Add Lecture 5
This commit is contained in:
parent
05abd2de12
commit
b0946e4572
BIN
motives.pdf
BIN
motives.pdf
Binary file not shown.
423
motives.tex
423
motives.tex
@ -56,6 +56,11 @@
|
||||
\DeclareMathOperator{\pt}{pt}
|
||||
\DeclareMathOperator{\codim}{codim}
|
||||
\DeclareMathOperator{\OGr}{OGr}
|
||||
\DeclareMathOperator{\an}{an}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Cor}{Cor}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Mor}{Mor}
|
||||
\DeclareMathOperator{\pr}{pr}
|
||||
\DeclareMathOperator{\id}{id}
|
||||
|
||||
%\DeclareFontFamily{OT1}{pzc}{}
|
||||
%\DeclareFontShape{OT1}{pzc}{m}{it}{<-> s * [1.2] pzcmi7t}{}
|
||||
@ -1560,7 +1565,7 @@ $[D_{L_i}]=0$ в $\Br(L_i) = 0$.
|
||||
Из этого (а также из второго условия)
|
||||
следует, что $[D] = 0$ в $\Br(F)$.
|
||||
|
||||
\subsection{Пример: квадрика}
|
||||
\subsection{Пример: квадрика}\label{ssect:quadric}
|
||||
|
||||
Рассмотрим квадрику $Q = \{q=0\}$.
|
||||
В $Q\times Q = \{(\la u\ra, \la v\ra)$ есть подмножество $\{f(u,v)=0\}$,
|
||||
@ -1664,4 +1669,420 @@ x_1 = x_2 = y_3 = 0.
|
||||
Почему-то это условие равносильно $x_3 = y_3 = 0$.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
% 19.03.2012
|
||||
|
||||
\subsection{Нерасщепимая квадрика}
|
||||
|
||||
Что произойдет, если взять нерасщепимую квадрику?
|
||||
Возьмем торсор $E\in H^1(F, O_{2n+2})$ и построим ${}_{E}Q$.
|
||||
Как вычислить $\CH^*({}_{E}Q)$?
|
||||
Более простой вопрос:
|
||||
рассмотрим отображение
|
||||
\[
|
||||
\CH^*({}_{E}Q) \xrightarrow{res} \CH^*(({}_{E}Q)_{\ol{F}}).
|
||||
\]
|
||||
Что можно сказать про образ этого отображения (то есть,
|
||||
про рациональные циклы)?
|
||||
Продолжим считать для простоты, что $n$ четно.
|
||||
Мы знаем, что стоит в правой части: образующие
|
||||
$1,h,h^2,\dots$ в коразмерностях $0,1,2,\dots,$ до середины,
|
||||
образующие $[\pt],[\mathbb{P}^1],\mathbb{P}^2],\dots$
|
||||
в коразмерностях $n,n-1,n-2,\dots$ до середины,
|
||||
и две образующие $[\Pi_1],[\Pi_2]$ в коразмерности $n/2$.
|
||||
При этом $h^{n/2} = [\Pi_1] + [\Pi_2]$.
|
||||
Умножение выглядит так:
|
||||
$h\cdot[\mathbb{P}^i] = [\mathbb{P}]^{i-1}$,
|
||||
$h\cdot[\Pi_1] = h\cdot [\Pi_2] = [\mathbb{P}^{n/2}]$.
|
||||
|
||||
Во всяком случае, $h$ рационален: можно взять любую гладкую
|
||||
подквадрику коразмерности $1$.
|
||||
Пусть ${}_{E}Q$ задается уравнением $q=0$.
|
||||
В случае расщепимой [четномерной] квадики это было уравнение
|
||||
$x_1y_1 + \dots + x_{n/2+1}y_{n/2+1} = 0$,
|
||||
и подквадрика выделялась дополнительным условием $x_{n/2+1} - y_{n/2+1}=0$.
|
||||
В общем случае можно взять любой $v$ такой, что $q(v)\neq 0$,
|
||||
и $q|_{\la v\ra^{\perp}}$ задает гладкую подквадрику коразмерности $1$.
|
||||
|
||||
\begin{theorem}[Springer]
|
||||
Предположим, что $q$ \term{анизотропна}, то есть,
|
||||
$q(v)\neq 0$ при $v\neq 0$.
|
||||
Тогда класс $[\pt]$ не рационален.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
Теорема доказывается так: класс $[\pt]$ рационален тогда и только тогда,
|
||||
когда найдутся расширения $E_i/F$ такие, что
|
||||
$\gcd([E_i:F]) = 1$, и над каждым $E_i$ квадрика
|
||||
$q_{E_i}$ изотропна.
|
||||
В частности, среди степеней расширений должна быть хотя бы одна нечетная,
|
||||
и потому для некоторого $E/F$ с нечетным $[E:F]$ квадрика $q_E$
|
||||
изотропна.
|
||||
Но из этого следует, что $q$ изотропна (это, собственно, и есть
|
||||
классическая теорема Спрингера).
|
||||
|
||||
Вот ответ на вопрос про образ: если $Q$ анизотропна,
|
||||
то
|
||||
\[
|
||||
\im(\CH^k({}_{E}Q) \to \CH^k(({}_{E}Q)_{\ol{F}}))
|
||||
= \begin{cases}
|
||||
\CH^k(({}_{E}Q)_{\ol{F}}), & k < n/2, \\
|
||||
2\cdot\CH^k(({}_{E}Q)_{\ol{F}}), & k > n/2, \\
|
||||
2\cdot\mathbb{Z}[\Pi_1] + \mathbb{Z}([\Pi_1] - [\Pi_2]), & k = n/2
|
||||
\end{cases} % Check the coefficients here!!
|
||||
\]
|
||||
Если $q$ \term{изотропна}, то есть существует ненулевой вектор $v$
|
||||
такой, что $q(v) = 0$,
|
||||
то можно выделить гиперболическую плоскость:
|
||||
$q = \la 1,-1\ra \perp q'$.
|
||||
Проитерируем этот процесс: получим
|
||||
\[
|
||||
q = k\cdot \la 1, -1\ra \perp q_{\an},
|
||||
\]
|
||||
где $q_{\an}$ и $k$ определены однозначно ($q_{\an}$~--- с точностью
|
||||
до изометрии).
|
||||
При этом $k$ называется \term{индексом Витта} формы $q$,
|
||||
а $q_{\an}$~--- ее \term{анизотропной частью}.
|
||||
|
||||
Так вот, если индекс Витта нашей формы $q$ равен $k$,
|
||||
то циклы $[\pt], [\mathbb{P}^1], \dots, [\mathbb{P}^{k-1}]$
|
||||
рациональны.
|
||||
Обратное тоже верно: если эти циклы рациональны, то индекс Витта
|
||||
не меньше $k$.
|
||||
|
||||
Резюме: рациональные циклы на самой квадрике контролируют только
|
||||
ее индекс Витта.
|
||||
|
||||
Посмотрим теперь на другое многообразие, связанное с торсором
|
||||
$E\in H^1(F, O_{2n+2})$ (мы для удобства изменим нумерацию).
|
||||
А именно, рассмотрим $\OGr(2,Q)$~--- многообразие вполне изотропных
|
||||
плоскостей.
|
||||
Мы реализовали $Q$ как $\{\la v\ra\mid q(v) = 0\}$.
|
||||
Тогда $\OGr(2,Q) = \{\la u,v\ra\mid q(u) = q(v) = f(u,v) = 0\}$.
|
||||
|
||||
Чтобы добраться до этого многообразия,
|
||||
положим $X = \{f(u,v)=0\}$
|
||||
и рассмотрим фильтрацию из раздела~\ref{ssect:quadric}:
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
Q\times Q & \arrow{d}{\mathbb{A}^{n}} &
|
||||
\{f(u,v) = 0\} \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
|
||||
\pt,\arrow[left hook->]{ll}\\
|
||||
& Q & & \OGr(1,2;Q).
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
С одной стороны, $\OGr(1,2;Q)$~--- расслоение над $\OGr(2;Q)$ со слоем
|
||||
$\mathbb{P}^1$.
|
||||
С другой стороны, написанная фильтрация позволяет нам написать разложение
|
||||
\[
|
||||
\CH^*(Q\times Q) = \CH^{*-n}(Q)\oplus\CH^{*-n+1}(\OGr(1,2;Q))\oplus\CH^*(Q).
|
||||
\]
|
||||
Более того, морфизмы в левую части из слагаемых в правой части задаются
|
||||
явным образом (с помощью пулбэков и пушфорвардов), и они
|
||||
$O(q)$-эквивариантны.
|
||||
|
||||
\section{Мотивы Чжоу}
|
||||
|
||||
\subsection{Категория соответствий}
|
||||
|
||||
До сих пор мы смотрели на $\CH^*$ и на морфизмы вида
|
||||
$\CH^*(X)\to\CH^*(\ol{X})$.
|
||||
Посмотрим теперь на \term{мотив Чжоу} многообразия $X$.
|
||||
|
||||
Начнем с категории гладких проективных многообразий над $F$.
|
||||
Что в ней плохо?
|
||||
Например, то, что морфизмы нельзя складывать: она не аддитивна
|
||||
(и тем более не абелева).
|
||||
Каждому морфизму $f\colon X\to Y$ можно сопоставить
|
||||
его график $\Gamma_f\subseteq X\times Y$
|
||||
и получить $[\Gamma_f] \in \CH^*(X\times Y)$.
|
||||
Элементы $\CH^*(X\times Y)$ уже можно складывать!
|
||||
Поэтому в качестве промежуточного шага можно рассмотреть
|
||||
\term{категорию соответствий} $\Cor_F$.
|
||||
Ее объекты~--- гладкие проективные многообразия над $F$.
|
||||
Морфизмы: $\Mor(X, Y) = \CH^{\dim Y}(X\times Y)$.
|
||||
Роль тождественного морфизма играет класс диагонали.
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
В этой конструкции можно заменить $\CH$ на что-то другое,
|
||||
где есть пулбэки и пушфорварды (они понадобятся нам ниже),
|
||||
например, на другую теорию когомологий.
|
||||
Если взять $K$-теорию~--- получим \emph{$K$-мотивы},
|
||||
а не мотивы Чжоу).
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
Как определить композицию таких морфизмов?
|
||||
Пусть $\alpha\in\CH^{\dim Y}(X\times Y)$, $\beta\in\CH^{\dim Z}(Y\times Z)$.
|
||||
Рассмотрим диаграмму
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
& X\times Y\times Z \arrow{dl}[swap]{\pr_{XY}} \arrow{dr}{\pr_{YZ}}
|
||||
\arrow{dd}{\pr_{XZ}} \\
|
||||
X\times Y & & Y\times Z\\
|
||||
& X\times Z
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
Из нее получается следующая диаграмма на уровне Чжоу:
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
& \CH^*(X\times Y\times Z)
|
||||
\arrow{dd}{(\pr_{XZ})_*} \\
|
||||
\CH^{\dim Y}(X\times Y)\arrow{ur}{\pr_{XY}^*}
|
||||
& & \CH^{\dim Z}(Y\times Z)\arrow{ul}{\pr_{YZ}^*}\\
|
||||
& \CH^{*}(X\times Z)
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
Поэтому
|
||||
$\pr_{XY}^*(\alpha)\cdot\pr_{YZ}^*(\beta)
|
||||
\in\CH^{\dim Y + \dim Z}(X\times Y\times Z))$, и
|
||||
мы можем определить
|
||||
\[
|
||||
\beta\circ\alpha = (\pr_{XZ})_*(\pr_{XY}^*(\alpha)\cdot\pr_{YZ}^*(\beta))
|
||||
\]
|
||||
Это произведение имеет характер свертки.
|
||||
Например, можно взять в качестве $X,Y,Z$ метрические пространства,
|
||||
а в качестве морфизмов~--- ядерные операторы,
|
||||
и получится свертка.
|
||||
Или в качестве $X,Y,Z$~--- конечные множества, а в качестве морфизмов~---
|
||||
матрицы, и тогда получится произведение матриц.
|
||||
|
||||
\subsection{Карубизация}
|
||||
|
||||
Итак, в категории соответствий $\Cor_F$ морфизмы уже можно складывать:
|
||||
это аддитивная категория.
|
||||
Заметим, что в ней есть и прямые сумммы
|
||||
($X\oplus Y = X\coprod Y$), и произведения ($X\otimes Y = X\times Y$).
|
||||
Но эта категория не абелева (и даже не псевдоабелева).
|
||||
Напомним, что категория называется \term{псевдоабелевой}, если
|
||||
у любого проектора есть образ (в категорном смысле).
|
||||
То есть, если $p\colon X\to X$~--- морфизм, для которого $p^2=p$,
|
||||
то $X = X_1\oplus X_2$, причем $p$~--- проекция на $X_1$.
|
||||
|
||||
Есть стандартная процедура, как из аддитивной категории получить
|
||||
псевдоабелеву: \term{пополнение по Каруби} (\term{карубизация}).
|
||||
Таким образом по $\Cor_F$ строится
|
||||
\term{категория мотивов Гротендика--Чжоу} $\mathcal{M}$.
|
||||
Ее объекты~--- пары $(X,p)$, где $p\colon X\to X$~--- идемпотент.
|
||||
Неформально говоря, эта пара символизирует <<образ>> морфизма $p$
|
||||
(которого может не быть в исходной категории).
|
||||
Морфизмы определяются так:
|
||||
\[
|
||||
\Mor((X,p),(Y,q)) = q\circ\Mor(X,Y)\circ p.
|
||||
\]
|
||||
Есть функтор $\Cor\to\mathcal{M}$, $X\mapsto (X,\id_X)$.
|
||||
Для многообразия $X$ объект $M(X) = (X,\id_X)$ называется
|
||||
\term{мотивом $X$}.
|
||||
На самом деле, нужно писать $\Cor_{\operatorname{rat},\operatorname{eff}}$
|
||||
вместо $\Cor$, и $\operatorname{Chow}^{\operatorname{eff}}$ вместо
|
||||
$\mathcal{M}$.
|
||||
Мы получили функторы
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
\operatorname{SmProj}/F \arrow{r} \arrow[bend right=15, swap]{rr}{M}
|
||||
& \Cor_{\operatorname{rat},\operatorname{eff}}(F) \arrow{r}
|
||||
& \operatorname{Chow}^{\operatorname{eff}}(F),
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
где $M$~--- функтор <<взятия мотива>>.
|
||||
При этом $M(X\coprod Y) = M(X) \oplus M(Y)$,
|
||||
$M(X\times Y) = M(X)\otimes M(Y)$.
|
||||
|
||||
\subsection{Мотив проективной прямой}
|
||||
|
||||
Попробуем <<посчитать>> мотив проективной прямой $M(\mathbb{P}^1)$.
|
||||
Напомним, что у $\CH^(\mathbb{P}^1)$ стоит $\mathbb{Z}$ в коразмерностях
|
||||
$0$ (с образующей $1$) и $1$ (с образующей $[\pt]$).
|
||||
Рассмотрим вложение $i\colon \pt\to \mathbb{P}^1$
|
||||
и проекцию $\pi\colon\mathbb{P}^1\to\pt$.
|
||||
Композиция $\pi\circ i \colon \pt \to \mathbb{P}^1 \to \pt$
|
||||
тождественна, поэтому $p = i\circ\pi$ является проектором на $\mathbb{P}^1$.
|
||||
Это идемпотент, отправляющий все в точку.
|
||||
Поэтому в категории мотивов
|
||||
$M(\mathbb{P}^1) = M(\pt) \oplus (\mathbb{P}^1, 1 - [p])$.
|
||||
Слагаемое $(\mathbb{P}^1, 1 - [p])$ обозначается через $\mathbb{L}$
|
||||
и называется \term{мотивом Лефшеца}.
|
||||
Это аналог аффинной прямой в категории мотивов.
|
||||
Оказывается, мотив Лефшеца неразложим.
|
||||
|
||||
Мотив точки часто обозначается через $\mathbb Z = M(\pt)$;
|
||||
он играет роль нейтрального объекта относительно $\otimes$.
|
||||
При этом мотив Лефшеца $\mathbb{L}$ обозначается
|
||||
через $\mathbb{Z}(1)[2] = \mathbb{Z}\{1\}$.
|
||||
Тензорные степени мотива Лефшеца обозначаются так:
|
||||
$L^{\otimes k} = \mathbb{Z}(k)[2k] = \mathbb{Z}\{k\}$.
|
||||
Это в некотором смысле <<мотив>> $k$-мерного аффинного пространства.
|
||||
|
||||
Часто удается разложить мотив многообразия $X$ в прямую сумму вида
|
||||
$M(X) = \bigoplus M(Y_i)\otimes\mathbb{L}^{\otimes k_i}$,
|
||||
где $Y_i$~--- какие-то другие многообразия.
|
||||
Поэтому удобно обозначение
|
||||
$M(Y)\otimes\mathbb{L}^{\otimes k} = M(Y)(k)[2k] = M(Y)\{k\}$.
|
||||
|
||||
Что дает такого рода разложение?
|
||||
\begin{fact}
|
||||
Пусть
|
||||
$M(X) = \bigoplus M(Y_i)\otimes\mathbb{L}^{\otimes k_i}$.
|
||||
Тогда
|
||||
$\CH^n(X) = \bigoplus\CH^{n-k_i}(Y_i)$.
|
||||
\end{fact}
|
||||
Например, из разложения $M(\mathbb{P}^1) = M(\pt)\otimes M(\pt)\{1\}$
|
||||
следует, что
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\CH^0(\mathbb{P}^1) &= \CH^0(\pt) = \mathbb{Z},\\
|
||||
\CH^1(\mathbb{P}^1) &= \CH^1(\pt)\oplus\CH^0(\pt) = \mathbb{Z}.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Вообще, $\CH^n(X) = \Mor(X,\mathbb{L}^{\otimes n})$
|
||||
и $\CH_n(X) = \Mor(\mathbb{L}^{\otimes n}, X)$,
|
||||
то есть, $\CH$~--- представимый функтор в категории мотивов,
|
||||
а $\mathbb{L}$ играет роль пространства Эйленберга--Маклейна.
|
||||
|
||||
Умножение в $\CH^*$ тоже происходит из категории мотивов.
|
||||
Пусть $\alpha\in\CH^k(X)$, $\beta\in\CH^n(X)$, то есть
|
||||
$\alpha\colon M(X) \to \mathbb{L}^{\otimes k}$,
|
||||
$\beta\colon M(X) \to \mathbb{L}^{\otimes n}$.
|
||||
Перемножая эти отображения, получаем
|
||||
\[
|
||||
\alpha\otimes\beta \colon M(X)\otimes M(X) \to
|
||||
\mathbb{L}^{\otimes k} \otimes \mathbb{L}^{\otimes n}.
|
||||
\]
|
||||
Правая часть изоморфна $\mathbb{L}^{\otimes(k+n)}$.
|
||||
Взяв композицию с морфизмом $M(\Delta)\colon M(X) \to M(X\times X)$,
|
||||
получаем $\alpha\cup\beta\colon M(X) \to \mathbb{L}^{\otimes(k+n)}$.
|
||||
\begin{theorem}[Карпенко, 2000]
|
||||
Пусть дана фильтрация многообразия $X$ замкнутыми (не обязательно гладкими)
|
||||
подмножествами
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}[column sep=1.2em]
|
||||
X = X_0 & \arrow{d}{\mathbb{A}^{k_0}} &
|
||||
X_1 \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^{k_1}} &
|
||||
X_2 \arrow[left hook->]{ll} & & \dots \arrow[left hook->]{ll} & &
|
||||
X_n \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^{k_n}} &
|
||||
X_{n+1} = \emptyset. \arrow[left hook->]{ll} \\
|
||||
& Y_0 & & Y_1 & & & \dots & & & Y_n
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
Вертикальные стрелки означают, что для каждого $i=0,\dots,n$
|
||||
задан плоский морфизм $X_i\setminus X_{i+1} \to Y_i$,
|
||||
слои которого~--- аффинные пространства $\mathbb{A}^{k_i}$.
|
||||
|
||||
Тогда $M(X) = \bigoplus M(Y_i)\{k_i\}$
|
||||
и, кроме того,
|
||||
$M(X) = \bigoplus M(Y_i)\{\dim X - \dim Y_i - k_i\}$.
|
||||
В частности, имеется функториальный (по $Z$)
|
||||
изоморфизм $\CH^*(X\times Z) \isom \bigoplus\CH^{*-k_i}(Y_i\times Z)$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Фильтрация
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
\mathbb{P}^1 & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} & \pt\arrow[left hook->]{ll}\\
|
||||
& \pt
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
приводит к разложению $M(\pt) \oplus M(\pt)\{1\}$.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Фильтрация
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
Q\times Q & \arrow{d}{\mathbb{A}^{\dim Q}} &
|
||||
\{f(u,v) = 0\} \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
|
||||
Q\arrow[left hook->]{ll}\\
|
||||
& Q & & \OGr(1,2;f)
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
из раздела~\ref{ssect:quadric}
|
||||
приводит к разложению
|
||||
\[
|
||||
M(Q\times Q) = M(Q) \oplus M(\OGr(1,2;Q))\{1\}\oplus M(Q)\{\dim Q\}.
|
||||
\]
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Пусть на квадрике $Q$ есть рациональная точка (то есть, форма $q$
|
||||
изотропна).
|
||||
Тогда $q = \la 1,-1\ra \perp q'$, и есть фильтрация
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
Q & \arrow{d}{\mathbb{A}^{\dim Q}} &
|
||||
X' \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
|
||||
\pt,\arrow[left hook->]{ll}\\
|
||||
& \pt & & Q'
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
где $Q' = \{q'=0\}$.
|
||||
Получаем разложение
|
||||
\[
|
||||
M(Q) = M(\pt) \oplus M(Q')\{1\} \oplus M(\pt)\{\dim Q\}.
|
||||
\]
|
||||
На картинке это выглядит так:
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||||
\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (2p) at ($\sm*(1.9, 0)$);
|
||||
\coordinate (d1) at ($\sm*(2.1, 0)$);
|
||||
\coordinate (d2) at ($\sm*(2.3, 0)$);
|
||||
\coordinate (d3) at ($\sm*(2.5, 0)$);
|
||||
\coordinate (3m) at ($\sm*(2.7, 0)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(3.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 1)$);
|
||||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, -1)$);
|
||||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (6p) at ($\sm*(5.7, 0)$);
|
||||
\coordinate (e1) at ($\sm*(5.9, 0)$);
|
||||
\coordinate (e2) at ($\sm*(6.1, 0)$);
|
||||
\coordinate (e3) at ($\sm*(6.3, 0)$);
|
||||
\coordinate (7m) at ($\sm*(6.5, 0)$);
|
||||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||||
\coordinate (8) at ($\sm*(8.4, 0)$);
|
||||
\draw (1)--(2);
|
||||
\draw (2)--(2p);
|
||||
\draw (3m)--(3);
|
||||
\draw (3)--(4);
|
||||
\draw (3)--(5);
|
||||
\draw (4)--(6);
|
||||
\draw (5)--(6);
|
||||
\draw (6)--(6p);
|
||||
\draw (7m)--(7);
|
||||
\draw (7)--(8);
|
||||
\draw[dotted] ($\sm*(1, 1.3)$)--($\sm*(7.4, 1.3)$)--($\sm*(7.4,-1.3)$)
|
||||
--($\sm*(1, -1.3)$)--($\sm*(1, 1.3)$);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6,7,8}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
\draw [black] (1) circle (5.0pt);
|
||||
\draw [black] (8) circle (5.0pt);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{d1,d2,d3,e1,e2,e3}
|
||||
{
|
||||
\fill [black] (\point) circle (0.7pt);
|
||||
}
|
||||
\node at (1) [below=3pt,font=\scriptsize] {$1$};
|
||||
\node at (8) [below=3pt,font=\scriptsize] {$[\pt]$};
|
||||
\draw [|->] ($\sm*(0, -1)$) --node[below=3pt, font=\scriptsize] {$1$}
|
||||
($\sm*(1.4, -1)$);
|
||||
\draw [|->] ($\sm*(0, -2)$) --node[below=3pt, font=\scriptsize] {$\dim Q$}
|
||||
($\sm*(8.4, -2)$);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\]
|
||||
Обратите внимание, что на картинке выделен мотив подквадрики $Q'$,
|
||||
который сдвигается на $1$.
|
||||
Кроме того, мотив точки (справа) сдвигается на $\dim Q$.
|
||||
Иными словами, у нас появились проекторы
|
||||
$1\times [\pt]$, $[\pt]\times 1$, $\Delta_Q - 1\times[\pt] - [\pt]\times 1$.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Обозначение $\mathbb{Z}(1)[2]$ для мотива Лефшеца может показаться странным.
|
||||
Здесь второй сдвиг соответствует сдвигу в триангулированной категории
|
||||
Воеводского.
|
||||
При желании можно представлять это как композицию двух сдвигов:
|
||||
$(1)[1]$~--- сдвиг на $\mathbb{G}_m$, $(0)[1]$~--- сдвиг на $S^1$.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
Loading…
x
Reference in New Issue
Block a user