diff --git a/qforms.pdf b/qforms.pdf index 956c8a6..030da5a 100644 Binary files a/qforms.pdf and b/qforms.pdf differ diff --git a/qforms.tex b/qforms.tex old mode 100755 new mode 100644 index c99774b..327eb30 --- a/qforms.tex +++ b/qforms.tex @@ -6,8 +6,10 @@ \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsfonts, amssymb, amsmath, amsthm} \usepackage{multirow} - -\usepackage{ccfonts,eulervm,euler} +% \begin{AS} +\usepackage[unicode]{hyperref} +% \end{AS} +%\usepackage{ccfonts,eulervm,euler} \renewcommand{\bfdefault}{sbc} \theoremstyle{plain} { \swapnumbers @@ -98,11 +100,12 @@ \par\noindent $\bullet$ Albrecht Pfister, {\it Quadratic forms with applications to algebraic geometry and topology}, London Math. Soc. Lect. Notes 217, Cambridge University Press, 1995. \par\noindent $\bullet$ Bruno Kahn, {\it Formes quadratiques sur un corps}, -Société Mathématique de France, 2009. +Societe Mathematique de France, 2009. \par\noindent $\bullet$ конспект лекций Олега Ижболдина, 1997. \par\noindent $\bullet$ Philippe Gille, Tam\'as Szamuely, {\it Central simple algebras and Galois cohomology}. Cam\-bridge University Press, 2006. +%%======================================================================== \section{Квадратичные формы: начало} \subsection{Основные понятия} @@ -178,7 +181,7 @@ $$ {\bf Определителем} $\ph$ называется определитель матрицы Грама $\ph$. Заметим, что при замене базиса определитель матрицы Грама умножается на квадрат определителя -матрицы замены базиса; поэтому $\det(\ph)\in k^*/(k^*)^2\cup 0$~--- определен +матрицы замены базиса; поэтому $\det(\ph)\in k^*/(k^*)^2\cup\{0\}$~--- определен только с точностью до домножения на квадраты в поле $k$. Пусть $(V_1,\ph_1)$, $(V_2,\ph_2)$~--- два квадратичных пространства над $k$ размерностей @@ -372,6 +375,7 @@ $\la a,b\ra\cong\la c,d\ra$ для некоторого $d\in k$. Из срав пропорциональный можно заменить $d$ на $abc$. \end{proof} +%%================================================================================ \subsection{Теорема Витта о сокращении} Пусть $(V,\ph)$~--- квадратичная форма; $v$~--- анизотропный вектор. Определим отражение $s_v$ @@ -379,9 +383,13 @@ $\la a,b\ra\cong\la c,d\ra$ для некоторого $d\in k$. Из срав $$ s_v(u)=u-2\frac{\ph(u,v)}{\ph(v,v)}v. $$ +%% \begin{AS} +Простое вычисление показывает, что отражение является изометрией. \begin{lemma} -Пусть $v_1,v_2\in V$ и $\ph(v_1)=\ph(v_2)\neq 0$. Тогда существует изометрия $V$, переводящая $v_1$ в $v_2$. +Пусть $v_1,v_2\in V$ и $\ph(v_1)=\ph(v_2)\neq 0$. Тогда существует композиция отражений, +переводящая $v_1$ в $v_2$. \end{lemma} +%% \end{AS} \begin{proof} Если $\ph(v_1-v_2)\neq 0$, то подойдет отражение относительно $v_1-v_2$: $s_{v_1-v_2}(v_1)=v_2$. Если $\ph(v_1+v_2)\neq 0$, то подойдет композиция отражения относительно $v_1+v_2$ ($s_{v_1+v_2}(v_1)=-v_2$) @@ -391,16 +399,14 @@ $$ что невозможно. \end{proof} -% 1.03.2010 - +%% \begin{AS} \begin{corollary} -Любая изометрия есть композиция отражений. +Любая изометрия невырожденного пространства есть композиция отражений. \end{corollary} \begin{proof} -Пусть $T\colon V\to V$~--- изометрия; из доказательства теоремы~\ref{thm:regular_part} -(о выделении вполне изотропной части) понятно, что можно рассматривать только случай невырожденной формы. +Пусть $T:V\to V$ -- изометрия невырожденного квадратичного пространства $(V,\ph)$. Доказываем индукцией по $n=\dim V$; база $n=1$ очевидна. Пусть $n>1$. -Возьмем $v\in V$ такой, что $\ph(Tv)=\ph(v)\neq 0$. Из доказательства леммы следует, что найдется +Возьмем $v\in V$ такой, что $\ph(Tv)=\ph(v)\neq 0$. По лемме найдется композиция отражений $S\colon V\to V$ такая, что $Sv=Tv$. Отображение $S^{-1}T$, таким образом, является изометрией и оставляет $v$ на месте; значит, $S^{-1}T$ оставляет на месте и $W=(kv)^\perp$~--- подпространство размерности $n-1$. По предположению индукции изометрия $S^{-1}T|_W$ является композицией @@ -409,6 +415,8 @@ $$ тех же самых отражений, рассматриваемых уже как преобразований всего пространства $V$. Перенося $S$ в другую часть, получаем, что и $T$ является композицией отражений. \end{proof} +%% \end{AS} + \begin{theorem}[Витта о сокращении] Если $q\perp\ph_1\cong q\perp\ph_2$, то $\ph_1\cong\ph_2$. \end{theorem} @@ -427,14 +435,35 @@ $\psi_2(v_2)=a$ и $\psi_2(Tv_1)=a$. По лемме найдется изоме кроме того, $S^{-1}Tv_1=v_2$, поэтому $S^{-1}T$ переводит $W_1=(kv_1)^\perp$ в $W_2=(kv_2)^\perp$. Это означает, что ограничение $S^{-1}T$ на $W_1$ и дает нужную изометрию между $\ph_1$ и $\ph_2$. \end{proof} + +%% \begin{AS} \begin{corollary}[{\bf Теорема о продолжении изометрии}] -Пусть $(V,\ph)$~--- квадратичное пространство, $W_1,W_2$~--- два изометричных подпространства -(то есть $\ph|_{W_1}\cong\ph|_{W_2}$. Тогда существует изометрия $\a\colon V\to V$ такая, -что $\a(W_1)=\a(W_2)$. +Пусть $(V,\ph)$~--- квадратичное пространство, $W_1,W_2$~--- подпространства в $V$ такие, +что существует изометрия $\a\colon W_1\to W_2$. Тогда существует изометрия $\b\colon V\to V$ такая, +что $\b|_{W_1}=\a$. \end{corollary} + \begin{proof} -Это просто другая переформулировка теоремы Витта о сокращении. +Как и в доказательстве теоремы Витта о сокращении можно считать, что форма невырождена +на $V$. +В случае, когда $W_1$ невырождено, утверждение следует из теоремы Витта о сокращении. +Действительно, в этом случае $V$ раскладывается в прямую сумму $W_i$ и его ортогонального +дополнения ($i=1,2$). По теореме о сокращении существует изометрия +$\gamma:W_1^\perp\to W_2^\perp$. Тогда $\b=(\a,\gamma)$~--- изометрия $V\to V$. + +Если же $W_1$~--- вырожденное подпространство в невырожденном пространстве +$V$, то можно выбрать базис $u_1,\dots,u_{2m},v_1,\dots,v_k$ пространства $V$, содержащий базис +$u_1,u_3,\dots,u_{2s-1}$,\allowbreak $v_1,\dots,v_r$ пространства $W_1$ такой, +что матрица формы $\ph$ в этом базисе будет иметь вид +$$ +\operatorname{diag}\left(\left(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\right),\dots, +\left(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\right),\alpha_1,\dots,\alpha_k\right). +$$ +В этом случае нетрудно распространить изометрию на невырожденное подпространство, порожденное +$u_1,\dots,u_{2s},v_1,\dots,v_r$, а затем использовать теорему о сокращении. \end{proof} +%% \end{AS} + \begin{corollary} Любая невырожденная форма $\ph$ представляется в виде $$\ph\cong\underbrace{\mathbb H\perp\dots\perp\mathbb H}_{r\text{ раз}}\perp\ph_{an},$$