Fix the proof of Witt isometry theorem

qforms.tex

@@ -434,14 +434,15 @@ $\psi_2(v_2)=a$ и $\psi_2(Tv_1)=a$. По лемме найдется изоме
 \end{proof}
 
 \begin{corollary}[{\bf Теорема о продолжении изометрии}]\label{cor:isometry-extension}
-Пусть $(V,\ph)$~--- квадратичное пространство, $W_1,W_2$~--- подпространства в $V$ такие,
-что существует изометрия $\a\colon W_1\to W_2$. Тогда существует изометрия $\b\colon V\to V$ такая,
-что $\b|_{W_1}=\a$.
+Пусть $(V,\ph)$~--- квадратичное пространство, $W_1,W_2$~--- подпространства в $V$,
+и пусть $\a\colon W_1\to W_2$~--- изометрия между ними такая,
+что $\a(W_1\cap\rad V) = W_2\cap\rad V$.
+Тогда существует изометрия $\b\colon V\to V$ такая, что $\b|_{W_1}=\a$.
 \end{corollary}
 
 \begin{proof}
-Как и в доказательстве теоремы Витта о сокращении можно считать, что форма невырождена
-на $V$. 
+Сначала докажем теорему для случая $\rad V=0$ (то есть, форма $\ph$ невырождена на $V$).
+
 В случае, когда $W_1$ невырождено, утверждение следует из теоремы Витта о сокращении.
 Действительно, в этом случае $V$ раскладывается в прямую сумму $W_i$ и его ортогонального
 дополнения ($i=1,2$). По теореме о сокращении существует изометрия 
@@ -457,6 +458,33 @@ $$
 $$
 В этом случае нетрудно распространить изометрию на невырожденное подпространство, порожденное
 $u_1,\dots,u_{2s},v_1,\dots,v_r$, а затем использовать теорему о сокращении.
+
+Перейдем к общему случаю.
+Выберем подпространство $\tilde W_1$ такое, что
+$W_1 = (W_1\cap\rad V)\oplus\tilde W_1$,
+и расширим его до подпространства $\tilde V$ такого,
+что $V = \rad V \oplus\tilde V$.
+Тогда
+$$
+W_2 = \a(W_1) = \a(W_1\cap\rad V)\oplus \a(\tilde W_1) = (W_2\cap\rad V)\oplus \a(\tilde W_1).
+$$
+Расширим $\a(\tilde W_1)$ до подпространства $\tilde V'$
+так, что $V = \rad V\oplus\tilde V'$.
+Заметим, что теперь у нас есть два ортогональных дополнения
+до $\rad V$: $\tilde V$ и $\tilde V'$.
+По теореме о выделении регулярной части, невырожденные
+подпространства $\tilde V$ и $\tilde V'$ изометричны.
+К их подпространствам $\tilde W_1\leq\tilde V$
+и $\a(\tilde W_1)\leq\tilde V'$ можно применить только что
+доказанный случай невырожденный формы
+и получить изометрию $\tilde V\to \tilde V'$,
+продолжающую $\a_{\tilde W_1}$.
+Далее, изометрию $\a|_{W_1\cap\rad V}$ между $W_1\cap\rad V$
+и $\a(W_1\cap\rad V)$ можно продолжить до изометрии
+$\rad V\to\rad V$ произвольным линейным отображением,
+поскольку форма на этих подпространствах нулевая.
+Ортогональная прямая сумма этих двух изометрий
+дает нужную изометрию на $V$.
 \end{proof}
 
 \begin{corollary}