\documentclass[a4paper]{article} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[russian]{babel} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{fullpage} \usepackage{rotating} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{mathtools} \usepackage{bbm} \usepackage[unicode,colorlinks=true,pagebackref=true]{hyperref} \usepackage[all]{xy} \usepackage{microtype} \usepackage{amsthm} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{calc} \usetikzlibrary{through} \DeclareFontFamily{OT1}{pzc}{} \DeclareFontShape{OT1}{pzc}{m}{it}{<-> s * [1.1] pzcmi7t}{} \DeclareMathAlphabet{\mathpzc}{OT1}{pzc}{m}{it} \DeclareMathOperator{\PGSp}{PGSp} \DeclareMathOperator{\PGO}{PGO} \DeclareMathOperator{\ind}{ind} \DeclareMathOperator{\End}{End} \DeclareMathOperator{\Gr}{Gr} \DeclareMathOperator{\Cent}{Cent} \DeclareMathOperator{\Spec}{Spec} \DeclareMathOperator{\Map}{Map} \DeclareMathOperator{\GW}{GW} \DeclareMathOperator{\rk}{rk} \DeclareMathOperator{\Br}{Br} \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} \DeclareMathOperator{\Lie}{Lie} \DeclareMathOperator{\PGL}{PGL} \DeclareMathOperator{\GL}{GL} \DeclareMathOperator{\SL}{SL} \DeclareMathOperator{\fchar}{char} \DeclareMathOperator{\tr}{tr} \DeclareMathOperator{\Iso}{Iso} \DeclareMathOperator{\SB}{SB} \DeclareMathOperator{\SO}{SO} \DeclareMathOperator{\Spin}{Spin} \DeclareMathOperator{\Isom}{Isom} \DeclareMathOperator{\im}{im} \DeclareMathOperator{\disc}{disc} \DeclareMathOperator{\Stab}{Stab} \DeclareMathOperator{\Nrd}{Nrd} %\DeclareFontFamily{OT1}{pzc}{} %\DeclareFontShape{OT1}{pzc}{m}{it}{<-> s * [1.2] pzcmi7t}{} %\DeclareMathAlphabet{\mathpzc}{OT1}{pzc}{m}{it} \newcommand{\categ}{\mathpzc} \renewcommand{\O}{\mathrm{O}} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \newcommand{\ph}{\varphi} \renewcommand{\emptyset}{\varnothing} \newcommand{\term}{\textbf} \newcommand{\rdfn}{=\mathrel{\mathop:}} \newcommand{\dfn}{\mathrel{\mathop:}=} \newcommand{\isom}{\simeq} \newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection] \newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма} \newtheorem{proposition}[theorem]{Утверждение} \theoremstyle{definition} \newtheorem{example}[theorem]{Пример} \newtheorem{fact}[theorem]{Факт} \newcommand{\la}{\langle} \newcommand{\ra}{\rangle} \newcommand{\lAngle}{\langle\!\langle} \newcommand{\rAngle}{\rangle\!\rangle} \newcommand{\trleq}{\trianglelefteq} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\TBW}{\textbf{TBW}} \begin{document} \author{Иван Панин\and Виктор Петров} \title{Мотивы Воеводского и арифметика линейных алгебраических групп \footnote{Конспект лекций семинара весны 2012 года; предварительная версия. Автор \TeX-версии~--- Александр Лузгарев. Основано на конспекте Алексея Бешенова первых двух лекций.}} \date{2012} \maketitle \section{Введение} \subsection{Планы} % 13.02.2012 Работа Панина и Пименова о квадратичных формах. Простая формулировка. {\it Пусть $K = \mathbb{C} (z_1,\ldots,z_n)$ и $R \dfn \{ \frac{g(z)}{h(z)} \mid h(0) \ne 0 \} \subset K$~--- регулярные функции в окрестности $0$. Пусть $u \in R^\times$. Рассмотрим уравнение \[ T_1^2 + \cdots + T_k^2 = u. \] \noindent (Предполагаем $k \ge 2$.) Если уравнение имеет решение в $K$, то оно имеет решение и в $R$.} \vspace{2em} Интересующая нас задача: классифицировать простые алгебраические группы над произвольным полем (или локальным регулярным кольцом). В каком смысле~--- мы объясним. Что такое простые алгебраические группы~--- это обсуждается в записках спецкурса. \vspace{2em} Как все знают, над алгебраически замкнутыми полями классификацию простых алгебраических групп дают диаграммы Дынкина. Среди них~--- четыре бесконечные серии, которым соответствуют следующие присоединенные группы: \begin{itemize} \item $A_n$~--- $\PGL_{n+1}$. \item $B_n$~--- $\SO_{2n+1}$. \item $C_n$~--- $\PGSp_{2n}$. \item $D_n$~--- $\SO_{2n}$. \end{itemize} Исключительные группы: $E_6$, $E_7$, $E_8$, $F_4$, $G_2$. Имеется точная последовательность \[ 1 \to \mu_n \to \SL_n \to \PGL_n \to 1. \] <<Теорема типа Спрингера>>: \emph{пусть $G$ и $G^\prime$~--- группы типа $G_2$ над полем $K$. Пусть расширение $[L : K]$ нечетное. Тогда если $G_L \isom G_L^\prime$, то $G \isom G^\prime$.} С точностью до каких-то тонкостей, имеем \[ H^1 (K, G_0^{ad}) \approx \{\text{присоед. простые алг. группы над }K\text{ того же типа, что и }G_0\}. \] Это соответствие функториально в том смысле, что расширение полей $L/K$ индуцирует морфизм $H^1 (K,G^{ad}) \to H^1 (L,G^{ad})$. Наша высокая цель~--- построить функтор $F$, сопоставляющий полям абелевы группы с гомоморфизмом следа, так что конечное расширение $[L:K]$ давало бы морфизм $F(L) \to F(K)$ и естественное преобразование \[ H^1 (K,G_0^{ad}) \to F(K). \] Например, для $G_0 = \PGL_2 = \Aut (M_2)$ ответ такой: \[ F\colon K \rightsquigarrow K_2^M (K) / 2, \] \noindent где $K_2^M (K) = I^2(K) / I^3 (K)$. \subsection{Теорема Меркурьева--Суслина и гипотеза Блоха--Като} Пусть $A$~--- центральная простая алгебра над полем $K$ (более общее понятие~--- \term{алгебра Азумайи}, \term{Azumaya algebra}). Ей соответствует элемент $[A]$ в группе Брауэра $\Br (K)$. \begin{itemize} \item \textbf{Теорема Меркурьева} (1981)~--- изоморфизм ${}_2 \Br(K) \isom K_2^M / 2$, а также следствие про $[A] \in {}_2 \Br(K)$. [\url{http://www.mathunion.org/ICM/ICM1986.1/Main/icm1986.1.0389.0393.ocr.pdf}] [\url{http://www.math.ethz.ch/~knus/sridharan/merkurjev84.pdf}] \item \textbf{Теорема Меркурьева--Суслина} (1982)~--- изоморфизм ${}_p \Br(K) \isom K_2^M / p$. [L.H. Rowen, Ring theory, Vol. 2, \S 7.2] \item \textbf{Гипотеза Блоха--Като} (<>)~--- $K_n^M/p (-) \isom H^n_\text{ét} (-, \mu_p^{\otimes n})$. [\url{http://arxiv.org/abs/0805.4430}] \end{itemize} \subsection{Кольцо Гротендика--Витта} $H^1 (K, \O_n)$~--- это классы изометрии невырожденных квадратичных форм ранга $n$. Имеется функтор в кольцо Витта \[ H^1 (K, \O_n) \to W(K), \quad f \mapsto [f]. \] Разберемся, что такое \term{кольцо Витта} $W(K)$. Его образующие~--- классы изометрии квадратичных форм над $K$, а соотношения выглядят так: \begin{gather*} [f] + [g] = [f \perp g],\\ [f]\cdot [g] = [f\otimes g],\\ \mathbb{H} = 0, \end{gather*} где $\mathbb{H}$~--- класс изометрии двумерной квадратичной формы $f(x,y)=xy$, а $f \perp g$ имеет следующий смысл. Если $f$~--- квадратичная форма на $V$, а $g$~--- квадратичная форма на $W$, то на $V\oplus W$ задается квадратичная форма $(f\perp g) (u\oplus v) \dfn f(u) + g(v)$. Имеется корректно определенный гомоморфизм \begin{eqnarray*} \rk\colon W(K) & \to & \mathbb{Z}/2,\\ {}[f] & \mapsto & \rk f \mod 2. \end{eqnarray*} $I \dfn \ker \rk$ называется \term{фундаментальным идеалом}. \term{Кольцо Гротендика--Витта} $GW (K)$ определяется следующим образом. В нем те же образующие, но нет условия $[xy] = 0$. Сначала определяется сложение и умножение, делающее $GW (K)$ полукольцом: \begin{gather*} [f] + [g] = [f \perp g],\\ [f]\cdot [g] = [f\otimes g]. \end{gather*} Потом мы берем группу Гротендика и получаем кольцо. \subsection{$\mathbb{A}^1$-гомотопии и гипотеза Мореля} [\url{http://mathunion.org/ICM/ICM1998.1/Main/00/Voevodsky.MAN.ocr.pdf}] $\mathbb{A}^1$-гомотопическая категория пространств с отмеченными точками над $K$. Сфера $S^0 = \{ +, \bullet \}$ состоит из двух точек, из которых $\bullet$~--- отмеченная. Теорема Мореля (1999?) состоит в вычислении \[ \pi_0^{stab} (S^0) \isom \GW (K) \] Fabien Morel, On The Motivic $\pi_0$ of the Sphere Spectrum.\\ \url{http://dx.doi.org/10.1007/978-94-007-0948-5_7} Желаемый функтор $F$ мог бы давать $H^1 (K,G) \to H_0^{\mathbb{A}^1} (B^\text{èt} G)$. Аналог этого в топологии следующий. Пусть задано главное $G$-расслоение $\mathfrak{g} \to X$ для клеточного пространства $X$. Сопоставим ему отображение в классифицирующее пространство $X \xrightarrow{f_\mathfrak{g}} BG$. Существует соответствие между множеством классов изоморфности главных $G$-расслоений над $X$ и гомотопическими классами $[X,BG]$. Имеется инъекция \[ [X,BG] = \pi_0 (\Map (X,BG)) \hookrightarrow H_0 (\Map (X,BG)). \] Гипотеза Мореля заключается в том, что в алгебраической ситуации тоже получается инъекция \[ [\Spec K, B^\text{èt} G] = \pi_0^{\mathbb{A}^1} (B^\text{èt} G) \hookrightarrow H_0^{\mathbb{A}^1} (B^\text{èt} G). \] \subsection{Формы Пфистера} Рассмотрим фильтрацию на кольце Витта \[ W(K) \supset I \supset I^2 \supset I^3 \supset \cdots \] \begin{theorem} $\bigcap_n I^n = \{0\}$. \end{theorem} Мы уже знаем, что $W(K) / I = \mathbb{Z}/2$. $I/I^2$ как абелева группа порождается элементами вида $\lAngle a\rAngle \dfn x^2 - a\,y^2$ для некоторого $a\in K^\times$. Более общо, $I^n/I^{n+1}$ порождается тензорными произведениями элементов \[ \lAngle a_1, \ldots, a_n\rAngle = \lAngle a_1\rAngle\otimes\cdots\otimes\lAngle a_n\rAngle. \] $\lAngle a_1, \ldots, a_n\rAngle$ называется \term{$n$-кратной формой Пфистера}. \begin{example} При $n = 1$ имеем $a \in K^*/(K^*)^2$; $K (\sqrt{a})$~--- квадратичное расширение. При $n = 2$ символ $\lAngle a,b\rAngle$ есть норма алгебры кватернионов $H = (a,b)$ над $K$. При $n = 3$ символ $\lAngle a,b,c\rAngle$ есть норма алгебры октонионов $(a,b,c)$ над $K$ (что соответствует группам типа $G_2$ над $K$). \end{example} \begin{theorem}[Арасон] Если $[q] \in I^n$, то $\rk q \ge 2^n$. Если при этом $\rk q = 2^n$, то $q \isom \alpha \cdot \lAngle a_1,\ldots,a_n \rAngle$, где $\alpha \in K^\times$. В частности, $\bigcap I^n = 0$. \end{theorem} \begin{itemize} \item $e_0 (q) \dfn \rk q \mod 2$. \item Если $e_0 = 0$, то $[q] \in I$. Определим $e_1 (q) \dfn [\![q]\!] \in I/I^2$. Этому соответствует $\lAngle a\rAngle$, где $a$~--- дискриминант $q$ (с точностью до знака?). \item Если $e_1 = 0$, то $e_2 (q) \dfn [\![ q ]\!] \in I^2/I^3$. Форме $q$ можно сопоставить $C_0^+ (q)$, четную положительную часть алгебры Клиффорда, это будет центральная простая алгебра. Имеем $[C_0^+ (q)] \in {}_2 \Br (K)$. По теореме Меркурьева, это сумма \[ [(a_1,b_1)]\,[(a_2,b_2)]\cdots [(a_k,b_k)] \] \[ \lAngle a_1,b_1\rAngle + \lAngle a_2,b_2\rAngle + \cdots +\lAngle a_k,b_k\rAngle. \] \item Если $e_2 (q) = 0$, то можно определить $e_3 (q)$~--- \term{инвариант Арасона}. \end{itemize} \subsection{Торсоры} Пусть $G$~--- простая алгебраическая группа над $K$. \term{$G$-торсором} называется многообразие $X$ над $K$, такое что \begin{itemize} \item определено действие $G\times X\to X$; \item над алгебраическим замыканием $\overline{K}$ имеется изоморфизм $X_{\overline{K}} \isom G_{\overline{K}}$ (как многообразий с $G$-действием). \end{itemize} Раньше торсоры назывались <<главными однородными пространствами>> (principal homogeneous space). \begin{example} Действие $G$ сдвигами на себе дает \term{тривиальный $G$-торсор}. \end{example} По определению, $H^1 (K;G)$ есть множество классов изоморфности $G$-торсоров с отмеченной точкой (тривиальный $G$-торсор). \begin{example} Зафиксируем $a\in K$. Для каждой $K$-алгебры $R$ положим $\mu_2(R) = \{ x\in R\mid x^2 = 1 \}$, $X(R) \dfn \{ y\in R\mid y^2 = a\}$. Получаем схемы $\mu_2$ и $X$, причем $\mu_2$ действует на $X$ умножением: если $y^2 = a$, $x^2 = 1$, то $(x\,y)^2 = a$. \end{example} $X$~--- тривиальный $G$-торсор iff у него есть рациональная точка: $X (K) \ne \emptyset$. Если $G$~--- абелева группа, то на торсорах имеется сложение. При этом $H^1 (K,\mu_2) \isom K^* / (K^*)^2$ как абелева группа. И вообще $H^1 (K,\mu_n) \isom K^* / (K^*)^n$. \subsection{Скрученные формы} Напомним, что $\O_{2n} = \Aut (q_{split})$, где $q_{split} = x_1\,y_1 + \cdots + x_n\,y_n$~--- \term{расщепимая форма} (от переменных $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n$. $H^1 (K, \O_{2n})$ можно отождествить с множеством классов изометрии невырожденных квадратичных форм ранга $2n$. Действительно, пусть $q$~--- квадратичная форма, Мы утверждаем, что $\Iso (q_{split}, q)$ есть искомый торсор: на нем действует $\O_{2n}$. Здесь $\Iso(\ph,\psi)$ обозначает функтор изоморфизмов между квадратичными формами $\ph$ и $\psi$; более точно, $\Iso(\ph,\psi)(R) = \{f\colon\ph_R\to\psi_R\mid\mbox{$f$~--- изоморфизм}\}$. Над алгебраически замкнутым полем $q$ изоморфна $q_{split}$, и получается $\Iso (q_{split},q_{split})=\Aut (q_{split})=\O_{2n}$. Пусть $A$~--- некоторая алгебраическая структура над полем $K$ (например, квадратичное пространство, конечномерная ассоциативная алгебра, конечномерная неассоциативная алгебра). Тогда \term{скрученная форма $A^\prime$} для $A$ есть такая структура над $K$, что при переходе к алгебраическому замыканию $A^\prime_{\overline{K}} \isom A_{\overline{K}}$. \noindent\textbf{Теорема}. $H^1 (K, \Aut(A))$ есть множество классов изоморфности скрученных форм $A$ над $K$. Изоморфизм такой: \[ A' \xmapsto{\sim} \Iso (A,A^\prime). \] На $\Iso (A,A^\prime)$ есть структура алгебраического многообразия. \vspace{2em} \noindent\textbf{Замечание}. Пусть $X$~--- проективное многообразие над $K$. Теорема (Гротендик): \emph{функтор $U \mapsto \Aut_U (X\times U)$ представим в схемах}; то есть, существует схема $R$ такая, что $\Aut_U(X\times U)$ естественно изоморфно $\Hom(U,R)$. \vspace{2em} Контрпример: $\Aut (\mathbb{A}^n)$ не конечномерно. Пример: $A \dfn M_n (K)$. $\Aut (A) = \PGL_n$.\\ $H^1 (K, M_n(K))$~--- это скрученные формы $M_n (K)$, то есть центральные простые алгебры размерности $n^2$, взятые с точностью до изоморфизма. $\Aut (\mathbb{P}^{n-1}) = \PGL_n = \GL_n / \mathbb{G}_m$. Автоморфизмы сохраняют ранг. $H^1 (K, \PGL_n)$ есть множество скрученных форм $\mathbb{P}^{n-1}$ над $K$ = \term{многообразия Севери--Брауэра}. \[ A \mapsto \SB (A) = \{ \text{левые идеалы $I\trleq A$}\mid \dim_K(I)=n \} \] Пример при $n=2$: кватернионы $A = (a,b)$. $\beta\,u + \gamma\,v + \delta\,u\,v$. Имеем векторное пространство $u,v,uv$. Условие $\{ \text{норма} = 0 \}$ задает проективное подмногообразие в $\mathbb{P}^2$. $x^2 - a\,y^2 - b\,z^2 = 0$~--- коника. \begin{eqnarray*} \PGL_2 & \isom & \SO_3, \\ \{\text{кватернионы}\} & \isom & \{\text{формы ранга }3\text{ с трив. дискриминантом}\}. \end{eqnarray*} \subsection{Точные последовательности алгебраических групп} Точность последовательности алгебраических групп над $K$ \[ 1 \to C \to H \to G \to 1 \] \noindent означает следующее: \begin{enumerate} \item $C$~--- алгебраическая подгруппа в $H$. \item После расширения скаляров $H (\overline{K})\to G (\overline{K})$ является сюръекцией \emph{над алгебраическим замыканием поля $K$}. \item $C = \ker (H\to G)$, $C(R) = \ker (H(R) \to G(R))$. \end{enumerate} \begin{example} Следующая последовательность алгебраических групп точна в указанном смысле: \[ 1 \to \mu_2 \to \mathbb{G}_m \to \mathbb{G}_m \to 1, \] \noindent где $\mathbb{G}_m (K) \dfn \{ (x,y)\in K^2 \mid x\,y = 1 \}$, и отображение $\mathbb{G}_m \to \mathbb{G}_m$ есть $x \mapsto x^2$ (это сюръекция над алгебраическим замыканием). \end{example} \begin{example} Следующая последовательность точна: \[ \mu_2 (K) \to K^\times \to K^\times \to H^1 (K,\mu_2) \to H^1 (K,\mathbb{G}_m) \to H^1 (K,\mathbb{G}_m). \] \end{example} \noindent (Отображение $K^\times \to K^\times$ есть $x \mapsto x^2$.) \begin{theorem}[Теорема Гильберта 90] \begin{gather*} H^1 (K,\mathbb{G}_m) = \{\bullet\},\\ H^1 (K,\GL_n) = \{\bullet\}. \end{gather*} \end{theorem} Из точности последовательности выше и теоремы 90 получается \[ H^1 (K,\mu_2) \isom K^\times / (K^\times)^2. \] \begin{example} Точная последовательность \[ 1 \to \SL_n \to \GL_n \xrightarrow{\det} \mathbb{G}_m \to 1. \] приводит к последовательности \[ \GL_n (K) \xrightarrow{\det} \mathbb{G}_m (K) \to H^1 (K,\SL_n) \to H^1 (K,\GL_n). \] Здесь $H^1 (K,\SL_n) = \{\bullet\}$ и $H^1 (K,\GL_n) = \{\bullet\}$. \end{example} \begin{example} \[ 1 \to \mu_n \to \SL_n \to \PGL_n \to 1. \] \[ \mu_n (K) \to \SL_n (K) \to \PGL_n (K) \to K^\times / (K^\times)^2 \to \{\bullet\} \to H^1 (K,\PGL_n). \] \[ 1 \to \mathbb{G}_m \to \GL_n \to \PGL_n \to 1. \] \end{example} \begin{example} \begin{eqnarray*} \SL_n & \to & \PGL_n,\\ g & \mapsto & (x \mapsto g\,x\,g^{-1}) \in \Aut (M_n). \end{eqnarray*} Это сюръекция алгебраических групп, но не сюръекция на точках. \[ 1 \to \mu_n \to \SL_n \to \PGL_n \to 1. \] \end{example} \begin{theorem} Если имеется точная последовательность $1 \to C \to H \to G \to 1$, то возникает точная последовательность множеств с отмеченной точкой \[ 1 \to C(K) \to H(K) \to G(K) \to H^1 (K,C) \to H^1 (K,H) \to H^1 (K,G). \] \end{theorem} См. книгу Серра <<Когомологии Галуа>>. % 27.02.2012 \subsection{Вторые когомологии} \begin{itemize} \item Напомним, что $H^1 (F,G)$~--- множество $G$-торсоров. \emph{Если $G$ коммутативна}, то это аффинная алгебраическая группа. (Как в этом случае умножаются торсоры?~--- Что-то типа $E_1 \mathop{*} E_2 = (E_1 \times E_2) / ((e_1,e_2) = (g\,e_1,g\,e_2))$.) \item $H^0 (F,G)$~--- это функтор $F \rightsquigarrow G(F)$, т.е. функтор точек. \emph{Если $G$ коммутативна}, то $H^i (F,G)$ можно определить как $i$-й производный функтор. При $i = 1$ это совпадает с первым определением. \end{itemize} \begin{theorem} Пусть имеется точная последовательность $1 \to C \to G \to H \to 1$. Предположим, что $C \le \Cent (G)$. Тогда точная последовательность продолжается до вторых когомологий: \[ 1 \to C(F) \to G(F) \to H(F) \to H^1 (F,C) \to H^1 (F,G) \to H^1 (F,H) \to H^2 (F,C). \] \end{theorem} \begin{example} $H^2 (F, \mathbb{G}_m)=\Br (F)$~--- \emph{группа Брауэра} поля $F$: она состоит из классов эквивалентности $[A]$ центральных простых алгебр $A$ над $F$; умножение выглядит так: $[A]\cdot [B]=[A\otimes_FB]$. Пусть $X$~--- квазипроективное многообразие. Тогда $H^2 (X,\mathbb{G}_m)_{tors} = \Br (X)$ (\emph{теорема Габбера} (Gabber)). (Загадочное замечание: подразумевается топология fppf, а для этальной топологии в определении торсора вместо $\overline{F}$ нужно взять $F^{sep}$.) \end{example} \begin{example}[Топологический аналог] Пусть $X$~--- хорошее топологическое пространство (например, область в $\mathbb R^n$, многообразие или CW-комплекс). Пусть $G$~--- топологическая группа (например, $S^1$, $S^3$, $\SL_2 (\mathbb{C})$, $\O_n (\mathbb{C})$). Имеется левое действие $G \times (G\times X) \to (G\times X)$, $g_1 \cdot (g_2,x) \mapsto (g_1\,g_2, x)$. Левое действие послойно и свободно на скрученной форме $G\times \mathcal{G} \to \mathcal{G}$. Для всех $x \in X$ возникает действие $G \times \mathcal{G} (x) \to \mathcal{G} (x)$. Здесь $\mathcal{G} (x) \isom G$, и этот изоморфизм зависит от $x$. $(\mathcal{G}, G\times \mathcal{G} \to \mathcal{G})$ в топологии называется \term{главным $G$-расслоением} (\term{principal $G$-bundle}). $\mathcal{G}/G = X$. \end{example} \begin{example} $\mathbb{C}^\times = \GL_1 (\mathbb{C}) = \Aut (\mathbb{C}^1)$. Пусть $L \to X$~--- комплексное линейное расслоение, $z (X)$~--- нулевое сечение. Рассмотрим отображение $\mathbb{C}^\times \times (L - z(X))\to (L - z(X))$, $(\lambda, v)\mapsto \lambda v$. Имеем изоморфизм $L(x) - 0\isom \mathbb{C}^\times$, зависящий от $x$. \begin{itemize} \item Тогда $H^1 (X,\mathbb{C}^\times)$~--- классы изоморфизма $\mathbb{C}^\times$-торсоров над $X$. Они соответствуют линейным расслоениям над $X$: расслоению $L$ соответствует описанный выше торсор $L - z(X)$, и по торсору $\mathcal G^\times$ можно построить расслоение $\mathcal L$. \item Таким образом, мы видим, что $H^1 (X, \Aut (\mathbb{C}^1))$~--- это скрученные формы расслоения $\mathbb{C}\times X$ над $X$. \item Аналогично, $H^1 (X, \Aut (\mathbb{C}^n))$~--- это (1) скрученные формы расслоения $\mathbb{C}^n\times X$ над $X$, то есть (2) векторные расслоения над $X$ со слоем $\mathbb{C}^n$ (с точностью до изоморфизма). \item Пусть $\Aut_{\mathbb{C}} (\mathbb{C}^{2n}, \sum u_i\,v_i)$~--- автоморфизмы, сохраняющие квадратичную форму. Тогда \[H^1 (X, \Aut_{\mathbb{C}} (\mathbb{C}^{2n}, \sum u_i\,v_i))\]--- это (1) скрученные формы расслоений вида $(\mathbb{C}^n\times X, \sum u_i,v_i) \to X$, то есть (2) векторные расслоения $E \to X$ со слоем $\mathbb{C}^n$ и с квадратичной формой в слоях. \item Рассмотрим $\Aut (M_n (\mathbb{C})) = \PGL_n (\mathbb{C})$. Тогда $H^1 (X, \Aut (M_n (\mathbb{C})))$~--- это скрученные формы расслоений вида $M_n (\mathbb{C})\times X \to X$. Например, по каждому расслоению $E\to X$ можно построить расслоение $\End(E)\to X$, и послойно $\End(E)(x)=\End(E(x))$. Но бывают и расслоения, не изоморфные никакому $\End(E)\to X$~--- это нетривиальные топологические алгебры Адзумайи. \end{itemize} \end{example} Имеется точная последовательность \[ 1 \to \mathbb{C}^\times \to \GL_n (\mathbb{C}) \to \PGL_n (\mathbb{C}) \to 1. \] Отсюда получается точная последовательность \begin{gather*} 1 \to \Gamma (X, \mathbb{C}^\times) \to \Gamma (X, \GL_n (\mathbb{C})) \to \Gamma (X, \PGL_n (\mathbb{C})) \to \\ \to H^1 (X,\mathbb{C}^1) \to H^1 (X,\GL_n (\mathbb{C})) \to H^1 (X, \PGL_n (\mathbb{C})) \to H^2 (X, \mathbb{C}^\times). \end{gather*} \term{Топологическая группа Брауэра} есть $\Br_{top} (X) \dfn H^2_{top} (X, \mathbb{C}^\times)$. \begin{example} Мы утверждаем, что \[ H^2 (X, S^1) \twoheadrightarrow H^3 (X, \mathbb{Z})_{tors}. \] Заметим, что $\mathbb{C}^\times \isom S^1 \times \mathbb{R}$. Имеем точную последовательность \[ 0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{R} \to S^1 \to 0, \] откуда получаем точную последовательность \[ H^2(X,\mathbb{Z})\to H^2(X,\mathbb{R}\to H^2(X,S^1)\to H^3(X,\mathbb Z)\to H^3(X,\mathbb R)=H^3(X,\mathbb Z)\otimes \mathbb R.\] Обозначим отображение $H^3(X,\mathbb Z)\to H^3(X,\mathbb Z)\otimes\mathbb R$ через $\alpha$. Тогда связывающий гомоморфизм дает нам отображение $H^2(X,S^1)\to\ker(\alpha)=H^3(X,\mathbb Z)_{tors}$. На самом деле, \[ \Br_{top} (X) = H^3 (X,\mathbb{Z})_{tors}. \] Нечто такое написано как определение (у Серра? Гротендика?). \end{example} А какие нам известны нетривиальные скрученные формы алгебры $M_n (K)$? Так это и есть центральные простые алгебры. Имеем точную последовательность $1 \to \mathbb{G}_m \to \GL_n \to \PGL_n \to 1$, откуда \[ H^1 (F,\GL)_n \to H^1 (F, \PGL_n) \to H^2 (F,\mathbb{G}_m). \] При этом $H^1 (F,\GL)_n = \{ \bullet \}$, и $H^1 (F, \PGL_n)$~--- центральные простые алгебры степени $n$. Это отображение дает изоморфизм % ??? \begin{eqnarray*} \Br (F) & \isom & H^2 (F,\mathbb{G}_m),\\ A & \mapsto & [A]. \end{eqnarray*} % тут пропущен кусок про умножение в H^1??? Имеется точная последовательность \[ 1 \to \mu_n \to \mathbb{G}_m \to \mathbb{G}_m \to 1, \] где $\mathbb{G}_m \to \mathbb{G}_m$~--- отображение $x \mapsto x^n$. Получаем точную последовательность \[ \xymatrix{ H^1 (F,\mathbb{G}_m) \ar[r]\ar@{=}[d] & H^2 (F,\mu_n) \ar[r] & H^2 (F,\mathbb{G}_m) \ar[r]\ar@{=}[d] & H^2 (F,\mathbb{G}_m)\ar@{=}[d] \\ \{ \bullet \} & & \Br (F) \ar[r]^{\cdot n} & \Br (F) }, \] откуда $H^2 (F,\mu_n) = {}_n \Br (F)$. Еще один пример: пусть $\fchar F \ne 2$. Имеется точная последовательность \[ 1 \to \SO_n \to \O_n \xrightarrow{\det} \mu_2 \to 1. \] Тогда \[ \O_n (F) \twoheadrightarrow \mu_2 (F) \to H^1 (F,\SO_n) \to H^1 (F,\O_n) \xrightarrow{\disc} H^1 (F,\mu_2)=F^*/(F^*)^2. \] Отсюда $H^1 (F,\SO_n)$ (невырожденные квадратичные формы дискриминанта 1)~--- подмножество в $H^1 (F,\O_n)$ (невырожденные квадратичные формы ранга $n$ с точностью до изометрии). Это дает нам инвариант $\disc=e_1\colon I\to I/I^2\isom F^*/(F^*)^2$. Еще один пример: \[ 1 \to \mu_2 \to \Spin_n \to \SO_n \to 1. \] \[ \Spin_n (F) \to \SO_n (F) \xrightarrow{N} H^1 (F,\mu_2) \xrightarrow{0} H^1 (F,\Spin_n) \to H^1 (F,\SO_n) \xrightarrow{e_2} H^2 (F,\mu_2). \] Здесь \begin{itemize} \item $H^2 (F,\mu_2) = {}_2 \Br (F)$. \item $N$~--- \term{спинорная норма}. А именно, каждый элемент $\SO_n$ раскладывается в произведение отражений $g = S_{v_1} \cdots S_{v_{2k}}$; тогда $N(g) \dfn q (v_1) \cdots q (q_{2k}) \pmod{(F^\times)^2}$. \item Отображение $\Spin_n(F)\to\SO_n(F)$ уже не обязательно является сюръективным. \item Мы не знаем, что такое $H^1(F,\Spin_n)$. Отображение $H^1(F,\mu_2)\to H^1(F,\Spin_n)$ равно $0$ по теореме Эйхлера. \end{itemize} Самая правая стрелка в этой длинной последовательности дает нам инвариант $e_2\colon I^2 \to I^2 / I^3 = {}_2 \Br (F)$. Его можно описать так: по форме $q$ можно построить алгебру Клиффорда $C(q)$ с четной частью $C_0(q)$. Тогда $e_2$ сопоставляет форме $q\in I^2$ класс $[C^+_0(q)]$ в $\Br(F)$. Пусть $E$~--- левый $G$-торсор, $G$ действует на $X$ справа. Рассмотрим скрученную форму $X$ \[ {}_EX \dfn (X\times E)/ \! {(x,e) \sim (x\,g^{-1}, g\,e)}. \] На ней действует ${}_EG$. Действительно, ${}E_G=\Aut_{G-\text{торс}}(E)$~--- автоморфизмы $E$ как $G$-торсора. ${}_EG$ является группой (тут $G$ действует сопряжениями на себе). % тут пропущен кусок??? \begin{example} Рассмотрим $H^1 (F,\O_n)$. $E \in H^1 (F,\O_n)$ задается квадратичной формой $q$, и $q$ должна быть формой расщепимой квадратичной формы $q_0$. При этом $E = \Isom (q_0, q)$. $O (q_0)$ действует на квадрике $Q_0 \dfn \{ q_0 = x_1\,y_1 + \cdots + x_n\,y_n = 0 \} \subseteq \mathbb{P}^{2n-1}$. После подкрутки: ${}_EQ_0 = \{ q = 0 \}$ и на ${}_EQ_0$ действует группа $O(q)={}_EO(q_0)$. \end{example} \subsection{Многообразия Севери--Брауэра} \begin{example} Рассмотрим $H^1 (F, \PGL_n)$. Торсор $E\in h^1(F,\PGL_n)$ задается центральной простой алгеброй $A$ степени $n$: $E = \Isom_{F\text{-}\categ{Alg}} (M_n, A)$. Напомним, что $\PGL_n=\Aut(M_n)$. %Что такое $\mathbb{P}^{n-1}$? Каждому вектору $v \in \mathbb{A}^n - \{ 0 \}$ соответствует правый идеал $\{x\mid \im x\leq \left\}$ в $M_n$. Множество всех идеалов, получающихся таким образом~--- это в точности множество правых идеалов размерности $n$. %$\left \rightsquigarrow \text{правый идеал в } M_n \{ x \mid %\im x \subseteq \left \}$. ${}_E\mathbb{P}^{n-1}$~--- Множество правых идеалов размерности $n$ в $A$~--- \term{многообразие Севери--Брауэра} $\SB (A)$. Уравнения: \[ \SB (A) \dfn \{ W \subset A \mid W\cdot A \subseteq A \}. \] Таким образом, \[ \SB (A) \hookrightarrow \Gr (n,A) = \Gr (n,n^2). \] \[ \xymatrix{ A\times \SB(A) & A\times \Gr (n,n^2) \\ \left.\tau\right|_{\SB (A)}\ar[d]\ar@{^(->}[u] & \tau_n\ar[d]\ar@{^(->}[u] & W\ar[d] \\ \SB (A)\ar@{^(->}[r] & \Gr (n,n^2) & \{ w \} } \] \end{example} \begin{lemma} $\End_{\SB (A)} (J_A) \isom A$ (эндоморфизмы расслоения). \end{lemma} Поэтому два описания $H^1(F,\PGL_n)$~--- как алгебры Адзумайи и как формы $\mathbb P^{n-1}$~--- эквивалентны. \begin{proposition} Подрасслоение $\left.\tau\right|_{\SB(A)}$ выдерживает правое $A$-действие на $A\times \SB(A)$. $J_A \dfn \left.\tau\right|_{\SB (A)}$. \end{proposition} \begin{example} $\Gr (K,n)$ (линейные $k$-мерные подпространства в $\mathbb{A}^n$). Если $U$~--- $k$-мерное подпространство в $\mathbb{A}^n$, то $\{ x \mid \im x \subseteq U \}$~--- правый идеал в $M_n$ размерности $kn$. $\SB_k (A)$~--- обобщенное многообразие Севери--Брауэра~--- многообразие правых идеалов размерности $k$. \end{example} $\Gr (k,n) \isom \Gr (n-k, n)$ (напомним, что это не канонический изоморфизм). Аналог этой двойственности: $\SB_k (A) \isom \SB_{n-k} (A^{op})$. \begin{proposition} $\SB (A) (F) \ne \emptyset \Rightarrow A \isom M_n$. $\SB_k (A) (F) \ne \emptyset \Rightarrow \ind A \mid k$. \end{proposition} (Напомним, что такое $\ind$. Для центральной простой алгебры $A$ имеем $A \isom M_m (D)$, где $D$~--- тело. $m \cdot \deg D = n$. $\deg D \rdfn \ind A$, где $\deg D \dfn \sqrt{\dim D}$.) Скрученные формы $\mathbb{P}^{n-1}$~--- это скрученные формы $M_n$. Имеем $\Aut (\mathbb{P}^{n-1}) = \PGL_n$. Предположим $\fchar F \ne 2$. $\Aut(q_0) = O(q_0)$. $\Aut (Q_0)^+ = \PGO (q_0)$, где $Q_0$~--- квадрика $\{ q = 0 \}$. $H^1 (F, \PGO (q_0))$~--- классы $(A,\sigma)$ изоморфности центральных простых алгебр $A$ с ортогональной инволюцией $\sigma$. \[ \{ \text{правые идеалы }I\text{ в }(A,\sigma)\text{ размерности }\deg A \mid \sigma (I) \cdot I = 0 \} \rdfn X_{(A,\sigma)} \hookrightarrow \SB(A). \] При поднятии до $\overline{F}$ получаем: \[ Q_{\sigma (q_{\overline{F}})} \hookrightarrow \mathbb{P}^{\deg A - 1}_{\overline{F}} = \SB (A) \otimes_F \overline{F}. \] Вложение $X_{(A,\sigma)} \hookrightarrow \SB(A)$ есть аналог вложения квадрики в проективное пространство. % 05.03.2012 \section{Проективные однородные многообразия} \subsection{Первые примеры} Еще раз про аналогию с топологией: $E\to X$~--- торсор на топологическом пространстве $X$, $G$ действует на $E$. Существует покрытие $\{U_i\}$ пространства $X$ такое, что \[\begin{xymatrix}{U_i\times G\isom E|_{U_i}\ar[r]\ar[d] & E \\ U_i\ar@{^(->}[r] & X}\end{xymatrix}\] У нас: возьмем $X=\Spec K$. Пусть $E\to\Spec K$~--- торсор. Существует расширение полей $L/K$ такое, что торсор $E_L\to\Spec L$ изоморфен торсору $G_L\to\Spec L$. Мы хотим описать $H^1(K,G)$. Стратегия: для торсора $E$ и (гладкого проективного) $G$-многообразия $X$ мы определили ${}_EX$~--- ${}_EG$-многообразие (снова гладкое проективное), которое называется \emph{скрученной формой $X$}, то есть, \begin{itemize} \item $E_{\overline{K}}\isom G_{\overline{K}}$ как $G_{\overline{K}}$-многообразие, \item $({}_EG)_{\overline{K}}\isom G_{\overline{K}}$ как алгебраическая группа, \item $({}_EX)_{\overline{K}}\isom X_{\overline{K}}$ как $G_{\overline{K}}$-многообразие. \end{itemize} \begin{example} Пусть $A\in H^1(K,\PGL_n)$; то есть, $A$~--- центральная простая алгебра степени $n$. Положим $E=\Isom(M_n,A)$, $X=\mathbb P^{n-1}$, $G=\PGL_n$. Тогда ${}_EG=\Aut(A)$, ${}_EX=\SB(A)$~--- многообразие правых идеалов в $A$ размерности $n$. Заметим, что $\SB(A)(K)$ непусто тогда и только тогда, когда $A\isom M_n$. Вообще, свойства многообразия $\SB(A)$ отражают свойства исходного торсора. \end{example} \begin{example} Пусть $G=\O_n$, $q\in H_1(K,\O_n)$~--- невырожденная квадратичная форма ранга $n$. $E=\Isom(q_0,q)$, где $q_0$ расщепима (то есть, имеет вид $\langle 1,-1\rangle\perp\dots\perp\langle 1,-1\rangle$ плюс, возможно, слагаемое $\langle 1\rangle$). $X=\{q_0=0\}$ в проективном смысле. Тогда $Q={}_EX=\{q=0\}$. Заметим, что $Q(K)$ непусто тогда и только тогда, когда форма $q$ изотропна, то есть, $q\isom\langle 1,-1\rangle\perp q'$. Этот факт остается верным при любом расширении $L/K$: $Q(L)$ непусто тогда и только тогда, когда форма $q_L$ изотропна. \end{example} \begin{fact} Пусть $q$ имеет вид $\lAngle a_1,\dots,a_k\rAngle=\la 1,-a_1\ra\otimes\dots\otimes\la 1,-a_k\ra$. Тогда \begin{multline} \text{ Форма $q_L$ изотропна тогда и только тогда, когда она расщепима (то есть,} \\ \text{раскладывается в сумму форм вида $\la 1,-1\ra$).}\tag{*} \end{multline} Наоборот, если $\dim q$ четна и (*) выполнено для любого расширения полей, то $q$ пфистерова с точностью до скаляра. Если же $\dim q$ нечетна, то $q\perp\la 1\ra$ пфистерова с точностью до скаляра. \end{fact} Таким образом, от торсора $E$ можно переходить к многообразию ${}_EX$ (и можно варьировать $X$), смотреть на его инварианты (в смысле алгебраической геометрии) и получать отсюда информацию об инвариантах торсора. Пусть $X$~--- гладкое проективное многообразие. Мы ограничимся случаем, когда $X$ \emph{однородное}, то есть, $G(\overline{K})$ действует на $X(\overline{K})$ транзитивно (заметим, что это означает, что отображение $G\times X\to X\times X$, $(g,x)\mapsto (gx,x)$ сюръективно как пучок, а не в категорном смысле; категорное понятие эпиморфизма не подходит для наших целей: например, отображение $\Spec{\mathbb Q}\to\Spec{\mathbb Z}$ сюръективно в категории схем). Неформально говоря, у $G$ на $X$ одна орбита. Тогда $X$ называется \term{проективным однородным многообразием}. Как строить проективные однородные многообразия? Пусть $G$~--- расщепимая группа, $V$~--- неприводимое представление (в положительной характеристике нужно действовать осторожене). Рассмотрим $\mathbb P(V)$~--- многообразие прямых в $V$, проходящих через $0$. У группы $G$ есть ровно одна замкнутая орбита на $\mathbb P(V)$~--- это и есть наше $X$. На самом деле, все проективные однородные многообразия так получаются (но не обязательно единственным образом). \begin{example} $G=\SL_n$ действует на $V=K^n$ (имеется в виду обычное, \emph{векторное} представление). Пусть $u$, $v$~--- два вектора. Можно ли найти $g$ такое, что $\la gu\ra=\la v\ra$ (здесь через $\la x\ra$ мы обозначаем прямую, натянутую на $x$)? Ответ~--- можно, если $u$ и $v$ отличны от $0$. Значит, в $K^n$ есть две орбиты действия группы $G$: $\{0\}$ и $\{v\mid v\neq 0\}$. После проективизации в $\mathbb P(K^n)=\mathbb P^{n-1}$ остается только одна орбита. \end{example} \begin{example} $G=\SL_n$ действует на $V=\Lambda^k(K^n)$, $k=1,\dots,n-1$. На неразложимых поливекторых орбит много, но на разложимых действие транзитивно. Свойство <<быть разложимым>> определяется уравнениями Плюккера. Орбита в $\mathbb P(\Lambda^k(K^N))$~--- это $\Gr(k,n)$. Пусть, к примеру, $n=4$, $k=2$. Диаграмма Хассе весов нашего представления выглядит так: \[ \begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin, aln/.style={above left=-2pt}, arn/.style={above right=-2pt}, bln/.style={below left=-2pt}, brn/.style={below right=-2pt}, every label/.style={above=2pt}] \def\sm{0.7} \coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$); \coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$); \coordinate (3) at ($\sm*(2.4, 1)$); \coordinate (4) at ($\sm*(2.4, -1)$); \coordinate (5) at ($\sm*(3.4, 0)$); \coordinate (6) at ($\sm*(4.8, 0)$); \draw (1)--node[above] {$2$}(2); \draw (2)--node[aln] {$1$}(3); \draw (2)--node[bln] {$3$}(4); \draw (3)--node[arn] {$3$}(5); \draw (4)--node[brn] {$1$}(5); \draw (5)--node[above] {$2$}(6); \foreach \point in {1,2,3,4,5,6} { \fill [white] (\point) circle (2.0pt); \draw [black] (\point) circle (2.0pt); } \end{tikzpicture} \] Разложимый тензор задается двумя векторами. Запишем их в базисе $(e_1,e_2,e_3,e_3)$: $(a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3+a_4e_4)\wedge(b_1e_1+b_2e_2+b_3e_3+b_4e_4)$. Обозначим координату тензора $x$ при бивекторе $e_i\wedge e_j$ через $x_{ij}$. Тогда разложимость $x$ равносильно обращению в $0$ выражения $x_{12}x_{34}-x_{13}x_{24}+x_{14}x_{23}$. Это следует, например, из соотношения на миноры матрицы $\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3&a_4\\b_1&b_2&b_3&b_4\end{pmatrix}$. \end{example} \subsection{Параболические подгруппы} Оказывается, любое $X$, являющееся орбитой в $\mathbb P(V)$, задается квадратичными уравнениями в проективных координатах. Пусть $v\in V$, $X=G\cdot\la v\ra$~--- орбита вектора $v$. Тогда $\Stab_G(\la v\ra)=P$~--- параболическая подгруппа в $G$. Проективное однородное многообразие задается подгруппой $P$ с точностью до сопряженности. Посмотрим, как тор $T$ в $G$ действует на вектор $v$. Из равенства $T\la v\ra=\la v\ra$ следует, что найдется $\lambda\colon T\to\mathbb G_m$ (\term{вес} неприводимого представления $V$) такое, что $tv=\lambda(t)v$ для всех $t\in T$. Представление задается своим старшим весом (точнее, орбитой веса относительно $W$, но в этой орбите есть единственный доминантный вес). %??? % $v$~--- вектор старшего веса. Пусть $\alpha_1,\dots,\alpha_l$~--- простые корни. Рассмотрим базис $\alpha_1^\vee,\dots,\alpha_l^\vee$ в двойственном пространстве, где $\alpha_i^\vee$ определяется равенством $\alpha_i^\vee(\beta) = \frac{2(\alpha_i,\beta)}{(\alpha_i,\alpha_i)}$. Пусть $\varpi_1,\dots,\varpi_l$~--- двойственный к нему базис. Таким образом, $\frac{2(\alpha_i,\varpi)}{(\alpha_i,\alpha_i)} = \delta_{ij}$. Эти элементы $\varpi_1,\dots,\varpi_l$ называются \term{фундаментальными весами}. Вес $\lambda$ раскладывается по этому базису следущим образом: $\lambda = \sum m_i\omega_i$. После этого $X$ (и $P$) зависит только от того, какие из $m_i$ не равны $0$. То есть, проективные однородные многообразия задаются подмножеством вершин на диаграмме Дынкина, состоящим из тех вершин, для которых $m_i\neq 0$. Мы будем их обводить на картинке. Например, картинка для проективного пространства такая: \[ \begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin] \def\sm{0.7} \coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$); \coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$); \coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$); \coordinate (3p) at ($\sm*(3.3, 0)$); \coordinate (d1) at ($\sm*(3.5, 0)$); \coordinate (d2) at ($\sm*(3.7, 0)$); \coordinate (d3) at ($\sm*(3.9, 0)$); \coordinate (4m) at ($\sm*(4.1, 0)$); \coordinate (4) at ($\sm*(4.6, 0)$); \coordinate (5) at ($\sm*(6.0, 0)$); \node at (1) [below=3pt,font=\scriptsize] {$1$}; \node at (2) [below=3pt,font=\scriptsize] {$2$}; \node at (3) [below=3pt,font=\scriptsize] {$3$}; \node at (4) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n-2$}; \node at (5) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n-1$}; \draw (1)--(2); \draw (2)--(3); \draw (3)--(3p); \draw (4m)--(4); \draw (4)--(5); \foreach \point in {1,2,3,4,5} { \fill [white] (\point) circle (2.0pt); \draw [black] (\point) circle (2.0pt); } \draw [black] (1) circle (5.0pt); \foreach \point in {d1,d2,d3} { \fill [black] (\point) circle (0.7pt); } \node (c) at ($\sm*(7.5, 0)$) {$\mathsf{A}_{n-1}$}; \end{tikzpicture} \] Это соответствует векторному представлению $V = V(\varpi_1)$ группы $\SL_n$. Вообще, если на диаграмме $\mathsf{A}_{n-1}$ обвести вершину с номером $k$, получится $\Gr(k,n)$. Есть еще, например, присоединенное представление: $\SL_n$ действует на своей алгебре Ли $\Lie(\SL_n)$. Картинка для этого представления такая: \[ \begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin] \def\sm{0.7} \coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$); \coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$); \coordinate (2p) at ($\sm*(1.9, 0)$); \coordinate (d1) at ($\sm*(2.1, 0)$); \coordinate (d2) at ($\sm*(2.3, 0)$); \coordinate (d3) at ($\sm*(2.5, 0)$); \coordinate (3m) at ($\sm*(2.7, 0)$); \coordinate (3) at ($\sm*(3.2, 0)$); \coordinate (4) at ($\sm*(4.6, 0)$); \node at (1) [below=3pt,font=\scriptsize] {$1$}; \node at (2) [below=3pt,font=\scriptsize] {$2$}; \node at (3) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n-2$}; \node at (4) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n-1$}; \draw (1)--(2); \draw (2)--(2p); \draw (3m)--(3); \draw (3)--(4); \foreach \point in {1,2,3,4} { \fill [white] (\point) circle (2.0pt); \draw [black] (\point) circle (2.0pt); } \draw [black] (1) circle (5.0pt); \draw [black] (4) circle (5.0pt); \foreach \point in {d1,d2,d3} { \fill [black] (\point) circle (0.7pt); } \node (c) at ($\sm*(6.1, 0)$) {$\mathsf{A}_{n-1}$}; \end{tikzpicture} \] Первая вершина соответствует $V$, последняя~--- $V^*$, в итоге получаем $V^*\otimes V\isom \End(V)$. Если обведена одна вершина ($V = V(\varpi_i)$), то $P$ называется \term{максимальной} параболической. Если все вершины обведены, то $P$ называется \term{борелевской} (это минимальная среди параболических). Любая гладкая замкнутая подгруппа, содержащая $B$, называется \term{параболической} и получается таким образом: $B\leq P \leq G$. Пусть теперь на диаграмме Дынкина системы $\mathsf{A}_{n-1}$ обведены вершины с номерами $k_1,\dots,k_m$. Полученное многообразие можно описать в терминах стандартного представления $V = K^n$ группы $\SL_n$. А именно, \[ X = \{U_1\leq\dots\leq U_m\mid \dim U_i = k_i\}. \] Такое $X$ называется \term{многообразием флагов}. При этом $\SL_n$ действует на $X$ транзитивно. Заметим, что тензорное произведение $V(\varpi_{k_1})\otimes\dots\otimes V(\varpi_{k_m}0$ уже не обязано быть неприводимым, но можно взять кусок, соответствующий весу $\varpi_{k_1} + \dots + \varpi_{k_m}$. Так мы описали все однородные проективные многообразия для группы $\SL_n$. В общем случае (для произвольной $G$) иногда однородное проективное многообразие называют \term{обобщенным флаговым многообразием}. Его можно описать так: \[ X = \{P'\leq G\mid P'\mbox{ сопряжена с }P\}, \] где значок $P'\leq G$ означает, что $P'$~--- гладкая замкнутая подгруппа в $G$. Более точно, \[ X(R) = \{P'\leq G_R \mid\mbox{существуют }S/R, g\in G(S):\; gP'g^{-1} = P\}. \] После подкрутки на торсор $E$ получаем \[ {}_{E}X = \{P'\leq {}_{E}G\mid P'_{\ol{K}}\mbox{ сопряжена с }P_{\ol{K}} \mbox{ внутри }({}_{E}G)_{\ol{K}} = G_{\ol{K}}\}. \] Обратите внимание, что в ${}_{E}G$ никакой $P$ может не оказаться. Проективное однородное многообразие $X$ \term{изотропно}, если $X(K)\neq\emptyset$. Сама группа ${}_{E}G$ называется \term{изотропной}, если для какого-то проективного однородного многообразия ${}_{E}X$, отличного от точки, ${}_{E}X$ изотропно. Пусть $G = \PGL_n$. Ее скрученная форма ${}_{E}G$ имеет вид $\Aut(A)$, а соответствующая скрученная форма проективного пространства~--- $\SB(A)$. Заметим, что у $\PGL_n$ (в отличие от $\SL_n$) нет векторного представления. Почему? Для начала поймем, откуда берется скрученная форма $\SL_n$. Отображение определителя $\det\colon\GL_n\to\mathbb{G}_m$ скручивается в \emph{приведенную норму} (\emph{reduced norm}) \[ \Nrd\colon A^* = \GL_1(A) \to \mathbb{G}_m. \] Ядро этого отображения обозначается через $\SL_1(A) = \{g\in A\mid\Nrd(g)=1\}$. Например, $(\Nrd(x))^n = \det(y\mapsto xy)$. Решетка корней содержится в решетке весов: \[ \mathbb{Z}\alpha_1\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}\alpha_l \leq \mathbb{Z}\varpi\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}\varpi_l \] Диаграммы Дынкина классифицируют расщепимые полупростые группы с точностью до изогении, а класс изоморфности внутри класса изогении задается промежуточной решеткой между этими двумя (с точностью до внешних автоморфизмов). Минимальная решетка $\mathbb{Z}\alpha_1\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}\alpha_l$ соответствует присоединенной группе (без центра); максимальная решетка $\mathbb{Z}\varpi_1\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}\varpi_l$ соответствует односвязной группе (у нее самый большой центр). \end{document}