Add Lecture 6
This commit is contained in:
parent
b0946e4572
commit
ca271db1b4
BIN
motives.pdf
BIN
motives.pdf
Binary file not shown.
477
motives.tex
477
motives.tex
@ -61,6 +61,7 @@
|
||||
\DeclareMathOperator{\Mor}{Mor}
|
||||
\DeclareMathOperator{\pr}{pr}
|
||||
\DeclareMathOperator{\id}{id}
|
||||
\DeclareMathOperator{\res}{res}
|
||||
|
||||
%\DeclareFontFamily{OT1}{pzc}{}
|
||||
%\DeclareFontShape{OT1}{pzc}{m}{it}{<-> s * [1.2] pzcmi7t}{}
|
||||
@ -85,6 +86,8 @@
|
||||
\newtheorem{example}[theorem]{Пример}
|
||||
\newtheorem{fact}[theorem]{Факт}
|
||||
\newtheorem{remark}[theorem]{Замечание}
|
||||
\newtheorem{exercise}[theorem]{Упражнение}
|
||||
\newtheorem{definition}[theorem]{Определение}
|
||||
|
||||
\newcommand{\la}{\langle}
|
||||
\newcommand{\ra}{\rangle}
|
||||
@ -92,6 +95,7 @@
|
||||
\newcommand{\rAngle}{\rangle\!\rangle}
|
||||
\newcommand{\trleq}{\trianglelefteq}
|
||||
\newcommand{\ol}{\overline}
|
||||
\newcommand{\wt}{\widetilde}
|
||||
|
||||
\newcommand{\TBW}{\textbf{TBW}}
|
||||
|
||||
@ -1679,7 +1683,7 @@ x_1 = x_2 = y_3 = 0.
|
||||
Более простой вопрос:
|
||||
рассмотрим отображение
|
||||
\[
|
||||
\CH^*({}_{E}Q) \xrightarrow{res} \CH^*(({}_{E}Q)_{\ol{F}}).
|
||||
\CH^*({}_{E}Q) \xrightarrow{\res} \CH^*(({}_{E}Q)_{\ol{F}}).
|
||||
\]
|
||||
Что можно сказать про образ этого отображения (то есть,
|
||||
про рациональные циклы)?
|
||||
@ -1781,7 +1785,7 @@ $O(q)$-эквивариантны.
|
||||
|
||||
\section{Мотивы Чжоу}
|
||||
|
||||
\subsection{Категория соответствий}
|
||||
\subsection{Категория соответствий}\label{ssect:corr-category}
|
||||
|
||||
До сих пор мы смотрели на $\CH^*$ и на морфизмы вида
|
||||
$\CH^*(X)\to\CH^*(\ol{X})$.
|
||||
@ -1910,6 +1914,8 @@ $M(\mathbb{P}^1) = M(\pt) \oplus (\mathbb{P}^1, 1 - [p])$.
|
||||
$L^{\otimes k} = \mathbb{Z}(k)[2k] = \mathbb{Z}\{k\}$.
|
||||
Это в некотором смысле <<мотив>> $k$-мерного аффинного пространства.
|
||||
|
||||
\subsection{Представимость функтора Чжоу}
|
||||
|
||||
Часто удается разложить мотив многообразия $X$ в прямую сумму вида
|
||||
$M(X) = \bigoplus M(Y_i)\otimes\mathbb{L}^{\otimes k_i}$,
|
||||
где $Y_i$~--- какие-то другие многообразия.
|
||||
@ -1946,7 +1952,9 @@ $\beta\colon M(X) \to \mathbb{L}^{\otimes n}$.
|
||||
Правая часть изоморфна $\mathbb{L}^{\otimes(k+n)}$.
|
||||
Взяв композицию с морфизмом $M(\Delta)\colon M(X) \to M(X\times X)$,
|
||||
получаем $\alpha\cup\beta\colon M(X) \to \mathbb{L}^{\otimes(k+n)}$.
|
||||
\begin{theorem}[Карпенко, 2000]
|
||||
|
||||
\subsection{Теорема Карпенко}
|
||||
\begin{theorem}[Карпенко, 2000]\label{thm:karpenko}
|
||||
Пусть дана фильтрация многообразия $X$ замкнутыми (не обязательно гладкими)
|
||||
подмножествами
|
||||
\[
|
||||
@ -1970,6 +1978,9 @@ $M(X) = \bigoplus M(Y_i)\{\dim X - \dim Y_i - k_i\}$.
|
||||
изоморфизм $\CH^*(X\times Z) \isom \bigoplus\CH^{*-k_i}(Y_i\times Z)$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
Фильтрация из теоремы~\ref{thm:karpenko} называется
|
||||
\term{относительным клеточным разложением}.
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Фильтрация
|
||||
\[
|
||||
@ -2085,4 +2096,464 @@ $1\times [\pt]$, $[\pt]\times 1$, $\Delta_Q - 1\times[\pt] - [\pt]\times 1$.
|
||||
$(1)[1]$~--- сдвиг на $\mathbb{G}_m$, $(0)[1]$~--- сдвиг на $S^1$.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
В общем случае, разложение Брюа показывает, что если $G$~--- расщепимая
|
||||
группа, $P$~--- ее параболическая подгруппа,
|
||||
то мотив однородного многообразия $G/P$ равен прямой сумме
|
||||
сдвигов $\mathbb{Z}$:
|
||||
$M(G/P) = \bigoplus\mathbb{Z}\{\dots\}$.
|
||||
При этом $\mathbb{Z}\{i\}$ встречается столько раз, каково количество
|
||||
минимальных представителей классов смежности из $W/W_P$ длины $i$.
|
||||
Поэтому сдвиги считываются из диаграммы Хассе.
|
||||
\end{remark}
|
||||
\begin{example}
|
||||
Например, для $\mathbb{P}^n$ диаграмма Хассе выглядит так:
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||||
\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (2p) at ($\sm*(1.9, 0)$);
|
||||
\coordinate (d1) at ($\sm*(2.1, 0)$);
|
||||
\coordinate (d2) at ($\sm*(2.3, 0)$);
|
||||
\coordinate (d3) at ($\sm*(2.5, 0)$);
|
||||
\coordinate (3m) at ($\sm*(2.7, 0)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(3.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.6, 0)$);
|
||||
\node at (1) [below=3pt,font=\scriptsize] {$0$};
|
||||
\node at (2) [below=3pt,font=\scriptsize] {$1$};
|
||||
\node at (3) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n-1$};
|
||||
\node at (4) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n$};
|
||||
\draw (1)--(2);
|
||||
\draw (2)--(2p);
|
||||
\draw (3m)--(3);
|
||||
\draw (3)--(4);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{d1,d2,d3}
|
||||
{
|
||||
\fill [black] (\point) circle (0.7pt);
|
||||
}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\]
|
||||
Поэтому мотив $\mathbb{P}^n$ равен
|
||||
$\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\{1\}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}\{n\}$.
|
||||
Для [расщепимой] квадрики $Q$ четной размерности диаграмма такая:
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||||
\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (2p) at ($\sm*(1.9, 0)$);
|
||||
\coordinate (d1) at ($\sm*(2.1, 0)$);
|
||||
\coordinate (d2) at ($\sm*(2.3, 0)$);
|
||||
\coordinate (d3) at ($\sm*(2.5, 0)$);
|
||||
\coordinate (3m) at ($\sm*(2.7, 0)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(3.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 1)$);
|
||||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, -1)$);
|
||||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (6p) at ($\sm*(5.7, 0)$);
|
||||
\coordinate (e1) at ($\sm*(5.9, 0)$);
|
||||
\coordinate (e2) at ($\sm*(6.1, 0)$);
|
||||
\coordinate (e3) at ($\sm*(6.3, 0)$);
|
||||
\coordinate (7m) at ($\sm*(6.5, 0)$);
|
||||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||||
\coordinate (8) at ($\sm*(8.4, 0)$);
|
||||
\node at (1) [below=3pt,font=\scriptsize] {$0$};
|
||||
\node at (2) [below=3pt,font=\scriptsize] {$1$};
|
||||
\node at (5) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n/2$};
|
||||
\node at (7) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n-1$};
|
||||
\node at (8) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n$};
|
||||
\draw (1)--(2);
|
||||
\draw (2)--(2p);
|
||||
\draw (3m)--(3);
|
||||
\draw (3)--(4);
|
||||
\draw (3)--(5);
|
||||
\draw (4)--(6);
|
||||
\draw (5)--(6);
|
||||
\draw (6)--(6p);
|
||||
\draw (7m)--(7);
|
||||
\draw (7)--(8);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6,7,8}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{d1,d2,d3,e1,e2,e3}
|
||||
{
|
||||
\fill [black] (\point) circle (0.7pt);
|
||||
}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\]
|
||||
Поэтому $M(Q) = \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\{1\}\oplus\dots
|
||||
\oplus\mathbb{Z}\{n/2\}^{\otimes 2} \oplus\mathbb{Z}\{n/2+1\}\oplus\dots
|
||||
\oplus\mathbb{Z}\{n\}$.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\subsection{Метод общей точки}
|
||||
|
||||
Пока что мы получали мотивные разложения только с помощью фильтраций
|
||||
и теоремы Карпенко.
|
||||
Сейчас мы узнаем еще один прием~--- \emph{метод общей точки}.
|
||||
Пусть $X,Y$~--- многообразия, причем $Y$ неприводимо.
|
||||
Рассмотрим $X_{F(Y)}$ и его кольцо Чжоу $\CH^*(X_{F(Y)}$
|
||||
(напомним, что $F(Y)$~--- поле рациональных функций на $Y$).
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Отображение $\CH^*(X\times Y)\to\CH^*(X_{F(Y)})$,
|
||||
полученное из декартова квадрата
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
X_{F(Y)} \arrow{r}\arrow{d} & X\times Y \arrow{d} \\
|
||||
\Spec F(Y) \arrow[right hook->]{r} & Y,
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
сюръективно.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Указанную диаграмму можно представлять себе как индуктивный предел
|
||||
диаграмм вида
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
X\times U \arrow{r}\arrow{d} & X\times Y \arrow{d} \\
|
||||
U \arrow[right hook->]{r} & Y,
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
где $U$~--- открытое непустое в $Y$ (поскольку $\Spec F(Y) = \varinjlim U$).
|
||||
Но каждое полученное таким образом отображение
|
||||
$\CH^*(X\times Y) \to \CH^*(X\times U)$ сюръективно в силу точной
|
||||
последовательности локализации.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Как этим пользоваться?
|
||||
Чтобы выделить прямое слагаемое в мотиве $X$, нам нужно
|
||||
найти проектор $p\in\CH^{\dim X}(X\times X)$.
|
||||
Для этого есть два варианта:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item взять $Y:= X$, выбрать какой-то элемент из $\CH^i(X_{F(X)})$
|
||||
и поднять его в $\CH^i(X\times X)$;
|
||||
\item взять какой-нибудь $Y$, построить элементы из $\CH^i(X\times Y)$,
|
||||
$\CH^i(Y\times X)$, взять их композицию, и дальше как в первом пункте.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Пусть $X$~--- гладкое проективное над $F$.
|
||||
Напомним, что цикл $\alpha\in\CH^*(X_{\ol{F}})$ называется
|
||||
рациональным, если он лежит в образе отображения
|
||||
\[
|
||||
\res\colon\CH^*(X) \to \CH^*(X_{\ol{F}}).
|
||||
\]
|
||||
Аналогично, можно рассмотреть отображение
|
||||
\[
|
||||
\res\colon\CH^*(X\times X) \to \CH^*(X_{\ol{F}}\times X_{\ol{F}}).
|
||||
\]
|
||||
Правая часть гораздо лучше левой.
|
||||
|
||||
Предположим, что мы нашли цикл $p\in\CH^*(X_{\ol{F}}\times X_{\ol{F}})$
|
||||
такой, что
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $p$~--- проектор (в смысле композиции, определенной в
|
||||
разделе~\ref{ssect:corr-category});
|
||||
\item $p$ рационален, то есть, $p$ поднимается до какого-то
|
||||
$\wt{p}\in\CH^*(X\times X)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Следует ли из этого, что $\wt{p}$ является проектором?
|
||||
Вообще говоря~--- нет, но для однородных многообразий есть такая теорема.
|
||||
|
||||
\begin{theorem}[Теорема нильпотентности Роста]
|
||||
Если $X$~--- проективное однородное многообразие,
|
||||
$p$~--- рациональный проектор на $X_{\ol{F}}$, то он
|
||||
поднимается до проектора $\wt{p}$ на $X$.
|
||||
Более сильное утверждение:
|
||||
\[
|
||||
\ker(\CH^*(X\times X) \to \CH^*(X_{\ol{F}}\times X_{\ol{F}}))
|
||||
\]
|
||||
состоит из нильпотентных (в смысле композиции) элементов.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
Как выглядят очевидные элементы $\CH^*(X\times X)$?
|
||||
Можно взять $\alpha\in\CH^*(X)$, $b\in\CH^*(X)$, и получить
|
||||
$a\times b\in\CH^*(X\times X)$.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}
|
||||
В этом случае $(a\times b)\circ (c\times d) = \deg(ad)(c\times b)$,
|
||||
где $\deg\colon\CH^*(Y) \to \CH^*(\pt)$ происходит из
|
||||
морфизма $Y\to\pt$.
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}
|
||||
Пусть $R$~--- коммутативное кольцо, $I\trleq R$~--- идеал, состоящий
|
||||
из нильпотентных элементов.
|
||||
Тогда любой идемпотентв $R/I$ поднимается до идемпотента в $R$.
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Многообразие $X$ называется \term{клеточным}, если существует
|
||||
фильтрация вида
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}[column sep=1.2em]
|
||||
X = X_0 & \arrow{d}{\mathbb{A}^{k_0}} &
|
||||
X_1 \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^{k_1}} &
|
||||
X_2 \arrow[left hook->]{ll} & & \dots \arrow[left hook->]{ll} & &
|
||||
X_n \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^{k_n}} &
|
||||
X_{n+1} = \emptyset, \arrow[left hook->]{ll} \\
|
||||
& \pt & & \pt & & & \dots & & & pt
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
в которой все базы~--- точки.
|
||||
\end{definition}
|
||||
\begin{example}
|
||||
Разложение Брюа говорит, что если группа $G$ расщепима,
|
||||
$P$~--- параболическая подгруппа в $G$,
|
||||
то многообразия $G/P$ клеточное.
|
||||
\end{example}
|
||||
Из теоремы Карпенко~\ref{thm:karpenko} следует, что для клеточного
|
||||
многообразия $M(X) = \bigoplus \mathbb{Z}\{r_i\}$.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Многообразие $X$ называется \term{клеточным над общей точкой}
|
||||
(\term{generically cellular}), если $X_{F(X)}$ клеточное.
|
||||
\end{definition}
|
||||
\begin{example}
|
||||
Пусть $Q$~--- \term{Квадрика Пфистера}, то есть, $Q = \{q=0\}$,
|
||||
где $q = \lAngle a_1,\dots,a_k\rAngle = \la 1,-a_1\ra \otimes\dots
|
||||
\otimes\la 1,-a_k\ra$~--- $k$-кратная форма Пфистера
|
||||
(размерность $Q$ равна $2^k-2$).
|
||||
Тогда $Q$ клеточная над общей точкой.
|
||||
\end{example}
|
||||
Верно и обратное: все анизотропные четномерные квадрики,
|
||||
клеточные над общей точкой, так выглядят.
|
||||
|
||||
\subsection{Мотив квадрики Пфистера}
|
||||
|
||||
Пусть $Q$~--- квадрика Пфистера размерности $2^k - 2$.
|
||||
Мы знаем, что $Q_{F(Q)}$~--- клеточное многообразие.
|
||||
Обозначим образующие компонент $\CH^*(Q_{F(Q)})$:
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||||
\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (2p) at ($\sm*(1.9, 0)$);
|
||||
\coordinate (d1) at ($\sm*(2.1, 0)$);
|
||||
\coordinate (d2) at ($\sm*(2.3, 0)$);
|
||||
\coordinate (d3) at ($\sm*(2.5, 0)$);
|
||||
\coordinate (3m) at ($\sm*(2.7, 0)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(3.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 1)$);
|
||||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, -1)$);
|
||||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (6p) at ($\sm*(5.7, 0)$);
|
||||
\coordinate (e1) at ($\sm*(5.9, 0)$);
|
||||
\coordinate (e2) at ($\sm*(6.1, 0)$);
|
||||
\coordinate (e3) at ($\sm*(6.3, 0)$);
|
||||
\coordinate (7m) at ($\sm*(6.5, 0)$);
|
||||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||||
\coordinate (8) at ($\sm*(8.4, 0)$);
|
||||
\node at (1) [below=3pt,font=\scriptsize] {$0$};
|
||||
\node at (2) [below=3pt,font=\scriptsize] {$1$};
|
||||
\node at (5) [below=3pt,font=\scriptsize] {$2^{k-1}-1$};
|
||||
\node at (7) [below=3pt,font=\scriptsize] {$2^k-3$};
|
||||
\node at (8) [below=3pt,font=\scriptsize] {$2^k-2$};
|
||||
\node at (1) [above=3pt,font=\scriptsize] {$1$};
|
||||
\node at (2) [above=3pt,font=\scriptsize] {$h$};
|
||||
\node at (4) [above=3pt,font=\scriptsize] {$\rho$};
|
||||
\node at (6) [above=3pt,font=\scriptsize] {$h\rho$};
|
||||
\node at (8) [above=3pt,font=\scriptsize] {$h^{2^{k-1}}\rho$};
|
||||
\draw (1)--(2);
|
||||
\draw (2)--(2p);
|
||||
\draw (3m)--(3);
|
||||
\draw (3)--(4);
|
||||
\draw (3)--(5);
|
||||
\draw (4)--(6);
|
||||
\draw (5)--(6);
|
||||
\draw (6)--(6p);
|
||||
\draw (7m)--(7);
|
||||
\draw (7)--(8);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6,7,8}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{d1,d2,d3,e1,e2,e3}
|
||||
{
|
||||
\fill [black] (\point) circle (0.7pt);
|
||||
}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\]
|
||||
Возьмем $\rho\in\CH^*(Q_{F(Q)})$ и поднимем его до какого-то элемента
|
||||
$\alpha\in\CH^*(Q\times Q)$.
|
||||
Рассмотрим коммутативную диаграмму
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
\alpha\in\CH^*(Q\times Q) \arrow[->>]{r} \arrow{d}{\res}
|
||||
& \CH^*(Q_{F(Q)})\ni\rho \arrow{d}{\isom} \\
|
||||
\ol{\alpha}\in\CH^*(Q_{\ol{F}}\times Q_{\ol{F}}) \arrow[->>]{r}
|
||||
& \CH^*(Q_{\ol{F}(Q)})\ni\ol{\rho}
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
Мы не умеем следить за $\alpha$, но знаем, что $\ol{\alpha} = \res(\alpha)$
|
||||
переходит в $\ol{\rho}$ (который отождествляется с $\rho$
|
||||
при помощи изоморфизма), и знаем, как выглядит нижняя
|
||||
горизонтальная стрелка.
|
||||
|
||||
Итак, $\ol{\alpha}$ является прообразом $\rho$, поэтому обязан иметь вид
|
||||
\[
|
||||
\ol{\alpha} = \ol{\rho}\times 1
|
||||
+ c_1\cdot h^{2^{k-1}-2} \times h
|
||||
+ c_2\cdot h^{2^{k-1}-3} \times h^2
|
||||
+ \dots
|
||||
+ c_{2^{k-1}-1}\cdot 1\times h^{2^{k-1}-1}
|
||||
+ c\cdot 1\times\ol{\rho}.
|
||||
\]
|
||||
Заметим, что все слагаемые в правой части, кроме первого и последнего,
|
||||
содержатся в образе $\res$, посольку $h$ рационален.
|
||||
Поэтому (подправив $\alpha$) можно считать,
|
||||
что $\ol\alpha = \ol\rho\times 1 + c\cdot 1 \times \ol\rho$.
|
||||
|
||||
Кроме того, цикл $2\ol\rho$ рационален, поскольку квадрика $Q$
|
||||
ращепляется квадратичным расширением.
|
||||
Действительно, если $q = \lAngle a_1,\dots,a_k\rAngle$, достаточно взять
|
||||
поле $F(\sqrt{a_1})$.
|
||||
Над этим полем $q$ изотропна, а потому гиперболична.
|
||||
Рассуждение заканчивается рассмотрением диаграммы
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
\CH^*(Q) \arrow[yshift=-2pt]{r} \arrow{d} & \CH^*(Q_{F(\sqrt{a_1})}) \arrow{d}
|
||||
\arrow[yshift=2pt]{l} \\
|
||||
\CH^*(Q_{\ol{F}}) \arrow[yshift=-2pt]{r} & \CH^*(Q_{\ol{F}(\sqrt{a_1})}).
|
||||
\arrow[yshift=2pt]{l}
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Стало быть, либо $\ol\rho\times 1$ рационален, либо
|
||||
$\ol\rho\times 1 + 1\times\ol\rho$ рационален (в зависимости от четности $c$).
|
||||
|
||||
Предположим для начала, что $\ol\rho\times 1$ рационален.
|
||||
Докажем, что в этом случае $Q$ изотропна.
|
||||
Действительно, циклы $\ol\rho\times 1$ и $1\times\ol\rho$ рациональны,
|
||||
а потому и $(\ol\rho\times 1)\cdot(1\times\ol\rho) = \ol\rho\times\ol\rho$
|
||||
рационален.
|
||||
Кроме того, $\ol{h}\times 1$ и $1\times\ol{h}$ рациональны,
|
||||
а потому и $\ol{\pt}\times\ol{\pt}$ рационален.
|
||||
Рассмотрим пушфорвард относительно проекции $Q\times Q$ на первый сомножитель:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\CH^*(\ol{Q}\times\ol{Q}) &\to \CH^*(\ol{Q}),
|
||||
\ol{\pt}\times\ol{\pt} &\mapsto \ol{\pt}.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Поэтому и цикл $\ol{\pt}$ рационален.
|
||||
Значит, на $Q$ есть $0$-цикл степени $1$.
|
||||
По теореме Спрингера из этого следует, что на $Q$ есть рациональная точка,
|
||||
то есть, $Q$ изотропна~--- и это неинтересный случай.
|
||||
|
||||
Значит, на самом деле цикл $\ol\rho\times 1 + 1\times\ol\rho$
|
||||
рационален.
|
||||
Из него можно постараться изготовить проектор.
|
||||
Заметим, что для любых $i,j$ цикл
|
||||
$(\ol{h}^i\ol\rho)\times \ol{j}^j + \ol{h}^i\times (\ol{h}^j\ol\rho)$
|
||||
тоже рационален.
|
||||
Как подобрать $i,j$, чтобы это был проектор?
|
||||
Заметим, что $\ol\rho$ лежит в коразмерности $2^{k-1} - 1$,
|
||||
поэтому нужно, чтобы $j = 2^{k-1} - 1 - i$.
|
||||
Оказывается, этого достаточно: нужно вспомнить формулу
|
||||
$(a\times b)(c\times d) = \deg(ad)c\times b$
|
||||
и равенство $\ol{h}^{2^{k-1}-1}\ol\rho = \ol{\pt}$.
|
||||
После этого прямое вычисление показывает, что
|
||||
мы получили проектор.
|
||||
Варьируя $i$, получаем $2^{k-1} - 1$ проекторов.
|
||||
|
||||
Соответствующее разложение мотива $Q$ можно нарисовать так:
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||||
\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||||
\coordinate (3p) at ($\sm*(3.3, 0)$);
|
||||
\coordinate (d1) at ($\sm*(3.5, 0)$);
|
||||
\coordinate (d2) at ($\sm*(3.7, 0)$);
|
||||
\coordinate (d3) at ($\sm*(3.9, 0)$);
|
||||
\coordinate (4m) at ($\sm*(4.1, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.6, 0)$);
|
||||
\coordinate (5) at ($\sm*(6.0, 0)$);
|
||||
\coordinate (6) at ($\sm*(7.0, 1)$);
|
||||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, -1)$);
|
||||
\coordinate (8) at ($\sm*(8.0, 0)$);
|
||||
\coordinate (9) at ($\sm*(9.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (9p) at ($\sm*(9.9, 0)$);
|
||||
\coordinate (e1) at ($\sm*(10.1, 0)$);
|
||||
\coordinate (e2) at ($\sm*(10.3, 0)$);
|
||||
\coordinate (e3) at ($\sm*(10.5, 0)$);
|
||||
\coordinate (10m) at ($\sm*(10.7, 0)$);
|
||||
\coordinate (10) at ($\sm*(11.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (11) at ($\sm*(12.6, 0)$);
|
||||
\coordinate (12) at ($\sm*(14.0, 0)$);
|
||||
\draw (1)--(2)--(3)--(3p);
|
||||
\draw (4m)--(4)--(5)--(6);
|
||||
\draw (5)--(7);
|
||||
\draw (6)--(8);
|
||||
\draw (7)--(8)--(9)--(9p);
|
||||
\draw (10m)--(10)--(11)--(12);
|
||||
\draw[dotted] (1) edge[bend left=45](6);
|
||||
\draw[dotted] (2) edge[bend left=35](8);
|
||||
\draw[dotted] (3) edge[bend left=45](9);
|
||||
\draw[dotted] (4) edge[bend right=45](10);
|
||||
\draw[dotted] (5) edge[bend right=35](11);
|
||||
\draw[dotted] (7) edge[bend right=45](12);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{d1,d2,d3,e1,e2,e3}
|
||||
{
|
||||
\fill [black] (\point) circle (0.7pt);
|
||||
}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\]
|
||||
Иными словами, над базой слагаемые в разложении мотива квадрики
|
||||
объединяются в пары.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}
|
||||
Пусть $R$~--- коммутативное кольцо, $I\trleq R$~--- идеал, состоящий
|
||||
из нильпотентных элементов.
|
||||
Тогда любой обратимый элемент $R/I$ поднимается до обратимого элемента в $R$.
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
Слагаемое, которое дает первый проектор из этих,
|
||||
называется \term{мотивом Роста} и обозначается через $R$.
|
||||
Таким образом, над замыканием
|
||||
$\ol{R} = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\{2^{k-1}-1\}$.
|
||||
Мотив квадрики Пфистера, таким образом, составлен
|
||||
из сдвигов мотива Роста:
|
||||
\[
|
||||
M(Q) = R \oplus R\{1\} \oplus \dots \oplus R\{2^{k-1}-1\}.
|
||||
\]
|
||||
\begin{fact}
|
||||
Пусть $\lAngle a_1,\dots,a_k\rAngle$,
|
||||
$\lAngle a'_1,\dots,a'_k\rAngle$~--- две $k$-формы Пфистера.
|
||||
Соответствующие этим квадрикам мотивы Роста изоморфны (в категории мотивов)
|
||||
тогда и только тогда, когда сами формы изоморфны,
|
||||
что в свою очередь равносильно равенству чашечных произведений
|
||||
$(a_1)\cup\dots\cup(a_k) = (a'_1)\cup\dots\cup(a'_k)$
|
||||
в $H^k(F, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$.
|
||||
\end{fact}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Мотив Роста над замыканием превращается в
|
||||
$\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\{2^{k-1}-1\}$.
|
||||
Верно и обратное:
|
||||
если мотив над замыканием выглядит так, то это мотив Роста
|
||||
(теорема Никиты Семенова).
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
Loading…
x
Reference in New Issue
Block a user