mahalex/algebra-mech
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Actions Packages Projects Releases Wiki Activity

Corrected errata in 9.4–9.6

Browse Source
This commit is contained in:
broadwaylamb 2016-06-18 00:44:22 +03:00
parent e8226da222
commit 2d7a071a09
2 changed files with 4 additions and 4 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

BIN
algebra.pdf
View File

Binary file not shown.

8
euclidean-spaces.tex
View File

@ -359,7 +359,7 @@ $$
Таким образом, мы показали, что матрица Грама симметрической Таким образом, мы показали, что матрица Грама симметрической
билинейной формы является симметрической, а матрица Грама эрмитовой билинейной формы является симметрической, а матрица Грама эрмитовой
билинейной формы является эрмитовой. полуторалинейной формы является эрмитовой.
Обратно, по любой симметрической матрице над $\mb R$ можно построить Обратно, по любой симметрической матрице над $\mb R$ можно построить
симметрическую билинейную форму, а по любой эрмитовой матрице над $\mb симметрическую билинейную форму, а по любой эрмитовой матрице над $\mb
@ -479,7 +479,7 @@ $e_i\perp e_j$ при $i\neq j$. Этот базис называется
\begin{lemma}\label{lem:orthogonality_implies_independency} \begin{lemma}\label{lem:orthogonality_implies_independency}
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство. Если ненулевые Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство. Если ненулевые
векторы $e_1,\dots,e_n\in V$ попарно ортогональны, векторы $e_1,\dots,e_n\in V$ попарно ортогональны,
то они линейно независимо. Если, кроме того, $\dim V=n$, то векторы то они линейно независимы. Если, кроме того, $\dim V=n$, то векторы
$e_1,\dots,e_n$ образуют ортогональный базис. $e_1,\dots,e_n$ образуют ортогональный базис.
\end{lemma} \end{lemma}
\begin{proof} \begin{proof}
@ -678,7 +678,7 @@ $\ol{C}=C$ для $C\in M(n,\mb R)$.
\begin{theorem} \begin{theorem}
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство. Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство.
Пусть $\mc E$, $\mc F$~--- ортогональные базисы $V$, и Пусть $\mc E$, $\mc F$~--- ортонормированные базисы $V$, и
$C=(\mc E\rsa\mc F)$~--- матрица перехода между ними. Тогда матрица $C=(\mc E\rsa\mc F)$~--- матрица перехода между ними. Тогда матрица
$C$ ортогональна в случае эвклидова пространства и унитарна в случае $C$ ортогональна в случае эвклидова пространства и унитарна в случае
унитарного пространства. унитарного пространства.
@ -687,7 +687,7 @@ $C$ ортогональна в случае эвклидова простран
По теореме~\ref{thm:Gram_matrix_change_of_coordinates} выполнено По теореме~\ref{thm:Gram_matrix_change_of_coordinates} выполнено
$G_{\mc F} = \ol{C}^T\cdot G_{\mc E}\cdot C$, где $G_{\mc F} = \ol{C}^T\cdot G_{\mc E}\cdot C$, где
$G_{\mc E}$, $G_{\mc F}$~--- матрицы Грама формы $B$ в базисах $\mc E$, $G_{\mc E}$, $G_{\mc F}$~--- матрицы Грама формы $B$ в базисах $\mc E$,
$\mc F$ соответственно. Но базисы $\mc E$, $\mc F$ ортогональны, $\mc F$ соответственно. Но базисы $\mc E$, $\mc F$ ортонормированы,
поэтому $G_{\mc E} = G_{\mc F} = E$. Значит, $E = \ol{C}^T\cdot C$, и поэтому $G_{\mc E} = G_{\mc F} = E$. Значит, $E = \ol{C}^T\cdot C$, и
матрица $C$ ортогональна в эвклидовом случае и унитарна в унитарном матрица $C$ ортогональна в эвклидовом случае и унитарна в унитарном
случае. случае.