Add Lecture 10
This commit is contained in:
parent
03ff0a1308
commit
e914a9d772
BIN
motives.pdf
BIN
motives.pdf
Binary file not shown.
621
motives.tex
621
motives.tex
@ -19,6 +19,9 @@
|
||||
\usetikzlibrary{cd}
|
||||
\usetikzlibrary{calc}
|
||||
\usetikzlibrary{through}
|
||||
\usetikzlibrary{tikzmark}
|
||||
\usetikzlibrary{positioning}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing}
|
||||
|
||||
\DeclareFontFamily{OT1}{pzc}{}
|
||||
\DeclareFontShape{OT1}{pzc}{m}{it}{<-> s * [1.1] pzcmi7t}{}
|
||||
@ -65,6 +68,7 @@
|
||||
\DeclareMathOperator{\Trd}{Trd}
|
||||
\DeclareMathOperator{\sing}{sing}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Bl}{Bl}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Frac}{Frac}
|
||||
|
||||
%\DeclareFontFamily{OT1}{pzc}{}
|
||||
%\DeclareFontShape{OT1}{pzc}{m}{it}{<-> s * [1.2] pzcmi7t}{}
|
||||
@ -3767,13 +3771,626 @@ $Y_1(F)\neq\varnothing$ тогда и только тогда,
|
||||
откуда ${}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_4)(F)\neq\varnothing$.
|
||||
|
||||
Мы получили картинку
|
||||
$$
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
\Bl_{\Spin_9/P_1}({}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_4)) \arrow{r}{\isom}\arrow{d}
|
||||
& \Bl_{\Spin_9/P_4}Q\arrow{d} \\
|
||||
{}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_4) & Q
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
$$
|
||||
\]
|
||||
|
||||
% 23.04.2012
|
||||
|
||||
\subsection{Многообразия, клеточные над общей точкой}
|
||||
|
||||
Вернемся к общей ситуации: по коциклу $\xi\in H^1(F,G)$, где
|
||||
$G$~--- расщепимая группа, и простому числу $p$ мы построили
|
||||
набор чисел $J_p(\xi) = (j_1,\dots,j_r)$.
|
||||
Теорема Зайнуллина--Петрова--Семенова~\ref{thm:ZPS} утверждает,
|
||||
что если $X$~--- ${}_{\xi}G$-однородное многообразие, клеточное
|
||||
над $F(X)$, то $M(X)\otimes\mathbb{Z}/p = \bigoplus R_p(G)\{\dots\}$,
|
||||
и
|
||||
\[
|
||||
P(R_p(G),t) = \prod\frac{1-t^{p^{j_i}d_i}}{1-t^{d_i}}.
|
||||
\]
|
||||
\begin{remark}
|
||||
При помощи знания $J_p(\xi)$ для всех $p$ можно описать все такие $X$.
|
||||
\end{remark}
|
||||
Выше мы встречали точную последовательность вида
|
||||
\[
|
||||
\CH^*(BB) \to \CH^*(G/B) \to CH^*(G) \to 0.
|
||||
\]
|
||||
Пусть $X = {}_{\xi}(G/P)$.
|
||||
Попробуем нарисовать аналогичную последовательность для $P$:
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
\CH^*(BP) \arrow{d} \\
|
||||
\CH^*(G/P) \arrow{r} & \CH^*(G)\arrow{r} & \CH^*(P)\arrow{r} & 0
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
Нижняя строка этой диаграммы является точною последовательностью
|
||||
градуированных колец.
|
||||
Однако, точность всей последовательности в члене $\CH^*(G/P)$
|
||||
неизвестна.
|
||||
При этом $\CH^*(P) \isom \CH^*(L)$ (поскольку $P/U\isom L$,
|
||||
а $U$ аффинно).
|
||||
Более того, мы утверждаем, что $\CH^*(L) \isom \CH^*([L,L])$.
|
||||
Почему это так?
|
||||
Рассмотрим коммутативную диаграмму
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
\CH^*(BB_L) \arrow{r}\arrow{d}
|
||||
& \CH^*(L/B) \arrow{r}\arrow{d}{\isom}
|
||||
& \CH^*(L) \arrow{d}\arrow{r}
|
||||
& 0 \\
|
||||
\CH^*(BB_{[L,L]}) \arrow{r}
|
||||
& \CH^*(L/B) \arrow{r}
|
||||
& \CH^*([L,L]) \arrow{r}
|
||||
& 0
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
Здесь $B_L$ обозначает борелевскую подгруппу в $L$, а
|
||||
$B_{[L,L]}$~--- борелевскую в $[L,L]$.
|
||||
Левая вертикальная стрелка не обязана быть изоморфизмом,
|
||||
однако образы $\CH^*(BB_L)$ и $\CH^*(BB_{[L,L]})$ в
|
||||
$\CH^*(L/B)$ совпадают.
|
||||
Это утверждение достаточно проверить на $\CH^1$.
|
||||
|
||||
Обозначим $H = [L,L]$.
|
||||
Мы получили точную последовательность
|
||||
\[
|
||||
\CH^*(G/P)/p \to \CH^*(G)/p \xrightarrow{\ph} \CH^*(H)/p \to 0.
|
||||
\]
|
||||
Нам известно, что
|
||||
$\CH^*(G)/p = (\mathbb{Z}/p)[x_1,\dots,x_r]/(x_i)^{p^{k_i}}$
|
||||
и
|
||||
$\CH^*(H)/p = (\mathbb{Z}/p)[y_1,\dots,y_s]/(y_j)^{p^{l_j}}$.
|
||||
|
||||
Оказывается, есть отображение $\sigma\colon\{1,\dots,s\}\to\{1,\dots,r\}$
|
||||
такое, что
|
||||
\[
|
||||
\ph(x_{\sigma(m)}) = c\cdot y_m + \mbox{члены меньшего порядка},
|
||||
\]
|
||||
где $c\in (\mathbb{Z}/p)^*$~--- некоторая константа.
|
||||
|
||||
\begin{theorem}\label{thm:cellularity}
|
||||
Пусть $G$~--- простая расщепимая группа,
|
||||
$\xi\in H^1(F,G)$, $X = {}_{\xi}(G/P)$, $Y = {}_{\xi}(G/B)$.
|
||||
Тогда следующие условия эквивалентны.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $X$~--- клеточное над общей точкой.
|
||||
\item Композиция отображений
|
||||
\[
|
||||
\CH^*({}_{\xi}(G/B)) \xrightarrow{\res} \CH^*(G/B) \to \CH^*(G) \to
|
||||
\CH^*(P)
|
||||
\]
|
||||
сюръективна.
|
||||
\item Для любого простого $p$ выполняются условия
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $j_{\sigma(m)}(\xi) = 0$, если $m$ такое, что $\deg(y_m) > 1$;
|
||||
\item\label{item:thm-mod-p} композиция отображений
|
||||
\[
|
||||
\CH^1({}_{\xi}(G/B))/p \xrightarrow{\res} \CH^1(G/B)/p \to \CH^1(G)/p \to
|
||||
\CH^1(P)/p
|
||||
\]
|
||||
сюръективна.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{example}
|
||||
Пусть $\xi\in H^1(F,\mathsf{E}_7)$, $X = {}_{\xi}(\mathsf{E}_7/P_7)$.
|
||||
Когда $X$ расщепимо над общей точкой?
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $p=2$. В этом случае
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzpicture}[remember picture]
|
||||
\node (a1) {$\CH^*(\mathsf{E}_7)/2 = (\underset{\deg:}{\mathbb{Z}/2})
|
||||
[\underset{1}{x_1}, \subnode{x1}{$\underset{3}{x_2}$}, \underset{5}{x_3},
|
||||
\underset{9}{x_4}]/(\dots)$};
|
||||
\node (b1) [below=of a1] {$\CH^*(\mathsf{E}_6)/2 =
|
||||
(\underset{\deg:}{\mathbb{Z}/2})[\subnode{y1}{$\underset{3}{y_1}$}]/(y_1^2)$};
|
||||
\draw[|->] (x1.south) -- (y1.north);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\]
|
||||
Условие~(\ref{item:thm-mod-p}) теоремы~\ref{thm:cellularity}
|
||||
превращается в $j_2 = 0$.
|
||||
Элементы $x_3$, $x_4$ получаются операцией Стинрода, и потому
|
||||
$j_3 = j_4 = 0$ автоматически.
|
||||
\item $p=3$. В этом случае
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzpicture}[remember picture]
|
||||
\node (a2) {$\CH^*(\mathsf{E}_7)/3 = (\underset{\deg:}{\mathbb{Z}/3})
|
||||
[\subnode{x2}{$\underset{4}{x_1}$}]/(x_1^3)$};
|
||||
\node (b2) [below=of a2] {$\CH^*(\mathsf{E}_6)/3 =
|
||||
(\underset{\deg:}{\mathbb{Z}/3})[\subnode{y2}{$\underset{4}{y_1}$}]/(y_1^3)$};
|
||||
\draw[|->] (x2.south) -- (y2.north);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\]
|
||||
Условие состоит в том, что $j_1=0$; и тогда весь $j$-инвариант для модуля $3$
|
||||
равен нулю.
|
||||
\end{example}
|
||||
Задача: посчитать $j_2$ для компактной формы $\mathsf{E}_7$ над $\mathbb{R}$.
|
||||
Эквивалентно:
|
||||
\begin{equation}\label{eqn:condition-e7}
|
||||
\begin{array}{p{0.8\textwidth}}
|
||||
верно ли, что над полем $\mathbb{R}(\SB(\mathbb{H}))$
|
||||
(которое изоморфно $\Frac(\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-1))$)
|
||||
компактная форма $\mathsf{E}_7$ расщепляется?
|
||||
\end{array}
|
||||
\end{equation}
|
||||
Еще одна эквивалентная формулировка: пусть $R_2(\xi)$~--- мотив Роста,
|
||||
отвечающий кватернионам.
|
||||
Сравним ${}_{\xi}(\mathsf{E}_7/P_7)$ и $\SB(\mathbb{H})$.
|
||||
Над $F({}_{\xi}(\mathsf{E}_7/P_7))$ алгебра Титса ($\mathbb{H}$)
|
||||
тривиальна, и потому $\SB(\mathbb{H})$ приобретает рациональную точку.
|
||||
Если условие~\ref{eqn:condition-e7} выполняется, то верно и обратное:
|
||||
над $F(\SB(\mathbb{H}))$ многообразие ${}_{\xi}(\mathsf{E}_7/P_7)$
|
||||
имеет рациональную точку. Почему это так?
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
Пусть $X,Y$~--- проективные однородные многообразия (возможно,
|
||||
относительно разных групп), $p$~--- простое число.
|
||||
Предположим, что $X_{F(Y)}$ и $Y_{F(X)}$ имеют рациональные точки.
|
||||
Тогда $M(X)\otimes(\mathbb{Z}/p)$ и $M(Y)\otimes(\mathbb{Z}/p)$
|
||||
имеют общее слагаемое, <<задевающее>> точку
|
||||
(то есть, $q\in\CH^{\dim X}(X\times X)$~--- проектор,
|
||||
и $\im(q)$ над замыканием содержит $\pt\in\CH^{\dim X}(X)$).
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
Если есть изотропная ${}_{\xi}G$, и анизотропное ядро типа $H$,
|
||||
то $\xi$ приходит из $\zeta\in H^1(F,H)$.
|
||||
Тогда $J_p(\xi)$ выражается через $J_p(\zeta)$:
|
||||
\[
|
||||
j_i(\xi) = \begin{cases} j_m(\zeta), & \text{если $i=\sigma(m)$
|
||||
для некоторого $m$};\\
|
||||
0, & \text{иначе}.
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
Поэтому имеет смысл считать $J_p(\xi)$ только для анизотропных
|
||||
групп (то есть, над $\mathbb{R}$~--- только для компактных форм).
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\mathsf{G}_2$, $\mathsf{F}_4$:
|
||||
$(\underset{\deg:}{\mathbb{Z}/2})[\underset{3}{x_1}]/(x_1^2)$,
|
||||
$J_2(\xi) = (1)$~--- а не $0$, ибо у $\mathbb{R}$ нет расширений нечетной
|
||||
степени. При этом $R_2(\xi)$~--- мотив Роста $\lAngle -1,-1,-1\rAngle$.
|
||||
\item $\mathsf{E}_6$: компактная форма есть, но она внешняя.
|
||||
\item $\mathsf{E}_7$: $(\underset{\deg:}{\mathbb{Z}/2})
|
||||
[\underset{1}{x_1}, \underset{3}{x_2}, \underset{5}{x_3}, \underset{9}{x_4}]$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{proposition}\label{prop:j-inv-for-e7}
|
||||
В этом случае $J_2(\xi) = (1, 0, 0, 0)$, $R_2(\xi)$~--- это мотив Роста
|
||||
квадрики $\lAngle -1, -1\rAngle$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
Для доказательства этого утверждения нужен \term{инвариант Роста}.
|
||||
|
||||
\subsection{Инвариант Роста}
|
||||
Пусть $G$~--- простая, односвязная, но не обязательно расщепимая группа.
|
||||
Тогда есть инвариант
|
||||
\[
|
||||
r\colon H^1(F,G) \to H^3(F, (\mathbb{Q}/\mathbb{Z})(2))
|
||||
= \varinjlim_{N} H^3(F, \mu_N^{\otimes 2}),
|
||||
\]
|
||||
который порождает всю абелеву группу таких инвариантов.
|
||||
Вместо предела в правой части можно взять одно достаточно большое $N$.
|
||||
Заметим, что $r(\xi)$ всегда лежит в кручении.
|
||||
Посмотрим на наименьшее $N_G$ такое, что всегда $N_G\cdot r(\xi) = 0$
|
||||
(для всех расширений $E/F$ и для всех $\xi$).
|
||||
Тогда $N_G$ зависит только от типа $G$.
|
||||
А именно, для исключительных групп
|
||||
$N_{\mathsf{G}_2} = 2$, $N_{\mathsf{F}_4} = N_{\mathsf{E}_6} = 6$,
|
||||
$N_{\mathsf{E}_7} = 12$, $N_{\mathsf{E}_8} = 60$.
|
||||
Для $\mathsf{G}_2$ мы это видели:
|
||||
$\mathsf{G}_2 = \Aut(\mathbb{O})$, и $\mathbb{O}$ определяется формой
|
||||
$\lAngle a, b, c\rAngle \in H^3(F,\mathbb{Z}/2)$.
|
||||
Для $\mathsf{F}_4$, $\mathsf{E}_6$: $f_3 = 3r\in H^3(F, \mathbb{Z}/2)$,
|
||||
$g_3 = 2r \in H^3(F,\mathbb{Z}/3)$, где
|
||||
$r\in H^3(F,\mathbb{Z}/6)$.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[Исследовательская задача]
|
||||
Придумать формулу для $r\colon H^1(F,G) \to H^3(f, \mathbb{Z}/4)$,
|
||||
где $G$~--- односвязная группа типа $\mathsf{D}_6$
|
||||
с индексом Титса
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||||
\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (5) at ($\sm*(5.2, 1)$);
|
||||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.2, -1)$);
|
||||
\draw (1)--(2)--(3)--(4)--(5);
|
||||
\draw (4)--(6);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{2,4,5}
|
||||
{
|
||||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||||
}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\]
|
||||
Такая группа задается кватернионами.
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{theorem}[Черноусов--Гарибальди]
|
||||
Если $G$~--- расщепимая группа типа $\mathsf{G}_2$, $\mathsf{F}_4$,
|
||||
$\mathsf{E}_6$ или $\mathsf{E}_7$, то ядро инварианта Роста тривиально.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
Пусть $\xi\in H^1(F,G)$.
|
||||
Хотим узнать, тривиален ли $\xi$.
|
||||
Теорема Черноусова--Гарибальди говорит, что (оказывается!)
|
||||
достаточно посчитать $r(\xi)$.
|
||||
Для $\mathsf{E}_8$ это неверно: можно взять
|
||||
$\xi\in H^1(\mathbb{R},\mathsf{E}_8)$, задающий компактную форму.
|
||||
|
||||
Воспользуемся этой теоремой для доказательства
|
||||
утверждения~\ref{prop:j-inv-for-e7}.
|
||||
Достаточно доказать, что $\xi_{F(SB(\mathbb{H}))} = *$.
|
||||
Действительно, если это так, то ${}_{\xi}(\mathsf{E}_7/B)$
|
||||
и $\SB(\mathbb{H})$ имеют рациональные точки над полями функций
|
||||
друг друга.
|
||||
Тогда у них есть общее мотивное слагаемое
|
||||
$R_2(\xi) = R_2(\lAngle -1, -1\rAngle)$, и потому $J_2(\xi) = (1,0,0,0)$
|
||||
из формулы для полинома Пуанкаре.
|
||||
|
||||
Мы должны представить $\xi$ как элемент $H^1(F,G')$,
|
||||
где $G'$ односвязна.
|
||||
Расщепимая $G'$ не подойдет: $\xi$ приходит из
|
||||
$H^1(F, \mathsf{E}_7^{\operatorname{ad}})$,
|
||||
но не из $H^1(F, \mathsf{E}_7^{\operatorname{sc}})$
|
||||
(поскольку алгебра Титса нетривиальна).
|
||||
Возьмем в качестве $G'$ группу с индексом Титса
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||||
\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7);
|
||||
\draw (2)--(4);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6,7}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,3,4,6}
|
||||
{
|
||||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||||
}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\]
|
||||
Тогда $\xi\in H^1(F,G')$.
|
||||
Что можно сказать про $r(\xi)$?
|
||||
Мы знаем, что $\xi$ расщепим над $\mathbb{C}$, и потому
|
||||
$2r(\xi) = 0$.
|
||||
Стало быть, $r(\xi) \in H^3(\mathbb{R}, \mathbb{Z}/2)$.
|
||||
Значит, это либо $0$, либо $\lAngle -1, -1, -1\rAngle$.
|
||||
|
||||
Переходим на $F(\SB(\mathbb{H}))$.
|
||||
Тогда $r(\xi)$ в любом случае становится $0$,
|
||||
а $G'_{F(\SB(\mathbb{H}))}$ расщепима.
|
||||
Поэтому можно применить теорему Черноусова--Гарибальди,
|
||||
и заключить, что $\xi_{F(\SB(\mathbb{H}))} = *$,
|
||||
чего мы и добивались.
|
||||
|
||||
Посмотрим теперь на компактную форму группы типа $\mathsf{E}_8$.
|
||||
Мы знаем, что
|
||||
\[
|
||||
\CH^*(\mathsf{E}_8)/2 = (\underset{\deg:}{\mathbb{Z}/2})
|
||||
[\underset{3}{x_1},\underset{5}{x_2},\underset{9}{x_3},\underset{15}{x_4}]
|
||||
/(\dots).
|
||||
\]
|
||||
Инвариант Роста равен нулю; $j_1=0$, и потому $j_2 = j_3 = 0$.
|
||||
Получаем, что $J_2(\xi) = (0, 0, 0, 1)$.
|
||||
Отсюда следует, что $P(R_2(\xi), t) = 1 + t^{15}$
|
||||
и $R_2(\xi) = R_2(\lAngle -1, -1, -1, -1, -1\rAngle)$.
|
||||
|
||||
Мораль: над $\mathbb{R}$ мотивы однородных проективных многообразий
|
||||
(расщепимых над общей точкой) раскладываются в мотивы Роста
|
||||
от пфистеровых форм с каким-то количеством $-1$;
|
||||
количество зависит от типа группы.
|
||||
|
||||
Пусть $\xi\in H^1(F, G)$, где $G$~--- расщепимая группа типа $\mathsf{E}_6$.
|
||||
Свяжем $J$-инвариант с индексом Титса.
|
||||
Например, $J_3(\xi)$ определяется индексом Титса над ко-$3$-замыканием
|
||||
поля $F$.
|
||||
|
||||
Что это значит?
|
||||
Посмотрим на абсолютную группу Галуа $\operatorname{Gal}(\ol{F}/F)$
|
||||
и возьмем в ней $3$-силовскую подгруппу.
|
||||
Ей соответствует расширение $E/F$, которое называется
|
||||
\term{ко-$3$-замыканием $F$}.
|
||||
Неформально говоря, мы игнорируем расширения степеней, не делящихся на $3$.
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
$J_3(\mathsf{E}_6^{\operatorname{ad}})$ & $(0,0)$ & $(1,0)$ & $(0,1)$ & $(1,1)$ & $(2,1)$ \\
|
||||
\hline
|
||||
индекс Титса &
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,thin]\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6);
|
||||
\draw (2)--(4);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6}
|
||||
{
|
||||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||||
}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
&
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,thin]\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6);
|
||||
\draw (2)--(4);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{2,4}
|
||||
{
|
||||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||||
}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
& \multicolumn{3}{|c|}{
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,thin]\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6);
|
||||
\draw (2)--(4);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
}\\
|
||||
\hline
|
||||
индекс алгебры Титса & $1$ & $3$ & $1$ & $3$ & $9$ или $27$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
Приведем аналогичную таблицу для $J_2(\mathsf{E}_7^{\operatorname{sc}})$:
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{|p{2.9cm}|p{2.5cm}|p{2.6cm}|p{2.9cm}|p{2.5cm}|}
|
||||
\hline
|
||||
\begin{center} $J_2(\mathsf{E}_7^{\operatorname{sc}})$ \end{center}
|
||||
& \begin{center} $(0,0,0)$ \end{center}
|
||||
& \begin{center} $(1,0,0)$ \end{center}
|
||||
& \begin{center} $(1,1,0)$ \end{center}
|
||||
& \begin{center} $(1,1,1)$ \end{center} \\
|
||||
\hline
|
||||
\begin{center}индекс Титса
|
||||
над ко-$2$-замыканием\end{center} &
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,thin]
|
||||
\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7);
|
||||
\draw (2)--(4);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6,7}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6,7}
|
||||
{
|
||||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||||
}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
&
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,thin]
|
||||
\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7);
|
||||
\draw (2)--(4);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6,7}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,6,7}
|
||||
{
|
||||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||||
}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
&
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,thin]
|
||||
\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7);
|
||||
\draw (2)--(4);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6,7}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1}
|
||||
{
|
||||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||||
}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
&
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,thin]
|
||||
\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7);
|
||||
\draw (2)--(4);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6,7}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\\
|
||||
\hline
|
||||
\begin{center}$r(\xi)$\end{center}
|
||||
& \begin{center}$0$\end{center}
|
||||
& \begin{center}чистый символ $\neq 0$ из $H^3(F,\mathbb{Z}/2)$:
|
||||
$\lAngle a,b,c\rAngle$\end{center}
|
||||
& \begin{center}сумма двух символов из $H^3(F,\mathbb{Z}/2)$
|
||||
с общим слотом: $\lAngle a,b,c\rAngle + \lAngle a,d,e\rAngle$\end{center}
|
||||
& \begin{center}иначе\end{center} \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
Случаи $\mathsf{E}_6\pmod{2}$, $\mathsf{E}_7\pmod{3}$~--- легкие упражнения.
|
||||
Случаи $\mathsf{E}_8\pmod{2}$, $\mathsf{E}_7^{\operatorname{ad}}\pmod{2}$~---
|
||||
исследовательское упражнение.
|
||||
Случай $\mathsf{E}_8\pmod{5}$~--- легкое упражнение.
|
||||
Вот ответ для $\mathsf{E}_8\pmod{3}$:
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{|p{2.9cm}|p{3.0cm}|p{3.0cm}|p{3.0cm}|}
|
||||
\hline
|
||||
\begin{center} $J_3(\mathsf{E}_8)$ \end{center}
|
||||
& \begin{center} $(0,0)$ \end{center}
|
||||
& \begin{center} $(1,0)$ \end{center}
|
||||
& \begin{center} $(1,1)$ \end{center} \\
|
||||
\hline
|
||||
\begin{center}индекс Титса\end{center}
|
||||
&
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,thin]
|
||||
\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||||
\coordinate (8) at ($\sm*(8.4, 0)$);
|
||||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7)--(8);
|
||||
\draw (2)--(4);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6,7,8}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6,7,8}
|
||||
{
|
||||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||||
}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
&
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,thin]
|
||||
\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||||
\coordinate (8) at ($\sm*(8.4, 0)$);
|
||||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7)--(8);
|
||||
\draw (2)--(4);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6,7,8}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{7,8}
|
||||
{
|
||||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||||
}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
&
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,thin]
|
||||
\def\sm{0.7}
|
||||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||||
\coordinate (8) at ($\sm*(8.4, 0)$);
|
||||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7)--(8);
|
||||
\draw (2)--(4);
|
||||
\foreach \point in
|
||||
{1,2,3,4,5,6,7,8}
|
||||
{
|
||||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||||
}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\\
|
||||
\hline
|
||||
\begin{center} $r(\xi)$ \end{center}
|
||||
& \begin{center} $0$ \end{center}
|
||||
& \begin{center} чистый символ $\neq 0$ из $H^3(F,\mathbb{Z}/3)$\end{center}
|
||||
& \begin{center} иначе \end{center} \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
|
||||
Loading…
x
Reference in New Issue
Block a user