1124 lines
70 KiB
TeX
1124 lines
70 KiB
TeX
\section{Полилинейная алгебра}
|
||
|
||
\subsection{Полилинейные отображения}
|
||
|
||
\literature{[KM], ч. 2, \S~2, п. 1; ч. 4, \S~1, пп. 1--2.}
|
||
|
||
Пусть $k$~--- поле, $V_1, \dots, V_m, U$~--- векторные пространства
|
||
над $k$. Отображение
|
||
$f\colon V_1\times\dots\times V_m\to U$ называется
|
||
\dfn{полилинейным}\index{полилинейное отображение}, если оно линейно
|
||
по каждому аргументу при фиксированных значениях остальных. Иными
|
||
словами, $f$ \dfn{аддитивно}\index{аддитивное отображение} по каждому
|
||
аргументу:
|
||
$$
|
||
f(\dots,v'_i+v''_i,\dots) =
|
||
f(\dots,v'_i,\dots) + f(\dots,v''_i,\dots).
|
||
$$
|
||
Кроме того, отображение $f$
|
||
\dfn{однородно степени 1}\index{однородное отображение} по каждому
|
||
аргументу (также при фиксированных остальных):
|
||
$$
|
||
f(\dots,\lambda v_i,\dots) = \lambda f(\dots,v_i,\dots).
|
||
$$
|
||
|
||
Приведем примеры полилинейных отображений, которые мы
|
||
встречали раньше:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Скалярное произведение: билинейная форма
|
||
$B\colon V\times V\to R$ является полилинейным отображением по самому
|
||
определению (см. определение~\ref{def:bilinear_form}).
|
||
\item Определитель: пусть $V = k^n$~--- пространство столбцов высоты
|
||
$n$. Можно рассмотреть отображение
|
||
$$
|
||
\det\colon k^n\times\dots\times k^n\to k,\quad
|
||
(v_1,\dots,v_n)\mapsto\det(v_1,\dots,v_n),
|
||
$$
|
||
сопоставляющий набору столбцов определитель матрицы, составленной из
|
||
этих столбцов. Это отображение полилинейно
|
||
(см. раздел~\ref{ssect:det}).
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
Оказывается, что полилинейные отображения из $V_1\times\dots\times V_m$ в
|
||
$U$ в точности соответствуют {\em линейными} отображениям из
|
||
некоторого нового объекта (тензорного произведения пространств
|
||
$V_1,\dots,V_m$) в $U$.
|
||
|
||
\subsection{Тензорное произведение двух пространств}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XIV, \S~4, пп. 1, 2; [K2], гл. 6, \S~1, п. 5; [KM], ч. 4, \S~1, пп. 2--5.}
|
||
|
||
\begin{definition}\label{def:tensor_product_2}
|
||
Пусть $V,W$~--- векторные пространства над полем $k$.
|
||
\dfn{Тензорным произведением}\index{тензорное произведение}
|
||
пространств $V$ и $W$ называется векторное пространство $V\otimes W$
|
||
вместе с билинейным отображением $\ph\colon V\times W\to V\otimes W$,
|
||
удовлетворяющие следующему {\em универсальному свойству}:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item для любого векторного пространства $U$ и любого билинейного
|
||
отображения $\psi\colon V\times W\to U$ существует единственное
|
||
линейное отображение $\tld\psi\colon V\otimes W\to U$ такое, что
|
||
$\psi = \tld\psi\circ\ph$.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{definition}
|
||
Универсальное свойство можно изобразить следующей диаграммой:
|
||
$$
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
V\times W\arrow{rr}{\ph}\arrow{rd}[swap]{\psi} &
|
||
& V\otimes W\arrow[dashed]{dl}{\tld\psi} \\
|
||
& U
|
||
\end{tikzcd}
|
||
$$
|
||
\begin{theorem}\label{thm:tensor_product}
|
||
Тензорное произведение любых векторных пространств $V,W$ над полем $k$
|
||
существует и единственно с точностью до канонического
|
||
изоморфизма. Последнее означает, что если $\ol\ph\colon V\times W\to
|
||
V\ol\otimes W$~--- еще одно тензорное произведение в смысле
|
||
определения~\ref{def:tensor_product_2}, то существует единственный
|
||
изоморфизм векторных пространств $\alpha\colon V\otimes W\to
|
||
V\ol\otimes W$ такой, что $\ol\ph = \alpha\circ\ph$:
|
||
$$
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
V\times W \arrow{rr}{\ph} \arrow{dr}[swap]{\ol\ph}
|
||
& & V\otimes W \arrow{dl}{\alpha} \\
|
||
& V\ol\otimes W
|
||
\end{tikzcd}
|
||
$$
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Сначала докажем единственность. Итак, пусть $\ph\colon V\times W\to
|
||
V\otimes W$ и $\ol\ph\colon V\times W\to V\ol\otimes W$~--- два
|
||
тензорных произведения пространств $V$ и $W$. Рассмотрим следующую
|
||
диаграмму:
|
||
$$
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
V\times W\arrow{rr}{\ph} \arrow{rd}[swap]{\ol\ph} & &
|
||
V\otimes W \\
|
||
& V\ol\otimes W
|
||
\end{tikzcd}
|
||
$$
|
||
Поскольку $V\otimes W$ является тензорным произведением $V$ и $W$,
|
||
можно подставить в универсальное свойство $U = V\ol\otimes W$ и $\psi
|
||
= \ol\ph$. Значит, существует единственное линейное отображение
|
||
$\alpha\colon V\otimes W\to V\ol\otimes W$, для которого $\ol\ph =
|
||
\alpha\circ\ph$. Осталось доказать, что $\alpha$ является
|
||
изоморфизмом. Для этого мы построим отображение, обратное к
|
||
$\alpha$. Рассмотрим диаграмму
|
||
$$
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
V\times W \arrow{rr}{\ol\ph} \arrow{rd}[swap]{\ph} & &
|
||
V\ol\otimes W \\
|
||
& V\otimes W
|
||
\end{tikzcd}
|
||
$$
|
||
Поскольку $V\ol\otimes W$ также является тензорным произведением $V$ и
|
||
$W$, можно подставить в универсальное свойство $U = V\otimes W$ и
|
||
$\psi = \ph$. Значит, существует единственное линейное отображение
|
||
$\beta\colon V\ol\otimes W\to V\otimes W$ такое, что
|
||
$\ph = \beta\circ\ol\ph$. Покажем, что $\beta$ является обратным к
|
||
$\alpha$.
|
||
Рассмотрим диаграмму
|
||
$$
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
V\times W \arrow{rr}{\ph} \arrow{rd}[swap]{\ph} & & V\otimes W\\
|
||
& V\otimes W
|
||
\end{tikzcd}
|
||
$$
|
||
Из универсального свойства для $V\otimes W$ следует, что существует
|
||
единственное линейное отображение $V\otimes W\to V\otimes W$,
|
||
композиция которого с $\ph$ равна $\ph$. Но мы знаем два таких
|
||
отображения: одно из них тождественное, $\id_{V\otimes W}$, а другое
|
||
равно композиции $\beta\circ\alpha$. Действительно,
|
||
$(\beta\circ\alpha)\circ\ph = \beta\circ\ol\ph = \ph$.
|
||
Из единственности в универсальном свойстве следует, что эти
|
||
отображения должны совпадать. Поэтому $\beta\circ\alpha =
|
||
\id_{V\otimes W}$. Аналогичное соображение для $V\ol\otimes W$
|
||
показывает, что $\alpha\circ\beta = \id_{V\ol\otimes W}$.
|
||
|
||
Для доказательства существования тензорного произведения мы приведем
|
||
явную конструкцию.
|
||
Рассмотрим вспомогательное векторное пространство $L$, базис
|
||
которого состоит из всевозможных выражений вида <<$v\otimes w$>> для
|
||
всех векторов $v\in V$, $w\in W$. Иными словами, $L$~--- это множество
|
||
всех [конечных] формальных линейных комбинаций выражений вида
|
||
<<$v\otimes w$>> (с коэффициентами из $k$) с очевидными операциями
|
||
суммы и умножения на скаляры.
|
||
|
||
Несложно определить отображение $f\colon V\times W\to L$: положим
|
||
$f(v,w) = \mbox{<<}v\otimes w\mbox{>>}$. Однако, это отображение не
|
||
является билинейным: например, $f(v_1+v_2,w) =
|
||
\mbox{<<}(v_1+v_2)\otimes w\mbox{>>}$, в то время как
|
||
$f(v_1,w) + f(v_2,w) = \mbox{<<}v_1\otimes w\mbox{>>} +
|
||
\mbox{<<}v_2\otimes w\mbox{>>}$.
|
||
В нашем пространстве $\mbox{<<}(v_1+v_2)\otimes w\mbox{>>}\neq
|
||
\mbox{<<}v_1\otimes w\mbox{>>} +
|
||
\mbox{<<}v_2\otimes w\mbox{>>}$, поскольку равенство означало бы
|
||
наличие линейной комбинации между базисными элементами.
|
||
Кроме того,
|
||
$f(\lambda v,w) = \mbox{<<}(\lambda v)\otimes w\mbox{>>}$, но
|
||
$\lambda f(v,w) = \lambda\mbox{<<}v\otimes w\mbox{>>}$.
|
||
Для того, чтобы исправить это, мы профакторизуем по всем таким
|
||
соотношениям, и в полученном фактор-пространстве нужные выражения
|
||
совпадут.
|
||
А именно, обозначим через $R$ линейную оболочку в $L$ следующих векторов:
|
||
\begin{align*}
|
||
& \mbox{<<}(v_1+v_2)\otimes w\mbox{>>} - \mbox{<<}v_1\otimes w\mbox{>>} -
|
||
\mbox{<<}v_2\otimes w\mbox{>>},\\
|
||
& \mbox{<<}(\lambda v)\otimes w\mbox{>>} - \lambda\mbox{<<}v\otimes w\mbox{>>},\\
|
||
& \mbox{<<}v\otimes (w_1+w_2)\mbox{>>} - \mbox{<<}v\otimes w_1\mbox{>>} -
|
||
\mbox{<<}v\otimes w_2\mbox{>>},\\
|
||
& \mbox{<<}v\otimes (\lambda w)\mbox{>>} - \lambda\mbox{<<}v\otimes w\mbox{>>}
|
||
\end{align*}
|
||
для всех $v_1,v_2,v,w_1,w_2,w\in V$ и $\lambda\in k$.
|
||
Рассмотрим фактор-пространство $L/R$ и покажем, что
|
||
оно удовлетворяет определению тензорного произведения $V$
|
||
и $W$. Нам еще нужно построить билинейное отображение
|
||
$\ph\colon V\times W\to L/R$; для этого рассмотрим композицию $f$ и
|
||
канонической проекции $\pi\colon L\to L/R$. Проверим, что $\ph$
|
||
билинейно. Например, $\ph(v_1+v_2,w)-\ph(v_1,w)-\ph(v_2,w) =
|
||
\pi(\mbox{<<}(v_1+v_2)\otimes w\mbox{>>}) -
|
||
\pi(\mbox{<<}v_1\otimes w\mbox{>>}) -
|
||
\pi(\mbox{<<}v_2\otimes w\mbox{>>})
|
||
= \pi(\mbox{<<}(v_1+v_2)\otimes w\mbox{>>}-
|
||
\mbox{<<}v_1\otimes w\mbox{>>} -
|
||
\mbox{<<}v_2\otimes w\mbox{>>}) = 0$, поскольку выражение в скобках
|
||
лежит в $R$. Аналогично проверяется однородность и линейность по
|
||
второму аргументу.
|
||
|
||
Наконец, проверим универсальное свойство.
|
||
Пусть $\psi\colon V\times W\to U$~--- билинейное отображение.
|
||
По универсальному свойству базиса
|
||
(теорема~\ref{thm:universal-basis-property}) существует единственное
|
||
линейное отображение $\psi'\colon L\to U$ такое, что $\psi=\psi'\circ
|
||
f$. Для того, чтобы это отображение <<пропустить>> через
|
||
фактор-пространство
|
||
$L/R$, достаточно проверить, что отображение $\psi'$ переводит каждый
|
||
элемент $R$ в $0$ (в этом случае отображение $L/R\to U$,
|
||
$x+R\mapsto \psi'(x)$ корректно определено).
|
||
Но для этого достаточно проверить, что $\psi'$ переводит каждый
|
||
элемент из нашей системы, порождающей пространство $R$, в $0$.
|
||
Это очевидно в силу билинейности $\psi$; например,
|
||
\begin{align*}
|
||
\psi'(\mbox{<<}(v_1+v_2)\otimes w\mbox{>>} -
|
||
\mbox{<<}v_1\otimes w\mbox{>>} -
|
||
\mbox{<<}v_2\otimes w\mbox{>>})
|
||
&= \psi'(f(v_1+v_2,w)-f(v_1,w)-f(v_2,w)) \\
|
||
&= \psi'(f(v_1+v_2,w))-\psi'(f(v_1,w))-\psi'(f(v_2,w))\\
|
||
&= \psi(v_1+v_2,w) - \psi(v_1,w) - \psi(v_2,w)\\
|
||
&= 0.
|
||
\end{align*}
|
||
Таким образом, мы построили отображение
|
||
$\tld\psi\colon L/R = V\otimes W\to U$, для которого $\tld\psi\circ\ph
|
||
= \psi$. Для доказательства единственности осталось заметить, что
|
||
элементы вида $\ph(v,w)$ для $u\in V$, $w\in W$ являются образами в
|
||
$L/R$ базисных элементов пространства $L$. Поэтому такие элементы
|
||
порождают $U\otimes V$. Значит, линейное отображение $\tld\psi\colon
|
||
V\otimes W\to U$ полностью определяется своими значениями на таких
|
||
элементах: $\tld\psi(\ph(v,w)) = \psi(v,w)$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Итак, мы построили векторное пространство $V\otimes W$ вместе с
|
||
билинейным отображением $\ph\colon V\times W\to V\otimes W$. Слово
|
||
<<универсальность>> в названии универсального свойства означает, что
|
||
билинейное отображение $\ph$ универсально среди всех билинейных
|
||
отображений из $V\times W$ в следующем смысле: любое билинейное
|
||
отображение из $V\times W$ пропускается через $\ph$ (является
|
||
композицией $\ph$ и некоторого линейного отображения).
|
||
|
||
Элементы пространства $V\otimes W$ называются
|
||
\dfn{тензорами}\index{тензор}.
|
||
Образ пары $(v,w)$ под действием $\ph$ мы будем обозначать через
|
||
$v\otimes w\in V\otimes W$ и называть
|
||
\dfn{разложимым тензором}\index{тензор!разложимый}. Из определения
|
||
немедленно следует,
|
||
что $(v_1+v_2)\otimes w = v_1\otimes w + v_2\otimes w$,
|
||
$v\otimes(w_1+w_2) = v\otimes w_1 + v\otimes w_2$,
|
||
$(\lambda v)\otimes w = \lambda (v\otimes w) = u\otimes (\lambda v)$.
|
||
Заметим, однако, что (как правило) не любой тензор является
|
||
разложимым. В то же время, множество всех разложимых тензоров является
|
||
системой образующих пространства $V\otimes W$, поскольку это образы
|
||
базисных элементов пространства $L$ в нашей конструкции. В частности,
|
||
любой тензор является {\it суммой} конечного числа
|
||
разложимых. Поэтому, например, для задания линейного отображения из
|
||
$V\otimes W$ достаточно задать его на разложимых тензорах (на самом
|
||
деле, это еще одна переформулировка универсального свойства). Точнее,
|
||
если мы сопоставили каждому разложимому тензору $v\otimes w\in
|
||
V\otimes W$ некоторый элемент пространства $U$ {\em билинейным
|
||
образом}, то однозначно определено линейное отображение $V\otimes
|
||
W\to U$.
|
||
|
||
Отметим, что приведенная в доказательстве
|
||
теоремы~\ref{thm:tensor_product} конструкция совершенно чудовищна:
|
||
даже если пространства $V$ и $W$ конечномерны, по пути к $V\otimes W$
|
||
мы строим пространство $L$, которое, как правило, бесконечномерно:
|
||
даже если $\dim(V)=\dim(W)=1$ и $k=\mb R$, базис пространства $L$
|
||
имеет мощность континуума. На самом деле, тензорное произведение
|
||
конечномерных пространств конечномерно; если в пространствах $V$ и $W$
|
||
выбраны базисы, то и в $V\otimes W$ естественным образом возникает
|
||
базис.
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:tensor_product_basis}
|
||
Пусть $V,W$~--- векторные пространства над полем $k$, и пусть
|
||
$\mc B=\{e_1,\dots,e_m\}$~--- базис $V$,
|
||
$\mc C=\{f_1,\dots,f_n\}$~--- базис $W$.
|
||
Тогда элементы вида $e_i\otimes f_j$, $1\leq i\leq m$, $1\leq j\leq
|
||
n$, образуют базис пространства $V\otimes W$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Рассмотрим пространство $X$ размерности $mn$, базис которого состоит
|
||
из элементов вида $e_i\otimes f_j$. Сейчас мы определим билинейное
|
||
отображение $V\otimes W\to X$ и проверим, что $X$ вместе с этим
|
||
отображением удовлетворяет универсальному свойству тензорного
|
||
произведения.
|
||
|
||
Для определения $\ph$ сначала положим $\ph(e_i,f_j) = e_i\otimes f_j$.
|
||
Для двух произвольных векторов $v = \sum_i\lambda_i e_i\in V$
|
||
и $w = \sum_j\mu_j f_j\in W$ теперь определим $\ph(v,w)$ так,
|
||
чтобы $\ph$ было билинейным. Раскрывая скобки, получаем, что
|
||
$\ph(v,w) = \sum_{i,j}\lambda_i\mu_j e_i\otimes f_j$.
|
||
Очевидно, что построенное отображение $\ph\colon V\times W\to X$
|
||
билинейно.
|
||
|
||
Пусть теперь $U$~--- еще одно векторное пространство над $k$, и пусть
|
||
$\psi\colon V\times W\to U$~--- билинейное отображение. Так как
|
||
векторы $e_i\otimes f_j$ образуют базис пространства $X$, для
|
||
определения линейного отображения $\tld\psi\colon X\to U$ мы можем
|
||
задать его значения на этих векторых произвольным образом; полученное
|
||
линейное отображение определяется этим однозначно
|
||
(теорема~\ref{thm:universal-basis-property}).
|
||
Поэтому положим $\tld\psi(e_i\otimes f_j) = \psi(e_i,f_j)$ и продолжим
|
||
$\tld\psi$ до линейного отображения $X\to U$. Композиция
|
||
$\tld\psi\circ\ph$ билинейна и совпадает с $\psi$ на парах $(e_i,f_j)$,
|
||
поэтому $\tld\psi\circ\ph = \psi$. Вместе с тем, любое отображение,
|
||
композиция которого с $\ph$ равна $\psi$, должно на базисных векторах
|
||
$\ph(e_i,f_j)$ принимать значения $\psi(e_i,f_j)$, поэтому такое
|
||
отображение единственно.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{definition}\label{dfn:tensor_basis}
|
||
Базис из предложения~\ref{prop:tensor_product_basis} называется
|
||
\dfn{тензорным базисом}\index{тензорный базис} пространства $V\otimes
|
||
W$. Обычно мы
|
||
упорядочиваем его следующим ({\em лексикографическим}) образом:
|
||
$e_1\otimes f_1$, $e_1\otimes f_2$, \dots, $e_1\otimes f_n$, \dots,
|
||
$e_m\otimes f_1$, $e_m\otimes f_2$, \dots, $e_m\otimes f_n$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{corollary}
|
||
Если пространства $V,W$ над полем $k$ конечномерны, то $V\otimes W$
|
||
конечномерно и $\dim(V\otimes W) = \dim(V)\cdot\dim(W)$.
|
||
\end{corollary}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
Сравните формулу для размерности тензорного произведения с формулой
|
||
для прямой суммы: $\dim(V\oplus W) = \dim(V) + \dim(W)$. Это
|
||
свидетельство того, что тензорное произведение и прямая сумма~---
|
||
аналоги умножения и сложения для векторных пространств.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\subsection{Тензорное произведение нескольких пространств}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XIV, \S~4, п. 3; [KM], ч. 4, \S~1, пп. 2--5;
|
||
\S~2, пп. 1--3.}
|
||
|
||
Мы можем теперь попытаться определить тензорное произведение
|
||
{\it трех} пространств $U,V,W$ формулой $U\otimes V\otimes W =
|
||
(U\otimes V)\otimes W$. Однако, такое определение нарушает симметрию
|
||
между $U$, $V$ и $W$ (почему не $U\otimes (V\otimes W)$?). Поэтому мы
|
||
просто повторим универсальное определение тензорного произведения,
|
||
изменив его соответствующим образом.
|
||
|
||
Пусть $V_1,\dots,V_s$~--- векторные пространства над полем $k$. Тогда
|
||
их \dfn{тензорным
|
||
произведением}\index{тензорное произведение!нескольких пространств}
|
||
называется векторное пространство $V_1\otimes\dots\otimes V_s$ над $k$
|
||
вместе с полилинейным отображением
|
||
$\ph\colon V_1\times\dots\times V_s\to V_1\otimes\dots\otimes V_s$
|
||
таким, что для любого полилинейного отображения
|
||
$\psi\colon V_1\times\dots\times V_s\to U$ в некоторое векторное
|
||
пространство $U$ существует единственное линейное отображение
|
||
$\tld\psi\colon V_1\otimes\dots\otimes V_s\to U$ такое,
|
||
что $\psi = \tld\psi\circ\ph$:
|
||
$$
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
V_1\times\dots\times V_s \arrow{rr}{\ph} \arrow{rd}[swap]{\psi}
|
||
& & V_1 \otimes\dots\otimes V_s \arrow[dashed]{ld}{\tld\psi} \\
|
||
& U
|
||
\end{tikzcd}
|
||
$$
|
||
|
||
\begin{theorem}
|
||
Тензорное произведение любого конечного числа векторных пространств
|
||
$V_1,\dots,V_s$ существует и единственно с точностью до канонического
|
||
изоморфизма.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Доказательство этой теоремы совершенно такое же, как в случае двух
|
||
пространств (теорема~\ref{thm:tensor_product}).
|
||
А именно, рассмотрим векторное пространство $L$ с
|
||
базисом, состоящим из элементов
|
||
$\mbox{<<}v_1\otimes\dots\otimes v_s\mbox{>>}$, где $v_1,\dots,v_s$
|
||
пробегают всевозможные наборы элементов пространств $V_1,\dots,V_s$,
|
||
соответственно. Имеется естественное отображение множеств
|
||
$V_1\times\dots\times V_s\to L$, переводящее набор
|
||
$(v_1,\dots,v_s)$ в базисный элемент
|
||
$\mbox{<<}v_1\otimes\dots\otimes v_s\mbox{>>}$. Чтобы сделать это
|
||
отображение полилинейным, профакторизуем $L$ по линейной оболочке $R$
|
||
следующих элементов:
|
||
\begin{align*}
|
||
&\mbox{<<}\dots\otimes v_i+v'_i\otimes\dots\mbox{>>} -
|
||
\mbox{<<}\dots\otimes v_i\otimes\dots\mbox{>>} -
|
||
\mbox{<<}\dots\otimes v'_i\otimes\dots\mbox{>>};\\
|
||
&\mbox{<<}\dots\otimes \lambda v_i\otimes\dots\mbox{>>} -
|
||
\lambda\mbox{<<}\dots\otimes v_i\otimes\dots\mbox{>>}.
|
||
\end{align*}
|
||
Теперь сквозное отображение $\ph\colon V_1\times\dots\times V_s\to
|
||
L\to L/R$ полилинейно. Проверим, что оно универсально:
|
||
пусть $\psi\colon V_1\times\dots\times V_s\to U$~--- некоторое
|
||
полилинейное отображение.
|
||
Сопоставление $\mbox{<<}v_1\otimes\dots\otimes v_s\mbox{>>} \mapsto
|
||
\psi(v_1,\dots,v_s)$ задает линейное отображение $L\to U$, и элементы,
|
||
порождающие $R$, переходят в $0$ в силу полилинейности $\psi$. Поэтому
|
||
оно пропускается через фактор-пространство и мы получаем линейное
|
||
отображение $L/R\to U$. Таким образом, мы можем положить
|
||
$V_1\otimes\dots\otimes V_s = L/R$. Единственность тензорного
|
||
произведения доказывается буквально так же, как и в случае двух
|
||
пространств.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
Как и в случае двух пространств, образ набора $(v_1,\dots,v_s)\in
|
||
V_1\times\dots\times V_s$ в пространстве $V_1\otimes\dots\otimes V_s$
|
||
обозначается через $v_1\otimes\dots\otimes v_s$ и называется
|
||
\dfn{разложимым тензором}\index{тензор!разложимый};
|
||
для задания линейного отображения из
|
||
$V_1\otimes\dots\otimes V_s$ в $U$ достаточно определить его на
|
||
разложимых тензорах билинейным образом. Проиллюстрируем это на примере
|
||
доказательства следующей теоремы.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:tensor_assoc_and_comm}
|
||
Тензорное произведение векторных пространств ассоциативно и
|
||
коммутативно с точностью
|
||
до канонических изоморфизмов: а именно, для любых трех векторных
|
||
пространств $U,V,W$ имеют место канонические изоморфизмы
|
||
$(U\otimes V)\otimes W \isom U\otimes V\otimes W \isom U\otimes
|
||
(V\otimes W)$ и $U\otimes V \isom V\otimes U$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Определим отображение
|
||
$U\otimes V\otimes W\to (U\otimes V)\otimes W$
|
||
на разложимых тензорах формулой
|
||
$u\otimes v\otimes w\mapsto (u\otimes v)\otimes w$.
|
||
Эта формула задает линейные отображения, и той же формулой,
|
||
прочитанной справа налево, задается отображение в обратную
|
||
сторону. Очевидно, что композиция этих отображений
|
||
$U\otimes V\otimes W\to (U\otimes V)\otimes W\to
|
||
U\otimes V\otimes W$ тождественна на
|
||
разложимых тензорах, и потому тождественна на всем пространстве.
|
||
Аналогично доказывается изоморфизм
|
||
$U\otimes V\otimes W\isom U\otimes (V\otimes W)$.
|
||
Для задания отображения $U\otimes V\to V\otimes U$ отправим
|
||
$u\otimes v$ в $v\otimes u$; доказательство завершается так же.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{proposition}
|
||
Пусть $V_1,\dots,V_s$~--- векторные пространства над полем $k$
|
||
размерностей $n_1,\dots,n_s$;
|
||
$\mc B_j=\{e^j_1,\dots,e^j_{n_j}\}$~--- базис $V_j$ для каждого
|
||
$j=1,\dots,s$.
|
||
Тогда элементы вида $e^1_{i_1}\otimes\dots\otimes e^s_{i_s}$, где
|
||
$1\leq i_k\leq n_k$ для всех $k=1,\dots,s$, образуют базис
|
||
пространства $V_1\otimes\dots\otimes V_s$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Мы можем повторить доказательство
|
||
предложения~\ref{prop:tensor_product_basis}. А именно, рассмотрим
|
||
векторное пространство $W$ над $k$, базисом которого являются формальные
|
||
символы вида $e^1_{i_1}\otimes\dots\otimes e^s_{i_s}$. Определим
|
||
полилинейное отображение $\ph\colon V_1\times\dots\times V_s\to W$
|
||
следующим образом: набор базисных векторов
|
||
$(e^1_{i_1},\dots,e^s_{i_s})\in V_1\times\dots\times V_s$
|
||
отправим в базисный элемент $e^1_{i_1}\otimes\dots\otimes e^s_{i_s}$,
|
||
а дальше продолжим по полилинейности.
|
||
А именно,
|
||
если $(v_1,\dots,v_s)\in V_1\times\dots\times V_s$~--- набор
|
||
векторов, разложим каждый $v_j$ по базису $\mc B_j$. Получим равенства
|
||
вида $v_j = \sum_{i_j=1}^{n_j} e^j_{i_j} a_{i_j,j}$.
|
||
Положим
|
||
\begin{align*}
|
||
\ph(v_1,\dots,v_s) &= \ph(\sum_{i_1=1}^{n_1} e^1_{i_1}a_{i_1,1},
|
||
\dots,\sum_{i_s=1}^{n_s} e^s_{i_s}a_{i_s,s}) \\
|
||
&= \sum_{i_1=1}^{n_1}\dots\sum_{i_s=1}^{n_s}a_{i_1,1}\dots
|
||
a_{i_s,s}\ph(e^1_{i_1},\dots,e^s_{i_s}) \\
|
||
& = \sum_{i_1=1}^{n_1}\dots\sum_{i_s=1}^{n_s}a_{i_1,1}\dots
|
||
a_{i_s,s} e^1_{i_1}\otimes\dots\otimes e^s_{i_s}.
|
||
\end{align*}
|
||
Очевидно, что это отображение полилинейно; покажем, что пространство
|
||
$W$ вместе с $\ph$ удовлетворяет универсальному свойству из
|
||
определения тензорного произведения. Пусть $U$~--- произвольное
|
||
векторное пространство над $k$, и
|
||
$\psi\colon V_1\times\dots\times V_s\to U$~--- полилинейное
|
||
отображение. Покажем, что оно представляется в виде композиции $\ph$ и
|
||
некоторого линейного отображения $\tld\psi$.
|
||
Для задания $\tld\psi\colon W\to U$ достаточно задать его
|
||
(произвольным образом) на базисе, то есть, на элементах вида
|
||
$e^1_{i_1}\otimes\dots\otimes e^s_{i_s}$. Это можно сделать
|
||
единственным образом:
|
||
положим $\tld\psi(e^1_{i_1}\otimes\dots\otimes e^s_{i_s})
|
||
= \psi(e^1_{i_1},\dots, e^s_{i_s})$. Композиция $\tld\psi\circ\ph$,
|
||
разумеется, является полилинейным отображением и
|
||
совпадает с $\psi$ на наборах вида $(e^1_{i_1},\dots,e^s_{i_s})$, и
|
||
цепочка равенств выше показывает, что значение полилинейного
|
||
отображения на произвольном наборе $(v_1,\dots,v_s)$ выражается через
|
||
его значения на наборах такого вида. Поэтому $\tld\psi\circ\ph$
|
||
совпадает с $\psi$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Двойственное пространство}
|
||
|
||
\literature{[vdW], гл. IV, \S~21; [KM], ч. 1, \S~1, п. 9.}
|
||
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над полем $k$. Рассмотрим $k$ как
|
||
[одномерное] векторное пространство над $k$. Тогда множество
|
||
$\Hom(V,k)$ линейных отображений из $V$ в $k$ ({\it линейных функций}
|
||
на $V$) само является векторным пространством над $k$
|
||
(см. раздел~\ref{subsect:hom_space}). Операции на нем вполне
|
||
естественны: сложение функций и умножение функций на скаляры. Это
|
||
пространство мы будем обозначать через $V^* = \Hom(V,k)$ и называть
|
||
\dfn{пространством, двойственным к $V$}\index{векторное пространство!двойственное}
|
||
|
||
Пусть теперь $V$~--- {\it конечномерное} векторное пространство над
|
||
$k$ и $\mc B = (e_1,\dots,e_n)$~--- базис $V$. По универсальному
|
||
свойству базиса (теорема~\ref{thm:universal-basis-property}) для
|
||
задания элемента $\ph\in V^* = \Hom(V,k)$ достаточно задать
|
||
(произвольным образом) элементы $\ph(e_1),\dots,\ph(e_n)\in k$.
|
||
|
||
\begin{proposition}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над $k$ с базисом
|
||
$\mc B = (e_1,\dots,e_n)$.
|
||
Обозначим через $e_i^*$ функцию $V\to k$, равную $1$ на
|
||
базисном векторе $e_i$ и $0$ на всех остальных базисных
|
||
векторах. Таким образом, $e_i^*(e_i) = 1$ и $e_i^*(e_j) = 0$ при всех
|
||
$j\neq i$.
|
||
Тогда $(e^*_1,\dots,e^*_n)$~--- базис пространства $V^*$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $\ph\colon V\to k$~--- произвольный элемент пространства
|
||
$V^*$. Мы знаем (теорема~\ref{thm:universal-basis-property}), что
|
||
задать $\ph$~--- это то же самое, что задать значения
|
||
$\ph(e_1),\dots,\ph(e_n)\in k$. Рассмотрим функцию
|
||
$\ph(e_1)e^*_1 + \dots + \ph(e_n)e^*_n$. Покажем, что она совпадает с
|
||
$\ph$.
|
||
Действительно, для базисного вектора $e_i$ получаем
|
||
$(\ph(e_1)e^*_1 + \dots + \ph(e_n)e^*_n)(e_i)
|
||
= \ph(e_1)e^*_1(e_i) + \dots + \ph(e_1)e^*_n(e_i)
|
||
= \ph(e_i)e^*_i(e_i) = \ph(e_i)$.
|
||
Значит, функции $\ph(e_1)e^*_1 + \dots + \ph(e_n)e^*_n$ и $\ph$
|
||
совпадают на базисных векторах, а потому совпадают везде. Значит, мы
|
||
представили функцию $\ph$ как линейную комбинацию функций
|
||
$e^*_i$. Осталось показать, что функции $e^*_i$ линейно независимы.
|
||
|
||
Действительно, предположим, что $c_1 e^*_1 + \dots + c_n e^*_n =
|
||
0$~--- нетривиальная линейная комбинация. Это означает, что
|
||
$c_i\neq 0$ при некотором $i$. Но тогда
|
||
и $(c_1 e^*_1 + \dots + c_n e^*_n)(e_i) = 0$, а левая часть
|
||
равна $c_1 e^*_1(e_i) + \dots + c_n e^*_n(e_i) = c_i\neq 0$~---
|
||
противоречие.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Таким образом, в конечномерном случае пространства $V$ и $V^*$ имеют
|
||
одинаковую размерность. Из этого следует, что они изоморфны
|
||
(теорема~\ref{thm:isomorphic-iff-equidimensional}). Например, имеется
|
||
изоморфизм $V\to V^*$, отправляющий $e_i$ в $\ph_i$ при $i=1,\dots,n$,
|
||
если $e_1,\dots,e_n$~--- базис $V$. Однако, этот изоморфизм не
|
||
является каноническим, то есть, существенно зависит от выбора базиса.
|
||
В то же время, {\it дважды двойственное} пространство
|
||
$V^{**} = \Hom(V^*,k)$ {\it канонически} изоморфно $V$.
|
||
|
||
\begin{proposition}
|
||
Рассмотрим отображение $V\to V^{**}$, сопоставляющее вектору $v\in V$
|
||
функцию $v^{**}\colon V^*\to k$, заданную равенством $v^{**}(\ph) =
|
||
\ph(v)$ для всех $\ph\in V^*$. Если пространство $V$ конечномерно, то
|
||
указанное отображение является изоморфизмом.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Нетрудно проверить, что $v^{**}$ является линейным
|
||
отображением $V^*\to k$. Действительно, если $\ph,\psi\in V^*$,
|
||
$\lambda\in k$, то
|
||
$v^{**}(\ph+\psi) = (\ph+\psi)(v) = \ph(v) + \psi(v) = v^{**}(\ph) +
|
||
v^{**}(\psi)$ и $v^{**}(\lambda\ph) = (\lambda\ph)(v) = \lambda\cdot\ph(v)
|
||
= \lambda\cdot v^{**}(\ph)$.
|
||
|
||
Таким образом, $v^{**}\in V^{**}$ для всех $v\in V$. Покажем, что
|
||
сопоставление $v\mapsto v^{**}$ линейно зависит от $v$. Необходимо
|
||
проверить, что $(v+w)^{**} = v^{**} + w^{**}$ и $(\lambda v)^{**} =
|
||
\lambda v^{**}$. Чтобы проверить совпадение двух отображений $V^*\to
|
||
k$, достаточно проверить, что результаты их применения к произвольному
|
||
элементу $\ph\in V^*$ совпадают:
|
||
$(v+w)^{**}(\ph) = \ph(v+w) = \ph(v)+\ph(w) = v^{**}(\ph) +
|
||
w^{**}(\ph)$, $(\lambda v)^{**}(\ph) = \ph(\lambda v) =
|
||
\lambda\cdot\ph(v) = \lambda\cdot v^{**}(\ph)$.
|
||
|
||
Мы получили линейное отображение $V\to V^{**}$. Покажем, что оно
|
||
инъективно. Для этого достаточно проверить, что его ядро
|
||
тривиально. Пусть вектор $v\in V$ таков, что $v^{**}=0$. Это означает,
|
||
что $v^{**}(\ph) = 0$ для всех $\ph\in V^*$, то есть, что $\ph(v)=0$
|
||
для всех $\ph\colon V\to k$. Покажем, что из этого следует, что
|
||
$v=0$. Действительно, если $v\neq 0$, то вектор $v$ можно дополнить до
|
||
базиса $(v,e_1,e_2,\dots)$ пространства $V$. Определим функцию
|
||
$\ph_v\in V^*$ равенствами $\ph_v(v)=1$, $\ph_v(e_i)=0$ для всех
|
||
$i$. По универсальному свойству базиса этого достаточно для
|
||
корректного определения линейного отображения $\ph_v\colon V\to k$. По
|
||
предположению $\ph_v(v) = 0$, в то время как мы положили
|
||
$\ph_v(v) = 1$~--- противоречие.
|
||
|
||
Наконец, воспользуемся конечномерностью: мы знаем, что $\dim(V^{**}) =
|
||
\dim(V^*) = \dim(V)$, и у нас есть инъективное отображение $V\to
|
||
V^{**}$. По теореме о гомоморфизме~\ref{thm:homomorphism-linear}
|
||
из этого следует, что наше отображение сюръективно
|
||
и, стало быть, является изоморфизмом векторных пространств.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Канонические изоморфизмы}
|
||
|
||
\literature{[KM], ч. 4, \S~2, пп. 4--6.}
|
||
|
||
\begin{theorem}[Выражение $\Hom$ через $\otimes$]\label{thm:hom_and_otimes}
|
||
Для любых конечномерных векторных пространств $U,V$ над $k$ имеет
|
||
место канонический изоморфизм
|
||
$$
|
||
U\otimes V\isom\Hom(U^*,V).
|
||
$$
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Определим отображение $\eta\colon U\otimes V\to\Hom(U^*,V)$, отправив
|
||
разложимый тензор $u\otimes v\in U\otimes V$ в
|
||
отображение $U^*\to V$, $\ph\mapsto\ph(u)v$. Написанная формула
|
||
билинейно зависит от $u$ и от $v$, поэтому корректно определяет
|
||
линейное отображение из тензорного произведения $U\otimes V$.
|
||
|
||
Покажем, что $\eta$~--- изоморфизм. Для этого выберем базис
|
||
$(f_1,\dots,f_m)$ в $U$ и базис $(e_1,\dots,e_n)$ в $V$.
|
||
При этом $\{f_j\otimes e_i\}$~--- базис в $U\otimes V$
|
||
(предложение~\ref{prop:tensor_product_basis}).
|
||
Вспомним, как строится базис пространства $\Hom(U^*,V)$.
|
||
Заметим, что в пространстве $U^*$ у нас есть базис
|
||
$(\ph_1,\dots,\ph_m)$, двойственный базису $(f_1,\dots,f_m)$.
|
||
Как мы знаем из теоремы~\ref{thm:hom-isomorphic-to-m},
|
||
после выбора базисов в $U^*$ и $V$ пространство $\Hom(U^*,V)$
|
||
оказывается изоморфно пространству матриц $M(n,m,k)$,
|
||
а в этом пространстве имеется стандартный базис из матричных
|
||
единиц. Матричная единица $E_{ij}$ соответствует отображению
|
||
$U^*\to V$, которое $\ph_j$ переводит в $e_i$, а все остальные
|
||
базисные векторы $\ph_h$, $h\neq j$, отправляет в $0$. Обозначим это
|
||
отображение через $a_{ij}$.
|
||
|
||
Мы утверждаем, что отображение $\eta$ переводит $f_j\otimes e_i$ в
|
||
$a_{ij}$.
|
||
Действительно, по нашему определению $f_j\otimes e_i$ переводится
|
||
в отображение $U^*\to V$, $\ph\mapsto\ph(f_j)e_i$. Проверим, что это и
|
||
есть $a_{ij}$. Действительно, $\ph_j\mapsto\ph_j(f_j)e_i = e_i$
|
||
и $\ph_h\mapsto\ph_h(f_j)e_i = 0$ при $h\neq j$.
|
||
|
||
Таким образом, отображение $\eta$ переводит базис пространства
|
||
$U\otimes V$ в базис пространства $\Hom(U^*,V)$, а потому биективно.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{corollary}\label{cor:hom_and_otimes_2}
|
||
Для любых конечномерных векторных пространств $U,V$ над $k$ имеет
|
||
место канонический изоморфизм
|
||
$$
|
||
U^*\otimes V\isom\Hom(U,V).
|
||
$$
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
Применим предыдущую теорему к $U^*$ и $V$:
|
||
$U^*\otimes V \isom \Hom((U^*)^*,V) \isom \Hom(U,V)$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{corollary}\label{cor:u_otimes_k}
|
||
Для любого конечномерного векторного пространства $U$ над $k$ имеет
|
||
место канонический изоморфизм
|
||
$U\otimes k\isom U$.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
По теореме~\ref{thm:hom_and_otimes} есть канонический изоморфизм
|
||
$U\otimes k\isom\Hom(U^*,k)$; правая часть по определению равна
|
||
$(U^*)^*\isom U$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{theorem}[Двойственность и $\otimes$]\label{thm:duality_and_otimes}
|
||
Для любых конечномерных векторных пространств $U,V$ над $k$ имеет
|
||
место канонический изоморфизм
|
||
$$
|
||
(U\otimes V)^*\isom U^*\otimes V^*.
|
||
$$
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Зададим отображение $U^*\otimes V^*\to (U\otimes V)^*$. Как всегда,
|
||
достаточно определить его на разложимых тензорах
|
||
$\ph\otimes\psi\in U^*\otimes V^*$. Образом этого тензора должен быть
|
||
элемент пространства $(U\otimes V)^*$, то есть, линейное отображение
|
||
$U\otimes V\to k$, которое достаточно задать на разложимых тензорах
|
||
$u\otimes v\in U\otimes V$. Отправим такой тензор в
|
||
$\ph(u)\psi(v)\in k$.
|
||
Очевидно, что написанное выражение билинейно зависит от $(u,v)$,
|
||
потому определяет элемент пространства $(U\otimes V)^*$. С другой
|
||
стороны, этот элемент билинейно зависит от $(\ph,\psi)$.
|
||
Итак, мы построили линейное отображение
|
||
$\eta\colon U^*\otimes V^*\to (U\otimes V)^*$:
|
||
отправляющее $\ph\otimes\psi$ в линейное отображение
|
||
$u\otimes v\mapsto \ph(u)\psi(v)$.
|
||
|
||
Покажем, что построенное отображение является изоморфизмом. Для этого
|
||
выберем базис $(f_1,\dots,f_m)$ в пространстве $U$ и базис
|
||
$(e_1,\dots,e_n)$ в пространстве $V$. Тогда в пространствах $U^*$ и
|
||
$V^*$ возникают двойственные базисы: $(f_1^*,\dots,f_m^*)$ и
|
||
$(e_1^*,\dots,e_n^*)$, соответственно. Поэтому в пространстве
|
||
$U^*\otimes V^*$ естественно взять тензорное произведение этих
|
||
двойственных базисов $(f_j^*\otimes e_i^*)$. С другой стороны, в
|
||
пространстве $(U\otimes V)^*$ естественно выбрать базис, двойственный
|
||
к тензорному произведению исходных базисов $U$ и $V$:
|
||
$(f_j\otimes e_i)^*$.
|
||
|
||
Покажем, что при нашем линейном отображении
|
||
$\eta$ базисный элемент $f_j^*\otimes e_i^*$ переходит в базисный
|
||
элемент $(f_j\otimes e_i)^*$. Действительно,
|
||
по определению $\eta(f_j^*\otimes e_i^*)$~--- это линейное
|
||
отображение, отправляющее $u\otimes v$ в $f_j^*(u)e_i^*(v)$. Если мы
|
||
подставим в него $u=f_j$ и $v=e_i$, то получим $f_j^*(f_j)e_i^*(e_i) =
|
||
1$; если же подставим любую другую пару $u=f_k$, $v=e_h$ (где $k\neq
|
||
j$ или $h\neq i$), то получим $f_j^*(f_k)e_i^*(e_h) = 0$, поскольку
|
||
хотя бы один сомножитель равен нулю. Значит, $\eta(f_j^*\otimes
|
||
e_i^*)$ переводит базисный элемент $f_j\otimes e_i\in U\otimes V$ в
|
||
$1$, а все остальные базисные элементы в $0$. Но $(f_j\otimes e_i)^*$
|
||
действует ровно так же на базисных элементах, поэтому
|
||
$\eta(f_j^*\otimes e_i^*) = (f_j\otimes e_i)^*$, что и требовалось.
|
||
Таким образом, $\eta$ переводит базис в базис, и потому является
|
||
изоморфизмом.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{corollary}
|
||
Для любых конечномерных векторных пространств $U_1,\dots,U_s$ над $k$
|
||
имеет место канонический изоморфизм
|
||
$$
|
||
(U_1\otimes\dots\otimes U_s)^*\isom U_1^*\otimes\dots\otimes U_s^*.
|
||
$$
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
По индукции из теоремы~\ref{thm:duality_and_otimes} и
|
||
предложения~\ref{prop:tensor_assoc_and_comm}.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{theorem}[Сопряженность $\otimes$ и $\Hom$]\label{thm:otimes_hom_adjoint}
|
||
Для любых конечномерных векторных пространств $U,V,W$ над $k$ имеет
|
||
место канонический изоморфизм
|
||
$$
|
||
\Hom(U\otimes V,W)\isom\Hom(U,\Hom(V,W)).
|
||
$$
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Заметим сначала, что размерности обеих частей равны
|
||
$\dim(U)\cdot\dim(V)\cdot\dim(W)$. Рассмотрим произвольный элемент
|
||
$\ph\in\Hom(U,\Hom(V,W))$. Он сопоставляет (линейным образом)
|
||
каждому элементу $u\in U$ некоторое линейное отображение
|
||
$\ph_u\colon V\to W$, $v\mapsto\ph_u(v)$. Построим теперь по этому
|
||
элементу $\ph$ линейное отображение из $U\otimes V$ в $W$ следующим
|
||
образом: разложимый тензор $u\otimes v\in U\otimes V$ отправим в
|
||
$\ph_u(v)\in W$. Это сопоставление билинейно зависит от $u$ и от $v$,
|
||
(поскольку $\ph$ и $\ph_u$ линейны), и потому мы получили однозначно
|
||
определенное линейное отображение $\eta(\ph)\colon U\otimes V\to W$,
|
||
то есть, элемент $\Hom(U\otimes V, W)$. При этом сопоставление
|
||
$\ph\mapsto\eta(\ph)$ является, очевидно, линейным.
|
||
Наконец, покажем, что $\eta$ является инъекцией. Предположим, что
|
||
$\eta(\ph)=0$, то есть, $\eta(\ph)(u\otimes v)=0$ для всех $u\in U$,
|
||
$v\in V$. Но по нашему определению $\eta(\ph)(u\otimes v) = \ph_u(v)$;
|
||
поэтому $\ph_u(v)=0$ при всех $u\in U$, $v\in V$, откуда $\ph_u=0$ при
|
||
всех $u\in U$, откуда $\ph=0$.
|
||
Теперь из инъективности $\eta$ и совпадения размерностей следует, что
|
||
$\eta$ и сюръективно, а потому является изоморфизмом.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
На самом деле в доказательстве этой теоремы можно было, как и раньше,
|
||
выбрать базисы в $U,V,W$, получить базисы во всех фигурирующих в
|
||
формулировке пространствах, и честно проверить, что построенное
|
||
отображение $\eta$ переводит базис в базис. Еще один вариант
|
||
доказательства теоремы~\ref{thm:otimes_hom_adjoint}~---
|
||
воспользоваться уже доказанными изоморфизмами:
|
||
$\Hom(U\otimes V,W)\isom (U\otimes V)^*\otimes W\isom
|
||
(U^*\otimes V^*)\otimes W\isom U^*\otimes(V^*\otimes W)
|
||
\isom U^*\otimes\Hom(V,W) \isom\Hom(U,\Hom(V,W))$
|
||
|
||
\subsection{Тензорное произведение линейных отображений}
|
||
|
||
\literature{[K2], гл. 6, \S~1, пп. 2, 5; [KM], ч. 4, \S~2, п. 7.}
|
||
|
||
Пусть $\ph\colon U\to V$, $\psi\colon W\to Z$~--- линейные
|
||
отображения. Сейчас мы определим их \dfn{тензорное
|
||
произведение}\index{тензорное произведение!линейных отображений}
|
||
$\ph\otimes\psi$, которое будет линейным отображением из $U\otimes W$
|
||
в $V\otimes Z$.
|
||
Сопоставим разложимому тензору $u\otimes w\in U\otimes W$
|
||
разложимый тензор $\ph(u)\otimes\psi(w)\in V\otimes Z$. Нетрудно
|
||
видеть, что это сопоставление ведет себя билинейно по $u$ и по $w$, и
|
||
потому задает корректно определенное линейное отображение
|
||
$$\ph\otimes\psi\colon U\otimes W\to V\otimes Z.$$
|
||
Покажем, что это определение обладает естественными свойствами.
|
||
|
||
\begin{theorem}\label{thm:tensor_product_maps}
|
||
Тензорное произведение линейных отображений обладает следующими
|
||
свойствами:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $(\ph'\ph)\otimes(\psi'\psi) =
|
||
(\ph'\otimes\psi')(\ph\otimes\psi)$;
|
||
\item $\id_U\otimes\id_V = \id_{U\otimes V}$;
|
||
\item $(\ph+\ph')\otimes\psi = \ph\otimes\psi + \ph'\otimes\psi$;
|
||
\item $\ph\otimes(\psi+\psi') = \ph\otimes\psi + \ph\otimes\psi'$;
|
||
\item $(\lambda\ph)\otimes\psi = \lambda(\ph\otimes\psi) = \ph\otimes(\lambda\psi)$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Мы проверим самое сложное свойство~--- первое.
|
||
Пусть $U\stackrel{\ph}{\to} V \stackrel{\ph'}{\to} V'$,
|
||
$W\stackrel{\psi}{\to} Z \stackrel{\psi'}{\to} Z'$~--- линейные
|
||
отображения.
|
||
Выберем векторы $u\in U$, $w\in W$ и применим
|
||
$(\ph'\ph)\otimes(\psi'\psi)$ к разложимому тензору $u\otimes w$. По
|
||
определению получаем
|
||
$$
|
||
((\ph'\ph)\otimes(\psi'\psi))(u\otimes w) =
|
||
(\ph'\ph)(u)\otimes(\psi'\psi)(w) =
|
||
\ph'(\ph(u))\otimes\psi'(\psi(w)).
|
||
$$
|
||
С другой стороны,
|
||
$$
|
||
(\ph'\otimes\psi')(\ph\otimes\psi)(u\otimes w) =
|
||
(\ph'\otimes\psi')(\ph(u)\otimes\psi(w)) =
|
||
\ph'(\ph(u))\otimes\psi'(\psi(w)).
|
||
$$
|
||
Значит, два указанных отображения совпадают на всех разложимых
|
||
тензорах, а потому равны.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{theorem}
|
||
Для любых конечномерных векторных пространств $U,V,W,Z$ над $k$ имеет
|
||
место канонический изоморфизм
|
||
$$\Hom(U\otimes W,V\otimes Z) \isom \Hom(U,V)\otimes\Hom(W,Z).$$
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Мы построили отображение
|
||
$\Hom(U,V)\times\Hom(W,Z)\to\Hom(U\otimes W,V\otimes Z)$,
|
||
$(\ph,\psi)\mapsto\ph\otimes\psi$.
|
||
По теореме~\ref{thm:tensor_product_maps} это сопоставление билинейно,
|
||
поэтому определяет линейное отображение
|
||
$\Hom(U,V)\otimes\Hom(W,Z) \to \Hom(U\otimes W,V\otimes Z)$, и обычные
|
||
рассуждения (например, выбор базисов во всех указанных пространствах)
|
||
убеждают нас, что получился изоморфизм.
|
||
Еще один способ доказательства~--- воспользоваться уже доказанными
|
||
изоморфизмами:
|
||
$$\Hom(U\otimes W,V\otimes Z) \isom (U\otimes W)^*\otimes (V\otimes Z)
|
||
\isom (U^*\otimes V)\otimes (W^*\otimes Z) \isom
|
||
\Hom(U,V)\otimes\Hom(W,Z).$$
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Выясним, как выглядит матрица тензорного произведения линейных
|
||
отображений.
|
||
Пусть вообще $x\in M(l,m,k)$, $y\in M(n,p,k)$~--- две произвольные
|
||
матрицы над полем $k$. Определим \dfn{кронекерово
|
||
произведение}\index{кронекерово произведение} матриц
|
||
$x$ и $y$ как матрицу $x\otimes y\in M(lm,np,k)$, которую проще всего
|
||
представлять себе блочной матрицей
|
||
$$
|
||
x\otimes y = \begin{pmatrix}x_{11}y & \dots & x_{1m}y\\
|
||
\vdots & \ddots & \vdots\\
|
||
x_{l1}y & \dots & x_{lm}y\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
Обратите внимание, что кронекерово произведение матриц мы обозначаем
|
||
тем же значком $\otimes$, что и тензорное произведение. Это не
|
||
случайно: заметим пока, что кронекерово произведение обладает многими
|
||
обычными свойствами тензорного произведения.
|
||
|
||
\begin{proposition}[Свойства кронекерова
|
||
произведения]\label{prop:kronecker_product}
|
||
\hspace{1em}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item {\em Ассоциативность}: $(x\otimes y)\otimes z = x\otimes
|
||
(y\otimes z)$ (после забывания блочных структур).
|
||
\item {\em Дистрибутивность относительно сложения}: $(x+y)\otimes z =
|
||
x\otimes z + y\otimes z$, $x\otimes (y+z) = x\otimes y + x\otimes
|
||
z$.
|
||
\item {\em Однородность}: $(\alpha x)\otimes y = \alpha (x\otimes y) =
|
||
x\otimes (\alpha y)$.
|
||
\item {\em Взаимная дистрибутивность кронекерова произведения и
|
||
умножения}: $(xy)\otimes (uv) = (x\otimes u)(y\otimes v)$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Все эти свойства легко проверяются прямым вычислением.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Наконец, мы готовы показать, что матрица тензорного произведения
|
||
линейных отображений является кронекеровым произведением матриц этих
|
||
отображений. Для простоты мы ограничимся случаем линейных операторов
|
||
(то есть, квадратных матриц). Рассмотрим линейные операторы
|
||
$\ph\colon U\to U$, $\psi\colon V\to V$ на конечномерных пространствах
|
||
$U$, $V$. Как обычно, после выбора базисов $(e_1,\dots,e_m)$ в $U$ и
|
||
$(f_1,\dots,f_n)$ в $V$ мы можем считать, что $U = k^m$, $V=k^n$~---
|
||
пространства столбцов. В этом случае векторы $u\in U$, $v\in V$
|
||
истолковываются как столбцы высоты $m$ и $n$, соответственно, а
|
||
линейный оператор~--- как умножение на квадратную матрицу: если
|
||
$a,b$~--- матрицы операторов $\ph$, $\psi$ в выбранных базисах,
|
||
получаем линейные отображения
|
||
$$
|
||
\ph\colon U\to U, u\mapsto au,
|
||
$$
|
||
где $a\in M(m,k)$, и
|
||
$$
|
||
\psi\colon V\to V, v\mapsto bv,
|
||
$$
|
||
где $b\in M(n,k)$.
|
||
|
||
В пространстве $U\otimes V$ имеется тензорный базис $(e_i\otimes
|
||
f_j)$, в котором $mn$ элементов. Он позволяет отождествить $U\otimes
|
||
V$ с $k^{mn}$. При нашем упорядочивании тензорного базиса
|
||
(см. определение~\ref{dfn:tensor_basis}) это отождествление выглядит
|
||
следующим образом. Пусть $u = \sum_i u_i e_i$, $v = \sum_j v_j f_j$.
|
||
Тогда $u\otimes v = (\sum_i u_ie_i)\otimes (\sum_j v_jf_j)
|
||
= \sum_{i,j}u_iv_j(e_i\otimes f_j)$. Это означает, что
|
||
$$
|
||
\begin{pmatrix}u_1\\ \dots \\ u_m\end{pmatrix}
|
||
\otimes
|
||
\begin{pmatrix}v_1\\ \dots \\ v_n\end{pmatrix}
|
||
=
|
||
\begin{pmatrix}u_1v_1\\ \dots \\ u_1v_n \\ u_2v_1 \\ \dots \\ u_mv_1
|
||
\\ \dots \\ u_mv_n\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
|
||
\begin{theorem}
|
||
Если матрица оператора $\ph$ в базисе $(e_i)$ равна $a$, а матрица
|
||
оператора $\psi$ в базисе $(f_j)$ равна $b$, то матрица оператора
|
||
$\ph\otimes\psi$ в тензорном базисе $(e_i\otimes f_j)$ равна
|
||
кронекеровому произведениею $a\otimes b$.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $u\in U$, $v\in V$~--- произвольные векторы. По определению
|
||
тензорное произведение отображений $\ph$ и $\psi$ действует на
|
||
разложимый тензор $u\otimes v\in U\otimes V$ следующим образом:
|
||
$(\ph\otimes\psi)(u\otimes v) = \ph(u)\otimes\psi(v)$.
|
||
С другой стороны, кронекерово произведение $a\otimes b$ умножается на
|
||
столбец $u\otimes v$ следующим образом:
|
||
$(a\otimes b)(u\otimes v) = (au\otimes bv)$~--- здесь мы
|
||
воспользовались свойством~4 из
|
||
предложения~\ref{prop:kronecker_product}.
|
||
Но при наших отождествлениях $au = \ph(u)$, $bv = \psi(v)$. Поэтому
|
||
отображение $\ph\otimes\psi$ совпадает с умножением на матрицу
|
||
$a\otimes b$ на разложимых тензорах, а значит и везде.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Тензорные пространства}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XIV, \S~4, п. 4; [K2], гл. 6, \S~1, п. 1; [vdW],
|
||
гл. IV, \S~24; [KM], ч. 4, \S~3, пп. 1--2.}
|
||
|
||
Пусть $V$~--- конечномерное векторное пространство над полем $k$, и
|
||
$V^* = \Hom(V,k)$~--- двойственное к нему. В ближайших
|
||
параграфах мы будем изучать векторные пространства
|
||
$$
|
||
T^p_q(V) = \underbrace{V\otimes\dots\otimes V}_{p\mbox{ раз}} \otimes
|
||
\underbrace{V^*\otimes\dots\otimes V^*}_{q\mbox{ раз}}.
|
||
$$
|
||
Пространство $T^p_q(V)$ традиционно называется пространством $q$ раз
|
||
ковариантных и $p$ раз контравариантных тензоров, или просто
|
||
\dfn{тензорным пространством}\index{тензорное пространство} (если из
|
||
контекста понятно, о каких значениях $p$, $q$ идет речь). Элементы
|
||
тензорных пространств называются \dfn{тензорами}\index{тензор} над
|
||
$V$. Если $x\in T^p_q(V)$, то пара $(p,q)$ называется
|
||
\dfn{типом}\index{тип тензора} тензора $x$, $p$ называется его
|
||
\dfn{контравариантной
|
||
валентностью}\index{валентность!контравариантная}, а
|
||
$q$~--- его \dfn{ковариантной
|
||
валентностью}\index{валентность!ковариантная}. Сумма $p+q$
|
||
называется \dfn{полной валентностью}\index{валентность!полная}. Если
|
||
$p=0$, тензор $x$ называется \dfn{чисто
|
||
ковариантным}\index{тензор!чисто ковариантный}, а если $q=0$~---
|
||
\dfn{чисто контравариантным}\index{тензор!чисто контравариантный}.
|
||
|
||
На самом деле, нам уже встречались тензоры небольшой валентности:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item При $p=q=0$ удобно считать, что $T^0_0(V) = k$; тензоры типа
|
||
$(0,0)$~--- это просто скаляры.
|
||
\item $T^1_0(V)=V$~--- векторы;
|
||
\item $T^0_1(V)=V^*$~--- ковекторы;
|
||
\item $T^2_0(V) = V\otimes V = (V^*\otimes V^*)^* = \Hom(V^*\otimes
|
||
V^*,k)$. Напомним, что (по определению тензорного произведения)
|
||
линейные отображения из $V^*\otimes V^*$ в $k$~--- это то же самое, что
|
||
{\em билинейные} отображения из $V^*\times V^*$ в $k$. Поэтому тензоры
|
||
типа $(2,0)$ можно интерпретировать как билинейные формы на $V^*$.
|
||
\item $T^1_1(V) = V\otimes V^* = \Hom(V,V)$~--- линейные операторы на
|
||
$V$.
|
||
\item $T^0_2(V) = V^*\otimes V^* = (V\otimes V)^* = \Hom(V\otimes
|
||
V,k)$. Как и в случае тензоров типа $(2,0)$, заметим, что линейные
|
||
отображения из $V\otimes V$ в $k$~--- это в точности билинейные
|
||
отображения из $V\times V$ в $k$. Поэтому тензоры типа $(0,2)$ можно
|
||
интерпретировать как билинейные формы на $V$.
|
||
\item $T^1_2(V) = V\otimes V^*\otimes V^* = (V\otimes V)^*\otimes V =
|
||
\Hom(V\otimes V,V)$; то есть, тензоры типа $(1,2)$~--- это
|
||
билинейные отображения из $V\times V$ в $V$; при желании можно это
|
||
интерпретировать как задание умножения на векторах,
|
||
дистрибутивного относительно суммы.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\subsection{Тензоры в классических обозначениях}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XIV, \S~1; [K2], гл. 6, \S~1, пп. 3, 4; [KM],
|
||
ч. 4, \S~4, пп. 1--4.}
|
||
|
||
В прикладной математике и инженерных науках все встречающиеся тензоры
|
||
(тензор деформации, тензор электромагнитного поля, тензор инерции,
|
||
тензор Эйнштейна\dots) возникают почти исключительно в координатной
|
||
записи.
|
||
Напомним, что если в пространстве $V$ выбран базис $\mc E=(e_1,\dots,e_n)$,
|
||
то в двойственном пространстве возникает двойственный базис
|
||
$(e_1^*,\dots,e_n^*)$. Для того, чтобы приблизить наши обозначения к
|
||
традиционным, мы будем обозначать двойственный базис через
|
||
$(e^1,\dots,e^n)$.
|
||
Каждый вектор $v\in V$ можно разложить по базису $\mc E$:
|
||
$$
|
||
v = \sum e_i v^i = \begin{pmatrix}e_1 & \dots & e_n\end{pmatrix}
|
||
\begin{pmatrix}v^1\\\vdots\\ v^n\end{pmatrix},
|
||
$$
|
||
а каждый ковектор $\ph\in V^*$~--- по двойственному базису:
|
||
$$
|
||
\ph = \sum \ph_i e^i = \begin{pmatrix}\ph_1 & \dots &
|
||
\ph_n\end{pmatrix}
|
||
\begin{pmatrix}e^1\\\vdots\\ e^n\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
|
||
При этом в тензорном пространстве $T^p_q$ (для произвольных $p,q$)
|
||
возникает тензорный базис, состоящий из векторов вида
|
||
$e_{i_1}\otimes\dots\otimes e_{i_p}\otimes
|
||
e^{j_1}\otimes\dots\otimes e{j_q}$, где
|
||
$1\leq i_1,\dots,i_p,j_1,\dots,j_q\leq n$.
|
||
Таким образом, каждый тензор $x\in T^p_q(V)$ можно единственным
|
||
образом записать в виде
|
||
$$
|
||
x = \sum_{\substack{i_1,\dots,i_p \\ j_1,\dots,j_q}}
|
||
x^{i_1\dots i_p}_{j_1\dots j_q} e_{i_1}\otimes\dots\otimes
|
||
e_{i_p}\otimes e^{j_1}\otimes\dots\otimes e^{j_q},
|
||
$$
|
||
где $x^{i_1\dots i_p}_{j_1\dots j_q}\in k$~--- координаты тензора в
|
||
этом базисе.
|
||
|
||
Традиционно тензор задавался явным перечислением своих координат. При
|
||
этом, поскольку этот набор зависит от выбора базиса, приходится
|
||
указывать, как же преобразуются координаты тензора при другом выборе
|
||
базиса.
|
||
|
||
Для этого выберем в $V$ другой базис $\mc F = (f_1,\dots,f_n)$,
|
||
который будет называться {\em новым} (в отличие от {\em старого}
|
||
базиса $\mc E = (e_1,\dots,e_n)$). Напомним, что мы изучали, как
|
||
связаны координаты векторов в этих базисах, с помощью [обратимой]
|
||
матрицы перехода
|
||
$C = (\mc E\rsa\mc F)$
|
||
(см. определение~\ref{def:change_of_basis_matrix}):
|
||
$$
|
||
\begin{pmatrix} f_1 & \dots & f_n\end{pmatrix} =
|
||
\begin{pmatrix} e_1 & \dots & e_n\end{pmatrix}\cdot C.
|
||
$$
|
||
Вспомним, как преобразуются координаты вектора $v = \sum_i e_iv^i$ при
|
||
замене базиса:
|
||
$$
|
||
v = \begin{pmatrix}e_1 & \dots & e_n\end{pmatrix}
|
||
\begin{pmatrix}v^1\\\vdots\\ v^n\end{pmatrix} =
|
||
\begin{pmatrix}e_1 & \dots & e_n\end{pmatrix}\cdot C\cdot C^{-1}\cdot
|
||
\begin{pmatrix}v^1\\\vdots\\ v^n\end{pmatrix} =
|
||
\begin{pmatrix}f_1 & \dots & f_n\end{pmatrix}\cdot
|
||
C^{-1}\begin{pmatrix}v^1\\\vdots\\ v^n\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
Таким образом, при переходе в новый базис столбец координат вектора
|
||
умножается на $C^{-1}$. Это означает
|
||
(см. замечание~\ref{rem:contravariant_change}), что координаты вектора
|
||
преобразуются {\em контравариантным образом}; именно поэтому число $p$
|
||
в определении тензорного пространства $T^p_q(V)$ называется
|
||
контравариантной валентностью.
|
||
В то же время координаты {\em ковектора} преобразуются
|
||
{\em ковариантным образом}. Действительно, по определению
|
||
двойственного базиса
|
||
$$
|
||
e^i(e_j)= \begin{cases}1,&i=j\\ 0,&i\neq j\end{cases}.
|
||
$$
|
||
Это означает, что
|
||
$$
|
||
\begin{pmatrix}e^1\\ \vdots \\ e^n\end{pmatrix}
|
||
\cdot
|
||
\begin{pmatrix}e_1 & \dots & e_n\end{pmatrix} =
|
||
\begin{pmatrix} 1 & \dots & 0\\\vdots & \ddots & \vdots\\0 & \dots &
|
||
1\end{pmatrix} = E.
|
||
$$
|
||
и аналогично для базиса $\mc F$.
|
||
Домножим последнее равенство на $C^{-1}$ слева и на $C$ справа:
|
||
$$
|
||
C^{-1}\begin{pmatrix}e^1\\ \vdots \\ e^n\end{pmatrix}
|
||
\cdot
|
||
\begin{pmatrix}e_1 & \dots & e_n\end{pmatrix}C =
|
||
C^{-1}EC = E.
|
||
$$
|
||
В левой части стоит
|
||
$C^{-1}\begin{pmatrix}e^1\\ \vdots \\ e^n\end{pmatrix}
|
||
\cdot
|
||
\begin{pmatrix}f_1 & \dots & f_n\end{pmatrix}$,
|
||
поэтому
|
||
$$
|
||
C^{-1}\begin{pmatrix}e^1\\ \vdots \\ e^n\end{pmatrix} =
|
||
\begin{pmatrix}f^1\\ \vdots \\ f^n\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
Это и означает, что двойственный базис преобразуется с помощью матрицы
|
||
$C^{-1}$, а потому координаты ковекторов преобразуются с помощью
|
||
матрицы $(C^{-1})^{-1} = C$. Это несложно проверить и непосредственно:
|
||
если $\ph = \sum \ph_i e^i$, то
|
||
$$
|
||
\ph =
|
||
\begin{pmatrix}\ph_1 & \dots & \ph_n\end{pmatrix}
|
||
\begin{pmatrix}e^1\\\vdots\\ e^n\end{pmatrix} =
|
||
\begin{pmatrix}\ph_1 & \dots & \ph_n\end{pmatrix}\cdot C\cdot C^{-1}\cdot
|
||
\begin{pmatrix}e^1\\\vdots\\ e^n\end{pmatrix} =
|
||
\begin{pmatrix}\ph_1 & \dots & \ph_n\end{pmatrix}C\cdot
|
||
\begin{pmatrix}f^1\\\vdots\\ f^n\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
|
||
У нас все готово к тому, чтобы выяснить, как меняются координаты
|
||
произвольного тензора при замене базиса. Пусть
|
||
$$
|
||
x = \sum_{\substack{i_1,\dots,i_p\\j_1,\dots,j_q}}
|
||
y^{i_1\dots i_p}_{j_1\dots j_q}f_{i_1}\otimes\dots\otimes
|
||
f_{i_p}\otimes f^{j_1}\otimes\dots\otimes f^{j_q}
|
||
$$
|
||
--- выражение того
|
||
же тензора $x$ в новом тензорном базисе. Мы хотим выразить
|
||
$\left( y^{i_1\dots i_p}_{j_1\dots j_q}\right)$ через
|
||
$\left( x^{i_1\dots i_p}_{j_1\dots j_q}\right)$. В следующей теореме
|
||
удобно элемент матрицы $C$, стоящий на пересечении $i$-й строки и
|
||
$j$-го столбца записывать как $C^i_j$, а не $C_{ij}$.
|
||
|
||
\begin{theorem}
|
||
Пусть $C = (C^i_j)$~--- матрица перехода от старого базиса к новому,
|
||
$\tld{C} = (\tld{C}^i_j) = C^{-1}$~--- обратная к ней. Тогда
|
||
координаты тензора $x\in T^p_q(V)$ в новом тензорном базисе следующим
|
||
образом выражаются через его координаты в старом тензорном базисе:
|
||
$$
|
||
y^{i_1\dots i_p}_{j_1\dots j_q} =
|
||
\sum_{\substack{h_1,\dots,h_p\\k_1,\dots,k_q}}
|
||
\tld{C}^{i_1}_{h_1}\dots\tld{C}^{i_p}_{h_p}C^{k_1}_{j_1}\dots C^{k_q}_{j_q}
|
||
x^{h_1\dots h_p}_{k_1\dots k_q}
|
||
$$
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Достаточно доказать эту формулу для разложимых тензоров, а в этом
|
||
случае нужно применить формулы преобразования координат векторов и
|
||
ковекторов в каждом из сомножителей.
|
||
\end{proof}
|
||
Иными словами, координаты тензора преобразуются контравариантно (при
|
||
помощи матрицы $C^{-1}$) по контравариантным сомножителям, и
|
||
ковариантно (при помощи матрицы $C$) по ковариантным сомножителям.
|