Add Lecture 8

motives.tex

@@ -63,6 +63,7 @@
 \DeclareMathOperator{\id}{id}
 \DeclareMathOperator{\res}{res}
 \DeclareMathOperator{\Trd}{Trd}
+\DeclareMathOperator{\sing}{sing}
 
 %\DeclareFontFamily{OT1}{pzc}{}
 %\DeclareFontShape{OT1}{pzc}{m}{it}{<-> s * [1.2] pzcmi7t}{}
@@ -2984,5 +2985,273 @@ $\Mor(X,Y) = \CH^{\dim Y}(X\times Y) / p$.
 про конечные подгруппы $\mathsf{E}_8$).
 \end{remark}
 
+% 09.04.2012
+
+\subsection{$J$-инвариант}
+
+Остается открытым вопрос, каков размер $R_p({}_{\xi}G)$.
+Мы знаем, что над замыканием получается
+$R_p({}_{\xi}G)_{\ol{F}} = \bigoplus\mathbb{Z}/p\{\dots\}$.
+Как посчитать эти сдвиги?
+Можно закодировать их многочленом: по прямой сумме
+$\bigoplus_i\mathbb{Z}/p\{i\}^{\oplus a_i}$ построим
+\term{полином Пуанкаре} $P(R_p(G),t) = \sum_i a_i t^i$.
+Понятно, что этот многочлен контролирует
+образ отображения
+$\CH^*(X)/p \to \CH^*(X_{\ol{F}})/p$.
+
+Сейчас мы построим набор целых чисел $J_p({}_{\xi}G)$~---
+\emph{$J$-инвариант}~--- со следующими свойствами:
+\begin{enumerate}
+\item $P(R_p({}_{\xi}G),t)$ выражается через $J_p({}_{\xi}G)$;
+\item $J_p({}_{\xi}G)$ контролирует, какие ${}_{\xi}G$-однородные
+проективные многообразия действительно являются клеточными
+над общей точкой;
+\item для многих исключительных групп $J_p({}_{\xi}G)$ выражается
+через индекс Титса.
+\end{enumerate}
+Пусть $B\leq G$~--- борелевская подгруппа.
+Рассмотрим <<последовательность>> \emph{чего-то}
+\[
+B \to G \to G/B \to BB = \pt//B.
+\]
+Переходя к кольцам Чжоу, получаем точную последовательность
+градуированных колец вида
+\[
+\CH^*(BB) \to \CH^*(G/B) \to \CH^*(G) \to \CH^*(B).
+\]
+При этом $\CH^*(B) = \mathbb{Z}$.
+Заметим, что $\CH^*(G/B) \to \CH^*(G)$~--- сюръекция.
+Поэтому есть точная последовательность
+\[
+\CH^*(BB) \to \CH^*(G/B) \to \CH^*(G) \to 0.
+\]
+Борелевская подгруппа гомотопически эквивалентна тору:
+$B \sim \mathbb{G}_m\times \dots \times \mathbb{G}_m$.
+Покажем, что $\CH^*(BB) = S^*(X^*(T))$.
+
+Что такое $B\mathbb{G}_m$?
+Первое приближение:
+$\mathbb{P}^n = (\mathbb{A}^{n+1}\setminus\{0\})/\mathbb{G}_m$.
+Правильный ответ: $B\mathbb{G}_m = \varinjlim_n\mathbb{P}^n$.
+Мы уже знаем, что $\CH^*(\mathbb{P}^n) = \mathbb{Z}[x] / (x^{n+1})$.
+Поэтому $\CH^*(B\mathbb{G}_m) = \mathbb{Z}[x]$~---
+проективный предел в категории градуированных колец
+(но не в категории колец).
+
+Пусть $\chi_1,\dots,\chi_l$~--- базис решетки $X^*(T)$.
+Если $G$ односвязна, можно взять $\varpi_1,\dots,\varpi_l$.
+Если $G$ присоединенная, можно взять $\alpha_1,\dots,\alpha_l$.
+Тогда $S^*(X^*(T)) \isom \mathbb{Z}[\chi_1,\dots,\chi_l]$.
+
+Чтобы описать отображение $\CH^*(BB) \to \CH^*(G/B)$,
+достаточно задать образы элементов $\chi_i$.
+Положим $\chi_i\mapsto [L_{\chi_i}]$ (класс линейного
+расслоения $L_{\chi_i}$ в группе Пикара).
+Здесь $L_{\chi_i}$~--- линейное расслоение на $G/B$,
+построенное следующим образом.
+Характер $\chi_i$ является отображением
+$B\to \mathbb{G}_m$.
+Тогда $L_{\chi_i} = G\times_{B}\mathbb{A}^1$,
+где на $\mathbb{A}^1$ задано действие с помощью $\chi_i$.
+Каноническое отображение
+$G\times_{B}\mathbb{A}^1 \to G\times_{B}\pt = G/B$
+превращает $L_{\chi_i}$ в линейное расслоение.
+
+Пока что $G$ была расщепима.
+Оказывается, если подкрутить все на $\xi$, все
+$[L_{\chi_i}]$ останутся рациональными.
+
+\begin{example}
+Рассмотрим $\mathbb{P}^1 = \SL_2/B$ и обозначим
+характер тора через $\xi$.
+Нас интересует действие $B$ на $\SL_2\times_{B}\mathbb{A}^1$,
+при котором
+матрица $\begin{pmatrix}\alpha & * \\ 0 & \alpha^{-1}\end{pmatrix}$
+действует на $\mathbb{A}^1$ умножением на $\alpha$.
+Упражнение: $L_{\xi} = \mathcal{O}(-1)$,
+$L_{\xi^{-1}} = \mathcal{O}(1)$.
+
+В общем случае в $G/B$ есть клетки Шуберта коразмерности $1$.
+Пусть $G$ односвязна.
+Эти клетки соответствуют фундаментальным характерам:
+клетке $\chi_i$ сопоставляется $i$-ая клетка Шуберта
+коразмерности $1$, равная $c_1(L(\chi_i))$.
+\end{example}
+
+Теперь мы взяли $\xi\in H^1(F,G)$.
+Тогда ${}_{\xi}(G/B)$~--- многообразие, клеточное над общей точкой
+(при переходе к его полю функций у $G$ появляется борелевская
+подгруппа, поэтому можно написать фильтрацию).
+Нас интересует образ отображения
+\[
+\CH^*({}_{\xi}(G/B)) \xrightarrow{\res} \CH^*(G/B).
+\]
+Все, что приходит с $\CH^*(BB)$, лежит в образе $\res$,
+поскольку линейные расслоения можно скрутить:
+$\res([{}_{\xi}L_{\chi}]) = [L_{\chi}]$.
+Точность сохранится при факторизации по $p$:
+\[
+\CH^*(BB)/p \to \CH^*(G/B)/p \to \CH^*(G)/p \to 0.
+\]
+При этом $\CH^*(BB)/p \isom \mathbb{Z}/p[x_1,\dots,x_l]$.
+Умножение $G\times G\to G$ дает нам отображение
+$\CH^*(G) \to \CH^*(G) \otimes \CH^*(G)$,
+которое превращает $\CH^*(G)$ в алгебру Хопфа.
+Таким образом, $\CH^*(G)/p$~--- алгебра Хопфа над $\mathbb{Z}/p$,
+градуированная, конечномерная, связная, коммутативная.
+\begin{theorem}
+Все такие алгебры Хопфа изоморфны (как алгебры)
+$\mathbb{Z} / p [x_1,\dots,x_r] / (x_i^{p^{k_i}})$.
+\end{theorem}
+Если $X$~--- клеточное над $\mathbb{C}$, можно сравнить
+$\CH^*(X)$ и $H^*_{\sing}(X)$.
+Оказывается, $\CH^i(X) = H^{2i}_{\sing}(X)$.
+Для $G$ над $\mathbb{C}$ есть нетривиальные элементы
+в $H^{2i+1}_{\sing}(G)$
+Например, $G = \SL_2(\mathbb{C})$, и $\SL_2(\mathbb{C})$
+гомотопически эквивалентно $S^3$.
+\begin{remark}
+Если $p\neq 2,3,5$, и $G$ не изогенична $\SL_n$,
+то $\CH^*(G)/p = \mathbb{Z}/p$.
+Случай $p=5$ возникает только для $\mathsf{E}_8$,
+а случай $p=3$~--- только для $\mathsf{F}_4$,
+$\mathsf{E}_6$, $\mathsf{E}_7$, $\mathsf{E}_8$
+(это делители числа Кокстера).
+\end{remark}
+\emph{Таблица Каца} дает для каждой $G$ и для каждого $p$
+значения $k_i$ и степени элементов $x_i$.
+Обозначим $d_i = \deg(x_i)$.
+
+Заметим, что ${}_{\xi}(G/B) = ({}_{\xi}G)/B$; это дает короткую
+точную последовательность
+\[
+{}_{\xi}G \to ({}_{\xi}G)/B \to BB,
+\]
+из которой получаем стрелку $\CH^*(BB)/p \to \CH({}_{\xi}(G/B))/p$.
+Рассмотрим коммутативную диаграму
+\[
+\begin{tikzcd}
+& \CH({}_{\xi}(G/B))/p \arrow{d} \arrow{dr}{\ph} \\
+\CH^*(BB)/p \arrow{ur} \arrow{r}
+& \CH^*(G/B) \arrow[->>]{r}
+& \CH^*(G)/p \arrow[equal]{d} \\
+& & (\mathbb{Z}/p)[x_i] / (x^{p^{k_i}}).
+\end{tikzcd}
+\]
+Нас интересует образ вертикальной стрелки
+в $\CH^*(G/B)/p$.
+Обозначим через $j_i$ наименьшее целое число такое, что
+$x_i^{p^{j_i}} + \mbox{члены меньшего порядка} \in \im(\ph)$.
+Порядок мы понимаем в смысле Deglex;
+$x_1\leq x_2\leq\dots\leq x_r$, если
+$d_1\leq d_2\leq\dots\leq d_r$.
+Можно рассмотреть $\CH^(G)/p$ как комодуль над собой,
+и тогда $\im(\ph)$ будет подкомодулем.
+
+Заметим, что $0\leq j_i \leq k_i$, так как $x_i^{p^{k_i}} = 0$.
+Равенство $j_i = 0$ равносильно тому, что
+$x_i + \mbox{члены меньшего порядка}\in\im(\ph)$.
+Набор чисел $(j_i)$ обозначим через $J_p(\xi)$
+(он действительно зависит только от $\xi$, но не от ${}_{\xi}G$).
+Тогда полином Пуанкаре выглядит так:
+\[
+P(R_p(G), t) = \prod_{i=1}^r\frac{1-t^{p^{j_i}\cdot d_i}}{1-t^{d_i}}.
+\]
+\begin{example}
+Рассмотрим группу типа $\mathsf{F}_4$, $p=3$.
+Тогда $\CH^*(G) = (\mathbb{Z}/3)[x_1]/(x_1^3)$,
+где $d_1 = \deg x_1 = 4$.
+Таким образом, $k_1=1$, и для $j_1$ есть два варианта: $0$ и $1$.
+\begin{itemize}
+\item случай $J_p(\xi) = (0)$ неинтересен
+(см. замечание: полином Пуанкаре равен $1$;
+\item в случае $J_p(\xi) = (1)$ получаем полином Пуанкаре
+\[\frac{1-t^{3\cdot 4}}{1-t^4} = 1 + t^4 + t^8.\]
+\end{itemize}
+\end{example}
+\begin{remark}
+$J_p(\xi) = 0$ тогда и только тогда, когда ${}_{\xi}G$ расщепляется
+расширением степени, взаимно простой с $p$.
+\end{remark}
+
+\begin{example}
+Пусть $G$~--- группа типа $\mathsf{G}_2$, $p=2$.
+Тогда $\CH^*(G) = (\mathbb{Z}/2)[x_1]/(x_1^2)$, и $\deg x_1 = 3$.
+Снова два случая:
+\begin{itemize}
+\item неинтересный: $J_p(\xi) = (0)$;
+\item $J_p(\xi) = (1)$; полином Пуанкаре равен
+\[\frac{1-t^{2\cdot 3}}{1-t^3} = 1 + t^3.\]
+В этом случае $R_2({}_{\xi}(G))$~--- мотив Роста.
+\end{itemize}
+\end{example}
+\begin{example}
+В случаях $\mathsf{F}_4$, $\mathsf{E}_6$ при $p=2$ ответ тот же,
+что и для $\mathsf{G}_2$.
+\end{example}
+\begin{example}
+В случаях $\mathsf{E}_6^{\operatorname{sc}}$, $\mathsf{E}_7$
+при $p=3$ ответ тот же, что и для $\mathsf{F}_4$.
+\end{example}
+\begin{remark}
+Степень полинома $P(R_p(G), t)$ равна $\sum (p^{j_i}-1)d_i$.
+Оказывается, это равно $\operatorname{cd}_p(X)$ (\emph{каноническая размерность}).
+Попросту говоря, это наименьшая из размерностей рациональных циклов.
+\end{remark}
+\begin{example}
+Пусть $G$~--- группа типа $\mathsf{E}_8$, $p=5$.
+Тогда $\CH^*(G) = (\mathbb{Z}/5)[x_1]/(x_1^5)$,
+и $\deg x_1 = 5+1 = 6$ (вообще, $\deg x_i = p+1$, если $r=1$).
+В этом случае любое ${}_{\xi}G$-однородное проективное многообразие
+является клеточным над общей точкой.
+В нетривиальном случае полином Пуанкаре равен
+\[
+\frac{1-t^{5\cdot 6}}{1-t^6}.
+\]
+\end{example}
+
+\begin{example}
+Рассмотрим группу типа $\mathsf{E}_8$, $p=2$.
+Тогда
+\[
+\CH^*(G) = (\mathbb Z/2)[x_1,x_2,x_3,x_4]/(x_1^8,x_2^4,x_3^2,x_4^2),
+\]
+$\deg x_1=3, \deg x_2 = 5, \deg x_3 = 9, \deg x_4 = 15$.
+Это можно увидеть так:
+элементы $x_2$ и $x_3$ получаются операцией Стинрода из $x^1$б
+а именно, $x_2 = S^2(x_1)$ и $x_3 = S^4(x_2)$.
+При этом $\deg S^m(x) = \deg x + m\cdot(p-1)$.
+Если $m=\deg x$, то $S^m$~--- возведение в степень $p$;
+если же $m > \deg x$, то $S^m(x) = 0$.
+Операции Стинрода удовлетворяют следующим тождествам:
+\begin{itemize}
+\item $S^m$ линейны;
+\item $S^m(xy) = \sum_n S^n(x)S^{m-n}(y)$;
+\item Adem relations.
+\end{itemize}
+Из первых двух соотношений следует, что $\sum_m S^m$~--- гомоморфизм
+колец.
+
+Что это означает для $J_p(\xi)$?
+Мы знаем, что $J_p(\xi) = (j_1, j_2, j_3, j_4)$,
+причем $0\leq j_1\leq 3$, $0\leq j_2\leq 2$, $0\leq j_3,j_4\leq 1$.
+Из свойств $S^m$ следует, что $j_1\geq j_2\geq j_3$.
+Кроме того, $j_1\leq j_2+1$ и $j_2\leq j_3+1$.
+Если $j_1 = 3$, то $j_2=2$ и $j_3=1$.
+Если же $j_1 = 0$, то $j_2=0$, $j_3=0$, и возникает
+интересный случай, когда при этом $j_4=1$
+(заметим, что из равенства $j_1=0$ следует,
+что инвариант Роста по модулю $2$ тривиален).
+Тогда
+\[
+P(R_2({}_{\xi}G), t) = \frac{1-t^{2\cdot 15}}{1-t^{15}} = 1 + t^{15},
+\]
+как у мотива Роста.
+Как мы уже упоминали, Никита Семенов доказал, что из этого следует,
+что это и есть мотив Роста.
+Получается некоторый инвариант в $H^5(F,\mathbb{Z}/2)$.
+\end{example}
+
 \end{document}