n$. Действительно,
|
||
$k_i\geq\min(k_i,l_i)$, поэтому $m=d\cdot
|
||
p_1^{k_1-\min(k_1,l_1)}\cdots p_s^{k_s-\min(k_s,l_s)}$ и $d\divides
|
||
m$. Аналогично,
|
||
$d\divides n$.
|
||
Теперь пусть $d'$~--- какой-то общий делитель $m$ и $n$. Заметим, что
|
||
все простые множители $d'$ тогда должны содержаться среди
|
||
$p_1,\dots,p_s$. Значит, можно записать $d'=p_1^{r_1}\cdots p_s^{r_s}$
|
||
для некоторых натуральных $r_1,\dots,r_s$. Поскольку $d'\divides m$,
|
||
по предложению~\ref{prop_can_decomposition_divisors} получаем, что
|
||
$k_i\geq r_i$ для всех $i$; аналогично, $l_i\geq r_i$ для всех $i$. Но
|
||
тогда и $\min(k_i,l_i)\geq r_i$, откуда получаем, что $d\divides d'$,
|
||
рассуждая так же, как в начале доказательства.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Сравнения и классы вычетов}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. I, \S~2, п. 1; [V], гл. III, \S\S~1--5; [B],
|
||
гл. 8, п. 1.}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $m$~--- ненулевое натуральное число.
|
||
Говорят, что целые числа $a$ и $b$ \dfn{сравнимы по модулю
|
||
$m$}\index{сравнимость по модулю}, если
|
||
$m$ делит $a-b$. Обозначение: $a\equiv b\pmod m$, $a\equiv_mb$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{proposition}[Свойства сравнений]\label{prop_congruences}
|
||
Пусть $m>0$~--- натуральное число.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $a\equiv a\pmod m$;
|
||
\item если $a\equiv b\pmod m$, то $b\equiv a\pmod m$;
|
||
\item если $a\equiv b\pmod m$ и $b\equiv c\pmod m$, то $a\equiv c\pmod
|
||
m$;
|
||
\item если $a_1\equiv a_2\pmod m$ и $b_1\equiv b_2\pmod m$, то
|
||
$a_1+b_1\equiv a_2+b_2\pmod m$ и $a_1b_1\equiv a_2b_2\pmod
|
||
m$;\label{congruences_prop4}
|
||
\item каждое целое число сравнимо по модулю $m$ ровно с одним из чисел
|
||
$0,1,\dots,m-1$;\label{congruences_prop5}
|
||
\item если $ac\equiv bc\pmod m$ и $c\perp m$, то $a\equiv b\pmod m$;
|
||
\item сравнение $ax\equiv 1\pmod m$ разрешимо (относительно $x$) тогда
|
||
и только тогда, когда $a\perp m$.\label{congruences_prop7}
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $m$ делит $a-a=0$.
|
||
\item Если $m$ делит $a-b$, то $m$ делит $b-a=-(a-b)$.
|
||
\item Если $m$ делит $a-b$ и $b-c$, то $m$ делит и
|
||
$a-c=(a-b)+(b-c)$.
|
||
\item Если $m$ делит $a_1-a_2$ и $b_1-b_2$, то $m$ делит
|
||
$(a_1+b_1)-(a_2+b_2)=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)$ и
|
||
$a_1b_1-a_2b_2=(a_1-a_2)b_1+a_2(b_1-b_2)$.
|
||
\item Пусть $n\in\mbZ$. Поделим $n$ на $m$ с остатком: $n=mq+r$, где
|
||
$0\leq r\leq m-1$; тогда $n-r=mq$ делится на $m$, поэтому $n\equiv
|
||
r\pmod m$. С другой стороны, если $n\equiv r_1\pmod m$ и $n\equiv
|
||
r_2\pmod m$ и $0\leq r_1,r_2\leq m-1$, то $r_1\equiv r_2$ (по уже
|
||
доказанным
|
||
свойствам 2 и 3), откуда $m\divides r_1-r_2$. Но $|r_1-r_2|\leq m-1$,
|
||
поэтому $r_1=r_2$.
|
||
\item Если $m$ делит $ac-bc = (a-b)c$, и $c\perp m$, то по
|
||
свойству~\ref{coprime_prop3}
|
||
из~\ref{prop_properties_of_coprime}
|
||
получаем, что $m$ делит $a-b$.
|
||
\item Если $a\perp m$, то $1=au_0+mv_0$ для некоторых целых $u_0$,
|
||
$v_0$, откуда $au_0-1=-mv_0$ делится на $m$, и $au_0\equiv 1\pmod
|
||
m$. Обратно, если $ax_0\equiv 1\pmod m$ для некоторого $x_0$, то
|
||
$m\divides ax_0-1$, значит, $ax_0-1=mq$ для некоторого $q$, откуда
|
||
$ax_0-mq=1$. По свойству~\ref{coprime_prop2} взаимной
|
||
простоты (\ref{prop_properties_of_coprime}) получаем, что
|
||
$a\perp m$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{remark}\label{rem_congruence_is_equivalence}
|
||
Первые три свойства в~\ref{prop_congruences} показывают, что
|
||
$\equiv_m$ является отношением
|
||
эквивалентности на множестве целых чисел.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
%15.10.2014
|
||
|
||
\subsection{Классы вычетов, действия над ними}\label{subsect_residues}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. I, \S~2, пп. 2, 3; [K1], гл. 4, \S~3,
|
||
пп. 1, 2; [B], гл. 8, п. 2.}
|
||
|
||
Мы знаем, что отношение сравнимости по модулю $m$ является отношением
|
||
эквивалентности на множестве целых чисел
|
||
(см.~\ref{rem_congruence_is_equivalence}). Значит, можно рассмотреть
|
||
фактор-множество множества $\mb Z$ по этому отношению эквивалентности
|
||
(см.~\ref{def_quotient_set}).
|
||
\begin{definition}
|
||
Фактор-множество $\mb Z/\equiv_m$ мы
|
||
будем обозначать через $\mb Z/m\mb Z$. Элементы этого множества
|
||
называются \dfn{классами вычетов}\index{класс вычетов} по модулю $m$.
|
||
Класс эквивалентности элемента $a$ в $\mb Z/m\mb Z$ мы будем
|
||
обозначать через $\ol{a}$ или $[a]_m$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{remark}\label{rem_cong_representatives}
|
||
По свойству~\ref{congruences_prop5} сравнений (\ref{prop_congruences})
|
||
каждое целое число попадает в один класс с ровно одним из чисел
|
||
$0,1,\dots,m-1$. Это означает, что $\mb Z/m\mb
|
||
Z=\{\ol{0},\ol{1},\dots,\ol{m-1}\}$. В частности, получаем, что $|\mb
|
||
Z/m\mb Z|=m$.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
Сейчас мы определим на множестве $\mb Z/m\mb Z$ операции сложения $+$
|
||
и умножения $\cdot$. Чтобы сложить два класса вычетов, нужно выбрать в
|
||
каждом из них какой-нибудь элемент (такой элемент называется {\it
|
||
представителем} класса вычетов), сложить эти выбранные элементы и
|
||
посмотреть, в какой класс попадет результат. Совершенно аналогично
|
||
поступаем и с умножением. Остается проверить, что результат этой
|
||
операции не зависит от выбора представителей. Эту независимость обычно
|
||
называют {\it корректностью} определения операции.
|
||
|
||
Итак, если даны два класса $\ol{x}, \ol{y}\in\mb Z/m\mb Z$ (то есть,
|
||
$x,y\in\mb Z$~--- представители этих двух классов), положим
|
||
$\ol{x}+\ol{y}=\ol{x+y}$ и $\ol{x}\cdot\ol{y}=\ol{xy}$.
|
||
Проверим, что эти операции корректно определены:
|
||
пусть теперь $x'$, $y'$~--- другие представители тех же классов, то
|
||
есть, $x'\in\ol{x}$, $y'\in\ol{y}$ (или, что то же самое,
|
||
$\ol{x'}=\ol{x}$ и $\ol{y'}=\ol{y}$). По определению классов
|
||
эквивалентности (\ref{def_equiv_class}) это означает, что $x'\equiv
|
||
x\pmod m$, $y'\equiv y\pmod m$. Почему же $\ol{x+y}$ совпадает с
|
||
$\ol{x'+y'}$, а $\ol{xy}$ совпадает с $\ol{x'y'}$? Это в точности
|
||
свойство~\ref{congruences_prop4} сравнений (\ref{prop_congruences}):
|
||
$x'+y'\equiv x+y\pmod m$ и $x'y'\equiv xy\pmod m$.
|
||
|
||
\subsection{Кольца и поля}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. I, \S~3, п. 2; [K1], гл. 4, \S~3,
|
||
пп. 2, 4; [vdW], гл. 3, \S~11.}
|
||
|
||
В предыдущем разделе мы построили новую структуру, элементы которой
|
||
могут складываться и
|
||
умножаться. Эти элементы очень похожи на числа, поскольку сложение и
|
||
умножение обладает фактически <<теми же>> свойствами, что и обычные
|
||
числовые системы~--- множества $\mb Z$, $\mb Q$, $\mb R$. Сейчас мы
|
||
сформулируем несколько базовых свойств сложения и умножения, из
|
||
которых, при желании, можно вывести аналоги большинства алгебраических
|
||
тождеств, изучаемых в средней школе. Множество с операциями сложения и
|
||
умножения, которые ведут себя как <<настоящие>> сложение и умножение,
|
||
называется {\it кольцом}
|
||
|
||
\begin{definition}\label{def:ring}
|
||
Пусть $R$~--- множество, на котором заданы две бинарные операции $+$ и
|
||
$\cdot$ (называемые, соответственно, {\it сложением} и {\it умножением}).
|
||
Предположим, что выполняются следующие свойства:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $a+(b+c) = (a+b)+c$ для любых $a,b,c\in R$ ({\it ассоциативность
|
||
сложения}).
|
||
\item\label{ring_property:zero} существует элемент $\ol{0}\in
|
||
R$ такой, что $\ol{0} + a = a = a
|
||
+ \ol{a}$ для всех $a\in R$ (то есть, $\ol{0}$~--- {\it нейтральный
|
||
элемент относительно сложения}; он называется
|
||
\dfn{нулем}\index{нуль!в кольце} и часто
|
||
обозначается просто через $0$);
|
||
\item\label{ring_property:minus} для любого $a\in R$ существует
|
||
элемент $a'\in R$ такой, что $a +
|
||
a' = \ol{0} = a' + a$ (то есть, $a'$~--- [двусторонний] {\it обратный к
|
||
$a$ относительно сложения}; такой элемент обычно обозначается через
|
||
$-a$ и называется
|
||
\dfn{противоположным}\index{противоположный элемент} к $a$);
|
||
\item $a+b = b+a$ для любых $a,b\in R$ ({\it коммутативность
|
||
сложения});
|
||
\item $a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c$ и $(b+c)\cdot a = b\cdot a
|
||
+ c\cdot a$ для любых $a,b,c\in R$ ({\it дистрибутивность сложения
|
||
относительно умножения}).
|
||
\item $a\cdot (b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c$ для любых $a,b,c\in R$
|
||
({\it ассоциативность умножения});
|
||
\item\label{ring_property:one} существует элемент $\ol{1}\in R$ такой, что $\ol{1}\cdot a = a =
|
||
a\cdot\ol{1}$ для любого $a\in R$ (то есть, $\ol{1}$~---
|
||
{\it нейтральный элемент относительно умножения}; он называется
|
||
\dfn{единицей}\index{единица!в кольце} и часто обозначается просто
|
||
через $1$);
|
||
\item $a\cdot b = b\cdot a$ для любых $a,b\in R$ ({\it коммутативность
|
||
умножения});
|
||
\end{enumerate}
|
||
Тогда $R$ (с этими двумя операциями) называется \dfn{ассоциативным
|
||
коммутативным кольцом с единицей}\index{кольцо}. Тяжеловесность
|
||
этого названия
|
||
связана с тем, что обычно множество с операциями, удовлетворяющее
|
||
свойствам (1)--(5), называют \dfn{кольцом}, а при наложении условий
|
||
(6), (7), (8) (в различных комбинациях) добавляют к слову <<кольцо>>
|
||
эпитеты <<ассоциативное>>, <<с единицей>>, <<коммутативное>>. В нашем
|
||
курсе большинство встречающихся колец (во всяком случае, до пятой
|
||
главы) будут обладать всеми указанными
|
||
свойствами, поэтому мы часто будем называть ассоциативное коммутативное
|
||
кольцо с единицей просто {\it кольцом}, а при необходимости говорить о
|
||
{\it некоммутативных кольцах} или, скажем, {\it кольцах без единицы}.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
Обратите внимание, что свойства (1), (2), (4) для сложения совершенно
|
||
параллельны свойствам (6), (7), (8). Однако, свойство (3) утверждает,
|
||
что сложение обладает еще одним свойством, которое не требуется от
|
||
умножения. Чуть ниже мы назовем кольцо, в котором аналогичное свойство
|
||
(с небольшой модификацией) выполнено для умножения, {\it
|
||
полем}. Свойство (5)~--- единственное, которое связывает две
|
||
операции; в каждое из остальных входит либо сложение, либо умножение
|
||
по отдельности.
|
||
|
||
\begin{examples}\label{examples:rings}
|
||
Совершенно очевидно, что множества $\mb Z$, $\mb Q$, $\mb R$ являются
|
||
кольцами относительно обычных операций сложения и умножения;
|
||
в каждом из них нейтральный элемент по сложению~--- это $0$, а
|
||
нейтральный элемент по умножению~--- это $1$.
|
||
\end{examples}
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop_zmz_is_a_ring}
|
||
Пусть $m$~--- натуральное число, $m\geq 1$.
|
||
Множество $\mb Z/m\mb Z$ с операциями $+$ и $\cdot$, введенными в
|
||
разделе~\ref{subsect_residues}, является ассоциативным коммутативным
|
||
кольцом с $1$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Проверим свойство (1).
|
||
Пусть $x,y,z$~--- представители классов $a,b,c$ соответственно,
|
||
то есть, $a=\ol{x}$, $b=\ol{y}$, $c=\ol{z}$. Тогда
|
||
$a+(b+c)=\ol{x}+(\ol{y}+\ol{z})=\ol{x}+\ol{y+z}=\ol{x+(y+z)}$ и
|
||
$(a+b)+c=(\ol{x}+\ol{y})+\ol{z}=\ol{x+y}+\ol{z}=\ol{(x+y)+z}$. Полученные
|
||
элементы равны, поскольку сложение целых чисел ассоциативно.
|
||
Остальные свойства доказываются совершенно аналогично с помощью
|
||
соответствующих свойств сложения и умножения целых чисел. Заметим, что
|
||
в качестве нейтрального элемента по сложению в свойстве
|
||
(\ref{ring_property:zero}) следует взять класс нуля
|
||
$\ol{0}$, а в качестве нейтрального элемента по умножению в свойстве
|
||
(\ref{ring_property:one})~--- класс единицы $\ol{1}$.
|
||
Наконец, если $a=\ol{x}$, то в свойстве (\ref{ring_property:minus}) в
|
||
качестве противоположного элемента нужно взять $a'=\ol{-x}$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Кольцо $\mb Z/m\mb Z$, описанное в
|
||
предложении~\ref{prop_zmz_is_a_ring}, называется \dfn{кольцом классов
|
||
вычетов по модулю $m$}\index{кольцо!классов вычетов}.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Множество, состоящее из одного элемента, единственным образом
|
||
снабжается структурой ассоциативного коммутативного кольца с
|
||
единицей. Обычно мы называем этот элемент {\it нулем}, а полученное
|
||
кольцо $R = \{0\}$ \dfn{нулевым кольцом}\index{кольцо!нулевое}, и
|
||
обозначаем это кольцо
|
||
через $0$ (если это не вызывает путаницы в обозначениях).
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{lemma}\label{lemma:zero_ring}
|
||
Пусть $R$~--- кольцо.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $a\cdot\ol{0} = \ol{0}$ для всех $a\in R$;
|
||
\item если в $R$ элементы $\ol{0}$ и $\ol{1}$ совпадают, то это
|
||
нулевое кольцо;
|
||
\item если у элемента $\ol{0}\in R$ есть обратный по умножению, то
|
||
$R$~--- нулевое кольцо;
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Из определения $\ol{0}$ следует, что $\ol{0} + \ol{0} =
|
||
\ol{0}$. Домножая обе части на $a$, получаем, что
|
||
$a\cdot(\ol{0} + \ol{0}) = a\cdot\ol{0}$. Воспользуемся
|
||
дистрибутивностью: $a\cdot\ol{0} + a\cdot\ol{0} =
|
||
a\cdot\ol{0}$. Прибавляя к обеим частям полученного равенства
|
||
противоположный элемент к $a\cdot\ol{0}$, получаем, что
|
||
$a\cdot\ol{0} = \ol{0}$, что и требовалось.
|
||
\item Пусть $\ol{0} = \ol{1}$ и $a\in R$. Тогда $a\cdot\ol{0} =
|
||
a\cdot\ol{1}$. Но мы только что показали, что левая часть равна
|
||
$\ol{0}$, в то время как правая часть равна $a$. Поэтому $a=\ol{0}$,
|
||
и кольцо $R$ состоит из одного элемента.
|
||
\item Пусть $\ol{0}^{-1}$~--- обратный по умножению к $0$; тогда
|
||
$\ol{0}^{-1}\cdot\ol{0} = \ol{1}$; с другой стороны, левая часть
|
||
равна $\ol{0}$ по уже доказанному. Поэтому $\ol{0}=\ol{1}$, и
|
||
$R$~--- нулевое кольцо.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Лемма~\ref{lemma:zero_ring} показывает, что не очень разумно ожидать,
|
||
что у {\it каждого} элемента кольца окажется обратный по умножению: из
|
||
этого тут же следовало бы, что это кольцо нулевое. Однако, если
|
||
потребовать существования обратного у каждого {\it ненулевого}
|
||
элемента, то получится разумная структура, которая называется
|
||
{\it полем}.
|
||
|
||
\begin{definition}\label{def:field}
|
||
Ассоциативное коммутативное кольцо $R$ с единицей называется
|
||
\dfn{полем}\index{поле}, если $R\neq 0$ и у каждого ненулевого
|
||
элемента $R$ имеется обратный по умножению. Иными словами, ненулевое
|
||
кольцо $R$ называется полем, если для любого $x\in R$ найдется
|
||
$x^{-1}\in R$ такое, что $x\cdot x^{-1} = 1 = x^{-1}\cdot x$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{examples}
|
||
Кольца $\mb Q$ и $\mb R$ из примера~\ref{examples:rings} являются
|
||
полями, а кольцо $\mb Z$~--- нет.
|
||
\end{examples}
|
||
|
||
Множество всех обратимых элементов кольца мы будем обозначать через
|
||
$R^*$. Так, $\mb R^* = \mb R\setminus\{0\}$, $\mb Z^* = \{-1,1\}$.
|
||
|
||
Сейчас мы выясним, какие из колец вида $\mb Z/m\mb Z$ являются полями.
|
||
|
||
\begin{definition}\label{def:domain}
|
||
Пусть $R$~--- кольцо. Элемент $x\in R$ называется \dfn{делителем
|
||
нуля}\index{делитель нуля}, если найдется ненулевой элемент $y\in
|
||
R$ такой, что $xy = 0$. Делитель нуля называется
|
||
\dfn{тривиальным}\index{делитель нуля!тривиальный}, если он равен
|
||
нулю, и \dfn{нетривиальным}\index{делитель нуля!нетривиальный}, если
|
||
он не равен нулю. Кольцо $R$ называется
|
||
\dfn{областью целостности}\index{область целостности}, если $R\neq 0$
|
||
и в $R$ нет нетривиальных делителей нуля. Иными словами, ненулевое
|
||
кольцо $R$ называется областью целостности, если из
|
||
равенства $xy = 0$ следует, что $x = 0$ или $y = 0$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{lemma}\label{lemma:product_of_invertibles}
|
||
Произведение обратимых элементов кольца $R$ обратимо.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Если $x,y\in R$ обратимы, то $y^{-1}x^{-1}$~--- обратный элемент
|
||
к $xy$. Действительно, $(xy)(y^{-1}x^{-1}) = x(yy^{-1})x^{-1} =
|
||
xx^{-1} = 1$, и $(y^{-1}x^{-1})(xy) = y^{-1}(x^{-1}x)y =
|
||
y^{-1}y = 1$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{lemma}\label{lemma:field_is_a_domain}
|
||
Любое поле является областью целостности.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $R$~--- поле. Если в $R$ есть нетривиальный делитель нуля $x\neq
|
||
0$, то найдется $y\neq 0$ такой, что $xy = 0$. В поле все ненулевые
|
||
элементы обратимы, в том числе $x$ и $y$. По
|
||
лемме~\ref{lemma:product_of_invertibles} и их произведение $xy = 0$
|
||
обратимо, и по лемме~\ref{lemma:zero_ring} кольцо $R$ нулевое~---
|
||
противоречие.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Заметим, что обратное утверждение к
|
||
лемме~\ref{lemma:field_is_a_domain} неверно: например, $\mb Z$
|
||
является областью целостности, но не полем.
|
||
|
||
Лемма~\ref{lemma:field_is_a_domain} показывает, например, что кольцо
|
||
$\mb Z/6\mb Z$ не является полем, поскольку в нем есть делители
|
||
нуля. Действительно, $\ol{2}\cdot\ol{3} = \ol{6} = \ol{0}$ в $\mb
|
||
Z/6\mb Z$.
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop_invertibility_criteria}
|
||
Пусть $m>0$~--- натуральное число, $a\in\mb Z$. Класс $\ol{a}$ обратим
|
||
в $\mb Z/m\mb Z$ тогда и только тогда, когда $a\perp m$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Заметим, что $\ol{x}$ является обратным к $\ol{a}$ $\Leftrightarrow$
|
||
$\ol{a}\cdot\ol{x}=\ol{1}$ $Leftrightarrow$
|
||
$\ol{ax}=\ol{1}$ $\Leftrightarrow$
|
||
$ax\equiv 1\pmod m$. По предложению~\ref{prop_congruences} это
|
||
сравнение разрешимо относительно $x$ тогда и только тогда, когда
|
||
$a\perp m$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop_zmz_field}
|
||
Кольцо $\mb Z/m\mb Z$ является полем тогда и только тогда, когда
|
||
$m$~--- простое число.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $m$~--- простое и $\ol{x}\in\mb Z/m\mb Z$ таков, что
|
||
$\ol{x}\neq\ol{0}$.
|
||
Стало быть, $x$ не делится на $m$. По свойству~\ref{primes_prop1}
|
||
простых чисел (\ref{primes_properties}) получаем, что $x\perp m$, и по
|
||
предложению~\ref{prop_invertibility_criteria} класс $\ol{x}$ обратим.
|
||
Обратно, если $m$ не простое, можно записать $m=kl$ для некоторых
|
||
натуральных $k$, $l$, причем $1 < k,l < m$.
|
||
Тогда $\ol{k}\cdot\ol{l} = \ol{m} = \ol{0}$, и потому в $\mb Z/m\mb Z$
|
||
есть делители нуля. По лемме~\ref{lemma:field_is_a_domain} это кольцо
|
||
не может быть полем.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Китайская теорема об остатках}
|
||
|
||
\literature{[V], гл. IV, \S~3.}
|
||
|
||
\begin{theorem}[Китайская теорема об остатках]\label{thm_crt}
|
||
Пусть $m, n\geq 1$~--- натуральные числа, $m\perp n$, $a,b$~--- целые
|
||
числа.
|
||
Тогда существует целое $x$ такое, что $x\equiv a\pmod
|
||
m$, $x\equiv b\pmod n$.
|
||
Кроме того, целое $x'$ удовлетворяет сравнениям $x'\equiv
|
||
a\pmod m$, $x'\equiv b\pmod n$ тогда и только тогда, когда $x'\equiv
|
||
x\pmod{mn}$.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Воспользуемся свойством (\ref{congruences_prop7}) сравнений
|
||
(\ref{prop_congruences}) и найдем $x_1,x_2\in\mb Z$ такие, что
|
||
$nx_1\equiv 1\pmod m$, $mx_2\equiv 1\pmod n$.
|
||
Теперь положим $x=anx_1+bmx_2$. Мы утверждаем, что это $x$
|
||
удовлетворяет свойствам из формулировки теоремы. Действительно,
|
||
$x=anx_1+bmx_2\equiv a(nx_1)\equiv a\pmod m$ и
|
||
$x=anx_1+mbx_2\equiv b(mx_2)\equiv b\pmod n$.
|
||
Теперь пусть $x'$~--- целое число такое, что $x'\equiv a\pmod m$ и
|
||
$x'\equiv b\pmod n$, то $x-x'\equiv a-a\equiv 0\pmod m$ и $x-x'\equiv
|
||
b-b\equiv 0\pmod n$. Это означает, что $x-x'$ делится на $m$ и $n$. Но
|
||
$m$ и $n$ взаимно просты, поэтому по свойству \ref{coprime_prop4}
|
||
взаимной простоты
|
||
(\ref{prop_properties_of_coprime}) получаем, что $mn\divides x-x'$,
|
||
откуда $x\equiv x'\pmod{mn}$. Обратно, если $x\equiv x'\pmod mn$, то
|
||
$x-x'$ делится на $m$ и на $n$, поэтому $x'\equiv x\equiv a\pmod m$ и
|
||
$x'\equiv x\equiv b\pmod n$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Иными словами, система сравнений
|
||
$$
|
||
\left\{
|
||
\begin{aligned}
|
||
x&\equiv a\pmod m,\\
|
||
y&\equiv b\pmod n
|
||
\end{aligned}
|
||
\right.
|
||
$$
|
||
всегда имеет решение, и это решение единственно с точностью до
|
||
сравнимости по модулю $mn$.
|
||
|
||
\subsection{Теорема Вильсона}
|
||
|
||
\literature{[V], гл. IV, \S~4; [B], гл. 15, п. 3.}
|
||
|
||
\begin{theorem}[Вильсона]
|
||
Пусть $p\in\mb N$, $p>1$. Число $p$ является простым тогда и только
|
||
тогда, когда $(p-1)!\equiv -1\pmod p$.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $p$~--- простое.
|
||
Посмотрим на класс $\overline{(p-1)!}$ в $\mb Z/p\mb Z$:
|
||
\begin{equation}\label{eq_wilson}
|
||
\overline{(p-1)!}=\ol{1}\cdot\ol{2}\cdot\cdots\cdot\ol{(p-1)}.
|
||
\end{equation}
|
||
В произведении справа выписаны все ненулевые элементы $\mb Z/p\mb
|
||
Z$. По предложению~\ref{prop_zmz_field} все они обратимы. Разобьем их
|
||
на пары, поставив каждому классу в пару обратный к нему. Нетрудно
|
||
проверить, что у каждого класса только один обратный (если $a'$,
|
||
$a''$~---обратные к $a$, то $a'=a'\cdot (a\cdot a'')=(a'\cdot a)\cdot
|
||
a''=a''$), и что $(a^{-1})^{-1}=a$.
|
||
|
||
Проблемы с разбиением на пары
|
||
возникают только тогда, когда класс обратен сам себе (в этом случае
|
||
получается вырожденная <<пара>> из одного элемента). Но таких класса
|
||
только два: $\ol{1}$ и $\ol{-1}$. Действительно, если $\ol{x}\in\mb Z/p\mb
|
||
Z$ таков, что $\ol{x}\cdot\ol{x}=\ol{1}$, то $x^2\equiv 1\pmod p$,
|
||
откуда $p\divides x^2-1$, то есть, $p\divides (x-1)(x+1)$, и по
|
||
свойству~\ref{primes_prop2} простых чисел (\ref{primes_properties}) из
|
||
этого следует, что $p\divides x\pm 1$, то есть, что $x\equiv \pm 1\pmod
|
||
p$.
|
||
|
||
Поэтому все классы, кроме $\ol{1}$ и $\ol{-1}$ разбиваются на пары
|
||
взаимно обратных, и произведение классов в каждой паре равно
|
||
$\ol{1}$. Остается только домножить произведение всех классов из пар
|
||
на $\ol{1}$ и $\ol{-1}$; получаем, что общее произведение, стоящее в
|
||
правой части (\ref{eq_wilson}), равно $\ol{-1}$.
|
||
|
||
Теперь покажем, что если $p$ не является простым, то $(p-1)!$ не
|
||
сравнимо с $-1$ по модулю $p$. Пусть $p=kl$~--- нетривиальное
|
||
разложение $p$ на множители. Тогда $(p-1)!$ делится на $k$, поскольку
|
||
среди чисел $1,\dots,p-1$ встретится $k$. Если все-таки $(p-1)!\equiv
|
||
-1\pmod p$, то $p\divides (p-1)!+1$, откуда $(p-1)!+1=ps$ для некоторого
|
||
$s\in\mb Z$, откуда $1=ps-(p-1)!$ делится на $k$ (поскольку $p$
|
||
делится на $k$ и $(p-1)!$ делится на $k$)~--- противоречие.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Функция Эйлера}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. I, \S~2, п. 3; [V], гл. II, \S~4; [B], гл. 10.}
|
||
|
||
\begin{definition}\label{def_euler_function}
|
||
Пусть $n\in\mb N$, $n>0$. Количество натуральных чисел, меньших $n$ и
|
||
взаимно простых с $n$, обозначается через $\ph(n)$. Иными словами,
|
||
$\ph(n)=|\{x\in\mb N\mid x<n\text{ и }x\perp n\}|$. Сопоставление
|
||
$n\mapsto \ph(n)$ задает функцию $\mb N\setminus\{0\}\to\mb N$,
|
||
которая называется \dfn{функцией Эйлера}\index{функция Эйлера}.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Прямое вычисление показывает, что $\ph(1)=1$, $\ph(2)=1$, $\ph(3)=2$.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop_phi_alt_def}
|
||
Пусть $n\in\mb N$, $n>0$. Тогда $\ph(n)$ равно количеству обратимых
|
||
элементов кольца $\mb Z/n\mb Z$: $\ph(n)=|(\mb Z/n\mb Z)^*|$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $0\leq x< n$; по предложению~\ref{prop_invertibility_criteria}
|
||
$x\perp n$ тогда и только тогда, когда $\ol{x}$ обратим.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{remark}\label{rem_phi_p}
|
||
Теперь можно посчитать $\ph(p)$ для простого $p$: по
|
||
предложению~\ref{prop_zmz_field} кольцо $\mb Z/p\mb Z$ является полем,
|
||
то есть, $(\mb Z/p\mb Z)^*=(\mb Z/p\mb Z)\setminus\{\ol{0}\}$, откуда
|
||
$\ph(p)=|(\mb Z/p\mb Z)^*|=p-1$.
|
||
Это можно получить и прямым подсчетом: число $x$, $0\leq x<p$, взаимно
|
||
просто с $p$ тогда и только тогда, когда оно не делится на $p$, то
|
||
есть, когда оно не равно $0$.
|
||
|
||
Прямой подсчет позволяет вычислить и $\ph(p^k)$, где $p$~--- простое,
|
||
$k>0$~--- натуральное. Действительно, $x$ взаимно прост с
|
||
$p^k$ тогда и только тогда, когда $x$ взаимно прост $p$, то есть, $x$
|
||
не делится на $p$. Количество натуральных чисел, меньших $p^k$ и
|
||
делящихся на $p$, равно $p^k/p=p^{k-1}$, поэтому
|
||
$\ph(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)$.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
% 22.10.2014
|
||
|
||
Для того, чтобы вычислить значение $\ph(n)$ по каноническому
|
||
разложению числа $n$, нам понадобится переформулировка китайской
|
||
теоремы об остатках.
|
||
|
||
\begin{theorem}\label{thm_crt2}
|
||
Пусть натуральные числа $m,n\geq 1$ таковы, что $m\perp n$.
|
||
Рассмотрим отображение $f\colon\mb Z/mn\mb Z\to\mb Z/m\mb Z\times\mb
|
||
Z/n\mb Z$, сопоставляющее классу
|
||
$\ol{x}=[x]_{mn}\in\mb Z/mn\mb Z$ пару классов $([x]_m,[x]_n)$. Это
|
||
отображение корректно определено и является биекцией.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Корректная определенность: если $[x]_{mn}=[x']_{mn}$, то $mn\divides
|
||
x-x'$, поэтому $m\divides x-x'$ и $n\divides x-x'$. Значит,
|
||
$[x]_m=[x']_m$ и $[x]_n=[x']_n$.
|
||
По китайской теореме об остатках (\ref{thm_crt}) для каждой пары
|
||
$(a,b)\in\mb Z/m\mb Z\times\mb Z/n\mb Z$ найдется $x$ такой, что
|
||
$f(\ol{x})=(a,b)$ и такой $x$ единственный по модулю $mn$, то есть,
|
||
задает однозначно определенный элемент $[x]_{mn}\in\mb Z/mn\mb Z$. Это
|
||
и означает биективность $f$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Покажем теперь, что при построенном в теореме~\ref{thm_crt2}
|
||
отображении обратимые классы переходят в пары обратимых классов.
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop_invertible_crt}
|
||
Пусть $m,n,f$ таковы, как в формулировке теоремы~\ref{thm_crt2}, и
|
||
пусть
|
||
$\ol{x}\in\mb Z/mn\mb Z$, $f(\ol{x})=(a,b)$. Класс $\ol{x}$ обратим в
|
||
$\mb Z/mn\mb Z$ тогда и только тогда, когда $a$ обратим в $\mb Z/m\mb
|
||
Z$ и $b$ обратим в $\mb Z/n\mb Z$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Если $\ol{x'}$~--- обратный элемент к $\ol{x}$ в $\mb Z/mn\mb Z$ и
|
||
$f(x')=(a',b')$, то $a'$ обратен к $a$, а $b'$ обратен к
|
||
$b$. Действительно, $a=[x]_m$, $a'=[x']_m$, поэтому $a\cdot
|
||
a'=[x]_m\cdot [x']_m=[x\cdot x']_m$, но $xx'\equiv 1\pmod{mn}$,
|
||
поэтому $xx'\equiv 1\pmod m$. Аналогично, $b'$ является обратным к
|
||
$b$.
|
||
|
||
Обратно, пусть $a'$~--- обратный к $a$, $b'$~--- обратный к
|
||
$b$. Отображение $f$ биективно, поэтому найдется $x'$ такой, что
|
||
$f(\ol{x'})=(a',b')$, то есть, $[x']_m=a'$, $[x']_n=b'$. При этом
|
||
$[xx']_m=[x]_m\cdot [x']_m=a\cdot a'=[1]_m$ и $[xx']_n=[1]_n$. Значит,
|
||
$xx'\equiv 1\pmod m$ и $xx'\equiv 1\pmod n$, откуда по свойству
|
||
\ref{coprime_prop1} взаимно простых чисел
|
||
(\ref{prop_properties_of_coprime})
|
||
$xx'\equiv 1\pmod{mn}$ и $x$ обратим.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{theorem}[Мультипликативность функции Эйлера]\label{thm_euler_multiplicative}
|
||
Если $m,n\geq 1$~--- натуральные числа и $m\perp n$, то $\ph(mn)=\ph(m)\ph(n)$.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
По предложению~\ref{prop_phi_alt_def}, $\ph(mn)=|(\mb Z/mn\mb Z)^*|$ и
|
||
$\ph(m)\ph(n)=|(\mb Z/m\mb Z)^*|\cdot|(\mb Z/n\mb Z)^*|=|(\mb Z/m\mb
|
||
Z)^*\times (\mb Z/n\mb Z)^*|$
|
||
Предложение~\ref{prop_invertible_crt} утверждает, что $f$
|
||
устанавливает биекцию между множествами $(\mb Z/mn\mb Z)^*$ и $(\mb
|
||
Z/n\mb Z)^*\times (\mb Z/n\mb Z)^*$, поэтому в них поровну элементов.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{corollary}
|
||
Если $n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\dots\cdot p_s^{k_s}$~--- каноническое
|
||
разложение натурального числа $n$, то $\ph(n)=p_1^{k_1-1}(p_1-1)\cdot
|
||
p_2^{k_2-1}(p_2-1)\cdot\dots\cdot p_s^{k_s-1}(p_s-1)$.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
Заметим, что все сомножители вида $p_i^{k_i}$ в каноническом
|
||
разложении числа $n$ попарно взаимно просты (например, это следует из
|
||
предложения~\ref{prop_gcd_canonical}). Применяя
|
||
теорему~\ref{thm_euler_multiplicative} и замечание~\ref{rem_phi_p},
|
||
получаем $\ph(n)=\ph(p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\dots\cdot
|
||
p_s^{k_s})=\ph(p_1^{k_1})\cdot
|
||
\ph(p_2^{k_2})\cdot\dots\cdot\ph(p_s^{k_s})=p_1^{k_1-1}(p_1-1)\cdot
|
||
p_2^{k_2-1}(p_2-1)\cdot\dots\cdot p_s^{k_s-1}(p_s-1)$, что и требовалось.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Теорема Эйлера и малая теорема Ферма}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. I, \S~2, п. 3; [V], гл. III, \S~6; [B], гл. 11, \S~1.}
|
||
|
||
\begin{theorem}[Теорема Эйлера]\label{thm:euler}
|
||
Пусть $n$~--- натуральное число, $a\in\mb Z$ и $a\perp n$. Тогда
|
||
$a^{\ph(n)}\equiv 1\pmod n$.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $x_1,x_2,\dots,x_k$~--- все обратимые элементы кольца $\mb
|
||
Z/n\mb Z$. По предложению~\ref{prop_phi_alt_def} их ровно $\ph(n)$, то
|
||
есть, $k=\ph(n)$. Пусть $\ol{a}$~--- класс числа $a$ в кольце $\mb
|
||
Z/n\mb Z$. По предложению~\ref{prop_invertibility_criteria} элемент
|
||
$\ol{a}$ обратим. Рассмотрим элементы
|
||
$\ol{a}x_1,\ol{a}x_2,\dots,\ol{a}x_k$. По
|
||
лемме~\ref{lemma:product_of_invertibles} каждый из них обратим. С
|
||
другой стороны, если $\ol{a}x_i=\ol{a}x_j$, то
|
||
$\ol{a}(x_i-x_j)=\ol{0}$. Домножая это равенство на $\ol{a}^{-1}$,
|
||
получаем, что $x_i=x_j$. Это означает, что все элементы
|
||
$\ol{a}x_1,\ol{a}x_2,\dots,\ol{a}x_k$ различны; иными словами, это
|
||
элементы $x_1,x_2,\dots,x_k$, только, возможно, в другом порядке. Но
|
||
тогда произведения этих двух наборов элементов совпадают. Значит,
|
||
$$
|
||
x_1x_2\cdots
|
||
x_k=\ol{a}x_1\cdot\ol{a}x_2\cdot\cdots\cdot\ol{a}x_k=\ol{a}^kx_1x_2\cdots x_k.
|
||
$$
|
||
По
|
||
лемме~\ref{lemma:product_of_invertibles} произведение $x_1x_2\cdots
|
||
x_k$ обратимо, поэтому на него можно сократить обе части (более
|
||
строго~--- домножить на обратное к нему). Получаем, что
|
||
$\ol{a}^k=\ol{1}$; это и означает, что $a^k\equiv 1\pmod{n}$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{corollary}[Малая теорема Ферма]\label{cor_fermat}
|
||
Если $p$~--- простое число, и $a\in\mb Z$ не делится на $p$,
|
||
то $a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
По свойству~\ref{primes_prop1} простых чисел (\ref{primes_properties})
|
||
$a\perp p$; по замечанию~\ref{rem_phi_p} $\ph(p)=p-1$. Осталось
|
||
применить теорему Эйлера для $n=p$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Приведем несложное следствие малой теоремы Ферма.
|
||
|
||
\begin{corollary}\label{cor_fermat2}
|
||
Если $p$~--- простое число, и $a\in\mb Z$, то
|
||
$a^p\equiv a\pmod{p}$.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
Если $p\divides a$, то $a^p\equiv 0\pmod{p}$ и $a\equiv
|
||
0\pmod{p}$. В противном случае можно применить малую теорему
|
||
Ферма~\ref{cor_fermat}: получим, что $a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$;
|
||
домножая обе части на $a$, получаем нужное сравнение.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Алгоритм шифрования RSA}
|
||
|
||
Алгоритм шифрования RSA (Rivest, Shamir, Adleman) является одной из
|
||
простейших криптографических систем с открытым ключом. Он позволяет
|
||
обмениваться сообщениями по открытым каналам связи без риска быть
|
||
подслушанным. Пусть Алиса и Боб~--- два персонажа, и Алиса хочет
|
||
получить от Боба сообщение, которое сможет прочесть только она. При
|
||
этом между Алисой и Бобом имеются только общедоступные каналы
|
||
связи. Алгоритм шифрования RSA говорит, что Алиса должна
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item выбрать два случайных различных простых числа (достаточно
|
||
больших) $p$ и $q$;
|
||
\item перемножить их и получить число $n=pq$;
|
||
\item найти $\ph(n)=\ph(pq)=(p-1)(q-1)$;
|
||
\item выбрать некоторое натуральное число $e$, взаимно простое с
|
||
$\ph(n)$;
|
||
\item найти число $d$, являющееся решением сравнения $ed\equiv
|
||
1\pmod{\ph(n)}$~--- существование такого числа гарантируется
|
||
свойством~(\ref{congruences_prop7}) сравнений
|
||
(\ref{prop_congruences}). Запишем $ed=1+k\ph(n) = 1 + k(p-1)(q-1)$.
|
||
\end{itemize}
|
||
После этого Алиса передает Бобу по открытому каналу связи числа $n$ и $e$.
|
||
Мы предполагаем, что {\it сообщение}, которое Боб хочет передать
|
||
Алисе, является натуральным числом $m$ таким, что $m<n$. На практике
|
||
это означает, что Боб должен разрезать длинное сообщение (строку бит)
|
||
на куски длиной меньше, чем количество цифр в двоичной записи числа
|
||
$n$ и передавать каждый кусок по отдельности.
|
||
Для зашифровки Боб вычисляет остаток от деления $m^e$ на $n$; то есть,
|
||
целое число $c<n$ такое, что $c\equiv m^e\pmod{n}$.
|
||
Алиса получает зашифрованное сообщение $c$ от Боба по открытому каналу
|
||
связи и вычисляет $c^d\equiv (m^e)^d\equiv m^{ed}\pmod{n}$.
|
||
|
||
Покажем, что $m^{ed}\equiv m\pmod{n}$. Мы хотим показать, что
|
||
$n\divides m^{ed}-m$. При этом $n$ является произведением двух простых
|
||
чисел: $n=pq$. По свойству~(\ref{coprime_prop4}) взаимно простых чисел
|
||
(предложение~\ref{prop_properties_of_coprime}) для этого достаточно
|
||
доказать, что $p\divides m^{ed}-m$ и $q\divides m^{ed}-m$.
|
||
Если $p\divides m$, то $p\divides m^{ed}$, и потому $p\divides
|
||
m^{ed}$. Если же $p\perp m$, то
|
||
можно применить малую теорему Ферма~\ref{cor_fermat}:
|
||
$$
|
||
m^{ed}\equiv m^{1+k(p-1)(q-1)} \equiv m\cdot (m^{p-1})^{k(q-1)}
|
||
\equiv m\cdot 1^{k(q-1)} \equiv m \pmod{p}
|
||
$$
|
||
Аналогично доказывается, что $q\divides m^{ed}-m$.
|
||
|
||
{\small Отметим, что сравнение $m^{ed}\equiv m\pmod{n}$ сразу следует
|
||
из теоремы Эйлера, если $m\perp n$. На практике вероятность того,
|
||
что $m$ имеет общий делитель с $n$, чрезвычайно мала. Однако
|
||
нужное сравнение выполнено и в общем случае.}
|
||
|
||
Таким образом, Алиса восстановила исходное сообщение $m$. При этом все
|
||
вычисления происходят по модулю $n$
|
||
(то есть, само по себе число $m^e$ огромное, но нас интересует только
|
||
его остаток по модулю $n$, что значительно упрощает вычисления).
|
||
|
||
Заметим, что постороннему наблюдателю доступны лишь числа $n$, $e$ и
|
||
зашифрованное сообщение $c$. Для расшифровки необходимо знать обратный
|
||
к $e$ по модулю $\ph(n)$ элемент $d$, для чего необходимо знать
|
||
$\ph(n)$. Но для вычисления $\ph(n)$ необходимо знать разложение $n$
|
||
на простые множители. В настоящее время неизвестны эффективные
|
||
алгоритмы разложения больших чисел на простые множители (в отличие от
|
||
эффективных тестов на простоту, с помощью которых Алиса и готовит
|
||
числа $p$ и $q$).
|