\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{rotating}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{bbm}
\usepackage[unicode,colorlinks=true,pagebackref=true]{hyperref}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{microtype}
\usepackage{amsthm}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
\usetikzlibrary{cd}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{through}

\DeclareFontFamily{OT1}{pzc}{}
\DeclareFontShape{OT1}{pzc}{m}{it}{<-> s * [1.1] pzcmi7t}{}
\DeclareMathAlphabet{\mathpzc}{OT1}{pzc}{m}{it}

\DeclareMathOperator{\PGSp}{PGSp}
\DeclareMathOperator{\PGO}{PGO}
\DeclareMathOperator{\ind}{ind}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Gr}{Gr}
\DeclareMathOperator{\Cent}{Cent}
\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}
\DeclareMathOperator{\Map}{Map}
\DeclareMathOperator{\GW}{GW}
\DeclareMathOperator{\rk}{rk}
\DeclareMathOperator{\Br}{Br}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
\DeclareMathOperator{\Lie}{Lie}
\DeclareMathOperator{\PGL}{PGL}
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\fchar}{char}
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
\DeclareMathOperator{\Iso}{Iso}
\DeclareMathOperator{\SB}{SB}
\DeclareMathOperator{\SO}{SO}
\DeclareMathOperator{\Spin}{Spin}
\DeclareMathOperator{\Isom}{Isom}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\disc}{disc}
\DeclareMathOperator{\Stab}{Stab}
\DeclareMathOperator{\Nrd}{Nrd}
\DeclareMathOperator{\CH}{CH}
\DeclareMathOperator{\pt}{pt}
\DeclareMathOperator{\codim}{codim}
\DeclareMathOperator{\OGr}{OGr}

%\DeclareFontFamily{OT1}{pzc}{}
%\DeclareFontShape{OT1}{pzc}{m}{it}{<-> s * [1.2] pzcmi7t}{}
%\DeclareMathAlphabet{\mathpzc}{OT1}{pzc}{m}{it}
\newcommand{\categ}{\mathpzc}

\renewcommand{\O}{\mathrm{O}}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\newcommand{\ph}{\varphi}
\renewcommand{\emptyset}{\varnothing}

\newcommand{\term}{\textbf}
\newcommand{\rdfn}{=\mathrel{\mathop:}}
\newcommand{\dfn}{\mathrel{\mathop:}=}
\newcommand{\isom}{\simeq}

\newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Утверждение}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Пример}
\newtheorem{fact}[theorem]{Факт}
\newtheorem{remark}[theorem]{Замечание}

\newcommand{\la}{\langle}
\newcommand{\ra}{\rangle}
\newcommand{\lAngle}{\langle\!\langle}
\newcommand{\rAngle}{\rangle\!\rangle}
\newcommand{\trleq}{\trianglelefteq}
\newcommand{\ol}{\overline}

\newcommand{\TBW}{\textbf{TBW}}

\begin{document}

\author{Иван Панин\and Виктор Петров}
\title{Мотивы Воеводского и арифметика линейных алгебраических групп
\footnote{Конспект лекций семинара весны 2012 года; предварительная
версия. Автор \TeX-версии~--- Александр Лузгарев.
Основано на конспекте Алексея Бешенова первых двух лекций.}}
\date{2012}
\maketitle

\section{Введение}

\subsection{Планы}

% 13.02.2012

Работа Панина и Пименова о квадратичных формах.

Простая формулировка. {\it Пусть $K = \mathbb{C} (z_1,\ldots,z_n)$ и
  $R \dfn \{ \frac{g(z)}{h(z)} \mid h(0) \ne 0 \} \subset K$~---
  регулярные функции в окрестности $0$. Пусть $u \in
  R^\times$. Рассмотрим уравнение

\[ T_1^2 + \cdots + T_k^2 = u. \]

\noindent (Предполагаем $k \ge 2$.) Если уравнение имеет решение в
$K$, то оно имеет решение и в $R$.}

\vspace{2em}

Интересующая нас задача: классифицировать простые алгебраические
группы над произвольным полем (или локальным регулярным кольцом). В
каком смысле~--- мы объясним. Что такое простые алгебраические
группы~--- это обсуждается в записках спецкурса. 

\vspace{2em}

Как все знают, над алгебраически замкнутыми полями классификацию
простых алгебраических групп дают диаграммы Дынкина. Среди них~---
четыре бесконечные серии, которым соответствуют следующие
присоединенные группы:

\begin{itemize}
\item $A_n$~--- $\PGL_{n+1}$.

\item $B_n$~--- $\SO_{2n+1}$.

\item $C_n$~--- $\PGSp_{2n}$.

\item $D_n$~--- $\SO_{2n}$.
\end{itemize}

Исключительные группы: $E_6$, $E_7$, $E_8$, $F_4$, $G_2$.

Имеется точная последовательность

\[ 1 \to \mu_n \to \SL_n \to \PGL_n \to 1. \]

<<Теорема типа Спрингера>>: \emph{пусть $G$ и $G^\prime$~--- группы типа $G_2$ над полем $K$. Пусть расширение $[L : K]$ нечетное. Тогда если $G_L \isom G_L^\prime$, то $G \isom G^\prime$.}

С точностью до каких-то тонкостей, имеем

\[ H^1 (K, G_0^{ad}) \approx \{\text{присоед. простые алг. группы над }K\text{ того же типа, что и }G_0\}. \]

Это соответствие функториально в том смысле, что расширение полей $L/K$ индуцирует
морфизм $H^1 (K,G^{ad}) \to H^1 (L,G^{ad})$.

Наша высокая цель~--- построить функтор $F$, сопоставляющий полям
абелевы группы с гомоморфизмом следа, так что конечное расширение
$[L:K]$ давало бы морфизм $F(L) \to F(K)$ и естественное
преобразование

\[ H^1 (K,G_0^{ad}) \to F(K). \]

Например, для $G_0 = \PGL_2 = \Aut (M_2)$ ответ такой:

\[ F\colon K \rightsquigarrow K_2^M (K) / 2, \]

\noindent где $K_2^M (K) = I^2(K) / I^3 (K)$.

\subsection{Теорема Меркурьева--Суслина и гипотеза Блоха--Като}

Пусть $A$~--- центральная простая алгебра над полем $K$ (более общее
понятие~--- \term{алгебра Азумайи}, \term{Azumaya algebra}). Ей
соответствует элемент $[A]$ в группе Брауэра $\Br (K)$.

\begin{itemize}
\item \textbf{Теорема Меркурьева} (1981)~--- изоморфизм ${}_2 \Br(K)
  \isom K_2^M / 2$, а также следствие про $[A] \in {}_2 \Br(K)$.

[\url{http://www.mathunion.org/ICM/ICM1986.1/Main/icm1986.1.0389.0393.ocr.pdf}]

[\url{http://www.math.ethz.ch/~knus/sridharan/merkurjev84.pdf}]

\item \textbf{Теорема Меркурьева--Суслина} (1982)~--- изоморфизм ${}_p
  \Br(K) \isom K_2^M / p$.

[L.H. Rowen, Ring theory, Vol. 2, \S 7.2]

\item \textbf{Гипотеза Блоха--Като} (<<norm residue isomorphism
  theorem>>)~--- $K_n^M/p (-) \isom H^n_\text{ét} (-, \mu_p^{\otimes
    n})$.

[\url{http://arxiv.org/abs/0805.4430}]
\end{itemize}

\subsection{Кольцо Гротендика--Витта}

$H^1 (K, \O_n)$~--- это классы изометрии невырожденных квадратичных
форм ранга $n$.

Имеется функтор в кольцо Витта
\[ H^1 (K, \O_n) \to W(K), \quad f \mapsto [f]. \]

Разберемся, что такое \term{кольцо Витта} $W(K)$. Его образующие~---
классы изометрии квадратичных форм над $K$, а соотношения выглядят так:
\begin{gather*}
[f] + [g] = [f \perp g],\\
[f]\cdot [g] = [f\otimes g],\\
\mathbb{H} = 0,
\end{gather*}
где $\mathbb{H}$~--- класс изометрии двумерной квадратичной формы $f(x,y)=xy$, а
$f \perp g$ имеет следующий смысл. Если $f$~--- квадратичная форма на
$V$, а $g$~--- квадратичная форма на $W$, то на $V\oplus W$ задается
квадратичная форма $(f\perp g) (u\oplus v) \dfn f(u) + g(v)$.

Имеется корректно определенный гомоморфизм
\begin{eqnarray*}
\rk\colon W(K) & \to & \mathbb{Z}/2,\\
{}[f] & \mapsto & \rk f \mod 2.
\end{eqnarray*}
$I \dfn \ker \rk$ называется \term{фундаментальным идеалом}.

\term{Кольцо Гротендика--Витта} $GW (K)$ определяется следующим
образом. В нем те же образующие, но  нет условия $[xy] = 0$. Сначала
определяется сложение
и умножение, делающее $GW (K)$ полукольцом:
\begin{gather*}
[f] + [g] = [f \perp g],\\
[f]\cdot [g] = [f\otimes g].
\end{gather*}
Потом мы берем группу Гротендика и получаем кольцо.

\subsection{$\mathbb{A}^1$-гомотопии и гипотеза Мореля}

[\url{http://mathunion.org/ICM/ICM1998.1/Main/00/Voevodsky.MAN.ocr.pdf}]

$\mathbb{A}^1$-гомотопическая категория пространств с отмеченными
точками над $K$.

Сфера $S^0 = \{ +, \bullet \}$ состоит из двух точек, из которых
$\bullet$~--- отмеченная.

Теорема Мореля (1999?) состоит в вычислении

\[ \pi_0^{stab} (S^0) \isom \GW (K) \]

Fabien Morel, On The Motivic $\pi_0$ of the Sphere Spectrum.\\
\url{http://dx.doi.org/10.1007/978-94-007-0948-5_7}

Желаемый функтор $F$ мог бы давать $H^1 (K,G) \to H_0^{\mathbb{A}^1} (B^\text{èt} G)$.

Аналог этого в топологии следующий. Пусть задано главное
$G$-расслоение $\mathfrak{g} \to X$ для клеточного пространства
$X$. Сопоставим ему отображение в классифицирующее пространство $X
\xrightarrow{f_\mathfrak{g}} BG$.

Существует соответствие между множеством классов изоморфности главных
$G$-расслоений над $X$ и гомотопическими классами $[X,BG]$.

Имеется инъекция

\[ [X,BG] = \pi_0 (\Map (X,BG)) \hookrightarrow H_0 (\Map (X,BG)). \]

Гипотеза Мореля заключается в том, что в алгебраической ситуации тоже получается инъекция

\[ [\Spec K, B^\text{èt} G] = \pi_0^{\mathbb{A}^1} (B^\text{èt} G)
\hookrightarrow H_0^{\mathbb{A}^1} (B^\text{èt} G). \]

\subsection{Формы Пфистера}

Рассмотрим фильтрацию на кольце Витта

\[ W(K) \supset I \supset I^2 \supset I^3 \supset \cdots \]

\begin{theorem}
$\bigcap_n I^n = \{0\}$.
\end{theorem}

Мы уже знаем, что $W(K) / I = \mathbb{Z}/2$.
$I/I^2$ как абелева группа порождается элементами вида $\lAngle a\rAngle \dfn x^2 - a\,y^2$ для некоторого $a\in K^\times$.
Более общо, $I^n/I^{n+1}$ порождается тензорными произведениями элементов
\[ \lAngle a_1, \ldots, a_n\rAngle = \lAngle a_1\rAngle\otimes\cdots\otimes\lAngle a_n\rAngle. \]
$\lAngle a_1, \ldots, a_n\rAngle$ называется \term{$n$-кратной формой Пфистера}.

\begin{example}
При $n = 1$ имеем $a \in K^*/(K^*)^2$; $K (\sqrt{a})$~--- квадратичное расширение.

При $n = 2$ символ $\lAngle a,b\rAngle$ есть норма алгебры кватернионов
$H = (a,b)$ над $K$.

При $n = 3$ символ $\lAngle a,b,c\rAngle$ есть норма алгебры октонионов
$(a,b,c)$ над $K$ (что соответствует группам типа $G_2$ над $K$).
\end{example}

\begin{theorem}[Арасон]
Если $[q] \in I^n$, то $\rk q \ge 2^n$.
Если при этом $\rk q = 2^n$, то $q \isom \alpha \cdot \lAngle
a_1,\ldots,a_n \rAngle$, где $\alpha \in K^\times$.
В частности, $\bigcap I^n = 0$.
\end{theorem}

\begin{itemize}
\item $e_0 (q) \dfn \rk q \mod 2$.

\item Если $e_0 = 0$, то $[q] \in I$. Определим $e_1 (q) \dfn [\![q]\!] \in I/I^2$. Этому соответствует $\lAngle a\rAngle$, где $a$~--- дискриминант $q$ (с точностью до знака?).

\item Если $e_1 = 0$, то $e_2 (q) \dfn [\![ q ]\!] \in I^2/I^3$.
Форме $q$ можно сопоставить $C_0^+ (q)$, четную положительную часть алгебры
Клиффорда, это будет центральная простая алгебра. Имеем $[C_0^+ (q)]
\in {}_2 \Br (K)$. По теореме Меркурьева, это сумма
\[ [(a_1,b_1)]\,[(a_2,b_2)]\cdots [(a_k,b_k)] \]

\[ \lAngle a_1,b_1\rAngle + \lAngle a_2,b_2\rAngle + \cdots +\lAngle a_k,b_k\rAngle. \]

\item Если $e_2 (q) = 0$, то можно определить $e_3 (q)$~---
  \term{инвариант Арасона}.
\end{itemize}

\subsection{Торсоры}

Пусть $G$~--- простая алгебраическая группа над $K$.

\term{$G$-торсором} называется многообразие $X$ над $K$, такое что
\begin{itemize}
\item определено действие $G\times X\to X$;

\item над алгебраическим замыканием $\overline{K}$ имеется изоморфизм
  $X_{\overline{K}} \isom G_{\overline{K}}$ (как многообразий с
  $G$-действием).
\end{itemize}

Раньше торсоры назывались <<главными однородными пространствами>>
(principal homogeneous space).

\begin{example}
Действие $G$ сдвигами на себе дает \term{тривиальный $G$-торсор}.
\end{example}

По определению, $H^1 (K;G)$ есть множество классов изоморфности
$G$-торсоров с отмеченной точкой (тривиальный $G$-торсор).

\begin{example}
Зафиксируем $a\in K$.
Для каждой $K$-алгебры $R$ положим
$\mu_2(R) = \{ x\in R\mid x^2 = 1 \}$, $X(R) \dfn \{ y\in R\mid y^2 = a\}$.
Получаем схемы $\mu_2$ и $X$, причем
$\mu_2$ действует на $X$ умножением:
если $y^2 = a$, $x^2 = 1$, то $(x\,y)^2 = a$.
\end{example}

$X$~--- тривиальный $G$-торсор iff у него есть рациональная точка: $X
(K) \ne \emptyset$.

Если $G$~--- абелева группа, то на торсорах имеется сложение. При этом
$H^1 (K,\mu_2) \isom K^* / (K^*)^2$ как абелева группа. И вообще $H^1
(K,\mu_n) \isom K^* / (K^*)^n$.

\subsection{Скрученные формы}

Напомним, что $\O_{2n} = \Aut (q_{split})$, где $q_{split} = x_1\,y_1 + \cdots +
x_n\,y_n$~--- \term{расщепимая форма} (от переменных $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n$.

$H^1 (K, \O_{2n})$ можно отождествить с множеством классов изометрии
невырожденных квадратичных форм ранга $2n$. 
Действительно, пусть $q$~--- квадратичная форма,
Мы утверждаем, что $\Iso (q_{split},
q)$ есть искомый торсор: на нем действует $\O_{2n}$.
Здесь $\Iso(\ph,\psi)$ обозначает функтор изоморфизмов между квадратичными
формами $\ph$ и $\psi$; более точно,
$\Iso(\ph,\psi)(R) = \{f\colon\ph_R\to\psi_R\mid\mbox{$f$~--- изоморфизм}\}$.
Над алгебраически
замкнутым полем $q$ изоморфна $q_{split}$, и получается $\Iso
(q_{split},q_{split})=\Aut (q_{split})=\O_{2n}$.

Пусть $A$~--- некоторая алгебраическая структура над полем $K$
(например, квадратичное пространство, конечномерная ассоциативная
алгебра, конечномерная неассоциативная алгебра). Тогда
\term{скрученная форма $A^\prime$} для $A$ есть такая структура над
$K$, что при переходе к алгебраическому замыканию
$A^\prime_{\overline{K}} \isom A_{\overline{K}}$.

\noindent\textbf{Теорема}. $H^1 (K, \Aut(A))$ есть множество классов
изоморфности скрученных форм $A$ над $K$.

Изоморфизм такой:
\[ A' \xmapsto{\sim} \Iso (A,A^\prime). \]
На $\Iso (A,A^\prime)$ есть структура алгебраического многообразия.

\vspace{2em}

\noindent\textbf{Замечание}. Пусть $X$~--- проективное многообразие
над $K$. Теорема (Гротендик): \emph{функтор $U \mapsto \Aut_U (X\times
  U)$ представим в схемах}; то есть, существует схема $R$ такая, что
$\Aut_U(X\times U)$ естественно изоморфно $\Hom(U,R)$.

\vspace{2em}

Контрпример: $\Aut (\mathbb{A}^n)$ не конечномерно.

Пример: $A \dfn M_n (K)$. $\Aut (A) = \PGL_n$.\\
$H^1 (K, M_n(K))$~--- это скрученные формы $M_n (K)$, то есть
центральные простые алгебры размерности $n^2$, взятые с точностью до
изоморфизма.

$\Aut (\mathbb{P}^{n-1}) = \PGL_n = \GL_n / \mathbb{G}_m$.

Автоморфизмы сохраняют ранг.

$H^1 (K, \PGL_n)$ есть множество скрученных форм $\mathbb{P}^{n-1}$
над $K$ = \term{многообразия Севери--Брауэра}.

\[ A \mapsto \SB (A) = \{ \text{левые идеалы $I\trleq A$}\mid
\dim_K(I)=n \} \]

Пример при $n=2$: кватернионы $A = (a,b)$.

$\beta\,u + \gamma\,v + \delta\,u\,v$. Имеем векторное пространство
$u,v,uv$. Условие $\{ \text{норма} = 0 \}$ задает проективное
подмногообразие в $\mathbb{P}^2$.

$x^2 - a\,y^2 - b\,z^2 = 0$~--- коника.

\begin{eqnarray*}
\PGL_2 & \isom & \SO_3, \\
\{\text{кватернионы}\} & \isom & \{\text{формы ранга }3\text{ с
  трив. дискриминантом}\}.
\end{eqnarray*}

\subsection{Точные последовательности алгебраических групп}

Точность последовательности алгебраических групп над $K$

\[ 1 \to C \to H \to G \to 1 \]

\noindent означает следующее:

\begin{enumerate}
\item $C$~--- алгебраическая подгруппа в $H$.

\item После расширения скаляров $H (\overline{K})\to G (\overline{K})$
  является сюръекцией
  \emph{над алгебраическим замыканием поля $K$}.

\item $C = \ker (H\to G)$, $C(R) = \ker (H(R) \to G(R))$.
\end{enumerate}

\begin{example}
Следующая последовательность алгебраических групп точна в указанном смысле:

\[ 1 \to \mu_2 \to \mathbb{G}_m \to \mathbb{G}_m \to 1, \]

\noindent где $\mathbb{G}_m (K) \dfn \{ (x,y)\in K^2 \mid x\,y = 1 \}$, и
отображение $\mathbb{G}_m \to \mathbb{G}_m$ есть $x \mapsto x^2$ (это
сюръекция над алгебраическим замыканием).
\end{example}

\begin{example}
Следующая последовательность точна:

\[ \mu_2 (K) \to K^\times \to K^\times \to H^1 (K,\mu_2) \to H^1
(K,\mathbb{G}_m) \to H^1 (K,\mathbb{G}_m). \]
\end{example}

\noindent (Отображение $K^\times \to K^\times$ есть $x \mapsto x^2$.)

\begin{theorem}[Теорема Гильберта 90]

\begin{gather*}
H^1 (K,\mathbb{G}_m) = \{\bullet\},\\
H^1 (K,\GL_n) = \{\bullet\}.
\end{gather*}
\end{theorem}

Из точности последовательности выше и теоремы 90 получается

\[ H^1 (K,\mu_2) \isom K^\times / (K^\times)^2. \]

\begin{example}
Точная последовательность
\[ 1 \to \SL_n \to \GL_n \xrightarrow{\det} \mathbb{G}_m \to 1. \]
приводит к последовательности
\[ \GL_n (K) \xrightarrow{\det} \mathbb{G}_m (K) \to H^1 (K,\SL_n) \to H^1 (K,\GL_n). \]

Здесь $H^1 (K,\SL_n) = \{\bullet\}$ и $H^1 (K,\GL_n) = \{\bullet\}$.
\end{example}

\begin{example}
\[ 1 \to \mu_n \to \SL_n \to \PGL_n \to 1. \]

\[ \mu_n (K) \to \SL_n (K) \to \PGL_n (K) \to K^\times / (K^\times)^2 \to \{\bullet\} \to H^1 (K,\PGL_n). \]

\[ 1 \to \mathbb{G}_m \to \GL_n \to \PGL_n \to 1. \]
\end{example}

\begin{example}
\begin{eqnarray*}
\SL_n & \to & \PGL_n,\\
g & \mapsto & (x \mapsto g\,x\,g^{-1}) \in \Aut (M_n).
\end{eqnarray*}

Это сюръекция алгебраических групп, но не сюръекция на точках.

\[ 1 \to \mu_n \to \SL_n \to \PGL_n \to 1. \]
\end{example}

\begin{theorem}
Если имеется точная последовательность $1 \to C \to H \to G \to 1$, то
возникает точная последовательность множеств с отмеченной точкой

\[ 1 \to C(K) \to H(K) \to G(K) \to H^1 (K,C) \to H^1 (K,H) \to H^1 (K,G). \]
\end{theorem}

См. книгу Серра <<Когомологии Галуа>>.

% 27.02.2012

\subsection{Вторые когомологии}

\begin{itemize}
\item Напомним, что $H^1 (F,G)$~--- множество $G$-торсоров. \emph{Если $G$
    коммутативна}, то это аффинная алгебраическая группа.

(Как в этом случае умножаются торсоры?~--- Что-то типа $E_1 \mathop{*}
E_2 = (E_1 \times E_2) / ((e_1,e_2) = (g\,e_1,g\,e_2))$.)

\item $H^0 (F,G)$~--- это функтор $F \rightsquigarrow G(F)$,
  т.е. функтор точек. \emph{Если $G$ коммутативна}, то $H^i (F,G)$
  можно определить как $i$-й производный функтор. При $i = 1$ это
  совпадает с первым определением.
\end{itemize}

\begin{theorem}
Пусть имеется точная последовательность $1 \to C \to G \to H \to
1$. Предположим, что $C \le \Cent (G)$. Тогда точная
последовательность продолжается до вторых когомологий:

\[ 1 \to C(F) \to G(F) \to H(F) \to H^1 (F,C) \to H^1 (F,G) \to H^1 (F,H) \to H^2 (F,C). \]
\end{theorem}

\begin{example}
$H^2 (F, \mathbb{G}_m)=\Br (F)$~--- \emph{группа Брауэра} поля $F$:
она состоит из классов эквивалентности $[A]$ центральных простых
алгебр $A$ над $F$; умножение выглядит так: $[A]\cdot
[B]=[A\otimes_FB]$.

Пусть $X$~--- квазипроективное многообразие. Тогда $H^2
(X,\mathbb{G}_m)_{tors} = \Br (X)$ (\emph{теорема Габбера} (Gabber)).
(Загадочное замечание:
подразумевается топология fppf, а для этальной топологии в определении
торсора вместо $\overline{F}$ нужно взять $F^{sep}$.)
\end{example}

\begin{example}[Топологический аналог]
Пусть $X$~--- хорошее топологическое пространство (например, область в
$\mathbb R^n$, многообразие или CW-комплекс).

Пусть $G$~--- топологическая группа (например, $S^1$, $S^3$, $\SL_2
(\mathbb{C})$, $\O_n (\mathbb{C})$).

Имеется левое действие $G \times (G\times X) \to (G\times X)$, $g_1
\cdot (g_2,x) \mapsto (g_1\,g_2, x)$.

Левое действие послойно и свободно на скрученной форме $G\times
\mathcal{G} \to \mathcal{G}$.

Для всех $x \in X$ возникает действие $G \times \mathcal{G} (x) \to
\mathcal{G} (x)$. Здесь $\mathcal{G} (x) \isom G$, и этот изоморфизм
зависит от $x$.

$(\mathcal{G}, G\times \mathcal{G} \to \mathcal{G})$ в топологии
называется \term{главным $G$-расслоением} (\term{principal
  $G$-bundle}).

$\mathcal{G}/G = X$.
\end{example}

\begin{example}
$\mathbb{C}^\times = \GL_1 (\mathbb{C}) = \Aut (\mathbb{C}^1)$.

Пусть $L \to X$~--- комплексное линейное расслоение, $z (X)$~---
нулевое сечение.

Рассмотрим отображение $\mathbb{C}^\times \times (L - z(X))\to (L -
z(X))$, $(\lambda, v)\mapsto \lambda v$. Имеем изоморфизм $L(x) -
0\isom \mathbb{C}^\times$, зависящий
от $x$.

\begin{itemize}
\item Тогда $H^1 (X,\mathbb{C}^\times)$~--- классы изоморфизма
  $\mathbb{C}^\times$-торсоров над $X$. Они соответствуют линейным
  расслоениям над $X$: расслоению $L$ соответствует описанный выше
  торсор $L - z(X)$, и по торсору $\mathcal G^\times$ можно построить
  расслоение $\mathcal L$.

\item Таким образом, мы видим, что $H^1 (X, \Aut (\mathbb{C}^1))$~---
  это скрученные формы расслоения
  $\mathbb{C}\times X$ над $X$.

\item Аналогично, $H^1 (X, \Aut (\mathbb{C}^n))$~--- это (1) скрученные формы
  расслоения $\mathbb{C}^n\times X$ над $X$, то есть (2) векторные
  расслоения над $X$ со слоем $\mathbb{C}^n$ (с точностью до изоморфизма).

\item Пусть $\Aut_{\mathbb{C}} (\mathbb{C}^{2n}, \sum u_i\,v_i)$~---
  автоморфизмы, сохраняющие квадратичную форму.
  Тогда \[H^1 (X, \Aut_{\mathbb{C}} (\mathbb{C}^{2n}, \sum
  u_i\,v_i))\]--- это (1) скрученные формы расслоений вида
  $(\mathbb{C}^n\times X, \sum u_i,v_i) \to X$, то есть (2) векторные
  расслоения $E \to X$ со слоем $\mathbb{C}^n$ и с квадратичной формой в
  слоях.

\item Рассмотрим $\Aut (M_n (\mathbb{C})) = \PGL_n
  (\mathbb{C})$. Тогда $H^1 (X, \Aut (M_n (\mathbb{C})))$~--- это
  скрученные формы расслоений вида $M_n (\mathbb{C})\times X \to
  X$. Например, по каждому расслоению $E\to X$ можно построить
  расслоение $\End(E)\to X$, и послойно $\End(E)(x)=\End(E(x))$. Но
  бывают и расслоения, не изоморфные никакому $\End(E)\to X$~--- это
  нетривиальные топологические алгебры Адзумайи.
\end{itemize}
\end{example}

Имеется точная последовательность

\[ 1 \to \mathbb{C}^\times \to \GL_n (\mathbb{C}) \to \PGL_n (\mathbb{C}) \to 1. \]

Отсюда получается точная последовательность

\begin{gather*}
1 \to \Gamma (X, \mathbb{C}^\times) \to \Gamma (X, \GL_n (\mathbb{C}))
\to \Gamma (X, \PGL_n (\mathbb{C})) \to \\ \to H^1 (X,\mathbb{C}^1)
\to H^1 (X,\GL_n (\mathbb{C})) \to H^1 (X, \PGL_n (\mathbb{C})) \to
H^2 (X, \mathbb{C}^\times).
\end{gather*}

\term{Топологическая группа Брауэра} есть $\Br_{top} (X) \dfn
H^2_{top} (X, \mathbb{C}^\times)$.

\begin{example}
Мы утверждаем, что
\[ H^2 (X, S^1) \twoheadrightarrow H^3 (X, \mathbb{Z})_{tors}. \]

Заметим, что
$\mathbb{C}^\times \isom S^1 \times \mathbb{R}$. Имеем точную
последовательность 
\[ 0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{R} \to S^1 \to 0, \]
откуда получаем точную последовательность
\[ H^2(X,\mathbb{Z})\to H^2(X,\mathbb{R}\to H^2(X,S^1)\to
H^3(X,\mathbb Z)\to H^3(X,\mathbb R)=H^3(X,\mathbb Z)\otimes \mathbb R.\]
Обозначим отображение $H^3(X,\mathbb Z)\to H^3(X,\mathbb
Z)\otimes\mathbb R$ через $\alpha$. Тогда связывающий гомоморфизм
дает нам отображение $H^2(X,S^1)\to\ker(\alpha)=H^3(X,\mathbb Z)_{tors}$.

На самом деле,
\[ \Br_{top} (X) = H^3 (X,\mathbb{Z})_{tors}. \]
Нечто такое написано как определение (у Серра? Гротендика?).
\end{example}

А какие нам известны нетривиальные скрученные формы алгебры $M_n (K)$?
Так это и есть центральные простые алгебры.

Имеем точную последовательность $1 \to \mathbb{G}_m \to \GL_n \to
\PGL_n \to 1$, откуда

\[ H^1 (F,\GL)_n \to H^1 (F, \PGL_n) \to H^2 (F,\mathbb{G}_m). \]

При этом
$H^1 (F,\GL)_n = \{ \bullet \}$, и $H^1 (F, \PGL_n)$~--- центральные
простые алгебры степени $n$. Это отображение дает изоморфизм % ???

\begin{eqnarray*}
\Br (F) & \isom & H^2 (F,\mathbb{G}_m),\\
A & \mapsto & [A].
\end{eqnarray*}
% тут пропущен кусок про умножение в H^1???

Имеется точная последовательность
\[ 1 \to \mu_n \to \mathbb{G}_m \to \mathbb{G}_m \to 1, \]
где $\mathbb{G}_m \to \mathbb{G}_m$~--- отображение $x \mapsto x^n$.

Получаем точную последовательность
\[ \xymatrix{ H^1 (F,\mathbb{G}_m) \ar[r]\ar@{=}[d] & H^2 (F,\mu_n)
  \ar[r] & H^2 (F,\mathbb{G}_m) \ar[r]\ar@{=}[d] & H^2
  (F,\mathbb{G}_m)\ar@{=}[d] \\
\{ \bullet \} & & \Br (F) \ar[r]^{\cdot n} & \Br (F) }, \]
откуда
$H^2 (F,\mu_n) = {}_n \Br (F)$.

Еще один пример: пусть $\fchar F \ne 2$. Имеется точная последовательность
\[ 1 \to \SO_n \to \O_n \xrightarrow{\det} \mu_2 \to 1. \]

Тогда
\[ \O_n (F) \twoheadrightarrow \mu_2 (F) \to H^1 (F,\SO_n) \to H^1 (F,\O_n) \xrightarrow{\disc} H^1 (F,\mu_2)=F^*/(F^*)^2. \]

Отсюда $H^1 (F,\SO_n)$ (невырожденные квадратичные формы дискриминанта
1)~--- подмножество в $H^1 (F,\O_n)$ (невырожденные квадратичные формы
ранга $n$ с точностью до изометрии).

Это дает нам инвариант $\disc=e_1\colon I\to I/I^2\isom F^*/(F^*)^2$.

Еще один пример:
\[ 1 \to \mu_2 \to \Spin_n \to \SO_n \to 1. \]

\[ \Spin_n (F) \to \SO_n (F) \xrightarrow{N} H^1 (F,\mu_2) \xrightarrow{0} H^1 (F,\Spin_n) \to H^1 (F,\SO_n) \xrightarrow{e_2} H^2 (F,\mu_2). \]

Здесь
\begin{itemize}
\item $H^2 (F,\mu_2) = {}_2 \Br (F)$.

\item $N$~--- \term{спинорная норма}. А именно, каждый элемент $\SO_n$
  раскладывается в произведение отражений $g = S_{v_1} \cdots
  S_{v_{2k}}$; тогда $N(g) \dfn q (v_1) \cdots q (q_{2k})
  \pmod{(F^\times)^2}$.

\item Отображение $\Spin_n(F)\to\SO_n(F)$ уже не обязательно является
  сюръективным.

\item Мы не знаем, что такое $H^1(F,\Spin_n)$. Отображение
  $H^1(F,\mu_2)\to H^1(F,\Spin_n)$ равно  $0$ по теореме Эйхлера.
\end{itemize}

Самая правая стрелка в этой длинной последовательности дает нам инвариант
$e_2\colon I^2 \to I^2 / I^3 = {}_2 \Br (F)$. Его можно описать так:
по форме $q$ можно построить алгебру Клиффорда $C(q)$ с четной частью
$C_0(q)$. Тогда $e_2$ сопоставляет форме $q\in I^2$ класс $[C^+_0(q)]$
в $\Br(F)$.

Пусть $E$~--- левый $G$-торсор, $G$ действует на $X$ справа.
Рассмотрим скрученную форму $X$

\[ {}_EX \dfn (X\times E)/ \! {(x,e) \sim (x\,g^{-1}, g\,e)}. \]

На ней действует ${}_EG$. Действительно,
${}E_G=\Aut_{G-\text{торс}}(E)$~--- автоморфизмы $E$ как
$G$-торсора. ${}_EG$ является группой (тут $G$ действует сопряжениями
на себе). 

% тут пропущен кусок???

\begin{example}
Рассмотрим $H^1 (F,\O_n)$.

$E \in H^1 (F,\O_n)$ задается квадратичной формой $q$, и $q$ должна
быть формой расщепимой квадратичной формы $q_0$. При этом $E = \Isom
(q_0, q)$.

$O (q_0)$ действует на квадрике $Q_0 \dfn \{ q_0 = x_1\,y_1 + \cdots +
x_n\,y_n = 0 \} \subseteq \mathbb{P}^{2n-1}$.

После подкрутки: ${}_EQ_0 = \{ q = 0 \}$ и на ${}_EQ_0$ действует
группа $O(q)={}_EO(q_0)$.
\end{example}

\subsection{Многообразия Севери--Брауэра}

\begin{example}
Рассмотрим $H^1 (F, \PGL_n)$.

Торсор $E\in h^1(F,\PGL_n)$ задается центральной простой алгеброй $A$
степени $n$:
$E = \Isom_{F\text{-}\categ{Alg}} (M_n, A)$. Напомним, что $\PGL_n=\Aut(M_n)$.

%Что такое $\mathbb{P}^{n-1}$?

Каждому вектору $v \in \mathbb{A}^n - \{ 0 \}$ соответствует правый
идеал $\{x\mid \im x\leq \left<v\right>\}$ в $M_n$. Множество всех
идеалов, получающихся таким образом~--- это в точности множество
правых идеалов размерности $n$.

%$\left<v\right> \rightsquigarrow \text{правый идеал в } M_n \{ x \mid
%\im x \subseteq \left<v\right> \}$.

${}_E\mathbb{P}^{n-1}$~--- Множество правых идеалов размерности $n$ в
$A$~--- \term{многообразие Севери--Брауэра} $\SB (A)$.

Уравнения:
\[ \SB (A) \dfn \{ W \subset A \mid W\cdot A \subseteq A \}. \]

Таким образом,
\[ \SB (A) \hookrightarrow \Gr (n,A) = \Gr (n,n^2). \]

\[ \xymatrix{
A\times \SB(A) & A\times \Gr (n,n^2) \\
\left.\tau\right|_{\SB (A)}\ar[d]\ar@{^(->}[u] & \tau_n\ar[d]\ar@{^(->}[u] & W\ar[d] \\
\SB (A)\ar@{^(->}[r] & \Gr (n,n^2) & \{ w \}
} \]
\end{example}

\begin{lemma}
$\End_{\SB (A)} (J_A) \isom A$ (эндоморфизмы расслоения).
\end{lemma}
Поэтому два описания $H^1(F,\PGL_n)$~--- как алгебры Адзумайи и как
формы $\mathbb P^{n-1}$~--- эквивалентны.

\begin{proposition}
Подрасслоение $\left.\tau\right|_{\SB(A)}$ выдерживает правое
$A$-действие на $A\times \SB(A)$.

$J_A \dfn \left.\tau\right|_{\SB (A)}$.
\end{proposition}

\begin{example}
$\Gr (K,n)$ (линейные $k$-мерные подпространства в $\mathbb{A}^n$).

Если $U$~--- $k$-мерное подпространство в $\mathbb{A}^n$, то
$\{ x \mid \im x \subseteq U \}$~--- правый идеал в $M_n$ размерности
$kn$.

$\SB_k (A)$~--- обобщенное многообразие Севери--Брауэра~--- многообразие
правых идеалов размерности $k$.
\end{example}

$\Gr (k,n) \isom \Gr (n-k, n)$ (напомним, что это не канонический
изоморфизм). Аналог этой двойственности: $\SB_k (A) \isom \SB_{n-k}
(A^{op})$.

\begin{proposition}
$\SB (A) (F) \ne \emptyset \Rightarrow A \isom M_n$.

$\SB_k (A) (F) \ne \emptyset \Rightarrow \ind A \mid k$.
\end{proposition}

(Напомним, что такое $\ind$. Для центральной простой алгебры $A$ имеем
$A \isom M_m (D)$, где $D$~--- тело. $m \cdot \deg D = n$. $\deg D \rdfn
\ind A$, где $\deg D \dfn \sqrt{\dim D}$.)

Скрученные формы $\mathbb{P}^{n-1}$~--- это скрученные формы
$M_n$. Имеем $\Aut (\mathbb{P}^{n-1}) = \PGL_n$.

Предположим $\fchar F \ne 2$.

$\Aut(q_0) = O(q_0)$.

$\Aut (Q_0)^+ = \PGO (q_0)$, где $Q_0$~--- квадрика $\{ q = 0 \}$.

$H^1 (F, \PGO (q_0))$~--- классы $(A,\sigma)$ изоморфности центральных
простых алгебр $A$ с ортогональной инволюцией $\sigma$.


\[ \{ \text{правые идеалы }I\text{ в }(A,\sigma)\text{ размерности }\deg A \mid \sigma (I) \cdot I = 0 \} \rdfn X_{(A,\sigma)} \hookrightarrow \SB(A). \]

При поднятии до $\overline{F}$ получаем:
\[ Q_{\sigma (q_{\overline{F}})} \hookrightarrow \mathbb{P}^{\deg A -
  1}_{\overline{F}} = \SB (A) \otimes_F \overline{F}. \]

Вложение $X_{(A,\sigma)} \hookrightarrow \SB(A)$ есть аналог вложения
квадрики в проективное пространство.

% 05.03.2012

\section{Проективные однородные многообразия}

\subsection{Первые примеры}

Еще раз про аналогию с топологией:

$E\to X$~--- торсор на топологическом пространстве $X$, $G$ действует
на $E$. Существует покрытие $\{U_i\}$ пространства $X$ такое, что
\[\begin{xymatrix}{U_i\times G\isom E|_{U_i}\ar[r]\ar[d] & E \\
U_i\ar@{^(->}[r] & X}\end{xymatrix}\]

У нас: возьмем $X=\Spec K$. Пусть $E\to\Spec K$~--- торсор. Существует
расширение полей $L/K$ такое, что торсор $E_L\to\Spec L$ изоморфен
торсору $G_L\to\Spec L$.

Мы хотим описать $H^1(K,G)$. Стратегия: для торсора $E$ и (гладкого
проективного) $G$-многообразия $X$ мы определили ${}_EX$~---
${}_EG$-многообразие (снова гладкое проективное), которое называется
\emph{скрученной формой $X$},  то есть,
\begin{itemize}
\item $E_{\overline{K}}\isom
G_{\overline{K}}$ как $G_{\overline{K}}$-многообразие,
\item $({}_EG)_{\overline{K}}\isom G_{\overline{K}}$ как алгебраическая
группа,
\item $({}_EX)_{\overline{K}}\isom X_{\overline{K}}$ как
  $G_{\overline{K}}$-многообразие.
\end{itemize}

\begin{example}
Пусть $A\in H^1(K,\PGL_n)$; то есть, $A$~--- центральная простая
алгебра степени $n$. Положим $E=\Isom(M_n,A)$, $X=\mathbb P^{n-1}$,
$G=\PGL_n$. Тогда ${}_EG=\Aut(A)$, ${}_EX=\SB(A)$~--- многообразие
правых идеалов в $A$ размерности $n$. Заметим, что $\SB(A)(K)$ непусто
тогда и только тогда, когда $A\isom M_n$. Вообще, свойства многообразия
$\SB(A)$ отражают свойства исходного торсора.
\end{example}

\begin{example}
Пусть $G=\O_n$, $q\in H_1(K,\O_n)$~--- невырожденная квадратичная
форма ранга $n$.

$E=\Isom(q_0,q)$, где $q_0$ расщепима (то есть, имеет
вид $\langle 1,-1\rangle\perp\dots\perp\langle 1,-1\rangle$ плюс,
возможно, слагаемое $\langle 1\rangle$).

$X=\{q_0=0\}$ в проективном смысле. Тогда $Q={}_EX=\{q=0\}$. Заметим,
что  $Q(K)$ непусто тогда и только тогда, когда форма $q$ изотропна, то
есть, $q\isom\langle 1,-1\rangle\perp q'$. Этот факт остается верным
при любом расширении $L/K$: $Q(L)$ непусто тогда и только тогда, когда
форма $q_L$ изотропна.
\end{example}

\begin{fact}
Пусть $q$ имеет вид $\lAngle a_1,\dots,a_k\rAngle=\la
1,-a_1\ra\otimes\dots\otimes\la 1,-a_k\ra$. Тогда
\begin{multline}
\text{
Форма $q_L$ изотропна тогда и только тогда, когда она расщепима (то
есть,} \\
\text{раскладывается в сумму форм вида $\la 1,-1\ra$).}\tag{*}
\end{multline}
Наоборот, если $\dim q$ четна и (*) выполнено для любого расширения
полей, то $q$ пфистерова с точностью до скаляра. Если же $\dim q$
нечетна, то $q\perp\la 1\ra$ пфистерова с точностью до скаляра.
\end{fact}

Таким образом, от торсора $E$ можно переходить к многообразию ${}_EX$
(и можно варьировать $X$), смотреть на его инварианты (в смысле
алгебраической геометрии) и получать отсюда информацию об инвариантах
торсора.

Пусть $X$~--- гладкое проективное многообразие. Мы ограничимся
случаем, когда $X$ \emph{однородное}, то есть, $G(\overline{K})$
действует на $X(\overline{K})$ транзитивно (заметим, что это означает,
что отображение $G\times X\to X\times X$, $(g,x)\mapsto (gx,x)$
сюръективно как пучок, а не в категорном смысле; категорное понятие
эпиморфизма не подходит для наших целей: например, отображение
$\Spec{\mathbb Q}\to\Spec{\mathbb Z}$ сюръективно в категории схем).
Неформально говоря, у $G$ на $X$ одна орбита.
Тогда $X$ называется \term{проективным однородным многообразием}.

Как строить проективные однородные многообразия? Пусть $G$~---
расщепимая группа, $V$~--- неприводимое представление (в положительной
характеристике нужно действовать осторожене). Рассмотрим $\mathbb
P(V)$~--- многообразие прямых в $V$, проходящих через $0$. У группы
$G$ есть ровно одна замкнутая орбита на $\mathbb P(V)$~--- это и есть
наше $X$. На самом деле, все проективные однородные многообразия так
получаются (но не обязательно единственным образом).

\begin{example}
$G=\SL_n$ действует на $V=K^n$ (имеется в виду обычное, \emph{векторное}
представление). Пусть $u$, $v$~--- два вектора. Можно ли найти $g$
такое, что $\la gu\ra=\la v\ra$ (здесь через $\la
x\ra$ мы обозначаем прямую, натянутую на $x$)? Ответ~--- можно,
если $u$ и $v$ отличны от $0$. Значит, в $K^n$ есть две орбиты
действия группы $G$: $\{0\}$ и $\{v\mid v\neq 0\}$. После
проективизации в $\mathbb P(K^n)=\mathbb P^{n-1}$ остается только одна
орбита.
\end{example}

\begin{example}
$G=\SL_n$ действует на $V=\Lambda^k(K^n)$, $k=1,\dots,n-1$. На
неразложимых поливекторых орбит много, но на разложимых действие
транзитивно. Свойство <<быть разложимым>> определяется уравнениями
Плюккера. Орбита в $\mathbb P(\Lambda^k(K^N))$~--- это $\Gr(k,n)$.

Пусть, к примеру, $n=4$, $k=2$. Диаграмма Хассе весов нашего
представления выглядит так:
\[
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin,
aln/.style={above left=-2pt},
arn/.style={above right=-2pt},
bln/.style={below left=-2pt},
brn/.style={below right=-2pt},
every label/.style={above=2pt}]
\def\sm{0.7}
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
\coordinate (3) at ($\sm*(2.4, 1)$);
\coordinate (4) at ($\sm*(2.4, -1)$);
\coordinate (5) at ($\sm*(3.4, 0)$);
\coordinate (6) at ($\sm*(4.8, 0)$);
\draw (1)--node[above] {$2$}(2);
\draw (2)--node[aln] {$1$}(3);
\draw (2)--node[bln] {$3$}(4);
\draw (3)--node[arn] {$3$}(5);
\draw (4)--node[brn] {$1$}(5);
\draw (5)--node[above] {$2$}(6);
\foreach \point in
{1,2,3,4,5,6}
  {
     \fill [white] (\point) circle (2.0pt);
     \draw [black] (\point) circle (2.0pt);
  }
\end{tikzpicture}
\]
Разложимый тензор задается двумя векторами. Запишем их в базисе
$(e_1,e_2,e_3,e_3)$:
$(a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3+a_4e_4)\wedge(b_1e_1+b_2e_2+b_3e_3+b_4e_4)$. Обозначим
координату тензора $x$ при бивекторе $e_i\wedge e_j$ через
$x_{ij}$. Тогда разложимость $x$ равносильно обращению в $0$ выражения
$x_{12}x_{34}-x_{13}x_{24}+x_{14}x_{23}$. Это следует, например, из
соотношения на миноры матрицы
$\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3&a_4\\b_1&b_2&b_3&b_4\end{pmatrix}$.
\end{example}

\subsection{Параболические подгруппы}
Оказывается, любое $X$, являющееся орбитой в $\mathbb P(V)$, задается
квадратичными уравнениями в проективных координатах.

Пусть $v\in V$, $X=G\cdot\la v\ra$~--- орбита вектора
$v$. Тогда $\Stab_G(\la v\ra)=P$~--- параболическая подгруппа
в $G$. Проективное однородное многообразие задается подгруппой $P$ с
точностью до сопряженности.

Посмотрим, как тор $T$ в $G$ действует на вектор $v$. Из равенства
$T\la v\ra=\la v\ra$ следует, что найдется $\lambda\colon T\to\mathbb
G_m$ (\term{вес} неприводимого представления $V$) такое, что
$tv=\lambda(t)v$ для всех $t\in T$. Представление задается своим старшим весом
(точнее, орбитой веса относительно $W$, но в этой орбите есть
единственный доминантный вес). %???
% $v$~--- вектор старшего веса.
Пусть $\alpha_1,\dots,\alpha_l$~--- простые корни.
Рассмотрим базис $\alpha_1^\vee,\dots,\alpha_l^\vee$
в двойственном пространстве, где $\alpha_i^\vee$ определяется
равенством
$\alpha_i^\vee(\beta) = \frac{2(\alpha_i,\beta)}{(\alpha_i,\alpha_i)}$.
Пусть $\varpi_1,\dots,\varpi_l$~--- двойственный к нему базис.
Таким образом,
$\frac{2(\alpha_i,\varpi)}{(\alpha_i,\alpha_i)} = \delta_{ij}$.
Эти элементы $\varpi_1,\dots,\varpi_l$ называются
\term{фундаментальными весами}.
Вес $\lambda$ раскладывается по этому базису следущим образом:
$\lambda = \sum m_i\omega_i$.
После этого $X$ (и $P$) зависит только от того, какие из $m_i$ не равны $0$.
То есть, проективные однородные многообразия задаются подмножеством
вершин на диаграмме Дынкина, состоящим из тех вершин, для которых
$m_i\neq 0$.
Мы будем их обводить на картинке.

Например, картинка для проективного пространства такая:
\[
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
\def\sm{0.7}
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
\coordinate (3p) at ($\sm*(3.3, 0)$);
\coordinate (d1) at ($\sm*(3.5, 0)$);
\coordinate (d2) at ($\sm*(3.7, 0)$);
\coordinate (d3) at ($\sm*(3.9, 0)$);
\coordinate (4m) at ($\sm*(4.1, 0)$);
\coordinate (4) at ($\sm*(4.6, 0)$);
\coordinate (5) at ($\sm*(6.0, 0)$);
\node at (1) [below=3pt,font=\scriptsize] {$1$};
\node at (2) [below=3pt,font=\scriptsize] {$2$};
\node at (3) [below=3pt,font=\scriptsize] {$3$};
\node at (4) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n-2$};
\node at (5) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n-1$};
\draw (1)--(2);
\draw (2)--(3);
\draw (3)--(3p);
\draw (4m)--(4);
\draw (4)--(5);
\foreach \point in
{1,2,3,4,5}
  {
     \fill [white] (\point) circle (2.0pt);
     \draw [black] (\point) circle (2.0pt);
  }
\draw [black] (1) circle (5.0pt);
\foreach \point in
{d1,d2,d3}
  {
     \fill [black] (\point) circle (0.7pt);
  }
\node (c) at ($\sm*(7.5, 0)$) {$\mathsf{A}_{n-1}$};
\end{tikzpicture}
\]
Это соответствует векторному представлению $V = V(\varpi_1)$ группы
$\SL_n$.
Вообще, если на диаграмме $\mathsf{A}_{n-1}$ обвести вершину с номером $k$,
получится $\Gr(k,n)$.
Есть еще, например, присоединенное представление: $\SL_n$ действует
на своей алгебре Ли $\Lie(\SL_n)$. Картинка для этого представления
такая: 
\[
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
\def\sm{0.7}
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
\coordinate (2p) at ($\sm*(1.9, 0)$);
\coordinate (d1) at ($\sm*(2.1, 0)$);
\coordinate (d2) at ($\sm*(2.3, 0)$);
\coordinate (d3) at ($\sm*(2.5, 0)$);
\coordinate (3m) at ($\sm*(2.7, 0)$);
\coordinate (3) at ($\sm*(3.2, 0)$);
\coordinate (4) at ($\sm*(4.6, 0)$);
\node at (1) [below=3pt,font=\scriptsize] {$1$};
\node at (2) [below=3pt,font=\scriptsize] {$2$};
\node at (3) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n-2$};
\node at (4) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n-1$};
\draw (1)--(2);
\draw (2)--(2p);
\draw (3m)--(3);
\draw (3)--(4);
\foreach \point in
{1,2,3,4}
  {
     \fill [white] (\point) circle (2.0pt);
     \draw [black] (\point) circle (2.0pt);
  }
\draw [black] (1) circle (5.0pt);
\draw [black] (4) circle (5.0pt);
\foreach \point in
{d1,d2,d3}
  {
     \fill [black] (\point) circle (0.7pt);
  }
\node (c) at ($\sm*(6.1, 0)$) {$\mathsf{A}_{n-1}$};
\end{tikzpicture}
\]
Первая вершина соответствует $V$, последняя~--- $V^*$,
в итоге получаем $V^*\otimes V\isom \End(V)$.

Если обведена одна вершина ($V = V(\varpi_i)$), то $P$ называется
\term{максимальной} параболической.
Если все вершины обведены, то $P$ называется \term{борелевской}
(это минимальная среди параболических).
Любая гладкая замкнутая подгруппа, содержащая $B$, называется
\term{параболической} и получается таким образом: $B\leq P \leq G$.

Пусть теперь на диаграмме Дынкина системы $\mathsf{A}_{n-1}$ обведены
вершины с номерами $k_1,\dots,k_m$.
Полученное многообразие можно описать в терминах стандартного
представления $V = K^n$ группы $\SL_n$.
А именно,
\[
X = \{U_1\leq\dots\leq U_m\mid \dim U_i = k_i\}.
\]
Такое $X$ называется \term{многообразием флагов}.
При этом $\SL_n$ действует на $X$ транзитивно.
Заметим, что тензорное произведение
$V(\varpi_{k_1})\otimes\dots\otimes V(\varpi_{k_m}0$ уже не обязано
быть неприводимым, но можно взять кусок, соответствующий
весу $\varpi_{k_1} + \dots + \varpi_{k_m}$.

Так мы описали все однородные проективные многообразия для группы
$\SL_n$.
В общем случае (для произвольной $G$) иногда однородное проективное
многообразие называют \term{обобщенным флаговым многообразием}.
Его можно описать так:
\[
X = \{P'\leq G\mid P'\mbox{ сопряжена с }P\},
\]
где значок $P'\leq G$ означает, что $P'$~--- гладкая замкнутая подгруппа
в $G$.
Более точно,
\[
X(R) = \{P'\leq G_R \mid\mbox{существуют }S/R, g\in G(S):\; gP'g^{-1} = P\}.
\]
После подкрутки на торсор $E$ получаем
\[
{}_{E}X = \{P'\leq {}_{E}G\mid P'_{\ol{K}}\mbox{ сопряжена с }P_{\ol{K}}
\mbox{ внутри }({}_{E}G)_{\ol{K}} = G_{\ol{K}}\}.
\]
Обратите внимание, что в ${}_{E}G$ никакой $P$ может не оказаться.

Проективное однородное многообразие $X$ \term{изотропно},
если $X(K)\neq\emptyset$.
Сама группа ${}_{E}G$ называется \term{изотропной}, если для какого-то
проективного однородного многообразия ${}_{E}X$, отличного от точки,
${}_{E}X$ изотропно.

\begin{example}
Пусть $G = \PGL_n$.
Ее скрученная форма ${}_{E}G$ имеет вид $\Aut(A)$, а соответствующая
скрученная форма проективного пространства~--- $\SB(A)$.
Заметим, что у $\PGL_n$ (в отличие от $\SL_n$) нет векторного представления.
Почему?
Для начала поймем, откуда берется скрученная форма $\SL_n$.
Отображение определителя $\det\colon\GL_n\to\mathbb{G}_m$
скручивается в \emph{приведенную норму} (\emph{reduced norm})
\[
\Nrd\colon A^* = \GL_1(A) \to \mathbb{G}_m.
\]
Ядро этого отображения обозначается через
$\SL_1(A) = \{g\in A\mid\Nrd(g)=1\}$.
Например, $(\Nrd(x))^n = \det(y\mapsto xy)$.

Решетка корней содержится в решетке весов:
\[
\mathbb{Z}\alpha_1\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}\alpha_l
\leq
\mathbb{Z}\varpi\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}\varpi_l
\]
Диаграммы Дынкина классифицируют расщепимые полупростые группы с точностью
до изогении, а класс изоморфности внутри класса изогении задается
промежуточной решеткой между этими двумя (с точностью до внешних
автоморфизмов).
Минимальная решетка $\mathbb{Z}\alpha_1\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}\alpha_l$
соответствует присоединенной группе (без центра);
максимальная решетка $\mathbb{Z}\varpi_1\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}\varpi_l$
соответствует односвязной группе (у нее самый большой центр).
\end{example}

% 12.03.2012

\subsection{$\SO_{2n}$}

Посмотрим на однородные многообразия для $\SO_{2n}$.
Диаграмма Дынкина выглядит так:
\[
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
\def\sm{0.7}
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
\coordinate (2p) at ($\sm*(1.9, 0)$);
\coordinate (d1) at ($\sm*(2.1, 0)$);
\coordinate (d2) at ($\sm*(2.3, 0)$);
\coordinate (d3) at ($\sm*(2.5, 0)$);
\coordinate (3m) at ($\sm*(2.7, 0)$);
\coordinate (3) at ($\sm*(3.2, 0)$);
\coordinate (4) at ($\sm*(4.6, 0)$);
\coordinate (5) at ($\sm*(5.6, 1)$);
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, -1)$);
\node at (1) [below=5pt,font=\scriptsize] {$1$};
\node at (4) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n-2$};
\node at (5) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n-1$};
\node at (6) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n$};
\draw (1)--(2);
\draw (2)--(2p);
\draw (3m)--(3);
\draw (3)--(4);
\draw (4)--(5);
\draw (4)--(6);
\foreach \point in
{1,2,3,4,5,6}
  {
     \fill [white] (\point) circle (2.0pt);
     \draw [black] (\point) circle (2.0pt);
  }
\foreach \point in
{d1,d2,d3}
  {
     \fill [black] (\point) circle (0.7pt);
  }
\node (c) at ($\sm*(7.1, 0)$) {$\mathsf{D}_{n}$};
\end{tikzpicture}
\]
Весу $\varpi_1$ отвечает квадрика $\{q(v)=0\}$, что соответствует естественному
представлению $V$ группы $\SO_{2n}$.
Весу $\varpi_2$~--- представление $\Lambda^2 V$.
Соответствующее многообразие~--- множество вполне изотропных плоскостей
$\la u,v\ra$, то есть, таких, что $q|_{\la u,v\ra}=0$.
Это условие можно описать так: $q(u) = q(v) = f(u,v) = 0$, где $f$~---
поляризация формы $q$: $f(u,v) = q(u+v) - q(u) - q(v)$.
Аналогично (с помощью вполне изотропных подпространств различной размерности)
описываются случаи $\varpi_3,\dots,\varpi_{n-2}$.

Весам $\varpi_{n-1}$ и $\varpi_n$ соответствуют вполне изотропные подпространства
размерности $n$.
Дело в том, что многообразие вполне изотропных подпространств размерности $n$
имеет две компоненты связности. Для того, чтобы объяснить этот эффект,
выберем базис $e_1,\dots,e_n,e_{-n},\dots,e_{-1}$, относительно
которого матрица Грама формы $q$ имеет вид
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \dots & 0 & 1\\
0 & 0 & \dots & 1 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 1 & \dots & 0 & 0\\
1 & 0 & \dots & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
Оказывается, подпространства $\la e_1,\dots,e_{n-1},e_n\ra$
и $\la e_1,\dots,e_{n-1},e_{-n}\ra$ вполне изотропны, но не переводятся
друг в друга действием $\SO_{2n}$.
Первое соответствует весу $\varpi_{n-1}$, а второе~--- весу $\varpi_n$.
Куда же делось многообразие вполне изотропных подпространств размерности $n-1$?
Оно не максимальное однородное (соответствует не максимальной параболической
подгруппе), и соответствует весу $\varpi_{n-1} + \varpi_n$.
Действительно,
\[
\Stab(\la e_1,\dots,e_{n-1}\ra) = 
\Stab(\la e_1,\dots,e_{n-1},e_n\ra) \cap
\Stab(\la e_1,\dots,e_{n-1},e_{-n}\ra).
\]
Вообще, немаксимальные многообразия соответствуют флагам.
Посмотрим на вес $\varpi_{i_1} + \dots + \varpi_{i_k}$.
Флаг для него~--- это набор подпространств таких размерностей:
\[
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
\def\sm{0.7}
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
\coordinate (2p) at ($\sm*(1.9, 0)$);
\coordinate (d1) at ($\sm*(2.1, 0)$);
\coordinate (d2) at ($\sm*(2.3, 0)$);
\coordinate (d3) at ($\sm*(2.5, 0)$);
\coordinate (3m) at ($\sm*(2.7, 0)$);
\coordinate (3) at ($\sm*(3.2, 0)$);
\coordinate (4) at ($\sm*(4.6, 0)$);
\coordinate (5) at ($\sm*(5.6, 1)$);
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, -1)$);
\node at (1) [below=5pt,font=\scriptsize] {$1$};
\node at (2) [below=5pt,font=\scriptsize] {$2$};
\node at (3) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n-3$};
\node at (4) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n-2$};
\node at (5) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n$};
\node at (6) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n$};
\draw (1)--(2);
\draw (2)--(2p);
\draw (3m)--(3);
\draw (3)--(4);
\draw (4)--(5);
\draw (4)--(6);
\foreach \point in
{1,2,3,4,5,6}
  {
     \fill [white] (\point) circle (2.0pt);
     \draw [black] (\point) circle (2.0pt);
  }
\foreach \point in
{d1,d2,d3}
  {
     \fill [black] (\point) circle (0.7pt);
  }
\node (c) at ($\sm*(7.1, 0)$) {$\mathsf{D}_{n}$};
\end{tikzpicture}
\]
с правильной инцидентностью.
А именно, для каждой из двух цепочек от первой вершины до двух последних
инцидентность~--- это включение, а для весов $\varpi_{n-1}$ и $\varpi_n$
инцидентность означает, что пересечение соответствующих подпространств
размерности $n$ имеет размерность $n-1$.

Перед нами пример \emph{геометрии}.
Гораздо более простой пример~--- случай системы $\mathsf{A}_2$.
Там всего два фундаментальных веса:
$\varpi_1$ соответствует точкам (и параболическим подгруппам типа $\varpi_1$),
а $\varpi_2$~--- прямым (и параболическим подгруппам типа $\varpi_2$).
Более подробно, посмотрим на трехмерное векторное пространство $F^3$.
Ненулевой вектор $u$ порождает одномерное подпространство
$\la u\ra\subseteq F^3$, и его стабилизатор
$\Stab_{\SL_3}(\la u\ra)$~--- это параболическая подгруппа типа $\varpi_1$:
\[
\begin{pmatrix}
* & * & * \\ 0 & * & * \\ 0 & * & *
\end{pmatrix}
\mbox{ --- стабилизатор вектора }
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.
\]
Для описания прямых можно воспользоваться двойственностью и перейти
к пространству $(F^3)^*$.
Ненулевой ковектор $\ph\in(F^3)^*$ порождает одномерное подпространство
$\la\ph\ra\subseteq (F^3)^*$, и его стабилизатор
$\Stab_{\SL_3}(\la \ph \ra)$~--- это параболическая подгруппа типа
$\varpi_2$:
\[
\begin{pmatrix}
* & * & * \\ * & * & * \\ 0 & 0 & *
\end{pmatrix}
\mbox{ --- стабилизатор ковектора }
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
\]
Отношение инцидентности между ними такое:
точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда $\ph(u) = 0$.
В терминах параболических подгрупп:
$\Stab(\la u\la) \cap \Stab(\la \ph \ra)$ содержит борелевскую подгруппу
(то есть, параболическую подгруппу типа $\varpi_1 + \varpi_2$).

Если мы теперь посмотрим на геометрию, заданную абстрактными аксиомами
проективной плоскости (с аксиомой Дезарга, обеспечивающей ассоциативность,
но без аксиомы Паппа, обеспечивающей коммутативность),
мы получим группу $\SL_1(A)$, где $A$~--- центральная простая алгебра
степени $3$.

\subsection{Вычисление колец Чжоу}\label{ssect:chow-map-definition}

Пусть $E \in H^1 (F, G)$, и задано однородное проективное $G$-многообразие $X$.
Рассмотрим скрученное многообразие ${}_E X$; нас интересуют инварианты этого
многообразия в смысле алгебраической геометрии.
Например, $\CH^*({}_E X)$.

Вложение поля $F$ в его алгебраическое замыкание $\ol{F}$ дает морфизм
схем $\Spec\ol{F} \to \Spec F$.
Пулбэком получается многообразие $X_{\ol{F}}$:
\[
\begin{tikzcd}
X_{\ol{F}} \arrow{r} \arrow{d} & X \arrow{d} \\
\Spec\ol{F} \arrow{r} & \Spec F
\end{tikzcd}
\]
Отсюда получаем гомоморфизм
\[
\CH^*({}_{E}X) \to \CH^*(({}_{E}X)_{\ol{F}}) = \CH^*(X_{\ol{F}}).
\]
Нас интересует образ этого гомоморфизма: кручение содержится в его ядре,
за счет чего легче жить.
Первый шаг~--- вычисление $\CH^*(X_{\ol{F}})$.

\subsection{Пример: проективное пространство}\label{ssect:chow-ring-of-pn}

\begin{example}\label{example:projective-space}
Рассмотрим $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n$ с диагональным действием
$\SL_{n+1}$.
Это действие не транзитивно: есть диагональ $\mathbb{P}^n$.
Как выглядит дополнение к диагонали?
Мы утверждаем, что оно расслаивается над $\Gr(1,2;n+1)$ со слоем
$\mathbb{A}^1$.
Здесь $\Gr(1,2;n+1)$~--- многообразие флагов, состоящих из прямой и плоскости,
в $(n+1)$-мерном пространстве.
\[
\begin{tikzcd}
\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
\mathbb{P}^n \arrow[left hook->]{ll} \\
 & \Gr(1,2;n+1)
\end{tikzcd}
\]
Это расслоение выглядит так: пара
$(\la u\ra, \la v\ra)\in\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n$
отправляется во флаг $\la u\ra \leq \la u,v\ra$.
Прообраз флага при этом~--- это многообразие способов дополнить прямую
до плоскости, то есть, $\mathbb{P}^1 \setminus \mathbb{P}^0 = \mathbb{A}^1$.
Более строго, нужно говорить про расслоения на $\Gr(1,2;n+1)$:
есть двумерное векторное расслоение $\tau_2$, сопоставляющее
флагу $\la u\ra \leq \la u,v\ra$ плоскость $\la u,v\ra$,
и есть одномерное векторное расслоение $\tau_1$, сопоставляющее
флагу $\la u\ra \leq \la u,v\ra$ прямую $\la u\ra$.

Теперь зафиксируем в этом описании $u$, то есть, возьмем слой всей
картинки над точкой в первом сомножителе $\mathbb{P}^n$.
Получим картинку
\[
\begin{tikzcd}
\mathbb{P}^n & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
\pt \arrow[left hook->]{ll} \\
 & \Gr(1;n)
\end{tikzcd}
\]
Заметим, что $\Gr(1,n) = \mathbb{P}^{n-1}$.
Поэтому можно написать точную последовательность локализации:
\[
\CH^{*-n}(\pt) \to \CH^*(\mathbb{P}^n) \to \CH^*(\mathbb{P}^{n-1}) \to 0.
\]
Средняя стрелка является гомоморфизмом колец, а первый член почти всегда
равен нулю.
Поэтому
\[
\CH^i(\mathbb{P}^n) = \begin{cases}
\CH^i(\mathbb{P}^{n-1}), & i < n,\\
\mathbb{Z}, & i = n,\\
0, & i > n.
\end{cases}
\]
По индукции получаем, что у $\CH^*(\mathbb{P}^n)$ в каждой размерности
от $0$ до $n$ стоит одна копия $\mathbb{Z}$.
\end{example}

\begin{example}\label{example:projective-space-filtration}
Опишем другой способ.
Пусть $\dim(V) = n+1$.
Рассмотрим действие группы $\SL(V)$ (или $\PGL(V)$)
на $\mathbb{P}(V^*) \times \mathbb{P}(V)$
(соответствующее весу $\varpi_1 + \varpi_n$).
Там имеется подмногообразие $\{\ph(u) = 0\}$:
\[
\begin{tikzcd}
\mathbb{P}(V^*) \times \mathbb{P}(V)
& \arrow{d}{\mathbb{A}^n}
& \{\ph(u) = 0\}\arrow[left hook->]{ll}\\
& \mathbb{P}(V^*)
\end{tikzcd}
\]
Зафиксировав $\ph$, получаем
\[
\begin{tikzcd}
\mathbb{P}^n
& \arrow{d}{\mathbb{A}^n}
& \mathbb{P}^{n-1} \arrow[left hook->]{ll}\\
& \pt
\end{tikzcd}
\]
Значит, имеется следующая точная последовательность локализации:
\[
\CH^{*-1}(\mathbb{P}^{n-1}) \to \CH^*(\mathbb{P}^n) \to \CH^*(\pt) \to 0.
\]
Вычисление по индукции приводит к тому же результату, что и
в предыдущем примере.
\end{example}

\begin{fact}
Если $Z\subseteq X$~--- замкнутое подмногообразие,
и $U = X\setminus Z$, имеется точная последовательность локализации
\[
\CH^{* - \codim_{X}Z} \to \CH^*(X) \to \CH^*(U) \to 0,
\]
где первое отображение~--- push-forward, а второе~--- pull-back
(и является гомоморфизмом колец).
\end{fact}

\begin{example}
Тот же результат можно получить и прямым вычислением:
понять, что компонента кольца Чжоу коразмерности $i$
порождается классом подпространства $[\mathbb{P}^{n-i}]$,
причем $[\mathbb{P}^n] = 1$.
Кроме этого,
\[
[\mathbb{P}^{n-1}]^i = \begin{cases}
[\mathbb{P}^{n-i}], & i \leq n,\\
0, & i > n.
\end{cases}
\]
Например, выбрав на $\mathbb{P}^n$ однородные координаты
$[x_0:\dots:x_n]$, можно взять $\mathbb{P}^{n-1} = \{x_0=0\}$,
другое $\mathbb{P}^{n-1} = \{x_1 = 0\}$ и обнаружить,
что их пересечение равно $\{x_0 = x_1 = 0\} = \mathbb{P}^{n-2}$.
\end{example}

\begin{remark}
По сути, в примере~\ref{example:projective-space-filtration}
мы нарисовали фильтрацию
\[
\begin{tikzcd}
\mathbb{P}^n
& \mathbb{P}^{n-1} \arrow[left hook->]{l}{\mathbb{A}^n}
& \dots \arrow[left hook->]{l}{\mathbb{A}^{n-1}}
& \pt \arrow[left hook->]{l}{\mathbb{A}^1}
\end{tikzcd}
\]
Вообще, если у многообразия $X$ существует фильтрация замкнутыми
подмногообразиями $S\supseteq X_1\supseteq X_2\supseteq\dots$
такая, что $X_i\setminus X_{i+1} = \coprod\mathbb{A}^{k_i}$,
то $X$ называется \term{клеточным}.
В этом случае
\begin{itemize}
\item все $\CH^i$~--- свободные конечно порожденные абелевы группы (их ранг
равен количеству клеток в соответствующей разности);
\item $\CH(X)_i\isom \CH(X_L)_i$ для любого расширения $L/F$.
\end{itemize}
\end{remark}

\subsection{Пример: многообразие Севери--Брауэра}

Перейдем теперь к $\SB(D)$, где $D$~--- тело, $\ind D = n+1$.
Это скрученная форма $\mathbb{P}^n$: $\SB(D) = {}_{E}\mathbb{P}^n$.
В разделе~\ref{ssect:chow-map-definition} мы построили отображение
\[
\CH^*(\SB(D)) \to \CH^*(\mathbb{P}^n_{\ol{F}}).
\]
Циклы из его образа называются \term{рациональными}
(по отношению к скручивающему торсору $E$).
В разделе~\ref{ssect:chow-ring-of-pn} мы вычислили правую часть:
там стоит копия $\mathbb{Z}$ в каждой компоненте с номерами от $0$ до $n$.
Образующая компоненты коразмерности $0$ всегда оказывается в образе.

Предположим, что класс $[\pt]$ оказался рационален.
Это означает, что есть конечные (сепарабельные) расширения
$L_1,\dots,L_k$ такие, что
\begin{itemize}
\item над каждым $L_i$ наше многообразие имеет рациональную точку;
\item $\gcd_i([L_i:F]) = 1$.
\end{itemize}
Заметим, что первое условие равносильно тому, что
$[D_{L_i}]=0$ в $\Br(L_i) = 0$.
Применим отображение трансфера $\Br(L_i) \to \Br(F)$.
Получим, что $[L_i:F]\cdot [D]=0$ в $\Br(F)$ для всех $i$.
Из этого (а также из второго условия)
следует, что $[D] = 0$ в $\Br(F)$.

\subsection{Пример: квадрика}

Рассмотрим квадрику $Q = \{q=0\}$.
В $Q\times Q = \{(\la u\ra, \la v\ra)$ есть подмножество $\{f(u,v)=0\}$,
а в нем~--- диагональ $\{\la u\ra = \la v\ra\}\isom Q$.
Получаем фильтрацию
\[
\begin{tikzcd}
Q\times Q & \arrow{d}{\mathbb{A}^{\dim Q}} &
\{f(u,v) = 0\} \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
Q.\arrow[left hook->]{ll}\\
 & Q & & \OGr(1,2;f)
\end{tikzcd}
\]
Здесь $\OGr(1,2;f)$ означает многообразие флагов, состоящих из
вполне изотропных подпространств вида $\la u\ra \leq \la u,v\ra$.

Расслоение $Q\times Q\setminus \{f(u,v)=0\} \to Q$
устроено так: пара $(\la u\ra, \la v\ra)$ отправляется
в $\la u\ra$.
Проверим, что слой изоморфен $\mathbb{A}^{\dim Q}$.
Пусть $u = e_1$.
Тогда наше дополнение имеет вид $\{f(e_1,v)\neq 0\}$.
Условие $f(e_1,v)\neq 0$ равносильно тому, что коэффициент у $v$
при базисном векторе $e_{-1}$ не равен $0$.
Поэтому можно читать, что он равен $1$.
Теперь все коэффициенты $v$, кроме тех, что стоят при $e_{1}$ и $e_{-1}$,
можно брать какими угодно, а коэффициент при $e_1$ определяется
однозначно из условия изотропности $q(v) = 0$.
Иначе говоря, если $\tau$~--- тавтологическое расслоение на $Q$,
рассмотрим $(\tau^{\perp})^*$.
Его слой над точкой $\la u\ra\in Q$ равен $(\la u\ra)^{\perp})^*$.
Вот нужный нам изоморфизм:
\begin{align*}
\mathbb{A}^{\dim Q} & \to
\mathbb{P}((\la u\ra^{\perp})^*) \setminus
\mathbb{P}(\{\ph\in(\la u\ra^{\perp})^*\mid \ph(u) = 0\},\\
v & \mapsto (\ph\colon w\mapsto f(v,w)).
\end{align*}

Расслоение $\{f(u,v)=0\} \setminus Q \to \OGr(1,2;f)$ устроено проще:
его слой равен
$\mathbb{P}(\tau_2) \setminus \mathbb{P}(\tau_1)\isom\mathbb{A}^1$,
как и в примере~\ref{example:projective-space}.

Теперь зафиксируем $u$; получим фильтрацию
\[
\begin{tikzcd}
Q & \arrow{d}{\mathbb{A}^{\dim Q}} &
\{f(u,v) = 0\} \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
\pt,\arrow[left hook->]{ll}\\
 & \pt & & Q'
\end{tikzcd}
\]
где $Q'$~--- квадрика размерности $\dim Q - 2$.
Получаем точные последовательности
\begin{gather*}
\CH^{*-1}(\{f(u,v)=0\}) \to \CH^*(Q) \to \CH^*(\pt) \to 0,\\
\CH^{*-\dim Q + 1}(\pt) \to \CH^*(\{f(u,v)=0\}) \to \CH^*(Q') \to 0.
\end{gather*}
Теперь при помощи индукции можно доказать следующее.

Пусть $\dim Q = n$ четно.
Тогда $\CH^i(Q)$~--- свободная абелева группа ранга $1$
для всех $i=0,\dots,n$, кроме $i= n/2$; $\CH^{n/2}(Q)\isom\mathbb Z^2$.
Обозначим за $h = [Q'']\in\CH^1(Q)$ класс подквадрики коразмерности $1$.
Это гиперплоское сечение $Q$ в общем положении.
Тогда $1$~--- образующая $\CH^0(Q)$
$h$~--- образующая $\CH^1(Q)$,
$h^2$~--- образующая $\CH^2(Q)$,\dots.
С другой стороны, $\pt$~--- образующая $\CH^n(Q)$,
$[\mathbb{P}^1]$~--- образующая $\CH^{n-1}(Q)$,
$[\mathbb{P}^2]$~--- образующая $\CH^{n-2}(Q)$,\dots.
Это классы изотропных подпространств соответствующих размерностей.
Наконец, $h^{n/2}$ является суммой двух образующих; в качестве
одной из них можно взять $[\mathbb{P}^{n/2}$.

Это можно увидеть в координатной записи:
$Q$ задается уравнением $x_1 y_1 + \dots + x_{n/2+1}y_{n/2+1} = 0$.
После этого $Q''$ задается уравнением $x_{n/2+1} - y_{n/2+1} = 0$
(это гиперплоское сечение, как и было обещано),
а следующие образующие задаются последовательным
наложением уравнений $x_{1} = 0$,
$x_{2} = 0$, и так далее.
Когда дойдем до коразмерности $n/2$,
получим два варианта: либо
\[ x_1 = \dots = x_{n/2+1} = 0, \]
либо
\[ x_1 = \dots = x_{n/2} = y_{n/2+1} = 0. \]

\begin{example}
Пусть $n=4$, то есть, мы имеем дело с $\mathsf{D}_3$.
Перед нами четырехмерная квадрика.
Ее уравнение выглядит так: $x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 = 0$.
Уравнения двух образующих в коразмерности $4/2=2$ выглядят так:
\begin{gather*}
x_1 = x_2 = x_3 = 0,\\
x_1 = x_2 = y_3 = 0.
\end{gather*}
Их пересечение имеет вид $x_1 = x_2 = x_3y_3 = 0$,
что равносильно $x_1 = x_2 = 0$.
Почему-то это условие равносильно $x_3 = y_3 = 0$.
\end{example}

\end{document}
