829 lines
56 KiB
TeX
829 lines
56 KiB
TeX
|
||
\section{Наивная теория множеств}
|
||
|
||
\subsection{Множества}
|
||
|
||
\literature{[K1], гл. 1, \S~5, п. 1; [vdW], гл. 1, \S~1.}
|
||
|
||
Мы не будем давать точных определений основным понятиям теории
|
||
множеств, этим занимается аксиоматическая теория множеств. Наш подход
|
||
к теории множеств совершенно наивен; под множеством мы будем понимать
|
||
некоторый {\it набор} ({\it совокупность}, {\it семейство})
|
||
объектов~--- {\it элементов}. Природа этих объектов для нас не очень
|
||
важна: это могут
|
||
быть, скажем, натуральные числа, а могут быть другие
|
||
множества. Множество полностью определяется своими элементами. Иными
|
||
словами, два множества $A$ и $B$ равны тогда и только тогда, когда они
|
||
состоят из одних и тех же элементов: $x\in A$ тогда и только тогда,
|
||
когда $x\in B$.
|
||
|
||
Как задать множество? Самый простой способ~--- перечислить его
|
||
элементы следующим образом: $A=\{1,2,3\}$.
|
||
Сразу отметим, что каждый
|
||
объект $x$ может либо являться элементом данного множества $A$ (это
|
||
записывается так: $x\in A$), либо не
|
||
являться его элементом ($x\not\in A$); он не может быть элементом
|
||
множества $A$ <<два раза>>. Поэтому запись $\{1,2,1,3,3,2\}$ задает то
|
||
же самое множество, что и запись $\{1,2,3\}$, и запись $\{2,3,1\}$.
|
||
|
||
Прямое перечисление может задать только конечное множество. Для
|
||
задания бесконечных множеств можно использовать неформальную запись с
|
||
многоточием, например, $\mb N=\{0,1,2,3,\dots\}$~--- множество натуральных
|
||
чисел.
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
Мы будем считать, что $0$ является натуральным числом.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
В такой записи с многоточием мы предполагаем, что читатель понимает,
|
||
какие именно элементы имеются в виду. Многоточие может стоять и
|
||
справа, и слева: например, запись $\{\dots,-4,-2,0,2,4,\dots\}$ призвана
|
||
обозначать множество четных чисел.
|
||
|
||
Мы предполагаем также, что нам известны такие множества, изучающиеся в
|
||
школе, как множество вещественных чисел $\mb R$, множество
|
||
рациональных чисел $\mb Q$, множество целых чисел $\mb Z$.
|
||
|
||
Очень важный пример множества~--- пустое множество $\emptyset$. Это
|
||
такое множество, что высказывание $x\in\emptyset$ ложно для любого
|
||
объекта $x$.
|
||
|
||
Чуть более строгий способ задания множества: $A=\{s\in S\mid s\text{
|
||
удовлетворяет свойству }P\}$; здесь вертикальная черта $\mid$
|
||
читается как <<таких, что>>, а $P$~--- то, что в математической
|
||
логике называется {\it предикатом}, то есть, высказыванием, которое
|
||
может для каждого объекта $s$ быть истинным или ложным. Для записи
|
||
предикатов (и вообще высказываний) полезны значки $\forall$ (<<для
|
||
любого>>), $\exists$ (<<существует>>) и $\exists!$ (<<существует
|
||
единственный>>). Эти значки называются {\it кванторами} и также имеют
|
||
строгий смысл, но для нас они будут служить просто сокращениями
|
||
интуитивно понятных фраз <<для любого>>, <<существует>> и <<существует
|
||
единственный>>. Например, $\forall x\in\mathbb N, x>-5$ и $\exists!
|
||
x\in\mathbb N, 3x=15$~--- истинные
|
||
высказывания, а $\forall x\in\mathbb N, x<20$~--- ложное.
|
||
|
||
Теперь мы можем более точным образом описать множество всех четных
|
||
чисел: $\{x\in\mb Z\mid \exists y\in\mb Z: x=2y\}$. Еще одно полезное
|
||
сокращение позволяет записать множество четных чисел так: $\{2x\mid
|
||
x\in\mb Z\}$. Множество четных чисел мы будем обозначать через $2\mb
|
||
Z$.
|
||
|
||
Обратите внимание, что порядок, в котором идут кванторы в
|
||
высказывании, чрезвычайно важен: высказывание $\forall x\in\mb Z\exists
|
||
y\in\mb Z:x=y+1$, очевидно, истинно (из любого целого числа можно
|
||
вычесть $1$). А вот высказывание $\exists y\in\mb Z\forall x\in\mb
|
||
Z:x=y+1$ означает существование такого загадочного целого числа $y$,
|
||
которое на единицу меньше любого целого числа. Понятно, что это
|
||
высказывание ложно.
|
||
|
||
На самом деле, запись $\{s\in S\mid s\text{
|
||
удовлетворяет свойству }P\}$ задает не просто множество, а
|
||
{\it подмножество} множества $S$. Если множество $T$ таково, что любой
|
||
элемент множества $T$ является и элементом множества $S$, то говорят,
|
||
что $T$ является подмножеством $S$ и пишут $T\subseteq S$. Более
|
||
строго, $T\subseteq S$ тогда и только тогда, когда из $x\in T$ следует
|
||
$x\in S$. Конструкцию <<из \dots следует \dots>> можно записывать
|
||
значком $\Rightarrow$; в определении подмножества тогда можно писать
|
||
$x\in T\Rightarrow x\in S$. Заметим, что стрелочка идет только в одну
|
||
сторону; если бы было верно и $x\in S\Rightarrow x\in T$, то множества
|
||
$S$ и $T$ совпадали бы. Таким образом, если $T\subseteq S$ и
|
||
$S\subseteq T$, то $S=T$, поскольку в этом случае $x\in
|
||
S\Leftrightarrow X\in T$; множества $S$ и $T$ состоят из
|
||
одних и тех же элементов.
|
||
|
||
Примеры: $\mb N\subseteq\mb Z\subseteq\mb Q\subseteq\mb R$. Кроме
|
||
того, $2\mb Z\subseteq\mb Z$. Более того, $\emptyset\subseteq X$ для
|
||
любого множества $X$: пустое множество является подмножеством любого
|
||
множества. В частности, $\emptyset\subseteq\emptyset$. Не следует
|
||
путать значки $\subseteq$ и $\in$: так, $\emptyset\not\in\emptyset$. К
|
||
тому же, слева от значка $\in$ может стоять объект любой природы, а
|
||
слева от значка $\subseteq$~--- только множество.
|
||
|
||
Следующее важное понятие~--- {\it мощность} множества. Неформально
|
||
говоря, это количество элементов в множестве. Мощность множества $X$
|
||
обозначается через $|X|$. Четко различаются два
|
||
случая: когда мощность множества конечна и когда она
|
||
бесконечна. Если мощность множества конечна, то она измеряется
|
||
натуральным числом (вообще говоря, это практически является
|
||
определением натурального числа). Например, $|\emptyset|=0$,
|
||
$|\{1,2,3\}|=|\{2,1,3,2,2,1\}|=3$. Когда мощность множества $X$ не является
|
||
натуральным числом, говорят, что $X$ бесконечно: $|X|=\infty$.
|
||
Если множество $X$ конечно, то любое его подмножество $Y$ также
|
||
конечно, и $|Y|\leq |X|$. Более того, если $Y$~--- подмножество
|
||
конечного множества $X$,
|
||
то $|Y|=|X|$ тогда и только тогда,
|
||
когда $Y=X$. Если же $Y\subseteq X$ и $Y\neq X$ (в этом случае
|
||
говорят, что $Y$~--- {\it собственное подмножество} $X$), то $|Y|<|X|$.
|
||
|
||
\subsection{Операции над множествами}
|
||
|
||
\literature{[K1], гл. 1, \S~5, п. 1; [vdW], гл. 1, \S~1.}
|
||
|
||
Операции над множествами предоставляют массу способов получать новые
|
||
множества из уже имеющихся. Мы обсудим по крайней мере следующие
|
||
операции:
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item объединение $\cup$,
|
||
\item пересечение $\cap$,
|
||
\item разность $\setminus$,
|
||
\item симметрическая разность $\Delta$,
|
||
\item (декартово) произведение $\times$,
|
||
\item несвязное объединение (копроизведение) $\coprod$,
|
||
\item факторизация $/$.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
Пересечение $A\cap B$ множеств $A$ и $B$ состоит из всех элементов, лежащих и в
|
||
$A$, и в $B$. Более формально, $x\in A\cap B$ тогда и только тогда,
|
||
когда $x\in A$ и $x\in B$.
|
||
|
||
Объединение $A\cup B$ множеств $A$ и $B$ состоит из всех элементов,
|
||
лежащих в $A$ или в $B$ (возможно, и в $A$, и в $B$). Иначе говоря,
|
||
$x\in A\cup B$ тогда и только тогда, когда $x\in A$ или $x\in B$.
|
||
|
||
Разность $A\setminus B$ состоит из элементов $A$, не лежащих в $B$:
|
||
$A\setminus B=\{x\in A\mid x\not\in B\}$. Иначе говоря, $x\in
|
||
A\setminus B$ тогда и только тогда, когда $x\in A$ и $x\not\in B$.
|
||
|
||
Симметрическая разность $A$ и $B$ состоит из элементов, лежащих ровно
|
||
в одном из этих множеств. Это можно записать, например, так: $A\Delta
|
||
B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)$.
|
||
|
||
Несвязное объединение $A\coprod B$ предназначено для того, чтобы
|
||
объединить два
|
||
множества $A$ и $B$ (которые, возможно, имеют непустое пересечение)
|
||
так, чтобы в результате элементы из $A$ и из $B$ <<не
|
||
перемешались>>: все элементы из $A$ оказались отличными от всех
|
||
элементов из $B$. Представьте, что элементы множества $A$ выкрашены в
|
||
красный цвет, а элементы $B$~--- в синий цвет. После этого они стали
|
||
все различны (их пересечение стало пустым), и мы рассмотрели их
|
||
объединение. Если множества $A$ и $B$ конечны, то $|A\coprod
|
||
B|=|A|+|B|$.
|
||
|
||
Произведение множества $A$ и $B$~--- это множество всех упорядоченных
|
||
пар $(a,b)$, где $a\in A$, $b\in B$. Запись $(a,b)$ означает, что мы
|
||
заботимся о порядке элементов $a,b$ (в отличие от записи
|
||
$\{a,b\}$): пара $(a,b)$, вообще говоря, не равна паре $(b,a)$, если
|
||
$a\neq b$. Более строго, $(a,b)=(a',b')$ тогда и только тогда, когда
|
||
$a=a'$ и $b=b'$.
|
||
|
||
Итак, $A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}$. Например,
|
||
$$
|
||
\{1,2,3\}\times\{x,y\}=\{(1,x),(2,x),(3,x),(1,y),(2,y),(3,y)\}.
|
||
$$
|
||
В
|
||
школе изучают декартову плоскость, которая фактически представляет
|
||
собой квадрат вещественной прямой: $\mb R^2=\mb R\times\mb
|
||
R$. Заметим, что $|A\times B|=|A|\times |B|$ для конечных множеств
|
||
$A$, $B$.
|
||
|
||
Несложно обобщить понятия пересечения и объединения на несколько
|
||
множеств: $A_1\cap A_2\cap\dots\cap A_n$, $A_1\cup A_2\cup\dots\cup
|
||
A_n$. Например, $A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4=((A_1\cap A_2)\cap
|
||
A_3)\cap A_4$; и на самом деле порядок расстановки скобок в таком
|
||
выражении не имеет значения. Более интересно попробовать обобщить
|
||
понятие произведения; заметим, что $A_1\times (A_2\times A_3)$ не
|
||
равно $(A_1\times A_2)\times A_3$. Действительно, первое множество
|
||
состоит из упорядоченных пар, первый элемент которых лежит в $A_1$, а
|
||
второй является упорядоченной парой элементов из $A_2$ и $A_3$. В то
|
||
же время второе множество состоит из совершенно других упорядоченных
|
||
пар: первый их элемент является упорядоченной парой элементов из $A_1$
|
||
и $A_2$, а второй элемент лежит в множестве $A_3$. Но по аналогии с
|
||
упорядоченной парой можно определить {\it упорядоченную тройку} и
|
||
получить множество $A_1\times A_2\times A_3=\{(a_1,a_2,a_3)\mid a_1\in
|
||
A_1,a_2\in A_2,a_3\in A_3\}$ (не совпадающее ни с $A_1\times(A_2\times
|
||
A_3)$, ни с $(A_1\times A_2)\times A_3$!). Совершенно аналогично
|
||
определяется {\it упорядоченная $n$-ка} или {\it кортеж} из $n$
|
||
элементов $(a_1,\dots,a_n)$, что позволяет определить произведение
|
||
$A_1\times A_2\times\dots\times A_n$.
|
||
|
||
Несложно определить пересечение и объединение для произвольного (не
|
||
обязательно конечного) набора множеств: если $(A_i)_{i\in I}$~---
|
||
семейство множеств, проиндексированное некоторым индексным множеством
|
||
$I$, то $\bigcap_{i\in I}A_i$~--- пересечение множеств $A_i$~---
|
||
состоит из элементов, которые лежат в каждом $A_i$, а $\bigcup_{i\in
|
||
I}A_i$~--- объединение множеств $A_i$~--- состоит из элементов,
|
||
которые лежат хотя бы в одном из $A_i$.
|
||
|
||
С помощью упорядоченных пар
|
||
мы можем более строго определить несвязное объединение множеств
|
||
$A$ и $B$: рассмотрим множества $\{0\}\times A$ и $\{1\}\times B$
|
||
(состоящие из <<покрашенных элементов>> $(0,a)$ для $a\in A$ и $(1,b)$
|
||
для $b\in B$). Теперь все элементы $(0,a)$ и $(1,b)$ уж точно
|
||
различны, и можно положить $A\coprod B=(\{0\}\times A)\cup(\{1\}\times
|
||
B)$.
|
||
|
||
\subsection{Отображения}
|
||
|
||
\literature{[K1], гл. 1, \S~5, п. 2, [vdW], гл. 1, \S~2.}
|
||
|
||
{\em Наивное определение}: \dfn{отображение}\index{отображение}
|
||
$f\colon X\to Y$
|
||
сопоставляет
|
||
каждому элементу $x\in X$ некоторый элемент $y\in Y$. При этом пишут
|
||
$y=f(x)$ или $x\mapsto y$ и $y$ называют \dfn{образом}\index{образ}
|
||
элемента $x$ при отображении
|
||
$f$. Вместе с каждым отображением нужно помнить его
|
||
\dfn{область определения}\index{область определения} $X$ и
|
||
\dfn{область значений}\index{область значений} $Y$; например,
|
||
отображения
|
||
$\mathbb N\to\mathbb N$, $x\mapsto x^2$ и $\mb R\to\mb R$, $x\mapsto
|
||
x^2$~--- два совершенно разных отображения.
|
||
|
||
Для каждого множества $X$ можно рассмотреть \dfn{тождественное
|
||
отображение}\index{тождественное отображение} $\id_X\colon X\to X$,
|
||
переводящее каждый элемент $x\in X$ в $x$.
|
||
|
||
С каждым декартовым произведением $X\times Y$ множеств $X$ и $Y$
|
||
связаны отображения $\pi_1\colon X\times Y\to X$ и $\pi_2\colon
|
||
X\times Y\to Y$, определенные следующим образом: отображение $\pi_1$
|
||
сопоставляет паре $(x,y)$ элементов $x\in X$, $y\in Y$ элемент $x$, а
|
||
отображение $\pi_2$ сопоставляет этой паре элемент $y$. Эти
|
||
отображения называются \dfn{каноническими
|
||
проекциями}\index{каноническая проекция}.
|
||
|
||
Пусть $f\colon X\to Y$~--- отображение, и $A\subseteq X$;
|
||
\dfn{образом}\index{образ} подмножества $A$ называется
|
||
множество образов всех элементов из $A$: $f(A)=\{y\in Y\mid \exists
|
||
x\in A\colon f(x)=y\}=\{f(x)\mid x\in A\}$. Если же $B\subseteq Y$,
|
||
можно посмотреть на все элементы $X$, образы которых лежат в
|
||
$B$. Получаем \dfn{(полный) прообраз}\index{прообраз} подмножества $B$:
|
||
$f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}$. Вообще, говорят, что $x$
|
||
является прообразом элемента $y\in Y$, если $f(x)=y$; таким образом,
|
||
полный прообраз подмножества составлен из всех прообразов всех его
|
||
элементов.
|
||
|
||
%17.09.2014
|
||
|
||
Если $f\colon X\to Y$~--- отображение множеств и $A\subseteq X$, можно
|
||
определить \dfn{ограничение}\index{ограничение} отображения $f$ на
|
||
$A$. Это отображение,
|
||
которое мы будем обозначать через $f|_A$, из $A$ в $Y$, задаваемое,
|
||
неформально говоря, тем же правилом, что и $f$. Более точно,
|
||
$f|_A(x)=f(x)$ для всех $x\in A$.
|
||
|
||
Пусть теперь даны два отображения, $f\colon X\to Y$, $g\colon Y\to
|
||
Z$. Их \dfn{композиция}\index{композиция} $g\circ f$~--- это новое
|
||
отображение из $X$ в
|
||
$Z$, переводящее элемент $x\in X$ в $g(f(x))\in Z$. То есть, $(g\circ
|
||
f)(x)=g(f(x))$ для всех $x\in X$. Обратите внимание, что мы записываем
|
||
композицию справа налево: в записи $g\circ f$ сначала применяется $f$,
|
||
а потом $g$.
|
||
|
||
\begin{theorem}[Ассоциативность композиции]\label{thm_composition_associative}
|
||
Пусть $X,Y,Z,T$~--- множества, $f\colon X\to Y$, $g\colon Y\to Z$,
|
||
$h\colon Z\to T$. Тогда отображения $(h\circ g)\circ f$ и $h\circ
|
||
(g\circ f)$ из $X$ в $T$ совпадают.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Что значит, что два отображения совпадают? Во-первых, должны совпадать
|
||
их области определения и значений; и действительно, $(h\circ g)\circ
|
||
f$ и $h\circ (g\circ f)$ действуют из $X$ в $T$. Во-вторых, они должны
|
||
совпадать в каждой точке. Возьмем любой элемент $x\in X$ и проверим,
|
||
что $((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ (g\circ f))(x)$. Действительно,
|
||
$$((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))$$
|
||
и
|
||
$$(h\circ(g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x))).$$
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Еще одно полезное свойство композиции: пусть $f\colon X\to Y$~---
|
||
отображение. Тогда $f\circ\id_X=\id_Y\circ f=f$. Действительно,
|
||
$(f\circ\id_X)(x)=f(\id_X(x))=f(x)$ и $(\id_Y\circ
|
||
f)(x)=\id_Y(f(x))=f(x)$.
|
||
|
||
Все отображения из множества $X$ в множество $Y$ образуют множество,
|
||
которое мы будем обозначать через $\Map(X,Y)$ или через
|
||
$Y^X$. Последнее обозначение связано с тем, что для конечных $X$, $Y$
|
||
имеет место равенство $|Y^X|=|Y|^{|X|}$. В частности, если
|
||
$X=\emptyset$, то существует ровно одно отображение из $X$ в $Y$:
|
||
$|Y^\emptyset|=1$. Если же, наоборот, $Y=\emptyset$, то для непустого
|
||
$X$ отображений из $X$ в $\emptyset$ вообще нет: точке из $X$ нечего
|
||
сопоставить. Таким образом, $\emptyset^X=\emptyset$ для непустого
|
||
$X$. Наконец, для пустого $Y$, как и для любого другого,
|
||
существует ровно одно отображение из $\emptyset$ в $Y$
|
||
(тождественное), поэтому $|\emptyset^\emptyset|=1$.
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $f\colon X\to Y$~--- отображение.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item
|
||
$f$ называется \dfn{инъективным отображением}, или
|
||
\dfn{инъекцией}\index{инъекция}, если из
|
||
$x_1\neq x_2$ следует, что $f(x_1)\neq f(x_2)$ для $x_1,x_2\in
|
||
X$. Иными словами, у каждого элемента $Y$ не более одного прообраза.
|
||
\item
|
||
$f$ называется \dfn{сюръективным отображением}, или
|
||
\dfn{сюръекцией}\index{сюръекция}, если
|
||
для каждого $y\in Y$ найдется $x\in X$ такой, что $f(x)=y$. Иными
|
||
словами, у каждого элеента $Y$ не менее одного прообраза.
|
||
\item
|
||
$f$ называется \dfn{биективным отображением}, или
|
||
\dfn{биекцией}\index{биекция}, если
|
||
оно инъективно и сюръективно.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Обозначим через $\mb R_{\geq 0}$ множество неотрицательных
|
||
вещественных чисел: $\mb R_{\geq 0}=\{x\in\mb R\mid x\geq
|
||
0\}$. Рассмотрим четыре отображения
|
||
\begin{eqnarray*}
|
||
&&f_1\colon\mb R\to\mb R, x\mapsto x^2;\\
|
||
&&f_2\colon\mb R\to\mb R_{\geq 0}, x\mapsto x^2;\\
|
||
&&f_3\colon\mb R_{\geq 0}\to\mb R, x\mapsto x^2;\\
|
||
&&f_4\colon\mb R_{\geq 0}\to\mb R_{\geq 0}, x\mapsto x^2.
|
||
\end{eqnarray*}
|
||
\end{example}
|
||
Хотя эти отображения задаются одной и той же формулой (возведение в
|
||
квадрат), их свойства совершенно различны: $f_4$ биективно; $f_3$
|
||
инъективно, но не сюръективно; $f_2$ сюръективно, но не инъективно;
|
||
$f_1$ не инъективно и не сюръективно.
|
||
|
||
\begin{definition}\label{dfn:inverse-map}
|
||
Пусть $f\colon X\to Y$~--- отображение. Отображение $g\colon Y\to X$
|
||
называется \dfn{левым обратным}\index{обратное отображение!левое} к
|
||
$f$, если $g\circ f = \id_X$. Отображение $g\colon Y\to X$ называется
|
||
\dfn{правым обратным}\index{обратное отображение!правое} к $f$, если
|
||
$f\circ g = \id_Y$. Наконец, $g$ называется
|
||
\dfn{[двусторонним] обратным}\index{обратное отображение} к $f$, если
|
||
оно одновременно является левым обратным и правым обратным к $f$.
|
||
Отображение $f$ называется
|
||
\dfn{обратимым слева}\index{обратимое отображение!слева},
|
||
если у него есть левое обратное,
|
||
\dfn{обратимым справа}\index{обратимое отображение!справа}, если у
|
||
него есть правое обратное, и просто
|
||
\dfn{обратимым}\index{обратимое отображение} (или
|
||
\dfn{двусторонне обратимым}\index{обратимое отображение!двусторонне}),
|
||
если у него есть обратное.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{lemma}\label{lemma:invertible_left_and_right}
|
||
Если у отображения $f\colon X\to Y$ есть левое обратное и правое
|
||
обратное, то они совпадают. Таким образом, отображение обратимо тогда
|
||
и только тогда, когда оно обратимо слева и обратимо справа.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть у $f$ есть левое обратное $g_L$ и правое обратное $g_R$. По
|
||
определению это означает, что
|
||
$g_L\circ f=\id_X$ и $f\circ g_R = \id_Y$.
|
||
Рассмотрим отображение $(g_L\circ f)\circ g_R$. По теореме об
|
||
ассоциативности композиции~\ref{thm_composition_associative} оно равно
|
||
$g_L\circ (f\circ g_R)$. С другой стороны,
|
||
$(g_L\circ f)\circ g_R = \id_X\circ g_R = g_R$ и
|
||
$g_L\circ (f\circ g_R) = g_L\circ\id_Y = g_L$. Поэтому $g_L = g_R$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Покажем, что мы на самом деле уже встречали понятия левой, правой и
|
||
двусторонней обратимости под другими названиями.
|
||
|
||
\begin{theorem}\label{thm:sur-inj-reformulations}
|
||
Пусть $f\colon X\to Y$~--- отображение.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Пусть $X$ непусто. $f$ обратимо слева тогда и только тогда,
|
||
когда $f$ инъективно.
|
||
\item $f$ обратимо справа тогда и только тогда, когда $f$ сюръективно.
|
||
\item $f$ обратимо тогда и только тогда, когда $f$ биективно.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item
|
||
Предположим, что $f$ обратимо слева, то есть, $g\circ f = \id_X$ для
|
||
некоторого $g\colon Y\to X$. Покажем инъективность $f$: пусть
|
||
$x_1,x_2\in X$ таковы, что $f(x_1) = f(x_2)$. Применяя $g$, получаем,
|
||
что $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$. Но $g(f(x)) = (g\circ f)(x) = \id_X(x) =
|
||
x$ для всех $x\in X$, поэтому $x_1 = x_2$.
|
||
|
||
Обратно, предположим, что $f$ инъективно, построим к $f$ левое
|
||
обратное отображение $g\colon Y\to X$. В силу непустоты $X$ можно
|
||
выбрать некоторый элемент $c\in X$. Для определения отображения $g$
|
||
нам нужно задать его значение для каждого $y\in Y$. Возьмем $y\in Y$;
|
||
в силу инъективности найдется не более одного элемента $x\in X$
|
||
такого, что $f(x) = y$. Если такой элемент (ровно один) есть, положим
|
||
$g(y) = x$. Если же его нет, положим $g(y) = c$.
|
||
Проверим, что так определенное отображение $g$ действительно является
|
||
левым обратным к $f$. Действительно, для всякого $x_0\in X$ элемент
|
||
$f(x_0)$ лежит в $Y$, и есть ровно один элемент $x\in X$ такой, что
|
||
$f(x) = f(x_0)$~--- это сам $x_0$. Поэтому в силу нашего определения
|
||
$g(f(x_0)) = x_0 = \id_X(x_0)$. Мы получили, что для произвольного
|
||
$x_0\in X$ справедливо $(g\circ f)(x_0) = \id_X(x_0)$. Поэтому
|
||
$g\circ f = \id_X$.
|
||
\item
|
||
Предположим, что $f$ обратимо справа, то есть, $f\circ g = \id_Y$ для
|
||
некоторого $g\colon Y\to X$. Покажем сюръективность $f$; нужно
|
||
проверить, что для каждого $y\in Y$ найдется элемент $x\in X$ такой,
|
||
что $f(x) = y$. Действительно, положим $x = g(y)$. Тогда
|
||
$f(x) = f(g(y)) = (f\circ g)(y) = \id_Y(y) = y$.
|
||
|
||
Обратно, предположим, что $f$ сюръективно. Построим отображение
|
||
$g\colon Y\to X$ такое, что $f\circ g = \id_Y$. Для этого мы должны
|
||
определить $g(y)$ для каждого $y\in Y$. В силу сюръективности найдется
|
||
хотя бы один элемент $x\in X$ такой, что $f(x) = y$. Тогда положим
|
||
$g(y) = x$. Очевидно, что $f(g(y)) = y$ для всех $y\in Y$.
|
||
|
||
{\small
|
||
\begin{remark}\label{remark:axiom-of-choice}
|
||
На самом деле тот факт, что мы можем {\it одновременно} для каждого
|
||
$y\in Y$ выбрать один какой-нибудь элемент $x\in X$ со свойством
|
||
$f(x)=y$, и получится корректно заданное отображение, является одной
|
||
из аксиом теории множеств (она
|
||
называется~\dfn{аксиомой выбора}\index{аксиома выбора}). Фактически,
|
||
она равносильна как раз тому, что мы доказываем: обратимости справа
|
||
любого сюръективного отображения. Заметим, что при доказательстве
|
||
первого пункта теоремы такой проблемы не возникает: там при построении
|
||
левого обратного отображения мы либо выбираем единственный прообраз,
|
||
либо (в случае пустого прообраза) отправляем наш элемент в
|
||
фиксированный элемент $c$. Здесь же прообраз может быть огромным, и
|
||
возможность одновременно в огромном количестве прообразов выбрать по
|
||
одному элементу как раз и гарантируется аксиомой выбора. Мы не
|
||
обсуждаем строгую формализацию понятия множества, поэтому игнорируем
|
||
все проблемы, связанные с аксиомой выбора.
|
||
\end{remark}
|
||
}
|
||
\item Пусть $f$ обратимо. Тогда, очевидно, оно обратимо слева и
|
||
обратимо справа. По доказанному выше, из этого следует, что $f$
|
||
инъективно и сюръективно (заметим, что в доказательстве того, что из
|
||
обратимости слева следует инъективность, мы не использовали
|
||
предположение о непустоте $X$). Значит, $f$ биективно.
|
||
|
||
Обратно, пусть $f$ биективно, то есть, инъективно и
|
||
сюръективно. Предположим сначала, что $X$ непусто. Тогда, по
|
||
доказанному выше, $f$ обратимо слева и обратимо справа. По
|
||
лемме~\ref{lemma:invertible_left_and_right} из этого следует, что
|
||
$f$ обратимо. Осталось рассмотреть случай, когда $X =
|
||
\emptyset$. Покажем, что в этом случае и $Y = \emptyset$. Для этого
|
||
вспомним, что $f$ сюръективно. По определению это означает, что для
|
||
каждого $y\in Y$ найдется $x\in X$ такой, что $f(x) = y$. Если $Y$
|
||
непусто, то для какого-нибудь элемента $y\in Y$ должен найтись
|
||
элемент $x\in X$, а это невозможно, поскольку $X$ пусто. Мы
|
||
показали, что $X = Y = \emptyset$; но в этом случае есть
|
||
единственное отображение $f\colon X\to Y$ (тождественное), и
|
||
единственное отображение $g\colon Y\to X$ будет обратным к нему.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Если $f\colon X\to Y$~--- некоторое отображение, можно рассмотреть его
|
||
\dfn{график}\index{график}
|
||
$$
|
||
\Gamma_f=\{(x,f(x))\mid x\in X\}\subseteq X\times Y.
|
||
$$
|
||
Это понятие помогает нам дать точное определение понятию
|
||
отображения. Нетрудно видеть, что график отображения $f$ однозначно
|
||
определяет само $f$. С другой стороны, какие подмножества $X\times Y$
|
||
могут быть графиками отображений из $X$ в $Y$? Нетрудно понять, что
|
||
над каждой точкой $x\in X$ должна находиться ровно одна точка $(x,y)$
|
||
из графика (у каждой точки $x$ есть ровно один образ). Это приводит
|
||
нас к следующему определению.
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Упорядоченная тройка $(X,Y,\Gamma)$, где $X,Y$~--- множества и
|
||
$\Gamma\subseteq X\times Y$, называется
|
||
\dfn{отображением}\index{отображение} из $X$ в
|
||
$Y$, если
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item для любого $x\in X$ из того, что $(x,y_1)\in\Gamma$ и
|
||
$(x,y_2)\in\Gamma$, следует, что $y_1=y_2$;
|
||
\item для любого $x\in X$ существует $y\in Y$ такое, что
|
||
$(x,y)\in\Gamma$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\subsection{Бинарные отношения}
|
||
|
||
\literature{[K1], гл. 1, \S~6, п. 1.}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
\dfn{Бинарным отношением}\index{отношение!бинарное} на множестве $S$
|
||
называется подмножество
|
||
$R\subseteq S\times S$. Если $(x,y)\in S$, говорят, что
|
||
\dfn{$x$ находится в отношении $R$ с $y$}\index{отношение}, и пишут
|
||
$xRy$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
%24.09.2014
|
||
|
||
\begin{examples}\label{examples:relations}
|
||
Отношение $\geq$ на множестве $\mb R$: $\geq=\{(x,y)\in\mb R\times\mb
|
||
R\mid x\geq y\}$. Аналогично~--- на множестве $\mb Z$, или
|
||
на множестве $\mb N$. Отношения $\leq$, $>$, $<$ на тех же
|
||
множествах. Отношение равенства на $\mb R$: $\{(x,x)\mid x\in\mb
|
||
R\}$~--- аналогично на любом множестве.
|
||
Отношение делимости на целых числах (точное определение будет
|
||
дано во второй главе).
|
||
На множестве всех прямых на декартовой плоскости можно ввести
|
||
отношение параллельности и отношение перпендикулярности.
|
||
\end{examples}
|
||
|
||
Для визуализации отношений полезно рисовать их графики~---
|
||
изображать множества точек, координаты которых лежат в данном
|
||
отношении.
|
||
|
||
\subsection{Отношения эквивалентности}
|
||
|
||
\literature{[K1], гл. 1, \S~6, п. 2; [vdW], гл. 1, \S~5.}
|
||
|
||
Определение отношения достаточно общее; на практике встречаются
|
||
отношения,
|
||
удовлетворяющие некоторым из следующих свойств.
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $R\subseteq X\times X$~--- бинарное отношение на множестве $X$.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $R$ называется \dfn{рефлексивным}\index{отношение!рефлексивное},
|
||
если для любого $x\in X$
|
||
выполнено $xRx$.
|
||
\item $R$ называется \dfn{симметричным}\index{отношение!симметричное},
|
||
если для любых $x,y\in X$ из
|
||
$xRy$ следует $yRx$.
|
||
\item $R$ называется \dfn{транзитивным}\index{отношение!транзитивное},
|
||
если для любых $x,y,z\in X$
|
||
из $xRy$ и $yRz$ следует $xRz$.
|
||
\item $R$ называется \dfn{отношением
|
||
эквивалентности}\index{отношение!эквивалентности}, если оно
|
||
рефлексивно, симметрично и транзитивно.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{examples}
|
||
Посмотрим на примеры~\ref{examples:relations}.
|
||
Нетрудно видеть, что отношения $\geq$, $\leq$, $>$, $<$ на множестве
|
||
$\mb R$ транзитивны, но не симметричны. При этом отношения $\geq$ и
|
||
$\leq$ рефлексивны. Отношение равенства на любом множестве является
|
||
отношением эквивалентности. Отношение делимости рефлексивно и
|
||
транзитивно. Отношение параллельности прямых на плоскости (если
|
||
учесть, что прямая параллельна самой себе) является отношением
|
||
эквивалентности. Отношение перпендикулярности симметрично, но не
|
||
рефлексивно и не транзитивно.
|
||
\end{examples}
|
||
|
||
\begin{definition}\label{def_equiv_class}
|
||
Пусть $\sim$~--- отношение эквивалентности на множестве $X$. Для
|
||
элемента $x\in X$ рассмотрим множество $\{y\in X\mid y\sim x\}$. Мы
|
||
будем обозначать его через $\overline{x}$ или $[x]$ и называть
|
||
\dfn{классом эквивалентности}\index{класс эквивалентности} элемента $x$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{theorem}[О разбиении на классы эквивалентности]\label{thm_quotient_set}
|
||
Пусть $\sim$~--- отношение эквивалентности на множестве $X$.
|
||
Тогда $X$ разбивается на классы эквивалентности, то есть, каждый
|
||
элемент множества $X$ лежит в каком-то классе, и любые два класса либо
|
||
не пересекаются, либо совпадают.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Из рефлексивности следует, что $x\in\overline{x}$, поэтому каждый
|
||
элемент лежит в каком-то классе. Пусть $\overline{x}$ и
|
||
$\overline{y}$~--- два класса эквивалентности и
|
||
$\overline{x}\cap\overline{y}\neq\emptyset$. Выберем
|
||
$z\in\overline{x}\cap\overline{y}$; тогда $z\sim x$ и $z\sim
|
||
y$. Докажем, что на самом деле $\overline{x}=\overline{y}$, проверив
|
||
включения в обе стороны. Возьмем $t\in\overline{x}$; тогда $t\sim
|
||
x$, $x\sim z$, $z\sim y$, откуда $t\sim y$, то есть,
|
||
$t\in\overline{y}$. Поэтому
|
||
$\overline{x}\subseteq\overline{y}$. Аналогично,
|
||
$\overline{y}\subseteq\overline{x}$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{definition}\label{def_quotient_set}
|
||
Пусть $\sim$~--- отношение эквивалентности на множестве $X$.
|
||
Множество всех классов эквивалентности элементов $X$ называется
|
||
\dfn{фактор-множеством}\index{фактор-множество} множества $X$ по
|
||
отношению $\sim$ и
|
||
обозначается через $X/\sim$. Отображение $\pi\colon X\to X/\sim$,
|
||
сопоставляющее каждому элементу $x\in X$ его класс эквивалентности
|
||
$\overline{x}$, называется
|
||
\dfn{канонической проекцией}\index{каноническая проекция} множества
|
||
$X$ на фактор-множество $X/\sim$. Нетрудно видеть, что это отображение
|
||
сюръективно.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\subsection{Метод математической индукции}
|
||
|
||
\literature{[K1], гл. 1, \S~7; [vdW], гл. 1, \S~3; [B], гл. 1, п. 2.}
|
||
|
||
Пусть $P(n)$~--- набор высказываний, зависящий от натурального
|
||
параметра $n$. \dfn{Принцип математической индукции}\index{принцип
|
||
математической индукции} гласит, что если
|
||
$P(0)$
|
||
истинно (\dfn{база индукции}\index{база индукции}) и для любого
|
||
натурального $k$ из истинности $P(k)$ следует истинность
|
||
$P(k+1)$ (\dfn{индукционный переход}\index{индукционный переход}), то
|
||
$P(n)$
|
||
истинно для всех натуральных $n$.
|
||
|
||
Эквивалентная переформулировка принципа математической индукции
|
||
гласит, что в любом непустом множестве натуральных чисел есть
|
||
минимальный элемент. Этот принцип (или какой-то равносильный ему), как
|
||
правило, принимается за аксиому в современных аксиоматиках натуральных
|
||
чисел.
|
||
|
||
Покажем, что если в любом непустом множестве натуральных чисел есть
|
||
минимальный элемент, то принцип математической индукции
|
||
выполняется. Будем действовать от противного: предположим, что $P(0)$
|
||
истинно, и для любого $k\in\mb N$ из истинности $P(k)$ следует
|
||
истинность $P(k+1)$, но, в то же время, $P(n)$ истинно не для всех
|
||
$n$. Пусть $A\subseteq\mb N$~--- множество натуральных чисел $n$, для
|
||
которых $P(n)$ ложно; оно непусто по нашему предположению.
|
||
Тогда в $A$ есть минимальный элемент $a$. Если $a=0$, то $P(0)$ ложно
|
||
(поскольку $a\in A$), что противоречит базе индукции. Если же $a>0$,
|
||
то $a-1$ также является натуральным числом, и $a-1\notin A$ в силу
|
||
минимальности. Поэтому $P(a-1)$ истинно. Но тогда из индукционного
|
||
перехода следует, что и $P(a) = P((a-1)+1)$ истинно~--- противоречие.
|
||
|
||
Принципа математической индукции равносилен следующему
|
||
принципу полной индукции: пусть
|
||
$P(n)$~--- набор высказываний, зависящий от натурального параметра
|
||
$n$. Если $P(0)$ истинно и из истинности $P(0), P(1),\dots,P(k)$
|
||
следует истинность $P(k+1)$, то $P(n)$ истинно для всех натуральных $n$.
|
||
|
||
\subsection{Операции}
|
||
|
||
\literature{[K1], гл. 4, \S~1, п. 1.}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $X$~--- множество. \dfn{Бинарной
|
||
операцией}\index{операция!бинарная} на множестве $X$
|
||
называется отображение $X\times X\to X$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{examples}
|
||
Отображения $\mb R\times\mb R\to\mb R$, задаваемые формулами
|
||
$(a,b)\mapsto a+b$, $(a,b)\mapsto ab$, $(a,b)\mapsto a-b$, являются
|
||
бинарными операциями. Отображение $(a,b)\mapsto a^b$ является бинарной
|
||
операцией на множестве $\mb N$.
|
||
\end{examples}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $\ph\colon X\times X\to X$~--- бинарная операция на множестве $X$.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Операция $\ph$ называется
|
||
\dfn{ассоциативной}\index{операция!ассоциативная}\index{ассоциативность}, если
|
||
$\ph(\ph(a,b),c)=\ph(a,\ph(b,c))$ выполняется для всех
|
||
$a,b,c\in X$.
|
||
\item Операция $\ph$ называется
|
||
\dfn{коммутативной}\index{операция!коммутативная}\index{коммутативность},
|
||
если
|
||
$\ph(a,b)=\ph(b,a)$ выполняется для всех $a,b\in X$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{definition}
|
||
Нетрудно видеть, что операции сложения и умножения на множестве
|
||
вещественных чисел являются ассоциативными и коммутативными, а вот
|
||
возведение в степень
|
||
натуральных чисел не является ни
|
||
ассоциативной, ни коммутативной операцией.
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $\bullet$~--- бинарная операция на множестве $X$.
|
||
Элемент $e\in X$ называется
|
||
\dfn{левым нейтральным}\index{нейтральный элемент!левый}
|
||
(или \dfn{левой единицей}\index{единица!левая}) по отношению к операции
|
||
$\bullet$, если $e\bullet x = x$ для любого $x\in X$. Элемент $e\in X$
|
||
называется
|
||
\dfn{правым нейтральным}\index{нейтральный элемент!правый} (или
|
||
\dfn{правой единицей}\index{единица!правая}) по
|
||
отношению к $\bullet$, если
|
||
$x\bullet e = x$ для любого $x\in X$. Элемент $e\in X$ называется
|
||
\dfn{нейтральным}\index{нейтральный элемент} (или
|
||
\dfn{единицей}\index{единица}), если он одновременно является
|
||
левым и правым нейтральным.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
Отметим, что бинарная операция возведения в степень на множестве
|
||
$\mb R$ обладает правой единицей (это $1$: действительно, $a^1 = a$),
|
||
но не обладает левой единицей.
|
||
|
||
\begin{lemma}
|
||
Если $\bullet\colon X\times X\to X$~--- бинарная операция,
|
||
и в $X$ есть правая единица и левая единица относительно
|
||
$\bullet$, то они совпадают.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Действительно, если $e_L\in X$~--- левая единица, а $e_R\in X$~---
|
||
правая единица, то по определению левой единицы выполнено $e_L\bullet
|
||
e_R = e_R$, а по определению правой единицы выполнено $e_L\bullet e_R
|
||
= e_L$. Поэтому
|
||
$e_L = e_L\bullet e_R = e_R$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $\bullet$~--- бинарная операция на множестве $X$, и в $X$ есть
|
||
нейтральный элемент $e$ относительно этой операции.
|
||
Пусть $x\in X$. Элемент $y\in X$ называется
|
||
\dfn{левым обратным}\index{обратный элемент!левый}
|
||
(относительно операции $\bullet$) к $x$, если $yx = e$.
|
||
Элемент $y\in X$ называется
|
||
\dfn{правым обратным}\index{обратный элемент!правый} (относительно
|
||
операции $\bullet$) к $x$, если $xy = e$.
|
||
Если $y\in X$ одновременно является левым и правым обратным к
|
||
$x$, то он называется просто \dfn{обратным}\index{обратный элемент} к
|
||
$x$. Элемент $x$ называется
|
||
\dfn{обратимым слева}\index{обратимый элемент!слева},
|
||
если у него есть левый
|
||
обратный, \dfn{обратимым справа}\index{обратимый элемент!справа},
|
||
если у него есть правый обратный, и
|
||
\dfn{обратимым}\index{обратимый элемент}, если у него есть обратный.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{lemma}
|
||
Пусть $\bullet$~--- бинарная операция на множестве $X$, и в $X$ есть
|
||
нейтральный элемент $e$ относительно это операции. Предположим, что
|
||
операция $\bullet$ ассоциативна. Пусть элемент $x$ обратим слева и
|
||
обратим справа. Тогда он обратим. Иными словами, если у элемента есть
|
||
левый и правый обратный относительно ассоциативной операции, то они
|
||
совпадают.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $y_L$~--- левый обратный к $x$, а $y_R$~--- правый обратный к
|
||
$x$. По определению это означает, что $y_L\bullet x = e$
|
||
и $x\bullet y_R = e$. Но тогда
|
||
$$
|
||
y_R = e\bullet y_R = (y_L\bullet x)\bullet y_R = y_L\bullet (x\bullet y_R) =
|
||
y_L\bullet e = y_L
|
||
$$
|
||
(обратите внимание, что в середине мы воспользовались ассоциативностью
|
||
операции $\bullet$).
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Пусть на $X$ задана бинарная операция $\bullet$, и $a,b,c\in
|
||
X$. Выражение $a\bullet b\bullet c$ не определено: для его однозначной
|
||
интерпретации необходимо расставить скобки, и получится либо
|
||
$(a\bullet b)\bullet c$, либо $a\bullet (b\bullet c)$. Если операция
|
||
$\bullet$ ассоциативна, то результат вычисления этих двух выражений
|
||
одинаков. Пусть теперь $a,b,c,d\in X$. Скобки в выражении $a\bullet
|
||
b\bullet c\bullet d$ можно расставить уже пятью вариантами:
|
||
$$
|
||
((a\bullet b)\bullet c)\bullet d,\quad
|
||
(a\bullet (b\bullet c))\bullet d,\quad
|
||
(a\bullet b)\bullet (c\bullet d),\quad
|
||
a\bullet((b\bullet c)\bullet d),\quad
|
||
a\bullet (b\bullet (c\bullet d)).
|
||
$$
|
||
Оказывается, что если операция $\bullet$ ассоциативна, то результат
|
||
вычисления всех этих выражений одинаков.
|
||
Аналогично, в выаржении любой длины для указания порядка, в котором
|
||
выполняются операции, необходимо расставить скобки. Оказывается, для
|
||
ассоциативной операции результат выполнения
|
||
не зависит от порядка расстановки скобок. Это
|
||
свойство называется \dfn{обобщенной
|
||
ассоциативностью}\index{ассоциативность!обобщенная}. Поэтому для
|
||
ассоциативных операций ставить скобки в подобных выражениях не
|
||
обязательно.
|
||
|
||
\begin{theorem}
|
||
Если на множестве $X$ задана ассоциативная операция $\bullet$, то она
|
||
обладает обобщенной ассоциативностью: результат вычисления выражения
|
||
$x_1\bullet x_2\bullet\dots\bullet x_n$ не зависит от расстановки в
|
||
нем скобок.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Будем доказывать индукцией по $n$. База $n=3$ является определением
|
||
ассоциативности. Пусть теперь $n>3$, и для всех меньших $n$ теорема
|
||
уже доказана.
|
||
Достаточно показать, что результат при любой расстановке скобок
|
||
совпадает с результатом при следующей расстановке, в которой все скобки
|
||
<<сдвинуты влево>>
|
||
$$
|
||
(\dots ((x_1\bullet x_2)\bullet x_3)\bullet\dots\bullet x_n).
|
||
$$
|
||
Возьмем произвольную расстановку и посмотрим на действие, которое
|
||
выполняется последним: оно состоит в перемножении некоторого выражения
|
||
от $x_1,\dots,x_k$ и некоторого выражения от $x_{k+1},\dots,x_n$:
|
||
$$
|
||
(\dots x_1\bullet\dots\bullet x_k\dots) \bullet
|
||
(\dots x_{k+1}\bullet\dots\bullet x_n\dots).
|
||
$$
|
||
При этом $1 \leq k < n$.
|
||
|
||
Предположим сначала, что $k = n-1$. Тогда последняя операция состоит в
|
||
перемножении скобки, в которой стоят $x_1,\dots,x_{n-1}$, на $x_n$. В
|
||
выражении от $x_1,\dots,x_{n-1}$ мы можем, по предположению индукции,
|
||
сдвинуть все скобки влево, не меняя результата. Приписывая справа
|
||
$x_n$, получаем как раз выражение нужного вида уже от
|
||
$x_1,\dots,x_n$, и доказательство закончено.
|
||
|
||
Пусть теперь $k<n-1$. Заметим, что во второй скобке стоят
|
||
$x_{k+1},\dots,x_n$~--- здесь хотя бы два элемента, и меньше, чем
|
||
$n$. По предположению индукции мы можем расставить в этом выражении
|
||
скобки нашим выбранным способом, не меняя результата:
|
||
$$
|
||
\underbrace{\left(\dots x_1\bullet\dots\bullet x_k\dots\right)}_{A} \bullet
|
||
(\underbrace{(\dots (x_{k+1}\bullet x_{k+2})\bullet\dots\bullet x_{n-1})}_B\bullet\underbrace{x_n}_C)
|
||
$$
|
||
(тут нужно отметить, что рассуждение работает и при $k=n-2$; в этом
|
||
случае во второй скобке стоит лишь два элемента, и формально мы не
|
||
можем применить предположение индукции, но в этом нет ничего страшного).
|
||
Применим теперь ассоциативность к полученному выражению вида
|
||
$A\bullet (B\bullet C)$ и заменим его на $(A\bullet B)\bullet C$:
|
||
$$
|
||
(\underbrace{\dots x_1\bullet\dots\bullet x_k\dots}_{A} \bullet
|
||
\underbrace{\dots (x_{k+1}\bullet x_{k+2})\bullet\dots\bullet x_{n-1}}_B)\bullet\underbrace{x_n}_C)
|
||
$$
|
||
Заметим, что теперь последняя выполняемая операция~--- умножения
|
||
некоторого выражения от переменных $x_1,\dots,x_{n-1}$ на $x_n$. Это
|
||
означает,
|
||
что мы свели задачу к уже разобранному случаю $k=n-1$; теперь можно,
|
||
как и выше, воспользоваться предположением индукции, расставить скобки
|
||
в выражении от $x_1,\dots,x_{n-1}$ нужным образом, и мы сразу получим
|
||
необходимую расстановку.
|
||
\end{proof}
|
||
|