Add Lecture 4

motives.tex

@@ -15,6 +15,8 @@
 \usepackage{amsthm}
 
 \usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{cd}
 \usetikzlibrary{calc}
 \usetikzlibrary{through}
 
@@ -50,6 +52,10 @@
 \DeclareMathOperator{\disc}{disc}
 \DeclareMathOperator{\Stab}{Stab}
 \DeclareMathOperator{\Nrd}{Nrd}
+\DeclareMathOperator{\CH}{CH}
+\DeclareMathOperator{\pt}{pt}
+\DeclareMathOperator{\codim}{codim}
+\DeclareMathOperator{\OGr}{OGr}
 
 %\DeclareFontFamily{OT1}{pzc}{}
 %\DeclareFontShape{OT1}{pzc}{m}{it}{<-> s * [1.2] pzcmi7t}{}
@@ -73,6 +79,7 @@
 \theoremstyle{definition}
 \newtheorem{example}[theorem]{Пример}
 \newtheorem{fact}[theorem]{Факт}
+\newtheorem{remark}[theorem]{Замечание}
 
 \newcommand{\la}{\langle}
 \newcommand{\ra}{\rangle}
@@ -1156,6 +1163,7 @@ X(R) = \{P'\leq G_R \mid\mbox{существуют }S/R, g\in G(S):\; gP'g^{-1}
 проективного однородного многообразия ${}_{E}X$, отличного от точки,
 ${}_{E}X$ изотропно.
 
+\begin{example}
 Пусть $G = \PGL_n$.
 Ее скрученная форма ${}_{E}G$ имеет вид $\Aut(A)$, а соответствующая
 скрученная форма проективного пространства~--- $\SB(A)$.
@@ -1185,7 +1193,475 @@ $\SL_1(A) = \{g\in A\mid\Nrd(g)=1\}$.
 соответствует присоединенной группе (без центра);
 максимальная решетка $\mathbb{Z}\varpi_1\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}\varpi_l$
 соответствует односвязной группе (у нее самый большой центр).
+\end{example}
 
+% 12.03.2012
 
+\subsection{$\SO_{2n}$}
+
+Посмотрим на однородные многообразия для $\SO_{2n}$.
+Диаграмма Дынкина выглядит так:
+\[
+\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
+\def\sm{0.7}
+\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
+\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
+\coordinate (2p) at ($\sm*(1.9, 0)$);
+\coordinate (d1) at ($\sm*(2.1, 0)$);
+\coordinate (d2) at ($\sm*(2.3, 0)$);
+\coordinate (d3) at ($\sm*(2.5, 0)$);
+\coordinate (3m) at ($\sm*(2.7, 0)$);
+\coordinate (3) at ($\sm*(3.2, 0)$);
+\coordinate (4) at ($\sm*(4.6, 0)$);
+\coordinate (5) at ($\sm*(5.6, 1)$);
+\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, -1)$);
+\node at (1) [below=5pt,font=\scriptsize] {$1$};
+\node at (4) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n-2$};
+\node at (5) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n-1$};
+\node at (6) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n$};
+\draw (1)--(2);
+\draw (2)--(2p);
+\draw (3m)--(3);
+\draw (3)--(4);
+\draw (4)--(5);
+\draw (4)--(6);
+\foreach \point in
+{1,2,3,4,5,6}
+  {
+     \fill [white] (\point) circle (2.0pt);
+     \draw [black] (\point) circle (2.0pt);
+  }
+\foreach \point in
+{d1,d2,d3}
+  {
+     \fill [black] (\point) circle (0.7pt);
+  }
+\node (c) at ($\sm*(7.1, 0)$) {$\mathsf{D}_{n}$};
+\end{tikzpicture}
+\]
+Весу $\varpi_1$ отвечает квадрика $\{q(v)=0\}$, что соответствует естественному
+представлению $V$ группы $\SO_{2n}$.
+Весу $\varpi_2$~--- представление $\Lambda^2 V$.
+Соответствующее многообразие~--- множество вполне изотропных плоскостей
+$\la u,v\ra$, то есть, таких, что $q|_{\la u,v\ra}=0$.
+Это условие можно описать так: $q(u) = q(v) = f(u,v) = 0$, где $f$~---
+поляризация формы $q$: $f(u,v) = q(u+v) - q(u) - q(v)$.
+Аналогично (с помощью вполне изотропных подпространств различной размерности)
+описываются случаи $\varpi_3,\dots,\varpi_{n-2}$.
+
+Весам $\varpi_{n-1}$ и $\varpi_n$ соответствуют вполне изотропные подпространства
+размерности $n$.
+Дело в том, что многообразие вполне изотропных подпространств размерности $n$
+имеет две компоненты связности. Для того, чтобы объяснить этот эффект,
+выберем базис $e_1,\dots,e_n,e_{-n},\dots,e_{-1}$, относительно
+которого матрица Грама формы $q$ имеет вид
+\[
+\begin{pmatrix}
+0 & 0 & \dots & 0 & 1\\
+0 & 0 & \dots & 1 & 0\\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
+0 & 1 & \dots & 0 & 0\\
+1 & 0 & \dots & 0 & 0
+\end{pmatrix}
+\]
+Оказывается, подпространства $\la e_1,\dots,e_{n-1},e_n\ra$
+и $\la e_1,\dots,e_{n-1},e_{-n}\ra$ вполне изотропны, но не переводятся
+друг в друга действием $\SO_{2n}$.
+Первое соответствует весу $\varpi_{n-1}$, а второе~--- весу $\varpi_n$.
+Куда же делось многообразие вполне изотропных подпространств размерности $n-1$?
+Оно не максимальное однородное (соответствует не максимальной параболической
+подгруппе), и соответствует весу $\varpi_{n-1} + \varpi_n$.
+Действительно,
+\[
+\Stab(\la e_1,\dots,e_{n-1}\ra) = 
+\Stab(\la e_1,\dots,e_{n-1},e_n\ra) \cap
+\Stab(\la e_1,\dots,e_{n-1},e_{-n}\ra).
+\]
+Вообще, немаксимальные многообразия соответствуют флагам.
+Посмотрим на вес $\varpi_{i_1} + \dots + \varpi_{i_k}$.
+Флаг для него~--- это набор подпространств таких размерностей:
+\[
+\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
+\def\sm{0.7}
+\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
+\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
+\coordinate (2p) at ($\sm*(1.9, 0)$);
+\coordinate (d1) at ($\sm*(2.1, 0)$);
+\coordinate (d2) at ($\sm*(2.3, 0)$);
+\coordinate (d3) at ($\sm*(2.5, 0)$);
+\coordinate (3m) at ($\sm*(2.7, 0)$);
+\coordinate (3) at ($\sm*(3.2, 0)$);
+\coordinate (4) at ($\sm*(4.6, 0)$);
+\coordinate (5) at ($\sm*(5.6, 1)$);
+\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, -1)$);
+\node at (1) [below=5pt,font=\scriptsize] {$1$};
+\node at (2) [below=5pt,font=\scriptsize] {$2$};
+\node at (3) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n-3$};
+\node at (4) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n-2$};
+\node at (5) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n$};
+\node at (6) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n$};
+\draw (1)--(2);
+\draw (2)--(2p);
+\draw (3m)--(3);
+\draw (3)--(4);
+\draw (4)--(5);
+\draw (4)--(6);
+\foreach \point in
+{1,2,3,4,5,6}
+  {
+     \fill [white] (\point) circle (2.0pt);
+     \draw [black] (\point) circle (2.0pt);
+  }
+\foreach \point in
+{d1,d2,d3}
+  {
+     \fill [black] (\point) circle (0.7pt);
+  }
+\node (c) at ($\sm*(7.1, 0)$) {$\mathsf{D}_{n}$};
+\end{tikzpicture}
+\]
+с правильной инцидентностью.
+А именно, для каждой из двух цепочек от первой вершины до двух последних
+инцидентность~--- это включение, а для весов $\varpi_{n-1}$ и $\varpi_n$
+инцидентность означает, что пересечение соответствующих подпространств
+размерности $n$ имеет размерность $n-1$.
+
+Перед нами пример \emph{геометрии}.
+Гораздо более простой пример~--- случай системы $\mathsf{A}_2$.
+Там всего два фундаментальных веса:
+$\varpi_1$ соответствует точкам (и параболическим подгруппам типа $\varpi_1$),
+а $\varpi_2$~--- прямым (и параболическим подгруппам типа $\varpi_2$).
+Более подробно, посмотрим на трехмерное векторное пространство $F^3$.
+Ненулевой вектор $u$ порождает одномерное подпространство
+$\la u\ra\subseteq F^3$, и его стабилизатор
+$\Stab_{\SL_3}(\la u\ra)$~--- это параболическая подгруппа типа $\varpi_1$:
+\[
+\begin{pmatrix}
+* & * & * \\ 0 & * & * \\ 0 & * & *
+\end{pmatrix}
+\mbox{ --- стабилизатор вектора }
+\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.
+\]
+Для описания прямых можно воспользоваться двойственностью и перейти
+к пространству $(F^3)^*$.
+Ненулевой ковектор $\ph\in(F^3)^*$ порождает одномерное подпространство
+$\la\ph\ra\subseteq (F^3)^*$, и его стабилизатор
+$\Stab_{\SL_3}(\la \ph \ra)$~--- это параболическая подгруппа типа
+$\varpi_2$:
+\[
+\begin{pmatrix}
+* & * & * \\ * & * & * \\ 0 & 0 & *
+\end{pmatrix}
+\mbox{ --- стабилизатор ковектора }
+\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
+\]
+Отношение инцидентности между ними такое:
+точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда $\ph(u) = 0$.
+В терминах параболических подгрупп:
+$\Stab(\la u\la) \cap \Stab(\la \ph \ra)$ содержит борелевскую подгруппу
+(то есть, параболическую подгруппу типа $\varpi_1 + \varpi_2$).
+
+Если мы теперь посмотрим на геометрию, заданную абстрактными аксиомами
+проективной плоскости (с аксиомой Дезарга, обеспечивающей ассоциативность,
+но без аксиомы Паппа, обеспечивающей коммутативность),
+мы получим группу $\SL_1(A)$, где $A$~--- центральная простая алгебра
+степени $3$.
+
+\subsection{Вычисление колец Чжоу}\label{ssect:chow-map-definition}
+
+Пусть $E \in H^1 (F, G)$, и задано однородное проективное $G$-многообразие $X$.
+Рассмотрим скрученное многообразие ${}_E X$; нас интересуют инварианты этого
+многообразия в смысле алгебраической геометрии.
+Например, $\CH^*({}_E X)$.
+
+Вложение поля $F$ в его алгебраическое замыкание $\ol{F}$ дает морфизм
+схем $\Spec\ol{F} \to \Spec F$.
+Пулбэком получается многообразие $X_{\ol{F}}$:
+\[
+\begin{tikzcd}
+X_{\ol{F}} \arrow{r} \arrow{d} & X \arrow{d} \\
+\Spec\ol{F} \arrow{r} & \Spec F
+\end{tikzcd}
+\]
+Отсюда получаем гомоморфизм
+\[
+\CH^*({}_{E}X) \to \CH^*(({}_{E}X)_{\ol{F}}) = \CH^*(X_{\ol{F}}).
+\]
+Нас интересует образ этого гомоморфизма: кручение содержится в его ядре,
+за счет чего легче жить.
+Первый шаг~--- вычисление $\CH^*(X_{\ol{F}})$.
+
+\subsection{Пример: проективное пространство}\label{ssect:chow-ring-of-pn}
+
+\begin{example}\label{example:projective-space}
+Рассмотрим $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n$ с диагональным действием
+$\SL_{n+1}$.
+Это действие не транзитивно: есть диагональ $\mathbb{P}^n$.
+Как выглядит дополнение к диагонали?
+Мы утверждаем, что оно расслаивается над $\Gr(1,2;n+1)$ со слоем
+$\mathbb{A}^1$.
+Здесь $\Gr(1,2;n+1)$~--- многообразие флагов, состоящих из прямой и плоскости,
+в $(n+1)$-мерном пространстве.
+\[
+\begin{tikzcd}
+\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
+\mathbb{P}^n \arrow[left hook->]{ll} \\
+ & \Gr(1,2;n+1)
+\end{tikzcd}
+\]
+Это расслоение выглядит так: пара
+$(\la u\ra, \la v\ra)\in\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n$
+отправляется во флаг $\la u\ra \leq \la u,v\ra$.
+Прообраз флага при этом~--- это многообразие способов дополнить прямую
+до плоскости, то есть, $\mathbb{P}^1 \setminus \mathbb{P}^0 = \mathbb{A}^1$.
+Более строго, нужно говорить про расслоения на $\Gr(1,2;n+1)$:
+есть двумерное векторное расслоение $\tau_2$, сопоставляющее
+флагу $\la u\ra \leq \la u,v\ra$ плоскость $\la u,v\ra$,
+и есть одномерное векторное расслоение $\tau_1$, сопоставляющее
+флагу $\la u\ra \leq \la u,v\ra$ прямую $\la u\ra$.
+
+Теперь зафиксируем в этом описании $u$, то есть, возьмем слой всей
+картинки над точкой в первом сомножителе $\mathbb{P}^n$.
+Получим картинку
+\[
+\begin{tikzcd}
+\mathbb{P}^n & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
+\pt \arrow[left hook->]{ll} \\
+ & \Gr(1;n)
+\end{tikzcd}
+\]
+Заметим, что $\Gr(1,n) = \mathbb{P}^{n-1}$.
+Поэтому можно написать точную последовательность локализации:
+\[
+\CH^{*-n}(\pt) \to \CH^*(\mathbb{P}^n) \to \CH^*(\mathbb{P}^{n-1}) \to 0.
+\]
+Средняя стрелка является гомоморфизмом колец, а первый член почти всегда
+равен нулю.
+Поэтому
+\[
+\CH^i(\mathbb{P}^n) = \begin{cases}
+\CH^i(\mathbb{P}^{n-1}), & i < n,\\
+\mathbb{Z}, & i = n,\\
+0, & i > n.
+\end{cases}
+\]
+По индукции получаем, что у $\CH^*(\mathbb{P}^n)$ в каждой размерности
+от $0$ до $n$ стоит одна копия $\mathbb{Z}$.
+\end{example}
+
+\begin{example}\label{example:projective-space-filtration}
+Опишем другой способ.
+Пусть $\dim(V) = n+1$.
+Рассмотрим действие группы $\SL(V)$ (или $\PGL(V)$)
+на $\mathbb{P}(V^*) \times \mathbb{P}(V)$
+(соответствующее весу $\varpi_1 + \varpi_n$).
+Там имеется подмногообразие $\{\ph(u) = 0\}$:
+\[
+\begin{tikzcd}
+\mathbb{P}(V^*) \times \mathbb{P}(V)
+& \arrow{d}{\mathbb{A}^n}
+& \{\ph(u) = 0\}\arrow[left hook->]{ll}\\
+& \mathbb{P}(V^*)
+\end{tikzcd}
+\]
+Зафиксировав $\ph$, получаем
+\[
+\begin{tikzcd}
+\mathbb{P}^n
+& \arrow{d}{\mathbb{A}^n}
+& \mathbb{P}^{n-1} \arrow[left hook->]{ll}\\
+& \pt
+\end{tikzcd}
+\]
+Значит, имеется следующая точная последовательность локализации:
+\[
+\CH^{*-1}(\mathbb{P}^{n-1}) \to \CH^*(\mathbb{P}^n) \to \CH^*(\pt) \to 0.
+\]
+Вычисление по индукции приводит к тому же результату, что и
+в предыдущем примере.
+\end{example}
+
+\begin{fact}
+Если $Z\subseteq X$~--- замкнутое подмногообразие,
+и $U = X\setminus Z$, имеется точная последовательность локализации
+\[
+\CH^{* - \codim_{X}Z} \to \CH^*(X) \to \CH^*(U) \to 0,
+\]
+где первое отображение~--- push-forward, а второе~--- pull-back
+(и является гомоморфизмом колец).
+\end{fact}
+
+\begin{example}
+Тот же результат можно получить и прямым вычислением:
+понять, что компонента кольца Чжоу коразмерности $i$
+порождается классом подпространства $[\mathbb{P}^{n-i}]$,
+причем $[\mathbb{P}^n] = 1$.
+Кроме этого,
+\[
+[\mathbb{P}^{n-1}]^i = \begin{cases}
+[\mathbb{P}^{n-i}], & i \leq n,\\
+0, & i > n.
+\end{cases}
+\]
+Например, выбрав на $\mathbb{P}^n$ однородные координаты
+$[x_0:\dots:x_n]$, можно взять $\mathbb{P}^{n-1} = \{x_0=0\}$,
+другое $\mathbb{P}^{n-1} = \{x_1 = 0\}$ и обнаружить,
+что их пересечение равно $\{x_0 = x_1 = 0\} = \mathbb{P}^{n-2}$.
+\end{example}
+
+\begin{remark}
+По сути, в примере~\ref{example:projective-space-filtration}
+мы нарисовали фильтрацию
+\[
+\begin{tikzcd}
+\mathbb{P}^n
+& \mathbb{P}^{n-1} \arrow[left hook->]{l}{\mathbb{A}^n}
+& \dots \arrow[left hook->]{l}{\mathbb{A}^{n-1}}
+& \pt \arrow[left hook->]{l}{\mathbb{A}^1}
+\end{tikzcd}
+\]
+Вообще, если у многообразия $X$ существует фильтрация замкнутыми
+подмногообразиями $S\supseteq X_1\supseteq X_2\supseteq\dots$
+такая, что $X_i\setminus X_{i+1} = \coprod\mathbb{A}^{k_i}$,
+то $X$ называется \term{клеточным}.
+В этом случае
+\begin{itemize}
+\item все $\CH^i$~--- свободные конечно порожденные абелевы группы (их ранг
+равен количеству клеток в соответствующей разности);
+\item $\CH(X)_i\isom \CH(X_L)_i$ для любого расширения $L/F$.
+\end{itemize}
+\end{remark}
+
+\subsection{Пример: многообразие Севери--Брауэра}
+
+Перейдем теперь к $\SB(D)$, где $D$~--- тело, $\ind D = n+1$.
+Это скрученная форма $\mathbb{P}^n$: $\SB(D) = {}_{E}\mathbb{P}^n$.
+В разделе~\ref{ssect:chow-map-definition} мы построили отображение
+\[
+\CH^*(\SB(D)) \to \CH^*(\mathbb{P}^n_{\ol{F}}).
+\]
+Циклы из его образа называются \term{рациональными}
+(по отношению к скручивающему торсору $E$).
+В разделе~\ref{ssect:chow-ring-of-pn} мы вычислили правую часть:
+там стоит копия $\mathbb{Z}$ в каждой компоненте с номерами от $0$ до $n$.
+Образующая компоненты коразмерности $0$ всегда оказывается в образе.
+
+Предположим, что класс $[\pt]$ оказался рационален.
+Это означает, что есть конечные (сепарабельные) расширения
+$L_1,\dots,L_k$ такие, что
+\begin{itemize}
+\item над каждым $L_i$ наше многообразие имеет рациональную точку;
+\item $\gcd_i([L_i:F]) = 1$.
+\end{itemize}
+Заметим, что первое условие равносильно тому, что
+$[D_{L_i}]=0$ в $\Br(L_i) = 0$.
+Применим отображение трансфера $\Br(L_i) \to \Br(F)$.
+Получим, что $[L_i:F]\cdot [D]=0$ в $\Br(F)$ для всех $i$.
+Из этого (а также из второго условия)
+следует, что $[D] = 0$ в $\Br(F)$.
+
+\subsection{Пример: квадрика}
+
+Рассмотрим квадрику $Q = \{q=0\}$.
+В $Q\times Q = \{(\la u\ra, \la v\ra)$ есть подмножество $\{f(u,v)=0\}$,
+а в нем~--- диагональ $\{\la u\ra = \la v\ra\}\isom Q$.
+Получаем фильтрацию
+\[
+\begin{tikzcd}
+Q\times Q & \arrow{d}{\mathbb{A}^{\dim Q}} &
+\{f(u,v) = 0\} \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
+Q.\arrow[left hook->]{ll}\\
+ & Q & & \OGr(1,2;f)
+\end{tikzcd}
+\]
+Здесь $\OGr(1,2;f)$ означает многообразие флагов, состоящих из
+вполне изотропных подпространств вида $\la u\ra \leq \la u,v\ra$.
+
+Расслоение $Q\times Q\setminus \{f(u,v)=0\} \to Q$
+устроено так: пара $(\la u\ra, \la v\ra)$ отправляется
+в $\la u\ra$.
+Проверим, что слой изоморфен $\mathbb{A}^{\dim Q}$.
+Пусть $u = e_1$.
+Тогда наше дополнение имеет вид $\{f(e_1,v)\neq 0\}$.
+Условие $f(e_1,v)\neq 0$ равносильно тому, что коэффициент у $v$
+при базисном векторе $e_{-1}$ не равен $0$.
+Поэтому можно читать, что он равен $1$.
+Теперь все коэффициенты $v$, кроме тех, что стоят при $e_{1}$ и $e_{-1}$,
+можно брать какими угодно, а коэффициент при $e_1$ определяется
+однозначно из условия изотропности $q(v) = 0$.
+Иначе говоря, если $\tau$~--- тавтологическое расслоение на $Q$,
+рассмотрим $(\tau^{\perp})^*$.
+Его слой над точкой $\la u\ra\in Q$ равен $(\la u\ra)^{\perp})^*$.
+Вот нужный нам изоморфизм:
+\begin{align*}
+\mathbb{A}^{\dim Q} & \to
+\mathbb{P}((\la u\ra^{\perp})^*) \setminus
+\mathbb{P}(\{\ph\in(\la u\ra^{\perp})^*\mid \ph(u) = 0\},\\
+v & \mapsto (\ph\colon w\mapsto f(v,w)).
+\end{align*}
+
+Расслоение $\{f(u,v)=0\} \setminus Q \to \OGr(1,2;f)$ устроено проще:
+его слой равен
+$\mathbb{P}(\tau_2) \setminus \mathbb{P}(\tau_1)\isom\mathbb{A}^1$,
+как и в примере~\ref{example:projective-space}.
+
+Теперь зафиксируем $u$; получим фильтрацию
+\[
+\begin{tikzcd}
+Q & \arrow{d}{\mathbb{A}^{\dim Q}} &
+\{f(u,v) = 0\} \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
+\pt,\arrow[left hook->]{ll}\\
+ & \pt & & Q'
+\end{tikzcd}
+\]
+где $Q'$~--- квадрика размерности $\dim Q - 2$.
+Получаем точные последовательности
+\begin{gather*}
+\CH^{*-1}(\{f(u,v)=0\}) \to \CH^*(Q) \to \CH^*(\pt) \to 0,\\
+\CH^{*-\dim Q + 1}(\pt) \to \CH^*(\{f(u,v)=0\}) \to \CH^*(Q') \to 0.
+\end{gather*}
+Теперь при помощи индукции можно доказать следующее.
+
+Пусть $\dim Q = n$ четно.
+Тогда $\CH^i(Q)$~--- свободная абелева группа ранга $1$
+для всех $i=0,\dots,n$, кроме $i= n/2$; $\CH^{n/2}(Q)\isom\mathbb Z^2$.
+Обозначим за $h = [Q'']\in\CH^1(Q)$ класс подквадрики коразмерности $1$.
+Это гиперплоское сечение $Q$ в общем положении.
+Тогда $1$~--- образующая $\CH^0(Q)$
+$h$~--- образующая $\CH^1(Q)$,
+$h^2$~--- образующая $\CH^2(Q)$,\dots.
+С другой стороны, $\pt$~--- образующая $\CH^n(Q)$,
+$[\mathbb{P}^1]$~--- образующая $\CH^{n-1}(Q)$,
+$[\mathbb{P}^2]$~--- образующая $\CH^{n-2}(Q)$,\dots.
+Это классы изотропных подпространств соответствующих размерностей.
+Наконец, $h^{n/2}$ является суммой двух образующих; в качестве
+одной из них можно взять $[\mathbb{P}^{n/2}$.
+
+Это можно увидеть в координатной записи:
+$Q$ задается уравнением $x_1 y_1 + \dots + x_{n/2+1}y_{n/2+1} = 0$.
+После этого $Q''$ задается уравнением $x_{n/2+1} - y_{n/2+1} = 0$
+(это гиперплоское сечение, как и было обещано),
+а следующие образующие задаются последовательным
+наложением уравнений $x_{1} = 0$,
+$x_{2} = 0$, и так далее.
+Когда дойдем до коразмерности $n/2$,
+получим два варианта: либо
+\[ x_1 = \dots = x_{n/2+1} = 0, \]
+либо
+\[ x_1 = \dots = x_{n/2} = y_{n/2+1} = 0. \]
+
+\begin{example}
+Пусть $n=4$, то есть, мы имеем дело с $\mathsf{D}_3$.
+Перед нами четырехмерная квадрика.
+Ее уравнение выглядит так: $x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 = 0$.
+Уравнения двух образующих в коразмерности $4/2=2$ выглядят так:
+\begin{gather*}
+x_1 = x_2 = x_3 = 0,\\
+x_1 = x_2 = y_3 = 0.
+\end{gather*}
+Их пересечение имеет вид $x_1 = x_2 = x_3y_3 = 0$,
+что равносильно $x_1 = x_2 = 0$.
+Почему-то это условие равносильно $x_3 = y_3 = 0$.
+\end{example}
 
 \end{document}