2138 lines
127 KiB
TeX
2138 lines
127 KiB
TeX
\section{Эвклидовы и унитарные пространства}
|
||
|
||
\subsection{Эвклидовы пространства}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XIII, \S~1, п. 1; [K2], гл. 3, \S~1, п. 1; [KM,
|
||
ч. 2, \S~2, пп. 1--3; \S~5, п. 1.}
|
||
|
||
\begin{definition}\label{def:bilinear_form}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над полем $k$. Отображение
|
||
$B\colon V\times V\to k$ называется \dfn{билинейной
|
||
формой}\index{билинейная форма}, если оно линейно по каждому
|
||
аргументу. Иными словами,
|
||
\begin{align*}
|
||
&B(u_1+u_2,v) = B(u_1,v) + B(u_2,v),\\
|
||
&B(u\alpha,v) = B(u,v)\alpha,\\
|
||
&B(u,v_1+v_2) = B(u,v_1) + B(u,v_2),\\
|
||
&B(u,v\alpha) = B(u,v)\alpha
|
||
\end{align*}
|
||
для всех $u,v,u_1,u_2,v_1,v_2\in V$ и $\alpha\in k$.
|
||
Если $B(u,v)=0$, то говорят, что вектор $u$
|
||
\dfn{ортогонален}\index{ортогональные векторы} вектору $v$
|
||
относительно формы $B$. Обозначение: $u\perp v$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Форма $B$ называется \dfn{симметрической}, если $B(u,v) = B(v,u)$ для
|
||
всех $u,v\in V$. Форма $B$ называется \dfn{кососимметрической}, если
|
||
$B(u,v) = - B(v,u)$ для всех $u,v\in V$. Форма $B$ называется
|
||
\dfn{симплектической}, если $B(u,u) = 0$
|
||
для всех $u\in V$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
Симплектическая форма является кососимметрической. Действительно, для
|
||
любых $u,v\in V$ тогда выполнено $0 = B(u+v,u+v) = B(u,u) + B(u,v) +
|
||
B(v,u) + B(v,v) = B(u,v) + B(v,u)$.
|
||
Обратное, вообще говоря, неверно. В самом деле, из кососимметричности
|
||
формы сразу следует, что $B(u,u) = - B(u,u)$, откуда $2B(u,u) = 0$ для
|
||
всех $u\in V$. Если характеристика поля $k$ не равна $2$, то $2\in
|
||
k^*$ и каждая кососимметрическая форма является симплектической. Если
|
||
же $k$~--- поле характеристики $2$, то эти два класса форм не
|
||
совпадают.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
В эвклидовом пространстве $V=\mb R^n$ над полем $\mb R$ определены
|
||
длины векторов и углы между векторами. Поэтому естественно определить
|
||
{\it эвклидово скалярное произведение} формулой $(u,v) = |u|\cdot
|
||
|v|\cdot\cos(\ph)$, где $|u|$, $|v|$~--- длины векторов $u$, $v$
|
||
соответственно, а $\ph$~--- угол между векторами $u$ и $v$.
|
||
Это скалярное произведение симметрично и для любого вектора $v\in V$
|
||
выполнено $(v,v)\geq 0$. Более того, равенство $(v,v)=0$ выполнено
|
||
только для $v=0$.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
Нас интересует алгебра, поэтому мы будем пользоваться чисто
|
||
алгебраическими определениями билинейных форм, не ссылающимися на
|
||
понятия <<длины>> и <<угла>>; наоборот, чуть позже мы
|
||
{\it определим} слова <<длина>> и <<угол>> в терминах билинейных форм.
|
||
|
||
\begin{example}\label{example:standard_bilinear_form}
|
||
Пусть $k$~--- произвольное поле, $V=k^n$~--- пространство столбцов
|
||
высоты $n$ над $k$. Определим форму $B\colon V\times V\to k$ формулой
|
||
$B(u,v) = u_1v_1 + \dots + u_nv_n$. Иными словами, $B(u,v) = u^Tv$.
|
||
Нетрудно видеть, что эта форма билинейна
|
||
\begin{align*}
|
||
&B(u_1+u_2,v) = (u_1+u_2)^Tv = u_1^Tv + u_2^Tv = B(u_1,v) + B(u_2,v)\\
|
||
&B(u\lambda,v)=(u\lambda)^Tv=\lambda(u^Tv)=\lambda B(u,v)\\
|
||
&B(u,v_1+v_2) = u^T(v_1+v_2) = u^Tv_1 + u^Tv_2 = B(u,v_1) + B(u,v_2)\\
|
||
&B(u,v\lambda)=u^T(v\lambda)=\lambda(u^Tv)=\lambda B(u,v)
|
||
\end{align*}
|
||
и симметрична
|
||
$$
|
||
B(u,v) = B(u,v)^T = (u^Tv)^T = v^Tu = B(v,u).
|
||
$$
|
||
\end{example}
|
||
|
||
Возьмем теперь в предыдущем примере в качестве $k$ поле вещественных
|
||
чисел $\mb R$. Заметим, что скалярное произведение вектора на себя
|
||
является неотрицательным числом: $B(u,u) = u_1^2 + \dots + u_n^2\geq
|
||
0$; более того, $B(u,u) = 0$ только для $u=0$.
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над $\mb R$. Билинейная форма
|
||
$B\colon V\times V\to\mb R$ называется \dfn{неотрицательно
|
||
определенной}\index{форма!неотрицательно определенная}, если
|
||
$B(u,u)\geq 0$ для всех $u\in V$. Форма $B$
|
||
называется \dfn{положительно
|
||
определенной}\index{форма!положительно определенная}, если она
|
||
неотрицательно определена и из $B(u,u)=0$ следует, что $u=0$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Векторное пространство $V$ над полем $\mb R$ вместе с положительно
|
||
определенной симметрической билинейной формой $B\colon V\times V\to\mb
|
||
R$ называется \dfn{эвклидовым
|
||
пространством}\index{пространство!эвклидово}, а форма $B$ называется
|
||
\dfn{эвклидовым скалярным произведением} на $V$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{remark}\label{rem:euclidean_subspace}
|
||
Любое подпространство $W\leq V$ эвклидова пространства $(V,B)$ само
|
||
является эвклидовым пространством относительно скалярного произведения
|
||
$B|_{W\times W}\colon W\times W\to\mb R$, которое мы часто будем
|
||
обозначать той же буквой $B$. Действительно, нетрудно проверить, что
|
||
$B|_{W\times W}$~--- симметрическая билинейная форма, и положительная
|
||
определенность формы $B|_{W\times W}$ сразу следует из положительной
|
||
определенности формы $B$.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\subsection{Унитарные пространства}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XIII, \S~1, пп. 1, 3, [K2], гл. 3, \S~2, п. 2;
|
||
[KM], ч. 2, \S~2, пп. 1--3; \S~6, п. 1.}
|
||
|
||
В связи с возникновением квантовой механики в первой половине XX века
|
||
большое практическое значение стало придаваться векторным
|
||
пространствам над полем комплексных чисел $\mb C$.
|
||
Что будет аналогом положительно определенных билинейных форм в этом
|
||
случае? Заметим, что прямой перенос определения на комплексный случай
|
||
не работает: если $V$~--- векторное пространство над полем $\mb C$ и
|
||
$B\colon V\times V\to\mb C$~--- билинейная форма, то
|
||
$B(iv,iv) = -B(v,v)$ для всех $v\in V$.
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Отображение $B\colon V\times V\to\mb C$ называется
|
||
\dfn{полуторалинейной формой}\index{форма!полуторалинейная}, если оно
|
||
{\it линейно} по второму аргументу и
|
||
{\it полулинейно} по первому аргументу:
|
||
\begin{align*}
|
||
&B(u,v_1+v_2) = B(u,v_1) + B(u,v_2)\\
|
||
&B(u,v\lambda) = B(u,v)\lambda\\
|
||
&B(u_1+u_2,v) = B(u_1,v) + B(u_2,v)\\
|
||
&B(u\lambda,v) = \ol\lambda B(u,v)
|
||
\end{align*}
|
||
для всех $u,v,u_1,u_2,v_1,v_2\in V$ и всех $\lambda\in\mb C$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
Аналог условия симметричности формы также должен отличаться от
|
||
билинейного случая, поскольку теперь $B(u,v\lambda)=\lambda B(u,v)$,
|
||
но $B(v\lambda,u) = \ol\lambda B(v,u)$.
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Полуторалинейная форма $B\colon V\times V\to\mb C$ называется
|
||
\dfn{эрмитовой}\index{форма!эрмитова}, если для всех $u,v\in V$
|
||
выполнено $B(u,v) = \overline{B(v,u)}$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{remark}\label{rem:hermitian_square_is_real}
|
||
Заметим, что если $B$~--- эрмитова форма на $V$, то $B(u,u) =
|
||
\ol{B(u,u)}$ для всех $u\in V$, поэтому $B(u,u)$~--- вещественное число.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\begin{example}\label{example:standard_sesquilinear_form}
|
||
Пусть $V=\mb C^n$~--- пространство столбцов
|
||
высоты $n$ над $k$. Определим форму $B\colon V\times V\to\mb C$
|
||
формулой $B(u,v) = \ol{u_1}v_1 + \dots + \ol{u_n}v_n$. Иными словами,
|
||
$B(u,v) = \ol{u}^Tv$.
|
||
Нетрудно видеть, что эта форма полуторалинейная
|
||
\begin{align*}
|
||
&B(u,v_1+v_2) = \ol{u}^T(v_1+v_2) = \ol{u}^Tv_1 + \ol{u}^Tv_2 = B(u,v_1) +
|
||
B(u,v_2)\\
|
||
&B(u,v\lambda)=\ol{u}^T(v\lambda)=\lambda(\ol{u}^Tv)=\lambda B(u,v)\\
|
||
&B(u_1+u_2,v) = \ol{(u_1+u_2)}^Tv = \ol{u_1}^Tv + \ol{u_2}^Tv = B(u_1,v)
|
||
+ B(u_2,v)\\
|
||
&B(u\lambda,v)=\ol{(u\lambda)}^Tv=\ol\lambda(\ol{u}^Tv)=\ol\lambda B(u,v)\\
|
||
\end{align*}
|
||
и эрмитова
|
||
$$
|
||
\ol{B(u,v)} = \ol{B(u,v)}^T = \ol{(\ol{u}^Tv)}^T = \ol{v^T\ol{u}} =
|
||
\ol{v}^Tu = B(v,u).
|
||
$$
|
||
Заметим, что $B(u,u) = \ol{u_1}u_1 + \dots + \ol{u_n}u_n
|
||
= |u_1|^2 + \dots + |u_n|^2 \geq 0$; более того, $B(u,u) = 0$ только
|
||
для $u=0$.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $V$~--- векторное пространство над $\mb C$. Эрмитова
|
||
форма $B\colon V\times V\to\mb C$ называется \dfn{неотрицательно
|
||
определенной}\index{форма!неотрицательно определенная}, если
|
||
$B(u,u)\geq 0$ для всех $u\in V$. Форма $B$
|
||
называется \dfn{положительно
|
||
определенной}\index{форма!положительно определенная}, если она
|
||
неотрицательно определена и из $B(u,u)=0$ следует, что $u=0$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Векторное пространство $V$ над полем $\mb C$ вместе с положительно
|
||
определенной эрмитовой формой $B\colon V\times V\to\mb
|
||
C$ называется \dfn{унитарным
|
||
пространством}\index{пространство!унитарное}, а форма $B$ называется
|
||
\dfn{эрмитовым скалярным произведением} на $V$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
Как и в эвклидовом случае
|
||
(см. замечание~\ref{rem:euclidean_subspace}), любое подпространство
|
||
$W\leq V$ унитарного
|
||
пространства $(V,B)$ само
|
||
является унитарным пространством относительно скалярного произведения
|
||
$B|_{W\times W}\colon W\times W\to\mb C$, которое мы часто будем
|
||
обозначать той же буквой $B$.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
В дальнейшем мы будем параллельно развивать теорию эвклидовых и
|
||
унитарных пространств; мы будем обозначать через $k$ поле $\mb R$ или
|
||
$\mb C$. Заметим, что и для эвклидовых, и для унитарных пространств
|
||
выполнены тождества $B(u,v\lambda) = B(u,v)\lambda$ и $B(u\lambda,v) =
|
||
\ol\lambda B(u,v)$; отличие лишь в том, что для эвклидовых пространств
|
||
константа $\lambda$ является вещественной, поэтому $\ol\lambda =
|
||
\lambda$. Кроме того, условия симметричности и эрмитовости также можно
|
||
записать в единообразном виде: $B(u,v) = \ol{B(v,u)}$.
|
||
|
||
|
||
\subsection{Норма}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XII, \S~1, пп. 1--3, [K2], гл. 3, \S~1, п. 2;
|
||
\S~2, п. 2; [KM], ч. 2, \S~2, п. 4; \S~5, пп. 2--5; \S~6, пп. 4--7.}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство, $v\in
|
||
V$. Будем называть число
|
||
$||v|| = \sqrt{B(v,v)}$ \dfn{длиной}\index{длина вектора} $v$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{lemma}\label{lem:triangle_inequality}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство, $u,v,\in V$. Тогда
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item ({\it Однородность нормы}). $||v\lambda|| = |\lambda|\cdot
|
||
||v||$ для любого $\lambda\in k$.
|
||
\item ({\it Теорема Пифагора}). Если $B(u,v)=0$, то $||u+v||^2 = ||u||^2
|
||
+ ||v||^2$.
|
||
\item ({\it Неравенство Коши--Буняковского--Шварца}).
|
||
$|B(u,v)|\leq ||u||\cdot ||v||$, причем равенство достигается тогда и
|
||
только тогда, когда векторы $u$ и $v$ пропорциональны.
|
||
\item ({\it Неравенство треугольника}). $||u||+||v||\geq ||u+v||$;
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Заметим, что для $v=0$ все утверждения леммы очевидны. Поэтому далее
|
||
мы будем считать, что $v\neq 0$.
|
||
|
||
Однородность нормы следует из полуторалинейности:
|
||
$$
|
||
||v\lambda||^2 = B(v\lambda, v\lambda ) =
|
||
\lambda\ol{\lambda}B(v,v) = |\lambda|^2\cdot ||v||^2.
|
||
$$
|
||
|
||
Заметим, что $||u+v||^2 = B(u+v,u+v) = B(u,u) + B(u,v) +
|
||
\ol{B(u,v)} + B(v,v)$, и при $B(u,v)=0$ получаем в точности теорему
|
||
Пифагора.
|
||
|
||
Для доказательства неравенства Коши--Буняковского--Шварца положим
|
||
$$
|
||
w = u - v\frac{B(u,v)}{B(v,v)}
|
||
$$
|
||
и заметим, что $$B(w,v) = B(u-v\frac{B(u,v)}{B(v,v)},v)
|
||
= B(u,v) - \frac{B(u,v)}{B(v,v)}B(v,v) = 0.$$
|
||
Это означает, что векторы $v$ и $w$ ортогональны. Поэтому и вектор
|
||
$v\frac{B(u,v)}{B(v,v)}$ ортогонален вектору $w$. Применим к этой паре
|
||
векторов теорему Пифагора:
|
||
$$
|
||
||u||^2 = ||w||^2 + ||v\frac{B(u,v)}{B(v,v)}||^2 = ||w||^2 +
|
||
\frac{|B(u,v)|^2}{||v||^2} \geq \frac{|B(u,v)|^2}{||v||^2},
|
||
$$
|
||
откуда $|B(u,v)|\leq ||u||\cdot ||v||$.
|
||
Если достигается равенство, то $||w||=0$, откуда $w=0$ и $u$
|
||
пропорционально $v$; обратно, если $u$ пропорционально $v$, то
|
||
в неравенстве Коши--Буняковского--Шварца имеет место равенство.
|
||
|
||
Посмотрим на выражение для $B(u+v,u+v)$:
|
||
\begin{align*}
|
||
||u+v||^2 &= B(u+v,u+v)\\
|
||
&= B(u,u) + B(u,v) + \ol{B(u,v)}+ B(v,v)\\
|
||
&= ||u||^2 + 2\Ree(B(u,v)) + ||v||^2 \leq ||u||^2 + 2|B(u,v)| + ||v||^2\\
|
||
&\leq ||u||^2 +2||u||\cdot ||v|| + ||v||^2\\
|
||
&= (||u||+||v||)^2.
|
||
\end{align*}
|
||
Извлекая корень из обеих частей, получаем неравенство треугольника.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово пространство.
|
||
Лемма~\ref{lem:triangle_inequality} показывает, что для ненулевых
|
||
векторов $u,v\in V$ выражение $\frac{B(u,v)}{||u||\cdot ||v||}$ лежит
|
||
на отрезке $[-1,1]$ и потому является косинусом некоторого однозначно
|
||
определенного угла $\ph\in [0,\pi]$. Этот угол называется \dfn{углом
|
||
между векторами}\index{угол между векторами} $u$ и $v$. Обозначение:
|
||
$\ph = \angle(u,v)$. Обратите внимание, что это определение не
|
||
работает для унитарного пространства: $B(u,v)$ может оказаться
|
||
комплексным. Однако, имеет смысл рассматривать выражение
|
||
$\frac{|B(u,v)|}{||u||\cdot ||v||}$; оно лежит на отрезке $[0,1]$ и
|
||
потому является косинусом некоторого однозначно определенного угла
|
||
$\ph\in[0,\frac{\pi}{2}]$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
Заметим, что угол $\angle(u,v)$ равен $\pi/2$ тогда и только тогда,
|
||
когда $B(u,v)=0$, то есть, когда векторы $u$ и $v$ ортогональны в смысле
|
||
определения~\ref{def:bilinear_form}.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
|
||
\subsection{Матрица Грама}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XIII, \S~1, п. 4; [KM], ч. 2, \S~2, пп. 2--3;
|
||
[KM], ч. 2, \S~3, п. 8.}
|
||
|
||
Пусть $(V,B)$~--- конечномерное пространство над полем $k$ с формой,
|
||
билинейной в
|
||
случае $k=\mb R$ и полуторалинейной в случае $k=\mb C$. Пусть
|
||
$\mc E = (e_1,\dots,e_n)$~--- базис $V$.
|
||
Запишем векторы $u,v\in V$ в этом базисе:
|
||
$u = e_1u_1 + \dots + e_nu_n$,
|
||
$v = e_1v_1 + \dots + e_nv_n$.
|
||
Подставим эти выражения в $B(u,v)$:
|
||
$$
|
||
B(u,v) = B(e_1u_1+\dots+e_nu_n, e_1v_1+\dots+e_nv_n)
|
||
= \sum_{i,j=1}^n B(e_iu_i,e_jv_j)
|
||
= \sum_{i,j=1}^n \ol{u_i}v_j B(e_i,e_j).
|
||
$$
|
||
Это означает, что форма $B$ полностью определяется своими значениями
|
||
на базисных векторах.
|
||
Полученное выражение можно записать в матричной форме:
|
||
$$
|
||
B(u,v) = \ol{[u]}^T (B(e_i,e_j))_{i,j=1}^n [v],
|
||
$$
|
||
где через $[u],[v]$ мы обозначаем столбцы координат векторов $u,v$ в
|
||
базисе $\mc E$.
|
||
Матрица, составленная из скалярных произведений $B(e_i,e_j)$ базисных
|
||
векторов, называется
|
||
\dfn{матрицей Грама} формы $B$ в базисе $\mc E$.
|
||
Обозначим ее через $G$.
|
||
Мы получили, что
|
||
$B(u,v) = \ol{[u]}^T G [v]$ для всех $u,v\in V$.
|
||
|
||
Пока мы использовали только билинейность/полуторалинейность формы
|
||
$B$. Если форма $B$ симметрична/эрмитова, то
|
||
$\ol{B(v,u)} = \ol{B(v,u)}^T = \ol{(\ol{[v]}^T G [u])^T}
|
||
= \ol{[u]^T G^T \ol{[v]}} = \ol{[u]}^T \ol{G}^T [v]$. Сравним это с
|
||
выражением $B(u,v) = \ol{[u]}^T G [v]$:
|
||
$$
|
||
\ol{[u]}^T \ol{G}^T [v] = \ol{[u]}^T G [v]\quad\text{ для всех $u,v\in V$}.
|
||
$$
|
||
Подставляя в качестве $u,v$ базисные векторы $e_1,\dots,e_n$,
|
||
получаем, что матрицы $\ol{G}^T$ и $G$ совпадают:
|
||
$$
|
||
\ol{G}^T = G.
|
||
$$
|
||
Для случая эвклидова пространства, конечно, это равенство означает,
|
||
что $G^T = G$.
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Матрица $A$ над произвольным полем называется \dfn{симметрической}\index{матрица!симметрическая},
|
||
если $A^T = A$. Матрица $A$ над полем комплексных чисел называется
|
||
\dfn{эрмитовой}\index{матрица!эрмитова}, если $\ol{A}^T = A$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
Таким образом, мы показали, что матрица Грама симметрической
|
||
билинейной формы является симметрической, а матрица Грама эрмитовой
|
||
полуторалинейной формы является эрмитовой.
|
||
|
||
Обратно, по любой симметрической матрице над $\mb R$ можно построить
|
||
симметрическую билинейную форму, а по любой эрмитовой матрице над $\mb
|
||
C$~--- эрмитову полуторалинейную форму. Действительно, мы можем
|
||
обобщить примеры~\ref{example:standard_bilinear_form}
|
||
и~\ref{example:standard_sesquilinear_form}.
|
||
Пусть $G\in M(n,k)$~--- симметрическая или эрмитова матрица. На
|
||
пространстве столбцов $V=k^n$ высоты $n$ определим форму
|
||
$B\colon V\times V\to k$ равенством
|
||
$$
|
||
B(u,v) = \ol{u}^TGv.
|
||
$$
|
||
Нетрудно проверить, что эта форма билинейна в случае $k=\mb R$ и
|
||
полуторалинейна в случае $k=\mb C$:
|
||
\begin{align*}
|
||
&B(u,v_1+v_2) = \ol{u}^T G(v_1+v_2) = \ol{u}^TGv_1 + \ol{u}^TGv_2 =
|
||
B(u,v_1) + B(u,v_2)\\
|
||
&B(u,v\lambda) = \ol{u}^T G(v\lambda) = (\ol{u}^TGv)\lambda = B(u,v)\lambda\\
|
||
&B(u_1+u_2,v) = \ol{u_1+u_2}^T Gv = \ol{u_1}^TGv + \ol{u_2}^TGv =
|
||
B(u_1,v) + B(u_2,v)\\
|
||
&B(u\lambda,v) = \ol{u\lambda}^T Gv = \ol\lambda(\ol{u}^TGv) =
|
||
\ol\lambda B(u,v)
|
||
\end{align*}
|
||
Кроме того, для симметрической матрицы $G$ имеем
|
||
$$
|
||
B(v,u) = B(v,u)^T = (v^T G u)^T = u^TG^Tv = u^TGv = B(u,v),
|
||
$$
|
||
а для эрмитовой~---
|
||
$$
|
||
\ol{B(v,u)} = \ol{B(v,u)}^T = (\ol{\ol{v}^TGu})^T = \ol{u}^T\ol{G}^Tv
|
||
= \ol{u}^T G v = B(u,v).
|
||
$$
|
||
Поэтому форма $B$ является симметрической или эрмитовой
|
||
соответственно. По определению исходная матрица $G$ является матрицей
|
||
Грама полученной формы $B$ в стандартном базисе пространства столбцов.
|
||
|
||
Естественно поставить вопрос: как меняется матрица Грама при замене
|
||
базиса в пространстве $V$?
|
||
Напомним, что если $\mc E=\{e_1,\dots,e_n\}$ и $\mc F=
|
||
\{f_1,\dots,f_n\}$~--- два базиса в пространстве $V$, то {\it
|
||
матрица перехода} $(\mc E\rsa\mc F)$ от базиса $\mc E$ к базису
|
||
$\mc F$ устроена так:
|
||
в столбце с номером $j$ стоят координаты вектора $f_j$ в базисе $\mc E$
|
||
(см. определение~\ref{def:change_of_basis_matrix}).
|
||
|
||
\begin{theorem}[Преобразование матрицы Грама при замене базиса]\label{thm:Gram_matrix_change_of_coordinates}
|
||
Пусть $\mc E, \mc F$~--- два базиса конечномерного пространства $V$
|
||
над полем $k$, $C = (\mc E\rsa\mc F)$~--- матрица перехода от $\mc E$
|
||
к $\mc F$, $B\colon V\times V\to k$~--- билинейная или
|
||
полуторалинейная форма на $V$. Пусть $G_{\mc E}$ и $G_{\mc F}$~---
|
||
матрицы Грама формы $B$ в базисах
|
||
$\mc E$ и $\mc F$ соответственно. Тогда
|
||
$$
|
||
G_{\mc F} = \ol{C}^T G_{\mc E}C.
|
||
$$
|
||
\end{theorem}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $u,v\in V$. По теореме~\ref{thm:change_of_coordinates}
|
||
координаты векторов в базисах $\mc E$, $\mc F$ связаны следующим
|
||
образом:
|
||
$[v]_{\mc E} = C\cdot [v]_{\mc F}$,
|
||
$[u]_{\mc E} = C\cdot [u]_{\mc F}$.
|
||
Поэтому
|
||
$$
|
||
B(u,v) = \ol{[u]_{\mc E}}^T G_{\mc E}[v]_{\mc E} =
|
||
\ol{C\cdot[u]_{\mc F}}^T G_{\mc E}C\cdot [v]_{\mc F} =
|
||
\ol{[u]_{\mc F}}^T\ol{C}^T G_{\mc E}C\cdot [v]_{\mc F}
|
||
$$
|
||
С другой стороны,
|
||
$$
|
||
B(u,v) = \ol{[u]_{\mc F}}^T G_{\mc F}[v]_{\mc F}.
|
||
$$
|
||
Получаем, что $\ol{[u]_{\mc F}}^T\ol{C}^T G_{\mc E}C\cdot [v]_{\mc F}
|
||
= \ol{[u]_{\mc F}}^T G_{\mc F}[v]_{\mc F}$ для всех $u,v\in
|
||
V$. Подставляя в качестве $u,v$ всевозможные пары векторов базиса $\mc
|
||
F$, получаем необходимое равенство матриц.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Отметим, что матрица Грама скалярного
|
||
произведения обратима.
|
||
|
||
\begin{proposition}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство. Тогда матрица
|
||
Грама формы $B$ в любом базисе является обратимой.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Выберем произвольный базис $\mc E$ пространства $V$ и запишем матрицу
|
||
Грама $G=G_{\mc E}\in M(n,k)$ скалярного произведения $B$ в этом
|
||
базисе. Если она необратима, то (по теореме
|
||
Кронекера--Капелли~\ref{thm_kronecker_kapelli_2}) уравнение
|
||
$GX=0$ имеет ненулевое решение: найдется столбец
|
||
$X_0\in k^n\setminus\{0\}$, для которого
|
||
$GX_0=0$. Такой столбец является столбцом координат некоторого
|
||
ненулевого вектора $v_0\in V$. Но тогда
|
||
$B(v_0,v_0) = \ol{[v_0]_{\mc E}}^T\cdot G\cdot [v_0]_{\mc E} =
|
||
\ol{X_0}^TGX_0 = 0$, что противоречит положительной определенности
|
||
формы $B$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Процесс ортогонализации Грама--Шмидта}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XIII, \S~1, пп. 5, 6; \S~2, п. 1; [K2], гл. 3,
|
||
\S~1, п. 3; \S~2, п. 3; [KM], ч. 2, \S~3, п. 6; \S~4, пп. 2--4.}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство.
|
||
Базис $(e_1,\dots,e_n)$ пространства $V$ называется
|
||
\dfn{ортогональным}\index{базис!ортогональный}, если все его векторы
|
||
попарно ортогональны:
|
||
$e_i\perp e_j$ при $i\neq j$. Этот базис называется
|
||
\dfn{ортонормированным}\index{базис!ортонормированный}, если он
|
||
ортогонален и длина каждого вектора равна единице: $||e_i||=1$ для
|
||
всех $i$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{lemma}\label{lem:orthogonality_implies_independency}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство. Если ненулевые
|
||
векторы $e_1,\dots,e_n\in V$ попарно ортогональны,
|
||
то они линейно независимы. Если, кроме того, $\dim V=n$, то векторы
|
||
$e_1,\dots,e_n$ образуют ортогональный базис.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Предположим, что $e_1\lambda_1 + \dots +
|
||
e_n\lambda_n = 0$~--- нетривиальная линейная комбинация этих векторов,
|
||
равная нулю. Домножим это равенство скалярно на $e_i$:
|
||
$$
|
||
B(e_i,e_1\lambda_1 + \dots + e_n\lambda_n) = 0.
|
||
$$
|
||
Пользуясь линейностью по второму аргументу и попарной ортогональностью
|
||
векторов $e_i$, получаем равенство $\lambda_i B(e_i,e_i) = 0$. Так как
|
||
$e_i\neq 0$, получаем, что $\lambda_i=0$ для всех $i=1,\dots,n$.
|
||
|
||
Если $\dim V = n$, мы получаем $n$ линейно независимых векторов в
|
||
$n$-мерном векторном пространстве. Из
|
||
предложения~\ref{prop:dimension_is_monotonic} следует, что они
|
||
образуют базис (действительно, размерность их линейной оболочки
|
||
совпадает с размерностью $V$, поэтому эта линейная оболочка равна $V$).
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
По определению матрица Грама формы $B$ в базисе $\mc E =
|
||
(e_1,\dots,e_n)$ составлена из
|
||
скалярных произведений $B(e_i,e_j)$. Поэтому базис $\mc E$
|
||
ортогонален тогда и только тогда, когда матрица Грама скалярного
|
||
произведения в этом базисе диагональна; базис $\mc E$ ортонормирован
|
||
тогда и только тогда, когда матрица Грама скалярного произведения в
|
||
этом базисе единична.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
Таким образом, если нам дано эвклидово или унитарное пространство,
|
||
часто удобно выбрать в нем ортогональный базис: в нем скалярное
|
||
произведение задается простыми формулами через координаты векторов
|
||
(см. примеры~\ref{example:standard_bilinear_form}
|
||
и~\ref{example:standard_sesquilinear_form}: стандартные базисы
|
||
пространства столбцов являются ортонормированными относительно
|
||
рассматриваемых там форм).
|
||
|
||
\begin{lemma}[Процесс ортогонализации Грама--Шмидта]\label{lem:Gram_Schmidt}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство,
|
||
$e_1,\dots,e_{n-1}$~--- семейство попарно ортогональных ненулевых векторов,
|
||
$v\notin\la e_1,\dots,e_{n-1}\ra$. Тогда существует вектор $e_n\in V$
|
||
такой, что $e_n$ ортогонален всем векторам $e_1,\dots,e_{n-1}$ и,
|
||
кроме того, $\la e_1,\dots,e_{n-1},v\ra = \la e_1,\dots,e_{n-1},e_n\ra$.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Будем искать вектор $e_n$ в виде
|
||
$$
|
||
e_n = v - e_1\lambda_1 - e_2\lambda_2 - \dots - e_{n-1}\lambda_{n-1}.
|
||
$$
|
||
Подберем коэффициенты $\lambda_1,\dots,\lambda_{n-1}\in k$ так, чтобы
|
||
$e_n$ был ортогонален каждому $e_i$, $i=1,\dots,n-1$. Посмотрим на
|
||
скалярное произведение $e_n$ и $e_i$. Поскольку $e_i$ ортогонален
|
||
всем векторам из $e_1,\dots,e_{n-1}$, кроме $e_i$, получаем
|
||
$$
|
||
B(e_i,e_n) = B(e_i,v) - B(e_i,e_i)\lambda_i.
|
||
$$
|
||
Положим теперь $\lambda_i = \frac{B(e_i,v)}{B(e_i,e_i)}$; заметим, что
|
||
$B(e_i,e_i)\neq 0$, поскольку $e_i\neq 0$. Мы добились того, что
|
||
$e_n\perp e_i$ для всех $i=1,\dots,n-1$. Кроме того, $v$ выражается
|
||
через $e_1,\dots,e_n$, поэтому $v\in\la e_1,\dots,e_n\ra$, и
|
||
$e_n$ выражается через $e_1,\dots,e_{n-1},v$, поэтому $e_n\in\la
|
||
e_1,\dots,e_{n-1},v\ra$. Это и означает равенство нужных линейных оболочек.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{corollary}\label{cor:Gram_Schmidt_1}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство, и пусть
|
||
$\mc F = (f_1,\dots,f_n)$~--- базис $V$. Тогда существует
|
||
ортогональный базис $\mc E = (e_1,\dots,e_n)$ пространства $V$ такой,
|
||
что $\la e_1,\dots,e_k\ra = \la f_1,\dots,f_k\ra$ для всех $k=1,\dots,n$.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
Индукция по $n$. Для $n=1$ утверждение очевидно: достаточно взять $e_1
|
||
= f_1$. Пусть утверждение доказано для всех пространств размерности не
|
||
выше $n-1$, и мы взяли пространство $V$ размерности $n$.
|
||
Рассмотрим в нашем пространстве $V$ линейную оболочку
|
||
векторов $f_1,\dots,f_{n-1}$: $W = \la f_1,\dots,f_{n-1}\ra$. По
|
||
предположению индукции найдется ортогональный базис
|
||
$e_1,\dots,e_{n-1}$ пространства $W$ такой, что $\la e_1,\dots,e_k\ra
|
||
= \la f_1,\dots,f_k\ra$ для всех $k=1,\dots,n-1$.
|
||
|
||
Применим лемму~\ref{lem:Gram_Schmidt} к набору $e_1,\dots,e_{n-1}$ и
|
||
вектору $f_n$. Мы найдем вектор $e_n$ такой, что $e_1,\dots,e_n$~---
|
||
ортогональная система векторов, и $\la e_1,\dots,e_n\ra = \la
|
||
f_1,\dots,f_n\ra = v$, то есть, $e_1,\dots,e_n$~--- базис
|
||
$V$. Очевидно, что условие $\la e_1,\dots,e_k\ra = \la
|
||
f_1,\dots,f_k\ra$ теперь выполняется для всех $k=1,\dots,n$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{corollary}\label{cor:orthogonal_basis_exists}
|
||
В любом [конечномерном] эвклидовом или унитарном пространстве
|
||
существует ортогональный (и даже ортонормированный) базис.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
Применим следствие~\ref{cor:Gram_Schmidt_1} к произвольному базису
|
||
пространства $V$. Получим ортогональный базис $e_1,\dots,e_n$. Положим
|
||
$e'_i = e_i/||e_i||$; легко видеть, что $||e'_i|| = 1$ и векторы
|
||
$e'_1,\dots,e'_n$ все еще попарно ортогональны. Мы получили
|
||
ортонормированный базис пространства $V$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{corollary}\label{cor:orthogonal_basis_extension}
|
||
Пусть $V$~--- эвклидово или унитарное пространства, $W\leq V$~---
|
||
подпространство в $V$. Любой ортогональный базис подпространства $W$
|
||
можно дополнить до ортогонального базиса пространства $V$.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
Как и в доказательстве следствия~\ref{cor:Gram_Schmidt_1},
|
||
воспользуемся леммой~\ref{lem:Gram_Schmidt} для индуктивного
|
||
построения нужного базиса.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Ортогональные и унитарные матрицы}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XIII, \S~1, п 7; [K2], гл. 3, \S~1, п. 5; \S~2,
|
||
п. 4.}
|
||
|
||
В этом разделе мы выясним, что матрица перехода между ортогональными
|
||
базисами является ортогональной в эвклидовом случае и унитарной в
|
||
унитарном случае.
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Матрица $C\in M(n,\mb R)$ называется
|
||
\dfn{ортогональной}\index{матрица!ортогональная}, если $C\cdot C^T =
|
||
C^T\cdot C = E$. Матрица $C\in M(n,\mb C)$ называется
|
||
\dfn{унитарной}\index{матрица!унитарная}, если $C\cdot \ol{C}^T =
|
||
\ol{C}^T\cdot C = E$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
Конечно, условия ортогональности и унитарности матрицы записываются
|
||
единообразно ($C\cdot\ol{C}^T=\ol{C}^T\cdot C=E$), если помнить, что
|
||
$\ol{C}=C$ для $C\in M(n,\mb R)$.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\begin{lemma}\label{lem:orthogonal_equivalencies}
|
||
Для матрицы $C\in M(n,\mb R)$ следующие условия равносильны:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $C$ ортогональна
|
||
\item $C^T$ ортогональна
|
||
\item столбцы $C$ образуют ортонормированный базис в
|
||
эвклидовом пространстве $\mb R^n$ со стандартным эвклидовым
|
||
скалярным произведением
|
||
(пример~\ref{example:standard_bilinear_form}).
|
||
\item строки $C$ образуют ортонормированный базис в эвклидовом
|
||
пространстве ${}^n\mb R$ со стандартным эвклидовым скалярным
|
||
произведением.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{lemma}
|
||
|
||
\begin{lemma}\label{lem:unitary_equivalencies}
|
||
Для матрицы $C\in M(n,\mb C)$ следующие условия равносильны:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $C$ унитарна
|
||
\item $\ol{C}^T$ унитарна
|
||
\item столбцы $C$ образуют ортонормированный базис в унитарном
|
||
пространстве $\mb C^n$ со стандартным эрмитовым скалярным
|
||
произведением (пример~\ref{example:standard_sesquilinear_form}).
|
||
\item строки $C$ образуют ортонормированный базис в унитарном
|
||
пространстве ${}^n\mb C$ со стандартным эрмитовым скалярным
|
||
произведением.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{lemma}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Мы докажем только вариант для унитарной матрицы.
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item[$(1)\Leftrightarrow (2)$] Очевидно из определения.
|
||
\item[$(1)\Rightarrow (3)$] Посмотрим на равенство $\ol{C}^T\cdot
|
||
C=E$. Оно означает, что при умножении $i$-ой строки матрицы
|
||
$\ol{C}^T$ на $j$-й столбец матрицы $C$ мы получим
|
||
$\delta_{ij} = \begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\neq j.\end{cases}$. То
|
||
есть, при стандартном эрмитовом скалярном произведении $i$-го
|
||
столбца матрицы $C$ на ее $j$-й столбец получается $\delta_{ij}$. Это
|
||
означает, что столбцы матрицы $C$ попарно ортогональны и, кроме того,
|
||
длина каждого столбца равна $1$. В частности, все столбцы
|
||
ненулевые. По лемме~\ref{lem:orthogonality_implies_independency} эти
|
||
столбцы образуют ортонормированный базис в $\mb C^n$.
|
||
\item[$(3)\Rightarrow (1)$] Мы знаем, что стандартное эрмитово
|
||
скалярное произведение $i$-го столбца матрицы $C$ на ее $j$-й
|
||
столбец равно $\delta_{ij}$. Но в точности это произведение стоит в
|
||
позиции $(i,j)$ матрицы $\ol{C}^T\cdot C$; поэтому $\ol{C}^T\cdot C
|
||
= E$. Заметим, что $1 = \det(E) = \det(\ol{C}^T\cdot C) =
|
||
\ol\det(C)\cdot\det(C)$, поэтому $\det(C)$ отличен от нуля и, стало
|
||
быть, матрица $C$ обратима. Из равенства $\ol{C}^T\cdot C = E$
|
||
теперь следует, что $C^{-1} = \ol{C}^T$, и поэтому $C\cdot\ol{C}^T =
|
||
E$.
|
||
\item[$(2)\Leftrightarrow (4)$] Применим только что доказанную
|
||
равносильность $(1)\Leftrightarrow (3)$ к матрице $C^T$; осталось
|
||
только заметить, что сопряжение не меняет выполнение свойства $(3)$:
|
||
если $e_1,\dots,e_n$~--- ортонормированный базис унитарного
|
||
пространства $\mb C^n$, то и $\ol{e_1},\dots,\ol{e_n}$~---
|
||
ортонормированный базис того же пространства.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{theorem}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство.
|
||
Пусть $\mc E$, $\mc F$~--- ортонормированные базисы $V$, и
|
||
$C=(\mc E\rsa\mc F)$~--- матрица перехода между ними. Тогда матрица
|
||
$C$ ортогональна в случае эвклидова пространства и унитарна в случае
|
||
унитарного пространства.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
По теореме~\ref{thm:Gram_matrix_change_of_coordinates} выполнено
|
||
$G_{\mc F} = \ol{C}^T\cdot G_{\mc E}\cdot C$, где
|
||
$G_{\mc E}$, $G_{\mc F}$~--- матрицы Грама формы $B$ в базисах $\mc E$,
|
||
$\mc F$ соответственно. Но базисы $\mc E$, $\mc F$ ортонормированы,
|
||
поэтому $G_{\mc E} = G_{\mc F} = E$. Значит, $E = \ol{C}^T\cdot C$, и
|
||
матрица $C$ ортогональна в эвклидовом случае и унитарна в унитарном
|
||
случае.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Ортонормированные базисы}
|
||
|
||
Введенное выше понятие ортонормированного базиса чрезвычайно полезно:
|
||
в этом разделе мы увидим, что использование таких базисов упрощает вычисления.
|
||
|
||
\begin{lemma}\label{lem:orthonormal-basis-coordinates}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство,
|
||
$e_1,\dots,e_n$~--- ортонормированный базис $V$,
|
||
$v\in V$~--- произвольный вектор, и $v = e_1\alpha_1 + \dots + e_n\alpha_n$~---
|
||
его разложение по этому базису.
|
||
Тогда $\alpha_i = B(e_i,v)$ и
|
||
$||v||^2 = |\alpha_1|^2 + \dots + |\alpha_n|^2$.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Домножим равенство $v = e_1\alpha_1 + \dots + e_n\alpha_n$
|
||
скалярно на $e_i$:
|
||
$$
|
||
B(e_i,v) = B(e_i, e_1\alpha_1 + \dots + e_n\alpha_n).
|
||
$$
|
||
Воспользовавшись линейностью $B$ по второму аргументу и ортонормированностью
|
||
базиса $e_1,\dots,e_n$, получаем, что $B(e_i,v) = B(e_i,e_i\alpha_i) = \alpha_i$.
|
||
Заметим, что векторы $e_1\alpha_1,\dots,e_n\alpha_n$ попарно ортогональны и
|
||
$||e_i\alpha_i|| = |\alpha_i|$. Доказательство завершается индукцией по $n$
|
||
с применением теоремы Пифагора.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Пусть $(V,B)$~--- конечномерное эвклидово или унитарное пространство,
|
||
$u\in V$~--- некоторый фиксированный вектор. Рассмотрим отображение
|
||
$B(u,{-})\colon V\to k$, $v\mapsto B(u,v)$. Линейность формы $B$ по второму
|
||
аргументу означает, что полученное отображение линейно, то есть,
|
||
лежит в $\Hom_k(V,k)$. Оказывается, верно и обратное: любое линейное отображение
|
||
из $V$ в основное поле $k$ имеет вид $B(u,{-})$ для некоторого вектора $u\in V$.
|
||
|
||
Заметим, что если фиксированный вектор $u$ поставить на второе место, то
|
||
мы получим {\em полулинейное} отображение $B({-},u)\colon V\to k$
|
||
(оно обладает свойством аддитивности, а скаляр выносится с сопряжением). Аналогично,
|
||
любое полулинейное отображение из $V$ в $k$ имеет вид $B({-},u)$
|
||
для некоторого вектора $u\in V$.
|
||
|
||
\begin{theorem}[Теорема Риса]\label{thm:Riesz_theorem}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- конечномерное эвклидово или унитарное пространство.
|
||
Если $\ph\colon V\to k$~--- линейное отображение, то существует
|
||
единственный вектор $u\in V$ такой, что $\ph(v) = B(u,v)$ для всех $v\in V$.
|
||
Если $\ph\colon V\to k$~--- полулинейное отображение, то существует
|
||
единственный вектор $u\in V$ такой, что $\ph(v) = B(v,u)$ для всех $v\in V$.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $\ph\colon V\to k$~--- линейное отображение.
|
||
Выберем некоторый ортонормированный базис $e_1,\dots,e_n$ пространства $V$.
|
||
Пусть $v\in V$~--- произвольный вектор.
|
||
Тогда по лемме~\ref{lem:orthonormal-basis-coordinates}
|
||
$$
|
||
v = e_1 B(e_1,v) + e_2 B(e_2,v) + \dots + e_n B(e_n,v).
|
||
$$
|
||
Применяя к этому равенству отображение $\ph$ и пользуясь его линейностью, получаем
|
||
\begin{align*}
|
||
\ph(v) &= \ph(e_1 B(e_1,v) + e_2 B(e_2, v) + \dots + e_n B(e_n,v)) \\
|
||
&= \ph(e_1)B(e_1,v) + \ph(e_2)B(e_2,v) + \dots + \ph(e_n)B(e_n) \\
|
||
&= B(e_1\overline{\ph(e_1)} + e_2\overline{\ph(e_2)} + \dots + e_n\overline{\ph(e_n)},v).
|
||
\end{align*}
|
||
Заметим, что первый аргумент полученного выражения не зависит от $v$.
|
||
Положив $u = e_1\overline{\ph(e_1)} + e_2\overline{\ph(e_2)} + \dots
|
||
+ e_n\overline{\ph(e_n)}$, получаем,
|
||
что $\ph(v) = B(u,v)$ для произвольного $v\in V$. Осталось показать, что такой
|
||
вектор $u$ единственный. Предположим, что нашелся еще один вектор $u'\in V$
|
||
такой, что $\ph(v) = B(u',v)$ для всех $v\in V$.
|
||
Но тогда $B(u,v) = \ph(v) = B(u',v)$, откуда $B(u-u',v) = 0$ для всех $v\in V$.
|
||
В частности, это так для $v = u-u'$, и получаем $B(u-u',u-u') = 0$.
|
||
Но форма $B$ положительно определена, и потому $u-u'=0$, то есть, $u=u'$.
|
||
|
||
Пусть теперь отображение $\ph\colon V\to k$ полулинейно. Тогда
|
||
отображение $\overline\ph\colon V\to k$, $v\mapsto \overline{\ph(v)}$,
|
||
линейно, и к нему можно применить доказанное выше: существует единственный вектор
|
||
$u\in V$ такой, что $\overline\ph(v) = B(u,v)$ для всех $u\in V$.
|
||
Но равенство $\overline\ph(v) = B(u,v)$ равносильно равенству
|
||
$\ph(v) = B(v,u)$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
Заметим, что полученное выражение
|
||
$u = e_1\overline{\ph(e_1)} + \dots + e_n\overline{\ph(e_n)}$
|
||
для вектора $u$ с виду зависит от выбора базиса $e_1,\dots,e_n$.
|
||
С другой стороны, мы показали, что вектор $u$ с указанными свойствами
|
||
единственный. Получается, что это выражение на самом деле одинаково
|
||
во всех базисах пространства $V$.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\subsection{Ортогональное дополнение}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XIII, \S~2, п. 2; [K2], гл. 3, \S~1, п. 3; \S~2,
|
||
п. 3; [KM], ч. 2, \S~3, пп. 1--2.}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство, $U\subseteq V$~---
|
||
произвольное подмножество.
|
||
\dfn{Ортогональным дополнением}\index{ортогональное дополнение} к подмножеству
|
||
$U$ в $V$ называется
|
||
$U^\perp = \{v\in V\mid \forall u\in U\;\; B(u,v) = 0\}$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:orthogonal-complement-properties}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство,
|
||
$U\subseteq V$~--- подмножество в $V$. Тогда
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $U^\perp$ является подпространством в $V$;
|
||
\item $\{0\}^\perp = V$, $V^\perp = \{0\}$;
|
||
\item $U\cap U^\perp \subseteq\{0\}$;
|
||
\item если $U\subseteq W$~--- два подмножества в $V$, то $W^\perp\subseteq U^\perp$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Если $v_1,v_2$ лежат в $U^\perp$, то для любого $u\in U$ выполнено
|
||
$B(u,v_1) = B(u,v_2) = 0$. Поэтому для любых $\lambda_1,\lambda_2\in
|
||
k$ выполнено $B(u,v_1\lambda_1+v_2\lambda_2) = B(u,v_1)\lambda_1 +
|
||
B(u,v_2)\lambda_2 = 0$, и $v_1\lambda_1+v_2\lambda_2\in
|
||
U^\perp$. Это доказывает, что $U^\perp\leq V$.
|
||
\item Любой вектор $V$ ортогонален $0$, поэтому $\{0\}^\perp = V$. Если
|
||
вектор $v\in V$ ортогонален всем векторам из $V$, то, в частности,
|
||
он ортогонален самому себе, то есть, $B(v,v)=0$. В силу
|
||
положительной определенности формы $B$ из этого следует, что
|
||
$v=0$. Это доказывает, что $V^\perp = \{0\}$.
|
||
\item Пусть $v\in U\cap U^\perp$. Условие $v\in U^\perp$ означает,
|
||
что $B(u,v) = 0$ для всех $u\in U$, в частности, для $u=v$.
|
||
Поэтому $B(v,v)=0$. В силу положительной определенности формы $B$
|
||
получаем, что $v=0$.
|
||
\item Пусть $v\in W^\perp$. Тогда $B(u,v) = 0$ для всех $u\in W$. В частности,
|
||
это так для всех $u\in U$. Поэтому $v\in U^\perp$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:orthogonal-complement-properties-findim}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство,
|
||
$U\leq V$~--- конечномерное подпространство в $V$. Тогда
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item\label{num:orth-comp-prop-findim-1} $V = U\oplus U^\perp$;
|
||
\item если, кроме того, $V$ конечномерно, то $\dim (U^\perp) = \dim (V) - \dim (U)$;
|
||
\item $(U^\perp)^\perp = U$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Пусть $e_1,\dots,e_m$~--- некоторый ортонормированный базис
|
||
подпространства $U$ (такой существует по
|
||
следствию~\ref{cor:orthogonal_basis_exists}).
|
||
Возьмем произвольный вектор $v\in V$, обозначим
|
||
$$
|
||
u = e_1 B(e_1,v) + \dots + e_m B(e_m,v) \in U,
|
||
$$
|
||
и положим $w = v-u$.
|
||
Заметим, что $w\in U^\perp$. Действительно,
|
||
\begin{align*}
|
||
B(e_i,w) &= B(e_i,v-u) \\
|
||
&= B(e_i,v) - B(e_i,u) \\
|
||
&= B(e_i,v) - B(e_i,e_1 B(e_1,v) + \dots + e_m B(e_m,v)) \\
|
||
&= B(e_i,v) - B(e_i,v) \\
|
||
&= 0
|
||
\end{align*}
|
||
(мы воспользовались ортонормированностью базиса $e_1,\dots,e_m$).
|
||
Эта выкладка показывает, что $w$ ортогонален каждому из векторов
|
||
$e_1,\dots,e_m$; поэтому $w$ ортогонален и любой их линейной комбинации,
|
||
то есть, любому вектору подпространства $U$.
|
||
Итак, мы получили представление $v = u + w$, где $u\in U$, $w\in U^\perp$,
|
||
для произвольного вектора $v\in V$. Это означает, что $V = U + U^\perp$.
|
||
В предложении~\ref{prop:orthogonal-complement-properties} мы уже показали,
|
||
что $U\cap U^\perp \subseteq \{0\}$, и в нашем случае $U,U^\perp$ содержат $0$,
|
||
то есть, на самом деле $U\cap U^\perp = \{0\}$.
|
||
По предложению~\ref{prop:direct-sum-criteria-for-2} из этого следует, что
|
||
$V = U\oplus U^\perp$.
|
||
\item По следствию \ref{cor:direct-sum-dimension} и по уже доказанному,
|
||
имеем $\dim(V) = \dim(U) + \dim(U^\perp)$.
|
||
\item Покажем сначала, что $U\subseteq (U^\perp)^\perp$ (на самом деле, это
|
||
верно даже без условия конечномерности $U$). Пусть $u\in U$; мы хотим проверить,
|
||
что $u\in (U^\perp)^\perp$, то есть, что $u$ ортогонален любому вектору
|
||
из $U^\perp$. Пусть $w$~--- произвольный вектор из $U^\perp$. По определению
|
||
это означает, что он ортогонален любому вектору из $U$, в частности, вектору $u$:
|
||
$B(u,w) = 0$. Но тогда и $B(w,u) = 0$, то есть, $u$ ортогонален $w$, что и
|
||
требовалось.
|
||
|
||
Осталось проверить обратное включение: возьмем произвольный вектор
|
||
$v\in (U^\perp)^\perp$ и покажем, что $v\in U$.
|
||
По первому пункту мы можем представить $v$ в виде $v = u + w$,
|
||
где $u\in U$ и $w\in U^\perp$. Тогда $w = v - u$, и отсюда
|
||
$B(w, w) = B(w, v - u)$. При этом $w\in U^\perp$, $v\in (U^\perp)^\perp$,
|
||
и $u\in U\subseteq (U^\perp)^\perp$ (мы пользуемся уже доказанным включением).
|
||
Значит, скалярное произведение $w$ на $v-u$ равно нулю, откуда $B(w,w)=0$,
|
||
откуда следует, что $w=0$.
|
||
Поэтому $v = u\in U$, что и требовалось.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство,
|
||
$U\leq V$~--- конечномерное подпространство.
|
||
Возьмем произвольный вектор $v\in V$.
|
||
По предложению~\ref{prop:orthogonal-complement-properties-findim}
|
||
существует единственное разложение вида
|
||
$v = u + u'$, где $u\in U$, $u'\in U^\perp$.
|
||
Так определенный вектор $u\in U$ мы будем называть
|
||
\dfn{ортогональной проекцией} вектора $v$ на подпространство $U$
|
||
и обозначать через $\pr_U(v)$.
|
||
Мы получили, таким образом, отображение
|
||
$\pr_U\colon V\to V$, которое каждому вектору $v\in V$
|
||
сопоставляет его проекцию на подпространство $U$
|
||
(рассмотренную как элемент объемлющего пространства $V$).
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{theorem}\label{thm:orth-proj-properties}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство,
|
||
$U\leq V$~--- конечномерное подпространство, $v\in V$.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item\label{num:orth-proj-props-1}
|
||
Отображение $\pr_U\colon V\to V$ является линейным.
|
||
\item\label{num:orth-proj-props-2}
|
||
Если $v\in U$, то $\pr_U(v) = v$.
|
||
\item\label{num:orth-proj-props-3}
|
||
Если $v\in U^\perp$, то $\pr_U(v) = 0$.
|
||
\item $\Img(\pr_U) = U$.
|
||
\item $\Ker(\pr_U) = U^\perp$.
|
||
\item $v - \pr_U(v) \in U^\perp$.
|
||
\item $\pr_U\circ\pr_U = \pr_U$.
|
||
\item $||\pr_U(v)|| \leq ||v||$.
|
||
\item Если $e_1,\dots,e_n$~--- любой ортонормированный базис $U$,
|
||
то $\pr_U(v) = e_1 B(e_1,v) + \dots + e_n B(e_n,v)$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Пусть $v_1,v_2\in V$, причем $v_1 = u_1 + w_1$
|
||
и $v_2 = u_2 + w_2$, где $u_1,u_2\in U$, $w_1,w_2\in U^\perp$.
|
||
Тогда $v_1+v_2 = (u_1+u_2) + (w_1+w_2)$, и $u_1+u_2\in U$,
|
||
$w_1+w_2\in U^\perp$. По определению
|
||
$\pr_U(v_1) = u_1$, $\pr_U(v_2) = u_2$ и
|
||
$\pr_U(v_1+v_2) = u_1 + u_2 = \pr_U(v_1) + \pr_U(v_2)$.
|
||
Мы показали аддитивность отображения $\pr_U$. Если $v\in V$
|
||
и $v = u + w$ для $u\in U$, $w\in U^\perp$, то
|
||
$v\lambda = u\lambda + w\lambda$, откуда следует и однородность
|
||
$\pr_U$.
|
||
\item Если $v\in U$, то $v = v + 0$, где $v\in U$, $0\in U^\perp$.
|
||
\item Если $v\in U^\perp$, то $v = 0 + v$, где $0\in U$, $v\in U^\perp$.
|
||
\item В пункте (\ref{num:orth-proj-props-2}) мы показали,
|
||
что $U\subseteq\Img(\pr_U)$. Обратное включение выполнено
|
||
по определению отображения $\pr_U$.
|
||
\item В пункте (\ref{num:orth-proj-props-3}) мы показали,
|
||
что $U^\perp\subseteq\Ker(\pr_U)$. Обратно, если
|
||
$\pr_U(v) = 0$, то $v = 0 + w$, где $w\in U^\perp$.
|
||
\item По определению $v = u + w$, где $u\in U$, $w\in U^\perp$
|
||
и $u = \pr_U(v)$. Поэтому $v - \pr_U(v) = v - u = w\in U^\perp$.
|
||
\item Пусть $\pr_U(v) = u\in U$. Тогда $\pr_U(u) = u$
|
||
по пункту~(\ref{num:orth-proj-props-2}), что и требовалось.
|
||
\item $v = \pr_U(v) + w$, где $w\in U^\perp$, и потому векторы
|
||
$\pr_U(v)$ и $w$ ортогональны. По теореме Пифагора
|
||
$||v||^2 = ||\pr_U(v)||^2 + ||w||^2$, откуда следует нужное неравенство.
|
||
\item Запишем $v = u + (v-u)$,
|
||
где $u = e_1B(e_1,v) + \dots + e_n B(e_n,v)$. Как и в доказательстве
|
||
пункта~(\ref{num:orth-comp-prop-findim-1})
|
||
предложения~\ref{prop:orthogonal-complement-properties-findim},
|
||
получаем, что $v-u$ ортогонально каждому из $e_1,\dots,e_n$,
|
||
и потому $v-u\in U^\perp$, в то время как, очевидно,
|
||
$u\in U$. По определению тогда $\pr_U(v) = u$, что и требовалось.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Сопряженные отображения}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XIII, \S~4, п. 2; [K2], гл. 3, \S~3, п. 1; [KM],
|
||
ч. 2, \S~8, пп. 1--3.}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $(V,B)$ и $(V',B')$~--- эвклидовы или унитарные пространства,
|
||
$\ph\colon V\to V'$~--- линейное отображение.
|
||
Линейное отображение $\ph^*\colon V'\to V$ называется
|
||
\dfn{сопряженным}\index{сопряженное отображение} к
|
||
отображению $\ph$, если $B'(\ph(v),v') = B(v,\ph^*(v'))$ для всех
|
||
векторов $v\in V$ и $v'\in V'$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
Покажем, что у каждого линейного отображения между эвклидовыми или
|
||
унитарными пространствами имеется единственное сопряженное.
|
||
|
||
\begin{proposition}
|
||
Пусть $(V,B)$ и $(V',B')$~--- эвклидовы или унитарные пространства,
|
||
$\ph\colon V\to V'$~--- линейное отображение. Существует линейное
|
||
отображение $\ph^*\colon V'\to V$ сопряженное к $\ph$. Кроме того, такое
|
||
линейное отображение единственно.
|
||
\end{proposition}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $v'\in V'$. Рассмотрим отображение $f\colon V\to k$, которое
|
||
сопоставляет вектору $v\in V$ скаляр $B'(\ph(v),v')$. Покажем, что
|
||
$f$~--- полулинейное отображение. Действительно, $f(v_1\lambda_1 +
|
||
v_2\lambda_2) = B'(\ph(v_1\lambda_1+v_2\lambda_2),v')
|
||
= B'(\ph(v_1)\lambda_1+\ph(v_2)\lambda_2,v')
|
||
= \ol{\lambda_1}B'(\ph(v_1),v') + \ol{\lambda_2}B'(\ph(v_2),v')
|
||
= \ol{\lambda_1}f(v_1) + \ol{\lambda_2}f(v_2)$.
|
||
По теореме Риса~\ref{thm:Riesz_theorem} найдется вектор
|
||
$v_f\in V$ такой, что $B(v,v_f) = f(v) = B'(\ph(v),v')$
|
||
для всех $v\in V$. Положим $\ph^*(v') = v_f$.
|
||
|
||
Таким образом, для каждого $v'\in V'$ мы нашли вектор $\ph^*(v')\in V$
|
||
такой, что $B(v,\ph^*(v')) = B'(\ph(v),v')$ для всех $v\in V$.
|
||
Проверим, что полученное отображение $\ph^*\colon V'\to V$ является
|
||
линейным. Действительно.
|
||
\begin{align*}
|
||
B(v,\ph^*(v'_1)\lambda_1+\ph^*(v'_2)\lambda_2)
|
||
&= B(v,\ph^*(v'_1))\lambda_1 + B(v,\ph^*(v'_2))\lambda_2\\
|
||
&= B'(\ph(v),v'_1)\lambda_1 + B'(\ph(v),v'_2))\lambda_2\\
|
||
&= B'(\ph(v),v'_1\lambda_1 + v'_2\lambda_2).
|
||
\end{align*}
|
||
С другой стороны, по определению $\ph^*$ выполнено
|
||
$B(v,\ph^*(v'_1\lambda_1 + v'_2\lambda_2))
|
||
= B'(\ph(v),v'_1\lambda_1 + v'_2\lambda_2)$.
|
||
Поэтому $B(v,\ph^*(v'_1\lambda_1+v'_2\lambda_2)) =
|
||
B(v,\ph^*(v'_1)\lambda_1 -
|
||
\ph^*(v'_2)\lambda_2)$ для всех $v\in V$, откуда следует, что
|
||
$\ph^*(v'_1\lambda_1+v'_2\lambda_2) = \ph^*(v'_1)\lambda_1 -
|
||
\ph^*(v'_2)\lambda_2$.
|
||
|
||
Осталось показать единственность отображения $\ph^*$ с указанным
|
||
свойством. Но если $\tld{\ph^*}$~--- другое такое отображение, то
|
||
$B(v,\ph^*(v')) = B'(\ph(v),v') = B(v,\tld{\ph^*}(v'))$
|
||
для всех $v\in V$, $v'\in V'$.
|
||
Из этого следует, что $\ph^*(v') =
|
||
\tld{\ph^*}(v')$ для каждого $v'$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{proposition}
|
||
Пусть $(V,B)$ и $(V',B')$~--- эвклидовы или унитарные пространства,
|
||
$\ph,\psi\colon V\to V'$~--- линейные отображения,
|
||
$\lambda\in k$. Тогда
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $(\ph+\psi)^* = \ph^*+\psi^*$;
|
||
\item $(\lambda\ph)^* = \ol\lambda\ph^*$;
|
||
\item $(\ph^*)^* = \ph$;
|
||
\item $(\id_V)^* = \id_V$;
|
||
\item если $\eta\colon V'\to V''$~--- еще одно линейное отображение
|
||
(где $(V'',B'')$~--- эвклидово или унитарное пространство), то
|
||
$(\eta\circ\ph)^* = \ph^*\circ\eta^*$
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Пусть $v\in V$, $v'\in V'$. Тогда
|
||
\begin{align*}
|
||
B(v,(\ph+\psi)^*(v')) &= B'((\ph+\psi)(v),v') \\
|
||
&= B'(\ph(v) + \psi(v),v') \\
|
||
&= B'(\ph(v),v') + B'(\psi(v),v') \\
|
||
&= B(v,\ph^*(v')) + B(v,\psi^*(v')) \\
|
||
&= B(v,\ph^*(v')+\psi^*(v')),
|
||
\end{align*}
|
||
откуда следует, что $(\ph+\psi)^*(v') = \ph^*(v') + \psi^*(v')$,
|
||
что и требовалось.
|
||
\item Пусть $v\in V$, $v'\in V'$. Тогда
|
||
$$
|
||
B(v,(\lambda\ph)^*(v')) = B'(\lambda\ph(v),v') =
|
||
\ol\lambda B'(\ph(v),v') = \ol\lambda B(v,\ph^*(v')) =
|
||
B(v,\ol\lambda\ph^*(v')),
|
||
$$
|
||
откуда $(\lambda\ph)^*(v') = \ol\lambda\ph^*(v')$, что и требовалось.
|
||
\item Пусть $v\in V$, $v'\in V'$. Тогда
|
||
$$
|
||
B'(v',((\ph^*)^*(v)) = B(\ph^*(v'),v) = \ol{B(v,\ph^*(v'))}
|
||
=\ol{B'(\ph(v),v')} = B'(v',\ph(v)),
|
||
$$
|
||
откуда $((\ph^*)^*(v) = \ph(v)$, что и требовалось.
|
||
\item Пусть $v,w\in V$. Тогда
|
||
$$
|
||
B(v,(\id_V)^*(w)) = B(\id_V(v),w) = B(v,w) = B(v,\id_V(w)),
|
||
$$
|
||
откуда $(\id_V)^*(w) = \id_V(w)$, что и требовалось.
|
||
\item Пусть $v\in V$, $v''\in V''$. Тогда
|
||
\begin{align*}
|
||
B(v,(\eta\circ\ph)^*(v'')) &= B''((\eta\circ\ph)(v),v'') \\
|
||
&= B''(\eta(\ph(v)),v'') \\
|
||
&= B'(\ph(v),\eta^*(v'')) \\
|
||
&= B(v,\ph^*(\eta^*(v''))) \\
|
||
&= B(v,(\ph^*\circ\eta^*)(v'')),
|
||
\end{align*}
|
||
откуда $(\eta\circ\ph)^*(v'') = (\ph^*\circ\eta^*)(v'')$,
|
||
что и требовалось.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Выясним, как выглядит матрица сопряженного отображения в
|
||
ортонормированных базисах.
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:adjoint_matrix}
|
||
Пусть $(V,B)$, $(V',B')$~--- эвклидовы или унитарные пространства,
|
||
$\mc E$~--- ортонормированный базис пространства $V$, $\mc E'$~---
|
||
ортонормированный базис пространства $V'$.
|
||
Для любого линейного отображения $\ph\colon V\to V'$ выполнено
|
||
$[\ph^*]_{\mc E',\mc E} = \ol{[\ph]_{\mc E,\mc E'}}^T$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Обозначим $A=[\ph]_{\mc E,\mc E'}$, $A^*=[\ph^*]_{\mc E',\mc E}$.
|
||
По основному свойству матрицы линейного отображения
|
||
(теорема~\ref{thm:matrix-multiplied-by-vector}) для любых векторов
|
||
$v\in V$, $v'\in V'$ выполнено
|
||
$A\cdot [v]_{\mc E} = [\ph(v)]_{\mc E'}$
|
||
и $A^*\cdot [v']_{\mc E'} = [\ph^*(v')]_{\mc E}$.
|
||
Матрицы Грама форм $B$ и $B'$ единичны, поэтому
|
||
$$
|
||
\ol{[\ph(v)]_{\mc E'}}^T\cdot [v']_{\mc E'} = B'(\ph(v),v') =
|
||
B(v,\ph^*(v')) =
|
||
\ol{[v]_{\mc E}}^T\cdot [\ph^*(v')]_{\mc E}.
|
||
$$
|
||
Подставляя сюда выражения для столбцов координат $\ph(v)$ и
|
||
$\ph^*(v')$, получаем
|
||
$$
|
||
\ol{A\cdot[v]_{\mc E}}^T\cdot [v']_{\mc E'} = \ol{[v]_{\mc E}}^T\cdot
|
||
A^*\cdot [v']_{\mc E'},
|
||
$$
|
||
откуда
|
||
$$
|
||
\ol{[v]_{\mc E}}^T\cdot\ol{A}^T\cdot [v']_{\mc E'} = \ol{[v]_{\mc E}}^T\cdot
|
||
A^*\cdot [v']_{\mc E'}.
|
||
$$
|
||
Это равенство верно для всех $v\in V$, $v'\in V'$. Пусть теперь $v$
|
||
пробегает все векторы базиса $\mc E$, а $v'$ пробегает все векторы
|
||
базиса $\mc E'$. Получаем равенство матриц
|
||
$A^* = \ol{A}^T$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Самосопряженные операторы}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство.
|
||
Линейный оператор $T\colon V\to V$ называется \dfn{самосопряженным},
|
||
если $T^* = T$. Иными словами, $T$ самосопряжен, если
|
||
$B(T(v),w) = B(v,T(w))$ для всех $v,w\in V$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{proposition}
|
||
Все собственные числа самосопряженного оператора вещественны.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- самосопряженный оператор,
|
||
$\lambda\in k$~--- собственное число оператора $T$,
|
||
и $v\in V$~--- соответствующий ему собственный вектор,
|
||
то есть, $T(v) = v\lambda$ и $v\neq 0$.
|
||
Тогда
|
||
$$
|
||
\lambda ||v||^2 = \lambda B(v,v) = B(v,v\lambda)
|
||
= B(v,T^*(v)) = B(T(v),v) = B(v\lambda,v) = \ol\lambda B(v,v)
|
||
= \ol\lambda ||v||^2
|
||
$$
|
||
При этом $||v||^2\neq 0$, и потому $\lambda=\ol\lambda$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Следующие две леммы верны только для унитарных пространств,
|
||
но не для эвклидовых
|
||
(см. замечание~\ref{rem:complex-unitary-counterexample}).
|
||
|
||
\begin{lemma}\label{lem:complex-unitary-1}
|
||
Пусть $V$~--- унитарное пространство (внимание!),
|
||
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор.
|
||
Предположим, что $B(T(v),v) = 0$ для всех $v\in V$.
|
||
Тогда $T = 0$.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $u,v\in V$.
|
||
Заметим, что
|
||
$$
|
||
B(T(u),v) =
|
||
\frac{B(T(u+v),u+v) - B(T(u-v),u-v) - iB(T(u+vi),u+vi) + iB(T(u-vi),u-vi)}{4}
|
||
$$
|
||
(это можно проверить прямым вычислением).
|
||
В правой части стоят выражения вида $B(T(w),w)$, которые
|
||
по предположению равны нулю. Значит, $B(T(u),v)=0$.
|
||
В частности, это так для $v = T(u)$; получаем, что $T(u)=0$
|
||
для всех $u\in V$, откуда $T=0$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{remark}\label{rem:complex-unitary-counterexample}
|
||
Заметим, что лемма~\ref{lem:complex-unitary-1} неверна для
|
||
эвклидовых пространств: линейный оператор $\mb R^2\to\mb R^2$,
|
||
осуществляющий поворот на $\pi/2$, служит контрпримером.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\begin{lemma}
|
||
Пусть $V$~--- унитарное пространство (внимание!),
|
||
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор.
|
||
Оператор $T$ самосопряжен тогда и только тогда, когда
|
||
скалярное произведение $B(T(v),v)$ вещественно
|
||
для всех $v\in V$.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $v\in V$.
|
||
Тогда
|
||
$$
|
||
B(T(v),v) - \ol{B(T(v),v)} = B(T(v),v) - B(v,T(v))
|
||
= B(T(v),v) - B(T^*(v),v)
|
||
= B((T-T^*)(v),v).
|
||
$$
|
||
Если $B(T(v),v)\in\mb R$ для всех $v\in V$, то правая часть
|
||
всегда равна нулю, и по лемме~\ref{lem:complex-unitary-1}
|
||
из этого следует, что $T-T^*=0$.
|
||
|
||
Обратно, если $T = T^*$, то правая часть всегда равна нулю,
|
||
и потому $B(T(v),v) = \ol{B(T(v),v)}$ для всех $v\in V$,
|
||
откуда $B(T(v),v)\in\mb R$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
Замечание~\ref{rem:complex-unitary-counterexample} показывает,
|
||
что на эвклидовом пространстве ненулевой оператор $T$ может удовлетворять
|
||
тождеству $B(T(v),v)=0$ для всех $v\in V$. Однако,
|
||
этого не может случиться для самосопряженного оператора.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\begin{lemma}\label{lem:selfadjoint-zero-characterisation}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство,
|
||
$T\colon V\to V$~--- самосопряженный оператор.
|
||
Если $B(T(v),v) = 0$ для всех $v\in V$, то $T=0$.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Для унитарного пространства это уже доказано
|
||
в лемме~\ref{lem:complex-unitary-1}. Если же $V$ эвклидово, то
|
||
$$
|
||
B(T(u),v) = \frac{B(T(u+v),u+v) - B(T(u-v),u-v)}{4}
|
||
$$
|
||
для всех $u,v\in V$,
|
||
что проверяется прямым вычислением с использованием
|
||
равенств $B(T(v),u) = B(v,T(u)) = B(T(u),v)$
|
||
(здесь мы используем самосопряженность $T$).
|
||
По предположению правая часть равна нулю, поэтому
|
||
$B(T(u),v)=0$ для всех $u,v\in V$; в частности, это так
|
||
для $v = T(u)$, откуда следует, что $T=0$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Нормальные операторы}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XIII, \S~4, п. 3; [K2], гл. 3, \S~3, п. 7; [KM],
|
||
ч. 2, \S~8, п. 11.}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство.
|
||
Линейный оператор $T\colon V\to V$ называется
|
||
\dfn{нормальным}\index{оператор!нормальный}, если он коммутирует со
|
||
своим сопряженным: $T^*\circ T = T\circ T^*$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
Очевидно, что любой самосопряженный оператор нормален.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\begin{lemma}[Свойства нормальных операторов]
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Тождественный оператор нормален.
|
||
\item Сопряженный к нормальному оператору нормален.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Очевидно.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{lemma}\label{prop:normal-operator-equiv}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство.
|
||
Оператор $T\colon V\to V$ нормален тогда и только тогда, когда
|
||
$||T(v)|| = ||T^*(v)||$ для всех $v\in V$.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Заметим, что оператор $T^*\circ T - T\circ T^*$ самосопряжен.
|
||
По лемме~\ref{lem:selfadjoint-zero-characterisation}
|
||
равенство $T^*\circ T - T\circ T^*$ нулю равносильно тому,
|
||
что $B((T^*\circ T - T\circ T^*)(v),v) = 0$ для всех $v\in V$,
|
||
что равносильно равенству
|
||
$B(T^*(T(v)),v) = B(T(T^*(v)),v)$ для всех $v\in V$.
|
||
Но $B(T^*(T(v)),v) = ||T(v)||^2$ и $B(T(T^*(v)),v) = ||T^*(v)||^2$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:normal-operator-adjoint-eigenvalues}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство,
|
||
$T\colon V\to V$~--- нормальный оператор, и $v\in V$~--- собственный
|
||
вектор оператора $T$, соответствующий собственному числу $\lambda$.
|
||
Тогда $v$ является и собственным вектором оператора $T^*$,
|
||
соответствующим собственному числу $\ol\lambda$.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Из нормальности $T$ следует, что и оператор $T - \lambda\id_V$
|
||
нормален (проверьте это!).
|
||
По лемме~\ref{prop:normal-operator-equiv} тогда
|
||
$||(T-\lambda\id_V)(v)|| = ||(T-\lambda\id_V)^*(v)||$.
|
||
Но левая часть по предположению равна нулю,
|
||
а правая часть равна $||(T^*-\ol\lambda\id_V)(v)||$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{proposition}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство,
|
||
$T\colon V\to V$~--- нормальный оператор. Тогда собственные векторы
|
||
$T$, соответствующие различным собственным числам, ортогональны.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $\lambda\neq\mu$~--- два различных собственных числа
|
||
оператора $T$, и пусть $u,v\in V$~--- соответствующие им
|
||
собственные векторы: $T(u) = u\lambda$, $T(v) = v\mu$.
|
||
По предложению~\ref{prop:normal-operator-adjoint-eigenvalues}
|
||
теперь $T^*(u) = u\ol\lambda$.
|
||
Поэтому $(\lambda-\mu)B(u,v) = B(u\ol\lambda,v) - B(u,v\mu)
|
||
= B(T^*(u),v) - B(u,T(v)) = 0$.
|
||
Поскольку $\lambda\neq\mu$, из этого равенства следует, что
|
||
$B(u,v)=0$, что и требовалось.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\subsection{Спектральные теоремы}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XIII, \S~5; [K2], гл. 3, \S~3, пп. 3, 6; [KM],
|
||
ч. 2, \S~7, пп. 4--5; \S~8, пп. 2--6, 8.}
|
||
|
||
\begin{theorem}[Спектральная теорема для нормальных операторов в
|
||
унитарном пространстве]\label{thm:spectral-unitary}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- унитарное пространство,
|
||
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор.
|
||
Следующие условия равносильны:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item оператор $T$ нормален;
|
||
\item у $V$ есть ортонормированный базис, состоящий из собственных
|
||
векторов оператора $T$;
|
||
\item матрица оператора $T$ в некотором ортонормированном базисе
|
||
$V$ диагональна.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Очевидно, что $(2)\Leftrightarrow(3)$ (см. также
|
||
доказательство теоремы~\ref{thm:diagonalizable-equivalent}).
|
||
Покажем, что из (3) следует (1). Пусть матрица $T$ в некотором
|
||
ортонормированном базисе $\mc B$ диагональна.
|
||
По предложению~\ref{prop:adjoint_matrix}
|
||
матрица $T^*$ тогда получается из матрицы $T$ транспонированием
|
||
и сопряжением, и потому тоже диагональна. Но любые две диагональные
|
||
матрицы коммутируют; поэтому $T$ коммутирует с $T^*$,
|
||
то есть, $T$ нормален.
|
||
|
||
Пусть теперь выполняется (1): оператор $T$ нормален.
|
||
По теореме о жордановой форме~\ref{thm:jordan-form} существует
|
||
базис $\mc B = (v_1,\dots,v_n)$ пространства $V$, в котором матрица $T$
|
||
верхнетреугольна. Применим к этому базису процесс ортогонализации
|
||
Грама--Шмидта: мы получим ортонормированный базис
|
||
$\mc E = (e_1,\dots,e_n)$.
|
||
По предложению~\ref{prop:ut-equivalent-defs} верхнетреугольность
|
||
матрицы $T$ в базисе $\mc B$ равносильна тому, что
|
||
все подпространства вида $\la v_1,\dots,v_i\ra$ являются
|
||
$T$-инвариантными. Но в процессе ортогонализации
|
||
мы получили базис, для которого
|
||
$\la e_1,\dots,e_i\ra = \la v_1,\dots,v_i\ra$,
|
||
а инвариантность этих подпространств равносильна
|
||
верхнетреугольности матрицы $T$ в ортонормированном базисе $\mc E$.
|
||
|
||
Итак, матрица оператора $T$ в базисе $\mc E$ верхнетреугольна:
|
||
$$
|
||
[T]_{\mc E} = \begin{pmatrix}
|
||
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
|
||
0 & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
0 & 0 & \dots & a_{nn}
|
||
\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
Покажем, что она на самом деле
|
||
не только верхнетреугольна, но и диагональна.
|
||
Мы знаем, что матрица оператора $T^*$ в том же базисе выглядит так:
|
||
$$
|
||
[T^*]_{\mc E} = \overline{[T]_{\mc E}}^T\begin{pmatrix}
|
||
\ol{a_{11}} & 0 & \dots & 0 \\
|
||
\ol{a_{12}} & \ol{a_{22}} & \dots & 0 \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
\ol{a_{1n}} & \ol{a_{2n}} & \dots & \ol{a_{nn}}
|
||
\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
Самое время воспользоваться нормальностью оператора $T$.
|
||
Посмотрим внимательно, что стоит в левом верхнем углу матриц,
|
||
полученных перемножением $[T]_{\mc E}$ и $[T^*]_{\mc E}$.
|
||
Нетрудно видеть, что у матрицы $[T^*]\cdot [T]$ в позиции $(1,1)$
|
||
стоит $|a_{11}|^2$, а у матрицы $[T]\cdot [T^*]$~---
|
||
$|a_{11}|^2 + |a_{12}|^2 + \dots + |a_{1n}|^2$,
|
||
сумма квадратов модулей элементов первой строки матрицы $[T]$.
|
||
Но эти выражения должны быть равны, и все входящие в них слагаемые~---
|
||
неотрицательные вещественные числа. Поэтому
|
||
$a_{12} = \dots = a_{1n} = 0$. Значит, в первой строке матрицы $[T]$
|
||
на самом деле только один ненулевой элемент: диагональны.
|
||
Вооружившись этим знанием, проследим теперь за позицией $(2,2)$.
|
||
Перемножая матрицы в одном порядке, получаем $|a_{22}|^2$,
|
||
а в другом~--- сумму квадратов элементов второй строки матрицы $[T]$.
|
||
Из этого следует, что и во второй строке матрица $[T]$ не отличается
|
||
от диагональной. Продолжая этот процесс, получаем,
|
||
что $[T]_{\mc E}$ диагональна, что и требовалось.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Теперь обратимся к случаю эвклидового пространства. Как мы знаем,
|
||
жорданова форма для оператора на вещественном пространстве уже не
|
||
обязана быть верхнетреугольной, поэтому для переноса спектральной
|
||
теоремы на эвклидов случай придется действовать обходным путем.
|
||
Сначала мы разберемся с самосопряженными операторами.
|
||
Для этого нам понадобится следующая лемма, в основе которой лежит
|
||
несложное вычисление, известное вам со школы:
|
||
$$
|
||
x^2 + bx + c = \left(x+\frac{b}{2}\right)^2 +
|
||
\left(c-\frac{b^2}{4}\right).
|
||
$$
|
||
|
||
\begin{lemma}\label{lem:quadratic-operator-invertible}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- самосопряженный линейный оператор
|
||
на эвклидовом или унитарном пространстве $V$,
|
||
и числа $b,c\in\mb R$ таковы, что $b^2-4c<0$.
|
||
Тогда оператор $T^2 + bT + c\id_V$ обратим.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $v\in V$. Тогда
|
||
\begin{align*}
|
||
B((T^2 + bT + c\id_V)(v),v) &= B(T^2(v),v) + bB(T(v),v) + cB(v,v) \\
|
||
&= B(T(v),T(v)) + bB(T(v),v) + c||v||^2 \\
|
||
&\geq ||T(v)||^2 - |b|\cdot ||T(v)||\cdot ||v|| + c||v||^2
|
||
\end{align*}
|
||
в силу неравенства Коши--Буняковского--Шварца:
|
||
$-||T(v)||\cdot ||v|| \leq B(T(v),v) \leq ||T(v)||\cdot ||v||$.
|
||
Полученное выражение можно переписать так:
|
||
$$
|
||
\left(||T(v)|| - \frac{|b|\cdot ||v||}{2}\right)^2 +
|
||
\left(c-\frac{b^2}{4}\right)||v||^2,
|
||
$$
|
||
и видно, что оно (при нашем условии на $b$ и $c$) неотрицательно.
|
||
Поэтому оператор $T^2 + bT + c\id$ инъективен, значит, и биективен.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
Мы знаем, что у любого оператора на комплексном пространстве есть
|
||
собственное число.
|
||
Поэтому следующую лемму достаточно доказать только для случая
|
||
эвклидово пространств.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\begin{lemma}\label{lem:real-self-adjoint-has-eigenvalue}
|
||
Пусть $V \neq \{0\}$~--- эвклидово пространство, $T\colon V\to V$~---
|
||
самосопряженный линейный оператор. Тогда у $T$ есть собственное
|
||
число.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $\dim(V) = n$. Рассмотрим минимальный многочлен оператора $T$:
|
||
$$
|
||
f = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n \in k[x]
|
||
$$
|
||
(см. определение~\ref{dfn:minimal-polynomial}).
|
||
По теореме~\ref{thm_irreducible_real} его можно разложить на множители
|
||
вида
|
||
$$
|
||
f = c(x^2 + b_1x + c_1)\dots (x^2 + b_Mx c_M)
|
||
(x-\lambda_1)\dots(x-\lambda_m),
|
||
$$
|
||
где $c\neq 0$, $b_j,c_j,\lambda_j$~--- вещественные числа, причем
|
||
$b_j^2 - 4c_j < 0$. Поэтому
|
||
$$
|
||
0 = f(T)(v) = c(T^2 + b_1T + c_1\id)\dots(T^2+b_MT+c_M\id)
|
||
(T-\lambda_1\id)\dots(T-\lambda_m\id)(v).
|
||
$$
|
||
По лемме~\ref{lem:quadratic-operator-invertible} множители вида
|
||
$T^2 + b_jT + c_j\id$ обратимы. Поэтому
|
||
$$
|
||
0 = (T-\lambda_1\id)\dots (T-\lambda_m\id)(v).
|
||
$$
|
||
Значит, хотя бы один из операторов $T-\lambda_j\id$ неинъективен.
|
||
Это и означает, что у $T$ есть собственное число.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
Позже мы увидим (см.~\ref{prop:normal-operator-invariant-subspaces}),
|
||
что в следующем предложении можно
|
||
заменить условие самосопряженности оператора на условие нормальности.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:orthogonal-complement-invariant}
|
||
Пусть $T\colon V\to V$~--- самосопряженный оператор на эвклидовом или
|
||
унитарном пространстве, и пусть $U\leq V$~--- $T$-инвариантное
|
||
подпространство.
|
||
Тогда
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item подпространство $U^\perp$ также $T$-инвариантно;
|
||
\item оператор $T|_U$ самосопряжен;
|
||
\item оператор $T|_{U^\perp}$ самосопряжен.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item
|
||
Пусть $v\in U^\perp$. Нам хочется показать, что $T(v)\in U^\perp$.
|
||
Возьмем любой вектор $u\in U$ и посмотрим на $B(T(v),u)$.
|
||
Из самосопряженности $T$ следует,
|
||
что $B(T(v),u) = B(v,T(u))$. Но по условию $T(u)\in U$, значит,
|
||
мы получили $0$.
|
||
\item Если $u,v\in U$, то $B((T|_U)(u),v) = B(T(u),v) = B(u,T(v))
|
||
= B(u,(T|_U)(v))$.
|
||
\item Применим результат второго пункта к $U^\perp$ вместо $U$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{theorem}[Спектральная теорема для самосопряженных операторов в
|
||
эвклидовых пространствах]\label{thm:spectral-real-self-adjoint}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово пространство,
|
||
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор.
|
||
Следующие условия равносильны:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item оператор $T$ самосопряжен;
|
||
\item у $V$ есть ортонормированный базис, состоящий из собственных
|
||
векторов оператора $T$;
|
||
\item матрица оператора $T$ в некотором ортонормированном базисе
|
||
$V$ диагональна.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Мы уже знаем, что $(2)\Leftrightarrow (3)$. Предположим, что
|
||
выполняется $(3)$: матрица оператора $T$ в некотором базисе
|
||
диагональна. Но диагональная матрица совпадает со своей
|
||
транспонированной, поэтому $T=T^*$, откуда следует $(1)$.
|
||
|
||
Теперь мы докажем, что из $(1)$ следует $(2)$ индукцией по размерности
|
||
пространства $V$.
|
||
Если $\dim(V)=1$, утверждение очевидно.
|
||
Пусть теперь $\dim(V) > 1$, и оператора $T$ самосопряжен.
|
||
По лемме~\ref{lem:real-self-adjoint-has-eigenvalue} у $T$ есть
|
||
собственное число и, стало быть, собственный вектор $u$.
|
||
Поделив его на $||u||$, можно считать, что $||u|| = 1$.
|
||
Подпространство $U = \la u\ra$ тогда является $T$-инвариантным, и по
|
||
предложению~\ref{prop:orthogonal-complement-invariant}
|
||
подпространство $U^\perp$ тоже $T$-инвариантно,
|
||
и оператор $T|_{U^\perp}$ самосопряжен.
|
||
По предположению индукции у $U^\perp$ есть ортонормальный базис,
|
||
состоящий из собственных векторов оператора $T|_{U^\perp}$.
|
||
Присоединив к нему $u$, получаем ортонормальный базис $V$,
|
||
состоящий из собственных векторов оператора $T$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Теперь мы готовы описать нормальные операторы на двумерных эвклидовых
|
||
пространствах.
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:real-normal-not-self-adjoint-dim-2}
|
||
Пусть $V$~--- эвклидово пространство размерности $2$,
|
||
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор.
|
||
Следующие условия равносильны:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $T$ нормален, но не самосопряжен;
|
||
\item матрица $T$ в любом ортонормальном базисе $V$ имеет вид
|
||
$$
|
||
\begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha\end{pmatrix},
|
||
$$
|
||
где $\beta\neq 0$;
|
||
\item матрица $T$ в некотором ортонормальном базисе $V$ имеет вид
|
||
$$
|
||
\begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha\end{pmatrix},
|
||
$$
|
||
где $\beta > 0$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
$(1)\Rightarrow (2)$. Пусть $e_1,e_2$~--- ортонормальный базис
|
||
пространства $V$, и пусть матрица $T$ в этом базисе имеет вид
|
||
$$
|
||
\begin{pmatrix}\alpha & \gamma\\\beta & \delta\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
Тогда $||T(e_1)||^2 = \alpha^2 + \beta^2$, $||T^*(e_1)||^2 = \alpha^2 + \gamma^2$.
|
||
По предложению~\ref{prop:normal-operator-equiv} эти числа равны,
|
||
откуда $\gamma = \pm \beta$. Если $\gamma=\beta$, то $T$ самосопряжен (его матрица
|
||
симметрична), поэтому $\gamma = -\beta$, при этом $\beta\neq 0$.
|
||
Перемножим теперь матрицы
|
||
$T$ и $T^*= T^T$ в одном и в другом порядке. Результаты должны
|
||
совпасть, но в правом верхнем углу у одной матрицы стоит $\beta\delta$, а у
|
||
другой $\alpha\beta$. Значит, $\alpha=\delta$, и мы получили матрицу нужного вида.
|
||
|
||
$(2)\Rightarrow (3)$. Если в нашем базисе уже $\beta>0$, то все доказано,
|
||
а если нет~--- поменяем знак у второго базисного вектора.
|
||
|
||
$(3)\Rightarrow (1)$. Если $T$ имеет указанный вид, то видно, что $T$
|
||
не самосопряжен. Перемножая матрицы $T$ и $T^*$ видим, что $T$
|
||
нормален.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:normal-operator-invariant-subspaces}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство,
|
||
$T\colon V\to V$~--- нормальный оператор, $U\leq V$~---
|
||
$T$-инвариантное подпространство. Тогда
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item подпространство $U^\perp$ тоже $T$-инвариантно;
|
||
\item подпространство $U$ $T^*$-инвариантно;
|
||
\item $(T|_U)^* = (T^*)|_U$;
|
||
\item операторы $T|_U$ и $T|_{U^\perp}$ нормальны.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Пусть $e_1,\dots,e_m$~--- какой-нибудь ортонормированный базис
|
||
$U$. Дополним его до ортонормированного базиса $\mc B$ пространства
|
||
$V$ векторами $f_1,\dots,f_n$. Матрица оператора $T$ имеет в этом
|
||
базисе следующий вид:
|
||
$$
|
||
[T]_{\mc B} = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C\end{pmatrix},
|
||
$$
|
||
где $A$~--- блок размера $m\times m$, а $C$~--- блок размера
|
||
$n\times n$.
|
||
Нетрудно понять, что $||T(e_j)||^2$ равняется сумме квадратов модулей
|
||
элементов $j$-го столбца матрицы $A$. Складывая по всем $j$,
|
||
получаем, что $\sum_j||T(e_j)||^2$ равна сумме квадратов модулей всех
|
||
элементов матрицы $A$.
|
||
С другой стороны, $||T^*(e_j)||^2$ равна сумме квадратов модулей
|
||
элементов $j$-й строки матрицы $A$ и $j$-й строки матрицы $B$.
|
||
Складывая по всем $j$, получаем, что $\sum_j||T^*(e_j)||^2$ равна
|
||
сумме квадратов модулей всех элементов матрицы $A$ и всех элементов
|
||
матрицы $B$.
|
||
Из равенства $||T(e_j)|| = ||T^*(e_j)||$
|
||
(предложение~\ref{prop:normal-operator-equiv}) теперь следует,
|
||
что $B$~--- нулевая матрица. Теперь из вида матрицы оператора $T$
|
||
можно заключить, что $U^\perp$ $T$-инвариантно. Написав матрицу
|
||
оператора $T^*$, можно заметить, что $U$ еще и $T^*$-инвариантно.
|
||
|
||
Докажем $(3)$. Пусть $S = T|_U\colon U\to U$. Возьмем $v\in U$.
|
||
Тогда $B(u,S^*(v)) = B(S(u),v) = B(T(u),v) = B(u,T^*(v)$ для всех
|
||
$u\in U$. Мы уже знаем, что $T^*(v)\in U$, поэтому из приведенного
|
||
равенства следует, что $S^*(v) = T^*(v)$.
|
||
Это выполнено для всех $v\in U$, потому
|
||
$(T|_U)^* = (T^*)|_U$.
|
||
|
||
Наконец, для доказательства $(4)$ можно заметить, что $T$ коммутирует
|
||
с $T^*$, и потому $T|_U$ коммутирует с $(T|_U)^* = (T^*)|_U$;
|
||
подставляя $U^\perp$ вместо $U$, видим, что и
|
||
$T|_{U^\perp}$ нормален.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{theorem}[Спектральная теорема для нормальных операторов в
|
||
эвклидовом пространстве]\label{thm:spectral-euclidean}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово пространство, и пусть $T\colon V\to V$~---
|
||
линейный оператор.
|
||
Следующие условия равносильны:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item оператор $T$ нормален;
|
||
\item существует ортонормированный базис пространства $V$, в котором
|
||
матрица оператора $T$ блочно-диагональна, причем каждый блок имеет
|
||
либо размер $1\times 1$, либо размер $2\times 2$ и вид
|
||
$$
|
||
\begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha\end{pmatrix},
|
||
$$
|
||
где $\beta > 0$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
$(2)\Rightarrow (1)$: несложно проверить, что матрица такого вида
|
||
коммутирует со своей сопряженной.
|
||
|
||
Докажем $(1)\Rightarrow (2)$ индукцией по размерности $V$.
|
||
Случай $\dim(V)=1$ тривиален, а случай $\dim(V) = 2$ следует из
|
||
спектральной теоремы~\ref{thm:spectral-real-self-adjoint} для
|
||
самосопряженного оператора, и из
|
||
предложения~\ref{prop:real-normal-not-self-adjoint-dim-2}
|
||
для остальных.
|
||
|
||
Пусть теперь $\dim(V) > 2$.
|
||
Если у оператора $T$ есть одномерное инвариантное подпространство
|
||
(иными словами, есть собственное число), обозначим его через $U$.
|
||
Если же нет, то
|
||
по предложению~\ref{prop:real-operator-invariant-subspace} у него
|
||
есть двумерное инвариантное подпространство, и тогда мы обозначим его
|
||
через $U$.
|
||
Если $\dim(U) = 1$, выберем в $U$ вектор нормы $1$~--- это будет
|
||
ортонормированным базисом подпространства $U$; если же $\dim(U) = 2$,
|
||
то оператор $T|_U$ нормален
|
||
(по предложению~\ref{prop:normal-operator-invariant-subspaces}), но не
|
||
самосопряжен (иначе у $T|_U$ было бы собственное число
|
||
по лемме~\ref{lem:real-self-adjoint-has-eigenvalue}), и в этом случае
|
||
можно применить
|
||
предложение~\ref{prop:real-normal-not-self-adjoint-dim-2}.
|
||
|
||
В любом случае, мы нашли ортонормированный базис в инвариантном
|
||
подпространстве $U$, причем подпространство $U^\perp$ $T$-инвариантно,
|
||
и оператор $T|_{U^\perp}$ нормален
|
||
(по предожению~\ref{prop:normal-operator-invariant-subspaces}).
|
||
По предположению индукции у $U^\perp$ есть ортонормированный базис с
|
||
нужными свойствами; приписывая к нему выбранный базис $U$,
|
||
получаем нужный базис всего пространства $V$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
|
||
\subsection{Самосопряженные, кососимметрические, унитарные,
|
||
ортогональные операторы}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XIII, \S~5; [K2], гл. 3, \S~3, пп. 3, 6; [KM],
|
||
ч. 2, \S~7, пп. 1--2, 4; \S~8, пп. 2--6.}
|
||
\nopagebreak
|
||
|
||
Сейчас мы применим знания, полученные при изучении нормальных
|
||
операторов, к некоторым частным случаям.
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство,
|
||
$a\colon V\to V$~--- линейный оператор.
|
||
Оператор $a$ называется
|
||
\dfn{самосопряженным}\index{оператор!самосопряженный}, если он
|
||
совпадает со своим сопряженным: $a = a^*$. Оператор $a$ называется
|
||
\dfn{кососимметрическим}\index{оператор!кососимметрический}, если он
|
||
противоположен своему сопряженному:
|
||
$a = -a^*$. Если выполняется равенство $a\circ a^* = a^*\circ a =
|
||
\id_V$, то оператор $a$ называется
|
||
\dfn{унитарным}\index{оператор!унитарный} в случае унитарного
|
||
пространства и \dfn{ортогональным}\index{оператор!ортогональный} в
|
||
случае эвклидового пространства.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
Нетрудно видеть, что самосопряженные, кососимметрические, унитарные,
|
||
ортогональные операторы являются нормальными.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\begin{theorem}\label{thm:unitary_canonical_forms}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- конечномерное унитарное пространство,
|
||
$a\colon V\to V$~--- линейный оператор.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Оператор $a$ является самосопряженным тогда и
|
||
только тогда, когда существует ортонормированный базис пространства
|
||
$V$, в котором матрица оператора $a$ диагональна, и все ее
|
||
диагональные элементы вещественны.
|
||
\item Оператор $a$ является кососимметрическим тогда и
|
||
только тогда, когда существует ортонормированный базис пространства
|
||
$V$, в котором матрица оператора $a$ диагональна, и все ее
|
||
диагональные элементы~--- чисто мнимые комплексные числа.
|
||
\item Оператор $a$ является унитарным тогда и
|
||
только тогда, когда существует ортонормированный базис пространства
|
||
$V$, в котором матрица оператора $a$ диагональна, и все ее
|
||
диагональные элементы~--- комплексные числа, равные по модулю $1$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Если оператор самосопряженный, кососимметрический, унитарный, то по
|
||
теореме~\ref{thm:spectral-unitary} существует базис, в котором его
|
||
матрица диагональна. Если он самосопряжен, то каждый диагональный
|
||
блок $1\times 1$ самосопряжен, поэтому в нем стоит комплексное число
|
||
$\lambda$ такое, что $\lambda=\ol\lambda$, то есть, $\lambda\in\mb R$.
|
||
Аналогично, из кососимметричности следует, что $\lambda$ чисто мнимое,
|
||
а из унитарности~--- то, что $|\lambda|^2 = \lambda\ol\lambda = 1$.
|
||
|
||
Обратно, если все диагональные элементы матрицы имеют указанный вид,
|
||
то прямая проверка показывает, что оператор $a$ обладает
|
||
соответствующим свойством.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{theorem}\label{thm:euclidean_canonical_forms}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- конечномерное эвклидово пространство,
|
||
$a\colon V\to V$~--- линейный оператор.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Оператор $a$ является самосопряженным тогда и
|
||
только тогда, когда существует ортонормированный базис пространства
|
||
$V$, в котором матрица оператора $a$ диагональна.
|
||
\item Оператор $a$ является кососимметрическим тогда и
|
||
только тогда, когда существует ортонормированный базис пространства
|
||
$V$, в котором матрица оператора $a$ имеет блочно-диагональный
|
||
вид, и каждый блок выглядит как $(0)$ или $\begin{pmatrix} 0 & -\beta
|
||
\\ \beta & 0\end{pmatrix}$ для $\beta\in\mb R$, $\beta > 0$.
|
||
\item Оператор $a$ является ортогональным тогда и
|
||
только тогда, когда существует ортонормированный базис пространства
|
||
$V$, в котором матрица оператора $a$ имеет блочно-диагональный
|
||
вид, и каждый блок выглядит как $(1)$, $(-1)$
|
||
или $\begin{pmatrix}\alpha&-\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$ для
|
||
$\alpha,\beta\in\mb R$, $\beta > 0$, $\alpha^2 + \beta^2 = 1$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Если оператор самосопряженный, кососимметрический, нормальный, то по
|
||
теореме~\ref{thm:spectral-euclidean} существует базис, в котором его
|
||
матрица блочно-диагональна, с блоками вида
|
||
$$
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
\alpha & -\beta\\
|
||
\beta & \alpha
|
||
\end{pmatrix},
|
||
$$
|
||
где $b>0$.
|
||
Если он самосопряжен, то каждый диагональный блок самосопряжен, что
|
||
для блока $2\times 2$ указанного вида означает, что $\beta=-\beta$,
|
||
что невозможно. Поэтому остаются только блоки размера $1\times 1$,
|
||
что означает диагональность матрицы. Аналогично, из кососимметричности
|
||
для блока $2\times 2$ следует, что $\alpha=0$, а для блока $(\lambda)$
|
||
размера $1\times 1$~--- что $\lambda = 0$. Наконец, из ортогональности
|
||
для блока $2\times 2$ следует, что $\alpha^2+\beta^2=1$, а для блока
|
||
$(\lambda)$~--- что $\lambda^2=1$, откуда следует, что $\lambda=\pm 1$.
|
||
|
||
Обратно, если матрица оператора состоит из блоков указанного вида,
|
||
нетрудно проверить, что оператор обладает соответствующим свойством.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство,
|
||
$a\colon V\to V$~--- линейный оператор.
|
||
Будем говорить, что оператор $a$ \dfn{сохраняет скалярное
|
||
произведение}\index{оператор!сохраняет скалярное произведение},
|
||
если $B(a(u),a(v))=B(u,v)$ для любых $u,v\in V$.
|
||
Оператор $a$ называется \dfn{изометрией}\index{изометрия}, если
|
||
$||a(v)|| = ||v||$ для всех $v\in V$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{lemma}\label{lem:isometry_equiv}
|
||
Пусть $a\colon V\to V$~--- линейный оператор на эвклидовом или
|
||
унитарном пространстве $(V,B)$. Следующие условия равносильны:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $a$ ортогонален (в случае эвклидова пространства) или унитарен
|
||
(в случае унитарного пространства);
|
||
\item $a$ сохраняет скалярное произведение;
|
||
\item $a$ является изометрией.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item[$1\Rightarrow 2$] Пусть $a$ ортогонален/унитарен. Тогда
|
||
$B(a(u),a(v)) = B(u,a^*(a(v)))$ по определению сопряженного оператора;
|
||
из равенства $a^*\circ a = \id$ теперь следует, что $B(a(u),a(v)) =
|
||
B(u,v)$.
|
||
\item[$2\Rightarrow 1$] Пусть $B(a(u),a(v))= B(u,v)$ для всех $u,v\in
|
||
V$. По определению сопряженного оператора $B(a(u),a(v)) =
|
||
B(u,a^*(a(v)))$. Стало быть, $B(u,v) = B(u,a^*(a(v)))$ для всех
|
||
$u,v\in V$. Значит, вектор $v-a^*(a(v))$ ортогонален всем векторам $u\in V$,
|
||
откуда следует, что $v = a^*(a(v))$ для
|
||
всех $v\in V$. Поэтому $a^*\circ a = \id$.
|
||
\item[$2\Rightarrow 3$] Если $a$ сохраняет скалярное произведение, то,
|
||
в частности, $B(a(v),a(v)) = B(v,v)$ для всех $v\in V$. Левая часть
|
||
равна $||a(v)||^2$, а правая равна $||v||^2$. Извлекая
|
||
[положительные] квадратные корни, получаем, что $a$ является
|
||
изометрией.
|
||
\item[$3\Rightarrow 2$] Если $a$ является изометрией, то
|
||
$B(a(u+\lambda v),a(u+\lambda v)) = B(u+\lambda v,u+\lambda
|
||
v)$. Раскроем скобки:
|
||
\begin{align*}
|
||
&B(a(u),a(u)) + \ol\lambda B(a(v),a(u)) + \lambda B(a(u),a(v)) +
|
||
\ol\lambda\lambda B(a(v),a(v))\\ &= B(u,u) + \ol\lambda B(v,u) +
|
||
\lambda B(u,v) + \ol\lambda\lambda B(v,v).
|
||
\end{align*}
|
||
Воспользуемся равенствами $B(a(x),a(x)) = B(x,x)$ и $B(x,y) =
|
||
\ol{B(y,x)}$:
|
||
$$
|
||
\lambda B(a(u),a(v)) + \ol{\lambda B(a(u),a(v))} =
|
||
\lambda B(u,v) + \ol{\lambda B(u,v)}.
|
||
$$
|
||
Подставляя $\lambda=1$ и $\lambda = i$, получаем равенства
|
||
$$
|
||
2\Ree(B(a(u),a(v)) = 2\Ree(B(u,v)), \quad
|
||
2\Img(B(a(u),a(v)) = 2\Img(B(u,v)).
|
||
$$
|
||
Отсюда следует, что $B(a(u),a(v)) = B(u,v)$, что и требовалось.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{corollary}[Теорема Эйлера о вращениях трехмерного пространства]
|
||
Пусть $V = \mb R^3$~--- трехмерное вещественное пространство со
|
||
стандартным эвклидовым скалярным произведением, $a\colon\mb
|
||
R^3\to\mb R^3$~--- изометрия на $\mb R^3$. Тогда в некотором
|
||
ортонормированном базисе матрица оператора $a$ имеет вид
|
||
$$
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
\pm 1 & 0 & 0\\
|
||
0 & \cos(\ph) & \sin(\ph)\\
|
||
0 & -\sin(\ph) & \cos(\ph)
|
||
\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
для некоторого угла $\ph$.
|
||
Если, кроме того, определитель оператора $a$ равен $1$, то элемент в
|
||
левом верхнем углу такой матрицы равен $1$.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
По лемме~\ref{lem:isometry_equiv} оператор $a$ ортогонален. По
|
||
теореме~\ref{thm:euclidean_canonical_forms} найдется ортонормированный
|
||
базис $V$, в котором матрица оператора $a$ имеет блочно-диагональный
|
||
вид, и блоки имеют вид $(\pm 1)$ или
|
||
$\begin{pmatrix}\cos(\ph)&\sin(\ph)\\-\sin(\ph)&\cos(\ph)\end{pmatrix}$. Если
|
||
там имеется блок размера $2$, то теорема доказана. Если же все блоки
|
||
имеют размер $1$, то среди знаков $\pm 1$ найдется два одинаковых, и
|
||
их можно заменить на блок размера $2$ вида
|
||
$\begin{pmatrix}\cos(\ph)&\sin(\ph)\\-\sin(\ph)&\cos(\ph)\end{pmatrix}$
|
||
для $\ph=0$ или $\ph = \pi$. Последнее утверждение теоремы очевидно.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{corollary}[Приведение вещественной квадратичной формы к
|
||
диагональному виду при помощи ортогонального преобразования]
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово пространство, и пусть
|
||
$q\colon V\times V\to \mb R$~--- симметрическая билинейная
|
||
форма. Существует ортогональный базис пространства $V$, в котором
|
||
матрица Грама формы $q$ имеет диагональный вид.
|
||
\end{corollary}
|
||
\begin{proof}
|
||
Выберем некоторый ортонормированный базис $\mc B$ пространства $V$;
|
||
пусть $Q$~--- матрица Грама формы $q$ в этом базисе.
|
||
Поскольку форма $q$ симметрична, матрица $Q$ является симметрической
|
||
матрицей: $Q^T = Q$. Рассмотрим $Q$ как матрицу некоторого оператора
|
||
$a$ на пространстве $V$; по предложению~\ref{prop:adjoint_matrix}
|
||
оператор $a$ самосопряжен.
|
||
По теореме~\ref{thm:euclidean_canonical_forms} существует
|
||
ортонормированный базис $\mc C$ пространства $V$, в котором матрица
|
||
оператора $a$ диагональна. Это означает, что
|
||
$C^{-1}QC = D$~--- диагональная матрица, где $C$~--- матрица перехода
|
||
от базиса $\mc B$ к базису $\mc C$
|
||
(см. теорему~\ref{thm_matrix_under_change_of_bases}). Кроме того,
|
||
поскольку $C$~--- матрица перехода между ортонормированными базисами,
|
||
то $C$ ортогональна (лемма~\ref{lem:orthogonal_equivalencies}): $C^T =
|
||
C^{-1}$. Но тогда
|
||
$D = C^TQC$, и по теореме~\ref{thm:Gram_matrix_change_of_coordinates}
|
||
это означает, что $D$~--- матрица Грама
|
||
квадратичной формы $q$ в ортонормированном базисе $\mc C$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{remark}\label{rem:self_adjoint_geometry}
|
||
Переформулируем утверждение первого пункта
|
||
теоремы~\ref{thm:euclidean_canonical_forms} на геометрическом языке.
|
||
Если $a$~--- самосопряженный оператор на эвклидовом пространстве $V$,
|
||
мы показали, что в некотором ортонормированном базисе его матрица $A$
|
||
имеет диагональный вид. Пусть $\lambda_1,\dots,\lambda_m$~--- все
|
||
различные собственные числа $a$; тогда у матрицы $A$ на диагонали
|
||
стоят числа $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ (возможно, некоторые
|
||
встречаются по несколько раз). Очевидно, что собственное
|
||
подпространство, соответствующее $\lambda_i$~--- это в точности
|
||
линейная оболочка базисных векторов, соответствующих позициям, в
|
||
которых на диагонали стоит $\lambda_i$. Поскольку базис
|
||
ортонормирован, собственные подпространства, соответствующие различным
|
||
собственным числам, попарно ортогональны; кроме того, их прямая сумма
|
||
совпадает со всем пространством $V$ (см. также
|
||
раздел~\ref{subsect:diagonalizable}).
|
||
|
||
Таким образом, каждому самосопряженному оператору на $V$ мы сопоставили
|
||
разложение пространства $V$ в ортогональную прямую сумму
|
||
собственных подпространств, соответствующих различным собственным
|
||
числам этого оператора.
|
||
Обратно, если имеется разложение пространства $V$ в ортогональную
|
||
прямую сумму подпространств $V=\bigoplus_{i=1}^{m}V_m$ и заданы
|
||
различные числа $\lambda_1,\dots,\lambda_m$, то имеется единственный
|
||
самосопряженный оператор $a$, который на векторе $v=\sum_{i=1}^m v_i$ (для
|
||
$v_i\in V_i$) действует следующим образом: $a(v) = \sum_{i=1}^m
|
||
\lambda_i v_i$. Если в каждом подпространстве $V_i$ выбрать
|
||
ортонормированный базис, то объединение этих базисов является
|
||
ортонормированным базисом пространства $V$, и матрица оператора $a$ в
|
||
этом базисе диагональна; на диагонали стоят числа
|
||
$\lambda_1,\dots,\lambda_m$, и кратность $\lambda_i$ равна размерности
|
||
подпространства $V_i$.
|
||
|
||
Мы получили взаимно однозначное соответствие между самосопряженными
|
||
операторами и разложениями $V=\bigoplus_{i=1}^m V_i$ с заданными
|
||
попарно различными числами $\lambda_1,\dots,\lambda_m$.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\subsection{Положительно определенные операторы}
|
||
|
||
\literature{[F], гл. XIII, \S~4, п. 4; [K2], гл. 3, \S~3, пп. 8, 9.}
|
||
\nopagebreak
|
||
|
||
Пусть $(V,B)$~--- эвклидово или унитарное пространство, $a\colon V\to
|
||
V$~--- самосопряженный оператор на нем.
|
||
Тогда в силу самосопряженности $B(a(v),v) = B(v,a(v))$ для любого $v\in
|
||
V$; с другой стороны, $B(a(v),v) = \overline{B(v,a(v))}$. Поэтому
|
||
выражение $B(a(v),v)$ всегда вещественно.
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Самосопряженный оператор $a\colon V\to V$ на эвклидовом или унитарном
|
||
пространстве $V$ называется \dfn{неотрицательно
|
||
определенным}\index{оператор!неотрицательно определенный}, если
|
||
$B(a(v),v)\geq 0$ для любого $v\in V$. Оператор $a$ называется
|
||
\dfn{положительно
|
||
определенным}\index{оператор!положительно определенный}, если он
|
||
неотрицательно определен и из
|
||
$B(a(v),v)=0$ следует, что $v=0$.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{proposition}\label{prop:positive_definition}
|
||
Оператор $a\colon V\to V$ на эвклидовом или унитарном пространстве $V$
|
||
неотрицательно определен тогда и только тогда, когда в некотором
|
||
ортонормированном базисе матрица этого оператора диагональна, причем
|
||
на диагонали стоят неотрицательные вещественные числа.
|
||
Оператор $a$ положительно определен тогда и только тогда, когда в
|
||
некотором ортонормированном базисе матрица этого оператора
|
||
диагональна, причем на диагонали стоят положительные вещественные числа.
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{proof}
|
||
Если $a$ неотрицательно определен, то он (по определению)
|
||
самосопряжен, и по теоремам~\ref{thm:unitary_canonical_forms}
|
||
и~\ref{thm:euclidean_canonical_forms} существует ортонормированный
|
||
базис $\mc B = (e_1,\dots,e_n)$, в котором $a$ имеет
|
||
диагональную матрицу
|
||
$$
|
||
[a]_{\mc B} = \begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 &
|
||
\dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots &
|
||
\lambda_n\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
Предположим, что $\lambda_i<0$. Тогда $a(e_i) = \lambda_ie_i$ и
|
||
$B(a(e_i),e_i) = \lambda_i B(e_i,e_i) = \lambda_i < 0$, что
|
||
противоречит неотрицательной определенности $a$. Если же $a$
|
||
положительно определен, то и случай $\lambda_i=0$ невозможен: если
|
||
$\lambda_i=0$, то $B(a(e_i),e_i) = \lambda_i = 0$, в то время как
|
||
$e_i\neq 0$.
|
||
|
||
Обратно, пусть $a$ в некотором ортонормированном базисе $\mc
|
||
B=\{e_1,\dots,e_n\}$ имеет
|
||
диагональную матрицу с неотрицательными числами
|
||
$\lambda_1,\dots,\lambda_n$ на диагонали. По
|
||
теоремам~\ref{thm:unitary_canonical_forms}
|
||
и~\ref{thm:euclidean_canonical_forms} мы уже знаем, что $a$
|
||
самосопряжен. Разложим произвольный вектор $v$ по базису $\mc B$:
|
||
$v = \sum_i e_i c_i$.
|
||
Тогда $a(v) = \sum_i a(e_i) c_i = \sum_i e_i c_i\lambda_i$.
|
||
Поэтому
|
||
$$
|
||
B(a(v),v) = B(\sum_i e_i c_i\lambda_i,\sum_j e_j c_i)
|
||
= \sum_{i,j}\overline{c_i}\lambda_i c_j B(e_i,e_j)
|
||
= \sum_i\lambda_i \overline{c_i}c_i B(e_i,e_i)
|
||
= \sum_i\lambda_i |c_i|^2 \geq 0.
|
||
$$
|
||
Если же все $\lambda_i>0$ и оказалось, что $\sum_i\lambda_i
|
||
|c_i|^2=0$, то и $c_i=0$ для всех $i$, откуда $v=0$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{remark}\label{rem:positive_invertible}
|
||
Таким образом, положительно определенный оператор всегда является
|
||
обратимым: его матрица в некотором базисе имеет
|
||
ненулевой определитель. Кроме того, если неотрицательно определенный
|
||
оператор обратим, то он положительно определен: у обратимой
|
||
диагональной матрицы не может встретиться $0$ на диагонали.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\begin{theorem}[Извлечение квадратного корня в классе положительно
|
||
определенных операторов]\label{thm:square_root_positive}
|
||
Пусть $a\colon V\to V$~--- положительно определенный
|
||
оператор на эвклидовом или унитарном пространстве $V$. Существует
|
||
единственный положительно определенный оператор
|
||
$b\colon V\to V$ такой, что $b^2 = a$.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
По предложению~\ref{prop:positive_definition} найдется базис
|
||
$\mc B=(e_1,\dots,e_n)$, такой, что
|
||
$$
|
||
[a]_{\mc B} = \begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 &
|
||
\dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots &
|
||
\lambda_n\end{pmatrix},
|
||
$$
|
||
причем $\lambda_i$~--- положительно вещественные числа. Рассмотрим
|
||
оператор $b$, матрица которого в базисе $\mc B$ равна
|
||
$$
|
||
[a]_{\mc B} = \begin{pmatrix}\sqrt{\lambda_1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \sqrt{\lambda_2} &
|
||
\dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots &
|
||
\sqrt{\lambda_n}\end{pmatrix}.
|
||
$$
|
||
Заметим, что $\sqrt{\lambda_i}>0$ для всех $i$, поэтому (снова по
|
||
предложению~\ref{prop:positive_definition}) оператор $b$ положительно
|
||
определен. Кроме того, очевидно, что $b^2 = a$.
|
||
|
||
Нам осталось показать, что такой оператор $b$ единственный.
|
||
Пусть $\widetilde{b}$~--- другой оператор с теми же
|
||
свойствами: $\widetilde{b}$ положительно определен и $\widetilde{b}^2
|
||
= a$.
|
||
Воспользуемся замечанием~\ref{rem:self_adjoint_geometry}
|
||
для оператора $\widetilde{b}$. А именно, пусть $\mu_1,\dots,\mu_n$~---
|
||
собственные числа оператора $\widetilde{b}$ с учетом кратности. Тогда
|
||
$\widetilde{b}$ приводится в некотором базисе к диагональному виду, и
|
||
на диагонали стоят положительные числа $\mu_1,\dots,\mu_n$. Но тогда $a =
|
||
\widetilde{b}^2$ в этом же базисе имеет диагональный вид, и на
|
||
диагонали стоят числа $\mu_1^2,\dots,\mu_n^2$. Значит, собственные
|
||
числа оператора $a$ (с учетом кратности) равны
|
||
$\mu_1^2,\dots,\mu_n^2$. С другой стороны, мы знаем, что они равны
|
||
$\lambda_1,\dots,\lambda_n$. Мы знаем, что $\mu_i>0$ для всех $i$,
|
||
поэтому набор $\mu_1,\dots,\mu_n$ совпадает (с точностью до
|
||
перестановки) с набором $\sqrt{\lambda_1},\dots,\sqrt{\lambda_n}$.
|
||
|
||
Мы получили, что наборы собственных чисел операторов $b$ и
|
||
$\widetilde{b}$ совпадают. Осталось показать, что собственные
|
||
подпространства для этих операторов, соответствующие одинаковым
|
||
собственным числам, совпадают, и воспользоваться соответствием из
|
||
замечания~\ref{rem:self_adjoint_geometry}.
|
||
|
||
Пусть теперь $V_i$~--- собственное подпространство для оператора $b$,
|
||
соответствующее собственному числу $\sqrt{\lambda_i}$. Оно натянуто на те
|
||
векторы базиса $\mc B$, которым соответствуют номера столбиков, в
|
||
которых в матрице $b$ стоят числа $\sqrt{\lambda_i}$. После возведения
|
||
в квадрат матрица остается диагональной, поэтому $V_i$ является
|
||
собственным подпространством оператора $a$, соответствующим
|
||
собственному числу $\lambda_i$. Но то же самое рассуждение применимо и
|
||
к оператору $\widetilde{b}$. Поэтому собственные подпространства для
|
||
операторов $b$ и $\widetilde{b}$, соответствующие $\sqrt{\lambda_i}$,
|
||
совпадают.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Следующая теорема является прямым обобщением того факта, что
|
||
любое ненулевое комплексное число $z$ можно (единственным образом)
|
||
записать в
|
||
тригонометрической форме
|
||
(см. определение~\ref{dfn:trigonometric_form}):
|
||
$z = |z|\cdot (\cos(\ph)+i\sin(\ph))$.
|
||
Здесь
|
||
$|z|$~--- положительное вещественное число, а $(\cos(\ph) +
|
||
i\sin(\ph))$~--- комплексное число, которое по модулю равно
|
||
$1$. Полярное разложение обобщает эту теорему на многомерный случай:
|
||
слова <<ненулевое число>> нужно заменить на <<обратимый оператор>>,
|
||
слова <<положительное вещественное число>> на <<положительно
|
||
определенный оператор>>, а <<комплексное число, равное по модулю
|
||
$1$>>~--- на <<унитарный оператор>>. Обратите внимание, что матрица
|
||
$1\times 1$ задается ровно одним числом, поэтому при подстановке в
|
||
следующую теорему одномерного векторного пространства $V=\mb C$
|
||
действительно получается утверждение о тригонометрической форме
|
||
комплексного числа. Вещественный случай еще проще: если
|
||
$z\in\mb R\setminus\{0\}$, то $z = |z|\cdot(\pm 1)$; ортогональный
|
||
оператор на одномерном пространстве может быть равен лишь $1$ или
|
||
$-1$.
|
||
|
||
\begin{theorem}[Полярное разложение]\label{thm:polar_decomposition}
|
||
Пусть $a\colon V\to V$~--- обратимый оператор на эвклидовом или
|
||
унитарном пространстве. Тогда существуют операторы $p,u\colon V\to V$
|
||
такие, что $a = pu$, причем $p$~--- положительно определенный
|
||
оператор, а $u$~--- ортогональный или унитарный. Более того, такие
|
||
операторы единственны: если $a=p'u'$ для положительно определенного
|
||
$p$ и ортогонального/унитарного $u$, то $p=p'$ и $u=u'$.
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{proof}
|
||
Рассмотрим оператор $c = a\circ a^*$. Заметим, что $c$ самосопряжен:
|
||
действительно, $c^* = (a\circ a^*)^* = a^{**}\circ a^* = a\circ a^* =
|
||
c$.
|
||
Кроме того, $c$ неотрицательно определен:
|
||
$B(c(v),v) = B((a\circ a^*)(v),v) = B(a(a^*(v)),v) =
|
||
B(a^*(v),a^*(v))\geq 0$.
|
||
Наконец, поскольку $a$ обратим, то и $a^*$ обратим (их матрицы в
|
||
ортонормированном базисе транспонированны, поэтому из обратимости
|
||
одной следует обратимость другой), значит, и $c$ обратим; поэтому $c$
|
||
положительно определен (см. замечание~\ref{rem:positive_invertible}).
|
||
По теореме~\ref{thm:square_root_positive} из $c$ можно извлечь
|
||
квадратный корень: найдется положительно определенный оператор $p$
|
||
такой, что $p^2 = c = a\circ a^*$. В силу положительной определенности
|
||
оператор $p$ обратим.
|
||
Обозначим теперь $u = p^{-1}a$. Тогда, очевидно, $a = pu$, и осталось
|
||
проверить, что $u$~--- ортогональный/унитарный оператор.
|
||
Заметим сначала, что $pp^{-1} = \id$, поэтому
|
||
$(pp^{-1})^* = \id^* = \id$, откуда $(p^{-1})^* = p^{-1}$.
|
||
Поэтому $u\circ u^* = p^{-1}a(p^{-1}a)^* = p^{-1}aa^*(p^{-1})^* =
|
||
p^{-1}p^2 p^{-1} = \id$, что и требовалось.
|
||
|
||
Наконец, если $pu = a = p'u'$, то $(pu)^* = (p'u')^*$, откуда $u^* p =
|
||
(u')^*p'$. Из этого следует, что
|
||
$(pu)(u^*p) = (p'u')((u')^*p')$, откуда $p^2 = (p')^2$, и в силу
|
||
единственности извлечения квадратного корня
|
||
(теорема~\ref{thm:square_root_positive}), получаем, что
|
||
$p=p'$, и, стало быть, $u=u'$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
Даже доказательство теоремы~\ref{thm:polar_decomposition}
|
||
напоминает доказательство факта про
|
||
тригонометрическую форму записи комплексного числа: напомним, что
|
||
модуль комплексного числа $z$ определялся как $\sqrt{z\cdot\ol{z}}$
|
||
(см. определение~\ref{dfn:absolute_value_complex}); извлечение корня
|
||
возможно в силу неотрицательности $z\cdot\ol{z}$.
|
||
\end{remark}
|