Add Lecture 7
This commit is contained in:
parent
ca271db1b4
commit
ef74821fe5
BIN
motives.pdf
BIN
motives.pdf
Binary file not shown.
429
motives.tex
429
motives.tex
@ -62,6 +62,7 @@
|
||||
\DeclareMathOperator{\pr}{pr}
|
||||
\DeclareMathOperator{\id}{id}
|
||||
\DeclareMathOperator{\res}{res}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Trd}{Trd}
|
||||
|
||||
%\DeclareFontFamily{OT1}{pzc}{}
|
||||
%\DeclareFontShape{OT1}{pzc}{m}{it}{<-> s * [1.2] pzcmi7t}{}
|
||||
@ -81,6 +82,8 @@
|
||||
\newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection]
|
||||
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}
|
||||
\newtheorem{proposition}[theorem]{Утверждение}
|
||||
\newtheorem{corollary}[theorem]{Следствие}
|
||||
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Гипотеза}
|
||||
|
||||
\theoremstyle{definition}
|
||||
\newtheorem{example}[theorem]{Пример}
|
||||
@ -2556,4 +2559,430 @@ $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\{2^{k-1}-1\}$.
|
||||
(теорема Никиты Семенова).
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
% 02.04.2012
|
||||
|
||||
\subsection{Пример: $\mathsf{F}_4$}
|
||||
|
||||
Над замкнутым полем группа типа $\mathsf{F}_4$~--- это автоморфизмы
|
||||
эрмитовых матриц $3\times 3$ над октонионами:
|
||||
$\mathsf{F}_4 = \Aut(H_3(\mathbb{O}))$.
|
||||
|
||||
В общем случае приведем сначала <<конструкцию по модулю $2$>>.
|
||||
Вместо $\mathbb{O}$ нужно взять другие октонионы
|
||||
(они задатся формой Пфистера $\lAngle a,b,c\rAngle$),
|
||||
и диагональную эрмитову форму вида $\la 1, -d, -e\ra$.
|
||||
Здесь $a,b,c,d,e\in F^* / (F^*)^2$.
|
||||
Если у поля $F$ нет расширений нечетной степени, то любая группа
|
||||
типа $\mathsf{F}_4$ так выглядит.
|
||||
|
||||
Например, над $\mathbb{R}$ есть три группы типа $\mathsf{F}_4$:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item построенная по расщепимым октонионам (и тогда неважно, каковы $d,e$);
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||||
\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||||
\draw (1)--(2);
|
||||
\draw (3)--(4);
|
||||
\draw (2) edge[transform canvas={yshift=2pt}] (3);
|
||||
\draw (2) edge[transform canvas={yshift=-2pt}] (3);
|
||||
\draw ($\sm*(2.0, 0.2)$) -- ($\sm*(2.2, 0)$) -- ($\sm*(2.0, -0.2)$);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||||
}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\]
|
||||
\item построенная по компактным октонионам (\term{октавам}) и $d=e=1$;
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||||
\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||||
\draw (1)--(2);
|
||||
\draw (3)--(4);
|
||||
\draw (2) edge[transform canvas={yshift=2pt}] (3);
|
||||
\draw (2) edge[transform canvas={yshift=-2pt}] (3);
|
||||
\draw ($\sm*(2.0, 0.2)$) -- ($\sm*(2.2, 0)$) -- ($\sm*(2.0, -0.2)$);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
\draw [black] (4) circle (5.0pt);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\]
|
||||
\item построенная по октавам и $d = e = -1$~--- она анизотропна
|
||||
(над $\mathbb{R}$ это равносильно компактности).
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||||
\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||||
\draw (1)--(2);
|
||||
\draw (3)--(4);
|
||||
\draw (2) edge[transform canvas={yshift=2pt}] (3);
|
||||
\draw (2) edge[transform canvas={yshift=-2pt}] (3);
|
||||
\draw ($\sm*(2.0, 0.2)$) -- ($\sm*(2.2, 0)$) -- ($\sm*(2.0, -0.2)$);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
По общей теории скрученных форм над любым полем
|
||||
группа типа $\mathsf{F}_4$~--- это группа автоморфизмов
|
||||
алгебры $J$, где $J$~--- скрученная
|
||||
форма йордановой алгебры $H_3(\mathbb{O})$.
|
||||
|
||||
Приведем теперь <<конструкцию по модулю $3$>>.
|
||||
Пусть $D$~--- центральная простая алгебра степени $3$.
|
||||
Они все циклические, поэтому
|
||||
$D = (a,b)_3 = \la x,y\mid x^3 = a,\; y^3 = b,\; xy = \zeta yx\ra$
|
||||
для некоторых $a,b\in F^*/(F^*)^3$.
|
||||
Здесь $\zeta^3 = 1$.
|
||||
Возьмем еще $c\in F^*/(F^*)^2$.
|
||||
тогда на $D\oplus D\oplus D$ можно завести структуру йордановой
|
||||
алгебры $J(a,b,c)$ (с помощью скаляра $c$).
|
||||
Ее норма выглядит так:
|
||||
\[
|
||||
N(\alpha\oplus\beta\oplus\gamma) = \Nrd(\alpha) + c\Nrd(\beta)
|
||||
+ c^{-1}\Nrd(\gamma) - \Trd(\alpha\beta\gamma),
|
||||
\]
|
||||
где $\Trd$~--- приведенный след.
|
||||
Автоморфизмы этой нормы образуют группу типа $\mathsf{E}_6$,
|
||||
а подгруппа в ней, сохраняющая
|
||||
единицу (то есть, $1\oplus 0 \oplus 0$)~--- это группа типа
|
||||
$\mathsf{F}_4$.
|
||||
|
||||
\begin{conjecture}[Ослабленный вариант гипотезы Серра--Роста]
|
||||
Полученная группа типа $\mathsf{F}_4$ зависит только
|
||||
от $\{a,b,c\} \in K_3^M(F)/3$
|
||||
(или, что то же самое, от
|
||||
$(a)\cup (b)\cup (c) \in H^3(F,\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$).
|
||||
\end{conjecture}
|
||||
Известно, что если $J(a,b,c) = J(a',b',c')$, то
|
||||
$\{a,b,c\} = \{a',b',c'\}$.
|
||||
|
||||
Если у поля нет квадратичных расширений, то любая скрученная
|
||||
форма $H_3(\mathbb O)$ имеет вид
|
||||
$J(a,b,c)$.
|
||||
|
||||
Для любого поля $F$ определен инвариант
|
||||
\[
|
||||
g_3\colon H^1(F, \mathsf{F}_4) \to H^3(F, \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}).
|
||||
\]
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Если у $F$ нет квадратичных расширений, то образ $g_3$~--- это
|
||||
в точности чистые символы $(a)\cup (b)\cup (c)$.
|
||||
\item В этом случае ядро тривиально.
|
||||
\item Гипотеза состоит в том, что $g_3$ инъективно.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Мы построили алгебру $J(a,b,c)$ и группу $G = \Aut(J(a,b,c))$.
|
||||
\begin{fact}
|
||||
Группа $G$ или расщепима, или анизотопна (как и в случае группы
|
||||
изометрий пфистеровых форм).
|
||||
\end{fact}
|
||||
В частности, если $X$~--- $G$-однородное проективное многообрази,
|
||||
то оно является клеточным над общей точкой,
|
||||
то есть, $X_{F(X)}$ клеточное.
|
||||
Пусть $X$~--- скрученная форма $\mathsf{F}_4/P_4$.
|
||||
|
||||
Отступление: J.-P. Bonnet показал, что
|
||||
$M({}_{\xi}(\mathsf{G}_2/P_1)) \isom M({}_{\xi}(\mathsf{G}_2/P_2))$.
|
||||
Многообразия $\mathsf{G}_2/P_1$ и $\mathsf{G}_2/P_2$
|
||||
оба имеют размерность $5$.
|
||||
На самом деле, $\mathsf{G}_2/P_1$~--- квадрика.
|
||||
Более того, это максимальный сосед квадрики Пфистера, и поэтому
|
||||
ее мотив раскладывается на мотивы Роста.
|
||||
Напомним, что $\mathsf{G}_2 = \Aut(\mathbb{O})$,
|
||||
где $\mathbb{O}$ задается формой $\lAngle a, b, c\rAngle$.
|
||||
Возникающий мотив Роста отвечает как раз квадрике
|
||||
$\lAngle a, b, c\rAngle$.
|
||||
Вопрос: что если взять $\mathsf{F}_4/P_1$ и $\mathsf{F}_4/P_4$?
|
||||
У них тоже одинаковая размерность и многочлен Пуанкаре.
|
||||
Теорема Зайнуллина--Николенко--Семенова гласит,
|
||||
что
|
||||
$M({}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_1)) \isom M({}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_2))$,
|
||||
если рассматриваемая группа типа $\mathsf{F}_4$ имеет вид
|
||||
$\Aut(J(a,b,c))$.
|
||||
|
||||
Размерность $\mathsf{F}_4/P_4$ равна $15$.
|
||||
Нарисуем диаграмму Хассе для этого многообразия.
|
||||
С точностью до каких-то ребер внутри она выглядит так:
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin,font=\scriptsize]
|
||||
\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (5) at ($\sm*(5.2, 1)$);
|
||||
\coordinate (6) at ($\sm*(6.6, 1)$);
|
||||
\coordinate (7) at ($\sm*(8.0, 1)$);
|
||||
\coordinate (8) at ($\sm*(9.4, 1)$);
|
||||
\coordinate (9) at ($\sm*(10.8, 1)$);
|
||||
\coordinate (10) at ($\sm*(12.2, 1)$);
|
||||
\coordinate (11) at ($\sm*(13.6, 1)$);
|
||||
\coordinate (12) at ($\sm*(15.0, 1)$);
|
||||
\coordinate (5x) at ($\sm*(5.2, -1)$);
|
||||
\coordinate (6x) at ($\sm*(6.6, -1)$);
|
||||
\coordinate (7x) at ($\sm*(8.0, -1)$);
|
||||
\coordinate (8x) at ($\sm*(9.4, -1)$);
|
||||
\coordinate (9x) at ($\sm*(10.8, -1)$);
|
||||
\coordinate (10x) at ($\sm*(12.2, -1)$);
|
||||
\coordinate (11x) at ($\sm*(13.6, -1)$);
|
||||
\coordinate (12x) at ($\sm*(15.0, -1)$);
|
||||
\coordinate (13) at ($\sm*(16.0, 0)$);
|
||||
\coordinate (14) at ($\sm*(17.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (15) at ($\sm*(18.8, 0)$);
|
||||
\coordinate (16) at ($\sm*(20.2, 0)$);
|
||||
\node at ($\sm*(0, -2)$) {$0$};
|
||||
\node at ($\sm*(1.4, -2)$) {$1$};
|
||||
\node at ($\sm*(2.8, -2)$) {$2$};
|
||||
\node at ($\sm*(4.2, -2)$) {$3$};
|
||||
\node at ($\sm*(5.2, -2)$) {$4$};
|
||||
\node at ($\sm*(6.6, -2)$) {$5$};
|
||||
\node at ($\sm*(8.0, -2)$) {$6$};
|
||||
\node at ($\sm*(9.4, -2)$) {$7$};
|
||||
\node at ($\sm*(10.8, -2)$) {$8$};
|
||||
\node at ($\sm*(12.2, -2)$) {$9$};
|
||||
\node at ($\sm*(13.6, -2)$) {$10$};
|
||||
\node at ($\sm*(15.0, -2)$) {$11$};
|
||||
\node at ($\sm*(16.0, -2)$) {$12$};
|
||||
\node at ($\sm*(17.4, -2)$) {$13$};
|
||||
\node at ($\sm*(18.8, -2)$) {$14$};
|
||||
\node at ($\sm*(20.2, -2)$) {$15$};
|
||||
\node at (2) [above=3pt] {$h$};
|
||||
\node at (3) [above=3pt] {$h^2$};
|
||||
\node at (4) [above=3pt] {$h^3$};
|
||||
\node at (5) [above=3pt] {$\rho$};
|
||||
\node at (9) [above=3pt] {$\rho^2$};
|
||||
\draw (1)--(2)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7)--(8)--(9)--(10)--(11)--(12)--(13)--(14)--(15)--(16);
|
||||
\draw (4)--(5x)--(6x)--(7x)--(8x)--(9x)--(10x)--(11x)--(12x)--(13);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5x,6x,7x,8x,9x,10x,11x,12x,13,14,15,16}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Берем образующую в $\CH^1(\mathsf{F}_4/P_4)$.
|
||||
Она рациональная, то есть, лежит в образе отображения
|
||||
\[
|
||||
\CH^1({}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_4)) \xrightarrow{\res}
|
||||
\CH^1(\mathsf{F}_4/P_4).
|
||||
\]
|
||||
В $\mathsf{F}_4$ решетка весов совпадает с решеткой корней.
|
||||
В частности, $\varpi_4$~--- корень.
|
||||
\item Тогда $h^2$, $h^3$~--- образующие $\CH^2$ и $\CH^3$.
|
||||
\item Далее, $h^4$ и $\rho$~--- базис для $\CH^4$.
|
||||
\item Кроме того, $\rho^2 h^7 = [\pt]\pmod{3}$.
|
||||
\item $X_{F(X)}$ клеточное.
|
||||
\item Если $\Aut(J(a,b,c))$ расщепляется над расширением
|
||||
степени, взаимно простой с $3$, то она и была расщепимой
|
||||
(это теорема типа Спрингера).
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
Начинаем применять метод общей точки:
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
\CH^*(X\times X) \arrow[->>]{r} \arrow{d}{\res} &
|
||||
\CH^*(X_{F(X)}) \arrow{d}{\isom} \\
|
||||
\CH^*(X_{\ol{F}}\times X_{\ol{F}}) \arrow[->>]{r} &
|
||||
\CH^*(X_{\ol{F}(X)}).
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
Элемент $\ol{\rho}\in\CH^*(X_{\ol{F}(X)})$ поднимается
|
||||
до элемента в $\CH^*(X\times X)$.
|
||||
Поэтому в $\CH^*(X_{\ol{F}}\times X_{\ol{F}})$ есть
|
||||
рациональный элемент вида
|
||||
\[
|
||||
\alpha = \rho\times 1 + ? \cdot h^3\times h
|
||||
+ ?\cdot h^2\times h^2 + ?\cdot h\times h^3
|
||||
+ ?\cdot 1\times h^4 + c\cdot 1\times \rho.
|
||||
\]
|
||||
Подправив $\alpha$ на рациональные элементы (степени $h$),
|
||||
можно добиться, что останется только
|
||||
$\rho\times 1 + c\cdot 1\times\rho$.
|
||||
Поскольку $X$ над кубическим расширением становится клеточным,
|
||||
можно считать, что $c = 0$ или $c = \pm 1$.
|
||||
Почему $c\neq 0$?
|
||||
Если $\rho\times 1$ рационален, то и $1\times\rho$ рационален,
|
||||
откуда $\rho^2\times\rho^2$ и $h^7\rho^2\times h^7\rho^2$
|
||||
рационален, а потому и $\pt\times\pt$ рационален.
|
||||
Применяя пушфорвард, видим, что класс
|
||||
$\pt\in\CH^*(X)$ рационален~--- противоречие.
|
||||
|
||||
Поэтому на самом деле класс $\rho\times 1\pm 1\times\rho$
|
||||
рационален.
|
||||
Значит, $\rho^2\times 1 \pm 2\rho\times\rho + 1\times\rho^2$
|
||||
рационален, а потому и
|
||||
$\beta = \rho^2 + 1 \mp \rho\times\rho + 1\times\rho^2$
|
||||
рационален.
|
||||
Будем умножать полученный цикл на $h^i\times h^j$,
|
||||
где $i+j=7$.
|
||||
Получится цикл
|
||||
\[
|
||||
h^i\rho^2\times h^j \mp h^i\rho\times h^j\rho
|
||||
+h^i\times h^j\rho^2\in\CH^{15}(X_{\ol{F}}\times X_{\ol{F}}).
|
||||
\]
|
||||
Возьмем его композицию с самим собой, и воспользуемся сравнением.
|
||||
$h^{i+j}\rho^2 \equiv \pt \pmod{3}$.
|
||||
Вообще, будем считать все по модулю $3$:
|
||||
\[
|
||||
h^i\rho^2\times h^j + h^i\rho\times h^j\rho + h^i\times h^j\rho^2
|
||||
\]
|
||||
Значит, этот цикл уже является проектором по модулю $3$.
|
||||
Над замыканием каждое его слагаемое, конечно, является проектором~---
|
||||
но не рациональным.
|
||||
|
||||
Итак, мы получили восемь ортогональных проекторов
|
||||
$p_0,\dots,p_7$.
|
||||
Правые части этих проекторов (24 штуки) образуют базис в группе Чжоу,
|
||||
но не тот, который у нас был раньше (клетки Шуберта).
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin,font=\scriptsize]
|
||||
\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (5) at ($\sm*(5.2, 1)$);
|
||||
\coordinate (6) at ($\sm*(6.6, 1)$);
|
||||
\coordinate (7) at ($\sm*(8.0, 1)$);
|
||||
\coordinate (8) at ($\sm*(9.4, 1)$);
|
||||
\coordinate (9) at ($\sm*(10.8, 1)$);
|
||||
\coordinate (10) at ($\sm*(12.2, 1)$);
|
||||
\coordinate (11) at ($\sm*(13.6, 1)$);
|
||||
\coordinate (12) at ($\sm*(15.0, 1)$);
|
||||
\coordinate (5x) at ($\sm*(5.2, -1)$);
|
||||
\coordinate (6x) at ($\sm*(6.6, -1)$);
|
||||
\coordinate (7x) at ($\sm*(8.0, -1)$);
|
||||
\coordinate (8x) at ($\sm*(9.4, -1)$);
|
||||
\coordinate (9x) at ($\sm*(10.8, -1)$);
|
||||
\coordinate (10x) at ($\sm*(12.2, -1)$);
|
||||
\coordinate (11x) at ($\sm*(13.6, -1)$);
|
||||
\coordinate (12x) at ($\sm*(15.0, -1)$);
|
||||
\coordinate (13) at ($\sm*(16.0, 0)$);
|
||||
\coordinate (14) at ($\sm*(17.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (15) at ($\sm*(18.8, 0)$);
|
||||
\coordinate (16) at ($\sm*(20.2, 0)$);
|
||||
\draw (1)--(2)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7)--(8)--(9)--(10)--(11)--(12)--(13)--(14)--(15)--(16);
|
||||
\draw (4)--(5x)--(6x)--(7x)--(8x)--(9x)--(10x)--(11x)--(12x)--(13);
|
||||
\draw[dotted] (1) edge[bend left=45] (5);
|
||||
\draw[dotted] (5) edge[bend left=45] (9);
|
||||
\draw[dotted] (2) edge[bend left=45] (6);
|
||||
\draw[dotted] (6) edge[bend left=45] (10);
|
||||
\node at ($\sm*(1,1)$) {$p_0$};
|
||||
\node at ($\sm*(2.4,1)$) {$p_1$};
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5x,6x,7x,8x,9x,10x,11x,12x,13,14,15,16}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\]
|
||||
Можно также рассмотреть $\beta(h^i\times h^j)$ для произвольных
|
||||
$i,j$.
|
||||
Такие рациональные циклы индуцируют изоморфизмы
|
||||
между $(X,p_0)\{i\}$ и $(X,p_i)$.
|
||||
|
||||
Мы посчитали все по модулю $3$, но можно добиться и
|
||||
целочисленных проекторов.
|
||||
На самом деле, при каких-то разумных условиях всегда можно
|
||||
поднять проекторы (и изоморфизмы) по модулю $2$ и $3$
|
||||
до целочисленных.
|
||||
|
||||
Мотив Роста квадрики Пфистера $\lAngle a_1,\dots,a_k\rAngle$
|
||||
обозначается так: $R_{2,k}(\{a_1,\dots,a_k\})$.
|
||||
Полученный выше мотив $(X,p_0)$ будем обозначать через
|
||||
$R_{3,3}(\{a,b,c\})$.
|
||||
|
||||
\begin{corollary}
|
||||
\[
|
||||
M(X) = \bigoplus_{i=0}^{7} R_{3,3}(\{a,b,c\})\{i\}.
|
||||
\]
|
||||
\end{corollary}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Точно так же доказывается, что
|
||||
\[
|
||||
M({}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_1)) = \bigoplus_{i=0}^{7}
|
||||
R_{3,3}(\{a,b,c\})\{i\}.
|
||||
\]
|
||||
Более того, мотив любого $G$-однородного проективного
|
||||
многообразия $Y$ раскладывается в сумму сдвигов
|
||||
мотива $R_{3,3}(\{a,b,c\})$.
|
||||
Для квадрики Пфистера верно аналогичное замечание.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}[Зайнуллин--Петров--Семенов]
|
||||
Пусть $G$~--- полупростая алгебраическая группа над $F$,
|
||||
$X$~--- $G$-однородное проективное многообразие, клеточное
|
||||
над общей точкой, $p$~--- простое число.
|
||||
Тогда мотив $M(X)\otimes\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ изоморфен
|
||||
сумме $R_p(G)$ с какими-то сдвигами,
|
||||
где $R_p(G)$ не зависит от $X$ и неразложим по модулю $p$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
Нужно пояснить, что такое $M(X)\otimes\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$:
|
||||
в конструкции категории соответствий нужно взять
|
||||
$\Mor(X,Y) = \CH^{\dim Y}(X\times Y) / p$.
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Условие клеточности $X_{F(X)}$ можно заменить
|
||||
на требование расщепимости $G_{F(X)}$.
|
||||
\end{remark}
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Мотив $R_p(G)$ над алгебраическим замыканием раскладывается
|
||||
в сумму мотивов вида $\mathbb{Z}/p = M(\pt)\otimes\mathbb{Z}/p$
|
||||
со сдвигами, и для этих сдвигов есть некоторая формула.
|
||||
\end{remark}
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Все ситуации, описанные в теореме, перечислены в работе
|
||||
Петрова--Семенова.
|
||||
\end{remark}
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Сами проекторы можно поднять в $\mathbb{Z}$, но не изоморфизмы
|
||||
между ними.
|
||||
\end{remark}
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Если $G$ не содержит сомножителей типа $\mathsf{A}$
|
||||
и $p\neq 2,3,5$, то $R_p(G) = \mathbb{Z}/p$.
|
||||
Случай $p=5$ возникает только для $\mathsf{E}_8$.
|
||||
\end{remark}
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Мотив $M(X)\otimes\mathbb{Q}$ раскладывается в
|
||||
прямую сумму мотивов $M(\pt)\otimes\mathbb{Q}$ со сдвигами.
|
||||
\end{remark}
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Если $G=\mathsf{E}_8$, $p=2$, и инвариант Роста
|
||||
тривиален, то все $G$-однородные проективные многообразия $X$
|
||||
подходят.
|
||||
В этом случае $R_2(G)$~--- мотив Роста,
|
||||
отвечающий $5$-символу (см. работу Никиты Семенова
|
||||
про конечные подгруппы $\mathsf{E}_8$).
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
|
||||
Loading…
x
Reference in New Issue
Block a user