Add acknowledgements

qforms.tex

@@ -103,6 +103,9 @@ Societe Mathematique de France, 2009.
 \par\noindent $\bullet$ Philippe Gille, Tam\'as Szamuely, {\it Central simple algebras and Galois cohomology}.
 Cam\-bridge University Press, 2006.
 
+\bigskip
+Автор благодарен Алексею Степанову за исправленные неточности и доказательство следствия~\ref{cor:isometry-extension}.
+
 %%========================================================================
 \section{Квадратичные формы: начало}
 
@@ -381,13 +384,11 @@ $\la a,b\ra\cong\la c,d\ra$ для некоторого $d\in k$. Из срав
 $$
 s_v(u)=u-2\frac{\ph(u,v)}{\ph(v,v)}v.
 $$
-%% \begin{AS}
 Простое вычисление показывает, что отражение является изометрией.
 \begin{lemma}
 Пусть $v_1,v_2\in V$ и $\ph(v_1)=\ph(v_2)\neq 0$. Тогда существует композиция отражений, 
 переводящая $v_1$ в $v_2$.
 \end{lemma}
-%% \end{AS}
 \begin{proof}
 Если $\ph(v_1-v_2)\neq 0$, то подойдет отражение относительно $v_1-v_2$: $s_{v_1-v_2}(v_1)=v_2$.
 Если $\ph(v_1+v_2)\neq 0$, то подойдет композиция отражения относительно $v_1+v_2$ ($s_{v_1+v_2}(v_1)=-v_2$)
@@ -397,7 +398,6 @@ $$
 что невозможно.
 \end{proof}
 
-%% \begin{AS}
 \begin{corollary}
 Любая изометрия невырожденного пространства есть композиция отражений.
 \end{corollary}
@@ -413,7 +413,6 @@ $$
 тех же самых отражений, рассматриваемых уже как преобразований всего пространства $V$.
 Перенося $S$ в другую часть, получаем, что и $T$ является композицией отражений.
 \end{proof}
-%% \end{AS}
 
 \begin{theorem}[Витта о сокращении]
 Если $q\perp\ph_1\cong q\perp\ph_2$, то $\ph_1\cong\ph_2$.
@@ -434,8 +433,7 @@ $\psi_2(v_2)=a$ и $\psi_2(Tv_1)=a$. По лемме найдется изоме
 Это означает, что ограничение $S^{-1}T$ на $W_1$ и дает нужную изометрию между $\ph_1$ и $\ph_2$.
 \end{proof}
 
-%% \begin{AS}
-\begin{corollary}[{\bf Теорема о продолжении изометрии}]
+\begin{corollary}[{\bf Теорема о продолжении изометрии}]\label{cor:isometry-extension}
 Пусть $(V,\ph)$~--- квадратичное пространство, $W_1,W_2$~--- подпространства в $V$ такие,
 что существует изометрия $\a\colon W_1\to W_2$. Тогда существует изометрия $\b\colon V\to V$ такая,
 что $\b|_{W_1}=\a$.
@@ -460,7 +458,6 @@ $$
 В этом случае нетрудно распространить изометрию на невырожденное подпространство, порожденное
 $u_1,\dots,u_{2s},v_1,\dots,v_r$, а затем использовать теорему о сокращении.
 \end{proof}
-%% \end{AS}
 
 \begin{corollary}
 Любая невырожденная форма $\ph$ представляется в виде