1936 lines
122 KiB
TeX
1936 lines
122 KiB
TeX
\section{Жорданова нормальная форма}\label{subsect:jordan_form}
|
||
|
||
Пусть $U,V$~--- конечномерные пространства над $k$.
|
||
В прошлой главе мы выяснили, что для линейного отображения $T\colon
|
||
U\to V$ можно выбрать базисы в $U$ и в $V$ так, что матрица $\ph$ в
|
||
этих базисах будет окаймленной единичной.
|
||
Пусть теперь $T\colon V\to V$~--- линейное отображение из
|
||
пространства в себя. Мы будем называть его \dfn{линейным
|
||
оператором}\index{оператор!линейный} (или
|
||
просто \dfn{оператором}\index{оператор}) на $V$.
|
||
Не очень-то удобно выбирать два разных базиса в
|
||
одном и том же пространстве $V$ для записи матрицы линейного
|
||
оператора. Пусть $\mc B$~--- базис пространства $V$.
|
||
\dfn{Матрицей оператора}\index{матрица!оператора} $T\colon V\to V$ в
|
||
базисе $\mc B$ называется
|
||
матрица отображения $T$ в базисах $\mc B$, $\mc B$.
|
||
Мы будем обозначать ее через $[T]_{\mc B}$ вместо $[T]_{\mc B,\mc B}$.
|
||
Цель настоящей главы~--- выяснить, к какому наиболее простому виду
|
||
можно привести матрицу
|
||
оператора $T$ с помощью выбора базиса в $V$.
|
||
По теореме~\ref{thm_matrix_under_change_of_bases} при замене базиса
|
||
$\mc B$ на $\mc B'$ матрица оператора $T$ домножается справа на матрицу
|
||
замены базиса и слева на обратную к ней. Таким образом, если
|
||
$A=[T]_{\mc B}$, $A'=[T]_{\mc B'}$, $C$~--- матрица перехода от $\mc
|
||
B$ к $\mc B'$, то $A'=C^{-1}AC$. Эта процедура называется
|
||
\dfn{сопряжением}\index{сопряжение!матрицы}: говорят, что
|
||
$C^{-1}AC$~--- матрица, \dfn{сопряженная} к матрице $A$ при помощи
|
||
$C$.
|
||
|
||
В этой главе нас будет интересовать вопрос: к какому хорошему виду
|
||
можно привести матрицу произвольного линейного оператора? В отличие от
|
||
случая линейного отображения, рассчитывать на окаймленный единичный
|
||
вид уже не приходится. Тем не менее, мы получим достаточно разумный
|
||
ответ на этот вопрос. Можно сформулировать эту задачу на матричном
|
||
языке: в прошлой главе мы видели, что с помощью домножения слева и
|
||
справа на обратимые матрицы любую матрицу можно привести к окаймленной
|
||
единичной форме; а к какому виду можно привести квадратную матрицу с
|
||
помощью сопряжения?
|
||
|
||
Мы будем предполагать в этой главе, что все встречающиеся нам
|
||
векторные пространства конечномерны.
|
||
|
||
\subsection{Инвариантные подпространства и собственные числа}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XII, \S~6, п. 1; гл. IV, \S~6, п. 1; [K2], гл. 2,
|
||
\S~3, п. 3; [KM], ч. 1, \S~8; [vdW], гл. XII, \S~88.}
|
||
|
||
Первая идея для изучения операторов на пространстве состоит
|
||
в следующем: можно попытаться посмотреть на то, что происходит
|
||
в собственном подпространстве $U$ оператора $V$, решить вопрос для него
|
||
(что проще, поскольку размерность $U$ меньше размерности $V$),
|
||
а потом попробовать <<подняться>> в пространство $V$.
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор, $U\leq V$~--- некоторое
|
||
подпространство. Проблема состоит в том, что ограничение
|
||
$T|_U$ действует из $U$ в $V$ и уже не является линейным оператором!
|
||
Опишем подпространства, для которых такого не происходит.
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор на пространстве $V$.
|
||
Подпространство $U\leq V$ называется \dfn{инвариантным} относительно
|
||
оператора $T$ (или \dfn{$T$-инвариантным}), если
|
||
$T(U)\subseteq U$. Иными словами: для любого $u\in U$ образ
|
||
$T(u)$ также лежит в $U$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Можно привести тривиальные примеры: подпространства $0\leq V$
|
||
и $V\leq V$ инвариантны относительно любого линейного оператора
|
||
на $V$.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
Самый простой пример инвариантного подпространства возникает, когда
|
||
это подпространство одномерно. Тогда $U$ порождается одним ненулевым
|
||
вектором $u\in U$, и для $T$-инвариантности $U$ достаточно потребовать,
|
||
чтобы образ $T(u)$ лежал в $U$, то есть, имел вид $u\lambda$ для
|
||
некоторого $\lambda\in k$
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор.
|
||
Скаляр $\lambda\in k$ называется \dfn{собственным числом} оператора
|
||
$T$, если существует ненулевой вектор $u\in V$ такой, что
|
||
$T(u) = u\lambda$. В этом случае $u$ называется
|
||
\dfn{собственным вектором} оператора $T$ (соответствующим
|
||
собственному числу $\lambda$).
|
||
\end{definition}
|
||
Полезны следующие эквивалентные переформулировки понятия
|
||
собственного числа.
|
||
\begin{proposition}\label{prop:eigenvalue-alternative-defs}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор, $\lambda\in k$.
|
||
Следующие утверждения равносильны:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $\lambda$~--- собственное число оператора $T$;
|
||
\item оператор $T-\lambda\id_V$ неинъективен;
|
||
\item оператор $T-\lambda\id_V$ несюръективен;
|
||
\item оператор $T-\lambda\id_V$ необратим.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Если $\lambda$~--- собственное число $T$, то $(T-\id_V\lambda)(u)=0$
|
||
для некоторого ненулевого $u\in V$, и потому $T-\id_V\lambda$
|
||
неинъективен. Обратно, неинъективность $T-\id_V\lambda$ означает,
|
||
что $\Ker(T-\id_V\lambda)\neq 0$, и если $u$~--- ненулевой вектор из
|
||
этого ядра, то $T(u) = u\lambda$, что и означает, что $\lambda$~---
|
||
собственное число $T$.
|
||
Равносильность утверждений (2), (3), (4) сразу следует из
|
||
предложения~\ref{prop:operators-bij-inj-surj}.
|
||
\end{proof}
|
||
Таким образом, собственные числа оператора $T$~--- это в точности
|
||
те скаляры $\lambda$, для которых оператор $T-\id_V\lambda$
|
||
имеет нетривиальное ядро, а соответствующие собственные векторы~---
|
||
это в точности ненулевые элементы этого ядра.
|
||
|
||
\begin{theorem}\label{thm:eigenvectors-are-independent}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор,
|
||
$v_1,\dots,v_n\in V$~--- собственные векторы, соответствующие
|
||
попарно различным собственным числам $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in k$.
|
||
Тогда векторы $v_1,\dots,v_n$ линейно независимы.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Будем доказывать от противного: пусть $v_1,\dots,v_n$ линейно зависиым.
|
||
По лемме~\ref{lemma:linear-dependence-lemma} найдется индекс
|
||
$j$ такой, что $v_j$ выражается через $v_1,\dots,v_{j-1}$.
|
||
Выберем наименьший из таких индексов $j$ и запишем полученную
|
||
линейную зависимость:
|
||
$$
|
||
v_j = v_1a_1 + \dots + v_{j-1}a_{j-1}.
|
||
$$
|
||
Применим оператор $T$ к обеим частям этого равенства:
|
||
$$
|
||
T(v_j) = T(v_1)a_1 + \dots + T(v_{j-1})a_{j-1}.
|
||
$$
|
||
Мы знаем, что $T(v_i) = v_i\lambda_i$ для всех $i=1,\dots,n$, потому
|
||
$$
|
||
v_j\lambda_j = v_1\lambda_1a_1 + \dots + v_{j-1}\lambda_{j-1}a_{j-1}.
|
||
$$
|
||
С другой стороны, мы можем умножить исходную линейную зависимость
|
||
на $\lambda_j$:
|
||
$$
|
||
v_j\lambda_j = v_1\lambda_j a_1 + \dots + v_{j-1}\lambda_j a_{j-1}.
|
||
$$
|
||
Вычтем два последних равенства:
|
||
$$
|
||
0 = v_1(\lambda_1-\lambda_j)a_1 + \dots +
|
||
v_{j-1}(\lambda_{j-1}-\lambda_j)a_{j-1}.
|
||
$$
|
||
В силу нашего выбора $j$ векторы $v_1,\dots,v_{j-1}$ линейно независимы.
|
||
Поэтому в полученном выражении все коэффициенты
|
||
$(\lambda_i-\lambda_j)a_i$ должны быть нулевыми. Но скаляры
|
||
$\lambda_i$ попарно различны, потому $\lambda_j-\lambda_j\neq 0$
|
||
при всех $i=1,\dots,j-1$. Значит, $a_i=0$ для $i=1,\dots,j-1$. Подставляя
|
||
в исходную линейную комбинацию, получаем, что $v_j=0$,
|
||
что противоречит определению собственного вектора.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{corollary}
|
||
Количество различных собственных чисел оператора на пространстве $V$
|
||
не превосходит $\dim(V)$.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
Если нашлось больше, чем $\dim(V)$, различных собственных чисел,
|
||
то соответствующие им собственные векторы линейно независимы
|
||
по теореме~\ref{thm:eigenvectors-are-independent}, а это
|
||
противоречит теореме~\ref{thm:independent-set-smaller-than-generating}.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Возвращаясь к общему понятию инвариантного подпространства, мы теперь
|
||
можем уточнить, в каком смысле наличие инвариантных подпространств
|
||
помогает свести изучение оператора на пространстве к изучению
|
||
операторов на меньших пространствах.
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор, $U\leq V$~---
|
||
$T$-инвариантное подпространство.
|
||
Отображение $T|_U\colon U\to U$, заданное формулой
|
||
$(T|_U)(u) = T(u)$, называется \dfn{ограничением линейного оператора}
|
||
на инвариантное подпространство $U$.
|
||
Отображение $T_{V/U}\colon V/U\to V/U$, заданное формулой
|
||
$T_{V/U}(v+U) = T(v) + U$, называется \dfn{индуцированным оператором}
|
||
на фактор-пространстве $V/U$.
|
||
\end{definition}
|
||
\begin{proposition}
|
||
Ограничение на инвариантное подпространство и индуцированный оператор
|
||
на фактор-пространстве корректно определены и являются линейными
|
||
операторами.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
В силу инвариантности $U$ элемент $T(u)$ лежит в $U$ для всех $u\in U$,
|
||
поэтому формула $(T|_U)(u) = T(u)$ задает
|
||
отображение $T|_U\colon U\to U$. Его линейность очевидным образом
|
||
следует из линейности $T$.
|
||
|
||
Для индуцированного отображения на фактор-пространстве сначала нужно
|
||
проверить его корректность, то есть, то, что
|
||
правило $v+U \mapsto T(v) + U$ не зависит от выбора представителей.
|
||
Пусть $v'$~--- другой представитель класса $v+U$, то есть,
|
||
$v' = v + u$ для некоторого $u\in U$.
|
||
Тогда $T(v') = T(v) + T(u)$. В силу $T$-инвариантности подпространства
|
||
$U$ вектор $T(u)$ лежит в $U$. Значит, $T(v')$ и $T(v)$ отличаются
|
||
на элемент из $U$, а потому лежат в одном классе по модулю $U$.
|
||
|
||
После этого линейность отображения $T_{V/U}$ также напрямую следует
|
||
из линейности оператора $T$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Собственные числа оператора над алгебраически замкнутым полем}
|
||
|
||
Напомним, что линейные операторы на пространстве $V$ образуют кольцо
|
||
относительно сложения и композиции (а композицию мы часто записываем
|
||
как умножение; в кольце матриц она буквально соответствует
|
||
умножению матриц). Поэтому не очень удивительно,
|
||
что мы можем рассматривать многочлены от оператора $T$ на $V$.
|
||
А именно, пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор на
|
||
векторном пространстве $V$ над $k$, и пусть $f\in k[x]$~--- некоторый
|
||
многочлен с коэффициентами в том же поле $k$.
|
||
Запишем $f = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{n}x^n$.
|
||
Определим \dfn{результат подстановки оператора $T$ в многочлен $f$}
|
||
следующим образом:
|
||
$$
|
||
f(T) = \id_V a_0 + Ta_1 + T^2a_2 + \dots + T^n a_n.
|
||
$$
|
||
Здесь $T^n = \underbrace{T\circ\dots\circ T}_{n}$~--- результат
|
||
$n$-кратной композиции $T$ с собой. Нетрудно проверить, что это
|
||
<<возведение в степень>> определено для всех натуральных $n$
|
||
и обладает обычными свойствами, например, что $T^{m+n} = T^m\circ T^n$.
|
||
|
||
Итак, мы получили новый линейный оператор $f(T)$ по каждому многочлену
|
||
$f\in k[x]$ и оператору $T$ на $V$.
|
||
Эта операция напоминает <<подстановку скаляра в многочлен>>
|
||
(оно же <<вычисление значение многочлена в точке>>,
|
||
см. определение~\ref{dfn:poly-value}), и обладает
|
||
похожими свойствами (см. предложение~\ref{prop:evaluation-properties}):
|
||
если $f,g\in k[x]$, $\lambda\in k$, $T$~--- оператор на $V$,
|
||
то $(f+g)(T) = f(T) + g(T)$, $(fg)(T) = f(T)g(T)$,
|
||
$(f\lambda)(T) = f(T)\lambda$.
|
||
Эти свойства проверяются простым раскрытием скобок. Действительно,
|
||
пусть $f = a_0 + a_1x + \dots + a_mx^m$,
|
||
$g = b_0 + b_1x + \dots + b_nx^n$.
|
||
Тогда $fg = \sum_k\left(\sum_{i+j=k}a_ib_j\right)x^k$.
|
||
Подставляя оператор $T$, получаем
|
||
$f(T) = \id_V a_0 + Ta_1 + \dots + T^m a_m$,
|
||
$g(T) = \id_V b_0 + Tb_1 + \dots + T^n b_n$,
|
||
и потому
|
||
$f(T)g(T) = \sum_k\left(\sum_{i+j=k}T^i a_i T^j b_j\right)
|
||
= \sum_k T_i\left(\sum_{i+j=k}a_i b_j\right)
|
||
= (fg)(T)$. Остальные свойства проверяются аналогично.
|
||
|
||
В частности, $f(T)g(T) = g(T)f(T)$: {\em многочлены от одного
|
||
оператора коммутируют между собой} (обратите внимание, что
|
||
композиция операторов, вообще говоря, некоммутативна:
|
||
$ST\neq TS$).
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:operator-has-an-eigenvalue}
|
||
Пусть поле $k$ алгебраически замкнуто, $V\neq 0$~---
|
||
векторное пространство над $k$, $T\colon V\to V$~---
|
||
линейный оператор на $V$.
|
||
Тогда у $T$ есть собственное число.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Выберем произвольный ненулевой вектор $v\in V$.
|
||
Пусть $\dim V = n$. Рассмотрим векторы
|
||
$v,T(v),T^2(v),\dots,T^n(v)$.
|
||
Это $n+1$ вектор в $n$-мерном векторном пространстве,
|
||
и потому они линейно зависимы.
|
||
По лемме~\ref{lemma:linear-dependence-lemma} найдется индекс
|
||
$j>0$ такой, что $T^j(v)$ выражается через векторы вида
|
||
$T^i(v)$ для $i<j$. Запишем это выражение:
|
||
$v a_0 + T(v) a_1 + \dots + T^{j-1}(v) a_{j-1} = T^j(v)$.
|
||
Перенесем все в одну часть и вынесем $v$:
|
||
$$
|
||
(T^j - T^{j-1}a_{j-1} - \dots - T a_1 - \id_V a_0)(v) = 0.
|
||
$$
|
||
В скобках стоит многочлен от оператора $T$, а именно, $f(T)$,
|
||
где $f(x) = x^j - a_{j-1}x^{j-1} - \dots - a_1x - a_0$.
|
||
Наше поле алгебраически замкнуто, а степень $f$ больше нуля,
|
||
потому $f$ раскладывается на линейные множители:
|
||
$f(x) = (x - \lambda_1)\dots(x-\lambda_j)$, и, стало быть,
|
||
$f(T) = (T - \id_V\lambda_1)\dots(T-\id_V\lambda_j)$.
|
||
|
||
Итак, мы получили, что $f(T)(v) = 0$, то есть, что
|
||
$(T-\id_V\lambda_1)\dots (T-\id_V\lambda_j)(v) = 0$.
|
||
Происходит следующее: на ненулевой вектор $v$ действуют по очереди
|
||
операторы вида $T - \id_V\lambda_i$, и получается $0$. Из этого
|
||
следует, что хотя бы один из них неинъективен~--- иначе из ненулевого
|
||
вектора на каждом шаге получался бы ненулевой.
|
||
Но неинъективность оператора $T - \id_V\lambda_i$ как раз и означает,
|
||
что $\lambda_i$ является собственным числом $T$
|
||
(предложение~\ref{prop:eigenvalue-alternative-defs}).
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Итак, в случае алгебраически замкнутого поля, у каждого оператора
|
||
$T$ есть хотя бы одно собственное число $\lambda$, и, разумеется,
|
||
есть соответствующий этому числу [ненулевой] собственный вектор $v$.
|
||
Дополним этот вектор до некоторого базиса
|
||
$\mc B = \{v, v_2,\dots,v_n\}$.
|
||
Матрица оператора $T$ в этом базисе выглядит следующим образом:
|
||
$$
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
\lambda & * & \dots & * \\
|
||
0 & * \dots & * \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
0 & * & \dots & *
|
||
\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
Мы совершили небольшое продвижение к нашей цели: мы нашли базис,
|
||
в котором матрица нашего оператора выглядит чуть-чуть лучше, чем наугад
|
||
взятая матрица, а именно, в ней появилось несколько нулей.
|
||
Оказывается, мы можем продолжить этот процесс по индукции, и
|
||
найти базис, в котором матрица нашего оператора верхнетреугольна.
|
||
Для этого нам понадобится следующее описание верхнетреугольных матриц.
|
||
\begin{proposition}\label{prop:ut-equivalent-defs}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор,
|
||
$\mc B = \{v_1,\dots,v_n\}$~--- некоторый базис пространства $V$.
|
||
Следующие утверждения равносильны:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item матрица $[T]_{\mc B}$ верхнетреугольна;
|
||
\item для всех $j=1,\dots,n$ вектор $T(v_j)$ лежит в
|
||
$\la v_1,\dots,v_j\ra$;
|
||
\item для всех $j=1,\dots,n$ подпространство
|
||
$\la v_1,\dots,v_j\ra$ является $T$-инвариантным.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Предположим, что матрица $[T]_{\mc B}$ верхнетреугольна. Посмотрим
|
||
на ее $j$-й столбец: в нем стоит разложение вектора $T(v_j)$
|
||
по базису $\mc B$. То, что ниже диагонали там стоят нули, означает,
|
||
что $T(v_j)$ на самом деле выражается только через векторы
|
||
$v_1,\dots,v_j$. Обратно, если $T(v_j)$ выражается только через
|
||
$v_1,\dots,v_j$, то в $j$-м столбце ниже диагонального элемента
|
||
должны стоять нули. Поэтому первые два условия равносильны.
|
||
|
||
Очевидно, что из третьего условия следует второе. Осталось лишь
|
||
показать, что из второго следует третье. Итак, пусть выполняется
|
||
(2). Тогда
|
||
\begin{align*}
|
||
T(v_1)&\in\la v_1\ra \subseteq\la v_1,\dots,v_j\ra,\\
|
||
T(v_2)&\in\la v_1,v_2\ra \subseteq\la v_1,\dots,v_j\ra,\\
|
||
\vdots& \\
|
||
T(v_j)&\in\la v_1,\dots,v_j\ra.
|
||
\end{align*}
|
||
Если $v$~--- любая линейная комбинация векторов $v_1,\dots,v_j$,
|
||
то $T(v)$ является линейной комбинацией векторов $T(v_1),\dots,T(v_j)$,
|
||
и потому лежит в $\la v_1,\dots,v_j\ra$. Это означает, что
|
||
подпространство $\la v_1,\dots,v_j\ra$ является $T$-инвариантным.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{theorem}
|
||
Пусть $k$~--- алгебраически замкнутое поле, $T\colon V\to V$~---
|
||
линейный оператор на конечномерном
|
||
векторном пространстве $V$ над полем $k$.
|
||
Тогда существует базис $v_1,\dots,v_n$ пространства $V$,
|
||
в котором матрица оператора $T$ имеет верхнетреугольный вид.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $\dim(V) = n$; будем доказывать теорему индукцией по $n$.
|
||
Случай $n=1$ очевиден; пусть теперь $n>1$. По
|
||
предложению~\ref{prop:operator-has-an-eigenvalue} у $T$ есть собственное
|
||
число $\lambda$. Обозначим $U = \Img(T-\id_V\lambda)\leq V$.
|
||
По предложению~\ref{prop:eigenvalue-alternative-defs} оператор
|
||
$T-\id_V\lambda$ не сюръективен, и потому $U\neq V$.
|
||
Покажем, что подпространство $U$ является $T$-инвариантным.
|
||
Действительно, для любого $u\in U$ выполнено
|
||
$T(u) = (T-\id_V\lambda)(u) + u\lambda$, и очевидно, что оба слагаемых
|
||
лежат в $U$.
|
||
|
||
Теперь мы можем рассмотреть ограничение $T|_U$ оператора $T$ на
|
||
подпространство $U$. Мы знаем, что $\dim(U) < \dim(V)$, и потому
|
||
к $U$ можно применить предположение индукции и заключить, что
|
||
существует базис $u_1,\dots,u_m$ пространства $U$, в котором
|
||
матрица оператора $T|_U$ верхнетреугольна. По
|
||
предложению~\ref{prop:ut-equivalent-defs} из этого следует, что
|
||
$T(u_j) = (T|_U)(u_j) \in\la u_1,\dots,u_j\ra$ для всех $j=1,\dots,m$.
|
||
|
||
Дополним $u_1,\dots,u_m$ до базиса $u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_s$
|
||
пространства $V$. Тогда
|
||
$T(v_k) = (T-\id_V\lambda)v_k + v_k\lambda$ для всех $k=1,\dots,s$.
|
||
По определению $(T-\id_V\lambda)v_k\in U$, и потому
|
||
$T(v_k)\in\la u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_k\ra$.
|
||
По предложению~\ref{prop:ut-equivalent-defs} из этого следует,
|
||
что матрица оператора $T$ в базисе
|
||
$u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_s$ верхнетреугольна.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
% 27.04.2015
|
||
|
||
Зная базис, в котором матрица оператора верхнетреугольна, легко
|
||
определить, когда этот оператор обратим.
|
||
\begin{proposition}\label{prop:when-ut-is-invertible}
|
||
Пусть матрица оператора $T\colon V\to V$ в некотором базисе
|
||
верхнетреугольна. Оператора $T$ обратим тогда и только тогда,
|
||
когда все диагональные элементы этой матрицы отличны от нуля.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $\mc B = (v_1,\dots,v_n)$~--- базис, в котором матрица
|
||
оператора $T$ верхнетреугольна, и пусть
|
||
$$[T]_{\mc B} = \begin{pmatrix}
|
||
\lambda_1 & * & \dots & * \\
|
||
0 & \lambda_2 & \dots & * \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
0 & 0 & \dots & \lambda_n
|
||
\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
|
||
Предположим, что оператор $T$ обратим. Тогда $\lambda_1\neq 0$
|
||
(иначе $T(v_1) = v_1\lambda_1 = 0$). Предположим, что
|
||
$\lambda_j = 0$ для некоторого $j>1$. Глядя на матрицу $T$,
|
||
мы видим, что $T$ отображает подпространство
|
||
$\la v_1,\dots,v_j\ra$ в подпространство $\la v_1,\dots,v_{j-1}\ra$.
|
||
При этом размерность первого подпространства равна $j$,
|
||
а второго~--- $j-1$. По следствию~\ref{cor:no-injective-maps}
|
||
не существует инъективных линейных отображений из $j$-мерного
|
||
пространства в $(j-1)$-мерное. Значит, ограничение оператора $T$
|
||
на подпространство $\la v_1,\dots,v_j\ra$ неинъективно.
|
||
Это означает, что найдется ненулевой вектор $v\in\la v_1,\dots,v_j\ra$,
|
||
для которого $T(v) = 0$. Поэтому $T$ неинъективен, что противоречит
|
||
предположению об обратимости $T$.
|
||
|
||
Обратно, предположим теперь, что все $\lambda_1,\dots,\lambda_n$
|
||
отличны от нуля. Глядя на первый столбец матрицы оператора
|
||
$T$, мы видим, что $T(v_1) = v_1\lambda_1$,
|
||
и потому $T(v_1\lambda_1^{-1}) = v_1$. Значит, $v_1\in\Img(T)$.
|
||
Далее, судя по второму столбцу матрицы оператора $T$,
|
||
$T(v_2\lambda_2^{-1}) = v_1 a + v_2$ для некоторого $a\in k$.
|
||
При этом $T(v_2\lambda_2^{-1})$ и $v_1a$ лежат в $\Img(T)$.
|
||
Поэтому и $v_2\in\Img(T)$.
|
||
Аналогично,
|
||
$T(v_3\lambda_3^{-1}) = v_1b + v_2c + v_3$ для некоторых
|
||
$b,c\in k$. Мы уже знаем, что все члены этого равенства, кроме $v_3$,
|
||
лежат в $\Img(T)$, потому и $v_3\in\Img(T)$.
|
||
|
||
Продолжая аналогичным образом, мы получаем, что
|
||
$v_1,\dots,v_n\in\Img(T)$.
|
||
Тогда и $\la v_1,\dots,v_n\ra\subseteq\Img(T)$. Но $v_1,\dots,v_n$~---
|
||
базис пространства $V$, и потому
|
||
$\Img(T) = V$. Значит, оператор $T$ сюръективен, что по
|
||
предложению~\ref{prop:operators-bij-inj-surj} влечет его обратимость.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Теперь несложно показать, что если мы смогли привести матрицу
|
||
оператора к верхнетреугольному виду, то на диагонали в точности стоят
|
||
собственные числа этого оператора.
|
||
\begin{proposition}
|
||
Пусть матрица оператора $T$ относительно некоторого базиса
|
||
верхнетреугольна. Тогда собственные числа оператора $T$~--- это
|
||
в точности диагональные элементы этой матрицы.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть
|
||
$$
|
||
[T]_{\mc B} = \begin{pmatrix}
|
||
\lambda_1 & * & \dots & * \\
|
||
0 & \lambda_2 & \dots & * \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
0 & 0 & \dots & \lambda_n
|
||
\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
Для $\lambda\in k$ рассмотрим оператор $T - \id_V\lambda$.
|
||
Его матрица в том же базисе имеет вид
|
||
$$
|
||
[T -\id_V\lambda]_{\mc B} = \begin{pmatrix}
|
||
\lambda_1-\lambda & * & \dots & * \\
|
||
0 & \lambda_2-\lambda & \dots & * \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
0 & 0 & \dots & \lambda_n-\lambda
|
||
\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
По предложению~\ref{prop:when-ut-is-invertible} необратимость
|
||
оператора $T-\id_V\lambda$ равносильна тому, что $\lambda_j-\lambda=0$
|
||
для некоторого $j$, то есть, что $\lambda$ стоит (где-то) на диагонали.
|
||
С другой стороны, по предложению~\ref{prop:eigenvalue-alternative-defs}
|
||
необратимость оператора $T-\id_V\lambda$ равносильна тому, что
|
||
$\lambda$~--- собственное число оператора $T$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор на векторном пространстве
|
||
$V$, $\lambda\in k$. Подпространство
|
||
$V_\lambda(T) = \Ker(T-\id_V\lambda)$ в $V$ называется
|
||
\dfn{собственным подпространством} оператора $T$, соответствующим
|
||
числу $\lambda$. Часто, если понятно, о каком операторе идет речь,
|
||
мы опускаем $T$ в обозначении и пишем $V_\lambda$ вместо $V_\lambda(T)$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
Нетрудно видеть, что $V_\lambda$~--- это в точности множество
|
||
всех собственных векторов оператора $T$, соответствующих $\lambda$,
|
||
вместе с $0$. Скаляр $\lambda$ является собственным числом
|
||
оператора $T$ тогда и только тогда, когда подпространство
|
||
$V_\lambda$ отлично от нулевого.
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:sum-of-eigenspaces-is-direct}
|
||
Пусть $V$~--- конечномерное пространство над полем $k$,
|
||
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор. Пусть
|
||
$\lambda_1,\dots,\lambda_m$~--- различные собственные числа
|
||
оператора $T$.
|
||
Тогда сумма $V_{\lambda_1} + \dots + V_{\lambda_m}$ прямая.
|
||
Кроме того, $\dim V_{\lambda_1} + \dots + \dim V_{\lambda_m}\leq
|
||
\dim V$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $u_1 + \dots + u_m = 0$, где $u_j\in V_{\lambda_j}$
|
||
Из линейной независимости собственных векторов
|
||
(теорема~\ref{thm:eigenvectors-are-independent})
|
||
следует, что $u_1 = \dots = u_m = 0$. Поэтому сумма
|
||
$V_{\lambda_1} + \dots + V_{\lambda_m}$ прямая.
|
||
Утверждение про размерность теперь напрямую следует из того,
|
||
что размерность прямой суммы подпространств равна сумме
|
||
их размерностей (следствие~\ref{cor:direct-sum-dimension}).
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
|
||
\subsection{Диагонализуемые операторы}\label{subsect:diagonalizable}
|
||
|
||
\literature{[K2], гл. 2, \S~3, п. 4; [KM], ч. 1, \S~8.}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Оператор $T\colon V\to V$ называется \dfn{диагонализуемым},
|
||
если его матрица относительно некоторого базиса пространства $V$
|
||
диагональна.
|
||
\end{definition}
|
||
Диагонализуемые операторы составляют важный класс операторов,
|
||
для которых задача приведения к <<наиболее удобной форме>>
|
||
решается просто (нет ничего удобнее диагональной матрицы).
|
||
Поэтому полезно уметь распознавать их.
|
||
\begin{theorem}\label{thm:diagonalizable-equivalent}
|
||
Пусть $V$~--- конечномерное векторное пространство,
|
||
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор. Пусть
|
||
$\lambda_1,\dots,\lambda_m$~--- все различные собственные числа
|
||
оператора $T$. Следующие условия эквивалентны:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item оператор $T$ диагонализуем;\label{thm:diagonalizable-equivalent-1}
|
||
\item у пространства $V$ есть базис, состоящий из собственных
|
||
векторов оператора $T$;\label{thm:diagonalizable-equivalent-2}
|
||
\item найдутся одномерные подпространства $U_1,\dots,U_n$ в $V$,
|
||
каждое из которых $T$-инвариантно, такие, что
|
||
$V = U_1\oplus\dots\oplus U_n$;\label{thm:diagonalizable-equivalent-3}
|
||
\item $V = V_{\lambda_1}(T)\oplus\dots\oplus V_{\lambda_m}(T)$;
|
||
\label{thm:diagonalizable-equivalent-4}
|
||
\item $\dim V = \dim V_{\lambda_1}(T) + \dots + \dim V_{\lambda_m}(T)$.
|
||
\label{thm:diagonalizable-equivalent-5}
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $1\Leftrightarrow 2$.
|
||
Заметим, что матрица оператора $T$ в базисе $v_1,\dots v_n$
|
||
имеет вид
|
||
$$
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
\lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\
|
||
0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
0 & 0 & \dots & \lambda_n
|
||
\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
тогда и только тогда, когда $T(v_j) = v_j\lambda_j$
|
||
для всех $j=1,\dots,n$.
|
||
\item $2\Rightarrow 3$. Предположим, что $v_1,\dots,v_n$~--- базис $V$,
|
||
и каждый вектор $v_j$~--- собственный вектор оператора $T$.
|
||
Обозначим $U_j = \la v_j\ra$. Очевидно, что каждое подпространство
|
||
$U_j$ одномерно и $T$-инвариантно. Из определения базиса
|
||
следует, что вектор из $V$ можно
|
||
единственным образом записать в виде линейной комбинации элементов
|
||
$v_1,\dots,v_n$. Иными словами любой вектор из $V$ можно единственным
|
||
образом представить в виде суммы $u_1+\dots+u_n$, где $u_j\in U_j$.
|
||
Это и значит, что $V = U_1\oplus \dots \oplus U_n$.
|
||
\item $3\Rightarrow 2$. Пусть $V=U_1\oplus\dots\oplus U_n$
|
||
для некоторых одномерных $T$-инвариантных подпространств
|
||
$U_1,\dots,U_n$. Выберем в каждом $U_j$ по ненулевому вектору
|
||
$v_j$. Из $T$-инвариантности $U_j$ следует, что $v_j$~--- собственный
|
||
вектор оператора $T$. Каждый вектор из $V$ можно единственным образом
|
||
представить в виде суммы $u_1+\dots+u_n$, где $u_j\in U_j$, то есть,
|
||
единственным образом представить в виде суммы кратных $v_j$.
|
||
Поэтому $v_1,\dots,v_n$~--- базис $V$.
|
||
\item $2\Rightarrow 4$. Пусть у $V$ есть базис, состоящий из
|
||
собственных векторов. Тогда любой вектор $V$ является линейной
|
||
комбинацией собственных, и потому
|
||
$V = V_{\lambda_1}(T) + \dots + V_{\lambda_m}(T)$.
|
||
Осталось применить предложение~\ref{prop:sum-of-eigenspaces-is-direct}.
|
||
\item $4\Rightarrow 5$. Достаточно применить
|
||
следствие~\ref{cor:direct-sum-dimension}.
|
||
\item $5\Rightarrow 2$. Выберем базис в каждом подпространстве
|
||
$V_{\lambda_j}(T)$. Собрав эти базисы вместе, получим
|
||
набор $v_1,\dots,v_n$, состоящий из собственных векторов
|
||
оператора $T$. По предположению их количество $n$ равно $\dim V$.
|
||
Покажем, что этот набор линейно независим. Предположим, что
|
||
$v_1a_1 + \dots + v_na_n = 0$ для некоторых $a_1,\dots,a_n\in k$.
|
||
Пусть $u_j$~--- сумма всех слагаемых вида $v_ka_k$, для которых
|
||
$v_k\in V_{\lambda_j}$. Тогда каждый вектор $u_j$ лежит
|
||
в $V_{\lambda_j}$, и сумма $u_1+\dots+u_m = 0$.
|
||
Из теоремы~\ref{thm:eigenvectors-are-independent} следует,
|
||
что все слагаемые этой суммы равны нулю. Но каждое слагаемое
|
||
$u_j$ является суммой элементов вида $v_ka_k$, где $v_k$ образуют
|
||
базис пространства $V_{\lambda_j}$. Поэтому все коэффициенты
|
||
$a_k$ равны нулю. Мы получили, что набор $v_1,\dots,v_n$ линейно
|
||
независим. Его можно дополнить до базиса, но, с другой стороны,
|
||
количество векторов в этом наборе уже равно размерности
|
||
пространства $V$. Поэтому $v_1,\dots,v_n$~--- базис $V$.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Пусть оператор $T$ на двумерном пространстве $k^2$ задан формулой
|
||
$v\mapsto A\cdot v$, где
|
||
$$
|
||
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
Иными словами, $A$~--- матрица оператора $T$ в стандартном
|
||
базисе пространства $k^2$.
|
||
Матрица $A$ верхнетреугольна, поэтому собственные числа оператора
|
||
$T$~--- это ее диагональные элементы. Таким образом, у $T$
|
||
есть ровно одно собственное число: $0$. Несложное вычисление показывает,
|
||
что все собственные векторы имеют вид $\begin{pmatrix} * \\ 0\end{pmatrix}$. Поэтому у $k^2$ нет базиса, состоящего из собственных
|
||
векторов, а значит, оператор $T$ не диагонализуем.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
Таким образом, не любой оператор можно привести к диагональному виду.
|
||
Но, во всяком случае, это возможно, если у оператора достаточно
|
||
много различных собственных чисел.
|
||
\begin{corollary}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор на $n$-мерном векторном
|
||
пространстве $V$. Предположим, что у $T$ есть $n$ различных
|
||
собственных чисел. Тогда оператор $T$ диагонализуем.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
У оператора $T$ есть $n$ собственных векторов $v_1,\dots,v_n$,
|
||
соответствующих различным собственным числам.
|
||
По теореме~\ref{thm:eigenvectors-are-independent} они
|
||
линейно независимы. Но их количество равно размерности пространства
|
||
$V$, и потому они образуют базис $V$. По
|
||
теореме~\ref{thm:diagonalizable-equivalent}
|
||
из этого следует, что $T$ диагонализуем.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Корневое разложение}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XII, \S~6, п. 2; [K2], гл. 2, \S~4, п. 3; [KM], ч. 1, \S~9.}
|
||
|
||
|
||
Для нахождения правильного базиса в пространстве $V$ нам понадобится
|
||
некоторое расширение понятия собственного вектора.
|
||
Напомним, что собственные векторы~--- это в точности ненулевые
|
||
элементы $\Ker(T-\id_V\lambda)$. Посмотрим теперь
|
||
на $\Ker(T-\id_V\lambda)^j$ при различных $j=1,2,\dots$.
|
||
\begin{lemma}\label{lemma:series-of-kernels}
|
||
Для любого оператора $T\colon V\to V$ имеется
|
||
возрастающая цепочка вложенных подпространств
|
||
$$
|
||
0 = \Ker(T^0) \leq \Ker(T) \leq \Ker(T^2) \leq \Ker(T^3) \leq \dots.
|
||
$$
|
||
Более того, если $\Ker(T^j) = \Ker(T^{j+1})$ для некоторого
|
||
натурального $j$, то $\Ker(T^{j+m})=\Ker(T^{j+m+1})$ для всех $m\geq0$.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $v\in\Ker(T^i)$. Это значит, что $T^i(v)=0$.
|
||
Но тогда и $T^{i+1}(v)=T(T^i(v)) = T(0)=0$.
|
||
Мы показали, что $\Ker(T^i)\subseteq\Ker(T^{i+1})$.
|
||
Докажем второе утверждение индукцией по $m$. База $m=0$ очевидна.
|
||
Пусть теперь $m>0$. Мы уже знаем, что $\Ker(T^{j+m})\subseteq
|
||
\Ker(T^{j+m+1})$; осталось доказать обратное включение.
|
||
Пусть $v\in\Ker(T^{j+m+1})$. Это означает, что
|
||
$T^{j+m+1}(v)=0$. Но $T^{j+m+1}(v) = T^{j+1}(T^m(v)) = 0$.
|
||
Поэтому $T^m(v)\in\Ker(T^{j+1}) = \Ker(T^j)$,
|
||
и тогда $0 = T^j(T^m(v)) = T^{j+m}(v)$, и поэтому
|
||
$v\in\Ker(T^{j+m})$, что и требовалось.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Итак, мы построили бесконечную цепочку возрастающих подпространств
|
||
и показали, что если два элемента в ней совпали, то начиная
|
||
с этого места цепочка <<стабилизируется>>.
|
||
В конечномерном пространстве $V$, разумеется, невозможна
|
||
бесконечная цепочка {\em строго} возрастающих подпространств.
|
||
\begin{proposition}\label{prop:nilpotence-degree-is-bounded}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор на конечномерном
|
||
пространстве $V$, и $\dim(V) = n$. Тогда
|
||
$\Ker(T^n) = \Ker(T^{n+1}) = \dots = \Ker(T^{n+j}) = \dots$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Предположим, что $\Ker(T^n)\neq\Ker(T^{n+1})$.
|
||
Посмотрим на включение $\Ker(T^0)\leq\Ker(T)$.
|
||
Если в нем имеет место равенство, то
|
||
(по лемме~\ref{lemma:series-of-kernels}) и $\Ker(T^n)=\Ker(T^{n+1})$.
|
||
Значит, $\Ker(T^0)\neq \Ker(T)$. Аналогично,
|
||
$$
|
||
\Ker(T)\neq\Ker(T^2)\neq\Ker(T^3)\neq\dots\neq\Ker(T^n)\neq\Ker(T^{n+1}).
|
||
$$
|
||
Но тогда $\dim(\Ker(T))\geq 1$, $\dim(\Ker(T^2))\geq 2$, \dots,
|
||
$\dim(\Ker(T^{n+1})) \geq n+1$. Но $\Ker(T^{n+1})$~--- подпространство
|
||
в $V$, и не может иметь размерность, большую $n$.
|
||
Получили противоречие.
|
||
Мы показали, что $\Ker(T^n) = \Ker(T^{n+1})$, а
|
||
по лемме~\ref{lemma:series-of-kernels} из этого следует
|
||
и равенство всех следующих подпространств в нашей цепочке.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Следующее предложение оказывается ключом к разложению пространства
|
||
в прямую сумму подпространств, на каждом из которых
|
||
ситуацию проще исследовать.
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:ker-im-direct-sum}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор на пространстве
|
||
размерности $n$. Тогда
|
||
$V = \Ker(T^n)\oplus\Img(T^n)$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Покажем сначала, что $\Ker(T^n)\cap\Img(T^n) = 0$.
|
||
Действительно, пусть $v\in\Ker(T^n)\cap\Img(T^n)$.
|
||
Тогда $v = T^n(u)$; с другой стороны, $T^n(v) = T^n(T^n(u))=0$.
|
||
Поэтому $u\in\Ker(T^{2n}) = \Ker(T^n)$ (по
|
||
предложению~\ref{prop:nilpotence-degree-is-bounded}), откуда
|
||
$v = T^n(u) = 0$.
|
||
|
||
Мы показали, что сумма $\Ker(T^n) + \Img(T^n)\leq V$ прямая.
|
||
По следствию~\ref{cor:direct-sum-dimension}
|
||
тогда $\dim(\Ker(T^n)+\Img(T^n)) = \dim\Ker(T^n)
|
||
+\dim\Img(T^n)$. По теореме
|
||
о гомоморфизме~\ref{thm:homomorphism-linear} эта сумма
|
||
размерностей равна $\dim V$,
|
||
и потому $\Ker(T^n)\oplus\Img(T^n) = V$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Выше мы разобрались с диагональными операторами за счет того,
|
||
что для них имеет место разложение в прямую сумму
|
||
инвариантных $T$-подпространств вида
|
||
$V = V_{\lambda_1}\oplus\dots\oplus V_{\lambda_m}$,
|
||
где $\lambda_1,\dots,\lambda_m$~--- все различные собственные числа
|
||
оператора $T$. Сейчас мы покажем, что для произвольного оператора
|
||
имеет место аналогичное разложение, если собственные
|
||
подпространства заменить на чуть большие
|
||
{\em корневые}.
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор,
|
||
и $\lambda\in k$~--- его собственное число.
|
||
Ненулевой вектор $v\in V$ называется \dfn{корневым вектором}
|
||
оператора $T$, соответствующим собственному числу $\lambda$,
|
||
если $(T-\id_V\lambda)^j(v) = 0$ для некоторого натурального $j$.
|
||
\end{definition}
|
||
\begin{remark}\label{rem:gen-eigen-is-a-subspace}
|
||
Предположим, что $(T-\id_V\lambda)^j(v) = 0$ для некоторого
|
||
$j$. По предложению~\ref{prop:nilpotence-degree-is-bounded}
|
||
тогда и $(T-\id_V\lambda)^n(v) = 0$, где $n = \dim(V)$.
|
||
Поэтому корневые векторы~--- это на самом деле в точности
|
||
ненулевые элементы $\Ker(T - \id_V\lambda)^n$.
|
||
\end{remark}
|
||
\begin{definition}
|
||
Множество всех корневых векторов оператора $T$, соответствующих
|
||
собственному числу $\lambda$, вместе с нулем, называется
|
||
\dfn{корневым подпространством} и обозначается через $V(\lambda,T)$.
|
||
Зачастую из контекста понятно, о каком операторе
|
||
идет речь, и мы пишем $V(\lambda)$ вместо $V(\lambda,T)$.
|
||
По замечанию~\ref{rem:gen-eigen-is-a-subspace} это действительно
|
||
подпространство: $V(\lambda,T) = \Ker(T - \id_V\lambda)^n$,
|
||
где $n = \dim(V)$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{theorem}\label{thm:gen-eigenvectors-are-independent}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор,
|
||
$\lambda_1,\dots,\lambda_m$~--- его попарно различные собственные
|
||
числа, $v_1,\dots,v_m$~--- соответствующие им корневые векторы.
|
||
Тогда $v_1,\dots,v_m$ линейно независимы.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Предположим, что $v_1,\dots,v_m$ линейно зависимы. По
|
||
лемме~\ref{lemma:linear-dependence-lemma} найдется индекс
|
||
$j$ такой, что $v_j = v_1a_1 + \dots + v_{j-1}a_{j-1}$
|
||
для некоторых $a_1,\dots,a_{j-1}\in k$. Выберем наименьшее
|
||
такое $j$.
|
||
Вектор $v_j$ является корневым, соответствующим собственному числу
|
||
$\lambda_j$. Возьмем наименьшую степень $d$
|
||
оператора $(T-\id_V\lambda_j)$, которая не переводит этот вектор в $0$.
|
||
Иными словами, пусть $(T-\id_V\lambda_j)^d(v_j)\neq 0$
|
||
и $(T-\id_V\lambda_j)^{d+1}(v_j) = 0$.
|
||
Обозначим $(T-\id_V\lambda_j)^d(v_j) = w$.
|
||
Тогда $(T-\id_V\lambda_j)(w) = 0$, и поэтому $Tw = w\lambda_j$.
|
||
Более того, $(T-\id_V\lambda)(w) = T(w) - w\lambda
|
||
= w(\lambda_j - \lambda)$ для всех $\lambda\in k$.
|
||
Поэтому $(T-\id_V\lambda)^k(w) = w(\lambda_i-\lambda)^k$
|
||
для всех натуральных $k$.
|
||
|
||
Пусть $\dim V = n$.
|
||
Применим к нашей линейной зависимости оператор
|
||
$(T-\id_V\lambda_1)^n\dots(T-\id_V\lambda_{j-1})^n(T-\id_V\lambda_j)^d$.
|
||
В левой части получим
|
||
$$
|
||
(T-\id_V\lambda_1)^n\dots(T-\id_V\lambda_{j-1})^n(T-\id_V\lambda_j)^d(v_j).
|
||
$$
|
||
Сначала к вектору $v_j$ применяется оператор $(T-\id_V\lambda_j)^d$,
|
||
и получается вектор $w$, а потом применяются по очереди
|
||
операторы вида $(T-\id_V\lambda_i)^n$ для $i\neq j$.
|
||
Но выше мы выяснили, как они действуют: такой оператор
|
||
просто умножает $w$ на $(\lambda_j - \lambda_i)^n$.
|
||
Поэтому результат равен
|
||
$(\lambda_j-\lambda_1)^n\dots(\lambda_j-\lambda_{j-1})^n w$
|
||
и отличен от нуля.
|
||
|
||
В правой же части происходит следующее: при вычислении
|
||
действия оператора $(T-\id_V\lambda_1)^n\dots(T-\id_V\lambda_{j-1})^n
|
||
(T-\id_V\lambda_j)^d$ на $v_i$ (где $1\leq i\leq j-1$)
|
||
можно переставить скобки так, чтобы сначала действовала
|
||
скобка $(T-\id_V\lambda_i)^n$. Но $(T-\id_V\lambda_i)^n(v_i) = 0$
|
||
по определению корневого вектора. Поэтому каждое слагаемое
|
||
в правой части равно нулю.
|
||
Мы получили, что ненулевой вектор равен нулевому; это противоречие,
|
||
которое завершает доказательство.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{lemma}\label{lemma:poly-ker-and-im-are-invariant}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор,
|
||
$p\in k[x]$~--- многочлен. Тогда подпространства
|
||
$\Ker(p(T))$ и $\Img(p(T))$ $T$-инвариантны.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $v\in\Ker(p(T))$, то есть, $p(T)(v)=0$.
|
||
Тогда
|
||
$$
|
||
p(T)(T(v)) = (p(T)\cdot T)(v) = (T\cdot p(T))(v) = T(p(T)(v))
|
||
= T(0) = 0.
|
||
$$
|
||
Мы получили, что $T(v)\in\Ker(p(T))$, и потому $\Ker(p(T))$
|
||
действительно $T$-инвариантно.
|
||
|
||
Пусть теперь $v\in\Img(p(T))$, то есть,
|
||
$v = p(T)(u)$ для некоторого $u\in V$.
|
||
Тогда $T(v) = T(p(T)(u)) = p(T)(T(u)) \in\Img(p(T))$,
|
||
что и требовалось.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Теперь мы готовы показать, что пространство раскладывается
|
||
в прямую сумму корневых.
|
||
Для этого нам понадобится следующее определение.
|
||
\begin{definition}
|
||
Линейный оператор $T\colon V\to V$ называется \dfn{нильпотентным},
|
||
если $T^j=0$ для некоторого натурального $j$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{theorem}\label{thm:root-space-decomposition}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор на конечномерном
|
||
пространстве $V$ над алгебраически замкнутым полем $k$,
|
||
$\lambda_1,\dots,\lambda_m$~--- все его (попарно различные)
|
||
собственные числа. Тогда
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $V = V(\lambda_1,T) \oplus \dots \oplus V(\lambda_m,T)$;
|
||
\item каждое из подпространств $V(\lambda_j,T)$ является
|
||
$T$-инвариантным;
|
||
\item оператор $(T-\id_V\lambda_j)|_{V(\lambda_j,T)}$ на
|
||
корневом подпространстве $V(\lambda_j,T)$ нильпотентен.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $\dim(V) = n$.
|
||
Заметим сначала, что $V(\lambda_j,T) = \Ker(T-\id_V\lambda_j)^n$,
|
||
и его $T$-инвариантность следует из
|
||
леммы~\ref{lemma:poly-ker-and-im-are-invariant}, примененной
|
||
к многочлену $p(x) = (x-\lambda_j)^n$.
|
||
|
||
Далее, если $v\in V(\lambda_j,T)$, то $(T-\id_V\lambda_j)^n(v) = 0$.
|
||
Поэтому оператор $(T-\id_V\lambda_j)^n$ тождественно равен $0$
|
||
на подпространстве $V(\lambda_j,T)$, откуда следует нильпотентность
|
||
оператора $(T-\id_V\lambda_j)|_{V(\lambda_j,T)}$.
|
||
|
||
Осталось показать, что $V$ раскладывается в прямую сумму корневых.
|
||
Будем доказывать это индукцией по $n$. Случай $n=1$ очевиден.
|
||
Пусть теперь $n>1$, и нужный результат верен для всех пространств
|
||
меньшей размерности.
|
||
По предложению~\ref{prop:operator-has-an-eigenvalue}
|
||
у $T$ есть собственное число; поэтому $m\geq 1$.
|
||
По лемме~\ref{prop:ker-im-direct-sum}
|
||
тогда $V = \Ker(T-\id_V\lambda_1)^n \oplus \Img(T-\id_V\lambda_1)^n$.
|
||
Первое подпространство в прямой сумме~--- это в точности
|
||
$V(\lambda_1,T)$, а второе давайте обозначим через $U$.
|
||
Пространство $V(\lambda_1,T)$ нетривиально, и потому
|
||
размерность $U$ строго меньше размерности $V$.
|
||
Кроме того, подпространство $U$ является $T$-инвариантным по
|
||
лемме~\ref{lemma:poly-ker-and-im-are-invariant}.
|
||
Значит, к оператору $T|_U$, действующему на пространстве $U$,
|
||
можно применить предположение индукции, и получить, что
|
||
$$
|
||
U = V(\mu_1,T|_U)\oplus\dots \oplus V(\mu_k,T|_U),
|
||
$$
|
||
где $\mu_1,\dots,\mu_k$~--- собственные числа оператора
|
||
$T|_U$. Покажем, что любое собственное число $\lambda$ оператора $T|_U$
|
||
является и собственным числом оператора $T$. Действительно,
|
||
если $T|_U(u)=u\lambda$ для некоторого ненулевого вектора $u\in U$,
|
||
то и $T(u) = u\lambda$. Заметим также, что у оператора $T|_U$
|
||
не может быть собственного числа $\lambda_1$:
|
||
если $T|_U(u)=u\lambda_1$ то $T(u) = u\lambda_1$, и потому
|
||
$u\in \Ker(T-\id_V\lambda_1)^n$, и из разложения в прямую сумму
|
||
$V = \Ker(T-\id_V\lambda_1)^n\oplus U$ следует, что $u=0$.
|
||
|
||
Мы получили, что $\mu_1,\dots,\mu_k$~--- это какие-то из чисел
|
||
$\lambda_2,\dots,\lambda_m$. Возьмем какое-нибудь одно из
|
||
$\mu_1,\dots,\mu_k$; пусть это $\lambda_j$.
|
||
Несложно понять, что $V(\lambda_j,T|_U) \leq V(\lambda_j,T)$:
|
||
действительно, если $u\in U$~--- корневой вектор для собственного
|
||
числа $\lambda_j$ оператора $T|_U$, то тем более
|
||
$u$ является корневым вектором для собственного числа $\lambda_j$
|
||
оператора $T$.
|
||
|
||
Вернемся к общей картине.
|
||
По теореме~\ref{thm:gen-eigenvectors-are-independent}
|
||
сумма корневых подпространств прямая; получаем,
|
||
что $V(\lambda_1,T)\oplus\dots V(\lambda_m,T)\leq V$.
|
||
С другой стороны, мы показали, что $V = V(\lambda_1,T)\oplus U$,
|
||
и $U$ раскладывается в прямую сумму слагаемых, каждое из которых
|
||
содержится в каком-то $V(\lambda_j,T)$.
|
||
Поэтому
|
||
\begin{align*}
|
||
V &= V(\lambda_1,T)\oplus U \\
|
||
&= V(\lambda_1,T)\oplus V(\mu_1,T|_U)\oplus\dots\oplus V(\mu_k,T|_U) \\
|
||
&\leq V(\lambda_1,T)\oplus V(\lambda_2,T)\oplus \dots \oplus V(\lambda_m,T),
|
||
\end{align*}
|
||
и мы получили включение в обратную сторону.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{corollary}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор на конечномерном
|
||
пространстве $V$ над алгебраически замкнуты м полем $k$.
|
||
Тогда у пространства $V$ есть базис, состоящий из корневых векторов
|
||
оператора $T$.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
Выберем базисы в каждом из подпространств вида $V(\lambda_j,T)$
|
||
и объединим их.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Характеристический и минимальный многочлены}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над алгебраически замкнутым полем $k$,
|
||
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор, $\lambda\in k$~--- его собственное число.
|
||
Размерность соответствующего корневого подпространства $V(\lambda,T)$
|
||
называется \dfn{кратностью собственного числа $\lambda$}.
|
||
Иными словами, кратность собственного числа $\lambda$ оператора $T$
|
||
равна $\dim(\Ker(T-\id_V\lambda)^{\dim(V)})$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
Иногда то, что мы называем кратностью, в литературе называется
|
||
{\em алгебраической кратностью}, в то время как размерность собственного подпространства
|
||
$V_\lambda(T)$ называется {\em геометрической кратностью} $\lambda$.
|
||
После этого доказывается теорема о том, что геометрическая кратность не превосходит
|
||
алгебраической кратности, которая при наших определениях очевидна
|
||
(собственное подпространство содержится в корневом).
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\begin{corollary}\label{cor:sum-of-multiplicities}
|
||
Сумма кратностей всех собственных чисел оператора $T\colon V\to V$ равна $\dim(V)$.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
Тривиально следует из теоремы~\ref{thm:root-space-decomposition}
|
||
и следствия~\ref{cor:direct-sum-dimension}.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над алгебраически замкнутым полем $k$,
|
||
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор. Пусть $\lambda_1,\dots,\lambda_m$~--- все его
|
||
[попарно различные] собственные числа, а $d_1,\dots,d_m$~--- их кратности, соответственно.
|
||
Многочлен $(x-\lambda_1)^{d_1}\dots(x-\lambda_m)^{d_m}$ называется
|
||
\dfn{характеристическим многочленом} оператора $T$.
|
||
\end{definition}
|
||
\begin{proposition}\label{prop:degree-and-roots-of-char-poly}
|
||
Степень характеристического многочлена оператора $T\colon V\to V$ равна $\dim(V)$,
|
||
а его корни~--- в точности собственные числа оператора $T$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Очевидно из определения и следствия~\ref{cor:sum-of-multiplicities}.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{theorem}[Гамильтона--Кэли]\label{thm:cayley-hamilton}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над алгебраически замкнутым полем $k$,
|
||
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор, $q\in k[x]$~--- его характеристический многочлен.
|
||
Тогда $q(T) = 0$.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $\lambda_1,\dots,\lambda_m$~--- все собственные числа оператора $T$,
|
||
а $d_1,\dots,d_m$~--- их кратности. По теореме~\ref{thm:root-space-decomposition}
|
||
ограничения вида $(T-\id_V\lambda_j)|_{V(\lambda_j,T)}$ нильпотентны,
|
||
а по предложению~\ref{prop:nilpotence-degree-is-bounded} тогда
|
||
$(T-\id_V\lambda_j)^{d_j}|_{V(\lambda_j,T)} = 0$.
|
||
|
||
Любой вектор из $V$ является суммой векторов из $V(\lambda_1,T),\dots,V(\lambda_m,T)$
|
||
(по теореме~\ref{thm:root-space-decomposition}), поэтому достаточно доказать,
|
||
что $q(T)(v_j)=0$ для любого $v_j\in V(\lambda_j,T)$.
|
||
По определению
|
||
$$
|
||
q(T) = (T-\id_V\lambda_1)^{d_1}\dots (T-\id_V\lambda_m)^{d_m}.
|
||
$$
|
||
Операторы в правой части являются многочленами от оператора $T$, и потому коммутируют
|
||
друг с другом. Переставим их так, чтобы множитель $(T-\id_V\lambda_j)^{d_j}$ оказался
|
||
последним. Но $(T-\id_V\lambda_j)^{d_j}(v_j)=0$, и потому $q(T)(v_j)=0$,
|
||
что и требовалось.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{definition}\label{dfn:minimal-polynomial}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор на векторном пространстве $V$.
|
||
Многочлен $p\in k[x]$ минимальной степени со старшим коэффициентом $1$,
|
||
для которого $p(T)=0$, называется \dfn{минимальным многочленом} оператора $T$.
|
||
Иными словами, многочлен $p\in k[x]$ со старшим коэффициентом $1$ называется
|
||
минимальным многочленом оператора $T$, если
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $p(T)=0$;
|
||
\item если $f\in k[x]$~--- многочлен со старшим коэффициентом $1$, для
|
||
которого $f(T)=0$, то $\deg f\geq \deg p$.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
Покажем, что это определение осмысленно: у каждого оператора $T$
|
||
(на конечномерном пространстве $V$) существует единственный
|
||
минимальный многочлен. Пусть $\dim(V)=n$.
|
||
Рассмотрим множество операторов $\id_V,T,T^2,\dots,T^{n^2}$. В нем
|
||
$n^2+1$ элемент, в то время как размерность пространства всех
|
||
линейных операторов на $V$ равна $n^2$
|
||
(по следствию~\ref{cor:dim-of-hom-space}). Значит, указанный набор
|
||
операторов линейно зависим. Выберем минимальное $m$, для которого
|
||
операторы $\id_V,T,T^2,\dots,T^m$ линейно зависимы. Тогда
|
||
$T^m$ выражается через $\id_V,T,T^2,\dots,T^{m-1}$:
|
||
$$
|
||
T^m = \id_V a_0 + Ta_1 + \dots + T^{m-1}a_{m-1}
|
||
$$
|
||
для некоторых $a_0,\dots,a_{m-1}\in k$.
|
||
Пусть $p\in k[x]$~--- следующий многочлен:
|
||
$$
|
||
p = x^m - a_{m-1}x^{m-1} - \dots - a_1x - a_0.
|
||
$$
|
||
Тогда $p(T)=0$. Предположим, что $f$~--- еще один многочлен той же степени
|
||
$m$ со старшим коэффициентом $1$, для которого $f(T)=0$.
|
||
Тогда многочлен $f-p$ имеет меньшую степень, но
|
||
$(f-p)(T) = f(T) - p(T) = 0$, что противоречит выбору $m$.
|
||
|
||
Следующее предложение полностью описывает многочлены $f\in k[x]$, для которых
|
||
$f(T) = 0$.
|
||
\begin{proposition}\label{prop:minimal-divides-annuling}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор, $f\in k[x]$~--- некоторый
|
||
многочлен.
|
||
Равенство $f(T)=0$ равносильно тому, что $f$ делится на минимальный
|
||
многочлен оператора $T$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $p$~--- минимальный многочлен оператора $T$. Если $f$ делится на $p$,
|
||
то есть, $f=pq$ для некоторого многочлена $q\in k[x]$,
|
||
то $f(T) = p(T)q(T) = 0$.
|
||
Обратно, если $f(T)=0$, поделим с остатком $f$ на $p$:
|
||
$f = pq+r$ для $q,r\in k[x]$, причем $\deg(r) < \deg(p)$.
|
||
Но $r(T) = f(T)-p(T)q(T) = 0$, что противоречит минимальности
|
||
многочлена $p$.
|
||
\end{proof}
|
||
\begin{corollary}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над алгебраически замкнутым полем $k$,
|
||
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор.
|
||
Тогда характеристический многочлен оператора $T$ делится на его
|
||
минимальный многочлен.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
Немедленно следует из теоремы Гамильтона--Кэли~\ref{thm:cayley-hamilton}
|
||
и предложения~\ref{prop:minimal-divides-annuling}.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:roots-of-minuimal-are-eigenvalues}
|
||
Пусть $T$~--- линейный оператор на $V$. Корни минимального многочлена
|
||
оператора $T$~--- это в точности все собственные числа этого оператора.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $p$~--- минимальный многочлен оператора $T$.
|
||
Если $\lambda\in k$~--- корень $p$, то $p(x) = (x-\lambda)q$
|
||
для некоторого многочлена $q\in k[x]$ со старшим коэффициентом $1$.
|
||
Из равенства $p(T)$ следует, что
|
||
$(T-\id_V\lambda)(q(T)(v))=0$ для всех $v\in V$.
|
||
Заметим, что степень $q$ меньше степени минимального многочлена оператора $T$,
|
||
и потому $q(T)\neq 0$. Поэтому найдется вектор $v\in V$, для которого
|
||
$q(T)(v)\neq 0$. Но тогда равенство $(T-\id_V\lambda)(q(T)(v))=0$ означает,
|
||
что $\lambda$~--- собственное число оператора $T$, а $q(T)(v)$~---
|
||
соответствующий ему собственный вектор.
|
||
|
||
Обратно, пусть $\lambda\in k$~--- собственное число оператора $T$.
|
||
Тогда найдется ненулевой вектор $v\neq 0$, для которого
|
||
$T(v) = \lambda v$. Применяя несколько раз $T$ к обеим частям этого равенства,
|
||
получаем, что $T^j(v) = \lambda^j v$ для всех $j\geq 0$.
|
||
Поэтому $p(T)(v)= p(\lambda)(v)$; с другой стороны, $p(T)(v)=0$.
|
||
При этом вектор $v$ отличен от нуля, значит, $p(\lambda)=0$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Жорданов базис для нильпотентного оператора}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XII, \S~6, пп. 2--4; [K2], гл. 2, \S~4, пп. 4--6; [KM], ч. 1, \S~9; [vdW], гл. XII, \S\S~88, 89.}
|
||
|
||
Напомним, что по теореме~\ref{thm:root-space-decomposition} изучение
|
||
оператора $T$ сводится к изучению нильпотентных операторов.
|
||
Теперь мы готовы построить хороший базис для нильпотентного оператора.
|
||
\begin{theorem}\label{thm:jordan-basis-nilpotent}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над полем $k$,
|
||
$N\colon V\to V$~--- нильпотентный оператор.
|
||
Тогда найдутся векторы $v_1,\dots,v_s\in V$ и натуральные числа
|
||
$m_1,\dots,m_s$ такие, что
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item векторы
|
||
\begin{align*}
|
||
& N^{m_1}(v_1),\dots,N(v_1),v_1, \\
|
||
& N^{m_2}(v_2),\dots,N(v_2),v_2, \\
|
||
& \dots \\
|
||
& N^{m_s}(v_s),\dots,N(v_s),v_s
|
||
\end{align*}
|
||
образуют базис $V$;
|
||
\item $N^{m_1+1}(v_1) = \dots = N^{m_s+1}(v_s)=0$.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{remark}\label{rem:jordan-basis-scheme}
|
||
Полученный базис удобно схематично изображать в виде ориентированного
|
||
графа, вершины которого символизируют векторы базиса, а ребра
|
||
выражают действие оператора $N$. Набор
|
||
$N^{m_1}(v_1),\dots,N(v_1),v_1$ тогда представляется в виде
|
||
цепочки из $m_1+1$ вершины:
|
||
$$
|
||
\begin{tikzpicture}[every label/.style={font=\scriptsize}]
|
||
\coordinate [label=right:{$N^{m_1}(v_1)$}] (1) at (0,10);
|
||
\coordinate [label=right:{$N^{m_1-1}(v_1)$}] (2) at (0,9);
|
||
\coordinate [label=right:{$N(v_1)$}] (3) at (0,7);
|
||
\coordinate [label=right:{$v_1$}] (4) at (0,6);
|
||
\draw [-{Stealth}] (1)--($(0,9)+(0,0.05)$);
|
||
\draw [-{Stealth}] (3)--($(0,6)+(0,0.05)$);
|
||
\draw (0,9)--(0,8.5);
|
||
\draw [-{Stealth}] (0,7.5)--(0,7.05);
|
||
\coordinate (dot1) at (0,8.2);
|
||
\coordinate (dot2) at (0,8);
|
||
\coordinate (dot3) at (0,7.8);
|
||
\foreach \point in {dot1,dot2,dot3} {
|
||
\fill [black] (\point) circle (1pt);
|
||
}
|
||
\foreach \point in {1,2,3,4} {
|
||
\fill [black] (\point) circle (2pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
$$
|
||
Очевидно, что подпространство, порожденное векторами из одной такой цепочки,
|
||
$N$-инвариантно. Матрица ограничения оператора $N$ на это подпространство
|
||
(в этом базисе) имеет размер $(m_1+1)\times (m_1+1)$ и выглядит так:
|
||
$$
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\
|
||
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
|
||
0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\
|
||
0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\
|
||
\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
Базис, о котором идет речь в теореме~--- набор из
|
||
$s$ таких цепочек (возможно, разной длины). Матрица оператора $N$
|
||
в таком базисе, стало быть, имеет блочно-диагональный вид,
|
||
и на диагонали стоят блоки указанного вида.
|
||
\end{remark}
|
||
\begin{proof}[Доказательство теоремы~\ref{thm:jordan-basis-nilpotent}]
|
||
Будем доказывать теорему индукцией по размерности пространства $V$.
|
||
Случай $\dim(V)=1$ тривиален: нильпотентный оператор на одномерном
|
||
пространстве должен быть нулевым, и мы можем положить $s=1$, выбрать
|
||
любой ненулевой вектор $v_1\in V$ и $m_1=0$.
|
||
|
||
Пусть теперь $\dim(V)>1$. Рассмотрим подпространство $\Img(N)\leq V$.
|
||
Если оно совпадает с $V$, то оператор $N$ обратим, что противоречит
|
||
его нильпотентности. Поэтому $\Img(N)$~--- подпространство в $V$
|
||
меньшей размерности.
|
||
Если случилось так, что $\Img(N)$~--- нулевое пространство, то
|
||
оператор $N$ нулевой, и потому можно выбрать произвольный базис
|
||
$v_1,\dots,v_s$ пространства $V$ и положить $m_1=\dots=m_s=0$;
|
||
на этом доказательство заканчивается.
|
||
|
||
Если же $\Img(N)\neq 0$, то к нему можно применить предположение индукции.
|
||
Значит, мы можем выбрать векторы $v_1,\dots,v_s\in\Img(N)$ и натуральные числа
|
||
$m_1,\dots,m_s$ так, что заключение теоремы выполнено (для подпространства
|
||
$\Img(N)$). Для каждого вектора $v_i\in\Img(N)$ можно выбрать
|
||
$u_i\in V$ так, что $v_i=N(u_i)$. Переписав заключение теоремы в терминах
|
||
векторов $u_i$, получаем, что набор
|
||
\begin{align*}
|
||
& N^{m_1+1}(u_1),\dots,N^2(u_1),N(u_1), \\
|
||
& N^{m_2+1}(u_2),\dots,N^2(u_2),N(u_2), \\
|
||
& \dots \\
|
||
& N^{m_s+1}(u_s),\dots,N^2(u_s),N(u_s)
|
||
\end{align*}
|
||
образует базис пространства $\Img(N)$,
|
||
в то время как $N^{m_1+2}(u_1) = \dots = N^{m_s+2}(u_s) = 0$.
|
||
Какие же векторы можно добавить, чтобы получить базис всего пространства
|
||
$V$, имеющий нужный вид <<цепочек>> векторов?
|
||
Первое предположение~--- попытаться добавить векторы $u_1,\dots,u_s$.
|
||
Покажем, что полученный набор
|
||
\begin{align*}
|
||
& N^{m_1+1}(u_1),\dots,N^2(u_1),N(u_1),u_1, \\
|
||
& N^{m_2+1}(u_2),\dots,N^2(u_2),N(u_2),u_2, \\
|
||
& \dots \\
|
||
& N^{m_s+1}(u_s),\dots,N^2(u_s),N(u_s),u_s
|
||
\end{align*}
|
||
будет линейно зависим.
|
||
Действительно, рассмотрим линейную комбинацию этих векторов, равную нулю.
|
||
Подействуем на эту линейную комбинацию оператором $N$.
|
||
Мы получим линейную комбинацию векторов
|
||
\begin{align*}
|
||
& N^{m_1+2}(u_1),\dots,N^2(u_1),N(u_1), \\
|
||
& N^{m_2+2}(u_2),\dots,N^2(u_2),N(u_2), \\
|
||
& \dots \\
|
||
& N^{m_s+2}(u_s),\dots,N^2(u_s),N(u_s),
|
||
\end{align*}
|
||
однако, мы знаем, что векторы $N^{m_1+2}(u_1),\dots,N^{m_s+2}(u_s)$
|
||
равны нулю. Поэтому остается линейная комбинация в точности тех векторов,
|
||
про которые мы знаем, что они образуют базис $\Img(N)$.
|
||
Разумеется, из этого следует, что все коэффициенты в ней равны нулю.
|
||
Возвращаясь к исходной линейной комбинации, видим, что все коэффициенты
|
||
в ней, кроме, возможно, коэффициентов при векторах
|
||
$N^{m_1+1}(u_1),\dots,N^{m_s+1}(u_s)$, равны нулю.
|
||
Но тогда остается линейная комбинация, состоящая только из указанных
|
||
векторов, равная нулю. Эти векторы тоже входят в состав выбранного
|
||
по предположению индукции базиса $\Img(N)$, и потому линейно независимы.
|
||
Значит, и коэффициенты при них в исходной линейной комбинации также равны нулю.
|
||
|
||
Итак, мы показали, что векторы
|
||
\begin{align*}
|
||
& N^{m_1+1}(u_1),\dots,N^2(u_1),N(u_1),u_1, \\
|
||
& N^{m_2+1}(u_2),\dots,N^2(u_2),N(u_2),u_2, \\
|
||
& \dots \\
|
||
& N^{m_s+1}(u_s),\dots,N^2(u_s),N(u_s),u_s
|
||
\end{align*}
|
||
линейно независимы. Образуют ли они базис пространства $V$? Вообще говоря,
|
||
не обязательно. Поэтому дополним их как-нибудь векторами $w_1,\dots,w_t$
|
||
до базиса $V$. Это еще не нужный нам базис пространства $V$: нужно его
|
||
слегка подправить. Заметим, что $N(w_j)\in\Img(N)$ для всех $j$,
|
||
и потому $N(w_j)$ является линейной комбинацией векторов
|
||
\begin{align*}
|
||
& N^{m_1+1}(u_1),\dots,N^2(u_1),N(u_1), \\
|
||
& N^{m_2+1}(u_2),\dots,N^2(u_2),N(u_2), \\
|
||
& \dots \\
|
||
& N^{m_s+1}(u_s),\dots,N^2(u_s),N(u_s),
|
||
\end{align*}
|
||
образующих, как мы знаем, базис пространства $\Img(N)$.
|
||
Каждая такая линейная комбинация, очевидно, имеет вид $N(x_j)$, где $x_j$~---
|
||
линейная комбинация векторов
|
||
\begin{align*}
|
||
& N^{m_1}(u_1),\dots,N(u_1),u_1, \\
|
||
& N^{m_2}(u_2),\dots,N(u_2),u_2, \\
|
||
& \dots \\
|
||
& N^{m_s}(u_s),\dots,N(u_s),u_s.
|
||
\end{align*}
|
||
Мы нашли векторы $x_j\in V$ такие, что $N(w_j) = N(x_j)$.
|
||
Положим $u_{s+j} = w_j - x_j$.
|
||
Теперь мы утверждаем, что векторы
|
||
\begin{align*}
|
||
& N^{m_1+1}(u_1),\dots,N^2(u_1),N(u_1),u_1, \\
|
||
& \dots \\
|
||
& N^{m_s+1}(u_s),\dots,N^2(u_s),N(u_s),u_s, \\
|
||
& u_{s+1}, \\
|
||
& \dots \\
|
||
& u_{s+t}
|
||
\end{align*}
|
||
образуют нужный нам базис пространства $V$.
|
||
Напомним, что мы стартовали с базиса, в котором вместо
|
||
векторов $u_{s+j}$ были векторы $w_j$, и вычли из каждого $w_j$
|
||
некоторую линейную комбинацию $x_j$ предыдущих векторов из того же базиса.
|
||
Нетрудно видеть, что такая замена обратима, и потому полученный набор
|
||
векторов также будет базисом пространства $V$.
|
||
Кроме того, выполнено и второе условие из заключения теоремы:
|
||
$$
|
||
N^{m_1+2}(u_1) = \dots = N^{m_s+2}(u_s) = N(u_{s+1}) = \dots = N(u_{s+t}),
|
||
$$
|
||
поскольку $N(u_{s+j}) = N(w_j-x_j) = N(w_j)-N(x_j) = 0$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Жорданова форма}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XII, \S~6, п. 4; [K2], гл. 2, \S~4, пп. 1, 2; [KM], ч. 1, \S~9; [vdW], гл. XII, \S~87.}
|
||
|
||
Теперь мы готовы сформулировать основной результат о линейных операторах
|
||
на конечномерных векторных пространствах над алгебраически
|
||
замкнутым полем.
|
||
\begin{definition}
|
||
Матрица вида
|
||
$$
|
||
J_n(\lambda)=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
\lambda & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\
|
||
0 & \lambda & 1 & \dots & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & \lambda & \dots & 0 & 0 \\
|
||
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
|
||
0 & 0 & 0 & \dots & \lambda & 1 \\
|
||
0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \lambda
|
||
\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
размера $n\times n$ называется \dfn{жордановым блоком}.
|
||
Блочно-диагональная матрица, в которой каждый блок является жордановым блоком,
|
||
называется \dfn{жордановой матрицей}.
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор. Базис пространства $V$
|
||
называется \dfn{жордановым базисом} для оператора $T$, если матрица
|
||
$T$ в этом базисе является жордановой. Эта матрица тогда называется
|
||
\dfn{жордановой формой} оператора $T$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
Для доказательства основной теоремы нам понадобится следующая лемма:
|
||
\begin{lemma}\label{lemma:dim-ker-for-direct-sum}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над полем $k$,
|
||
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор, и
|
||
пусть $V = U_1\oplus\dots\oplus U_m$~--- разложение пространства
|
||
в прямую сумму подпространств, каждое из которых $T$-инвариантно.
|
||
Тогда
|
||
$$
|
||
\dim(\Ker(T)) = \dim(\Ker(T|_{U_1})) + \dots + \dim(\Ker(T|_{U_m}))
|
||
$$
|
||
и
|
||
$$
|
||
\dim(\Img(T)) = \dim(\Img(T|_{U_1})) + \dots + \dim(\Img(T|_{U_m})).
|
||
$$
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Очевидно, что $\Ker(T|_{U_i}) \leq \Ker(T)$. Кроме того, каждое
|
||
$\Ker(T|_{U_i})$ является подпространством в $U_i$. Сумма
|
||
$U_1 + \dots + U_m$ прямая, потому и сумма
|
||
$\Ker(T|_{U_1}) + \dots + \Ker(T|_{U_m})$ прямая.
|
||
Покажем, что $\Ker(T) \leq \Ker(T|_{U_1}) + \dots + \Ker(T|_{U_m})$.
|
||
Действительно, пусть $v\in\Ker(T)$, и $v = u_1+\dots+u_m$, где $u_i\in U_i$.
|
||
Тогда $0 = T(v) = T(u_1) + \dots + T(u_m)$. При этом каждый вектор
|
||
$T(u_i)$ лежит в $U_i$ в силу $T$-инвариантности подпространства $U_i$.
|
||
Из определения прямой суммы теперь следует, что каждое $T(u_i)$ равно нулю,
|
||
то есть, $u_i\in\Ker(T|_{U_i})$, и нужное включение доказано.
|
||
|
||
Таким образом, $\Ker(T) = \Ker(T|_{U_1})\oplus\dots\oplus\Ker(T|_{U_m})$.
|
||
Вычисляя размерности, получаем первое из требуемых равенств.
|
||
После этого второе следует по теореме
|
||
о гомоморфизме~\ref{thm:homomorphism-linear}.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{theorem}\label{thm:jordan-form}
|
||
Пусть $k$~--- алгебраически замкнутое поле, $V$~--- конечномерное векторное
|
||
пространство над $k$, $T$~--- линейный оператор на $V$. Тогда
|
||
в $V$ существует жорданов базис для $T$. Более того,
|
||
жорданова форма оператора $T$ единственна с точностью до перестановки
|
||
жордановых блоков.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
По теореме~\ref{thm:root-space-decomposition} пространство $V$ раскладывается
|
||
в прямую сумму корневых подпространств оператора $T$. Более того,
|
||
если $\lambda_i\in k$~--- собственное число оператора $T$, то ограничение
|
||
оператора $T-\id_V\lambda_i$ на корневое подпространство $V(\lambda_i,T)$
|
||
нильпотентно. К этой ситуации можно применить
|
||
теорему~\ref{thm:jordan-basis-nilpotent} и выбрать базис в
|
||
$V(\lambda_i,T)$, в котором матрица оператора
|
||
$(T-\id_V\lambda_i)|_{V(\lambda_i,T)}$ имеет вид, описанный
|
||
в замечании~\ref{rem:jordan-basis-scheme}.
|
||
Матрица оператора $T|_{V(\lambda_i,T)}$ в выбранном базисе
|
||
получается прибавлением к ней скалярной матрицы с $\lambda_i$ на диагонали.
|
||
Получаем, что матрица оператора $T|_{V(\lambda_i,T)}$
|
||
имеет жорданов вид (а именно, состоит из блоков
|
||
$J_{m_1+1}(\lambda_i),\dots,J_{m_s+1}(\lambda_i$, где $m_1,\dots,m_s$
|
||
как в теореме~\ref{thm:root-space-decomposition}).
|
||
Проделав указанную процедуру для всех собственных чисел, мы получим
|
||
базис во всем пространстве $V$, в котором матрица оператора $T$
|
||
жорданова.
|
||
|
||
Осталось показать единственность жордановой формы. Заметим, что
|
||
на диагонали в жордановой форме обязаны стоять собственные числа
|
||
оператора $T$. Поэтому достаточно показать, что для каждого собственного
|
||
числа $\lambda$ оператора $T$ размеры блоков вида $J_?(\lambda)$,
|
||
встречающиеся в любой его жордановой форме, определены однозначно
|
||
(не зависят от выбора этой формы).
|
||
Для этого мы выразим количества блоков вида $J_1(\lambda),J_2(\lambda),
|
||
\dots$ через числа, которые никак не зависят от выбора базиса
|
||
в пространстве $V$.
|
||
|
||
А именно, пусть оператор $T$ приведен к жордановой форме
|
||
(некоторым выбором базиса). Фиксируем некоторое
|
||
собственное число $\lambda$ оператора $T$, и
|
||
пусть $n_m$~--- количество блоков вида $J_m(\lambda)$ в этой форме.
|
||
Будем считать, что максимальный размер блока такого вида
|
||
равен $s$, и потому $n_{s+1} = n_{s+2} = \dots = 0$.
|
||
|
||
Посмотрим на размерность ядра оператора $T-\id_V\lambda$.
|
||
Матрица этого оператора блочно-диагональна и составлена
|
||
из блоков вида $J_?(\lambda_i-\lambda)$, где $\lambda_i$~---
|
||
все собственные числа оператора $T$.
|
||
По лемме~\ref{lemma:dim-ker-for-direct-sum}
|
||
достаточно просуммировать размерности ядер этих блоков.
|
||
Если $\lambda_i\neq\lambda$, то блок вида
|
||
$J_?(\lambda_i-\lambda)$ обратим
|
||
по предложению~\ref{prop:when-ut-is-invertible},
|
||
и вносит нулевой вклад в суммарную размерность ядра.
|
||
В то же время, если $\lambda_i = \lambda$, то каждый
|
||
блок вида $J_t(\lambda_i-\lambda) = J_t(0)$ имеет ранг $t-1$
|
||
и размер $t$, поэтому вности вклад $1$ в суммарную размерность ядра.
|
||
Суммируя, получаем, что размерность ядра оператора
|
||
$T-\id_V\lambda$ равна количеству блоков вида $J_?(\lambda)$
|
||
в жордановой форме оператора $T$, то есть, $n_1+n_2+\dots+n_s$:
|
||
$$
|
||
\dim\Ker(T-\id_V\lambda) = n_1 + n_2 + n_3 + \dots + n_s.
|
||
$$
|
||
|
||
Теперь посчитаем размерность ядра оператора
|
||
$(T-\id_V\lambda)^2$. Снова можно
|
||
применить лемму~\ref{lemma:dim-ker-for-direct-sum},
|
||
и снова блоки в матрице оператора $T$ вида $J_?(\lambda_i)$
|
||
при $\lambda_i\neq\lambda$ вносят нулевой вклад в суммарную размерность
|
||
ядра. Посмотрим теперь на блок вида $J_t(\lambda)$.
|
||
Матрица оператора $(T-\id_V\lambda)^2$ равна
|
||
$(J_t(\lambda) - E_t\lambda)^2$. Нетрудно видеть,
|
||
что при возведении в квадрат матрица вида
|
||
$$
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
|
||
0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
|
||
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0
|
||
\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
превращается в матрицу вида
|
||
$$
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
|
||
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0
|
||
\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
Ранее мы посчитали, что каждый блок $J_t(\lambda)$ вносит вклад
|
||
$1$ в размерность $\Ker(T-\id_V\lambda)$. Теперь видно,
|
||
что блоки размера $2$ и больше вносят вклад еще на $1$ больше
|
||
в размерность $\Ker(T-\id_V\lambda)^2$. В то же время, блоки
|
||
размера $1\times 1$ при возведении в квадрат не меняются,
|
||
и потому вносят тот же вклад, что и раньше.
|
||
Мы получаем, что {\em разность} размерностей ядер
|
||
операторов $(T-\id_V\lambda)^2$ и $T-\id_V\lambda$
|
||
равна количеству блоков размера $2$ и больше:
|
||
$$
|
||
\dim\Ker(T-\id_V\lambda)^2 - \dim\Ker(T-\id_V\lambda) = n_2 + n_3 + \dots + n_s.
|
||
$$
|
||
|
||
Посчитаем размерность ядра оператора $(T-\id_V\lambda)^3$.
|
||
Аналогичные рассуждения показывают, что блоки размера $1$ и $2$
|
||
с собственным числом $\lambda$ при возведении в куб дают то же, что и
|
||
про возведении в квадрат, а вот у блоков размера $3$ и больше
|
||
единицы <<сдвигаются>> на диагональ выше, и потому они вносят
|
||
вклад на $1$ больше, чем в размерность ядра оператора
|
||
$(T-\id_V\lambda)^2$. Поэтому
|
||
$$
|
||
\dim\Ker(T-\id_V\lambda)^3 - \dim\Ker(T-\id_V\lambda)^2 = n_3 + \dots + n_s.
|
||
$$
|
||
|
||
Продолжая увеличивать степень, мы дойдем до последней:
|
||
$$
|
||
\dim\Ker(T-\id_V\lambda)^s - \dim\Ker(T-\id_V\lambda)^{s-1} = n_s.
|
||
$$
|
||
Полученные равенства можно воспринимать как систему линейных уравнений
|
||
на $n_1,\dots,n_s$. Нетрудно видеть теперь, что (как и обещано)
|
||
числа $n_1,\dots,n_s$ выражаются через размерности ядер степеней
|
||
оператора $(T-\id_V\lambda)$, то есть, через параметры, которые никак
|
||
не зависят от выбора базиса. Вычитая каждую строчку из
|
||
предыдущей, можно написать и явную формулу:
|
||
$$
|
||
n_m = 2\dim\Ker(T-\id_V\lambda)^m - \dim\Ker(T-\id_V\lambda)^{m-1}
|
||
-\dim\Ker(T-\id_V\lambda)^{m+1}.
|
||
$$
|
||
Поэтому количество блоков размера $m$ с собственным числом $\lambda$
|
||
в жордановой форме оператора $T$ не зависит от выбора жорданова базиса.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Комплексификация}
|
||
|
||
Жорданова форма дает ответ к задаче классификации линейных операторов
|
||
на конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем.
|
||
Этот результат можно пытаться обобщать на разные контексты. Например,
|
||
можно задуматься о классификации операторов на бесконечномерных
|
||
пространствах. Наш подход существенно опирался на матричные вычисления,
|
||
которые не переносятся на бесконечномерный случай, поэтому мы
|
||
не будем этого делать. Второе направление обобщения~--- попробовать
|
||
посмотреть на случай незамкнутого поля.
|
||
|
||
Действительно, хотя случай алгебраически замкнутого поля уже
|
||
полезен для приложений (в большинстве неалгебраических приложений
|
||
встречается случай поля комплексных чисел $\mbC$), естественный интерес
|
||
представляют операторы над полем вещественных чисел.
|
||
Мы продемонстрируем, как основные понятия и факты об операторах
|
||
переносятся с $\mbC$ на $\mbR$.
|
||
|
||
Итак, пусть $V$~--- векторное пространство над полем вещественных
|
||
чисел $\mbR$. Мы детально изучили пространства и операторы
|
||
над полем $\mbC$, поэтому первое, что нужно попробовать сделать~---
|
||
свести один случай к другому. А именно, мы построим по $V$
|
||
пространство $V_{\mbC}$ над полем комплексных чисел, и покажем,
|
||
что любой базис в $V$ превращается в базис пространства $V_{\mbC}$,
|
||
а любой линейный оператор на $V$~--- в линейный оператор на $V_{\mbC}$.
|
||
|
||
Рассмотрим множество $V\times V$. По определению оно состоит
|
||
из всевозможных упорядоченных пар $(u,v)$, где $u,v\in V$.
|
||
Мы же будем записывать пару $(u,v)$ в виде $u+vi$
|
||
и воспринимать как один вектор.
|
||
Сейчас мы введем на $V\times V$ структуру векторного пространства
|
||
над полем комплексных чисел $\mbC$.
|
||
Сложение определить несложно:
|
||
$(u_1+v_1i) + (u_2 +v_2i) = (u_1+u_2) + (v_1+v_2)i$
|
||
для всех $u_1,v_1,u_2,v_2\in V$.
|
||
Определим умножение на скаляр $a+bi\in\mbC$ следующим образом:
|
||
$(u + vi)(a + bi) = (au-bv) + (av+bu)i$.
|
||
Видно, что это определение совершенно естественно, и получается простым
|
||
раскрытием скобок с учетом тождества $i^2=-1$. Тем не менее, мы должны
|
||
проверить, что все свойства из определения векторного пространства
|
||
выполняются. К счастью, эта проверка совсем несложна, и мы оставляем
|
||
ее читателю в качестве упражнения. Отметим лишь, что роль нулевого элемента
|
||
играет вектор $0 = 0+0i$.
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Полученное векторное пространство над $\mbC$ мы будем обозначать
|
||
через $V_\mbC$ и называть \dfn{комплексификацией} пространства $V$.
|
||
\end{definition}
|
||
Исходное векторное пространство $V$ мы будем
|
||
считать подмножеством в $V_\mbC$: если $v\in V$, то
|
||
$v+0i\in V_\mbC$.
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:complexification-basis}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над $\mbR$.
|
||
Если $v_1,\dots,v_n$~--- базис $V$ (как пространства над $\mbR$), то
|
||
$v_1,\dots,v_n$~--- базис $V_\mbC$ (как пространства над $\mbC$).
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Заметим, что линейная оболочка векторов $v_1,\dots,v_n$ в $V_\mbC$
|
||
содержит векторы $v_1,\dots,v_n$ и векторы $v_1i,\dots,v_ni$.
|
||
Любой элемент $u\in V$ есть линейная комбинация векторов
|
||
$v_1,\dots,v_n$, и для любого $v\in V$ вектор $vi$ есть линейная
|
||
комбинация векторов $v_1i,\dots,v_ni$.
|
||
Поэтому любой элемент $u+vi\in V_\mbC$ лежит в линейной оболочке
|
||
$v_1,\dots,v_n$. Покажем, что $v_1,\dots,v_n$ линейно независимы
|
||
в $V_\mbC$. Если $a_1+b_1i,\dots,a_n+b_ni\in\mbC$ таковы, что
|
||
$v_1(a_1+b_1i) + \dots + v_n(a_n+b_ni) = 0$, то,
|
||
раскрывая скобки и приравнивая отдельно <<вещественные>> и <<мнимые>> части,
|
||
получаем, что
|
||
$v_1a_1+\dots+v_na_n = 0$
|
||
и $v_1b_1+\dots + v_nb_n = 0$. Из линейной независимости
|
||
векторов $v_1,\dots,v_n$ в $V$ следует, что
|
||
$a_1=\dots=a_n = b_1 = \dots = b_n = 0$.
|
||
Поэтому $v_1,\dots,v_n$ линейно независимы в $V_\mbC$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{corollary}\label{cor:complexification-dimension}
|
||
Размерность $V_\mbC$ как векторного пространства над $\mbC$ равна
|
||
размерности $V$ как векторного пространства над $\mbR$.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
Сразу следует из предложения~\ref{prop:complexification-basis}.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над $\mbR$, $T$~--- линейный оператор
|
||
на $V$. Определим оператор $T_\mbC$ на пространстве $V_\mbC$ следующим образом:
|
||
$$
|
||
T_\mbC(u+vi) = T(u) + T(v)i
|
||
$$
|
||
для всех $u,v\in V$. Этот оператор называется
|
||
\dfn{комплексификацией} оператора $T$.
|
||
\end{definition}
|
||
Неформально говоря, оператор $T_\mbC$ действует отдельно на вещественную
|
||
и мнимую часть вектора $u+vi$ оператором $T$. Несложно проверить, что
|
||
эта формула действительно задает линейный оператор на пространстве $V_\mbC$.
|
||
|
||
\begin{lemma}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над $\mbR$ с базисом $v_1,\dots,v_n$,
|
||
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор. Тогда матрица оператора $T$
|
||
в базисе $v_1,\dots,v_n$ совпадает с матрицей оператора $T_\mbC$ в том же
|
||
базисе.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Упражнение.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Наш первый результат можно считать аналогом
|
||
предложения~\ref{prop:operator-has-an-eigenvalue}, которое утверждало,
|
||
что у любого оператора на конечномерном пространстве
|
||
над алгебраически замкнутым полем есть
|
||
одномерное инвариантное подпространство.
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:real-operator-invariant-subspace}
|
||
У любого оператора на (ненулевом) конечномерном векторном пространстве
|
||
над $\mbR$ есть инвариантное подпространство
|
||
размерности $1$ или $2$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над $\mbR$, $T\colon V\to V$~---
|
||
линейный оператор. Его комплексификация $T_\mbC\colon V_\mbC\to V_\mbC$
|
||
имеет собственное число (по предложению~\ref{prop:operator-has-an-eigenvalue})
|
||
$a+bi$, где $a,b\in\mbR$. Пусть $u+vi$~--- соответствующий ему собственный
|
||
вектор; $u,v\in V$, при этом $u$ и $v$ не равны одновременно нулю.
|
||
Это означает, что $T_\mbC(u+vi) = (u+vi)(a+bi)$.
|
||
Используя определение $T_\mbC$ и умножения в пространстве $V_\mbC$, получаем
|
||
$$
|
||
T(u) + T(v)i = (ua-vb) + (va+ub)i.
|
||
$$
|
||
Поэтому $T(u) = ua-vb$ и $T(v) = va+ub$.
|
||
Пусть $U$~--- линейная оболочка векторов $u,v$ в $V$.
|
||
Тогда $U$~--- подпространство в $V$ размерности $1$ или $2$,
|
||
и полученные равенства показывают, что $U$ инвариантно относительно
|
||
оператора $T$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Напомним, что мы определили минимальный многочлен оператора
|
||
над произвольным полем $k$
|
||
(см.~определение~\ref{prop:operator-has-an-eigenvalue}).
|
||
\begin{proposition}\label{prop:minimal-poly-of-complexification}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над $\mbR$, $T\colon V\to V$~--- линейный
|
||
оператор. Тогда минимальный многочлен оператора $T_\mbC$ равен
|
||
минимальному многочлену оператора $T$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $p\in \mbR[x]$~--- минимальный многочлен оператора $T$.
|
||
Сейчас мы покажем, что он удовлетворяет определению минимального многочлена
|
||
оператора $T_\mbC$. Сначала необходимо показать, что $p(T_\mbC) = 0$.
|
||
Напомним, что по определению $T_\mbC(u+vi) = T(u) + T(v)i$.
|
||
Применяя к этому равенству оператор $T_\mbC$, получаем,
|
||
что $(T_\mbC)^n(u+vi) = T^n(u) + T^n(v)i$.
|
||
Поэтому $p(T_\mbC) = (p(T))_\mbC = 0$.
|
||
|
||
Пусть теперь $q\in\mbC[x]$~--- некоторый многочлен со старшим коэффициентом $1$,
|
||
для которого $q(T_\mbC)=0$. Нам нужно показать, что степень $q$ не меньше,
|
||
чем степень $p$. Заметим, что $(q(T_\mbC))(u) = 0$ для всех $u\in V$.
|
||
Обозначим через $r$ многочлен, $j$-й коэффициент которого равен
|
||
вещественной части $j$-го коэффициента многочлена $q$.
|
||
Очевидно, что старший коэффициент $r$ также равен единице.
|
||
Из равенства $(q(T_\mbC))(u) = 0$ немедленно следует, что $(r(T))(u) = 0$.
|
||
Это выполнено для всех $u\in V$, и потому $r(T)$~--- нулевой оператор.
|
||
В силу минимальности $p$ из этого следует, что $\deg r \geq \deg p$.
|
||
Но $\deg r = \deg q$, откуда $\deg q\geq \deg p$, что и требовалось.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Теперь посмотрим на собственные числа комплексификации $T_\mbC$.
|
||
Каждое собственное число может оказаться вещественным, а может~---
|
||
невещественным. Оказывается, вещественные собственные числа
|
||
$T_\mbC$~--- это собственные числа исходного оператора $T$.
|
||
\begin{proposition}\label{prop:complexification-real-eigenvalues}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над $\mbR$, $T\colon V\to V$~---
|
||
линейный оператор, $\lambda\in\mbR$.
|
||
Число $\lambda$ является собственным числом оператора $T_\mbC$
|
||
тогда и только тогда, когда $\lambda$ является собственным числом
|
||
оператора $T$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
По предложению~\ref{prop:roots-of-minuimal-are-eigenvalues}
|
||
собственные числа оператора $T$ (которые вещественны по определению)~---
|
||
это в точности (вещественные) корни минимального многочлена оператора $T$.
|
||
С другой стороны
|
||
(снова по предложению~\ref{prop:roots-of-minuimal-are-eigenvalues}),
|
||
вещественные собственные числа оператора $T_\mbC$~---
|
||
это в точности вещественные корни минимального многочлена оператора $T_\mbC$.
|
||
По предложению~\ref{prop:minimal-poly-of-complexification} эти минимальные
|
||
многочлены совпадают.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Следующее предложение утверждает, что $T_\mbC$ ведет себя симметрично
|
||
по отношению к собственному числу $\lambda$ и сопряженному к нему
|
||
$\ol\lambda$.
|
||
\begin{proposition}\label{prop:conjugation-of-eigenvalue}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над $\mbR$, $T\colon V\to V$~--- линейный
|
||
оператор, $\lambda\in\mbC$, $j$~--- натуральное число, и $u,v\in V$.
|
||
Тогда
|
||
$$
|
||
(T_\mbC-\id_{V_\mbC}\lambda)^j(u+vi) = 0\;\Longleftrightarrow\;
|
||
(T_\mbC-\id_{V_\mbC}\ol\lambda)^j(u-vi) = 0.
|
||
$$
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Будем доказывать утверждение индукцией по $j$. В случае $j=0$ слева и справа
|
||
стоит тождественный оператор, поэтому мы получаем утверждение,
|
||
что равенство $u+vi=0$ равносильно равенству $u-vi = 0$, что очевидно.
|
||
Пусть теперь $j\geq 1$, и мы доказали результат для $j-1$.
|
||
Предположим, что $(T_\mbC-\id\lambda)^j(u+vi) = 0$.
|
||
Это означает, что $(T_\mbC-\id\lambda)^{j-1}((T_\mbC-\id\lambda)(u+vi)) = 0$.
|
||
Пусть $\lambda=a+bi$, где $a,b\in\mbR$. Тогда
|
||
$$
|
||
(T_\mbC-\id\lambda)(u+vi) = (T(u)-ua+vb) + (T(v)-va-ub)i.
|
||
$$
|
||
Значит, наше равенство можно записать в виде
|
||
$$
|
||
(T_\mbC-\id\lambda)^{j-1}((T(u)-ua+vb) + (T(v)-va-ub)i) = 0.
|
||
$$
|
||
По предположению индукции из него следует, что
|
||
$$
|
||
(T_\mbC-\id\ol\lambda)^{j-1}((T(u)-ua+vb) - (T(v)-va-ub)i) = 0.
|
||
$$
|
||
Но прямое вычисление показыват, что
|
||
$$
|
||
(T(u)-ua+vb) - (T(v)-va-ub)i = (T_\mbC-\id\ol\lambda)(u+vi).
|
||
$$
|
||
Мы получили, что $(T_\mbC-\id\ol\lambda)^{j}(u+vi) = 0$, что и требовалось.
|
||
|
||
Заменив в приведенном рассуждении
|
||
$\lambda$ на $\ol\lambda$, а $v$ на $-v$, мы получим
|
||
и обратное следствие.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Важным следствием предложения~\ref{prop:conjugation-of-eigenvalue} является
|
||
тот факт, что невещественные собственные числа оператора $T_\mbC$ ходят парами.
|
||
\begin{corollary}\label{cor:eigenvalues-come-in-pairs}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над $\mbR$, $T\colon V\to V$~--- линейный
|
||
оператор, $\lambda\in\mbC$. Число $\lambda$ является собственным числом
|
||
оператора $T_\mbC$ тогда и только тогда, когда $\ol\lambda$ является
|
||
собственным числом оператора $T_\mbC$.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
Достаточно положить $j=1$ в предложении~\ref{prop:conjugation-of-eigenvalue}.
|
||
\end{proof}
|
||
Нетрудно проверить, что и кратности сопряженных собственных чисел
|
||
$\lambda$ и $\ol\lambda$ совпадают.
|
||
\begin{corollary}\label{cor:conjugate-eigenvalues-same-multiplicity}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над $\mbR$, $T\colon V\to V$~--- линейный
|
||
оператор, $\lambda\in\mbC$~--- собственное число оператора $T_\mbC$.
|
||
Тогда кратность $\lambda$ как собственного числа $T_\mbC$ равна
|
||
кратности $\ol\lambda$ как собственного числа $T_\mbC$.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
По определению кратность собственного числа~--- это размерность
|
||
соответствующего корневого подпространства.
|
||
Пусть $u_1 + v_1i,\dots,u_m+v_mi$~--- базис корневого подпространства
|
||
$V(\lambda,T_\mbC)$, где $u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_m\in V$. Покажем, что
|
||
тогда векторы $u_1 - v_1i,\dots,u_m - v_mi$ образуют базис
|
||
корневого подпространства $V(\ol\lambda,T_\mbC)$.
|
||
Проверим сначала, что они лежат в этом подпространстве:
|
||
по определению корневого вектора $(T_\mbC-\id\lambda)^{\dim(V)}(u_j+v_ji) = 0$,
|
||
и по предложению~\ref{prop:conjugation-of-eigenvalue}
|
||
тогда $(T_\mbC-\id\ol\lambda)^{\dim(V)}(u_j-v_ji) = 0$.
|
||
|
||
Несложно проверить и линейную независимость векторов
|
||
$u_1-v_1i,\dots,u_m-v_mi$:
|
||
если $(u_1-v_1i)\mu_1 + \dots + (u_m-v_mi)\mu_m = 0$,
|
||
то прямые вычисления показывают, что
|
||
$(u_1+v_1i)\ol{\mu_1} + \dots + (u_m+v_mi)\ol{\mu_m} = 0$,
|
||
и потому все коэффициенты $\mu_1,\dots,\mu_m$ равны нулю.
|
||
|
||
Наконец, нужно проверить, что это система образующих корневого
|
||
подпространства $V(\ol\lambda,T_\mbC)$. Пусть $u+vi\in V(\ol\lambda,T_\mbC)$.
|
||
Тогда (снова по предложению~\ref{prop:conjugation-of-eigenvalue})
|
||
$u-vi\in V(\lambda,T_\mbC)$. Значит, $u-vi$ является линейной комбинацией
|
||
векторов $u_1+v_1i,\dots,u_m+v_mi$:
|
||
$$
|
||
u-vi = (u_1+v_1i)\mu_1 + \dots + (u_m+v_mi)\mu_m.
|
||
$$
|
||
Но тогда $u+vi$ является линейной комбинацией
|
||
векторов $u_1-v_1i,\dots,u_m-v_mi$:
|
||
$$
|
||
u+vi = (u_1-v_1i)\ol{\mu_1} + \dots + (u_m-v_mi)\ol{\mu_m}.
|
||
$$
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Приведем еще один вариант переноса
|
||
предложения~\ref{prop:operator-has-an-eigenvalue} на случай
|
||
вещественных пространств.
|
||
\begin{proposition}
|
||
У линейного оператора на пространстве нечетной размерности над $\mbR$
|
||
есть собственное число.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над $\mbR$ нечетной размерности,
|
||
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор.
|
||
По следствию~\ref{cor:conjugate-eigenvalues-same-multiplicity}
|
||
невещественные собственные числа оператора $T_\mbC$ встречаются с одинаковой
|
||
кратностью. Поэтому сумма кратностей всех невещественных собственных чисел
|
||
оператора $T_\mbC$ четна. С другой стороны, сумма кратностей
|
||
всех собственных чисел оператора $T_\mbC$ равна размерности
|
||
пространства $V_\mbC$ (по теореме~\ref{cor:sum-of-multiplicities}), и потому
|
||
равна размерности пространства $V$
|
||
(по следствию~\ref{cor:complexification-dimension}), то есть, нечетна.
|
||
Поэтому у $T_\mbC$ есть вещественное собственное число,
|
||
и по предложению~\ref{prop:complexification-real-eigenvalues}
|
||
оно является собственным числом оператора $T$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Вещественная жорданова форма}
|
||
|
||
Введем понятие характеристического многочлена вещественного оператора.
|
||
Для этого нам понадобится следующее предложение.
|
||
\begin{proposition}\label{prop:complexification-char-poly-is-real}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над $\mbR$, $T\colon V\to V$~--- линейный
|
||
оператор. Тогда все коэффициенты характеристического многочлена
|
||
оператора $T_\mbC$ вещественны.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $\lambda$~--- невещественное собственное число оператора $T_\mbC$,
|
||
имеющее кратность $m$. По
|
||
следствию~\ref{cor:conjugate-eigenvalues-same-multiplicity} число
|
||
$\ol\lambda$ также является собственным числом оператора $T_\mbC$
|
||
кратности $m$. Поэтому в характеристическом многочлене оператора
|
||
$T_\mbC$ присутствуют множители $(x-\lambda)^m$ и
|
||
$(x-\ol\lambda)^m$. Перемножая эти два множителя,
|
||
получаем
|
||
$$
|
||
(x-\lambda)^m(x-\ol\lambda)^m = ((x-\lambda)(x-\ol\lambda))^m
|
||
=(x^2-(\lambda+\ol\lambda)x+\lambda\ol\lambda)^m.
|
||
$$
|
||
Мы получили многочлен с вещественными коэффициентами,
|
||
поскольку $\lambda+\ol\lambda = 2\Ree(\lambda)$ и
|
||
$\lambda\ol\lambda=|\lambda|^2$.
|
||
Характеристический многочлен оператора $T_\mbC$ является произведением
|
||
пар скобок указанного вида и скобок вида $(x-t)^d$ для вещественных
|
||
собственных чисел $t$ оператора $T_\mbC$ кратности $d$.
|
||
Поэтому в произведении получаем многочлен с вещественными коэффициентами.
|
||
\end{proof}
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над $\mbR$, $T\colon V\to V$~--- линейный
|
||
оператор. \dfn{Характеристическим многочленом} оператора $T$
|
||
называется характеристический многочлен оператора $T_\mbC$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
С таким определением совсем несложно доказать аналог
|
||
предложения~\ref{prop:degree-and-roots-of-char-poly}.
|
||
\begin{proposition}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над $\mbR$, $T\colon V\to V$~--- линейный
|
||
оператор. Тогда характеристический многочлен $T$ лежит в $\mbR[x]$,
|
||
его степень равна $\dim V$, а его корни~--- это в точности все
|
||
вещественные собственные числа оператора $T$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Характеристический многочлен лежит в $\mbR[x]$ по
|
||
предложению~\ref{prop:complexification-char-poly-is-real},
|
||
имеет степень $\dim V$ по предложению~\ref{prop:degree-and-roots-of-char-poly}
|
||
и следствию~\ref{cor:complexification-dimension},
|
||
и имеет нужные корни по предложению~\ref{prop:degree-and-roots-of-char-poly}
|
||
и предложению~\ref{prop:complexification-real-eigenvalues}.
|
||
\end{proof}
|
||
Несложно получить и аналог теоремы Гамильтона--Кэли~\ref{thm:cayley-hamilton}.
|
||
\begin{theorem}[Гамильтона--Кэли]
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над $\mbR$, $T\colon V\to V$~--- линейный
|
||
оператор. Пусть $q$~--- характеристический многочлен оператора $T$.
|
||
Тогда $q(T) = 0$.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
По теореме~\ref{thm:cayley-hamilton} имеем $q(T_\mbC)=0$,
|
||
откуда следует, что $q(T)=0$ (см. рассуждение в начале
|
||
доказательства предложения~\ref{prop:minimal-poly-of-complexification}).
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Теперь мы готовы сформулировать аналог теоремы о жордановой форме
|
||
для вещественных операторов.
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
\dfn{Вещественным жордановым блоком} называется
|
||
матрица вида
|
||
$$
|
||
J_n(c)=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
c & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\
|
||
0 & c & 1 & \dots & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & c & \dots & 0 & 0 \\
|
||
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
|
||
0 & 0 & 0 & \dots & c & 1 \\
|
||
0 & 0 & 0 & \dots & 0 & c
|
||
\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
размера $n\times n$, где $c\in\mbR$, или матрица вида
|
||
$$
|
||
J_n(\lambda)=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
a & b & 1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\
|
||
-b & a & 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\
|
||
0 & 0 & a & b & 1 & 0 & \dots & 0 & 0\\
|
||
0 & 0 & -b & a & 0 & 1 & \dots & 0 & 0\\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & a & b & \dots & 0 & 0\\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & -b & a & \dots & 0 & 0\\
|
||
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & a & b\\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & -b & a
|
||
\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
размера $(2n)\times(2n)$, где $\lambda = a+bi$, $a,b\in\mbR$, причем $b>0$.
|
||
Блочно-диагональная матрица, в которой каждый блок является
|
||
вещественным жордановым блоком,
|
||
называется \dfn{вещественной жордановой матрицей}.
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над $\mbR$,
|
||
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор. Базис пространства $V$ называется
|
||
\dfn{вещественным жордановым базисом} для оператора $T$, если матрица
|
||
$T$ в этом базисе является вещественной жордановой. Эта матрица
|
||
тогда называется \dfn{вещественной жордановой формой} оператора $T$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{theorem}
|
||
Пусть $V$~--- конечномерное векторное
|
||
пространство над $\mbR$, $T$~--- линейный оператор на $V$. Тогда
|
||
в $V$ существует вещественный жорданов базис для $T$. Более того,
|
||
вещественная жорданова форма оператора $T$ единственна с точностью до
|
||
перестановки вещественных жордановых блоков.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}[Набросок доказательства]
|
||
Поясним, откуда берутся вещественные жордановы блоки вида $J_n(\lambda)$
|
||
для комлпексных чисел $\lambda=a+bi$, $b\neq 0$.
|
||
Рассмотрим комплексификацию $T_\mbC$ оператора $T$. Мы знаем, что
|
||
в $V_\mbC$ существует базис, в котором матрица оператора $T_\mbC$
|
||
имеет жорданов вид.
|
||
Теперь мы хотим перейти от этого базиса к базису пространства $V$
|
||
так, чтобы матрица оператора $T$ в нем выглядела не очень отлично
|
||
от матрицы $T_\mbC$ в жордановом базисе.
|
||
|
||
Пусть $\lambda$~--- невещественное собственное число оператора $T_\mbC$,
|
||
$\lambda=a+bi$. Мы выяснили, что тогда и $\ol\lambda$ является
|
||
собственным числом оператора $T_\mbC$.
|
||
Поменяв при необходимости $\lambda$ и $\ol\lambda$ местами,
|
||
можем считать, что $b > 0$.
|
||
Оказывается, тогда и все размеры жордановых блоков, соответствующих числам
|
||
$\lambda$ и $\ol\lambda$, совпадают. Действительно,
|
||
в доказательстве теоремы~\ref{thm:jordan-form} мы выразили эти
|
||
размеры блоков через размерности операторов вида
|
||
$(T_\mbC - \id\lambda)^j$. Рассуждение, аналогичное
|
||
доказательству следствия~\ref{cor:conjugate-eigenvalues-same-multiplicity},
|
||
показывает, что эти размерности для чисел $\lambda$ и $\ol\lambda$,
|
||
совпадают; поэтому и размеры блоков совпадают.
|
||
|
||
Более того, рассмотрим какой-нибудь жорданов блок вида $J_m(\lambda)$.
|
||
Пусть $u_1+v_1i,\dots,u_m+v_mi$~--- соответствующие базисные векторы.
|
||
Тогда векторы $u_1 - v_1i,\dots,u_m - v_mi$ линейно независимы,
|
||
порождают $T_\mbC$-инвариантное подпространство и в ограничении на это
|
||
подпространство получаем жорданов блок вида $J_m(\ol\lambda)$.
|
||
Таким образом, жордановы блоки, соответствующие невещественным
|
||
собственным числам оператора $T_\mbC$, разбиваются
|
||
на <<сопряженные>> пары.
|
||
Посмотрим на подпространство в $V$, порожденное векторами
|
||
$u_1,v_1,\dots,u_m,v_m$. Мы утверждаем, что эти векторы линейно
|
||
независимы, и матрица оператора $T$, ограниченного на это
|
||
подпространство, как раз равна вещественному жордановому блоку
|
||
вида $J_m(\lambda)$.
|
||
|
||
Действительно, например, мы знаем, что $T_\mbC(u_1+v_1i) = (u_1+v_1i)(a+bi)$
|
||
Раскрывая скобки, получаем, что
|
||
$T(u_1)=u_1a-v_1b$ и $T(v_1) = u_1b+v_1a$. Это объясняет
|
||
первые два столбика в матрице $J_m(\lambda)$.
|
||
Далее, $T_\mbC(u_2+v_2i) = (u_2+v_2i)(a+bi) + (u_1+v_1i)$.
|
||
Раскрывая скобки, получаем, что
|
||
$T(u_2) = u_2a-v_2b+u_1$ и $T(v_2) = u_2b+v_2a+v_1$.
|
||
Это объясняет третий и четвертый столбики в матрице $J_m(\lambda)$,
|
||
и так далее.
|
||
|
||
Таким образом, можно взять пару комплексных жордановых блоков
|
||
вида $J_m(\lambda)$ и $J_m(\ol\lambda)$ и, слегка поменяв базис
|
||
в соответствующем пространстве размерности $2m$, получить
|
||
вещественный базис, в котором эти блоки <<склеятся>> и превратятся
|
||
в один вещественный жорданов блок $J_m(\lambda)$ размера $2m$.
|
||
Осталось аккуратно разобраться с вещественными собственными числами:
|
||
показать, что можно выбрать базис в корневом подпространстве
|
||
вида $V(c,T_\mbC)$ для $c\in\mbR$ так, что он будет базисом в $V$, в котором
|
||
матрица [ограничения] оператора $T$ будет вещественным жордановым
|
||
блоком вида $J_m(c)$.
|
||
\end{proof}
|