Add Lecture 5

motives.tex

@@ -56,6 +56,11 @@
 \DeclareMathOperator{\pt}{pt}
 \DeclareMathOperator{\codim}{codim}
 \DeclareMathOperator{\OGr}{OGr}
+\DeclareMathOperator{\an}{an}
+\DeclareMathOperator{\Cor}{Cor}
+\DeclareMathOperator{\Mor}{Mor}
+\DeclareMathOperator{\pr}{pr}
+\DeclareMathOperator{\id}{id}
 
 %\DeclareFontFamily{OT1}{pzc}{}
 %\DeclareFontShape{OT1}{pzc}{m}{it}{<-> s * [1.2] pzcmi7t}{}
@@ -1560,7 +1565,7 @@ $[D_{L_i}]=0$ в $\Br(L_i) = 0$.
 Из этого (а также из второго условия)
 следует, что $[D] = 0$ в $\Br(F)$.
 
-\subsection{Пример: квадрика}
+\subsection{Пример: квадрика}\label{ssect:quadric}
 
 Рассмотрим квадрику $Q = \{q=0\}$.
 В $Q\times Q = \{(\la u\ra, \la v\ra)$ есть подмножество $\{f(u,v)=0\}$,
@@ -1664,4 +1669,420 @@ x_1 = x_2 = y_3 = 0.
 Почему-то это условие равносильно $x_3 = y_3 = 0$.
 \end{example}
 
+% 19.03.2012
+
+\subsection{Нерасщепимая квадрика}
+
+Что произойдет, если взять нерасщепимую квадрику?
+Возьмем торсор $E\in H^1(F, O_{2n+2})$ и построим ${}_{E}Q$.
+Как вычислить $\CH^*({}_{E}Q)$?
+Более простой вопрос:
+рассмотрим отображение
+\[
+\CH^*({}_{E}Q) \xrightarrow{res} \CH^*(({}_{E}Q)_{\ol{F}}).
+\]
+Что можно сказать про образ этого отображения (то есть,
+про рациональные циклы)?
+Продолжим считать для простоты, что $n$ четно.
+Мы знаем, что стоит в правой части: образующие
+$1,h,h^2,\dots$ в коразмерностях $0,1,2,\dots,$ до середины,
+образующие $[\pt],[\mathbb{P}^1],\mathbb{P}^2],\dots$
+в коразмерностях $n,n-1,n-2,\dots$ до середины,
+и две образующие $[\Pi_1],[\Pi_2]$ в коразмерности $n/2$.
+При этом $h^{n/2} = [\Pi_1] + [\Pi_2]$.
+Умножение выглядит так:
+$h\cdot[\mathbb{P}^i] = [\mathbb{P}]^{i-1}$,
+$h\cdot[\Pi_1] = h\cdot [\Pi_2] = [\mathbb{P}^{n/2}]$.
+
+Во всяком случае, $h$ рационален: можно взять любую гладкую
+подквадрику коразмерности $1$.
+Пусть ${}_{E}Q$ задается уравнением $q=0$.
+В случае расщепимой [четномерной] квадики это было уравнение
+$x_1y_1 + \dots + x_{n/2+1}y_{n/2+1} = 0$,
+и подквадрика выделялась дополнительным условием $x_{n/2+1} - y_{n/2+1}=0$.
+В общем случае можно взять любой $v$ такой, что $q(v)\neq 0$,
+и $q|_{\la v\ra^{\perp}}$ задает гладкую подквадрику коразмерности $1$.
+
+\begin{theorem}[Springer]
+Предположим, что $q$ \term{анизотропна}, то есть,
+$q(v)\neq 0$ при $v\neq 0$.
+Тогда класс $[\pt]$ не рационален.
+\end{theorem}
+
+Теорема доказывается так: класс $[\pt]$ рационален тогда и только тогда,
+когда найдутся расширения $E_i/F$  такие, что
+$\gcd([E_i:F]) = 1$, и над каждым $E_i$ квадрика
+$q_{E_i}$ изотропна.
+В частности, среди степеней расширений должна быть хотя бы одна нечетная,
+и потому для некоторого $E/F$ с нечетным $[E:F]$ квадрика $q_E$
+изотропна.
+Но из этого следует, что $q$ изотропна (это, собственно, и есть
+классическая теорема Спрингера).
+
+Вот ответ на вопрос про образ: если $Q$ анизотропна,
+то
+\[
+\im(\CH^k({}_{E}Q) \to \CH^k(({}_{E}Q)_{\ol{F}}))
+= \begin{cases}
+\CH^k(({}_{E}Q)_{\ol{F}}), & k < n/2, \\
+2\cdot\CH^k(({}_{E}Q)_{\ol{F}}), & k > n/2, \\
+2\cdot\mathbb{Z}[\Pi_1] + \mathbb{Z}([\Pi_1] - [\Pi_2]), & k = n/2
+\end{cases} % Check the coefficients here!!
+\]
+Если $q$ \term{изотропна}, то есть существует ненулевой вектор $v$
+такой, что $q(v) = 0$,
+то можно выделить гиперболическую плоскость:
+$q = \la 1,-1\ra \perp q'$.
+Проитерируем этот процесс: получим
+\[
+q = k\cdot \la 1, -1\ra \perp q_{\an},
+\]
+где $q_{\an}$ и $k$ определены однозначно ($q_{\an}$~--- с точностью
+до изометрии).
+При этом $k$ называется \term{индексом Витта} формы $q$,
+а $q_{\an}$~--- ее \term{анизотропной частью}.
+
+Так вот, если индекс Витта нашей формы $q$ равен $k$,
+то циклы $[\pt], [\mathbb{P}^1], \dots, [\mathbb{P}^{k-1}]$
+рациональны.
+Обратное тоже верно: если эти циклы рациональны, то индекс Витта
+не меньше $k$.
+
+Резюме: рациональные циклы на самой квадрике контролируют только
+ее индекс Витта.
+
+Посмотрим теперь на другое многообразие, связанное с торсором
+$E\in H^1(F, O_{2n+2})$ (мы для удобства изменим нумерацию).
+А именно, рассмотрим $\OGr(2,Q)$~--- многообразие вполне изотропных
+плоскостей.
+Мы реализовали $Q$ как $\{\la v\ra\mid q(v) = 0\}$.
+Тогда $\OGr(2,Q) = \{\la u,v\ra\mid q(u) = q(v) = f(u,v) = 0\}$.
+
+Чтобы добраться до этого многообразия,
+положим $X = \{f(u,v)=0\}$
+и рассмотрим фильтрацию из раздела~\ref{ssect:quadric}:
+\[
+\begin{tikzcd}
+Q\times Q & \arrow{d}{\mathbb{A}^{n}} &
+\{f(u,v) = 0\} \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
+\pt,\arrow[left hook->]{ll}\\
+ & Q & & \OGr(1,2;Q).
+\end{tikzcd}
+\]
+С одной стороны, $\OGr(1,2;Q)$~--- расслоение над $\OGr(2;Q)$ со слоем
+$\mathbb{P}^1$.
+С другой стороны, написанная фильтрация позволяет нам написать разложение
+\[
+\CH^*(Q\times Q) = \CH^{*-n}(Q)\oplus\CH^{*-n+1}(\OGr(1,2;Q))\oplus\CH^*(Q).
+\]
+Более того, морфизмы в левую части из слагаемых в правой части задаются
+явным образом (с помощью пулбэков и пушфорвардов), и они
+$O(q)$-эквивариантны.
+
+\section{Мотивы Чжоу}
+
+\subsection{Категория соответствий}
+
+До сих пор мы смотрели на $\CH^*$ и на морфизмы вида
+$\CH^*(X)\to\CH^*(\ol{X})$.
+Посмотрим теперь на \term{мотив Чжоу} многообразия $X$.
+
+Начнем с категории гладких проективных многообразий над $F$.
+Что в ней плохо?
+Например, то, что морфизмы нельзя складывать: она не аддитивна
+(и тем более не абелева).
+Каждому морфизму $f\colon X\to Y$ можно сопоставить
+его график $\Gamma_f\subseteq X\times Y$
+и получить $[\Gamma_f] \in \CH^*(X\times Y)$.
+Элементы $\CH^*(X\times Y)$ уже можно складывать!
+Поэтому в качестве промежуточного шага можно рассмотреть
+\term{категорию соответствий} $\Cor_F$.
+Ее объекты~--- гладкие проективные многообразия над $F$.
+Морфизмы: $\Mor(X, Y) = \CH^{\dim Y}(X\times Y)$.
+Роль тождественного морфизма играет класс диагонали.
+
+\begin{remark}
+В этой конструкции можно заменить $\CH$ на что-то другое,
+где есть пулбэки и пушфорварды (они понадобятся нам ниже),
+например, на другую теорию когомологий.
+Если взять $K$-теорию~--- получим \emph{$K$-мотивы},
+а не мотивы Чжоу).
+\end{remark}
+
+Как определить композицию таких морфизмов?
+Пусть $\alpha\in\CH^{\dim Y}(X\times Y)$, $\beta\in\CH^{\dim Z}(Y\times Z)$.
+Рассмотрим диаграмму
+\[
+\begin{tikzcd}
+& X\times Y\times Z \arrow{dl}[swap]{\pr_{XY}} \arrow{dr}{\pr_{YZ}}
+\arrow{dd}{\pr_{XZ}} \\
+X\times Y & & Y\times Z\\
+& X\times Z
+\end{tikzcd}
+\]
+Из нее получается следующая диаграмма на уровне Чжоу:
+\[
+\begin{tikzcd}
+& \CH^*(X\times Y\times Z)
+\arrow{dd}{(\pr_{XZ})_*} \\
+\CH^{\dim Y}(X\times Y)\arrow{ur}{\pr_{XY}^*}
+& & \CH^{\dim Z}(Y\times Z)\arrow{ul}{\pr_{YZ}^*}\\
+& \CH^{*}(X\times Z)
+\end{tikzcd}
+\]
+Поэтому
+$\pr_{XY}^*(\alpha)\cdot\pr_{YZ}^*(\beta)
+\in\CH^{\dim Y + \dim Z}(X\times Y\times Z))$, и
+мы можем определить
+\[
+\beta\circ\alpha = (\pr_{XZ})_*(\pr_{XY}^*(\alpha)\cdot\pr_{YZ}^*(\beta))
+\]
+Это произведение имеет характер свертки.
+Например, можно взять в качестве $X,Y,Z$ метрические пространства,
+а в качестве морфизмов~--- ядерные операторы,
+и получится свертка.
+Или в качестве $X,Y,Z$~--- конечные множества, а в качестве морфизмов~---
+матрицы, и тогда получится произведение матриц.
+
+\subsection{Карубизация}
+
+Итак, в категории соответствий $\Cor_F$ морфизмы уже можно складывать:
+это аддитивная категория.
+Заметим, что в ней есть и прямые сумммы
+($X\oplus Y = X\coprod Y$), и произведения ($X\otimes Y = X\times Y$).
+Но эта категория не абелева (и даже не псевдоабелева).
+Напомним, что категория называется \term{псевдоабелевой}, если
+у любого проектора есть образ (в категорном смысле).
+То есть, если $p\colon X\to X$~--- морфизм, для которого $p^2=p$,
+то $X = X_1\oplus X_2$, причем $p$~--- проекция на $X_1$.
+
+Есть стандартная процедура, как из аддитивной категории получить
+псевдоабелеву: \term{пополнение по Каруби} (\term{карубизация}).
+Таким образом по $\Cor_F$ строится
+\term{категория мотивов Гротендика--Чжоу} $\mathcal{M}$.
+Ее объекты~--- пары $(X,p)$, где $p\colon X\to X$~--- идемпотент.
+Неформально говоря, эта пара символизирует <<образ>> морфизма $p$
+(которого может не быть в исходной категории).
+Морфизмы определяются так:
+\[
+\Mor((X,p),(Y,q)) = q\circ\Mor(X,Y)\circ p.
+\]
+Есть функтор $\Cor\to\mathcal{M}$, $X\mapsto (X,\id_X)$.
+Для многообразия $X$ объект $M(X) = (X,\id_X)$ называется
+\term{мотивом $X$}.
+На самом деле, нужно писать $\Cor_{\operatorname{rat},\operatorname{eff}}$
+вместо $\Cor$, и $\operatorname{Chow}^{\operatorname{eff}}$ вместо
+$\mathcal{M}$.
+Мы получили функторы
+\[
+\begin{tikzcd}
+\operatorname{SmProj}/F \arrow{r} \arrow[bend right=15, swap]{rr}{M}
+& \Cor_{\operatorname{rat},\operatorname{eff}}(F) \arrow{r}
+& \operatorname{Chow}^{\operatorname{eff}}(F),
+\end{tikzcd}
+\]
+где $M$~--- функтор <<взятия мотива>>.
+При этом $M(X\coprod Y) = M(X) \oplus M(Y)$,
+$M(X\times Y) = M(X)\otimes M(Y)$.
+
+\subsection{Мотив проективной прямой}
+
+Попробуем <<посчитать>> мотив проективной прямой $M(\mathbb{P}^1)$.
+Напомним, что у $\CH^(\mathbb{P}^1)$ стоит $\mathbb{Z}$ в коразмерностях
+$0$ (с образующей $1$) и $1$ (с образующей $[\pt]$).
+Рассмотрим вложение $i\colon \pt\to \mathbb{P}^1$
+и проекцию $\pi\colon\mathbb{P}^1\to\pt$.
+Композиция $\pi\circ i \colon \pt \to \mathbb{P}^1 \to \pt$
+тождественна, поэтому $p = i\circ\pi$ является проектором на $\mathbb{P}^1$.
+Это идемпотент, отправляющий все в точку.
+Поэтому в категории мотивов
+$M(\mathbb{P}^1) = M(\pt) \oplus (\mathbb{P}^1, 1 - [p])$.
+Слагаемое $(\mathbb{P}^1, 1 - [p])$ обозначается через $\mathbb{L}$
+и называется \term{мотивом Лефшеца}.
+Это аналог аффинной прямой в категории мотивов.
+Оказывается, мотив Лефшеца неразложим.
+
+Мотив точки часто обозначается через $\mathbb Z = M(\pt)$;
+он играет роль нейтрального объекта относительно $\otimes$.
+При этом мотив Лефшеца $\mathbb{L}$ обозначается
+через $\mathbb{Z}(1)[2] = \mathbb{Z}\{1\}$.
+Тензорные степени мотива Лефшеца обозначаются так:
+$L^{\otimes k} = \mathbb{Z}(k)[2k] = \mathbb{Z}\{k\}$.
+Это в некотором смысле <<мотив>> $k$-мерного аффинного пространства.
+
+Часто удается разложить мотив многообразия $X$ в прямую сумму вида
+$M(X) = \bigoplus M(Y_i)\otimes\mathbb{L}^{\otimes k_i}$,
+где $Y_i$~--- какие-то другие многообразия.
+Поэтому удобно обозначение
+$M(Y)\otimes\mathbb{L}^{\otimes k} = M(Y)(k)[2k] = M(Y)\{k\}$.
+
+Что дает такого рода разложение?
+\begin{fact}
+Пусть
+$M(X) = \bigoplus M(Y_i)\otimes\mathbb{L}^{\otimes k_i}$.
+Тогда
+$\CH^n(X) = \bigoplus\CH^{n-k_i}(Y_i)$.
+\end{fact}
+Например, из разложения $M(\mathbb{P}^1) = M(\pt)\otimes M(\pt)\{1\}$
+следует, что
+\begin{align*}
+\CH^0(\mathbb{P}^1) &= \CH^0(\pt) = \mathbb{Z},\\
+\CH^1(\mathbb{P}^1) &= \CH^1(\pt)\oplus\CH^0(\pt) = \mathbb{Z}.
+\end{align*}
+Вообще, $\CH^n(X) = \Mor(X,\mathbb{L}^{\otimes n})$
+и $\CH_n(X) = \Mor(\mathbb{L}^{\otimes n}, X)$,
+то есть, $\CH$~--- представимый функтор в категории мотивов,
+а $\mathbb{L}$ играет роль пространства Эйленберга--Маклейна.
+
+Умножение в $\CH^*$ тоже происходит из категории мотивов.
+Пусть $\alpha\in\CH^k(X)$, $\beta\in\CH^n(X)$, то есть
+$\alpha\colon M(X) \to \mathbb{L}^{\otimes k}$,
+$\beta\colon M(X) \to \mathbb{L}^{\otimes n}$.
+Перемножая эти отображения, получаем
+\[
+\alpha\otimes\beta \colon M(X)\otimes M(X) \to
+\mathbb{L}^{\otimes k} \otimes \mathbb{L}^{\otimes n}.
+\]
+Правая часть изоморфна $\mathbb{L}^{\otimes(k+n)}$.
+Взяв композицию с морфизмом $M(\Delta)\colon M(X) \to M(X\times X)$,
+получаем $\alpha\cup\beta\colon M(X) \to \mathbb{L}^{\otimes(k+n)}$.
+\begin{theorem}[Карпенко, 2000]
+Пусть дана фильтрация многообразия $X$ замкнутыми (не обязательно гладкими)
+подмножествами
+\[
+\begin{tikzcd}[column sep=1.2em]
+X = X_0 & \arrow{d}{\mathbb{A}^{k_0}} &
+X_1 \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^{k_1}} &
+X_2 \arrow[left hook->]{ll} & & \dots \arrow[left hook->]{ll} & &
+X_n \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^{k_n}} &
+X_{n+1} = \emptyset. \arrow[left hook->]{ll} \\
+& Y_0 & & Y_1 & & & \dots & & & Y_n
+\end{tikzcd}
+\]
+Вертикальные стрелки означают, что для каждого $i=0,\dots,n$
+задан плоский морфизм $X_i\setminus X_{i+1} \to Y_i$,
+слои которого~--- аффинные пространства $\mathbb{A}^{k_i}$.
+
+Тогда $M(X) = \bigoplus M(Y_i)\{k_i\}$
+и, кроме того,
+$M(X) = \bigoplus M(Y_i)\{\dim X - \dim Y_i - k_i\}$.
+В частности, имеется функториальный (по $Z$)
+изоморфизм $\CH^*(X\times Z) \isom \bigoplus\CH^{*-k_i}(Y_i\times Z)$.
+\end{theorem}
+
+\begin{example}
+Фильтрация
+\[
+\begin{tikzcd}
+\mathbb{P}^1 & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} & \pt\arrow[left hook->]{ll}\\
+& \pt
+\end{tikzcd}
+\]
+приводит к разложению $M(\pt) \oplus M(\pt)\{1\}$.
+\end{example}
+
+\begin{example}
+Фильтрация
+\[
+\begin{tikzcd}
+Q\times Q & \arrow{d}{\mathbb{A}^{\dim Q}} &
+\{f(u,v) = 0\} \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
+Q\arrow[left hook->]{ll}\\
+ & Q & & \OGr(1,2;f)
+\end{tikzcd}
+\]
+из раздела~\ref{ssect:quadric}
+приводит к разложению
+\[
+M(Q\times Q) = M(Q) \oplus M(\OGr(1,2;Q))\{1\}\oplus M(Q)\{\dim Q\}.
+\]
+\end{example}
+
+\begin{example}
+Пусть на квадрике $Q$ есть рациональная точка (то есть, форма $q$
+изотропна).
+Тогда $q = \la 1,-1\ra \perp q'$, и есть фильтрация
+\[
+\begin{tikzcd}
+Q & \arrow{d}{\mathbb{A}^{\dim Q}} &
+X' \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
+\pt,\arrow[left hook->]{ll}\\
+ & \pt & & Q'
+\end{tikzcd}
+\]
+где $Q' = \{q'=0\}$.
+Получаем разложение
+\[
+M(Q) = M(\pt) \oplus M(Q')\{1\} \oplus M(\pt)\{\dim Q\}.
+\]
+На картинке это выглядит так:
+\[
+\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
+\def\sm{0.7}
+\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
+\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
+\coordinate (2p) at ($\sm*(1.9, 0)$);
+\coordinate (d1) at ($\sm*(2.1, 0)$);
+\coordinate (d2) at ($\sm*(2.3, 0)$);
+\coordinate (d3) at ($\sm*(2.5, 0)$);
+\coordinate (3m) at ($\sm*(2.7, 0)$);
+\coordinate (3) at ($\sm*(3.2, 0)$);
+\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 1)$);
+\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, -1)$);
+\coordinate (6) at ($\sm*(5.2, 0)$);
+\coordinate (6p) at ($\sm*(5.7, 0)$);
+\coordinate (e1) at ($\sm*(5.9, 0)$);
+\coordinate (e2) at ($\sm*(6.1, 0)$);
+\coordinate (e3) at ($\sm*(6.3, 0)$);
+\coordinate (7m) at ($\sm*(6.5, 0)$);
+\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
+\coordinate (8) at ($\sm*(8.4, 0)$);
+\draw (1)--(2);
+\draw (2)--(2p);
+\draw (3m)--(3);
+\draw (3)--(4);
+\draw (3)--(5);
+\draw (4)--(6);
+\draw (5)--(6);
+\draw (6)--(6p);
+\draw (7m)--(7);
+\draw (7)--(8);
+\draw[dotted] ($\sm*(1, 1.3)$)--($\sm*(7.4, 1.3)$)--($\sm*(7.4,-1.3)$)
+--($\sm*(1, -1.3)$)--($\sm*(1, 1.3)$);
+\foreach \point in
+{1,2,3,4,5,6,7,8}
+  {
+     \fill [white] (\point) circle (2.0pt);
+     \draw [black] (\point) circle (2.0pt);
+  }
+\draw [black] (1) circle (5.0pt);
+\draw [black] (8) circle (5.0pt);
+\foreach \point in
+{d1,d2,d3,e1,e2,e3}
+  {
+     \fill [black] (\point) circle (0.7pt);
+  }
+\node at (1) [below=3pt,font=\scriptsize] {$1$};
+\node at (8) [below=3pt,font=\scriptsize] {$[\pt]$};
+\draw [|->] ($\sm*(0, -1)$) --node[below=3pt, font=\scriptsize] {$1$}
+($\sm*(1.4, -1)$);
+\draw [|->] ($\sm*(0, -2)$) --node[below=3pt, font=\scriptsize] {$\dim Q$}
+($\sm*(8.4, -2)$);
+\end{tikzpicture}
+\]
+Обратите внимание, что на картинке выделен мотив подквадрики $Q'$,
+который сдвигается на $1$.
+Кроме того, мотив точки (справа) сдвигается на $\dim Q$.
+Иными словами, у нас появились проекторы
+$1\times [\pt]$, $[\pt]\times 1$, $\Delta_Q - 1\times[\pt] - [\pt]\times 1$.
+\end{example}
+
+\begin{remark}
+Обозначение $\mathbb{Z}(1)[2]$ для мотива Лефшеца может показаться странным.
+Здесь второй сдвиг соответствует сдвигу в триангулированной категории
+Воеводского.
+При желании можно представлять это как композицию двух сдвигов:
+$(1)[1]$~--- сдвиг на $\mathbb{G}_m$, $(0)[1]$~--- сдвиг на $S^1$.
+\end{remark}
+
 \end{document}