\documentclass[a4paper,oneside,12pt]{article} \def\runninghead{\smc } \usepackage[russian]{babel} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsfonts, amssymb, amsmath, amsthm} \usepackage{multirow} \usepackage{ccfonts,eulervm,euler} \renewcommand{\bfdefault}{sbc} \theoremstyle{plain} { \swapnumbers \newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection] \newtheorem{corollary}[theorem]{Следствие} \newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма} \newtheorem{proposition}[theorem]{Утверждение} \newtheorem{claim}[theorem]{Факт} } \theoremstyle{definition} { \swapnumbers \newtheorem{definition}[theorem]{Определение} \newtheorem{notation}[theorem]{Обозначение} \newtheorem{remark}[theorem]{Замечание} \newtheorem{remarks}[theorem]{Замечания} \newtheorem{example}[theorem]{Пример} \newtheorem{examples}[theorem]{Примеры} \newtheorem{sssection}[theorem]{} } \pagestyle{plain} %\newcommand{\proof}{{\par\noindent\textbf{Доказательство. }}} %\textwidth=5cm \oddsidemargin=-5mm %\marginparwidth=10pt \evensidemargin 0mm \marginparwidth 5mm \topmargin 0mm \textheight 228mm \textwidth 170mm \headheight 0mm \headsep 0mm \footskip 10mm \def\trleq{\trianglelefteq} \def\bar{\overline} \def\tilde{\widetilde} \def\map{\longrightarrow} \def\eps{\varepsilon} \def\ph{\varphi} \def\id{{\mathrm{id}}} \def\GL{\operatorname{GL}} \def\Lin{\operatorname{Lin}} \def\Ker{\operatorname{Ker}} \def\Image{\operatorname{Im}} \def\End{\operatorname{End}} \def\Aut{\operatorname{Aut}} \def\Res{\mathrm{Res}} \def\Cor{\mathrm{Cor}} \def\Inf{\mathrm{Inf}} \def\Hom{\mathrm{Hom}} \def\la{\langle} \def\ra{\rangle} \def\rad{\operatorname{rad}} \def\rk{\operatorname{rk}} \def\ind{\operatorname{ind}} \def\a{\alpha} \def\b{\beta} \def\lla{\la\!\la} \def\rra{\ra\!\ra} \def\dynkin#1#2#3#4#5#6#7#8{\vcenter{\vbox{\vfill \hbox{$#1#3#4#5#6#7#8$}\nointerlineskip\vskip 3pt \hbox{$\phantom{#1}\phantom{#3}#2$\hfil}\vfill}}} \def\quaternion#1#2#3{\binom{{#1}\:\:{#2}}{#3}} \begin{document} \frenchspacing \righthyphenmin=2 % 22.02.2010 \author{Александр Лузгарев} \title{Алгебраическая теория квадратичных форм\thanks{Конспект лекций спецкурса, весна 2010.}} \date{} \maketitle \tableofcontents \newpage Источники: \par\noindent $\bullet$ Albrecht Pfister, {\it Quadratic forms with applications to algebraic geometry and topology}, London Math. Soc. Lect. Notes 217, Cambridge University Press, 1995. \par\noindent $\bullet$ Bruno Kahn, {\it Formes quadratiques sur un corps}, Société Mathématique de France, 2009. \par\noindent $\bullet$ конспект лекций Олега Ижболдина, 1997. \par\noindent $\bullet$ Philippe Gille, Tam\'as Szamuely, {\it Central simple algebras and Galois cohomology}. Cam\-bridge University Press, 2006. \section{Квадратичные формы: начало} \subsection{Основные понятия} \begin{definition} Пусть $V$~--- $n$-мерное векторное пространство над полем $F$. Мы всегда будем предполагать, что характеристика $F$ отлична от двух. {\bf Симметричная билинейная форма} на $V$~--- это отображение $b\colon V\times V\to k$ такое, что $b(u,v)=b(v,u)$ и $b(\a u_1+u_2,v)=\a b(u_1,v)+b(u_2,v)$. Если $(e_1,\dots,e_n)$~--- базис $V$, то $b(x_1e_1+\dots+x_ne_n,y_1e_1+\dots+y_ne_n)=\sum{a_{ij}x_iy_j}=x^tAy$, где $x=(x_1,\dots,x_n)^T\in k^n$, $y=(y_1,\dots,y_n)^T\in F^n$~--- столбцы координат, $a_{ij}=b(e_i,e_j)$, $A=(a_{ij})$~--- {\bf матрица Грама}. Пусть $W$~--- подпространство $V$; определим {\bf ортогонал} к $W$: $$ W^\perp=\{u\in V:b(u,w)=0\text{ для всех }w\in W\}. $$ \end{definition} \begin{lemma}\label{lemma:dimension_of_orthogonal} $\dim W^\perp+\dim W\geq\dim V$. \end{lemma} \begin{proof} Пусть $u_1,\dots,u_m$~--- базис $W$; построим линейное отображение $\a\colon V\to k^m$: $v\mapsto(b(v,u_i))_{i=1}^m$. При этом $\Ker(\a)=W^\perp$, $\dim\Image(\a)\leq m=\dim W$, поэтому $\dim V=\dim\Ker(\a)+\dim\Image(\a) \leq\dim W^\perp+\dim W$. \end{proof} Отображение $\ph\colon V\to k$ называется {\bf квадратичным отображением} или {\bf квадратичной формой}, и пара $(V,\ph)$ называется {\bf квадратичным пространством над $k$}, если $\ph$ удовлетворяет следующим условиям: \begin{enumerate} \item $\ph(av)=a^2\ph(v)$ для всех $a\in k$, $v\in V$; \item отображение $b_\ph\colon V\times V\to k$, заданное формулой $$ b_\ph(v,w):=\frac12(\ph(v+w)-\ph(v)-\ph(w)), $$ является $k$-билинейным. \end{enumerate} При этом $b_\ph$ называется {\bf симметричной билинейной формой, ассоциированной с $\ph$} (из определения очевидно, что $b_\ph$ симметрична). Форма $\ph$ восстанавливается по $b_\ph$ формулой $\ph(v)=b_\ph(v,v)$. Пусть $B=\{e_1,\dots,e_n)$~--- базис $V$. {\bf Матрицей [Грама] квадратичной формы} в базисе $B$ называется матрица $A=(b_\ph(e_i,e_j))_{\begin{smallmatrix}1\leq i\leq n\\1\leq j\leq n\end{smallmatrix}}$. Легко видеть, что эта матрица симметрична. Обратно, по любой симметричной матрице из $M(n,k)$ строится квадратичная форма на $k^n$. Если $x$~--- столбец координат некоторого вектора $v\in V$, то значение квадратичной формы на этом векторе записывается так: $$ \ph(v)=x^tAx. $$ Значение билинейной симметричной формы $b_\ph$ на двух векторах $v,w\in V$ с координатными столбцами $x$ и $y$ соответственно записывается так: $$ b_\ph(v,w)=x^tAy=y^tAx. $$ Два $n$-мерных векторых квадратичных пространства $(V,\ph)$ и $(V',\ph')$ называются {\bf изометричными}, если существует $k$-линейный изоморфизм $T\colon V\to V'$ такой, что $$ \ph(v)=\ph'(Tv)\text{ для всех $v\in V$.} $$ Обозначение: $(V,\ph)\cong(V',\ph')$. В большинстве случаев мы забываем про пространства, на которых определены формы, и пишем $\ph\cong\ph'$. Очевидно, что изометричность является отношением эквивалентности. Если в каждом из пространств $V,V'$ выбраны базисы, их можно отождествить с $k^n$, и изоморфизм $T$ превращается в автоморфизм $k^n$, то есть, записывается матрицей из $\GL(n,k)$. При этом если $A$~--- матрица $\ph$, $A'$~--- матрица $\ph'$, то $x^tAy=(Tx)^tA'(Ty)$ для всех $x,y\in k^n$, откуда $A=T^tA'T$. {\bf Определителем} $\ph$ называется определитель матрицы Грама $\ph$. Заметим, что при замене базиса определитель матрицы Грама умножается на квадрат определителя матрицы замены базиса; поэтому $\det(\ph)\in k^*/(k^*)^2\cup 0$~--- определен только с точностью до домножения на квадраты в поле $k$. Пусть $(V_1,\ph_1)$, $(V_2,\ph_2)$~--- два квадратичных пространства над $k$ размерностей $n_1$ и $n_2$ соответственно. По ним можно построить квадратичное пространство $(V,\ph)$ размерности $n=n_1+n_2$: $$ \begin{aligned} V&=V_1\oplus V_2,\\ \ph(v)&=\ph_1(v_1)+\ph_2(v_2) \end{aligned} $$ для $v_1\in V_1$, $v_2\in V_2$, $v=v_1+v_2\in V$. Это пространство $(V,\ph)$ называется {\bf прямой суммой} $(V_1,\ph_1)$ и $(V_2,\ph_2)$. Обозначается это так: $(V,\ph)=(V_1,\ph_1)\oplus(V_2,\ph_2)$ или $(V_1,\ph_1)\perp(v_2,\ph_2)$. Мы будем также писать $\ph=\ph_1\oplus\ph_2=\ph_1\perp\ph_2$. Если $A_1$~--- матрица $\ph_1$, $A_2$~--- матрица $\ph_2$ в некоторых базисах $B_1,B_2$ пространств $V_1,V_2$, то $B=B_1\sqcup B_2$~--- базис $V$, в котором $\ph$ имеет матрицу $$ A=\begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2\end{pmatrix}. $$ Аналогично можно определить сумму любого натурального количества квадратичных пространств. Класс изометричности суммы зависит только от слагаемых, но не от их порядка. Обратно, пусть $(V,\ph)$~--- квадратичное пространство и $\{V_i\}_{1\leq i\leq r}$~--- набор подпространств $V$ таких, что $V=V_1\oplus\dots\oplus V_r$ и $b_\ph(v_i,v_j)=0$ для всех $v_i\in V_i$, $v_j\in V_j$, $i\neq j$. Тогда $\ph=\ph_1\oplus\dots\oplus\ph_r$ для $\ph_i=\ph|_{V_i}$. \begin{theorem}\label{thm:diagonalisation} Любое квадратичное пространство $(V,\ph)$ над $k$ изометрично прямой сумме одномерных подпространств. Другими словами, каждая $n$-арная квадратичная форма $\ph$ над $k$ эквивалентна диагональной форме $\psi$ вида $\psi(x)=\sum_{i=1}^n{a_ix_i^2}$, $a_i\in k$. \end{theorem} \begin{proof} Индукция по $n=\dim V$. Если $\ph(v)=0$ для всех $v\in V$, то $b_\ph=0$, и любой базис $V$ является ортогональным. Если $\ph(v_1)=a_1\neq 0$ для некоторого $v_1\in V$, рассмотрим подпространство $$ U=(kv_1)^\perp=\{u\in V:b_\ph(u,v_1)=0\} $$ всех векторов, ортогональных к $v_1$ (относительно $b_\ph$). При этом по лемме~\ref{lemma:dimension_of_orthogonal} размерность $U$ не меньше, чем $n-1$, но $v_1\notin U$, поэтому $\dim U=n-1$, откуда $V=kv_1\oplus U$ и $\ph=\ph_1\oplus\ph_2$ для $\ph_1=\ph|_{kv_1}$, $\ph_2=\ph|_{kv_2}$. \end{proof} Заметим, что в качестве $a_1$ можно взять любой элемент из $k^*$ вида $\ph(v_1)$ для $v_1\in V$. \begin{proof}[{Второе доказательство.}] Приведем явный алгоритм. Будем действовать индукцией по $n$; база $n=1$ очевидна. Пусть теперь $n>1$. Запишем нашу форму в координатах с помощью какого-нибудь базиса $V$: $\ph(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j$. Предположим сначала, что найдется диагональный коэффициент $a_{ii}\neq 0$. После перестановки базисных векторов можно считать, что $a_{11}\neq 0$. Посмотрим на слагаемые, содержащие $x_1$: $\ph(x_1,\dots,x_n)=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+\dots+2a_{1n}x_1x_n+\ph'(x_2,\dots,x_n)$. Выделим полный квадрат: $\ph(x_1,\dots,x_n)=a_{11}(x_1+\frac{a_{12}}{a_{11}}x_2+\dots +\frac{a_{1n}}{a_{11}}a_n)^2+\ph''(x_2,\dots,x_n)$, и по предположению индукции форма $\ph''$ от меньшего количества переменных приводится к диагональному виду. Теперь предположим, что все диагональные коэффициенты равны 0, но найдется недиагональный коэффициент $a_{ij}\neq 0$, $i\neq j$. После перестановки базисных векторов можно считать, что $a_{12}\neq 0$ (а все $a_{ii}$ равны 0). Сделаем замену: $x'_1=x_1+x_2$, $x'_2=x_1-x_2$. При этом $\ph(x_1,\dots,x_n)=2a_{12}x_1x_2+\ph'(x_1,\dots,x_n)=\frac{1}{2}a_{12}{x'_1}^2- \frac{1}{2}a_{12}{x'_2}^2+\ph''(x'_1,x'_2,x_3,\dots,x_n)$. При этом $\ph''(x'_1,x'_2,x_3,\dots,x_n)$ не содержит мономов вида ${x'_1}^2$, поскольку $\ph'(x_1,\dots,x_n)$ не содержит мономов вида $x_1x_2$, $x_1^2$ и $x_2^2$. Значит, в новом базисе у нашей формы появился ненулевой диагональный коэффициент, и можно выделить полный квадрат, как и выше. Наконец, если все коэффициенты $\ph$ равны нулю, то форма нулевая и она уже записана в диагональном виде. \end{proof} Диагональную форму $\ph(x)=\sum_{i=1}^n{a_ix_i^2}$ мы будем обозначать $$ \ph=\la a_1,\dots,a_n\ra=\la a_1\ra\perp\dots\perp\la a_n\ra. $$ Пусть $(V,\ph)$~--- квадратичное пространство, $A$~--- матрица формы $\ph$. Подпространство $\rad V=V^\perp=\{u\in V:b_\ph(u,v)=0\text{ для всех } v\in V\}$ называется {\bf радикалом} $(V,\ph)$. Пространство $(V,\ph)$ называется {\bf регулярным} или {\bf невырожденным}, если $\rad V=0$. Как всегда, мы часто говорим о регулярности (невырожденности) {\it формы}, опуская упоминание о пространстве. Нетрудно видеть, что $\rad V=\{u\in V:u^tAv=0\text{ для всех } v\in V\}=\{u\in V:u^tA=0\}$; поэтому $\rad V=0\Longleftrightarrow \det A\neq 0$; радикал и регулярность инвариантны относительно изометрии; если $\ph$ не регулярно, то $\ph\cong\la a_1,\dots,a_{n-1},0\ra$, то есть $\ph$ эквивалентна форме, зависящей лишь от $n-1$ переменных. Поэтому можно предполагать, что все формы регулярны. Более точно: \begin{theorem}[о выделении регулярной части]\label{thm:regular_part} Пусть $(V,\ph)$~--- квадратичная форма. Существует разложение $(V,\ph)=(W_0,\ph_0)\perp(W_1,\ph_1)$, где $\ph_0(W_0)=0$ для всех $w_0\in W_0$, а $(W_1,\ph_1)$~--- невырожденная форма. Более того, это разложение единственно с точностью до изометрии. \end{theorem} \begin{proof} Существование такого разложения следует из теоремы~\ref{thm:diagonalisation}. Заметим, что в любом подобном рзаложении $W_0\perp W_0$ и $W_0\perp W_1$, откуда $W_0\perp V$, то есть $W_0\subset\rad(V)$. Если при этом $W_0\neq\rad(V)$, то $\rad(V)\cap W_1\neq 0$, то есть в $W_1$ найдется вектор, ортогональный $V$, чего не может быть по невырожденности $W_1$. Значит, $W_0=\rad(V)$. Возьмем теперь два таких разложения: $V=W_0\oplus W_1=W'_0\oplus W'_1$, при этом $W_0=W'_0=\rad(V)$. Определим отображение $T\colon W_1\to W'_1$ как композицию вложения $W_1\subset V$ и проекции $V$ на $W'_1$. По построению $T$ линейно, при этом для $w\in W_1$ разность $Tw-w$ лежит в $W_0=\rad(V)$. Поэтому $\ph(Tw)=\ph(w+(Tw-w))=\ph(w)+2b_\ph(w,Tw-w)+\ph(Tw-w)$ и два последних слагаемых равны 0. Значит, $T$~--- изометрия. Заметим также, что $T$ можно продолжить до изометрии всего пространства, если дополнить ее тождественным отображением на $W_0$. \end{proof} Пусть $\ph$~--- квадратичная форма над $k$, $L\supset k$~--- расширение полей. Тогда $\ph$ можно рассматривать как квадратичную форму над $L$, которую мы будем обозначать $\ph_L$ или $\ph\otimes L$. При этом $$ \ph=\ph_K\text{ регулярна}\Longleftrightarrow \ph_L\text{ регулярна}. $$ Пусть $(V,\ph)$~--- $n$-мерное квадратичное пространство над $k$ \begin{enumerate} \item Для $a\in k$ будем говорить, что $\ph$ {\bf представляет $a$ над $k$}, если существует ненулевой вектор $v\in V$ такой, что $\ph(v)=a$. \item $\tilde{D_k}(\ph)=\{\ph(v):0\neq v\in V\}$~--- множество элементов $k$, представимых формой $\ph$. \item $D_k(\ph)=D_k(\ph)\setminus\{0\}\subseteq k^*$. \item $\ph$ называется {\bf универсальной (над $k$)}, если $D_k(\ph)=k^*$. \item $\ph$ называется {\bf изотропной (над $k$)}, если $0\in\tilde{D_k}(\ph)$, иначе $\ph$ называется {\bf анизотропной (над $k$)}. \end{enumerate} \begin{example} $x_1^2+x_2^2$ не универсальна, анизотропна над $\mathbb R$, но универсальная, изотропна над $\mathbb C$. \end{example} Очевидно, что одномерное регулярное пространство не может быть изотропным. Посмотрим на двумерные. \begin{proposition}\label{prop:hyperbolic_plane} Есть только одна (с точностью до изометрии) регулярная изотропная квадратичная форма $\ph$ размерности 2, а именно, $\ph(x)=2x_1x_2$. Кроме того, $\ph\cong\la a,-a\ra$ для любого $a\in k^*$. В частности, $\ph$ универсальна. \end{proposition} \begin{proof} Пусть $\ph$~--- двумерная регулярная изотропная форма на пространстве $V$ и $v_1\in V$, $\ph(v_1)=0$. Поскольку $\ph$ регулярна, найдется $w\in V$ такой, что $b_\ph(v_1,w)\neq 0$. Домножая $w$ на подходящий элемент $k^*$, можно считать, что $b_\ph(v_1,w)=1$. Для любого $\lambda\in k$ векторы $v_1$ и $v_2=w+\lambda v_1$ образуют базис пространства $V$, в котором $\ph(v_1)=0$ и $b_\ph(v_1,v_2)=b_\ph(v_1,w+\lambda v_1)=b_\ph(v_1,w)+\lambda b_\ph(v_1,v_1)=1$. Наконец, $\ph(v_2)=\ph(w+\lambda v_1)=\ph(w)+2\lambda b_\ph(w,v_1)+\lambda^2\ph(v_1)= \ph(w)+2\lambda$. Значит, если положить $\lambda=-\ph(w)/2$, получим $\ph(v_2)=0$. \end{proof} Класс изометричности этой формы обозначается $\mathbb H\cong\la 1,-1\ra$ и называется {\bf гиперболической плоскостью}. Заметим, что $\det(\la 1,-1\ra)=-1$. Обратно, если $(V,\ph)$~--- двумерное квадратичное пространство и $\det(\ph)=-1$, то $(V,\ph)$~--- гиперболическая плоскость. \begin{proposition}\label{prop:isotropic_contains_hyperbolic_plane} Пусть $(V,\ph)$~--- регулярное изотропное квадратичное пространство над $k$, $\dim V=n\geq 2$. Тогда $V=U\oplus W$ и $U\cong\mathbb H$, $\dim W=n-2$, $\ph\cong\la 1,-1\ra\oplus\psi$, где $\psi=\ph|_W$. \end{proposition} \begin{proof} Как и в предыдущем предложении, можно найти $v_1,v_2\in V$ такие, что двумерное подпространство $U=kv_1+kv_2\subseteq V$ вместе с квадратичной формой $\ph|_U$ изоморфно гиперболической плоскости $\mathbb xH$. Положим $W=U^\perp$, тогда $\dim W\geq n-2$ и $U\cap U^\perp=\rad U=0$, поскольку $U$ регулярно. Значит, $\dim W=n-2$ и $V=U\oplus W$. \end{proof} \begin{theorem} Для невырожденной формы $\ph$ и $a\in k^*$ равносильны: \begin{enumerate} \item $a\in D_k(\ph)$; \item $\ph\perp\la -a\ra$ изотропна; \item $\ph=\la a\ra\perp\ph_1$. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} $(1)\Rightarrow(3)$ из замечания после доказательства теоремы~\ref{thm:diagonalisation}, $(3)\Rightarrow(2)$ из предложения~\ref{prop:hyperbolic_plane}, $(2)\Rightarrow(1)$: если $V$~--- пространство формы $\ph$, то изотропность $\ph\perp\la -a\ra$ на пространстве $V\perp kv_1$ означает, что для некоторых $v\in V$, $\lambda\in k$, не равных одновременно 0, выполняется $\ph(v)-a\lambda^2=0$. Если $v=0$, то $\lambda=0$; значит, $v\neq 0$. Поэтому $\ph(v/\lambda)=a\lambda^2/\lambda^2=a$, что и требовалось. \end{proof} \begin{lemma}\label{lemma:representation_of_c} Если форма $\la a,b\ra$ представляет элемент $c\in k^*$, то $\la a,b\ra\cong\la c,abc\ra$. \end{lemma} \begin{proof} Из замечания после доказательства теоремы~\ref{thm:diagonalisation} ясно, что $\la a,b\ra\cong\la c,d\ra$ для некоторого $d\in k$. Из сравнения определителей видно, что $ab=cd$, поэтому $abc=c^2d$ и заменой второго базисного вектора формы $\la c,d\ra$ на пропорциональный можно заменить $d$ на $abc$. \end{proof} \subsection{Теорема Витта о сокращении} Пусть $(V,\ph)$~--- квадратичная форма; $v$~--- анизотропный вектор. Определим отражение $s_v$ относительно вектора $v$ формулой $$ s_v(u)=u-2\frac{\ph(u,v)}{\ph(v,v)}v. $$ \begin{lemma} Пусть $v_1,v_2\in V$ и $\ph(v_1)=\ph(v_2)\neq 0$. Тогда существует изометрия $V$, переводящая $v_1$ в $v_2$. \end{lemma} \begin{proof} Если $\ph(v_1-v_2)\neq 0$, то подойдет отражение относительно $v_1-v_2$: $s_{v_1-v_2}(v_1)=v_2$. Если $\ph(v_1+v_2)\neq 0$, то подойдет композиция отражения относительно $v_1+v_2$ ($s_{v_1+v_2}(v_1)=-v_2$) и отражения относительно $v_2$. Если же $\ph(v_1-v_2)=\ph(v_1+v_2)=0$, то $\ph(v_1)=\frac14\ph((v_1+v_2)+(v_1-v_2))=\frac12\ph(v_1+v_2,v_1-v_2)$ и $\ph(v_2)=\frac14\ph((v_1+v_2)-(v_1-v_2))=-\frac12\ph(v_1+v_2,v_1-v_2)$, откуда $\ph(v_1)=\ph(v_2)=0$, что невозможно. \end{proof} % 1.03.2010 \begin{corollary} Любая изометрия есть композиция отражений. \end{corollary} \begin{proof} Пусть $T\colon V\to V$~--- изометрия; из доказательства теоремы~\ref{thm:regular_part} (о выделении вполне изотропной части) понятно, что можно рассматривать только случай невырожденной формы. Доказываем индукцией по $n=\dim V$; база $n=1$ очевидна. Пусть $n>1$. Возьмем $v\in V$ такой, что $\ph(Tv)=\ph(v)\neq 0$. Из доказательства леммы следует, что найдется композиция отражений $S\colon V\to V$ такая, что $Sv=Tv$. Отображение $S^{-1}T$, таким образом, является изометрией и оставляет $v$ на месте; значит, $S^{-1}T$ оставляет на месте и $W=(kv)^\perp$~--- подпространство размерности $n-1$. По предположению индукции изометрия $S^{-1}T|_W$ является композицией отражений (относительно векторов из $W$). Заметим, что любое отражение относительно вектора из $W$ оставляет на месте $v$, поскольку $v\perp W$. Значит, изометрия $S^{-1}T$ является композицией тех же самых отражений, рассматриваемых уже как преобразований всего пространства $V$. Перенося $S$ в другую часть, получаем, что и $T$ является композицией отражений. \end{proof} \begin{theorem}[Витта о сокращении] Если $q\perp\ph_1\cong q\perp\ph_2$, то $\ph_1\cong\ph_2$. \end{theorem} \begin{proof} Можно считать, что формы невырожденны; $q=\la a_1,\dots,a_n\ra$. Докажем, что из $\la a\ra\perp\ph_1\cong\la a\ra\perp\ph_2$ следует, что $\ph_1\cong\ph_2$. Пусть форма $\psi_1=\la a\ra\perp\ph_1$ задана на пространстве $kv_1\oplus W_1$, а $\psi_2=\la a\ra\perp\ph_2$~--- на пространстве $kv_2\oplus W_2$. Изометричность этих форм означает, что существует линейное отображение $T\colon kv_1\oplus W_1\to kv_2\oplus W_2$, для которого $\psi_2(Tv)=\psi_1(v)$. %При этом $v=\alpha v_1+w_1$, $w_1\in W_1$ и $\psi_1(v_1)=a$, $b_{psi_1}(v_1,w_1)=0$. Запишем $Tv_1=xv_2+w_2$. Тогда $\psi_2(v_2)=a$ и $\psi_2(Tv_1)=a$. По лемме найдется изометрия $S\colon kv_2\oplus W_2\to kv_2\oplus W_2$ такая, что $Sv_2=Tv_1$. Рассмотрим отображение $S^{-1}T\colon kv_1\oplus W_1\to kv_2\oplus W_2$. Нетрудно видеть, что $S^{-1}T$ является изометрией между $\psi_1$ и $\psi_2$; кроме того, $S^{-1}Tv_1=v_2$, поэтому $S^{-1}T$ переводит $W_1=(kv_1)^\perp$ в $W_2=(kv_2)^\perp$. Это означает, что ограничение $S^{-1}T$ на $W_1$ и дает нужную изометрию между $\ph_1$ и $\ph_2$. \end{proof} \begin{corollary}[{\bf Теорема о продолжении изометрии}] Пусть $(V,\ph)$~--- квадратичное пространство, $W_1,W_2$~--- два изометричных подпространства (то есть $\ph|_{W_1}\cong\ph|_{W_2}$. Тогда существует изометрия $\a\colon V\to V$ такая, что $\a(W_1)=\a(W_2)$. \end{corollary} \begin{proof} Это просто другая переформулировка теоремы Витта о сокращении. \end{proof} \begin{corollary} Любая невырожденная форма $\ph$ представляется в виде $$\ph\cong\underbrace{\mathbb H\perp\dots\perp\mathbb H}_{r\text{ раз}}\perp\ph_{an},$$ где {\bf анизотропная часть} $\ph_{an}$ определена однозначно с точностью до изометрии, и {\bf индекс Витта} $i(\ph):=r$ определен однозначно. \end{corollary} \begin{proof} По предложению~\ref{prop:isotropic_contains_hyperbolic_plane} если форма изотропна, из нее можно выделить $\mathbb H$. Продолжая этот процесс, дойдем до какой-то анизотропной формы (потому что размерность все время убывает). Осталось проверить единственность. Предположим, что $\ph\cong\perp\ph_{an}$, $\ph\cong\underbrace{\mathbb H\perp\dots\perp\mathbb H}_{r\text{ раз}}\perp \psi \cong\underbrace{\mathbb H\perp\dots\perp\mathbb H}_{r'\text{ раз}}\perp\psi'$, где $\psi,\psi'$ анизотропны. Не умаляя общности, $r\geq r'$. Если $r>r'$, то сокращая (по теореме Витта) слева и справа $r'$ раз на $\mathbb H$, получаем, что $\underbrace{\mathbb H\perp\dots\perp\mathbb H}_{r-r'\text{ раз}}\perp\psi\cong\psi'$, но слева стоит изотропная форма, а справа~--- анизотропная. Поэтому $r=r'$ и после сокращения получаем $\psi\cong\psi'$. \end{proof} Пока что считаем все квадратичные формы невырожденными и диагональными. Обозначим $G(k)=k^*/(k^*)^2$~--- {\bf square class group}. Пусть $\ph\cong\la a_1,\dots,a_m\ra$, $a_i\in k^*$; $\det\ph=(\prod a_i)(k^*)^2\in G(k)$~--- {\bf определитель (детерминант)} $\ph$, $d(\ph)=(-1)^{m(m-1)/2}\det\ph\in G(k)$~--- {\bf дискриминант} $\ph$. Если $\ph\cong\la a_1,\dots,a_m\ra$, $\psi\cong\la b_1,\dots,b_n\ra$~--- две формы, то $\ph\perp\psi\cong\la a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_n\ra$~--- {\bf (ортогональная) сумма} $\ph$ и $\psi$, $\ph\otimes\psi\cong\la\dots,a_ib_j,\dots\ra_{\begin{smallmatrix}1\leq i\leq m\\1\leq j\leq n\end{smallmatrix}}$~--- {\bf (тензорное) произведение} $\ph$ и $\psi$. Если $\ph\cong\la a_1,\dots,a_m\ra$ и $a\in k^*$, то $a\ph\cong\la aa_1,\dots,aa_m\ra$~--- произведение $\ph$ на $a$. Если $r\in\mathbb N$, то $r\times\ph\cong\underbrace{\ph\perp\dots\perp\ph}_{r\text{ раз}}$~--- $r$-кратная сумма $\ph$ с собой, $0\times\ph=0$~--- пустая форма размерности 0. Рассмотрим абелев моноид невырожденных квадратичных форм относительно ортогональной суммы; по теореме Витта он является моноид с сокращением, поэтому он вкладывается в свою группу %??? подробнее? Гротендика. На этой абелевой группе определено умножение, индуцированной тензорным произведением. В результате получаем {\bf кольцо} (коммутативное, ассоциативное, с 1) {\bf Витта--Гротендика} $\tilde W(k)$. \begin{definition} Квадратичная форма $\ph$ называется {\bf гиперболической}, если она изоморфна прямой сумме гиперболических плоскостей: $\ph=r\times\mathbb H$ для некоторого $r\geq 0$. \end{definition} \begin{proposition} Гиперболические формы (и противоположные к ним) образуют идеал в кольце $\tilde W(k)$. \end{proposition} \begin{proof} Очевидно, что сумма гиперболических форм гиперболична; поскольку одномерные формы аддитивно порождают $\tilde W(k)$, достаточно доказать, что $\mathbb H\otimes\la a\ra$ гиперболична, но $\mathbb H\otimes\la a\ra\cong\la a,-a\ra\cong\mathbb H$. \end{proof} \begin{definition} Фактор-кольцо кольца Витта--Гротендика $\tilde W(k)$ по идеалу гиперболических форм называется {\bf кольцом Витта} и обозначается $W(k)$. \end{definition} Вот другое определение кольца Витта: две невырожденные формы $\ph,\psi$ над $k$ называются {\bf подобными}, если $\ph_{an}\cong\psi_{an}$. Обозначение: $\ph\sim\psi$. Множество классов эквивалентности регулярных форм над $k$ обозначается $W(k)$. \begin{theorem}[Витт, 1937] Множество $W(k)$ является коммутативным ассоциативным кольцом с 1 относительно операций, индуцированных $\oplus$ и $\otimes$ и называется {\bf кольцом Витта}. Относительно операции $\oplus$ множество $W(k)$ является абелевой группой и называется {\bf группой Витта}. \end{theorem} \begin{proof} Очевидно. \end{proof} Заметим, что в качестве представителя элемента $W(k)$ можно взять квадратичную форму (а не формальную разность двух квадратичных форм, как в $\tilde W(k)$), и для ненулевого класса эту форму можно выбрать анизотропной. \begin{examples} \begin{enumerate} \item Если поле $k$ алгебраически замкнуто, то $W(k)=\mathbb Z/2\mathbb Z$. \item $W(\mathbb R)=\mathbb Z$. \item $W(\mathbb Z/p\mathbb Z)=\mathbb Z/2\mathbb Z\oplus\mathbb Z/2\mathbb Z$ для $p\equiv 1\pmod 4$ и $W(\mathbb Z/p\mathbb Z)=\mathbb Z/4\mathbb Z$ для $p\equiv 3\pmod 4$. \end{enumerate} \end{examples} % 8.03.2010 Дадим еще одну характеризацию индекса Витта. \begin{definition} Пусть $(V,q)$~--- квадратичная форма. Подпространство $W\leq V$ называется {\bf вполне изотропным}, если $q|_W=0$. Это условие равносильно тому, что всякий вектор $v\in W$ изотропен. \end{definition} \begin{proposition}\label{prop:totally_isotropic_subspaces} Пусть $(V,q)$~--- квадратичная форма. Все максимальные вполне изотропные подпространства $V$ имеют одинаковую размерность, равную индексу Витта $i(q)$ формы $q$. \end{proposition} \begin{proof} Очевидно, что если $q=(m\times\mathbb H)\perp\ph$, то в $V$ есть вполне изотропное подпространство размерности $m$. Обратно, пусть в $V$ есть такое подпространство. Докажем индукцией по $m$, что тогда в $V$ вкладывается сумма $m$ гиперболических плоскостей. При $m=0$ доказывать нечего. Если $m>0$, выберем изотропный вектор $v\in V$. Рассуждение из доказательства предложения~\ref{prop:isotropic_contains_hyperbolic_plane} показывает, что найдется вектор $v'\in V$ такой, что $kv\oplus kv'\cong\mathbb H$; стало быть, $q\cong\mathbb H\perp q'$. Пусть $W=v^\perp$. Тогда $kv\subset W$ и на факторе $W/kv$ возникает корректно определенная форма $\tilde q$, задаваемая равенством $\tilde q(w+kv):=q(w)$. Легко видеть, что $\tilde q\cong q'$. Но по построению $\tilde q$ имеет вполне изотропное подпространство размерности $m-1$, поэтому такое подпространство есть и в $q'$. По предположению индукции, в $q'$ есть сумма $m-1$ гиперболических плоскостей, поэтому в $q$ есть сумма $m$ гиперболических плоскостей. \end{proof} \begin{lemma}\label{lem:isotropicdiff} Пусть $q, q'$~--- две анизотропные формы. Предположим, что $i(q\perp -q')\geq n$. Тогда существуют квадратичные формы $\ph, q_1, q'_1$ такие, что $\dim\ph=n$ и $q\cong\ph\perp q_1$ и $q'\cong\ph\perp q'_1$. \end{lemma} \begin{proof} Индукция по $n$. Пусть $n=1$: $q\perp -q'$ изотропна, поэтому найдутся $x\in V$, $x'\in V'$ такие, что $q(x)=q'(x')\neq 0$ (здесь $V, V'$~--- подлежащие пространства форм $q$ и $q'$ соответственно), и утверждение очевидно. Если $n>1$, действуя так же, получаем, что $q\cong\la a\ra\perp q_2$, $q'\cong\la a\ra\perp q'_2$ для некоторых $a,q_2,q'_2$. Тогда $i(q_2\perp q'_2)\geq n-1$ и можно применить индукционное предположение. \end{proof} \begin{lemma}\label{lem:abaplusb} Пусть $a,b\in k^*$. Тогда $\la a,b\ra\cong\la a+b,ab(a+b)\ra$. \end{lemma} \begin{proof} Немедленно следует из леммы~\ref{lemma:representation_of_c}. \end{proof} \begin{theorem}\label{theorem:witt_ring_generators_and_relations} \begin{enumerate} \item Аддитивная группа кольца $\tilde W(k)$ порождается (как абелева группа) образующими $\la a\ra$, $a\in k^*$, удовлетворяющими соотношениям $\la ab^2\ra=\la a\ra$ и $\la a,b\ra=\la a+b,ab(a+b)\ra$. \item Аддитивная группа кольца $W(k)$ порождается (как абелева группа) образующими $\la a\ra$, $a\in k^*$, удовлетворяющими соотношениям $\la ab^2\ra=\la a\ra$, $\la a,b\ra=\la a+b,ab(a+b)\ra$ и дополнительным соотношениям $\la -a\ra=-\la a\ra$. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} Пусть $V(k)$~--- группа, порожденная соотношениями из первого пункта формулировки теоремы. Обозначим через $[a]$ образующую, соответствующую скаляру $a\in k^*$. Предыдущие результаты показывают, что существует сюръективный гомоморфизм $V(k)\to\tilde W(k)$, переводящий $[a]$ в $\la a\ra$. Для доказательства первого пункта остается показать, что если $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n\in k^*$ таковы, что $\la a_1,\dots,a_n\ra\cong\la b_1,\dots,b_n\ra$, то $[a_1]+\dots+[a_n]=[b_1]+\dots+[b_n]$. Будем действовать индукцией по $n$ с тривиальной базой $n=1$. Пусть $n=2$. Поскольку $\la a_1,a_2\ra\cong\la b_1,b_2\ra$, то найдутся $x_1,x_2\in k$ такие, что $b_1=a_1x_1^2+a_2x_2^2$. Если $x_2=0$, то $\la b_1\ra=\la a_1\ra$, откуда $\la b_2\ra=\la a_2\ra$ и доказывать нечего. Если $x_1=0$, все аналогично. Если же $x_1x_2\neq 0$, заменяя $a_i$ на $a_ix_i^2$, можно считать, что $x_1=x_2=1$. По лемме~\ref{lem:abaplusb} имеем $\la b_2\ra\cong\la a_1a_2(a_1+a_2)\ra$ и доказательство окончено. Наконец, предположим, что $n\geq 3$. Обозначим $q=\la a_1,\dots,a_{n-1}\ra$, $q'=\la b_1,\dots,b_{n-1}\ra$. Тогда $q\perp -q'\sim\la b_n,-a_n\ra$, откуда, по лемме~\ref{lem:isotropicdiff} существуют $c_1,\dots,c_{n-2},e,f\in k^*$ такие, что $q\cong\la c_1,\dots,c_{n-2},e\ra$ и $q'\cong\la c_1,\dots,c_{n-1},f\ra$ и по теореме Витта $\la e,a_n\ra\cong\la f,b_n\ra$. Применяя индукционное предположение, получаем $[a_1]+\dots+[a_{n-1}]=[c_1]+\dots+[c_{n-2}]+[e]$, $[b_1]+\dots+[b_{n-1}]=[c_1]+\dots+[c_{n-2}]+[f]$ и $[e]+[a_n]=[f]+[b_n]$, и отсюда все следует. Второй пункт теоремы доказывается совершенно аналогично. \end{proof} \subsection{Первая теорема Касселса о представимости} Пусть $\ph$~--- квадратичная форма над $k$, $k(t)$~--- {\bf поле рациональных функций} над $k$ от одной переменной $t$. \begin{lemma} Если $\ph$ анизотропна над $k$, то $\ph_{k(t)}$ анизотропна над $k(t)$. \end{lemma} \begin{proof} Пусть $\ph(f)=0$, где $f=(f_1,\dots,f_n)$, $f_i\in k(t)$. Пусть $g_0$~---общий знаменатель функций $f_i$: $f_i=g_i/g_0$, где $g_0,g_1,\dots,g_n\in k[t]$. Тогда $\ph(g)=g_0^2(f)=0$ для $0\neq g=(g_1,\dots,g_n)$. Теперь пусть $d=\gcd(g_1,\dots,g_n)\in k[t]$; $g_i=dh_i$, $h_i\in k[t]$~--- взаимно просты. Пусть $h=(h_1,\dots,h_n)$, тогда $\ph(g)=d^2\ph(h)=0$~--- тождество. Поскольку $k[t]$~--- область целостности, имеем $\ph(h)=0$. Положим $c_i=h_i(0)\in k$, $c=(c_1,\dots,c_n)$~--- ненулевой вектор (иначе все $h_i$ делились бы на $t$). Поэтому $c\in k^n$ и $\ph(c)=0$, противоречие. \end{proof} \begin{theorem} Пусть $\ph(x)=\ph(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i,j=1}^n{a_{ij}x_ix_j}$~--- $n$-арная квадратичная форма над $k$. Пусть $0\neq p(t)\in k[t]$. Предположим, что $\ph$ представляет $p$ над полем $k(t)$. Тогда $\ph$ представляет $p$ над кольцом $k[t]$, то есть найдутся $f_i\in k[t]$ такие, что $\ph(f_1,\dots,f_n)=p$. \end{theorem} \begin{proof} Если $\ph$ не регулярна, можно заменить $\ph$ на $(n-1)$-форму и действовать по индукции. Если $n=1$, $\ph(x)=a_{11}x_1^2$, $a_{11}f_1^2=p$ для $f_1\in k(t)$, откуда $f_1\in k[t]$. Предположим теперь, что $\ph$ регулярна, но изотропна. Тогда $\ph\cong H\perp\psi$ над $k$, то есть можно считать, что $\ph(x)=2x_1x_2+\psi(x_3,\dots,x_n)$. Положим $x_1=p(t)$, $x_2=1/2$, $x_3=\dots=x_n=0$. Наконец, $\ph$ регулярна и анизотропна. По предположению $$ \ph\left(\frac{f_1}{f_0},\dots,\frac{f_n}{f_0}\right)=p $$ для некоторых многочленов $f_0,\dots,f_n\in k[t]$; не умаляя общности, имеем $\gcd(f_0,\dots,f_n)=1$. Более того, можно считать, что из всех представлений в таком виде выбрано то, у которого $d=\deg f_0$ минимальна. Предположим, что $d>0$ и получим противоречие. Рассмотрим новую форму $\psi=\la -p(t)\ra\oplus\ph_{k(t)}$ над $k(t)$: $\psi(x_0,\dots,x_n)=-p(t)x_0^2+\ph(x_1,\dots,x_n)$. Очевидно, что $\psi(f_0,\dots,f_n)=0$. Поделим с остатком $f_i$ на $f_0$: $f_i=f_0g_i+r_i$, $\deg r_i> $\psi$, то есть $\ph$ представляет $\psi(t_1,\dots,t_m)=b_1t_1^2+\dots+b_mt_m^2$ над полем рациональных функций $k(t_1,\dots,t_m)$. \end{enumerate} В частности, из любого из этих утверждений следует, что $m\leq n$. \end{theorem} \begin{proof} $(1)\Rightarrow(2)\Rightarrow(3)$~--- очевидно. Докажем $(3)\Rightarrow(1)$ индукцией по $m$, база тривиальна. Пусть теперь $m>0$. По принципу подстановки $\ph$ представляет $b_1\neq 0$ над $k$. Значит, мы можем записать $\ph\cong\la b_1\ra\perp\ph'$, где $\ph'$ автоматически анизотропна. Поскольку $\ph$ представляет $b_1t_1^2+(b_2t_2^2+\dots+b_mt_m^2)$ над $k(t_2,\dots,t_m)(t_1)$, по лемме $\ph'$ представляет $d=\psi'(t_2,\dots,t_m)=b_2t_2^2+\dots+b_mt_m^2$. Теперь можно применить предположение индукции к паре $(\ph',\psi')$ и получить, что $\ph'\cong\psi'\perp\xi$ и $\ph\cong\la b_1\ra\perp\ph'\cong\la b_1\ra\perp\psi'\perp\xi\cong\psi\perp\xi$. \end{proof} \begin{definition} В ситуации пункта 1 теоремы~\ref{theorem:subform} будем говорить, что $\psi$~--- {\bf подформа} $\ph$ и писать $\psi\leq\ph$. \end{definition} \begin{definition} Пусть $\ph$~--- квадратичная форма. Напомним, что $D(\ph)=\{a\in k^*\mid\exists x, \ph(x)=a\}$~--- множество ненулевых элементов, представляемых формой $\ph$. Положим $G(\ph)=\{a\in k^*\mid a\ph\cong\ph\}$~--- множество {\bf коэффициентов подобия} $\ph$. \end{definition} \begin{lemma} \begin{enumerate} \item Если $\ph\leq\ph'$, то $D(\ph)\subseteq D(\ph')$. \item Если $\ph$ изотропна, то $D(\ph)=k^*$. \item Для любого $\lambda\in k^*$ имеем $G(\lambda\ph)=G(\ph)$. \item $G(\ph)$ зависит лишь от класса $\ph$ в кольце Витта $W(k)$. \item $G(\ph)$~--- подгруппа $k^*$, содержащая $(k^*)^2$. Если $a\in G(\ph)$, $b\in D(\ph)$, то $ab\in D(\ph)$. \item Если $1\in D(\ph)$, то $G(\ph)\subseteq D(\ph)$. \end{enumerate} \end{lemma} \begin{proof} Пункты 1--3 очевидны, для доказательства 4 достаточно проверить, что $G(\ph)=G(\ph\perp\mathbb H)$. Заметим, что $a\mathbb H\cong\la a,-a\ra\cong\mathbb H$ для любого $a\in k^*$. Если $a\in G(\ph)$, то $\ph\cong a\ph$, поэтому $$ \ph\perp\mathbb H\cong a\ph\perp\mathbb H\cong a\ph\perp a\mathbb H\cong a(\ph\perp\mathbb H). $$ Обратно, если $\ph\perp\mathbb H\cong a(\ph\perp\mathbb H)\cong a\ph\perp a\mathbb H\cong a\ph\perp\mathbb H$, то по теореме Витта о сокращении получаем, что $\ph\cong a\ph$. Далее, 5 очевидно и 6 следует из 5. \end{proof} \begin{lemma} Пусть $\ph$~--- квадратичная форма над $k$ и $\ph'\leq\ph$. Если $\dim\ph'>\dim\ph-i(\ph)$, то $\ph'$ изотропна. \end{lemma} \begin{proof}[Первое доказательство] Пусть $V$~--- пространство формы $\ph$, $W$~--- подпространство, соответствующее $\ph'$, $H\leq V$~--- максимальное вполне изотропное подпространство размерности $i(\ph)$ (см.~предложение~\ref{prop:totally_isotropic_subspaces}). При этом $\dim(W)+\dim(H)>\dim(V)$, откуда пересечение $W\cap H$ непусто. \end{proof} \begin{proof}[Второе доказательство] Запишем $\ph'\perp\ph''\cong\ph\cong\ph_{an}\perp i(q)\times\mathbb H$ для некоторой формы $\ph''$. Тогда $\ph'\perp\ph''\perp-\ph''\cong\ph_{an}\perp-\ph''\perp i(q)\times\mathbb H$. Заметим, что $\ph''\perp-\ph''\cong\dim(\ph'')\times\mathbb H$, поэтому $\ph'\cong\ph_{an}\perp-\ph''\perp(i(q)-\dim(\ph''))\times\mathbb H$ и $\ph'$ изотропна. \end{proof} \subsection{Поведение квадратичных форм при конечных расширениях полей} Посмотрим на самый простой нетривиальный случай~--- квадратичное расширение. \begin{lemma} Пусть $L=k(\sqrt{a})$, $\ph$~--- анизотропная форма над $k$. Тогда равносильны: \begin{enumerate} \item $\ph_L$ изотропна; \item $\ph=b\la 1,-a\ra\perp\psi$ для некоторых $b\in k^*$ и формы $\psi$. \end{enumerate} \end{lemma} \begin{proof} Очевидно, что из второго пункта следует первый. Пусть теперь $\ph_L$ изотропна. Это означает, что в $V\otimes L$ есть изотропный вектор, то есть, $\ph(v+w\sqrt{a})=0$ для некоторых $v,w\in V$, не равных одновременно нулю. Значит, $\ph(v)+a\ph(w)+2\sqrt{a}b_\ph(v,w)=0$, откуда $\ph(v)=-a\ph(w)$ и $b_\ph(v,w)=0$. Разложим $V$ в прямую сумму пространства $W=kv+kw$ и ортогонального дополнения $W^\perp$. Относительно этого разбиения и получим необходимое разложение формы $\ph$. \end{proof} \begin{theorem} Пусть $L=k(\sqrt{a})$, $\ph$~--- анизотропная форма над $k$. Тогда равносильны: \begin{enumerate} \item $i(\ph_L)\geq i$; \item $\ph=\la 1,-a\ra\otimes\ph'\perp\psi$, где $\rk\ph'=i$. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} Индукция по $i$; используется, что $i(\ph\perp\mathbb H)=i(\ph)+1$. \end{proof} \begin{corollary} В условиях теоремы если $\ph_L$ гиперболична, что $\ph=\la 1,-a\ra\otimes\psi$. \end{corollary} Таким образом, ядро отображения $W(k)\to W(k(\sqrt{a}))$ порождается формами вида $\la 1,-a\ra$. \begin{theorem}[Спрингер] Пусть $k$~--- подполе $L$ и степень $[L:k]$ нечетна. Тогда $i(\ph_L)=i(\ph)$. \end{theorem} \begin{proof} Достаточно проверить, что из анизотропности $\ph$ следует анизотропность $\ph_L$ и проверить при этом лишь случай расширения, порожденного одним элементом: $L=k(\alpha)$. Будем доказывать индукцией по $n=[L:k]$ с тривиальной базой $n=1$. Предположим противное: пусть $P$~--- минимальный многочлен $\alpha$, $d=\dim(\ph)$ и $(x_1,\dots,x_d)\in L^d\setminus\{0\}$ таковы, что $\ph(x_1,\dots,x_d)=0$. Можно записать $x_i=g_i(x_\alpha)$, где $g\in k[t]$, $m:=\max(\deg g_i)1$ и обозначим $\tau=\lla a_1,\dots,a_{n-1}\rra\cong\la 1\ra\perp -\tau'$, тогда $\ph'=\tau'\perp a_n\tau$. Запишем $b=x+a_ny$ для $x\in D(\tau')\cup\{0\}$, $y\in D(\tau)\cup\{0\}$. Рассмотрим несколько случаев: \begin{enumerate} \item Если $y=0$, то $x\neq 0$ и $b\in D(\tau')$, откуда по предположению индукции $\tau\cong\lla b,b_2,\dots,b_{n-1}\rra$, поэтому $\ph\cong\lla b,b_2,\dots,b_{n-1},a_n\rra$. \item Если $y\neq 0$, мы покажем, что $\ph\cong\lla a_1,\dots,a_{n-1},a_ny\rra$. Запишем $y=t^2-y_0$ для $y_0\in D(\tau')\cup\{0\}$. \begin{enumerate} \item Если $y_0=0$, $y=t^2$ и все очевидно. \item Если $y_0\in D(\tau')$, то по предположению индукции имеем $\tau\cong\lla y_0,c_1,\dots,c_{n-1}\rra$, поэтому $$ \begin{aligned} \ph&\cong\lla y_0,c_2,\dots,c_{n-1},a_n\rra\\ &\cong\lla y_0,c_2,\dots,c_{n-1},(t^2-y_0)a_n\rra\\ &=\lla y_0,c_2,\dots,c_{n-1},a_ny\rra\\ &\cong\lla a_1,\dots,a_{n-1},a_ny\rra, \end{aligned} $$ что и требовалось. \end{enumerate} Теперь если $x=0$, то $a_ny=b$ и все в порядке. Если же $x\in D(\tau')$, то $\tau=\lla x,d_2,\dots,d_{n-1}\rra$, откуда $$\ph\cong\lla x,d_2,\dots,d_{n-1},a_ny\rra \cong\lla x+a_ny,d_2,\dots,d_{n-1},-xa_ny\rra \cong\lla b,\dots\rra.$$ \end{enumerate} \end{proof} \begin{corollary} Изотропная форма Пфистера гиперболична. \end{corollary} \begin{proof} Если $\ph$ изотропна, то $1\in D(\ph')$ \end{proof} \begin{proof}[Доказательство теоремы~\ref{theorem:pfister_similar}] Запишем $\ph(x)=t^2-a$ для $a\in D(\ph')\cup\{0\}$. Если $a=0$, утверждение очевидно. Если $a\in D(\ph')$, то $\ph\cong\lla a\rra\otimes\tau$ для некоторой формы Пфистера $\tau$. Тогда $\ph(x)\ph=(t^2-a)\lla a\rra\tau\cong\lla a\rra\tau\cong\ph$, поскольку $\lla a\rra$ мультипликативна. \end{proof} \begin{corollary} Две пропорциональные формы Пфистера изометричны. \end{corollary} \begin{proof} Действительно, если $\ph,\ph'$~--- две формы Пфистера, $a\in k^*$ и $a\ph\cong\ph'$, то из $1\in D(\ph)$ следует $a\in D(\ph')$, откуда $\ph'\cong a\ph'$ по теореме~\ref{theorem:pfister_similar}. \end{proof} \begin{corollary}\label{corr:pfister_isotrop} Пусть $\ph\in P(k)$. Тогда, для всякого $a\in D(\ph)$ и $b\in k^*$ имеем $\ph\otimes\lla a\rra\sim 0$ и $\ph\otimes\lla ab\rra\cong\ph\otimes\lla b\rra$. \end{corollary} \begin{proof} Первая часть немедленно следует из теоремы~\ref{theorem:pfister_similar}; вторая~--- из первой и леммы~\ref{lemma:pfister_identity}. \end{proof} \begin{corollary} Пусть $q$~--- квадратичная форма размерности $>1$ над $k$ и $\ph\in P_n(k)$. Предположим, что $q\otimes\ph$ изотропна. Тогда \begin{enumerate} \item Найдется изотропная форма $q'$ такая, что $q\otimes\ph\cong q'\otimes\ph$. \item Анизотропная часть $q\otimes\ph$ имеет вид $\rho\otimes\ph$ для некоторой формы $\rho$. \item Индекс Витта формы $q\otimes\ph$ делится на $2^n$. \end{enumerate} \end{corollary} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Если форма $\ph$ изотропна, то она гиперболична и все очевидно. Пусть $\ph$ анизотропна. Запишем $q\cong\la a_1,\dots,a_n\ra$. По предположению существуют $b_1,\dots,b_n\in D(\ph)\cup\{0\}$ такие, что $a_1b_1+\dots+a_nb_n=0$ и не все $b_i$ равны нулю. Не умаляя общности, можно считать, что $b_1,\dots,b_r\in D(\ph)$ и $b_{r+1}=\dots=b_n=0$. Положим $q'=\la a_1b_1,\dots,a_rb_r,a_{r+1},\dots,a_n\ra$. Тогда $q'$ изотропна и $q'\otimes\ph\cong a_1b_1\ph\perp\dots\perp a_rb_r\ph\perp a_{r+1}\ph\perp\dots\perp a_n\ph \cong a_1\ph\perp\dots\perp a_r\ph\perp a_{r+1}\ph\perp\dots\perp a_n\ph\cong q\otimes\ph$. \item Если $q'$ такая, как в предыдущем абзаце и $m=i(q')$ максимален, то $q\otimes\ph\cong (m\times\mathbb H\perp\rho)\otimes\ph\sim\rho\otimes\ph$ и $\rho\otimes\ph$ анизотропна по предыдущему пункту. \item следует из предыдущего. \end{enumerate} \end{proof} \subsection{Суммы квадратов и $s$-инвариант} \begin{definition} Пусть $k$~--- поле; $s$-инвариантом $k$ называется наименьшее целое $s(k)$ такое, что $-1$ является суммой $s(k)$ квадратов в $k$. Если такого не существует, полагаем $s(k)=+\infty$. \end{definition} \begin{theorem}[Артин--Шрайер] $s(k)=+\infty$ тогда и только тогда, когда $k$ можно снабдить структурой упорядоченного поля. В этом случае говорят, что $k$~--- {\bf формально вещественное поле}. \end{theorem} \begin{theorem} Если $s(k)<+\infty$, то это степень двойки. \end{theorem} \begin{proof} Положим $s=s(k)$, пусть $n$~--- целое число такое, что $2^n\leq s<2^{n+1}$. Положим $\ph=\lla -1\rra^{\otimes n}$. Из определения $s$ следует, что найдутся $x,y$ такие, что $y\neq 0$ и $\ph(x)=-\ph(y)$. При этом $\ph(y)\neq 0$ (иначе $s<2^n$). Значит, $-1=\ph(x)/\ph(y)\in D(\ph)$ по теореме~\ref{theorem:pfister_similar}, откуда $s\leq 2^n$. \end{proof} % 29.03.2010 %\bigskip\hrule\bigskip \begin{definition} Если $A$~--- абелева группа, {\bf экспонентой} $A$ называется наименьшее целое число $m>0$ такое, что $mA=0$ (или $+\infty$, если такого не существует). \end{definition} \begin{proposition} \begin{enumerate} \item Экспонента $W(k)$ равна $2s(k)$. \item Если $s(k)<+\infty$, то всякий элемент $IF$ является нильпотентом. В частности, $W(k)$~--- локальное кольцо с максимальным идеалом $IF$. \end{enumerate} \end{proposition} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Экспонента аддитивной группы кольца равна порядку единицы. Обозначим $s=s(k)$. Это степень двойки, поэтому достаточно показать, что $s\times\la 1\ra\not\sim 0$ и $2s\times\la 1\ra\sim 0$. Первое следует из определения $s$; для доказательства второго заметим, что $(s+1)\times\la 1\ra$ является изотропной подформой формы Пфистера $2s\times\la 1\ra$, которая гиперболична. \item Для всякой формы $q=\la a_1,\dots,a_n\ra$ размерности $n$ имеем $q\otimes q\cong n\times\la 1\ra\perp\perp_{i\neq j}\la a_ia_j\ra\cong n\times\la 1\ra\perp\ph\perp\ph$, где $\ph=\perp_{i1$. \end{enumerate} \end{proof} \subsection{Связанные формы Пфистера} \begin{definition} Пусть $\ph_1,\ph_2$~--- две формы Пфистера. Будем говорить, что $\ph_1$ и $\ph_2$ являются {\bf $r$-связанными}, если существует $r$-форма Пфистера~$\tau$ и формы Пфистера $\psi_1$ и $\psi_2$ такие, что $\ph_1\cong\tau\otimes\psi_1$ и $\ph_2\cong\tau\otimes\psi_2$. Формы $\ph_1$ и $\ph_2$ называются {\bf связанными}, если они являются $(n-1)$-связанными $n$-формами Пфистера. \end{definition} \begin{theorem} Пусть $\ph_1,\ph_2$~--- две анизотропные формы Пфистера и $a_1,a_2\in k^*$. Тогда $i(a_1\ph_1\perp a_1\ph_2)=0$ или $2^r$, где $r$~--- наибольшее целое число, для которого $\ph_1$ и $\ph_2$ являются $r$-связанными. \end{theorem} Для доказательства теоремы нам потребуется некоторое усиление предложения~\ref{prop:pfister_pure_value}. \begin{proposition}\label{prop:pfister_pure_value_strong} Пусть $\ph\in P_r(k)$, $\psi\in P_s(k)$~--- две формы Пфистера, $\psi'$~--- чистая форма, ассоциированная с $\psi$. Если $a\in D(\psi'\otimes\ph)$, то существует $\tau\in P(k)$ такая, что $\psi\otimes\ph\cong\lla a\rra\otimes\tau\otimes\ph$. \end{proposition} \begin{proof} Индукция по $s$. Если $s=1$, то $\psi\cong\lla b\rra$ и $a\in D(b\ph)$, откуда $ab\in D(\ph)$. По следствию~\ref{corr:pfister_isotrop} имеем $\lla a\rra\otimes\ph\cong\lla b\rra\otimes\ph$. Пусть теперь $s>1$, $\psi\cong\lla b\rra\otimes\psi_1$, $\psi'_1$~--- чистая форма, ассоциированная с $\psi_1$. Тогда $\psi'\otimes\ph\cong b\psi_1\otimes\ph\perp\psi'_1\otimes\ph$. Запишем $a=bx+y$, где $x\in D(\psi_1\otimes\ph)\cup\{0\}$, $y\in D(\psi'_1\otimes\ph)\cup\{0\}$. Предположим сначала, что $x,y\neq 0$. Тогда $\psi\otimes\ph\cong\lla b\rra\otimes\psi_1\otimes\ph\cong\lla bx\rra\otimes\psi_1\otimes\ph$ по следствию~\ref{corr:pfister_isotrop}. Кроме того, по предположению индукции, существует форма Пфистера $\tau_1\in P_{s-1}(k)$ такая, что $\psi_1\otimes\ph\cong\lla y\rra\otimes\tau_1\otimes\ph$. Теперь по лемме~\ref{lemma:pfister_equiv} имеем $\psi\otimes\ph\cong\lla bx,y\rra\otimes\tau\otimes\ph\cong\lla a,-bxy\rra\otimes\tau_1\otimes\ph$. Если же $y=0$ или $x=0$, достаточно только половины из этих рассуждений. \end{proof} \begin{proof}[Доказательство теоремы] Пусть $\tau\in P_r(k)$, $\psi_1,\psi_2\in P(k)$ таковы, что $\ph_1\cong\tau\otimes\psi_1$, $\ph_2\cong\tau\otimes\psi_2$ и $r$ максимально. Если форма $a_1\ph_1\perp a_2\ph_2$ анизотропна, доказывать нечего. Если же она изотропна, то найдется $b\in D(a_1\ph_1)\cap D(-a_2\ph_2)$, откуда $a_1b\in D(\ph_1)$ и $-a_2b\in D(\ph_2)$. Тогда $a_1\ph_1\cong b\ph_1$ и $a_2\ph_2\cong-b\ph_2$. Теперь не умаляя общности можно считать, что $a_1=1$, $a_2=-1$. Имеем $\ph_1\perp -\ph_2\sim\tau\otimes(\psi'_2\perp -\psi'_1$, где $\psi'_1$ и $\psi'_2$~--- чистые формы, ассоциированные с $\psi_1$ и $\psi_2$. При этом $\dim(\ph_1\perp -\ph_2)-\dim(\tau\otimes(\psi'_2\perp -\psi'_1))=2^{r+1}$. Осталось показать, что форма $\tau\otimes(\psi'_2\perp -\psi'_1)$ анизотропна. Предположим противное. Тогда $a\in D(\tau\otimes\psi'_1)\cap D(\tau\otimes\psi'_2)$. Но тогда из предложения~\ref{prop:pfister_pure_value_strong} следует, что $\ph_1$ и $\ph_2$ на самом деле $(r+1)$-связанные, что противоречит выбору $r$. \end{proof} \subsection{Мультипликативные формы} \begin{definition} Пусть $V$~--- конечномерное векторное пространство над $k$. Мы будем обозначать через $k(V)$ поле частных кольца $\bigoplus_{n\geq 0}S^n(V)$, где $S^n(V)$~--- $n$-ая симметрическая степень $V$. После выбора базиса $(e_1,\dots,e_n)$ в $V$ поле $k(V)$ отождествляется с полем рациональных функций от переменных $(e_1,\dots,e_n)$. С точки зрения алгебраической геометрии $k(V)$ является полем функций аффинного многообразия $\mathbb V$ такого, что $\mathbb V(k)=V^*$~--- пространство, двойственное к $V$. В частности, если $(V,q)$~--- квадратичное пространство, то $q$ можно считать элементом $S^2(V^*)$, то есть, элементом $k(V^*)$. Если $(T_1,\dots,T_n)$~--- базис, двойственный к $(e_1,\dots,e_n)$, то $k(V^*)\cong k(T_1,\dots,T_n)$. Очевидно, что $q=q(T_1,\dots,T_n)\in D(q_{k(V^*)})$. \end{definition} \begin{definition} Квадратичная форма $\ph$ на пространстве $V$ называется {\bf мультипликативной}, если для $a=(\ph,0)\in K^*$ и $b=(0,\ph)\in K^*$ имеем $ab\in D(\ph_K)$, где $K=k(V^*\times V^*)$. Пусть $(T_1,\dots,T_N)$~--- базис $V^*$ и $K=k(U_1,\dots,U_n,V_1,\dots,V_n)$, где $U_i=(T_i,0)$ и $V_i=(0,T_i)$. Тогда условие мультипликативности можно переформулировать так: найдутся $f_1,\dots,f_n\in K$ такие, что $\ph(U_1,\dots,U_n)\ph(V_1,\dots,V_n)=\ph(f_1,\dots,f_n)$. \end{definition} \begin{theorem}[Классификация анизотропных мультипликативных форм] Пусть $\ph$~--- анизотропная квадратичная форма над $k$. Следующие условия эквивалентны: \begin{enumerate} \item $\ph$ мультипликативна. \item Для всякого расширения $K/k$ множество $D(\ph_K)$ является подгруппой в $K^*$. \item Для всякого чисто трансцендентного расширения $K/k$ множество $D(\ph_K)$ является подгруппой в $K^*$. \item $\ph$ является формой Пфистера. \end{enumerate} \end{theorem} % 5.04.2010 \begin{proof} $(4)\Rightarrow(2)$~--- из теоремы~\ref{theorem:pfister_similar}, $(2)\Rightarrow(1)$ и $(2)\Rightarrow(3)$~--- очевидно, $(1)\Rightarrow(2)$~--- из принципа подстановки (применительно к $K$; заметим, что если $q$ мультипликативна, то она остается мультипликативной после любого расширения $k$). Остается доказать $(3)\Rightarrow(4)$. Пусть $n=\dim(q)$ и $m$~--- наибольшее целое, для которого $q$ содержит некоторую подформу, изометричную $m$-форме Пфистера. Покажем, что $n=2^m$. Предположим противное: $n>2^m$, $\ph\leq q$ и $\ph\in P_m(k)$. Запишем $q\cong\ph\perp q'$. Пусть $K=k(V^*\times V^*)$, где $V$~--- пространство, на котором задана форма $\ph$. По $(3)\Rightarrow(1)$, примененному к $\ph$, есть тождество $\ph(U)\ph(V)=\ph(f)$, где $f\in K\otimes_kV$. Пусть $a\in D(q')$. Над $K$ имеет место $$ 0\neq\ph(U)+a\ph(V)=\frac{\ph(f)}{\ph(V)}+a\ph(V)=\ph(V)\left(\ph\left(\frac{f}{\ph(V)}\right)+a\right). $$ Оба множителя справа лежат в $D(q_K)$. Из мультипликативности $q$ следует, что $\ph(U)+a\ph(V)\in D(q_K)$. Отсюда по теореме о подформе $q\geq\ph\perp a\ph\in P_{m+1}(k)$, что противоречит максимальности $m$. \end{proof} Таким образом, если $n$~--- степень двойки, то имеется тождество $$ (x_1^2+\dots+x_n^2)(y_1^2+\dots+y_n^2)=z_1^2+\dots+z_n^2, $$ где $z_1,\dots,z_n$~--- рациональные функции от $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n$. На самом деле, можно доказать, что существуют такие функции $z_i$, линейные по $y$, то есть $z_i=\sum_j t_{ij}(x_1,\dots,x_n)y_j$, где $t_{ij}\in k(x_1,\dots,x_n)$. \begin{definition} Квадратичная форма $\ph$ называется {\bf round-формой}, если $D_k(\ph)=G_k(\ph)$. \end{definition} \begin{definition} Обозначим через $W_t(k)$ {\bf подгруппу кручения} группы $W(k)$: $W_t(k)=\{w\in W(k)\mid l\times w=0\text{ для некоторого }l\in\mathbb N\}$. Для $w\in W_t(k)$ наименьшее $l$ такое, что $l\times w=0$, называется {\bf порядком} $w$. \end{definition} \begin{theorem} $W_t(k)$ является 2-группой, то есть порядок любого элемента $w\in W_t(k)$ является степенью двойки. \end{theorem} \begin{proof} Пусть $w'\in W_t(k)$ имеет порядок $l=2^rs$, где $s$ нечетно и $s>1$. Тогда $w=2^rw'$ имеет порядок $s$. Выберем анизотропную квадратичную форму $\ph=\la a_1,\dots,a_m\ra$, представителем которой является $w$. Тогда $s$~--- наименьшее положительное число, для которого $s\times\ph\sim 0$. Возьмем теперь любую степень двойки $n$, большую $m$, и рассмотрим форму $\psi=\la 1,-\sum_1^nx_i^2\ra$ над $k(x)=k(x_1,\dots,x_n)$, где $x_i$~--- набор переменных над $k$. Нетрудно видеть, что $n\times\psi$~--- изотропная форма Пфистера, поэтому $n\times\psi\sim 0$ над $k(x)$. Из $s\times\ph\sim 0$ и $n\times\psi\sim 0$ получаем, что $s\times(\ph\otimes\psi)\sim 0$ и $n\times(\ph\otimes\psi)\sim 0$, откуда $\ph\otimes\psi\sim 0$, поскольку $s$ и $n$ взаимно просты. Это означает, что $\ph\cong(\sum_1^nx_i^2)\ph$ над $k(x)$. В частности, $\ph$ представляет элемент $a_1\sum_1^nx_i^2$ над $k(x)$. Но $a_1\sum_1^nx_i^2$~--- это общий элемент квадратичной формы $n\times\la a_1\ra$. Поскольку $\ph$ анизотропна над $k$, из теоремы~\ref{theorem:subform} о подформе теперь следует, что $\ph$ содержит $n\times\la a_1\ra$, поэтому $m=\dim\ph\geq n$~--- противоречие. \end{proof} \begin{remark} С помощью такого же типа рассуждений (со ссылкой на теорему о подформе) нетрудно доказать (упражнение!), что, скажем, выражение $x^2+y^2+z^2+t^2$ не может быть представлено в виде суммы {\it трех} квадратов рациональных функций от переменных $x,y,z,t$. \end{remark} \begin{theorem} Пусть $\ph\leq\psi$~--- две формы Пфистера. Тогда существует форма Пфистера $\tau$ такая, что $\psi=\ph\otimes\tau$. \end{theorem} \begin{proof} Доказывается аналогично; индукция по $\dim\psi-\dim\ph$. Пусть $\psi=\ph\perp q$ и $a\in D(q)$; нетрудно показать, что $\ph\otimes\la 1,a\ra\leq\psi$. \end{proof} \begin{definition} Пусть $(V,q)$~--- квадратичное пространство размерности $n$ и $Q$~--- матрица формы $q$ в некотором базисе. {\bf Дискриминантом} формы $q$ называется элемент $d(q)=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\det Q\in k^*/(k^*)^2$. Он не зависит от выбора базиса в $V$. \end{definition} \begin{proposition} Отображение $e_0\colon W(k)\to\mathbb Z/2$, $e_0(\ph)=\dim(\ph)\mod 2$, является сюръективным гомоморфизмом колец. Ядро этого гомоморфизма~--- фундаментальный идеал $IF$, поэтому $W(k)/IF\cong\mathbb Z/2$. \end{proposition} \begin{proof} См.~определение~\ref{def:fundamental_ideal}. \end{proof} Множитель $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$ позволяет дискриминанту быть корректно определенным на кольце Витта~--- дискриминант не меняется при замене формы на эквивалентную. Заметим, что при этом дискриминант не является гомоморфизмом: вообще говоря, неверно, что $d(q_1\perp q_2)=d(q_1)d(q_2)$. Но если ограничиться рассмотрением форм четной размерности (то есть представителей элементов из $IF$), то оказывается, что дискриминант является гомоморфизмом, поскольку для формы $\ph$ четной размерности $d(\ph)=(-1)^{\frac{\dim(\ph)}{2}}\det(\ph)$ Чуть позднее (теорема~\ref{thm:discriminant_iso}) мы докажем, что дискриминант отождествляет $IF/I^2F$ с $k^*/(k^*)^2$. \begin{definition} Степени фундаментального идеала определяют фильтрацию кольца Витта. Пусть $\overline{I^nF}=I^nF/I^{n+1}F$ (при этом $I^0F=W(k)$). Построим абелеву группу $gr(W)=\overline{I^0F}\oplus\overline{I^1F}\oplus\overline{I^2F}\oplus\dots$ и введем на этой группе операцию умножения, индуцированную умножением в кольце Витта $W(k)$: для $\overline{x}\in\overline{I^mF}$, $\overline{y}\in\overline{I^nF}$ элемент $\overline{x}\cdot\overline{y}=\overline{xy}\in\overline{I^{m+n}F}$ корректно определен. Полученное кольцо называется {\bf градуированным кольцом Витта} поля~$k$. \end{definition} Оказывается, что $\overline{I^2F}$ отождествляется с 2-кручением группы Брауэра~--- классического объекта. В ближайшее время мы построим по форме $q$ центральную простую алгебру (Клиффорда), и сопоставление форме класса этой алгебры в группе Брауэра поля $k$ окажется гомоморфизмом $e_2\colon I^2F\to Br(k)$, который превратится в изоморфизм $\overline{e_2}\colon \overline{I^2F}\to {}_2Br(k)$. \section{$K$-теория Милнора} % 12.04.2010 \subsection{Элементарные инварианты} \begin{proposition}\label{prop:disc_properties} \begin{enumerate} \item Если $q=\la a_1,\dots,a_n\ra$, то $d_q=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_1\dots a_n$. \item $d(q\perp q')=d_qd_{q'}(-1)^{nn'}$, где $n'=\dim q'$. \item $d(q\perp\mathbb H)=d_q$. \item $d(q\otimes q')=(d_q)^{n'}(d_{q'})^n$. \end{enumerate} \end{proposition} \begin{proof} Легко. \end{proof} \begin{theorem}\label{thm:discriminant_iso} Инвариант $d$ индуцирует изоморфизм $IF/I^2F\to k^*/(k^*)^2$. \end{theorem} \begin{proof} Из предыдущего предложения следует, что $d$ является гомоморфизмом и $d|_{I^2F}=1$. Значит, $d$ индуцирует гомоморфизм $\overline{d}\colon IF/I^2F\to k^*/(k^*)^2$. Он сюръективен, поскольку $d(\la 1,-a\ra)=a$ для $a\in k^*/(k^*)^2$. Для доказательства инъективности предположим, что $q\in IF$ и $d(q)=1$. Ведем индукцию по $2n=\dim q$. Если $n=1$, то $q=\la a_1,a_2\ra$ и $a_2=-a_1$ по модулю $(k^*)^2$, откуда $\ph\cong a_1\la 1,-1\ra$ и $\tilde\ph=0$ в $W(k)$. Если $n>1$, то $\ph=\la a_1,a_2,a_3\ra\perp\la a_4,\dots,a_{2n}\ra\sim\la a_1,a_2,a_3,a_1a_2a_3\ra\perp \la -a_1a_2a_3,a_4,\dots,a_{2n}\ra$. Заметим, что $\la a_1,a_2,a_3,a_1a_2a_3\ra\cong \la a_1,a_2\ra\otimes\la 1,a_1a_3\ra\in I^2F$, размерность формы $\la -a_1a_2a_3,a_4,\dots,a_{2n}\ra$ равна $2(n-1)$, а дискриминант равен 1. Значит, она лежит в $I^2F$ по предположению индукции, откуда $\ph\in I^2F$. \end{proof} \begin{corollary} \begin{enumerate} \item Если размерность формы $q$ нечетна, то $q\equiv\la d(q)\ra\pmod{I^2F}$. \item Если размерность формы $q$ четна, то $q\equiv\la 1,-d(q)\ra\pmod{I^2F}$. \end{enumerate} \end{corollary} \begin{proof} Очевидно. \end{proof} Можно явно описать расширение $\mathbb Z/2$ с помощью $k^*/(k^*)^2$, определенное $W(k)/I^2F$. Обозначим через $Q(k)$ множество $\mathbb Z/2\otimes k^*/(k^*)^2$, снабженное следующей операцией: $$ (a,u)+(b,v)=(a+b,(-1)^{ab}uv). $$ \begin{proposition}\label{prop:group_Q} Отображение $q\mapsto (\overline{\dim}(q),d(q))$ индуцирует изоморфизм $$ W(k)/I^2F\to Q(k). $$ \end{proposition} \begin{proof} Достаточно проверить, что это гомоморфизм; это напрямую следует из предложения~\ref{prop:disc_properties}. \end{proof} \begin{definition} Пусть $(V,q)$~--- квадратичное пространство над $k$. {\bf Алгеброй Клиффорда} $C(q)$ формы $q$ называется фактор-алгебра тензорной алгебры $T(V)$ пространства $V$ по двустороннему идеалу, порожденному элементами вида $v\otimes v-q(v)1$, $v\in V$. \end{definition} Если $q=\la a_1,\dots,a_n\ra$ в ортогональном базисе $(e_1,\dots,e_n)$ пространства $V$, то $C(q)$ можно описать как алгебру, порожденную элементами $e_i$ с соотношениями $e_i^2=a_i$ и $e_ie_j+e_je_i=0$ для $i\neq j$. \begin{proposition}[универсальное свойство $C(q)$] Если $A$~--- $k$-алгебра, $f\colon V\to A$~--- гомоморфизм векторных пространств над $k$ такой, что $f(v)^2=q(v)$ для всех $v\in V$, то $f$ единственным образом продолжается до гомоморфизма $k$-алгебр $\tilde f\colon C(V)\to A$. \end{proposition} Поскольку $T(V)$ является градуированной алгеброй и соотношения в $C(q)$ однородны по модулю 2, то алгебра $C(q)$ обладает естественной $\mathbb Z/2$-градуировкой. Будем обозначать через $C_0(q)$ (соответственно $C_1(q)$) ее четную (соответственно нечетную) часть. Алгебру с $\mathbb Z/2$-градуировкой еще называют {\bf супералгеброй}. \begin{definition} Пусть $A$, $B$~--- две супералгебры над $k$. {\bf Градуированным тензорным произведением} $A$ и $B$ называется супералгебра $A\hat\otimes_k B$ такая, что \par\noindent $\bullet$ $A\hat\otimes_k B$ совпадает с $A\otimes_k B$ как векторное пространство; \par\noindent $\bullet$ если $(a,a',b,b')\in A^2\times B^2$~--- однородны, то $$ (a\hat\otimes b)(a'\hat\otimes b')=(-1)^{|a'||b|}aa'\hat\otimes bb'; $$ \par\noindent $\bullet$ если $a\in A$, $b\in B$ однородны степеней $i$, $j$, то $ab$ однороден степени $i+j$. \end{definition} \begin{proposition} Если $\dim q=n$, то $\dim_k C(q)=2^n$. \end{proposition} Если $(V_1,q_1)$, $(V_2,q_2)$~--- два квадратичных пространства над $k$, включения $V_i\hookrightarrow V_1\otimes V_2\hookrightarrow C(q_1\perp q_2)$ вместе с универсальным свойство алгебры Клиффорда индуцируют гомоморфизмы алгебр $C(q_i)\to C(q_1\perp q_2)$, которые являются и гомоморфизмами супералгебр. В $C(q_1\perp q_2)$ выполнено $v_1v_2=-v_2v_1$ для $(v_1,v_2)\in V_1\times V_2$; эти гомоморфизмы продолжаются до гомоморфизма супералгебр $C(q_1)\hat\otimes_kC(q_2)\to C(q_1\perp q_2)$. \begin{theorem}\label{thm:tensor_product_of_superalgebras} Этот гомоморфизм является изоморфизмом супералгебр. \end{theorem} \begin{proof} Сюръективность очевидна; инъективность следует из предыдущего предложения и соображений размерности. \end{proof} \begin{corollary} Пусть $q$~--- квадратичная форма, $a\in k^*$ и $q'=\la -a\ra\perp q$. Тогда $C(aq)$ изоморфна (как алгебра) $C_0(q')$. \end{corollary} \begin{proof} $C(q')\cong C(\la -a\ra)\hat\otimes_k C(q)$, откуда $$ C(q')\cong C_0(\la -a\ra)\hat\otimes_kC(q)\oplus C_1(\la -a\ra)\hat\otimes_kC(q)=C(q)\oplus zC(q) $$ (изоморфизмы векторных пространств), где $z$~--- каноническая образующая $C_q(\la-a\ra)$, $z^2=-a$. Отсюда $C_0(q')\cong C_0(q)\oplus zC_1(q)$. Остается отождествить последнее слагаемое с $C(aq)$. Но $z$ коммутирует с $C_0(q)$ и антикоммутирует с $C_1(q)$; в частности, $(zv)^2=zvzv=-z^2v^2=aq(v)$ для всех $v\in V$. Из универсального свойства алгебры Клиффорда теперь следует, что линейное отображение $V\to C_0(q)\oplus zC_1(q)$, $v\mapsto zv$ продолжается до гомоморфизма алгебр $C(aq)\to C_0(q)\oplus zC_1(q)$. Очевидно, что этот гомоморфизм сюръективен, и биективен по соображениям размерности. \end{proof} \begin{corollary} $\dim C_0(q)=\dim C_1(q)=2^{n-1}$. \end{corollary} \subsection{Группа Брауэра} \begin{definition} Пусть $A$~--- кольцо. $A$-модуль $M$ называется {\bf простым}, если у него нет подмодулей, кроме $M$ и $0$. $M$ называется {\bf полупростым}, если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям: \begin{enumerate} \item $M$~--- сумма своих простых подмодулей; \item $M$~--- прямая сумма простых модулей; \item всякий подмодуль $M$ выделяется прямым слагаемым. \end{enumerate} \end{definition} \begin{definition} Кольцо $A$ называется {\bf полупростым}, если оно удовлетворяет следующим эквивалентным условиям: \begin{enumerate} \item всякий левый $A$-модуль прост; \item $A$ прост как левый $A$-модуль; \item всякий идеал $A$ выделяется прямым слагаемым. \end{enumerate} Полупростое кольцо $A$ называется {\bf простым}, если в нем нет двусторонних идеалов, отличных от $0$ и $A$. \end{definition} \begin{theorem} Всякое полупростое кольцо является прямым произведением конечного числа простых колец. Оно является простым тогда и только тогда, когда всякий простой модуль над ним изоморфен ему. Всякое простое кольцо изоморфно алгебре матриц над телом. \end{theorem} \begin{definition} Алгебру над полем $F$ будем называть {\bf простой $F$-алгеброй}, если она конечномерна над $F$ и является простым кольцом. $F$-алгебра называется {\bf центральной}, если ее центр совпадает с $F$. \end{definition} \begin{definition} Пусть $A$~--- $F$-алгебра, $B$~--- подалгебра $A$. {\bf Централизатор} $B$ в $A$~--- это $B'=\{a\in A\mid ab=ba\;\forall b\in B\}$. $B'$ является подалгеброй в $A$. \end{definition} \begin{theorem} \begin{enumerate} \item Пусть $K/F$~--- расширение полей. $F$-алгебра $A$ является центральной простой тогда и только тогда, когда $K$-алгебра $A_K:=K\otimes_F A$ является центральной простой. \item Пусть $A$~--- центральная простая $F$-алгебра. \begin{enumerate} \item Размерность $A$ над $F$ является точным квадратом. \item Пусть $B$~--- простая $F$-подалгебра $A$, $B'$~--- ее централизатор в $A$. Тогда \begin{enumerate} \item $B'$ проста. \item $[B:F][B':F]=[A:F]$. \item централизатор $B'$ в $A$ совпадает с $B$. \item если $B$ центральна, то $B'$ центральна и гомоморфизм $B\otimes_F B'\to A$ является изоморфизмом. \end{enumerate} \item Пусть $B$~--- центральная простая $F$-алгебра. Тогда алгебра $A\otimes_F B$ является центральной простой. \item Пусть $A^0$~--- алгебра, противоположная к $A$. Тогда существует канонический изоморфизм $A\otimes_F A^0\cong\End_F(A)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{theorem} % 19.04.2010 % группа Брауэра \begin{definition} Пусть $F$~--- поле. Две конечномерные центральные простые $F$-алгебры $A,B$ называются {\bf подобными}, если выполняются следующие эквивалентные условия: \begin{enumerate} \item Для некоторого тела $D$ с центром $F$ и целых $a,b$ выполняется $A\cong M_a(D)$ и $B\cong M_b(D)$. \item Найдутся целые $a,b$ такие, что $M_b(A)\cong M_a(B)$. \item Категории левых $A$-модулей и левых $B$-модулей эквивалентны. \end{enumerate} Будем говорить, что $A$ {\bf нейтральна}, если $A$ подобна $F$. \end{definition} Из третьего условия видно, что это подобие является отношением эквивалентности. \begin{theorem} \begin{enumerate} \item Совокупность классов подобия центральных простых $F$-алгебр образует множество $Br(F)$. \item Тензорное произведение снабжает $Br(F)$ структурой группы; нейтральным элементом является класс нейтральных алгебр; обратный к классу алгебры $A$~--- это класс противоположной алгебры $A^0$; эта группа коммутативна. \item Если $K/F$~--- расширение полей, то расширение скаляров индуцирует гомоморфизм $Br(F)\to Br(K)$. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} Очевидно. \end{proof} \begin{remark} Группа $Br(F)$ называется {\bf группой Брауэра} поля $F$. \end{remark} \begin{examples} \begin{enumerate} \item Если поле $F$ алгебраически замкнуто, то $Br(F)=0$. \item $Br(\mathbb R)\cong\mathbb Z/2$; эту группу порождает класс кватернионов Гамильтона $\quaternion{-1}{-1}{\mathbb R}$ \item $Br(\mathbb F_q)=0$. \end{enumerate} \end{examples} Заметим, что $\lla a\rra\perp\lla b\rra\equiv\lla ab\rra\pmod{I^2F}$ (см. лемму~\ref{lemma:pfister_identity}). Кроме того, $\lla x,1-x\rra\cong\lla 1,\dots\rra\sim 0$. Рассмотрим абелеву группу, порожденную символами $\{a_1,\dots,a_n\}$, где $a_i\in k^*$, с соотношениями \begin{enumerate} \item $\{\dots,a,\dots\}+\{\dots,b,\dots\}=\{\dots,ab,\dots\}$; \item $\{\dots,x,\dots,1-x,\dots\}=0$. \end{enumerate} Введем на этой группе умножение так: $$ \{a_1,\dots,a_n\}\cdot\{b_1,\dots,b_m\}=\{a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_m\}. $$ Получится градуированное кольцо, которое обозначается через $K_*^M(k)$ и называется {\bf $K$-теорией Милнора} поля $k$. Эквивалентно, $$ K_*^M(k)\cong T(k^*)/x\otimes(1-x) $$ --- фактор-алгебра тензорной алгебры (над $\mathbb Z$) мультипликативной группы поля $k$. \begin{definition} Пусть $A$~--- центральная простая $F$-алгебра. Расширение $K/F$ называется {\bf нейтрализующим полем}, если $A_K$ нейтральна. \end{definition} \begin{theorem} Пусть $A$~--- центральная простая $F$-алгебра; $E/F$~---- конечное расширение. $E$ является нейтрализующим полем для $A$ тогда и только тогда, когда существует центральная простая $F$-алгебра $B$, подобная $A$, такая, что $E$ является максимальной коммутативной подалгеброй в $B$. Более того, следующие утверждения эквивалентны: \begin{enumerate} \item $E$~--- максимальная коммутативная подалгебра в $B$. \item $E$ совпадает со своим централизатором. \item $[B:F]=[E:F]^2$. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{theorem}[Сколем--Нетер] Пусть $A$~--- центральная простая $F$-алгебра, $B,C$~--- две простые подалгебры $A$ и $f\colon B\to C$~--- изоморфизм $F$-алгебр. Тогда существует обратимый $a\in A$ такой, что $f(x)=axa^{-1}$ для всех $x\in B$. В частности, любой автоморфизм алгебры $A$ является внутренним. \end{theorem} %!!! кажется, этой теоремы не было! %\begin{theorem} %Пусть $D$~--- центральное тело над $F$. Существует максимальное коммутативное %под-тело в $D$, сепарабельное над $F$. %\end{theorem} \begin{definition} Пусть $A$~--- центральная простая $F$-алгебра. Запишем $A=M_n(D)$ для некоторого тела $D$. \begin{enumerate} \item {\bf Степень} $A$~--- это целое число $\sqrt{[A:F]}$. \item {\bf Индекс} $A$~--- это целое число $\sqrt{[D:F]}$. \item {\bf Экспонента} $A$~--- это порядок класса алгебры $A$ в $Br(F)$. \end{enumerate} \end{definition} \begin{proposition} Для всякой центральной простой $F$-алгебры $A$ \begin{enumerate} \item экспонента $A$ делит ее индекс, а индекс делит ее степень; \item индекс и экспонента $A$ состоят из одинаковых простых делителей. % этого пункта тоже не было \end{enumerate} \end{proposition} \begin{proposition} Пусть $A$~--- центральная простая $F$-алгебра; $K/F$~--- расширение полей. \begin{enumerate} \item $\ind(A)$ делится на $\ind(A_K)$. \item Если $[K:F]=n<+\infty$, то $\ind(A)/\ind(A_K)$ является делителем $n$. \item Если $K/F$~--- чисто трансцендентное расширение, то $\ind(A_K)=\ind(A)$. \end{enumerate} \end{proposition} \begin{lemma}[Альберт] Пусть $F$~--- поле характеристики не 2, $D$~--- конечномерное центральное тело над $F$ и $a\in F^*\setminus (F^*)^2$. Пусть $E=F(\sqrt{a})$. Тогда $D_E$ не является телом тогда и только тогда, когда $D$ содержит подполе, изоморфное $E$. \end{lemma} \begin{proof} $D$ содержит подполе, изоморфное $E$ тогда и только тогда, когда $a$ является квадратом в $D$. Тогда $$ (1\otimes x-\sqrt{a}\otimes 1)(1\otimes x+\sqrt{a}\otimes 1)=0, $$ поэтому $D_E$ содержит делители нуля и не может быть телом. Обратно, если $D_E$~--- не тело, то найдутся $s,t,u,v\in D$, не все равные нулю, такие, что $(1\otimes s + \sqrt{a}\otimes t)(q\otimes u + \sqrt{a}\otimes v)=0$. Тогда $s,u\neq 0$ и, после домножения слева на $s^{-1}$ и справа на $u^{-1}$, можно считать, что $s=u=1$. Тогда $0=(1+t\sqrt{a})(1+v\sqrt{a})=1+tvd+(t+v)\sqrt{a}$. Отсюда $v=-t$ и $1-dt^2=0$; теперь видно, что $(t^{-1})^2=a$. \end{proof} \begin{proposition} Пусть $A$~--- центральная простая алгебра над $F$, $K$~--- подполе в $A$ и $B=K'$. Тогда $A_K$ подобна $B$. \end{proposition} \begin{definition} Пусть $a,b\in F^*$. {\bf Алгеброй кватернионов}, построенной по паре $(a,b)$, называется $F$-алгебра $\quaternion{a}{b}{F}$ с базисом $(1,i,j,k)$ такая, что $i^2=a, j^2=b, ij=-ji=k$. \end{definition} \begin{remark} Алгебра $\quaternion{a}{b}{F}$ совпадает с алгеброй $C(\la a,b\ra)$ (если забыть про структуру супералгебры на этой алгебре Клиффорда). \end{remark} \begin{theorem}\label{thm:quaternion_splitting} Пусть $a,b\in F^*$. Следующие условия эквивалентны: \begin{enumerate} \item Квадратичная форма $\la 1,-a,-b\ra$ изотропна. \item Квадратичная форма $\lla a,b\rra$ изотропна. \item Алгебра $Q=\quaternion{a}{b}{F}$ не является телом. \item Алгебра $Q$ изоморфна $M_2(F)$. \end{enumerate} В частности, $Q$~--- центральная простая алгебра над $F$ степени 2. \end{theorem} \begin{proof} $(1)\Longleftrightarrow (2)$~--- нетрудно. %??? $(2)\Longleftrightarrow (3)$: заметим, что если $x,y,z,t\in F$, то $(x+yi+zj+tk)(x-yi-zj-tk)=x^2-ay^2-bz^2+abt^2=q(x,y,z,t)$, где $q=\lla a,b\rra$. Значит, если $q$ изотропна, то в $Q$ есть делители нуля, а если $q$ анизотропна, то всякий элемент $x+yi+zj+tk\in Q\setminus\{0\}$ обратим; обратный к нему равен $(x-yi-zj-tk)/q(x,y,z,t)$. Очевидно, что $(4)\Rightarrow(3)$. Покажем что $(3)\Rightarrow(4)$. Предположим, что $a=1,$ $b=-1$ и построим изоморфизм $\quaternion{a}{b}{F}\cong M_2(F)$. Пусть $(E_{ij})_{i,j\in\{0,1\}}$~--- канонический базис $\End_F(F\hat\oplus F)$. Тогда нужный изоморфизм устанавливается так: $$ \begin{aligned} % нарисовать в матрицах 1&\mapsto E_{00}+E_{11}\\ i&\mapsto E_{01}+E_{10}\\ j&\mapsto E_{01}-E_{10}\\ k&\mapsto E_{11}-E_{00}\\ \end{aligned} $$ Заметим, что $\quaternion{a}{b}{F}\cong\quaternion{as^2}{bt^2}{F}$ для $s,t\in F^*$. Значит, для произвольных $a,b$ существует расширение $E/F$ такое, что $Q_E\cong\quaternion{1}{-1}{E}$. Значит, и $Q$ является центральной простой и, очевидно, степени 2. Если $Q$ не является телом, то она обязана быть изоморфна $M_2(F)$. \end{proof} Верно и обратное: \begin{theorem} Всякая центральная простая $F$-алгебра $A$ степени 2 является алгеброй кватернионов. \end{theorem} \begin{proof} Можно считать, что $A$~--- тело. Пусть $E\subset A$~--- максимальное коммутативное подтело $A$. Тогда $E=F(\sqrt{a})$ для подходящего $a\in F^*$. Возьмем $i\in E$ такое, что $i^2=a$. Рассмотрим внутренний автоморфизм $\sigma$ алгебры $A$, определенный $i$: видно, что $\sigma^2=1$. Если $i$ не централен, то $\sigma\neq 1$; поэтому у $\sigma$ есть собственное число, равное $-1$, то есть, найдется $j\in A$ такой, что $\sigma(j)=-j$. Стало быть, $ij=-ji$. Легко видеть, что $j$ не централен, поэтому $j$ порождает максимальное коммутативное подтело $K$ в $A$. Автоморфизм $\sigma$ переводит $K$ в себя и его ограничение на $F$ тривиально; поэтому множество неподвижных точек $\sigma|_K$ совпадает с $F$. В частности, $j^2=b\in F$. Наконец, положим $k=ij$. Если $x+yi+zj+tk=0$~--- какая-то нетривиальная линейная комбинация, то после сопряжения при помощи $i$, $j$ и $k$ получим соотношения $$ \begin{aligned} x+yi-zj-tk&=0\\ x-yi+zj-tk&=0\\ x-yi-zj+tk&=0\\ \end{aligned} $$ откуда $x=y=z=t=0$. \end{proof} \begin{lemma}\label{lemma:relations_quaternion} Для $a,b\in F^*$ обозначим через $(a,b)$ класс алгебры $\quaternion{a}{b}{F}$ в $Br(F)$. Тогда $$ \begin{aligned} (a,b)&=(b,a)\\ (a^2,b)&=0\\ (a,1-a)&=0\quad(a\neq 1)\\ (a,-a)&=0\\ (a,bb')&=(a,b)+(a,b')\\ \end{aligned} $$ \end{lemma} \begin{proof} Первое свойство очевидно. Следующие три получаются из теоремы~\ref{thm:quaternion_splitting}. Для доказательства последнего построим изоморфизм $$ \ph\colon\quaternion{a}{b}{F}\times_F\quaternion{a}{b'}{F}\stackrel{\sim}{\longrightarrow} M_2\left(\quaternion{a}{bb'}{F}\right). $$ Пусть $(1,i,j,k)$, $(1,i',j',k')$, $(1,i'',j'',k'')$~--- соответственно канонические базисы алгебр $\quaternion{a}{b}{F}$, $\quaternion{a}{b'}{F}$ и $\quaternion{a}{bb'}{F}$. Вот образы некоторых элементов при нашем изоморфизме: $$ \begin{aligned} \ph(i\otimes 1)&=\begin{pmatrix}i''&0\\0&i''\end{pmatrix}\qquad & \ph(1\otimes i')&=\begin{pmatrix}-i''&0\\0&i''\end{pmatrix}\\ \ph(j\otimes 1)&=\begin{pmatrix}0&-j''\\-b'^{-1}j''&0\end{pmatrix}\qquad & \ph(1\otimes j')&=\begin{pmatrix}0&b'\\1&0\end{pmatrix}\\ \ph(k\otimes 1)&=\begin{pmatrix}0&-k''\\-b'^{-1}k''&0\end{pmatrix}\qquad & \ph(1\otimes k')&=\begin{pmatrix}0&-b'i''\\i''&0\end{pmatrix}.\\ \end{aligned} $$ Необходимо лишь проверить, что $\ph$ является гомоморфизмом алгебр; любой гомоморфизм из одной простой алгебры в другую является инъективным, и сюръективность вытекает из соображений размерности. \end{proof} \begin{lemma}[Альберт]\label{lemma:chain_albert} Пусть $a,b,c,d\in F^*$ таковы, что $(a,b)=(c,d)$. Тогда существует $e\in F^*$ такой, что $(a,b)=(a,e)=(c,e)=(c,d)$. \end{lemma} \begin{proof} Пусть $D=\quaternion{a}{b}{F}$ и $D_0$~--- векторное $F$-подпространство в $D$, состоящее из элементов следа $0$ (ортогональных к 1 по отношению к приведенной норме); тогда $\dim D_0=3$. Ограничение $q$ на $D_0$ совпадает с отображением $x\mapsto -x^2$. По предположению, найдутся $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in D_0$ такие, что $$ \begin{array}{c} \alpha^2=a,\beta^2=b,\alpha\beta+\beta\alpha=0\\ \gamma^2=c,\delta^2=d,\gamma\delta+\delta\gamma=0. \end{array} $$ Иными словами, $(\alpha,\beta)$ и $(\gamma,\delta)$~--- пары ортогональных векторов. Но $\dim D_0=3$, поэтому найдется $\varepsilon\in D_0$, ортогональный к $\alpha$ и $\gamma$. Тогда можно взять $e=\varepsilon^2$. \end{proof} % 26.04.2010 % группа Брауэра-Уолла \subsection{Группа Брауэра--Уолла} В этом разделем мы определим аналог группы Брауэра для супералгебр. Пусть $A$~--- супералгебра над $F$. \begin{definition} Супералгебра $A$ называется {\bf простой}, если она не имеет градуированных двусторонних идеалов, кроме $0$ и $A$. \end{definition} \begin{definition} {\bf (Градуированным) центром} супералгебры $A$ называется $\hat{Z}(A)=Z_0(A)\oplus Z_1(A)$, где $Z_i(A)=\{a\in A_i\mid\forall x\in A_j, ax=(-1)^{ij}xa,j=0,1\}$. Супералгебра $A$ над $F$ называется {\bf центральной}, если $\hat{Z}(A)=(F,0)$. \end{definition} \begin{examples}\label{examples:superalgebras} \begin{enumerate} \item Пусть $A$~--- алгебра над $F$. Определим супералгебру $i(A)$ так: $i(A)_0=A$, $i(A)_1=0$. Если $A$ центральная простая алгебра, то $i(A)$~--- центральная простая супералгебра. \item Пусть $V=V_0\hat\oplus V_1$~--- конечномерное векторное суперпространство над $F$. Алгебра $\End_F(V)$ допускает естественную градуировку, в которой эндоморфизм $u$ является четным, если $u(V_i)\subset V_i$ и нечетным, если $u(V_i)=V_{i+1}$ для всех $i\in\mathbb Z/2$. Полученная супералгебра является центральной простой. \item Пусть $a\in F^*$. Супералгебра $C(\la a\ra)$ изоморфна (как алгебра без градуировки) $F[t]/(t^2-a)$. Ее градуировка определяется однозначно из условия $|t|=1$. Нетрудно видеть, что эта супералгебра является центральной простой. \end{enumerate} \end{examples} \begin{proposition}\label{prop:tensor_product_of_central_simple_superalgebras} Если $A,B$~--- центральные простые $F$-супералгеб\-ры, то $A\hat\otimes_F B$~--- тоже центральная простая супералгебра. \end{proposition} \begin{theorem}\label{thm:clifford_superalgebra_is_central_simple} Для всякой невырожденной квадратичной формы $q$ супералгебра $C(q)$ над $F$ является центральной простой. \end{theorem} \begin{proof} Приведение формы к диагональному виду с учетом теоремы~\ref{thm:tensor_product_of_superalgebras} и предложения~\ref{prop:tensor_product_of_central_simple_superalgebras} сводит задачу к случаю $\dim q=1$, который приведен в примере~\ref{examples:superalgebras} (3). \end{proof} \begin{definition} Две $F$-супералгебры $A$, $B$ называются {\bf подобными}, если существуют два векторных суперпространства $V$, $W$ над $F$ такие, что $A\hat\otimes\End_F(V)\cong B\hat\otimes\End_F(W)$ (см. пример~\ref{examples:superalgebras} (2)). Обозначение: $A\sim B$. Пусть $A$~---супералгебра. {\bf Противоположная супералгебра} $A^*$ определяется так: как векторное пространство $A^*=\{a^*\mid a\in A\}$, градуировка вводится так, что $A^*_i=\{a^*\mid |a|=i\}$, а произведение выглядит так: $a^*b^*=(-1)^{|a||b|}(ba)^*$ для однородных $a,b$. \end{definition} \begin{theorem} Отношения подобия является отношением эквивалентности на множестве центральных простых $F$-супералгебр, совместимым с градуированным тензорным произведением. Полугруппа классов эквивалентности является коммутативной группой и называется {\bf группой Брауэра--Уолла} поля $F$ и обозначается через $BW(F)$. Если $A$~--- центральная простая $F$-супералгебра, класса $\la A\ra\in BW(F)$, то представителем класса $-\la A\ra$ является супералгебра $A^*$, противоположная к $A$. \end{theorem} \begin{proof} Для проверки коммутативности $BW(F)$ заметим, что если $A$ и $B$~--- супералгебры над $F$, то имеется изоморфизм $F$-супералгебр $A\hat\otimes B\stackrel{\sim}{\longrightarrow}B\hat\otimes A$, задаваемый так: $a\hat\otimes b\mapsto (-1)^{|a||b|}b\hat\otimes a$ для однородных $a,b$. \end{proof} \begin{proposition}\label{prop:clifford_superalgebra_of_hyperbolic_plane} \begin{enumerate} \item Имеется изоморфизм $C(\mathbb H)\cong\End_F(F\hat\oplus F)$. \item Если $a,b,c\in F^*$, то \begin{enumerate} \item $C(\la ac,bc\ra)\hat\otimes i\left(\quaternion{ac}{bc}{F}\right)\cong C(\la a,b\ra)\hat\otimes i\left(\quaternion{a}{b}{F}\right)$; \item $C(\lla a,b\rra)\sim i\left(\quaternion{a}{b}{F}\right)$; \item $C(\lla a,b,c\rra)\sim 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{proposition} \begin{proof} Заметим, что все участвующие в формулировке супералгебры являются центральными простыми. Поэтому для проверки изоморфизма достаточно построить гомоморфизм и установить совпадение размерностей; тогда построенный гомоморфизм будет инъективным в силу простоты и сюръективным из соображений размерности. \begin{enumerate} \item Пусть $(e_1,e_2)$~~--- канонический базис гиперболической плоскости $\mathbb H=\la 1,-1\ra$. Тогда в $C(\mathbb H)$ есть базис $(1,e_1,e_2,e_1e_2)$ и $|e_1|=|e_2|=1$, $e_1^2=1$, $e_2^2=-1$, $e_1e_2=-e_2e_1$. Супералгебра $\End_F(F\hat\oplus F)$ обладает базисом $(E_{ij})_{i,j\in\{0,1\}}$ с $|E_{00}|=|E_{11}|=0$ и $|E_{01}|=|E_{10}|=1$. Можно проверить, что искомый изоморфизм индуцируется отображением $1\mapsto E_{00}+E_{11}$, $e_1\mapsto E_{01}+E_{10}$, $e_2\mapsto E_{01}-E_{10}$. \item Первое тождество сводится к случаю $ac=1$. Таким образом, достаточно построить гомоморфизм супералгебр $$ C(\la 1,ab\ra)\hat\otimes i(M_2(F))\stackrel{\sim}\longrightarrow C(\la a,b\ra)\hat\otimes\left(\quaternion{a}{b}{F}\right). $$ Запишем $M_2(F)$ как алгебру кватернионов с базисом $(1,i,j,ij)$, в котором $i^2=a$, $j^2=1$, $ij=-ji$. Пусть $(1,i',j',i'j')$~--- канонический базис алгебры $\quaternion{a}{b}{F}$, в котором $i'^2=a$, $j'^2=b$, $i'j'=-j'i'$. Пусть, наконец, $(e_1,e_2)$ (соответственно $(e'_1,e'_2)$~--- канонический ортогональный базис формы $\la 1,ab\ra$ (соответственно $\la a,b\ra$). Тогда в $C(\la 1,ab\ra)$ (соответственно $C(\la a,b\ra)$) появляется базис $(1,e_1,e_2,e_1e_2)$ с $e_1^2=1$, $e_2^2=ab$, $e_1e_2=-e_2e_1$ (соответственно $(1,e'_1,e'_2,e'_1e'_2)$ с ${e'_1}^2=a$, ${e'_2}^2=b$, $e'_1e'_2=-e'_2e'_1$). Можно проверить, что отображения $$ \begin{aligned} e_1\hat\otimes 1&\mapsto e'_1\hat\otimes i'^{-1}\\ e_2\hat\otimes 1&\mapsto e'_2\hat\otimes i'\\ 1\hat\otimes i&\mapsto 1\hat\otimes i'\\ 1\hat\otimes j&\mapsto e'_1e'_2\hat\otimes (i'j')^{-1}\\ \end{aligned} $$ индуцируют требуемый гомоморфизм. Наконец, остальные два пункта следуют из уже доказанного. \end{enumerate} \end{proof} \begin{corollary}\label{corollary:C_homo} Отображение $q\mapsto C(q)$ индуцирует гомоморфизм $$ C\colon W(F)/I^3F\to BW(F). $$ \end{corollary} \begin{proof} По теореме~\ref{thm:clifford_superalgebra_is_central_simple} всякая невырожденная форма~$q$ определяет элемент $\la C(q)\ra\in BW(F)$, и по теореме~\ref{thm:tensor_product_of_superalgebras} имеем $\la C(q\perp q')\ra=\la C(q)\ra + \la C(q')\ra$. Остается применить предложение~\ref{prop:clifford_superalgebra_of_hyperbolic_plane}. \end{proof} Пусть $A=A_0\oplus A_1$~--- центральная простая $F$-супералгебра. Возможны два случая: \par\noindent$\bullet$ $F$-алгебра $A$ является простой (неградуированной) алгеброй. Тогда $A_0$ полупроста и ее центр является этальной $F$-алгеброй ранга 2. В этом случае говорят, что $A$ имеет {\bf четный тип}. \par\noindent$\bullet$ $A$ не центральна как $F$-алгебра. Тогда $A$ полупроста и ее центр $Z(A)$ является этальной $F$-алгеброй ранга 2, а $A_0$~--- центральная простая $F$-алгебра. Кроме того, $A_0$ модуль $A_1$ изоморфен $A_0$. В этом случае говорят, что $A$ имеет {\bf нечетный тип}. Определим отображение $$ \begin{aligned} \ph\colon BW(F)&\to\mathbb Z/2\times F^*/(F^*)^2\times Br(F)\\ \la A\ra&\mapsto (\varepsilon(A),\delta(A),b(A))\\ \end{aligned} $$ следующим образом: \par\noindent$\bullet$ $\varepsilon(A)=\begin{cases} 1,&\text{если $A$ нечетного типа};\\ 0,&\text{если $A$ четного типа}.\\ \end{cases}$ \par\noindent$\bullet$ $\delta(A)=\begin{cases} d(Z(A)),&\text{ если $A$ нечетного типа};\\ d(Z(A_0)),&\text{ если $A$ четного типа},\\ \end{cases}$ \par\noindent где через $d(E)$ обозначается дискриминант этальной $F$-алгебры $E$. \par\noindent$\bullet$ $\delta(A)=\begin{cases} [A_0],&\text{ если $A$ нечетного типа};\\ [A],&\text{ если $A$ четного типа},\\ \end{cases}$ \begin{theorem}\label{thm:BW} \begin{enumerate} \item Отображение $\ph$ является биекцией. \item $\varepsilon$ является гомоморфизмом. \item Пусть $BW^{(1)}(F)$~--- ядро $\varepsilon$. Ограничение $\delta$ на $BW^{(1)}(F)$ является гомоморфизмом. \item Пусть $BW^{(2)}(F)$~--- ядро $\delta$. Тогда $BW^{(2)}(F)=i(B(F))$ и ограничение $b$ на $BW^{(2)}(F)$ является обратным к $i$. \item Отображение $\la A\ra\mapsto(\varepsilon(A),\delta(A))$ индуцирует изоморфизм $$BW(F)/BW^{(2)}(F)\to Q(F),$$ где $Q(F)$~--- группа, определенная перед предложением~\ref{prop:group_Q}. \item Групповой закон, индуцированный на $\mathbb Z/2\times F^*/(F^*)^2\times B(F)$ переносом структуры посредством отображения $\ph$, записывается так: $$ (m,a,x)+(n,b,y)=(m+n,(-1)^{mn}ab,x+y+((-1)^{m(n+1)}a,(-1)^{(m+1)n}b)), $$ где через $(u,v)$ обозначается класс алгебры кватернионов $\quaternion{u}{v}{F}$ в $Br(F)$. \end{enumerate} \end{theorem} % 3.05.2010 % когомологии Галуа \subsection{Когомологии Галуа} \begin{definition} Пусть $G$~--- конечная группа. {\bf (Левым) $G$-модулем} называется абелева группа $A$, снабженная левым действием группы $G$, то есть гомоморфизмом $\ph\colon G\to\Aut(A)$. Если $A$ записывается аддитивно, то для $(g,a)\in G\times A$ мы будем обозначать $\ph(g)(a)$ через $ga$. При этом $$ \begin{aligned} g(a+b)&=ga+gb,\\ (gh)a&=g(ha).\\ \end{aligned} $$ \end{definition} \begin{remarks} \item Можно определить {\bf правое} действие $G$ на $A$ как {\it анти-гомоморфизм} из $G$ в $\Aut(A)$; если $A$ записывается аддитивно, то при этом $(g,a)\mapsto ag$. Задание левого и правого действия $G$ на $A$ эквивалентно: если $\ph$~--- левое действие, то $g\mapsto \ph(g)^{-1}$~--- правое, и наоборот. \item Если $A$ записывается мультипликативно, то левое (соответственно правое) действие удобнее записывать как $(g,a)\mapsto {}^ga$ (соответственно $(g,a)\mapsto a^g$) для избежания конфликта с записью умножения в $A$. \item Если $f\colon H\to G$~--- гомоморфизм групп, то на $G$-модуле $A$ появляется структура $H$-модуля с помощью определения $ha=f(h)a$. \end{remarks} \begin{definition} Пусть $G$~--- конечная группа, $A$~--- левый $G$-модуль с аддитивной записью. Определим {\bf коцепной комплекс} $G$ со значениями в $A$: $$ 0\to C^0(G,A)\stackrel{d^0}{\longrightarrow}C^1(G,A)\stackrel{d^1}{\longrightarrow}\dots \stackrel{d^{n-1}}{\longrightarrow} C^n(G,A)\stackrel{d^n}{\longrightarrow}\dots $$ где $C^n(G,A)$~--- множество всех отображений из $G^n$ в $A$ и \begin{multline*} d^nf(g_1,\dots,g_{n+1}=g_1f(g_2,\dots,g_{n+1})\\ +\sum_{j=1}^n(-1)^jf(g_1,\dots,g_jg_{j+1},\dots,g_{n+1})\\ +(-1)^{n+1}f(g_1,\dots,g_n). \end{multline*} Элемент $f\in C^n(G,A)$ называется {\bf $n$-коцепью} $G$ со значениями в $A$. Если $d^nf=0$, $f$ называется {\bf $n$-коциклом}; подгруппа $n$-коциклов обозначается через $Z^n(G,A)$. Если $f\in\Image d^{n-1}$, $f$ называется {\bf $n$-кограницей}; подгруппа $n$-кограниц обозначается через $B^n(G,A)$. \end{definition} \begin{examples} \item 0-коцикл~--- это элемент $A^G:=\{a\in A\mid ga=a\;\forall g\in G\}$. \item 1-коцикл~--- это отображение $f\colon G\to A$ такое, что $f(gh)=f(g)+gf(h)$. Такое отображение называется {\bf скрещенным гомоморфизмом}. \item 2-коцикл~--- это отображение $f\colon G\times G\to A$ такое, что $$ f(g,h)+f(gh,k)=fg(h,k)+f(g,hk). $$ Такое $f$ называется {\bf системой факторов}. \end{examples} \begin{lemma} Если $n>0$, то $d^{n+1}d^n=0$; иными словами, $B^n(G,A)\subset Z^n(G,A)$. \end{lemma} \begin{proof} Простое вычисление. \end{proof} \begin{definition} {\bf $n$-ой группой когомологий $G$ со значениями в $A$} называется фактор-группа $H^n(G,A)=Z^n(G,A)/B^n(G,A)$. \end{definition} \begin{proposition} \begin{enumerate} \item Функтор $(G,A)\mapsto H^n(G,A)$ ковариантен по $A$ и контравариантен по $G$. Если $f\colon H\to G$~--- гомоморфизм групп, обозначим через $f^*$ индуцированный гомоморфизм групп когомологий. \item Пусть $0\to A'\to A\to A''\to 0$~--- короткая точная последовательность $G$-модулей. Тогда существует длинная точная последовательность \begin{multline*} 0\to H^0(G,A')\to H^0(G,A)\to H^0(G,A'')\to H^1(G,A')\to\dots\\ \to H^n(G,A')\to H^n(G,A)\to H^n(G,A'')\to H^{n+1}(G,A)\to\dots \end{multline*} \item Если действие $G$ на $A$ тривиально, то существует канонический изоморфизм между $H^1(G,A)$ и $\Hom(G,A)$. \end{enumerate} \end{proposition} \begin{definition} \begin{enumerate} \item Пусть $H\leq G$. Отображение $H^*(G,A)\to H^*(H,A)$, индуцированное вложением $H$ в $G$, называется {\bf морфизмом ограничения} и обозначается через $\Res^H_G$. \item Пусть $H\to G$~--- сюръективный гомоморфизм групп. Индуцированное им отображение $H^*(G,A)\to H^*(H,A)$ называется {\bf морфизмом инфляции} и обозначается через $\Inf^H_G$. \end{enumerate} \end{definition} \begin{theorem} Пусть $G$~--- конечная группа, $H\leq G$. \begin{enumerate} \item Существует единственный набор гомоморфизмов $$ \Cor^G_H\colon H^n(H,A)\to H^n(G,A) $$ (для любого $G$-модуля $A$ и для любого $n\geq 0$), естественных по $A$, согласованных с длинными точными последовательностями, ассоциированными с короткими точными последовательностями $G$-модулей, и таких, что в степени 0 $$ \Cor^G_H(a)=\sum_{g\in G/H}ga $$ для всех $a\in H^0(H,A)=A^H$. \item Если $m=(G:H)$~--- индекс $H$ в $G$, то $\Cor^G_H\circ\Res^H_G=m$. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{definition} Пусть $A$, $B$~--- $G$-модули. {\bf Тензорным произведением} $A$ и $B$ называется абелева группа $A\otimes B$, снабженная диагональным действием $G$: $g(a\times b)=ga\times gb$. \end{definition} \begin{theorem} Пусть $A,B$~--- два $G$-модуля. Существуют билинейные гомоморфизмы $$ \begin{aligned} H^p(G,A)\times H^q(G,B)&\to H^{p+q}(G,A\otimes B),\quad p,q\geq 0\\ (x,y)&\mapsto x\cdot y, \end{aligned} $$ естественные по $A$ и $B$. Они обладают следующими свойствами: \begin{enumerate} \item {\bf Ассоциативность}: если $C$~--- еще один $G$-модуль и $x\in H^p(G,A)$, $y\in H^q(G,B)$, $z\in H^r(G,C)$, то $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$ с учетом изоморфизма $(A\otimes B)\otimes C\stackrel{\sim}{\to}A\otimes(B\otimes C)$, при котором $(a\otimes b)\otimes c\mapsto a\otimes(b\otimes c)$. \item {\bf Коммутативность}: если $x\in H^p(G,A)$, $y\in H^q(G,B)$, то $x\cdot y=(-1)^{pq}y\cdot x$ с учетом изоморфизма $A\otimes B\stackrel{\sim}{\to}B\otimes A$, при котором $a\otimes b\mapsto b\otimes a$. \item {\bf Контравариантность по $G$}: если $f\colon H\to G$~--- гомоморфизм групп, то $f^*(x\cdot y)=f^*x\cdot f^*y$ для всех $x\in H^p(G,A)$, $y\in H^q(G,B)$. \item {\bf Формула проекции}: если $H$~--- подгруппа $G$, то $\Cor^G_H(x\cdot\Res^H_G y)=(\Cor^G_Hx)\cdot y$ для всех $x\in H^p(H,A)$, $y\in H^q(G,B)$. \end{enumerate} Таким образом введенное произведение на когомологиях называется {\bf чашечным произведением}. \end{theorem} Чашечное произведение можно определить как билинейное отображение на коцепях: если $f\in C^m(G,A)$, $f'\in C^n(G,B)$, то $$ (f\cdot f')(g_1,\dots,g_{m+n})=f(g_1,\dots,g_m)\otimes g_1\dots g_m f'(g_{m+1},\dots,g_{m+n}). $$ \begin{definition} Топологическая группа $G$ называется {\bf проконечной}, если она удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий: \begin{enumerate} \item $G$ является проективным пределом конечных групп; \item $G$ отделима и всякая открытая подгруппа $G$ имеет конечный индекс. \end{enumerate} \end{definition} \begin{definition} Пусть $G$~--- проконечная группа. {\bf Топологический $G$-модуль}~--- это абелева группа $A$, снабженная левым действием группы $G$, такая, что $A=\bigcup_HA^H$, где объединение берется по всем открытым (следовательно, замкнутым и конечного индекса) подгруппам $G$. Если $G$~--- проконечная группа, $A$~--- топологический $G$-модуль, определим {\bf группы когомологий $G$ с коэффициентами в $A$} формулой $$ H^n(G,A)=\varinjlim H^n(G/H,A^H), $$ где $H$ пробегает все различные открытые подгруппы в $G$, а морфизмы, участвующие в определении предела~--- морфизмы инфляции. \end{definition} Можно доказать, что когомологии проконечных групп обладают теми же основными свойствами, что и когомологии конечных групп. \begin{definition} Пусть $F_s$~--- сепарабельное замыкание $F$. Группа $F$-автоморфизмов поля $F_s$ обладает структурой проконечной группы: $$ G_F=\varprojlim Gal(E/F), $$ где $E/F$ пробегает все конечные подрасширения Галуа в $F_s$. Группа $G_F$ называется {\bf абсолютной группой Галуа} поля $F$; ее когомологии называются {\bf когомологиями Галуа}; обычно мы пишем $H^*(F,A)$ вместо $H^*(G_F,A)$. \end{definition} \begin{lemma}\label{lemma:automorphisms_are_linearly_independent} Автоморфизмы поля $E$ являются линейно независимыми над $E$ отображениями. \end{lemma} \begin{proof} Допустим, что $\sum a_\ph\ph=0$, где $\ph$~--- автоморфизмы $E$, $a_\ph\in E$. Можно предположить, что множество ненулевых коэффициентов $a_\ph$ имеет минимально возможную мощность. В этом множестве хотя бы два элемента; возьмем $\ph_1\neq\ph_2$ такие, что $a_{\ph_1},a_{\ph_2}\neq 0$. Найдется $x\in E$ такой, что $\ph_1(x)\neq\ph_2(x)$. Тогда для любого $y\in E$ имеем $$ \sum a_\ph\ph(y)=0, $$ откуда $$ 0=\sum a_\ph\ph(xy)-\ph_1(x)\sum a_\ph\ph(y)=\sum a_\ph(\ph(x)-\ph_1(x))\ph(y), $$ поэтому $\sum a_\ph(\ph(x)-\ph_1(x))\ph=0$~--- новая линейная зависимость, в которой меньше ненулевых слагаемых, чем в исходной: противоречие. \end{proof} \begin{theorem}{Гильберта 90} Пусть $E/F$~--- расширение Галуа с группой $G$. Тогда $H^1(G,E^*)=0$. \end{theorem} \begin{proof} Пусть $(a_g)_{g\in G}$~--- 1-коцикл $G$ со значениями в $E^*$. По лемме~\ref{lemma:automorphisms_are_linearly_independent} найдется $x\in E$ такой, что $a=\sum_{g\in G}a_g{}^gx\neq 0$. Поэтому для любого $h\in G$ $$ {}^ha=\sum_{g\in G}{}^ha_g{}^{hg}x=\sum_{g\in G}a_h^{-1}a_{hg}{}^{hg}x= a_h^{-1}\sum_{g\in G}a_g{}^gx=a_h^{-1}a, $$ что и означает, что $(a_g)$ является 1-кограницей. \end{proof} \begin{corollary} $H^1(F,F^*_s)=0$. \end{corollary} % 10.05.2010 \begin{definition} Пусть $E/F$~--- расширение Галуа с группой $G$. Пусть $G$ действует слева на $E$, $c$~--- 2-коцикл $G$ со значениями в $E^*$. {\bf Скрещенным произведением}, соответствующим $c$, называется следующая $F$-алгебра $E\times_sG$: \par\noindent$\bullet$ {\it Аддитивная структура:} $E\times_cG$~--- векторное пространство над $E$ с базисом $G$. \par\noindent$\bullet$ {\it Мультипликативная структура:} умножение $F$-билинейно и если $x,y\in E$, $g,h\in G$, то $$ (x\cdot g)(y\cdot h)=x{}^gyc_{g,h}\cdot gh. $$ \end{definition} \begin{theorem} \begin{enumerate} \item Таким образом определенная алгебра $E\times_cG$ является ассоциативной и центральной простой над $F$ степени $n=[E:F]$; $E$~--- максимальная коммутативная подалгебра $E\times_cG$. \item Всякая центральная простая $F$-алгебра $A$, содержащая $E$ как максимальное коммутативное под-тело, имеет вид $E\times_cG$. \item Пусть $c,c'$~--- коциклы $G$ со значениями в $E^*$. $E\times_cG\cong E\times_{c'}G$ тогда и только тогда, когда $c$ и $c'$ когомологичны (то есть $c/c'\in B^2(G,E^*)$. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{corollary}\label{corollary:secong_cohomology_as_brauer_group} Существует канонический изоморфизм $$ u_{E/F}\colon H^2(G,E^*)\stackrel{\sim}{\to} Br(E/F), $$ где $Br(E,F)=\Ker(Br(F)\to B(E))$. \end{corollary} \begin{example}\label{example:second_cohomology_of_quadratic_extension} $E=F(\sqrt{a})$, где $a\notin F^*/(F^*)^2$. Тогда $G=\{1,g\}$. Будем обозначать действие $g$ через $x\mapsto\overline{x}$. 2-коцикл $G$ с коэффициентами в $E^*$ задается четырьмя элементами $c_{1,1}$, $c_{1,g}$, $c_{g,1}$ и $c_{g,g}$. Применяя соотношение коцикла к тройкам $(1,1,g)$, $(g,1,1)$ и $(g,g,g)$, получаем $$ \begin{aligned} c_{1,1}&=c_{1,g}\\ c_{g,1}&=\overline{c_{1,1}}\\ c_{g,g}c_{1,g}&=\overline{c_{g,g}}c_{g,1}. \end{aligned} $$ После деления на кограницу можно считать, что $c_{1,1}=1$ (такой 2-коцикл называют {\bf нормализованным}). Тогда $c_{1,g}=c_{g,1}=1$ и $c_{g,g}=b\in F^*$. Пусть $\alpha\in E^*$ и $\alpha^2=a$; положим $\beta=\alpha\cdot g\in A$. Тогда $\alpha\beta=-\beta\alpha$ и $\beta^2=-ab$; значит, мы получили алгебру кватернионов $\quaternion{a}{-ab}{F}=\quaternion{a}{b}{F}$. \end{example} \begin{theorem} Изоморфизмы $u_{E/F}$ из следствия~\ref{corollary:secong_cohomology_as_brauer_group} склеиваются в изоморфизм $$ u_F\colon H^2(F,F^*_s)\stackrel{\sim}{\to}Br(F). $$ \end{theorem} Пусть $n$~--- натуральное число, взаимно простое с характеристикой $F$; тогда возведение в степень $n$ сюръективно на $F_s^*$. Рассмотрим {\bf точную последовательность Куммера} $G_F$-модулей $$ 1\to\mu_n\to F_s^*\stackrel{n}{\longrightarrow}F_s^*\to 1, $$ где $\mu_n$~--- группа корней $n$-ой степени из 1 в $F_s$. Ей соответствует длинная точная последовательностей когомологий Галуа: \begin{multline*} 1\to H^0(F,\mu_n)\to H^0(F,F_s^*)\stackrel{n}{\to}H^0(F,F_s^*)\\ \stackrel{\delta}{\to}H^1(F,\mu_n)\to H^1(F,F_s^*)\stackrel{n}{\to}H^1(F,F_s^*)\\ \to H^2(F,\mu_n)\to H^2(F,F_s^*)\stackrel{n}{\to}H^2(F,F_s^*). \end{multline*} Заметим, что $H^0(F,F_s^*)=F^*$ и $H^1(F,F_s^*)=0$ по теореме Гильберта 90. Мы получили следующую теорему: \begin{theorem}[теория Куммера]\label{thm:Kummer} Эта точная последовательность приводит к изоморфизмам $$ \begin{aligned} F^*/(F^*)^n&\stackrel{\sim}{\to}H^1(F,\mu_n)\\ H^2(F,\mu_n)&\stackrel{\sim}{\to}{}_nBr(F). \end{aligned} $$ \end{theorem} Первый изоморфизм мы будем обозначать через $a\mapsto (a)$. В случае $n=2$ группа $\mu_2$ является тривиальным $G_F$-модулем, изоморфным группе $\mathbb Z/2$. Получаем изоморфизмы $$ \begin{aligned} F^*/(F^*)^2&\stackrel{\sim}{\to}H^1(F,\mathbb Z/2)\\ H^2(F,\mathbb Z/2)&\stackrel{\sim}{\to}{}_2Br(F). \end{aligned} $$ В частности, если $a,b\in F^*$, то класс $(a,b)$ алгебры кватернионов, определенной элементами $a$ и $b$ является элементом $H^2(F,\mathbb Z/2)$. \begin{proposition}\label{prop:cup_product} $(a,b)=(a)\cdot(b)$. \end{proposition} \begin{proof} По определению чашечное произведение задается формулой $(g,h)\mapsto (a)(g)\cdot(b)(h)$, и его образ в $H^2(F,F_s^*)$ представляется 2-коциклом $b_{g,h}=(-1)^{(a)(g)\cdot (b)(g)}$. В примере~\ref{example:second_cohomology_of_quadratic_extension} мы видели, что класс алгебры $\quaternion{a}{b}{F}$ в $H^2(F,F_s^*)$ представляется 2-коциклом $$ c_{g,h}=\begin{cases} 1,&\text{если $(a)(g)=0$ или $(a)(h)=0$};\\ -ab,&\text{если $(a)(g)=(a)(h)=1$}.\\ \end{cases} $$ Осталось проверить, что $b_{g,h}$ и $c_{g,h}$ когомологичны. Возьмем $\alpha,\beta\in F_s^*$ такие, что $\alpha^2=a,\beta^2=b$. Легко видеть, что $b_{g,h}^{-1}c_{g,h}=f(gh)^{-1}f(g){}^gf(h)$, где $$ f(g)=\begin{cases} 1,&\text{если $(a)(g)=0$};\\ \alpha\beta,&\text{если $(a)(g)=1$, $(b)(g)=0$};\\ -\alpha\beta,&\text{если $(a)(g)=(b)(g)=1$}.\\ \end{cases} $$ \end{proof} \subsection{Теорема Меркурьева} \begin{proposition}\label{proposition:Merkurjev} Пусть $q$~--- квадратичная форма над $F$. Тогда $\varepsilon(C(q))=\overline{\dim q}$ и $\delta(C(q))=d(q)$ (см. обозначения перед теоремой~\ref{thm:BW}. \end{proposition} \begin{proof} Рассмотрим гомоморфизмы $(\overline{\dim},d)$ и $(\varepsilon,\delta)\circ C$ из $W(F)/I^3F$ в $Q(F)$. Для доказательства их совпадения достаточно проверить это на порождающих $W(F)$, скажем, на классах одномерных форм $\la a\ra$, $a\in F^*$, что очевидно. \end{proof} \begin{lemma} Пусть $q\in I^2F$. Тогда $C_0(q)\cong A\times A$ и $C(q)\cong M_2(A)$ для некоторой центральной простой алгебры $A$. \end{lemma} \begin{proof} По предложению~\ref{proposition:Merkurjev} алгебра $C(q)$ имеет четный тип и $\delta(C(q))=1$. По теореме~\ref{thm:BW} получаем, что $C(q)$ подобна алгебре $i(A_0)$ для некоторой центральной простой алгебры $A_0$. Другими словами, существует векторное суперпространство $V=V_0\oplus V_1$ такое, что $C(q)\cong i(A_0)\hat\otimes_F\End_F(V)$. Размерности $C_0(q)$ и $C_1(q)$ совпадают, поэтому $\dim V_0=\dim V_1$. Отождествляя $V_1$ с $V_0$, получаем, что $$ C(q)\cong i(A_0)\hat\otimes_F\End_F(V)\cong i(A_0\otimes_F\End_F(V_0))\hat\otimes_F M_2(F), $$ и получаем нужное утверждение для $A=A_0\otimes_F\End_F(V_0)$. \end{proof} %\noindent $$ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $\dim q$ & $d(q)$ & $Z(C(q))$ & $C(q)$ & $Z(C_0(q))$ & $C_0(q)$ & $\deg(q)$\\ \hline \hline \multirow{2}{*}{нечетно} & $\notin (F^*)^2$ & $F(\sqrt{d})$ & простая & \multirow{2}{*}{$F$} & центральная & \multirow{2}{*}{0}\\ \cline{2-4} & $\in(F^*)^2$ & $F\times F$ & $C_0(q)\times C_0(q)$ & & простая&\\ \hline \multirow{2}{*}{четно} & $\notin(F^*)^2$ & \multirow{2}{*}{$F$} & цпа & $F(\sqrt{d})$ & простая & 1\\ \cline{2-2}\cline{4-7} & $\in(F^*)^2$ & & $M_2(A)$ & $F\times F$ & $A\times A$, $A$ цпа & $\geq 2$\\ \hline \end{tabular} $$ \begin{definition} Для квадратичной формы $q$ обозначим через $c(q)$ элемент $b(C(q))\in Br(F)$~--- {\bf инвариант Клиффорда} $q$. Таким образом, $$ c(q)=\begin{cases} [C_0(q)],&\text{ если $A$ нечетного типа};\\ [C(q)],&\text{ если $A$ четного типа}.\\ \end{cases} $$ \end{definition} \begin{proposition}\label{prop:c_homo} Пусть $q,q'$~--- две квадратичные формы. Тогда $$ c(q\perp q')=c(q)+c(q')+((-1)^{m(n+1)}d(q),(-1)^{(m+1)n}d(q')), $$ где $m=\dim q$, $n=\dim q'$. \end{proposition} \begin{proof} Тривиально следует из теоремы~\ref{thm:BW}. \end{proof} \begin{proposition}\label{prop:c_otimes} \begin{enumerate} \item Пусть $\ph,\psi\in IF$. Тогда $c(\ph\otimes\psi)=(d(\ph),d(\psi))$. \item Пусть $q$~--- квадратичная форма, $a\in F^*$. Тогда $$ c(aq)=\begin{cases} c(q)+(a,d(q)),&\text{ если $\dim q$ четна};\\ [c(q)],&\text{ если $\dim q$ нечетна}.\\ \end{cases} $$ \end{enumerate} \end{proposition} \begin{lemma} \begin{enumerate} \item Пусть $a,b\in F^*$. Тогда $\lla a,b\rra$ гиперболична $\Longleftrightarrow$ $c(\lla a,b\rra)=0$. \item Пусть $a,b,c,d\in F^*$. Тогда $\lla a,b\rra\cong\lla c,d\rra$ $\Longleftrightarrow$ $(a,b)=(c,d)$. \item Пусть $\sigma,\tau\in GP_2(F)$. Тогда $\sigma$ пропорциональна $\tau$ $\Longleftrightarrow$ $c(\sigma)=c(\tau)$. \end{enumerate} \end{lemma} \begin{proof} (1)~--- очевидно. Для доказательства (2) предположим сначала, что $b=d$. Тогда $(ac,b)=0$, поэтому $\lla ac,b\rra\sim 0$ по пункту $(1)$. Значит, $\lla a,b\rra\perp -\lla c,d\rra\sim c\lla ac,b\rra\sim 0$, что и требовалось. В общем случае применим лемму Альберта~\ref{lemma:chain_albert}: найдется $e$ такое, что $(a,b)=(a,e)=(c,e)=(c,d)$, поэтому $\lla a,b\rra\cong\lla a,e\rra\cong\lla c,e\rra\cong\lla c,d\rra$. В (3) пусть $\sigma=a\sigma_0$, $\tau=b\tau_0$, где $\sigma_0,\tau_0\in P_2(F)$. Тогда $c(\sigma)=c(\sigma_0)$, $c(\tau)=c(\tau_0)$, и все следует из пункта $(2)$. \end{proof} Из предложения~\ref{prop:c_homo} следует, что ограничение инварианта Клиффорда $c$ на $I^2F$ является гомоморфизмом, принимающим значения в подгруппе 2-кручения ${}_2Br(F)$ группы Брауэра $Br(F)$. \begin{theorem}[Меркурьев]\label{thm:Merkurjev} Гомоморфизм $$ c\colon I^2F/I^3F\to {}_2Br(F), $$ индуцированный инвариантом Клиффорда, является изоморфизмом. \end{theorem} Обозначим через $BW_2(F)$ множество элементов $x\in BW(F)$ таких, что $b(x)\in{}_2Br(F)$. Легко проверить, что $BW_2(F)$ является подгруппой в $BW(F)$, содержащей $i({}_2Br(F))$ (но она не совпадает с подгруппой 2-кручения $BW(F)$!). Из теоремы Меркурьева нетрудно вывести следующее утверждение. \begin{corollary} Гомоморфизм $C$ (см. следствие~\ref{corollary:C_homo}) индуцирует изоморфизм $$ C\colon W(F)/I^3F\to BW_2(F). $$ \end{corollary} \subsection{Высшие инварианты} Мы будем обозначать через $H^nF$ группы когомологий Галуа $H^n(F,\mathbb Z/2)$. Мы знаем, что инварианты $\overline{\dim}$, $d$ и $c$ можно рассматривать как инварианты $$ e^n\colon W(F)\to H^nF $$ для $n=0,1,2$ (см. теорему~\ref{thm:Kummer} и замечание после нее). \begin{theorem} Для $n\leq 2$ инвариант $e^n$ индуцирует изоморфизм $$ \overline{e}^n\colon I^nF/I^{n+1}F\to H^nF, $$ причем $$ e^{p+q}(xy)=e^p(x)\cdot e^q(y) $$ для $p+q\leq 2$, $x\in I^pF/I^{p+1}F\times I^qF/I^{q+1}F$. \end{theorem} \begin{proof} Первое утверждение являеется переформулировкой уже известных теорем~\ref{thm:discriminant_iso} и~\ref{thm:Merkurjev}. Второе нужно проверить только для $p=q=1$, а это следует из предложений~\ref{prop:c_otimes} и~\ref{prop:cup_product}. \end{proof} Напомним, что {\bf $K$-теорией Милнора} называется градуированное кольцо $K_*^M(F)$, заданное образующими $\{a\}$, $a\in F^*$ и соотношениями $\{ab\}=\{a\}+\{b\}$ ($a,b\in F^*$), $\{a\}\cdot\{1-a\}=0$ ($a\in F^*\setminus\{1\}$). Иными словами, $K_*^M(F)$ является фактором тензорной алгебры $\mathbb Z$-модуля $F^*$ по двустороннему идеалу, порожденному элементами $a\otimes(1-a)$ для $a\neq 1$. Легко видеть, что $K_0(F)=\mathbb Z$, $K_1(F)=F^*$. Будем обозначать произведение $\{a_1\}\cdot\dots\{a_n\}\in K_n^M(F)$ через $\{a_1,\dots,a_n\}$. \begin{lemma}\label{lemma:simple_k_theory} В кольце $K_*^M(F)$ выполнены соотношения $\{a,a\}=\{a,-1\}$ и $\{a,b\}=-\{b,a\}$ для всех $a,b\in F^*$. \end{lemma} \begin{proof} Поскольку $1$ является нейтральным элементом абелевой группы $F^*$, имеем $\{1,1\}=\{1,-1\}=0$. Пусть теперь $a\neq 0,1$. Тогда $\{a,1-a\}=0=\{a^{-1},1-a^{-1}\}$. Из билинейности следует, что $\{a^{-1},1-a^{-1}\}=-\{a,1-a^{-1}\}=-\{a,\frac{1-a}{-a}\}= -\{a,1-a\}+\{a,-a\}$, поэтому $\{a,-a\}=0$. Но $-a=\frac{a}{-1}$, поэтому $\{a,a\}=\{a,-1\}$. Для доказательства второго соотношения заметим, что $\{ab,ab\}=\{a,a\}+\{b,b\}+\{a,b\}+\{b,a\}= \{a,-1\}+\{b,-1\}+\{a,b\}+\{b,a\}= \{ab,-1\}+\{a,b\}+\{b,a\}= \{ab,ab\}+\{a,b\}+\{b,a\}$ по уже доказанному; отсюда $\{a,b\}+\{b,a\}=0$. \end{proof} \begin{examples} \begin{enumerate} \item Пусть $F=\mathbb F_q$. Известно, что мультипликативная группа конечного поля является циклической, поэтому $K_1^M(\mathbb F_q)\cong\mathbb Z/(q-1)$. Умножение в $K_*^M(\mathbb F_q)$ дает нам сюръективный гомоморфизм $$ \mathbb F_q^*\otimes_{\mathbb Z}\mathbb F_q^*\to K_2^M(\mathbb F_q). $$ Пусть $a$~--- образующая группы $\mathbb F_q^*$; тогда $K_2^M(\mathbb F_q)$ также является циклической с образующей $\{a,a\}$. Но по лемме~\ref{lemma:simple_k_theory} $\{a,a\}=\{a,-1\}$, стало быть, эта образующая имеет порядок 1 или 2. Значит, во всяком случае, $$ K_2^M(\mathbb F_q)\cong K_2^M(\mathbb F_q)/2. $$ Заметим, что уравнение $x^2+y^2=a$ имеет нетривиальное решение над $\mathbb F_q$. Можно считать, что $x\neq 0$, тогда $1+y^2/x^2=a/x^2$ и $$ \begin{aligned} \{a,-1\}&=\{a/x^2,-1\}\\ &=\{a/x^2,-1\}+\{a/x^2,1-a/x^2\}\\ &=\{a/x^2,a/x^2-1\}\\ &=\{a/x^2,y^2/x^2\}\\ &=\{a/x^2,1\}\\ &=0 \end{aligned} $$ в группе $K_2^M(\mathbb F_q)/2$, значит, и в $K_2^M(\mathbb F_q)$. Поэтому $K_2^M(\mathbb F_q)=0$ и, следовательно, $K_n^M(\mathbb F_q)=0$ для всех $n\geq 2$. \item Пусть $F=\mathbb R$; тогда $\mathbb R^*/2\cong\mathbb Z/2$~--- циклическая группа порядка 2 с образующей $-1$. Значит, $T_{\mathbb Z/2}(\mathbb R^*/2)=(\mathbb Z/2)[t]$, где $t=\{-1\}$. С другой стороны, из двух элементов $a,1-a$ хотя бы один является положительным, поэтому из него извлекается квадратный корень в $\mathbb R$. Это означает, что элемент $a\otimes(1-a)$ является 2-делимым в $(\mathbb R^*/2)^{\otimes 2}$. Поэтому $K_*^M(\mathbb R)/2\cong T_{\mathbb Z/2}(\mathbb R^*/2)\cong(\mathbb Z/2)[t]$, где $t=\{-1\}$. \end{enumerate} \end{examples} \begin{proposition} Пусть $n\geq 0$. Существуют гомоморфизмы $$ \begin{aligned} a^n\colon & K_n^M(F)/2\to I^nF/I^{n+1}F,\\ b^n\colon & K_n^M(F)/2\to H^nF \end{aligned} $$ такие, что $$ \begin{aligned} a^n(\{a_1,\dots,a_n\}&=\lla a_1,\dots,a_n\rra\\ b^n(\{a,1,\dots,a_n\}&=(a_1)\cdot\dots\cdot(a_n). \end{aligned} $$ Кроме того, гомоморфизм $a^n$ является сюръективным. Произведение $(a_1)\cdot\dots\cdot(a_n)$ в $H^*F$ мы будем обозначать через $(a_1,\dots,a_n)$. \end{proposition} \begin{proof} Докажем, что $a^n$ и $b^n$~--- корректно определенные отображения. Сопоставление $(a_1,\dots,a_n)\mapsto\lla a_1,\dots,a_n\rra$ является полилинейным по лемме~\ref{lemma:pfister_identity}. Форма $2=\la 1,1\ra$ лежит в $IF$, поэтому $2I^nF/I^{n+1}F=0$. Форма $\lla a,1-a\rra$ изотропна, поэтому она эквивалентна 0. Отображение $(a_1,\dots,a_n)\mapsto(a_1)\cdot\dots\cdot(a_n)$ является полилинейным в силу определения; кроме того, очевидно, что $2H^nF=0$. Наконец из леммы~\ref{lemma:relations_quaternion} и предложения~\ref{prop:cup_product} следует, что $(a)\cdot(1-a)=0$. Сюръективность $a^n$ следует из того, что $I^nF/I^{n+1}F$ порождается классами $n$-форм Пфистера \end{proof} \begin{proposition}[Милнор] Существует отображение $$ w\colon \tilde W(F)\to K_*^M(F)/2 $$ такое, что $w(q\perp q')=w(q)w(q')$ для $q,q'\in\tilde W(F)$ и $w(\la a\ra)=1+\{a\}$. Кроме того, $$ w((\la 1\ra-\la a_1\ra)\otimes\dots\otimes(\la 1\ra-\la a_1\ra))=1+\{-1\}^{2^{n-1}-n}\{a_1,\dots,a_n\}. $$ Для $q\in\tilde W(F)$ запишем $w(q)=\sum_{n\geq 0}w_n(q)$, где $w_n(q)\in K_n^M(F)/2$. Классы $w_n(q)$ называются {\bf классами Штифеля--Уитни} формы $q$. \end{proposition} \begin{proof} В силу предложения~\ref{theorem:witt_ring_generators_and_relations}, для доказательства существования $w$ достаточно проверить, что $w(\la a,b\ra)=w(\la a+b,ab(a+b)\ra)$ для всех $a,b\in F^*$, $a+b\neq 0$. По определению $w(\la a,b\ra)=(1+\{a\})(1+\{b\})=1+\{ab\}+\{a,b\}$ и $w(\la a+b,ab(a+b)\ra)=(1+\{a+b\})(1+\{ab(a+b)\ra)=1+\{ab\}+\{a+b,ab(a+b)\}$. Осталось заметить, что $\{a+b,ab(a+b)\}=\{a+b,-ab\}=\{a,-ab\}+\{1+b/a,-ab\}=\{a,b\}+\{a+b/a,-b/a\}=\{a,b\}$. Положим $\lla a_1,\dots,a_n\rra^{\tilde{}}:=(\la 1\ra-\la a_1\ra)\otimes\dots\otimes(\la 1\ra-\la a_n\ra)$. Для доказательства последней формулы проведем индукцию по $n$. Очевидно, что $$ \lla a_1,\dots,a_n\rra^{\tilde{}}=\lla a_1,\dots,a_{n-1}\rra^{\tilde{}}-a_n\lla a_1,\dots,a_{n-1}\rra^{\tilde{}}. $$ Значит, $$ w(\lla a_1,\dots,a_n\rra^{\tilde{}})=w(\lla a_1,\dots,a_{n-1}\rra^{\tilde{}})w(a_n\lla a_1,\dots,a_{n-1}\rra^{\tilde{}})^{-1}. $$ Обозначим $X_n=\{-1\}^{2^{n-1}-n}\{a_1,\dots,a_n\}$. Нетрудно видеть, что если $q\in \tilde W(F)$~--- произвольная форма размерности $m$, $a\in F^*$ и $$ w(q)=\sum_{i\geq 0} w_i(q),\quad w_i(q)\in K_i^M(F)/2. $$ то $$ w(aq)=\sum_{i\geq 0}(1+\{a\})^{m-i}w_i(q). $$ Поэтому $$ w(a_n\lla a_1,\dots,a_{n-1}\rra^{\tilde{}})=1+(1+\{a_n\})^{-2^{n-2}}X_{n-1}. $$ Значит, $$ \begin{aligned} w(\lla a_1,\dots,a_n\rra^{\tilde{}})&=(1+X_{n-1})(1+(1+\{a_n\})^{-2^{n-2}}X_{n-1})^{-1}\\ &=(1+X_{n-1})(1+\{a_n\})^{2^{n-2}}\left((1+\{a_n\})^{2^{n-2}}+X_{n-1}\right)^{-1}\\ &=(1+X_{n-1}+\{a_n\}^{2^{n-2}}+X_{n-1}\{a_n\}^{2^{n-2}})(1+\{a_n\}^{2^{n-2}}+X_{n-1})^{-1}. \end{aligned} $$ Заметим, что $\{a_n\}^{2^{n-2}}=\{-1\}^{2^{n-2}-1}\{a_n\}$ (по лемме~\ref{lemma:simple_k_theory}), откуда $X_{n-1}\{a_n\}^{2^{n-2}}=X_n$ и $$ w(\lla a_1,\dots,a_n\rra^{\tilde{}})=1+X_n(1+\{a_n\}^{2^{n-2}}+X_{n-1})^{-1}. $$ Обозначим $A:=\{a_n\}^{2^{n-2}}$, $B:=X_{n-1}$. Тогда $$ X_n(\{a_n\}^{2^{n-2}}+X_{n-1})=A^2B+AB^2=\{-1\}^{2^{n-2}}AB+\{-1\}^{2^{n-2}}AB=0, $$ откуда $w(\lla a_1,\dots,a_n\rra^{\tilde{}})=1+X_n$. \end{proof} \end{document}