4397 lines
194 KiB
TeX
4397 lines
194 KiB
TeX
\documentclass[a4paper]{article}
|
||
\usepackage[T2A]{fontenc}
|
||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||
\usepackage[russian]{babel}
|
||
\usepackage{amssymb}
|
||
\usepackage{amsmath}
|
||
\usepackage{fullpage}
|
||
\usepackage{rotating}
|
||
\usepackage{stmaryrd}
|
||
\usepackage{mathtools}
|
||
\usepackage{bbm}
|
||
\usepackage[unicode,colorlinks=true,pagebackref=true]{hyperref}
|
||
\usepackage[all]{xy}
|
||
\usepackage{microtype}
|
||
\usepackage{amsthm}
|
||
|
||
\usepackage{tikz}
|
||
\usetikzlibrary{arrows}
|
||
\usetikzlibrary{cd}
|
||
\usetikzlibrary{calc}
|
||
\usetikzlibrary{through}
|
||
\usetikzlibrary{tikzmark}
|
||
\usetikzlibrary{positioning}
|
||
\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing}
|
||
|
||
\DeclareFontFamily{OT1}{pzc}{}
|
||
\DeclareFontShape{OT1}{pzc}{m}{it}{<-> s * [1.1] pzcmi7t}{}
|
||
\DeclareMathAlphabet{\mathpzc}{OT1}{pzc}{m}{it}
|
||
|
||
\DeclareMathOperator{\PGSp}{PGSp}
|
||
\DeclareMathOperator{\PGO}{PGO}
|
||
\DeclareMathOperator{\ind}{ind}
|
||
\DeclareMathOperator{\End}{End}
|
||
\DeclareMathOperator{\Gr}{Gr}
|
||
\DeclareMathOperator{\Cent}{Cent}
|
||
\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}
|
||
\DeclareMathOperator{\Map}{Map}
|
||
\DeclareMathOperator{\GW}{GW}
|
||
\DeclareMathOperator{\rk}{rk}
|
||
\DeclareMathOperator{\Br}{Br}
|
||
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
|
||
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
|
||
\DeclareMathOperator{\Lie}{Lie}
|
||
\DeclareMathOperator{\PGL}{PGL}
|
||
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
|
||
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
|
||
\DeclareMathOperator{\fchar}{char}
|
||
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
|
||
\DeclareMathOperator{\Iso}{Iso}
|
||
\DeclareMathOperator{\SB}{SB}
|
||
\DeclareMathOperator{\SO}{SO}
|
||
\DeclareMathOperator{\Spin}{Spin}
|
||
\DeclareMathOperator{\Isom}{Isom}
|
||
\DeclareMathOperator{\im}{im}
|
||
\DeclareMathOperator{\disc}{disc}
|
||
\DeclareMathOperator{\Stab}{Stab}
|
||
\DeclareMathOperator{\Nrd}{Nrd}
|
||
\DeclareMathOperator{\CH}{CH}
|
||
\DeclareMathOperator{\pt}{pt}
|
||
\DeclareMathOperator{\codim}{codim}
|
||
\DeclareMathOperator{\OGr}{OGr}
|
||
\DeclareMathOperator{\an}{an}
|
||
\DeclareMathOperator{\Cor}{Cor}
|
||
\DeclareMathOperator{\Mor}{Mor}
|
||
\DeclareMathOperator{\pr}{pr}
|
||
\DeclareMathOperator{\id}{id}
|
||
\DeclareMathOperator{\res}{res}
|
||
\DeclareMathOperator{\Trd}{Trd}
|
||
\DeclareMathOperator{\sing}{sing}
|
||
\DeclareMathOperator{\Bl}{Bl}
|
||
\DeclareMathOperator{\Frac}{Frac}
|
||
|
||
%\DeclareFontFamily{OT1}{pzc}{}
|
||
%\DeclareFontShape{OT1}{pzc}{m}{it}{<-> s * [1.2] pzcmi7t}{}
|
||
%\DeclareMathAlphabet{\mathpzc}{OT1}{pzc}{m}{it}
|
||
\newcommand{\categ}{\mathpzc}
|
||
|
||
\renewcommand{\O}{\mathrm{O}}
|
||
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
|
||
\newcommand{\ph}{\varphi}
|
||
\renewcommand{\emptyset}{\varnothing}
|
||
|
||
\newcommand{\term}{\textbf}
|
||
\newcommand{\rdfn}{=\mathrel{\mathop:}}
|
||
\newcommand{\dfn}{\mathrel{\mathop:}=}
|
||
\newcommand{\isom}{\simeq}
|
||
|
||
\newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection]
|
||
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}
|
||
\newtheorem{proposition}[theorem]{Утверждение}
|
||
\newtheorem{corollary}[theorem]{Следствие}
|
||
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Гипотеза}
|
||
|
||
\theoremstyle{definition}
|
||
\newtheorem{example}[theorem]{Пример}
|
||
\newtheorem{fact}[theorem]{Факт}
|
||
\newtheorem{remark}[theorem]{Замечание}
|
||
\newtheorem{exercise}[theorem]{Упражнение}
|
||
\newtheorem{definition}[theorem]{Определение}
|
||
|
||
\newcommand{\la}{\langle}
|
||
\newcommand{\ra}{\rangle}
|
||
\newcommand{\lAngle}{\langle\!\langle}
|
||
\newcommand{\rAngle}{\rangle\!\rangle}
|
||
\newcommand{\trleq}{\trianglelefteq}
|
||
\newcommand{\ol}{\overline}
|
||
\newcommand{\wt}{\widetilde}
|
||
|
||
\newcommand{\TBW}{\textbf{TBW}}
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
|
||
\author{Иван Панин\and Виктор Петров}
|
||
\title{Мотивы Воеводского и арифметика линейных алгебраических групп
|
||
\footnote{Конспект лекций семинара весны 2012 года; предварительная
|
||
версия. Автор \TeX-версии~--- Александр Лузгарев.
|
||
Основано на конспекте Алексея Бешенова первых двух лекций.}}
|
||
\date{2012}
|
||
\maketitle
|
||
|
||
\section{Введение}
|
||
|
||
\subsection{Планы}
|
||
|
||
% 13.02.2012
|
||
|
||
Работа Панина и Пименова о квадратичных формах.
|
||
|
||
Простая формулировка. {\it Пусть $K = \mathbb{C} (z_1,\ldots,z_n)$ и
|
||
$R \dfn \{ \frac{g(z)}{h(z)} \mid h(0) \ne 0 \} \subset K$~---
|
||
регулярные функции в окрестности $0$. Пусть $u \in
|
||
R^\times$. Рассмотрим уравнение
|
||
|
||
\[ T_1^2 + \cdots + T_k^2 = u. \]
|
||
|
||
\noindent (Предполагаем $k \ge 2$.) Если уравнение имеет решение в
|
||
$K$, то оно имеет решение и в $R$.}
|
||
|
||
\vspace{2em}
|
||
|
||
Интересующая нас задача: классифицировать простые алгебраические
|
||
группы над произвольным полем (или локальным регулярным кольцом). В
|
||
каком смысле~--- мы объясним. Что такое простые алгебраические
|
||
группы~--- это обсуждается в записках спецкурса.
|
||
|
||
\vspace{2em}
|
||
|
||
Как все знают, над алгебраически замкнутыми полями классификацию
|
||
простых алгебраических групп дают диаграммы Дынкина. Среди них~---
|
||
четыре бесконечные серии, которым соответствуют следующие
|
||
присоединенные группы:
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $A_n$~--- $\PGL_{n+1}$.
|
||
|
||
\item $B_n$~--- $\SO_{2n+1}$.
|
||
|
||
\item $C_n$~--- $\PGSp_{2n}$.
|
||
|
||
\item $D_n$~--- $\SO_{2n}$.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
Исключительные группы: $E_6$, $E_7$, $E_8$, $F_4$, $G_2$.
|
||
|
||
Имеется точная последовательность
|
||
|
||
\[ 1 \to \mu_n \to \SL_n \to \PGL_n \to 1. \]
|
||
|
||
<<Теорема типа Спрингера>>: \emph{пусть $G$ и $G^\prime$~--- группы типа $G_2$ над полем $K$. Пусть расширение $[L : K]$ нечетное. Тогда если $G_L \isom G_L^\prime$, то $G \isom G^\prime$.}
|
||
|
||
С точностью до каких-то тонкостей, имеем
|
||
|
||
\[ H^1 (K, G_0^{ad}) \approx \{\text{присоед. простые алг. группы над }K\text{ того же типа, что и }G_0\}. \]
|
||
|
||
Это соответствие функториально в том смысле, что расширение полей $L/K$ индуцирует
|
||
морфизм $H^1 (K,G^{ad}) \to H^1 (L,G^{ad})$.
|
||
|
||
Наша высокая цель~--- построить функтор $F$, сопоставляющий полям
|
||
абелевы группы с гомоморфизмом следа, так что конечное расширение
|
||
$[L:K]$ давало бы морфизм $F(L) \to F(K)$ и естественное
|
||
преобразование
|
||
|
||
\[ H^1 (K,G_0^{ad}) \to F(K). \]
|
||
|
||
Например, для $G_0 = \PGL_2 = \Aut (M_2)$ ответ такой:
|
||
|
||
\[ F\colon K \rightsquigarrow K_2^M (K) / 2, \]
|
||
|
||
\noindent где $K_2^M (K) = I^2(K) / I^3 (K)$.
|
||
|
||
\subsection{Теорема Меркурьева--Суслина и гипотеза Блоха--Като}
|
||
|
||
Пусть $A$~--- центральная простая алгебра над полем $K$ (более общее
|
||
понятие~--- \term{алгебра Азумайи}, \term{Azumaya algebra}). Ей
|
||
соответствует элемент $[A]$ в группе Брауэра $\Br (K)$.
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \textbf{Теорема Меркурьева} (1981)~--- изоморфизм ${}_2 \Br(K)
|
||
\isom K_2^M / 2$, а также следствие про $[A] \in {}_2 \Br(K)$.
|
||
|
||
[\url{http://www.mathunion.org/ICM/ICM1986.1/Main/icm1986.1.0389.0393.ocr.pdf}]
|
||
|
||
[\url{http://www.math.ethz.ch/~knus/sridharan/merkurjev84.pdf}]
|
||
|
||
\item \textbf{Теорема Меркурьева--Суслина} (1982)~--- изоморфизм ${}_p
|
||
\Br(K) \isom K_2^M / p$.
|
||
|
||
[L.H. Rowen, Ring theory, Vol. 2, \S 7.2]
|
||
|
||
\item \textbf{Гипотеза Блоха--Като} (<<norm residue isomorphism
|
||
theorem>>)~--- $K_n^M/p (-) \isom H^n_\text{ét} (-, \mu_p^{\otimes
|
||
n})$.
|
||
|
||
[\url{http://arxiv.org/abs/0805.4430}]
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\subsection{Кольцо Гротендика--Витта}
|
||
|
||
$H^1 (K, \O_n)$~--- это классы изометрии невырожденных квадратичных
|
||
форм ранга $n$.
|
||
|
||
Имеется функтор в кольцо Витта
|
||
\[ H^1 (K, \O_n) \to W(K), \quad f \mapsto [f]. \]
|
||
|
||
Разберемся, что такое \term{кольцо Витта} $W(K)$. Его образующие~---
|
||
классы изометрии квадратичных форм над $K$, а соотношения выглядят так:
|
||
\begin{gather*}
|
||
[f] + [g] = [f \perp g],\\
|
||
[f]\cdot [g] = [f\otimes g],\\
|
||
\mathbb{H} = 0,
|
||
\end{gather*}
|
||
где $\mathbb{H}$~--- класс изометрии двумерной квадратичной формы $f(x,y)=xy$, а
|
||
$f \perp g$ имеет следующий смысл. Если $f$~--- квадратичная форма на
|
||
$V$, а $g$~--- квадратичная форма на $W$, то на $V\oplus W$ задается
|
||
квадратичная форма $(f\perp g) (u\oplus v) \dfn f(u) + g(v)$.
|
||
|
||
Имеется корректно определенный гомоморфизм
|
||
\begin{eqnarray*}
|
||
\rk\colon W(K) & \to & \mathbb{Z}/2,\\
|
||
{}[f] & \mapsto & \rk f \mod 2.
|
||
\end{eqnarray*}
|
||
$I \dfn \ker \rk$ называется \term{фундаментальным идеалом}.
|
||
|
||
\term{Кольцо Гротендика--Витта} $GW (K)$ определяется следующим
|
||
образом. В нем те же образующие, но нет условия $[xy] = 0$. Сначала
|
||
определяется сложение
|
||
и умножение, делающее $GW (K)$ полукольцом:
|
||
\begin{gather*}
|
||
[f] + [g] = [f \perp g],\\
|
||
[f]\cdot [g] = [f\otimes g].
|
||
\end{gather*}
|
||
Потом мы берем группу Гротендика и получаем кольцо.
|
||
|
||
\subsection{$\mathbb{A}^1$-гомотопии и гипотеза Мореля}
|
||
|
||
[\url{http://mathunion.org/ICM/ICM1998.1/Main/00/Voevodsky.MAN.ocr.pdf}]
|
||
|
||
$\mathbb{A}^1$-гомотопическая категория пространств с отмеченными
|
||
точками над $K$.
|
||
|
||
Сфера $S^0 = \{ +, \bullet \}$ состоит из двух точек, из которых
|
||
$\bullet$~--- отмеченная.
|
||
|
||
Теорема Мореля (1999?) состоит в вычислении
|
||
|
||
\[ \pi_0^{stab} (S^0) \isom \GW (K) \]
|
||
|
||
Fabien Morel, On The Motivic $\pi_0$ of the Sphere Spectrum.\\
|
||
\url{http://dx.doi.org/10.1007/978-94-007-0948-5_7}
|
||
|
||
Желаемый функтор $F$ мог бы давать $H^1 (K,G) \to H_0^{\mathbb{A}^1} (B^\text{èt} G)$.
|
||
|
||
Аналог этого в топологии следующий. Пусть задано главное
|
||
$G$-расслоение $\mathfrak{g} \to X$ для клеточного пространства
|
||
$X$. Сопоставим ему отображение в классифицирующее пространство $X
|
||
\xrightarrow{f_\mathfrak{g}} BG$.
|
||
|
||
Существует соответствие между множеством классов изоморфности главных
|
||
$G$-расслоений над $X$ и гомотопическими классами $[X,BG]$.
|
||
|
||
Имеется инъекция
|
||
|
||
\[ [X,BG] = \pi_0 (\Map (X,BG)) \hookrightarrow H_0 (\Map (X,BG)). \]
|
||
|
||
Гипотеза Мореля заключается в том, что в алгебраической ситуации тоже получается инъекция
|
||
|
||
\[ [\Spec K, B^\text{èt} G] = \pi_0^{\mathbb{A}^1} (B^\text{èt} G)
|
||
\hookrightarrow H_0^{\mathbb{A}^1} (B^\text{èt} G). \]
|
||
|
||
\subsection{Формы Пфистера}
|
||
|
||
Рассмотрим фильтрацию на кольце Витта
|
||
|
||
\[ W(K) \supset I \supset I^2 \supset I^3 \supset \cdots \]
|
||
|
||
\begin{theorem}
|
||
$\bigcap_n I^n = \{0\}$.
|
||
\end{theorem}
|
||
|
||
Мы уже знаем, что $W(K) / I = \mathbb{Z}/2$.
|
||
$I/I^2$ как абелева группа порождается элементами вида $\lAngle a\rAngle \dfn x^2 - a\,y^2$ для некоторого $a\in K^\times$.
|
||
Более общо, $I^n/I^{n+1}$ порождается тензорными произведениями элементов
|
||
\[ \lAngle a_1, \ldots, a_n\rAngle = \lAngle a_1\rAngle\otimes\cdots\otimes\lAngle a_n\rAngle. \]
|
||
$\lAngle a_1, \ldots, a_n\rAngle$ называется \term{$n$-кратной формой Пфистера}.
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
При $n = 1$ имеем $a \in K^*/(K^*)^2$; $K (\sqrt{a})$~--- квадратичное расширение.
|
||
|
||
При $n = 2$ символ $\lAngle a,b\rAngle$ есть норма алгебры кватернионов
|
||
$H = (a,b)$ над $K$.
|
||
|
||
При $n = 3$ символ $\lAngle a,b,c\rAngle$ есть норма алгебры октонионов
|
||
$(a,b,c)$ над $K$ (что соответствует группам типа $G_2$ над $K$).
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{theorem}[Арасон]
|
||
Если $[q] \in I^n$, то $\rk q \ge 2^n$.
|
||
Если при этом $\rk q = 2^n$, то $q \isom \alpha \cdot \lAngle
|
||
a_1,\ldots,a_n \rAngle$, где $\alpha \in K^\times$.
|
||
В частности, $\bigcap I^n = 0$.
|
||
\end{theorem}
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $e_0 (q) \dfn \rk q \mod 2$.
|
||
|
||
\item Если $e_0 = 0$, то $[q] \in I$. Определим $e_1 (q) \dfn [\![q]\!] \in I/I^2$. Этому соответствует $\lAngle a\rAngle$, где $a$~--- дискриминант $q$ (с точностью до знака?).
|
||
|
||
\item Если $e_1 = 0$, то $e_2 (q) \dfn [\![ q ]\!] \in I^2/I^3$.
|
||
Форме $q$ можно сопоставить $C_0^+ (q)$, четную положительную часть алгебры
|
||
Клиффорда, это будет центральная простая алгебра. Имеем $[C_0^+ (q)]
|
||
\in {}_2 \Br (K)$. По теореме Меркурьева, это сумма
|
||
\[ [(a_1,b_1)]\,[(a_2,b_2)]\cdots [(a_k,b_k)] \]
|
||
|
||
\[ \lAngle a_1,b_1\rAngle + \lAngle a_2,b_2\rAngle + \cdots +\lAngle a_k,b_k\rAngle. \]
|
||
|
||
\item Если $e_2 (q) = 0$, то можно определить $e_3 (q)$~---
|
||
\term{инвариант Арасона}.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\subsection{Торсоры}
|
||
|
||
Пусть $G$~--- простая алгебраическая группа над $K$.
|
||
|
||
\term{$G$-торсором} называется многообразие $X$ над $K$, такое что
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item определено действие $G\times X\to X$;
|
||
|
||
\item над алгебраическим замыканием $\overline{K}$ имеется изоморфизм
|
||
$X_{\overline{K}} \isom G_{\overline{K}}$ (как многообразий с
|
||
$G$-действием).
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
Раньше торсоры назывались <<главными однородными пространствами>>
|
||
(principal homogeneous space).
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Действие $G$ сдвигами на себе дает \term{тривиальный $G$-торсор}.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
По определению, $H^1 (K;G)$ есть множество классов изоморфности
|
||
$G$-торсоров с отмеченной точкой (тривиальный $G$-торсор).
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Зафиксируем $a\in K$.
|
||
Для каждой $K$-алгебры $R$ положим
|
||
$\mu_2(R) = \{ x\in R\mid x^2 = 1 \}$, $X(R) \dfn \{ y\in R\mid y^2 = a\}$.
|
||
Получаем схемы $\mu_2$ и $X$, причем
|
||
$\mu_2$ действует на $X$ умножением:
|
||
если $y^2 = a$, $x^2 = 1$, то $(x\,y)^2 = a$.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
$X$~--- тривиальный $G$-торсор iff у него есть рациональная точка: $X
|
||
(K) \ne \emptyset$.
|
||
|
||
Если $G$~--- абелева группа, то на торсорах имеется сложение. При этом
|
||
$H^1 (K,\mu_2) \isom K^* / (K^*)^2$ как абелева группа. И вообще $H^1
|
||
(K,\mu_n) \isom K^* / (K^*)^n$.
|
||
|
||
\subsection{Скрученные формы}
|
||
|
||
Напомним, что $\O_{2n} = \Aut (q_{split})$, где $q_{split} = x_1\,y_1 + \cdots +
|
||
x_n\,y_n$~--- \term{расщепимая форма} (от переменных $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n$.
|
||
|
||
$H^1 (K, \O_{2n})$ можно отождествить с множеством классов изометрии
|
||
невырожденных квадратичных форм ранга $2n$.
|
||
Действительно, пусть $q$~--- квадратичная форма,
|
||
Мы утверждаем, что $\Iso (q_{split},
|
||
q)$ есть искомый торсор: на нем действует $\O_{2n}$.
|
||
Здесь $\Iso(\ph,\psi)$ обозначает функтор изоморфизмов между квадратичными
|
||
формами $\ph$ и $\psi$; более точно,
|
||
$\Iso(\ph,\psi)(R) = \{f\colon\ph_R\to\psi_R\mid\mbox{$f$~--- изоморфизм}\}$.
|
||
Над алгебраически
|
||
замкнутым полем $q$ изоморфна $q_{split}$, и получается $\Iso
|
||
(q_{split},q_{split})=\Aut (q_{split})=\O_{2n}$.
|
||
|
||
Пусть $A$~--- некоторая алгебраическая структура над полем $K$
|
||
(например, квадратичное пространство, конечномерная ассоциативная
|
||
алгебра, конечномерная неассоциативная алгебра). Тогда
|
||
\term{скрученная форма $A^\prime$} для $A$ есть такая структура над
|
||
$K$, что при переходе к алгебраическому замыканию
|
||
$A^\prime_{\overline{K}} \isom A_{\overline{K}}$.
|
||
|
||
\noindent\textbf{Теорема}. $H^1 (K, \Aut(A))$ есть множество классов
|
||
изоморфности скрученных форм $A$ над $K$.
|
||
|
||
Изоморфизм такой:
|
||
\[ A' \xmapsto{\sim} \Iso (A,A^\prime). \]
|
||
На $\Iso (A,A^\prime)$ есть структура алгебраического многообразия.
|
||
|
||
\vspace{2em}
|
||
|
||
\noindent\textbf{Замечание}. Пусть $X$~--- проективное многообразие
|
||
над $K$. Теорема (Гротендик): \emph{функтор $U \mapsto \Aut_U (X\times
|
||
U)$ представим в схемах}; то есть, существует схема $R$ такая, что
|
||
$\Aut_U(X\times U)$ естественно изоморфно $\Hom(U,R)$.
|
||
|
||
\vspace{2em}
|
||
|
||
Контрпример: $\Aut (\mathbb{A}^n)$ не конечномерно.
|
||
|
||
Пример: $A \dfn M_n (K)$. $\Aut (A) = \PGL_n$.\\
|
||
$H^1 (K, M_n(K))$~--- это скрученные формы $M_n (K)$, то есть
|
||
центральные простые алгебры размерности $n^2$, взятые с точностью до
|
||
изоморфизма.
|
||
|
||
$\Aut (\mathbb{P}^{n-1}) = \PGL_n = \GL_n / \mathbb{G}_m$.
|
||
|
||
Автоморфизмы сохраняют ранг.
|
||
|
||
$H^1 (K, \PGL_n)$ есть множество скрученных форм $\mathbb{P}^{n-1}$
|
||
над $K$ = \term{многообразия Севери--Брауэра}.
|
||
|
||
\[ A \mapsto \SB (A) = \{ \text{левые идеалы $I\trleq A$}\mid
|
||
\dim_K(I)=n \} \]
|
||
|
||
Пример при $n=2$: кватернионы $A = (a,b)$.
|
||
|
||
$\beta\,u + \gamma\,v + \delta\,u\,v$. Имеем векторное пространство
|
||
$u,v,uv$. Условие $\{ \text{норма} = 0 \}$ задает проективное
|
||
подмногообразие в $\mathbb{P}^2$.
|
||
|
||
$x^2 - a\,y^2 - b\,z^2 = 0$~--- коника.
|
||
|
||
\begin{eqnarray*}
|
||
\PGL_2 & \isom & \SO_3, \\
|
||
\{\text{кватернионы}\} & \isom & \{\text{формы ранга }3\text{ с
|
||
трив. дискриминантом}\}.
|
||
\end{eqnarray*}
|
||
|
||
\subsection{Точные последовательности алгебраических групп}
|
||
|
||
Точность последовательности алгебраических групп над $K$
|
||
|
||
\[ 1 \to C \to H \to G \to 1 \]
|
||
|
||
\noindent означает следующее:
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $C$~--- алгебраическая подгруппа в $H$.
|
||
|
||
\item После расширения скаляров $H (\overline{K})\to G (\overline{K})$
|
||
является сюръекцией
|
||
\emph{над алгебраическим замыканием поля $K$}.
|
||
|
||
\item $C = \ker (H\to G)$, $C(R) = \ker (H(R) \to G(R))$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Следующая последовательность алгебраических групп точна в указанном смысле:
|
||
|
||
\[ 1 \to \mu_2 \to \mathbb{G}_m \to \mathbb{G}_m \to 1, \]
|
||
|
||
\noindent где $\mathbb{G}_m (K) \dfn \{ (x,y)\in K^2 \mid x\,y = 1 \}$, и
|
||
отображение $\mathbb{G}_m \to \mathbb{G}_m$ есть $x \mapsto x^2$ (это
|
||
сюръекция над алгебраическим замыканием).
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Следующая последовательность точна:
|
||
|
||
\[ \mu_2 (K) \to K^\times \to K^\times \to H^1 (K,\mu_2) \to H^1
|
||
(K,\mathbb{G}_m) \to H^1 (K,\mathbb{G}_m). \]
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\noindent (Отображение $K^\times \to K^\times$ есть $x \mapsto x^2$.)
|
||
|
||
\begin{theorem}[Теорема Гильберта 90]
|
||
|
||
\begin{gather*}
|
||
H^1 (K,\mathbb{G}_m) = \{\bullet\},\\
|
||
H^1 (K,\GL_n) = \{\bullet\}.
|
||
\end{gather*}
|
||
\end{theorem}
|
||
|
||
Из точности последовательности выше и теоремы 90 получается
|
||
|
||
\[ H^1 (K,\mu_2) \isom K^\times / (K^\times)^2. \]
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Точная последовательность
|
||
\[ 1 \to \SL_n \to \GL_n \xrightarrow{\det} \mathbb{G}_m \to 1. \]
|
||
приводит к последовательности
|
||
\[ \GL_n (K) \xrightarrow{\det} \mathbb{G}_m (K) \to H^1 (K,\SL_n) \to H^1 (K,\GL_n). \]
|
||
|
||
Здесь $H^1 (K,\SL_n) = \{\bullet\}$ и $H^1 (K,\GL_n) = \{\bullet\}$.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
\[ 1 \to \mu_n \to \SL_n \to \PGL_n \to 1. \]
|
||
|
||
\[ \mu_n (K) \to \SL_n (K) \to \PGL_n (K) \to K^\times / (K^\times)^2 \to \{\bullet\} \to H^1 (K,\PGL_n). \]
|
||
|
||
\[ 1 \to \mathbb{G}_m \to \GL_n \to \PGL_n \to 1. \]
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
\begin{eqnarray*}
|
||
\SL_n & \to & \PGL_n,\\
|
||
g & \mapsto & (x \mapsto g\,x\,g^{-1}) \in \Aut (M_n).
|
||
\end{eqnarray*}
|
||
|
||
Это сюръекция алгебраических групп, но не сюръекция на точках.
|
||
|
||
\[ 1 \to \mu_n \to \SL_n \to \PGL_n \to 1. \]
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{theorem}
|
||
Если имеется точная последовательность $1 \to C \to H \to G \to 1$, то
|
||
возникает точная последовательность множеств с отмеченной точкой
|
||
|
||
\[ 1 \to C(K) \to H(K) \to G(K) \to H^1 (K,C) \to H^1 (K,H) \to H^1 (K,G). \]
|
||
\end{theorem}
|
||
|
||
См. книгу Серра <<Когомологии Галуа>>.
|
||
|
||
% 27.02.2012
|
||
|
||
\subsection{Вторые когомологии}
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Напомним, что $H^1 (F,G)$~--- множество $G$-торсоров. \emph{Если $G$
|
||
коммутативна}, то это аффинная алгебраическая группа.
|
||
|
||
(Как в этом случае умножаются торсоры?~--- Что-то типа $E_1 \mathop{*}
|
||
E_2 = (E_1 \times E_2) / ((e_1,e_2) = (g\,e_1,g\,e_2))$.)
|
||
|
||
\item $H^0 (F,G)$~--- это функтор $F \rightsquigarrow G(F)$,
|
||
т.е. функтор точек. \emph{Если $G$ коммутативна}, то $H^i (F,G)$
|
||
можно определить как $i$-й производный функтор. При $i = 1$ это
|
||
совпадает с первым определением.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\begin{theorem}
|
||
Пусть имеется точная последовательность $1 \to C \to G \to H \to
|
||
1$. Предположим, что $C \le \Cent (G)$. Тогда точная
|
||
последовательность продолжается до вторых когомологий:
|
||
|
||
\[ 1 \to C(F) \to G(F) \to H(F) \to H^1 (F,C) \to H^1 (F,G) \to H^1 (F,H) \to H^2 (F,C). \]
|
||
\end{theorem}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
$H^2 (F, \mathbb{G}_m)=\Br (F)$~--- \emph{группа Брауэра} поля $F$:
|
||
она состоит из классов эквивалентности $[A]$ центральных простых
|
||
алгебр $A$ над $F$; умножение выглядит так: $[A]\cdot
|
||
[B]=[A\otimes_FB]$.
|
||
|
||
Пусть $X$~--- квазипроективное многообразие. Тогда $H^2
|
||
(X,\mathbb{G}_m)_{tors} = \Br (X)$ (\emph{теорема Габбера} (Gabber)).
|
||
(Загадочное замечание:
|
||
подразумевается топология fppf, а для этальной топологии в определении
|
||
торсора вместо $\overline{F}$ нужно взять $F^{sep}$.)
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{example}[Топологический аналог]
|
||
Пусть $X$~--- хорошее топологическое пространство (например, область в
|
||
$\mathbb R^n$, многообразие или CW-комплекс).
|
||
|
||
Пусть $G$~--- топологическая группа (например, $S^1$, $S^3$, $\SL_2
|
||
(\mathbb{C})$, $\O_n (\mathbb{C})$).
|
||
|
||
Имеется левое действие $G \times (G\times X) \to (G\times X)$, $g_1
|
||
\cdot (g_2,x) \mapsto (g_1\,g_2, x)$.
|
||
|
||
Левое действие послойно и свободно на скрученной форме $G\times
|
||
\mathcal{G} \to \mathcal{G}$.
|
||
|
||
Для всех $x \in X$ возникает действие $G \times \mathcal{G} (x) \to
|
||
\mathcal{G} (x)$. Здесь $\mathcal{G} (x) \isom G$, и этот изоморфизм
|
||
зависит от $x$.
|
||
|
||
$(\mathcal{G}, G\times \mathcal{G} \to \mathcal{G})$ в топологии
|
||
называется \term{главным $G$-расслоением} (\term{principal
|
||
$G$-bundle}).
|
||
|
||
$\mathcal{G}/G = X$.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
$\mathbb{C}^\times = \GL_1 (\mathbb{C}) = \Aut (\mathbb{C}^1)$.
|
||
|
||
Пусть $L \to X$~--- комплексное линейное расслоение, $z (X)$~---
|
||
нулевое сечение.
|
||
|
||
Рассмотрим отображение $\mathbb{C}^\times \times (L - z(X))\to (L -
|
||
z(X))$, $(\lambda, v)\mapsto \lambda v$. Имеем изоморфизм $L(x) -
|
||
0\isom \mathbb{C}^\times$, зависящий
|
||
от $x$.
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Тогда $H^1 (X,\mathbb{C}^\times)$~--- классы изоморфизма
|
||
$\mathbb{C}^\times$-торсоров над $X$. Они соответствуют линейным
|
||
расслоениям над $X$: расслоению $L$ соответствует описанный выше
|
||
торсор $L - z(X)$, и по торсору $\mathcal G^\times$ можно построить
|
||
расслоение $\mathcal L$.
|
||
|
||
\item Таким образом, мы видим, что $H^1 (X, \Aut (\mathbb{C}^1))$~---
|
||
это скрученные формы расслоения
|
||
$\mathbb{C}\times X$ над $X$.
|
||
|
||
\item Аналогично, $H^1 (X, \Aut (\mathbb{C}^n))$~--- это (1) скрученные формы
|
||
расслоения $\mathbb{C}^n\times X$ над $X$, то есть (2) векторные
|
||
расслоения над $X$ со слоем $\mathbb{C}^n$ (с точностью до изоморфизма).
|
||
|
||
\item Пусть $\Aut_{\mathbb{C}} (\mathbb{C}^{2n}, \sum u_i\,v_i)$~---
|
||
автоморфизмы, сохраняющие квадратичную форму.
|
||
Тогда \[H^1 (X, \Aut_{\mathbb{C}} (\mathbb{C}^{2n}, \sum
|
||
u_i\,v_i))\]--- это (1) скрученные формы расслоений вида
|
||
$(\mathbb{C}^n\times X, \sum u_i,v_i) \to X$, то есть (2) векторные
|
||
расслоения $E \to X$ со слоем $\mathbb{C}^n$ и с квадратичной формой в
|
||
слоях.
|
||
|
||
\item Рассмотрим $\Aut (M_n (\mathbb{C})) = \PGL_n
|
||
(\mathbb{C})$. Тогда $H^1 (X, \Aut (M_n (\mathbb{C})))$~--- это
|
||
скрученные формы расслоений вида $M_n (\mathbb{C})\times X \to
|
||
X$. Например, по каждому расслоению $E\to X$ можно построить
|
||
расслоение $\End(E)\to X$, и послойно $\End(E)(x)=\End(E(x))$. Но
|
||
бывают и расслоения, не изоморфные никакому $\End(E)\to X$~--- это
|
||
нетривиальные топологические алгебры Адзумайи.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{example}
|
||
|
||
Имеется точная последовательность
|
||
|
||
\[ 1 \to \mathbb{C}^\times \to \GL_n (\mathbb{C}) \to \PGL_n (\mathbb{C}) \to 1. \]
|
||
|
||
Отсюда получается точная последовательность
|
||
|
||
\begin{gather*}
|
||
1 \to \Gamma (X, \mathbb{C}^\times) \to \Gamma (X, \GL_n (\mathbb{C}))
|
||
\to \Gamma (X, \PGL_n (\mathbb{C})) \to \\ \to H^1 (X,\mathbb{C}^1)
|
||
\to H^1 (X,\GL_n (\mathbb{C})) \to H^1 (X, \PGL_n (\mathbb{C})) \to
|
||
H^2 (X, \mathbb{C}^\times).
|
||
\end{gather*}
|
||
|
||
\term{Топологическая группа Брауэра} есть $\Br_{top} (X) \dfn
|
||
H^2_{top} (X, \mathbb{C}^\times)$.
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Мы утверждаем, что
|
||
\[ H^2 (X, S^1) \twoheadrightarrow H^3 (X, \mathbb{Z})_{tors}. \]
|
||
|
||
Заметим, что
|
||
$\mathbb{C}^\times \isom S^1 \times \mathbb{R}$. Имеем точную
|
||
последовательность
|
||
\[ 0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{R} \to S^1 \to 0, \]
|
||
откуда получаем точную последовательность
|
||
\[ H^2(X,\mathbb{Z})\to H^2(X,\mathbb{R}\to H^2(X,S^1)\to
|
||
H^3(X,\mathbb Z)\to H^3(X,\mathbb R)=H^3(X,\mathbb Z)\otimes \mathbb R.\]
|
||
Обозначим отображение $H^3(X,\mathbb Z)\to H^3(X,\mathbb
|
||
Z)\otimes\mathbb R$ через $\alpha$. Тогда связывающий гомоморфизм
|
||
дает нам отображение $H^2(X,S^1)\to\ker(\alpha)=H^3(X,\mathbb Z)_{tors}$.
|
||
|
||
На самом деле,
|
||
\[ \Br_{top} (X) = H^3 (X,\mathbb{Z})_{tors}. \]
|
||
Нечто такое написано как определение (у Серра? Гротендика?).
|
||
\end{example}
|
||
|
||
А какие нам известны нетривиальные скрученные формы алгебры $M_n (K)$?
|
||
Так это и есть центральные простые алгебры.
|
||
|
||
Имеем точную последовательность $1 \to \mathbb{G}_m \to \GL_n \to
|
||
\PGL_n \to 1$, откуда
|
||
|
||
\[ H^1 (F,\GL)_n \to H^1 (F, \PGL_n) \to H^2 (F,\mathbb{G}_m). \]
|
||
|
||
При этом
|
||
$H^1 (F,\GL)_n = \{ \bullet \}$, и $H^1 (F, \PGL_n)$~--- центральные
|
||
простые алгебры степени $n$. Это отображение дает изоморфизм % ???
|
||
|
||
\begin{eqnarray*}
|
||
\Br (F) & \isom & H^2 (F,\mathbb{G}_m),\\
|
||
A & \mapsto & [A].
|
||
\end{eqnarray*}
|
||
% тут пропущен кусок про умножение в H^1???
|
||
|
||
Имеется точная последовательность
|
||
\[ 1 \to \mu_n \to \mathbb{G}_m \to \mathbb{G}_m \to 1, \]
|
||
где $\mathbb{G}_m \to \mathbb{G}_m$~--- отображение $x \mapsto x^n$.
|
||
|
||
Получаем точную последовательность
|
||
\[ \xymatrix{ H^1 (F,\mathbb{G}_m) \ar[r]\ar@{=}[d] & H^2 (F,\mu_n)
|
||
\ar[r] & H^2 (F,\mathbb{G}_m) \ar[r]\ar@{=}[d] & H^2
|
||
(F,\mathbb{G}_m)\ar@{=}[d] \\
|
||
\{ \bullet \} & & \Br (F) \ar[r]^{\cdot n} & \Br (F) }, \]
|
||
откуда
|
||
$H^2 (F,\mu_n) = {}_n \Br (F)$.
|
||
|
||
Еще один пример: пусть $\fchar F \ne 2$. Имеется точная последовательность
|
||
\[ 1 \to \SO_n \to \O_n \xrightarrow{\det} \mu_2 \to 1. \]
|
||
|
||
Тогда
|
||
\[ \O_n (F) \twoheadrightarrow \mu_2 (F) \to H^1 (F,\SO_n) \to H^1 (F,\O_n) \xrightarrow{\disc} H^1 (F,\mu_2)=F^*/(F^*)^2. \]
|
||
|
||
Отсюда $H^1 (F,\SO_n)$ (невырожденные квадратичные формы дискриминанта
|
||
1)~--- подмножество в $H^1 (F,\O_n)$ (невырожденные квадратичные формы
|
||
ранга $n$ с точностью до изометрии).
|
||
|
||
Это дает нам инвариант $\disc=e_1\colon I\to I/I^2\isom F^*/(F^*)^2$.
|
||
|
||
Еще один пример:
|
||
\[ 1 \to \mu_2 \to \Spin_n \to \SO_n \to 1. \]
|
||
|
||
\[ \Spin_n (F) \to \SO_n (F) \xrightarrow{N} H^1 (F,\mu_2) \xrightarrow{0} H^1 (F,\Spin_n) \to H^1 (F,\SO_n) \xrightarrow{e_2} H^2 (F,\mu_2). \]
|
||
|
||
Здесь
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $H^2 (F,\mu_2) = {}_2 \Br (F)$.
|
||
|
||
\item $N$~--- \term{спинорная норма}. А именно, каждый элемент $\SO_n$
|
||
раскладывается в произведение отражений $g = S_{v_1} \cdots
|
||
S_{v_{2k}}$; тогда $N(g) \dfn q (v_1) \cdots q (q_{2k})
|
||
\pmod{(F^\times)^2}$.
|
||
|
||
\item Отображение $\Spin_n(F)\to\SO_n(F)$ уже не обязательно является
|
||
сюръективным.
|
||
|
||
\item Мы не знаем, что такое $H^1(F,\Spin_n)$. Отображение
|
||
$H^1(F,\mu_2)\to H^1(F,\Spin_n)$ равно $0$ по теореме Эйхлера.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
Самая правая стрелка в этой длинной последовательности дает нам инвариант
|
||
$e_2\colon I^2 \to I^2 / I^3 = {}_2 \Br (F)$. Его можно описать так:
|
||
по форме $q$ можно построить алгебру Клиффорда $C(q)$ с четной частью
|
||
$C_0(q)$. Тогда $e_2$ сопоставляет форме $q\in I^2$ класс $[C^+_0(q)]$
|
||
в $\Br(F)$.
|
||
|
||
Пусть $E$~--- левый $G$-торсор, $G$ действует на $X$ справа.
|
||
Рассмотрим скрученную форму $X$
|
||
|
||
\[ {}_EX \dfn (X\times E)/ \! {(x,e) \sim (x\,g^{-1}, g\,e)}. \]
|
||
|
||
На ней действует ${}_EG$. Действительно,
|
||
${}E_G=\Aut_{G-\text{торс}}(E)$~--- автоморфизмы $E$ как
|
||
$G$-торсора. ${}_EG$ является группой (тут $G$ действует сопряжениями
|
||
на себе).
|
||
|
||
% тут пропущен кусок???
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Рассмотрим $H^1 (F,\O_n)$.
|
||
|
||
$E \in H^1 (F,\O_n)$ задается квадратичной формой $q$, и $q$ должна
|
||
быть формой расщепимой квадратичной формы $q_0$. При этом $E = \Isom
|
||
(q_0, q)$.
|
||
|
||
$O (q_0)$ действует на квадрике $Q_0 \dfn \{ q_0 = x_1\,y_1 + \cdots +
|
||
x_n\,y_n = 0 \} \subseteq \mathbb{P}^{2n-1}$.
|
||
|
||
После подкрутки: ${}_EQ_0 = \{ q = 0 \}$ и на ${}_EQ_0$ действует
|
||
группа $O(q)={}_EO(q_0)$.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\subsection{Многообразия Севери--Брауэра}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Рассмотрим $H^1 (F, \PGL_n)$.
|
||
|
||
Торсор $E\in h^1(F,\PGL_n)$ задается центральной простой алгеброй $A$
|
||
степени $n$:
|
||
$E = \Isom_{F\text{-}\categ{Alg}} (M_n, A)$. Напомним, что $\PGL_n=\Aut(M_n)$.
|
||
|
||
%Что такое $\mathbb{P}^{n-1}$?
|
||
|
||
Каждому вектору $v \in \mathbb{A}^n - \{ 0 \}$ соответствует правый
|
||
идеал $\{x\mid \im x\leq \left<v\right>\}$ в $M_n$. Множество всех
|
||
идеалов, получающихся таким образом~--- это в точности множество
|
||
правых идеалов размерности $n$.
|
||
|
||
%$\left<v\right> \rightsquigarrow \text{правый идеал в } M_n \{ x \mid
|
||
%\im x \subseteq \left<v\right> \}$.
|
||
|
||
${}_E\mathbb{P}^{n-1}$~--- Множество правых идеалов размерности $n$ в
|
||
$A$~--- \term{многообразие Севери--Брауэра} $\SB (A)$.
|
||
|
||
Уравнения:
|
||
\[ \SB (A) \dfn \{ W \subset A \mid W\cdot A \subseteq A \}. \]
|
||
|
||
Таким образом,
|
||
\[ \SB (A) \hookrightarrow \Gr (n,A) = \Gr (n,n^2). \]
|
||
|
||
\[ \xymatrix{
|
||
A\times \SB(A) & A\times \Gr (n,n^2) \\
|
||
\left.\tau\right|_{\SB (A)}\ar[d]\ar@{^(->}[u] & \tau_n\ar[d]\ar@{^(->}[u] & W\ar[d] \\
|
||
\SB (A)\ar@{^(->}[r] & \Gr (n,n^2) & \{ w \}
|
||
} \]
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{lemma}
|
||
$\End_{\SB (A)} (J_A) \isom A$ (эндоморфизмы расслоения).
|
||
\end{lemma}
|
||
Поэтому два описания $H^1(F,\PGL_n)$~--- как алгебры Адзумайи и как
|
||
формы $\mathbb P^{n-1}$~--- эквивалентны.
|
||
|
||
\begin{proposition}
|
||
Подрасслоение $\left.\tau\right|_{\SB(A)}$ выдерживает правое
|
||
$A$-действие на $A\times \SB(A)$.
|
||
|
||
$J_A \dfn \left.\tau\right|_{\SB (A)}$.
|
||
\end{proposition}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
$\Gr (K,n)$ (линейные $k$-мерные подпространства в $\mathbb{A}^n$).
|
||
|
||
Если $U$~--- $k$-мерное подпространство в $\mathbb{A}^n$, то
|
||
$\{ x \mid \im x \subseteq U \}$~--- правый идеал в $M_n$ размерности
|
||
$kn$.
|
||
|
||
$\SB_k (A)$~--- обобщенное многообразие Севери--Брауэра~--- многообразие
|
||
правых идеалов размерности $k$.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
$\Gr (k,n) \isom \Gr (n-k, n)$ (напомним, что это не канонический
|
||
изоморфизм). Аналог этой двойственности: $\SB_k (A) \isom \SB_{n-k}
|
||
(A^{op})$.
|
||
|
||
\begin{proposition}
|
||
$\SB (A) (F) \ne \emptyset \Rightarrow A \isom M_n$.
|
||
|
||
$\SB_k (A) (F) \ne \emptyset \Rightarrow \ind A \mid k$.
|
||
\end{proposition}
|
||
|
||
(Напомним, что такое $\ind$. Для центральной простой алгебры $A$ имеем
|
||
$A \isom M_m (D)$, где $D$~--- тело. $m \cdot \deg D = n$. $\deg D \rdfn
|
||
\ind A$, где $\deg D \dfn \sqrt{\dim D}$.)
|
||
|
||
Скрученные формы $\mathbb{P}^{n-1}$~--- это скрученные формы
|
||
$M_n$. Имеем $\Aut (\mathbb{P}^{n-1}) = \PGL_n$.
|
||
|
||
Предположим $\fchar F \ne 2$.
|
||
|
||
$\Aut(q_0) = O(q_0)$.
|
||
|
||
$\Aut (Q_0)^+ = \PGO (q_0)$, где $Q_0$~--- квадрика $\{ q = 0 \}$.
|
||
|
||
$H^1 (F, \PGO (q_0))$~--- классы $(A,\sigma)$ изоморфности центральных
|
||
простых алгебр $A$ с ортогональной инволюцией $\sigma$.
|
||
|
||
|
||
\[ \{ \text{правые идеалы }I\text{ в }(A,\sigma)\text{ размерности }\deg A \mid \sigma (I) \cdot I = 0 \} \rdfn X_{(A,\sigma)} \hookrightarrow \SB(A). \]
|
||
|
||
При поднятии до $\overline{F}$ получаем:
|
||
\[ Q_{\sigma (q_{\overline{F}})} \hookrightarrow \mathbb{P}^{\deg A -
|
||
1}_{\overline{F}} = \SB (A) \otimes_F \overline{F}. \]
|
||
|
||
Вложение $X_{(A,\sigma)} \hookrightarrow \SB(A)$ есть аналог вложения
|
||
квадрики в проективное пространство.
|
||
|
||
% 05.03.2012
|
||
|
||
\section{Проективные однородные многообразия}
|
||
|
||
\subsection{Первые примеры}
|
||
|
||
Еще раз про аналогию с топологией:
|
||
|
||
$E\to X$~--- торсор на топологическом пространстве $X$, $G$ действует
|
||
на $E$. Существует покрытие $\{U_i\}$ пространства $X$ такое, что
|
||
\[\begin{xymatrix}{U_i\times G\isom E|_{U_i}\ar[r]\ar[d] & E \\
|
||
U_i\ar@{^(->}[r] & X}\end{xymatrix}\]
|
||
|
||
У нас: возьмем $X=\Spec K$. Пусть $E\to\Spec K$~--- торсор. Существует
|
||
расширение полей $L/K$ такое, что торсор $E_L\to\Spec L$ изоморфен
|
||
торсору $G_L\to\Spec L$.
|
||
|
||
Мы хотим описать $H^1(K,G)$. Стратегия: для торсора $E$ и (гладкого
|
||
проективного) $G$-многообразия $X$ мы определили ${}_EX$~---
|
||
${}_EG$-многообразие (снова гладкое проективное), которое называется
|
||
\emph{скрученной формой $X$}, то есть,
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $E_{\overline{K}}\isom
|
||
G_{\overline{K}}$ как $G_{\overline{K}}$-многообразие,
|
||
\item $({}_EG)_{\overline{K}}\isom G_{\overline{K}}$ как алгебраическая
|
||
группа,
|
||
\item $({}_EX)_{\overline{K}}\isom X_{\overline{K}}$ как
|
||
$G_{\overline{K}}$-многообразие.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Пусть $A\in H^1(K,\PGL_n)$; то есть, $A$~--- центральная простая
|
||
алгебра степени $n$. Положим $E=\Isom(M_n,A)$, $X=\mathbb P^{n-1}$,
|
||
$G=\PGL_n$. Тогда ${}_EG=\Aut(A)$, ${}_EX=\SB(A)$~--- многообразие
|
||
правых идеалов в $A$ размерности $n$. Заметим, что $\SB(A)(K)$ непусто
|
||
тогда и только тогда, когда $A\isom M_n$. Вообще, свойства многообразия
|
||
$\SB(A)$ отражают свойства исходного торсора.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Пусть $G=\O_n$, $q\in H_1(K,\O_n)$~--- невырожденная квадратичная
|
||
форма ранга $n$.
|
||
|
||
$E=\Isom(q_0,q)$, где $q_0$ расщепима (то есть, имеет
|
||
вид $\langle 1,-1\rangle\perp\dots\perp\langle 1,-1\rangle$ плюс,
|
||
возможно, слагаемое $\langle 1\rangle$).
|
||
|
||
$X=\{q_0=0\}$ в проективном смысле. Тогда $Q={}_EX=\{q=0\}$. Заметим,
|
||
что $Q(K)$ непусто тогда и только тогда, когда форма $q$ изотропна, то
|
||
есть, $q\isom\langle 1,-1\rangle\perp q'$. Этот факт остается верным
|
||
при любом расширении $L/K$: $Q(L)$ непусто тогда и только тогда, когда
|
||
форма $q_L$ изотропна.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{fact}
|
||
Пусть $q$ имеет вид $\lAngle a_1,\dots,a_k\rAngle=\la
|
||
1,-a_1\ra\otimes\dots\otimes\la 1,-a_k\ra$. Тогда
|
||
\begin{multline}
|
||
\text{
|
||
Форма $q_L$ изотропна тогда и только тогда, когда она расщепима (то
|
||
есть,} \\
|
||
\text{раскладывается в сумму форм вида $\la 1,-1\ra$).}\tag{*}
|
||
\end{multline}
|
||
Наоборот, если $\dim q$ четна и (*) выполнено для любого расширения
|
||
полей, то $q$ пфистерова с точностью до скаляра. Если же $\dim q$
|
||
нечетна, то $q\perp\la 1\ra$ пфистерова с точностью до скаляра.
|
||
\end{fact}
|
||
|
||
Таким образом, от торсора $E$ можно переходить к многообразию ${}_EX$
|
||
(и можно варьировать $X$), смотреть на его инварианты (в смысле
|
||
алгебраической геометрии) и получать отсюда информацию об инвариантах
|
||
торсора.
|
||
|
||
Пусть $X$~--- гладкое проективное многообразие. Мы ограничимся
|
||
случаем, когда $X$ \emph{однородное}, то есть, $G(\overline{K})$
|
||
действует на $X(\overline{K})$ транзитивно (заметим, что это означает,
|
||
что отображение $G\times X\to X\times X$, $(g,x)\mapsto (gx,x)$
|
||
сюръективно как пучок, а не в категорном смысле; категорное понятие
|
||
эпиморфизма не подходит для наших целей: например, отображение
|
||
$\Spec{\mathbb Q}\to\Spec{\mathbb Z}$ сюръективно в категории схем).
|
||
Неформально говоря, у $G$ на $X$ одна орбита.
|
||
Тогда $X$ называется \term{проективным однородным многообразием}.
|
||
|
||
Как строить проективные однородные многообразия? Пусть $G$~---
|
||
расщепимая группа, $V$~--- неприводимое представление (в положительной
|
||
характеристике нужно действовать осторожене). Рассмотрим $\mathbb
|
||
P(V)$~--- многообразие прямых в $V$, проходящих через $0$. У группы
|
||
$G$ есть ровно одна замкнутая орбита на $\mathbb P(V)$~--- это и есть
|
||
наше $X$. На самом деле, все проективные однородные многообразия так
|
||
получаются (но не обязательно единственным образом).
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
$G=\SL_n$ действует на $V=K^n$ (имеется в виду обычное, \emph{векторное}
|
||
представление). Пусть $u$, $v$~--- два вектора. Можно ли найти $g$
|
||
такое, что $\la gu\ra=\la v\ra$ (здесь через $\la
|
||
x\ra$ мы обозначаем прямую, натянутую на $x$)? Ответ~--- можно,
|
||
если $u$ и $v$ отличны от $0$. Значит, в $K^n$ есть две орбиты
|
||
действия группы $G$: $\{0\}$ и $\{v\mid v\neq 0\}$. После
|
||
проективизации в $\mathbb P(K^n)=\mathbb P^{n-1}$ остается только одна
|
||
орбита.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
$G=\SL_n$ действует на $V=\Lambda^k(K^n)$, $k=1,\dots,n-1$. На
|
||
неразложимых поливекторых орбит много, но на разложимых действие
|
||
транзитивно. Свойство <<быть разложимым>> определяется уравнениями
|
||
Плюккера. Орбита в $\mathbb P(\Lambda^k(K^N))$~--- это $\Gr(k,n)$.
|
||
|
||
Пусть, к примеру, $n=4$, $k=2$. Диаграмма Хассе весов нашего
|
||
представления выглядит так:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin,
|
||
aln/.style={above left=-2pt},
|
||
arn/.style={above right=-2pt},
|
||
bln/.style={below left=-2pt},
|
||
brn/.style={below right=-2pt},
|
||
every label/.style={above=2pt}]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.4, 1)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.4, -1)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(3.4, 0)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(4.8, 0)$);
|
||
\draw (1)--node[above] {$2$}(2);
|
||
\draw (2)--node[aln] {$1$}(3);
|
||
\draw (2)--node[bln] {$3$}(4);
|
||
\draw (3)--node[arn] {$3$}(5);
|
||
\draw (4)--node[brn] {$1$}(5);
|
||
\draw (5)--node[above] {$2$}(6);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
Разложимый тензор задается двумя векторами. Запишем их в базисе
|
||
$(e_1,e_2,e_3,e_3)$:
|
||
$(a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3+a_4e_4)\wedge(b_1e_1+b_2e_2+b_3e_3+b_4e_4)$. Обозначим
|
||
координату тензора $x$ при бивекторе $e_i\wedge e_j$ через
|
||
$x_{ij}$. Тогда разложимость $x$ равносильно обращению в $0$ выражения
|
||
$x_{12}x_{34}-x_{13}x_{24}+x_{14}x_{23}$. Это следует, например, из
|
||
соотношения на миноры матрицы
|
||
$\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3&a_4\\b_1&b_2&b_3&b_4\end{pmatrix}$.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\subsection{Параболические подгруппы}
|
||
Оказывается, любое $X$, являющееся орбитой в $\mathbb P(V)$, задается
|
||
квадратичными уравнениями в проективных координатах.
|
||
|
||
Пусть $v\in V$, $X=G\cdot\la v\ra$~--- орбита вектора
|
||
$v$. Тогда $\Stab_G(\la v\ra)=P$~--- параболическая подгруппа
|
||
в $G$. Проективное однородное многообразие задается подгруппой $P$ с
|
||
точностью до сопряженности.
|
||
|
||
Посмотрим, как тор $T$ в $G$ действует на вектор $v$. Из равенства
|
||
$T\la v\ra=\la v\ra$ следует, что найдется $\lambda\colon T\to\mathbb
|
||
G_m$ (\term{вес} неприводимого представления $V$) такое, что
|
||
$tv=\lambda(t)v$ для всех $t\in T$. Представление задается своим старшим весом
|
||
(точнее, орбитой веса относительно $W$, но в этой орбите есть
|
||
единственный доминантный вес). %???
|
||
% $v$~--- вектор старшего веса.
|
||
Пусть $\alpha_1,\dots,\alpha_l$~--- простые корни.
|
||
Рассмотрим базис $\alpha_1^\vee,\dots,\alpha_l^\vee$
|
||
в двойственном пространстве, где $\alpha_i^\vee$ определяется
|
||
равенством
|
||
$\alpha_i^\vee(\beta) = \frac{2(\alpha_i,\beta)}{(\alpha_i,\alpha_i)}$.
|
||
Пусть $\varpi_1,\dots,\varpi_l$~--- двойственный к нему базис.
|
||
Таким образом,
|
||
$\frac{2(\alpha_i,\varpi)}{(\alpha_i,\alpha_i)} = \delta_{ij}$.
|
||
Эти элементы $\varpi_1,\dots,\varpi_l$ называются
|
||
\term{фундаментальными весами}.
|
||
Вес $\lambda$ раскладывается по этому базису следущим образом:
|
||
$\lambda = \sum m_i\omega_i$.
|
||
После этого $X$ (и $P$) зависит только от того, какие из $m_i$ не равны $0$.
|
||
То есть, проективные однородные многообразия задаются подмножеством
|
||
вершин на диаграмме Дынкина, состоящим из тех вершин, для которых
|
||
$m_i\neq 0$.
|
||
Мы будем их обводить на картинке.
|
||
|
||
Например, картинка для проективного пространства такая:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (3p) at ($\sm*(3.3, 0)$);
|
||
\coordinate (d1) at ($\sm*(3.5, 0)$);
|
||
\coordinate (d2) at ($\sm*(3.7, 0)$);
|
||
\coordinate (d3) at ($\sm*(3.9, 0)$);
|
||
\coordinate (4m) at ($\sm*(4.1, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.6, 0)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(6.0, 0)$);
|
||
\node at (1) [below=3pt,font=\scriptsize] {$1$};
|
||
\node at (2) [below=3pt,font=\scriptsize] {$2$};
|
||
\node at (3) [below=3pt,font=\scriptsize] {$3$};
|
||
\node at (4) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n-2$};
|
||
\node at (5) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n-1$};
|
||
\draw (1)--(2);
|
||
\draw (2)--(3);
|
||
\draw (3)--(3p);
|
||
\draw (4m)--(4);
|
||
\draw (4)--(5);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\draw [black] (1) circle (5.0pt);
|
||
\foreach \point in
|
||
{d1,d2,d3}
|
||
{
|
||
\fill [black] (\point) circle (0.7pt);
|
||
}
|
||
\node (c) at ($\sm*(7.5, 0)$) {$\mathsf{A}_{n-1}$};
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
Это соответствует векторному представлению $V = V(\varpi_1)$ группы
|
||
$\SL_n$.
|
||
Вообще, если на диаграмме $\mathsf{A}_{n-1}$ обвести вершину с номером $k$,
|
||
получится $\Gr(k,n)$.
|
||
Есть еще, например, присоединенное представление: $\SL_n$ действует
|
||
на своей алгебре Ли $\Lie(\SL_n)$. Картинка для этого представления
|
||
такая:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (2p) at ($\sm*(1.9, 0)$);
|
||
\coordinate (d1) at ($\sm*(2.1, 0)$);
|
||
\coordinate (d2) at ($\sm*(2.3, 0)$);
|
||
\coordinate (d3) at ($\sm*(2.5, 0)$);
|
||
\coordinate (3m) at ($\sm*(2.7, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(3.2, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.6, 0)$);
|
||
\node at (1) [below=3pt,font=\scriptsize] {$1$};
|
||
\node at (2) [below=3pt,font=\scriptsize] {$2$};
|
||
\node at (3) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n-2$};
|
||
\node at (4) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n-1$};
|
||
\draw (1)--(2);
|
||
\draw (2)--(2p);
|
||
\draw (3m)--(3);
|
||
\draw (3)--(4);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\draw [black] (1) circle (5.0pt);
|
||
\draw [black] (4) circle (5.0pt);
|
||
\foreach \point in
|
||
{d1,d2,d3}
|
||
{
|
||
\fill [black] (\point) circle (0.7pt);
|
||
}
|
||
\node (c) at ($\sm*(6.1, 0)$) {$\mathsf{A}_{n-1}$};
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
Первая вершина соответствует $V$, последняя~--- $V^*$,
|
||
в итоге получаем $V^*\otimes V\isom \End(V)$.
|
||
|
||
Если обведена одна вершина ($V = V(\varpi_i)$), то $P$ называется
|
||
\term{максимальной} параболической.
|
||
Если все вершины обведены, то $P$ называется \term{борелевской}
|
||
(это минимальная среди параболических).
|
||
Любая гладкая замкнутая подгруппа, содержащая $B$, называется
|
||
\term{параболической} и получается таким образом: $B\leq P \leq G$.
|
||
|
||
Пусть теперь на диаграмме Дынкина системы $\mathsf{A}_{n-1}$ обведены
|
||
вершины с номерами $k_1,\dots,k_m$.
|
||
Полученное многообразие можно описать в терминах стандартного
|
||
представления $V = K^n$ группы $\SL_n$.
|
||
А именно,
|
||
\[
|
||
X = \{U_1\leq\dots\leq U_m\mid \dim U_i = k_i\}.
|
||
\]
|
||
Такое $X$ называется \term{многообразием флагов}.
|
||
При этом $\SL_n$ действует на $X$ транзитивно.
|
||
Заметим, что тензорное произведение
|
||
$V(\varpi_{k_1})\otimes\dots\otimes V(\varpi_{k_m}0$ уже не обязано
|
||
быть неприводимым, но можно взять кусок, соответствующий
|
||
весу $\varpi_{k_1} + \dots + \varpi_{k_m}$.
|
||
|
||
Так мы описали все однородные проективные многообразия для группы
|
||
$\SL_n$.
|
||
В общем случае (для произвольной $G$) иногда однородное проективное
|
||
многообразие называют \term{обобщенным флаговым многообразием}.
|
||
Его можно описать так:
|
||
\[
|
||
X = \{P'\leq G\mid P'\mbox{ сопряжена с }P\},
|
||
\]
|
||
где значок $P'\leq G$ означает, что $P'$~--- гладкая замкнутая подгруппа
|
||
в $G$.
|
||
Более точно,
|
||
\[
|
||
X(R) = \{P'\leq G_R \mid\mbox{существуют }S/R, g\in G(S):\; gP'g^{-1} = P\}.
|
||
\]
|
||
После подкрутки на торсор $E$ получаем
|
||
\[
|
||
{}_{E}X = \{P'\leq {}_{E}G\mid P'_{\ol{K}}\mbox{ сопряжена с }P_{\ol{K}}
|
||
\mbox{ внутри }({}_{E}G)_{\ol{K}} = G_{\ol{K}}\}.
|
||
\]
|
||
Обратите внимание, что в ${}_{E}G$ никакой $P$ может не оказаться.
|
||
|
||
Проективное однородное многообразие $X$ \term{изотропно},
|
||
если $X(K)\neq\emptyset$.
|
||
Сама группа ${}_{E}G$ называется \term{изотропной}, если для какого-то
|
||
проективного однородного многообразия ${}_{E}X$, отличного от точки,
|
||
${}_{E}X$ изотропно.
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Пусть $G = \PGL_n$.
|
||
Ее скрученная форма ${}_{E}G$ имеет вид $\Aut(A)$, а соответствующая
|
||
скрученная форма проективного пространства~--- $\SB(A)$.
|
||
Заметим, что у $\PGL_n$ (в отличие от $\SL_n$) нет векторного представления.
|
||
Почему?
|
||
Для начала поймем, откуда берется скрученная форма $\SL_n$.
|
||
Отображение определителя $\det\colon\GL_n\to\mathbb{G}_m$
|
||
скручивается в \emph{приведенную норму} (\emph{reduced norm})
|
||
\[
|
||
\Nrd\colon A^* = \GL_1(A) \to \mathbb{G}_m.
|
||
\]
|
||
Ядро этого отображения обозначается через
|
||
$\SL_1(A) = \{g\in A\mid\Nrd(g)=1\}$.
|
||
Например, $(\Nrd(x))^n = \det(y\mapsto xy)$.
|
||
|
||
Решетка корней содержится в решетке весов:
|
||
\[
|
||
\mathbb{Z}\alpha_1\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}\alpha_l
|
||
\leq
|
||
\mathbb{Z}\varpi\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}\varpi_l
|
||
\]
|
||
Диаграммы Дынкина классифицируют расщепимые полупростые группы с точностью
|
||
до изогении, а класс изоморфности внутри класса изогении задается
|
||
промежуточной решеткой между этими двумя (с точностью до внешних
|
||
автоморфизмов).
|
||
Минимальная решетка $\mathbb{Z}\alpha_1\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}\alpha_l$
|
||
соответствует присоединенной группе (без центра);
|
||
максимальная решетка $\mathbb{Z}\varpi_1\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}\varpi_l$
|
||
соответствует односвязной группе (у нее самый большой центр).
|
||
\end{example}
|
||
|
||
% 12.03.2012
|
||
|
||
\subsection{$\SO_{2n}$}
|
||
|
||
Посмотрим на однородные многообразия для $\SO_{2n}$.
|
||
Диаграмма Дынкина выглядит так:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (2p) at ($\sm*(1.9, 0)$);
|
||
\coordinate (d1) at ($\sm*(2.1, 0)$);
|
||
\coordinate (d2) at ($\sm*(2.3, 0)$);
|
||
\coordinate (d3) at ($\sm*(2.5, 0)$);
|
||
\coordinate (3m) at ($\sm*(2.7, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(3.2, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.6, 0)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(5.6, 1)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, -1)$);
|
||
\node at (1) [below=5pt,font=\scriptsize] {$1$};
|
||
\node at (4) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n-2$};
|
||
\node at (5) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n-1$};
|
||
\node at (6) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n$};
|
||
\draw (1)--(2);
|
||
\draw (2)--(2p);
|
||
\draw (3m)--(3);
|
||
\draw (3)--(4);
|
||
\draw (4)--(5);
|
||
\draw (4)--(6);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\foreach \point in
|
||
{d1,d2,d3}
|
||
{
|
||
\fill [black] (\point) circle (0.7pt);
|
||
}
|
||
\node (c) at ($\sm*(7.1, 0)$) {$\mathsf{D}_{n}$};
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
Весу $\varpi_1$ отвечает квадрика $\{q(v)=0\}$, что соответствует естественному
|
||
представлению $V$ группы $\SO_{2n}$.
|
||
Весу $\varpi_2$~--- представление $\Lambda^2 V$.
|
||
Соответствующее многообразие~--- множество вполне изотропных плоскостей
|
||
$\la u,v\ra$, то есть, таких, что $q|_{\la u,v\ra}=0$.
|
||
Это условие можно описать так: $q(u) = q(v) = f(u,v) = 0$, где $f$~---
|
||
поляризация формы $q$: $f(u,v) = q(u+v) - q(u) - q(v)$.
|
||
Аналогично (с помощью вполне изотропных подпространств различной размерности)
|
||
описываются случаи $\varpi_3,\dots,\varpi_{n-2}$.
|
||
|
||
Весам $\varpi_{n-1}$ и $\varpi_n$ соответствуют вполне изотропные подпространства
|
||
размерности $n$.
|
||
Дело в том, что многообразие вполне изотропных подпространств размерности $n$
|
||
имеет две компоненты связности. Для того, чтобы объяснить этот эффект,
|
||
выберем базис $e_1,\dots,e_n,e_{-n},\dots,e_{-1}$, относительно
|
||
которого матрица Грама формы $q$ имеет вид
|
||
\[
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0 & 0 & \dots & 0 & 1\\
|
||
0 & 0 & \dots & 1 & 0\\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
|
||
0 & 1 & \dots & 0 & 0\\
|
||
1 & 0 & \dots & 0 & 0
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\]
|
||
Оказывается, подпространства $\la e_1,\dots,e_{n-1},e_n\ra$
|
||
и $\la e_1,\dots,e_{n-1},e_{-n}\ra$ вполне изотропны, но не переводятся
|
||
друг в друга действием $\SO_{2n}$.
|
||
Первое соответствует весу $\varpi_{n-1}$, а второе~--- весу $\varpi_n$.
|
||
Куда же делось многообразие вполне изотропных подпространств размерности $n-1$?
|
||
Оно не максимальное однородное (соответствует не максимальной параболической
|
||
подгруппе), и соответствует весу $\varpi_{n-1} + \varpi_n$.
|
||
Действительно,
|
||
\[
|
||
\Stab(\la e_1,\dots,e_{n-1}\ra) =
|
||
\Stab(\la e_1,\dots,e_{n-1},e_n\ra) \cap
|
||
\Stab(\la e_1,\dots,e_{n-1},e_{-n}\ra).
|
||
\]
|
||
Вообще, немаксимальные многообразия соответствуют флагам.
|
||
Посмотрим на вес $\varpi_{i_1} + \dots + \varpi_{i_k}$.
|
||
Флаг для него~--- это набор подпространств таких размерностей:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (2p) at ($\sm*(1.9, 0)$);
|
||
\coordinate (d1) at ($\sm*(2.1, 0)$);
|
||
\coordinate (d2) at ($\sm*(2.3, 0)$);
|
||
\coordinate (d3) at ($\sm*(2.5, 0)$);
|
||
\coordinate (3m) at ($\sm*(2.7, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(3.2, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.6, 0)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(5.6, 1)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, -1)$);
|
||
\node at (1) [below=5pt,font=\scriptsize] {$1$};
|
||
\node at (2) [below=5pt,font=\scriptsize] {$2$};
|
||
\node at (3) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n-3$};
|
||
\node at (4) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n-2$};
|
||
\node at (5) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n$};
|
||
\node at (6) [below=5pt,font=\scriptsize] {$n$};
|
||
\draw (1)--(2);
|
||
\draw (2)--(2p);
|
||
\draw (3m)--(3);
|
||
\draw (3)--(4);
|
||
\draw (4)--(5);
|
||
\draw (4)--(6);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\foreach \point in
|
||
{d1,d2,d3}
|
||
{
|
||
\fill [black] (\point) circle (0.7pt);
|
||
}
|
||
\node (c) at ($\sm*(7.1, 0)$) {$\mathsf{D}_{n}$};
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
с правильной инцидентностью.
|
||
А именно, для каждой из двух цепочек от первой вершины до двух последних
|
||
инцидентность~--- это включение, а для весов $\varpi_{n-1}$ и $\varpi_n$
|
||
инцидентность означает, что пересечение соответствующих подпространств
|
||
размерности $n$ имеет размерность $n-1$.
|
||
|
||
Перед нами пример \emph{геометрии}.
|
||
Гораздо более простой пример~--- случай системы $\mathsf{A}_2$.
|
||
Там всего два фундаментальных веса:
|
||
$\varpi_1$ соответствует точкам (и параболическим подгруппам типа $\varpi_1$),
|
||
а $\varpi_2$~--- прямым (и параболическим подгруппам типа $\varpi_2$).
|
||
Более подробно, посмотрим на трехмерное векторное пространство $F^3$.
|
||
Ненулевой вектор $u$ порождает одномерное подпространство
|
||
$\la u\ra\subseteq F^3$, и его стабилизатор
|
||
$\Stab_{\SL_3}(\la u\ra)$~--- это параболическая подгруппа типа $\varpi_1$:
|
||
\[
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
* & * & * \\ 0 & * & * \\ 0 & * & *
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\mbox{ --- стабилизатор вектора }
|
||
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.
|
||
\]
|
||
Для описания прямых можно воспользоваться двойственностью и перейти
|
||
к пространству $(F^3)^*$.
|
||
Ненулевой ковектор $\ph\in(F^3)^*$ порождает одномерное подпространство
|
||
$\la\ph\ra\subseteq (F^3)^*$, и его стабилизатор
|
||
$\Stab_{\SL_3}(\la \ph \ra)$~--- это параболическая подгруппа типа
|
||
$\varpi_2$:
|
||
\[
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
* & * & * \\ * & * & * \\ 0 & 0 & *
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\mbox{ --- стабилизатор ковектора }
|
||
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
|
||
\]
|
||
Отношение инцидентности между ними такое:
|
||
точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда $\ph(u) = 0$.
|
||
В терминах параболических подгрупп:
|
||
$\Stab(\la u\la) \cap \Stab(\la \ph \ra)$ содержит борелевскую подгруппу
|
||
(то есть, параболическую подгруппу типа $\varpi_1 + \varpi_2$).
|
||
|
||
Если мы теперь посмотрим на геометрию, заданную абстрактными аксиомами
|
||
проективной плоскости (с аксиомой Дезарга, обеспечивающей ассоциативность,
|
||
но без аксиомы Паппа, обеспечивающей коммутативность),
|
||
мы получим группу $\SL_1(A)$, где $A$~--- центральная простая алгебра
|
||
степени $3$.
|
||
|
||
\subsection{Вычисление колец Чжоу}\label{ssect:chow-map-definition}
|
||
|
||
Пусть $E \in H^1 (F, G)$, и задано однородное проективное $G$-многообразие $X$.
|
||
Рассмотрим скрученное многообразие ${}_E X$; нас интересуют инварианты этого
|
||
многообразия в смысле алгебраической геометрии.
|
||
Например, $\CH^*({}_E X)$.
|
||
|
||
Вложение поля $F$ в его алгебраическое замыкание $\ol{F}$ дает морфизм
|
||
схем $\Spec\ol{F} \to \Spec F$.
|
||
Пулбэком получается многообразие $X_{\ol{F}}$:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
X_{\ol{F}} \arrow{r} \arrow{d} & X \arrow{d} \\
|
||
\Spec\ol{F} \arrow{r} & \Spec F
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
Отсюда получаем гомоморфизм
|
||
\[
|
||
\CH^*({}_{E}X) \to \CH^*(({}_{E}X)_{\ol{F}}) = \CH^*(X_{\ol{F}}).
|
||
\]
|
||
Нас интересует образ этого гомоморфизма: кручение содержится в его ядре,
|
||
за счет чего легче жить.
|
||
Первый шаг~--- вычисление $\CH^*(X_{\ol{F}})$.
|
||
|
||
\subsection{Пример: проективное пространство}\label{ssect:chow-ring-of-pn}
|
||
|
||
\begin{example}\label{example:projective-space}
|
||
Рассмотрим $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n$ с диагональным действием
|
||
$\SL_{n+1}$.
|
||
Это действие не транзитивно: есть диагональ $\mathbb{P}^n$.
|
||
Как выглядит дополнение к диагонали?
|
||
Мы утверждаем, что оно расслаивается над $\Gr(1,2;n+1)$ со слоем
|
||
$\mathbb{A}^1$.
|
||
Здесь $\Gr(1,2;n+1)$~--- многообразие флагов, состоящих из прямой и плоскости,
|
||
в $(n+1)$-мерном пространстве.
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
|
||
\mathbb{P}^n \arrow[left hook->]{ll} \\
|
||
& \Gr(1,2;n+1)
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
Это расслоение выглядит так: пара
|
||
$(\la u\ra, \la v\ra)\in\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n$
|
||
отправляется во флаг $\la u\ra \leq \la u,v\ra$.
|
||
Прообраз флага при этом~--- это многообразие способов дополнить прямую
|
||
до плоскости, то есть, $\mathbb{P}^1 \setminus \mathbb{P}^0 = \mathbb{A}^1$.
|
||
Более строго, нужно говорить про расслоения на $\Gr(1,2;n+1)$:
|
||
есть двумерное векторное расслоение $\tau_2$, сопоставляющее
|
||
флагу $\la u\ra \leq \la u,v\ra$ плоскость $\la u,v\ra$,
|
||
и есть одномерное векторное расслоение $\tau_1$, сопоставляющее
|
||
флагу $\la u\ra \leq \la u,v\ra$ прямую $\la u\ra$.
|
||
|
||
Теперь зафиксируем в этом описании $u$, то есть, возьмем слой всей
|
||
картинки над точкой в первом сомножителе $\mathbb{P}^n$.
|
||
Получим картинку
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
\mathbb{P}^n & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
|
||
\pt \arrow[left hook->]{ll} \\
|
||
& \Gr(1;n)
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
Заметим, что $\Gr(1,n) = \mathbb{P}^{n-1}$.
|
||
Поэтому можно написать точную последовательность локализации:
|
||
\[
|
||
\CH^{*-n}(\pt) \to \CH^*(\mathbb{P}^n) \to \CH^*(\mathbb{P}^{n-1}) \to 0.
|
||
\]
|
||
Средняя стрелка является гомоморфизмом колец, а первый член почти всегда
|
||
равен нулю.
|
||
Поэтому
|
||
\[
|
||
\CH^i(\mathbb{P}^n) = \begin{cases}
|
||
\CH^i(\mathbb{P}^{n-1}), & i < n,\\
|
||
\mathbb{Z}, & i = n,\\
|
||
0, & i > n.
|
||
\end{cases}
|
||
\]
|
||
По индукции получаем, что у $\CH^*(\mathbb{P}^n)$ в каждой размерности
|
||
от $0$ до $n$ стоит одна копия $\mathbb{Z}$.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{example}\label{example:projective-space-filtration}
|
||
Опишем другой способ.
|
||
Пусть $\dim(V) = n+1$.
|
||
Рассмотрим действие группы $\SL(V)$ (или $\PGL(V)$)
|
||
на $\mathbb{P}(V^*) \times \mathbb{P}(V)$
|
||
(соответствующее весу $\varpi_1 + \varpi_n$).
|
||
Там имеется подмногообразие $\{\ph(u) = 0\}$:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
\mathbb{P}(V^*) \times \mathbb{P}(V)
|
||
& \arrow{d}{\mathbb{A}^n}
|
||
& \{\ph(u) = 0\}\arrow[left hook->]{ll}\\
|
||
& \mathbb{P}(V^*)
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
Зафиксировав $\ph$, получаем
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
\mathbb{P}^n
|
||
& \arrow{d}{\mathbb{A}^n}
|
||
& \mathbb{P}^{n-1} \arrow[left hook->]{ll}\\
|
||
& \pt
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
Значит, имеется следующая точная последовательность локализации:
|
||
\[
|
||
\CH^{*-1}(\mathbb{P}^{n-1}) \to \CH^*(\mathbb{P}^n) \to \CH^*(\pt) \to 0.
|
||
\]
|
||
Вычисление по индукции приводит к тому же результату, что и
|
||
в предыдущем примере.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{fact}
|
||
Если $Z\subseteq X$~--- замкнутое подмногообразие,
|
||
и $U = X\setminus Z$, имеется точная последовательность локализации
|
||
\[
|
||
\CH^{* - \codim_{X}Z} \to \CH^*(X) \to \CH^*(U) \to 0,
|
||
\]
|
||
где первое отображение~--- push-forward, а второе~--- pull-back
|
||
(и является гомоморфизмом колец).
|
||
\end{fact}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Тот же результат можно получить и прямым вычислением:
|
||
понять, что компонента кольца Чжоу коразмерности $i$
|
||
порождается классом подпространства $[\mathbb{P}^{n-i}]$,
|
||
причем $[\mathbb{P}^n] = 1$.
|
||
Кроме этого,
|
||
\[
|
||
[\mathbb{P}^{n-1}]^i = \begin{cases}
|
||
[\mathbb{P}^{n-i}], & i \leq n,\\
|
||
0, & i > n.
|
||
\end{cases}
|
||
\]
|
||
Например, выбрав на $\mathbb{P}^n$ однородные координаты
|
||
$[x_0:\dots:x_n]$, можно взять $\mathbb{P}^{n-1} = \{x_0=0\}$,
|
||
другое $\mathbb{P}^{n-1} = \{x_1 = 0\}$ и обнаружить,
|
||
что их пересечение равно $\{x_0 = x_1 = 0\} = \mathbb{P}^{n-2}$.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
По сути, в примере~\ref{example:projective-space-filtration}
|
||
мы нарисовали фильтрацию
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
\mathbb{P}^n
|
||
& \mathbb{P}^{n-1} \arrow[left hook->]{l}{\mathbb{A}^n}
|
||
& \dots \arrow[left hook->]{l}{\mathbb{A}^{n-1}}
|
||
& \pt \arrow[left hook->]{l}{\mathbb{A}^1}
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
Вообще, если у многообразия $X$ существует фильтрация замкнутыми
|
||
подмногообразиями $S\supseteq X_1\supseteq X_2\supseteq\dots$
|
||
такая, что $X_i\setminus X_{i+1} = \coprod\mathbb{A}^{k_i}$,
|
||
то $X$ называется \term{клеточным}.
|
||
В этом случае
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item все $\CH^i$~--- свободные конечно порожденные абелевы группы (их ранг
|
||
равен количеству клеток в соответствующей разности);
|
||
\item $\CH(X)_i\isom \CH(X_L)_i$ для любого расширения $L/F$.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\subsection{Пример: многообразие Севери--Брауэра}
|
||
|
||
Перейдем теперь к $\SB(D)$, где $D$~--- тело, $\ind D = n+1$.
|
||
Это скрученная форма $\mathbb{P}^n$: $\SB(D) = {}_{E}\mathbb{P}^n$.
|
||
В разделе~\ref{ssect:chow-map-definition} мы построили отображение
|
||
\[
|
||
\CH^*(\SB(D)) \to \CH^*(\mathbb{P}^n_{\ol{F}}).
|
||
\]
|
||
Циклы из его образа называются \term{рациональными}
|
||
(по отношению к скручивающему торсору $E$).
|
||
В разделе~\ref{ssect:chow-ring-of-pn} мы вычислили правую часть:
|
||
там стоит копия $\mathbb{Z}$ в каждой компоненте с номерами от $0$ до $n$.
|
||
Образующая компоненты коразмерности $0$ всегда оказывается в образе.
|
||
|
||
Предположим, что класс $[\pt]$ оказался рационален.
|
||
Это означает, что есть конечные (сепарабельные) расширения
|
||
$L_1,\dots,L_k$ такие, что
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item над каждым $L_i$ наше многообразие имеет рациональную точку;
|
||
\item $\gcd_i([L_i:F]) = 1$.
|
||
\end{itemize}
|
||
Заметим, что первое условие равносильно тому, что
|
||
$[D_{L_i}]=0$ в $\Br(L_i) = 0$.
|
||
Применим отображение трансфера $\Br(L_i) \to \Br(F)$.
|
||
Получим, что $[L_i:F]\cdot [D]=0$ в $\Br(F)$ для всех $i$.
|
||
Из этого (а также из второго условия)
|
||
следует, что $[D] = 0$ в $\Br(F)$.
|
||
|
||
\subsection{Пример: квадрика}\label{ssect:quadric}
|
||
|
||
Рассмотрим квадрику $Q = \{q=0\}$.
|
||
В $Q\times Q = \{(\la u\ra, \la v\ra)$ есть подмножество $\{f(u,v)=0\}$,
|
||
а в нем~--- диагональ $\{\la u\ra = \la v\ra\}\isom Q$.
|
||
Получаем фильтрацию
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
Q\times Q & \arrow{d}{\mathbb{A}^{\dim Q}} &
|
||
\{f(u,v) = 0\} \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
|
||
Q.\arrow[left hook->]{ll}\\
|
||
& Q & & \OGr(1,2;f)
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
Здесь $\OGr(1,2;f)$ означает многообразие флагов, состоящих из
|
||
вполне изотропных подпространств вида $\la u\ra \leq \la u,v\ra$.
|
||
|
||
Расслоение $Q\times Q\setminus \{f(u,v)=0\} \to Q$
|
||
устроено так: пара $(\la u\ra, \la v\ra)$ отправляется
|
||
в $\la u\ra$.
|
||
Проверим, что слой изоморфен $\mathbb{A}^{\dim Q}$.
|
||
Пусть $u = e_1$.
|
||
Тогда наше дополнение имеет вид $\{f(e_1,v)\neq 0\}$.
|
||
Условие $f(e_1,v)\neq 0$ равносильно тому, что коэффициент у $v$
|
||
при базисном векторе $e_{-1}$ не равен $0$.
|
||
Поэтому можно читать, что он равен $1$.
|
||
Теперь все коэффициенты $v$, кроме тех, что стоят при $e_{1}$ и $e_{-1}$,
|
||
можно брать какими угодно, а коэффициент при $e_1$ определяется
|
||
однозначно из условия изотропности $q(v) = 0$.
|
||
Иначе говоря, если $\tau$~--- тавтологическое расслоение на $Q$,
|
||
рассмотрим $(\tau^{\perp})^*$.
|
||
Его слой над точкой $\la u\ra\in Q$ равен $(\la u\ra)^{\perp})^*$.
|
||
Вот нужный нам изоморфизм:
|
||
\begin{align*}
|
||
\mathbb{A}^{\dim Q} & \to
|
||
\mathbb{P}((\la u\ra^{\perp})^*) \setminus
|
||
\mathbb{P}(\{\ph\in(\la u\ra^{\perp})^*\mid \ph(u) = 0\},\\
|
||
v & \mapsto (\ph\colon w\mapsto f(v,w)).
|
||
\end{align*}
|
||
|
||
Расслоение $\{f(u,v)=0\} \setminus Q \to \OGr(1,2;f)$ устроено проще:
|
||
его слой равен
|
||
$\mathbb{P}(\tau_2) \setminus \mathbb{P}(\tau_1)\isom\mathbb{A}^1$,
|
||
как и в примере~\ref{example:projective-space}.
|
||
|
||
Теперь зафиксируем $u$; получим фильтрацию
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
Q & \arrow{d}{\mathbb{A}^{\dim Q}} &
|
||
\{f(u,v) = 0\} \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
|
||
\pt,\arrow[left hook->]{ll}\\
|
||
& \pt & & Q'
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
где $Q'$~--- квадрика размерности $\dim Q - 2$.
|
||
Получаем точные последовательности
|
||
\begin{gather*}
|
||
\CH^{*-1}(\{f(u,v)=0\}) \to \CH^*(Q) \to \CH^*(\pt) \to 0,\\
|
||
\CH^{*-\dim Q + 1}(\pt) \to \CH^*(\{f(u,v)=0\}) \to \CH^*(Q') \to 0.
|
||
\end{gather*}
|
||
Теперь при помощи индукции можно доказать следующее.
|
||
|
||
Пусть $\dim Q = n$ четно.
|
||
Тогда $\CH^i(Q)$~--- свободная абелева группа ранга $1$
|
||
для всех $i=0,\dots,n$, кроме $i= n/2$; $\CH^{n/2}(Q)\isom\mathbb Z^2$.
|
||
Обозначим за $h = [Q'']\in\CH^1(Q)$ класс подквадрики коразмерности $1$.
|
||
Это гиперплоское сечение $Q$ в общем положении.
|
||
Тогда $1$~--- образующая $\CH^0(Q)$
|
||
$h$~--- образующая $\CH^1(Q)$,
|
||
$h^2$~--- образующая $\CH^2(Q)$,\dots.
|
||
С другой стороны, $\pt$~--- образующая $\CH^n(Q)$,
|
||
$[\mathbb{P}^1]$~--- образующая $\CH^{n-1}(Q)$,
|
||
$[\mathbb{P}^2]$~--- образующая $\CH^{n-2}(Q)$,\dots.
|
||
Это классы изотропных подпространств соответствующих размерностей.
|
||
Наконец, $h^{n/2}$ является суммой двух образующих; в качестве
|
||
одной из них можно взять $[\mathbb{P}^{n/2}$.
|
||
|
||
Это можно увидеть в координатной записи:
|
||
$Q$ задается уравнением $x_1 y_1 + \dots + x_{n/2+1}y_{n/2+1} = 0$.
|
||
После этого $Q''$ задается уравнением $x_{n/2+1} - y_{n/2+1} = 0$
|
||
(это гиперплоское сечение, как и было обещано),
|
||
а следующие образующие задаются последовательным
|
||
наложением уравнений $x_{1} = 0$,
|
||
$x_{2} = 0$, и так далее.
|
||
Когда дойдем до коразмерности $n/2$,
|
||
получим два варианта: либо
|
||
\[ x_1 = \dots = x_{n/2+1} = 0, \]
|
||
либо
|
||
\[ x_1 = \dots = x_{n/2} = y_{n/2+1} = 0. \]
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Пусть $n=4$, то есть, мы имеем дело с $\mathsf{D}_3$.
|
||
Перед нами четырехмерная квадрика.
|
||
Ее уравнение выглядит так: $x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 = 0$.
|
||
Уравнения двух образующих в коразмерности $4/2=2$ выглядят так:
|
||
\begin{gather*}
|
||
x_1 = x_2 = x_3 = 0,\\
|
||
x_1 = x_2 = y_3 = 0.
|
||
\end{gather*}
|
||
Их пересечение имеет вид $x_1 = x_2 = x_3y_3 = 0$,
|
||
что равносильно $x_1 = x_2 = 0$.
|
||
Почему-то это условие равносильно $x_3 = y_3 = 0$.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
% 19.03.2012
|
||
|
||
\subsection{Нерасщепимая квадрика}
|
||
|
||
Что произойдет, если взять нерасщепимую квадрику?
|
||
Возьмем торсор $E\in H^1(F, O_{2n+2})$ и построим ${}_{E}Q$.
|
||
Как вычислить $\CH^*({}_{E}Q)$?
|
||
Более простой вопрос:
|
||
рассмотрим отображение
|
||
\[
|
||
\CH^*({}_{E}Q) \xrightarrow{\res} \CH^*(({}_{E}Q)_{\ol{F}}).
|
||
\]
|
||
Что можно сказать про образ этого отображения (то есть,
|
||
про рациональные циклы)?
|
||
Продолжим считать для простоты, что $n$ четно.
|
||
Мы знаем, что стоит в правой части: образующие
|
||
$1,h,h^2,\dots$ в коразмерностях $0,1,2,\dots,$ до середины,
|
||
образующие $[\pt],[\mathbb{P}^1],\mathbb{P}^2],\dots$
|
||
в коразмерностях $n,n-1,n-2,\dots$ до середины,
|
||
и две образующие $[\Pi_1],[\Pi_2]$ в коразмерности $n/2$.
|
||
При этом $h^{n/2} = [\Pi_1] + [\Pi_2]$.
|
||
Умножение выглядит так:
|
||
$h\cdot[\mathbb{P}^i] = [\mathbb{P}]^{i-1}$,
|
||
$h\cdot[\Pi_1] = h\cdot [\Pi_2] = [\mathbb{P}^{n/2}]$.
|
||
|
||
Во всяком случае, $h$ рационален: можно взять любую гладкую
|
||
подквадрику коразмерности $1$.
|
||
Пусть ${}_{E}Q$ задается уравнением $q=0$.
|
||
В случае расщепимой [четномерной] квадики это было уравнение
|
||
$x_1y_1 + \dots + x_{n/2+1}y_{n/2+1} = 0$,
|
||
и подквадрика выделялась дополнительным условием $x_{n/2+1} - y_{n/2+1}=0$.
|
||
В общем случае можно взять любой $v$ такой, что $q(v)\neq 0$,
|
||
и $q|_{\la v\ra^{\perp}}$ задает гладкую подквадрику коразмерности $1$.
|
||
|
||
\begin{theorem}[Springer]
|
||
Предположим, что $q$ \term{анизотропна}, то есть,
|
||
$q(v)\neq 0$ при $v\neq 0$.
|
||
Тогда класс $[\pt]$ не рационален.
|
||
\end{theorem}
|
||
|
||
Теорема доказывается так: класс $[\pt]$ рационален тогда и только тогда,
|
||
когда найдутся расширения $E_i/F$ такие, что
|
||
$\gcd([E_i:F]) = 1$, и над каждым $E_i$ квадрика
|
||
$q_{E_i}$ изотропна.
|
||
В частности, среди степеней расширений должна быть хотя бы одна нечетная,
|
||
и потому для некоторого $E/F$ с нечетным $[E:F]$ квадрика $q_E$
|
||
изотропна.
|
||
Но из этого следует, что $q$ изотропна (это, собственно, и есть
|
||
классическая теорема Спрингера).
|
||
|
||
Вот ответ на вопрос про образ: если $Q$ анизотропна,
|
||
то
|
||
\[
|
||
\im(\CH^k({}_{E}Q) \to \CH^k(({}_{E}Q)_{\ol{F}}))
|
||
= \begin{cases}
|
||
\CH^k(({}_{E}Q)_{\ol{F}}), & k < n/2, \\
|
||
2\cdot\CH^k(({}_{E}Q)_{\ol{F}}), & k > n/2, \\
|
||
2\cdot\mathbb{Z}[\Pi_1] + \mathbb{Z}([\Pi_1] - [\Pi_2]), & k = n/2
|
||
\end{cases} % Check the coefficients here!!
|
||
\]
|
||
Если $q$ \term{изотропна}, то есть существует ненулевой вектор $v$
|
||
такой, что $q(v) = 0$,
|
||
то можно выделить гиперболическую плоскость:
|
||
$q = \la 1,-1\ra \perp q'$.
|
||
Проитерируем этот процесс: получим
|
||
\[
|
||
q = k\cdot \la 1, -1\ra \perp q_{\an},
|
||
\]
|
||
где $q_{\an}$ и $k$ определены однозначно ($q_{\an}$~--- с точностью
|
||
до изометрии).
|
||
При этом $k$ называется \term{индексом Витта} формы $q$,
|
||
а $q_{\an}$~--- ее \term{анизотропной частью}.
|
||
|
||
Так вот, если индекс Витта нашей формы $q$ равен $k$,
|
||
то циклы $[\pt], [\mathbb{P}^1], \dots, [\mathbb{P}^{k-1}]$
|
||
рациональны.
|
||
Обратное тоже верно: если эти циклы рациональны, то индекс Витта
|
||
не меньше $k$.
|
||
|
||
Резюме: рациональные циклы на самой квадрике контролируют только
|
||
ее индекс Витта.
|
||
|
||
Посмотрим теперь на другое многообразие, связанное с торсором
|
||
$E\in H^1(F, O_{2n+2})$ (мы для удобства изменим нумерацию).
|
||
А именно, рассмотрим $\OGr(2,Q)$~--- многообразие вполне изотропных
|
||
плоскостей.
|
||
Мы реализовали $Q$ как $\{\la v\ra\mid q(v) = 0\}$.
|
||
Тогда $\OGr(2,Q) = \{\la u,v\ra\mid q(u) = q(v) = f(u,v) = 0\}$.
|
||
|
||
Чтобы добраться до этого многообразия,
|
||
положим $X = \{f(u,v)=0\}$
|
||
и рассмотрим фильтрацию из раздела~\ref{ssect:quadric}:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
Q\times Q & \arrow{d}{\mathbb{A}^{n}} &
|
||
\{f(u,v) = 0\} \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
|
||
\pt,\arrow[left hook->]{ll}\\
|
||
& Q & & \OGr(1,2;Q).
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
С одной стороны, $\OGr(1,2;Q)$~--- расслоение над $\OGr(2;Q)$ со слоем
|
||
$\mathbb{P}^1$.
|
||
С другой стороны, написанная фильтрация позволяет нам написать разложение
|
||
\[
|
||
\CH^*(Q\times Q) = \CH^{*-n}(Q)\oplus\CH^{*-n+1}(\OGr(1,2;Q))\oplus\CH^*(Q).
|
||
\]
|
||
Более того, морфизмы в левую части из слагаемых в правой части задаются
|
||
явным образом (с помощью пулбэков и пушфорвардов), и они
|
||
$O(q)$-эквивариантны.
|
||
|
||
\section{Мотивы Чжоу}
|
||
|
||
\subsection{Категория соответствий}\label{ssect:corr-category}
|
||
|
||
До сих пор мы смотрели на $\CH^*$ и на морфизмы вида
|
||
$\CH^*(X)\to\CH^*(\ol{X})$.
|
||
Посмотрим теперь на \term{мотив Чжоу} многообразия $X$.
|
||
|
||
Начнем с категории гладких проективных многообразий над $F$.
|
||
Что в ней плохо?
|
||
Например, то, что морфизмы нельзя складывать: она не аддитивна
|
||
(и тем более не абелева).
|
||
Каждому морфизму $f\colon X\to Y$ можно сопоставить
|
||
его график $\Gamma_f\subseteq X\times Y$
|
||
и получить $[\Gamma_f] \in \CH^*(X\times Y)$.
|
||
Элементы $\CH^*(X\times Y)$ уже можно складывать!
|
||
Поэтому в качестве промежуточного шага можно рассмотреть
|
||
\term{категорию соответствий} $\Cor_F$.
|
||
Ее объекты~--- гладкие проективные многообразия над $F$.
|
||
Морфизмы: $\Mor(X, Y) = \CH^{\dim Y}(X\times Y)$.
|
||
Роль тождественного морфизма играет класс диагонали.
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
В этой конструкции можно заменить $\CH$ на что-то другое,
|
||
где есть пулбэки и пушфорварды (они понадобятся нам ниже),
|
||
например, на другую теорию когомологий.
|
||
Если взять $K$-теорию~--- получим \emph{$K$-мотивы},
|
||
а не мотивы Чжоу).
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
Как определить композицию таких морфизмов?
|
||
Пусть $\alpha\in\CH^{\dim Y}(X\times Y)$, $\beta\in\CH^{\dim Z}(Y\times Z)$.
|
||
Рассмотрим диаграмму
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
& X\times Y\times Z \arrow{dl}[swap]{\pr_{XY}} \arrow{dr}{\pr_{YZ}}
|
||
\arrow{dd}{\pr_{XZ}} \\
|
||
X\times Y & & Y\times Z\\
|
||
& X\times Z
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
Из нее получается следующая диаграмма на уровне Чжоу:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
& \CH^*(X\times Y\times Z)
|
||
\arrow{dd}{(\pr_{XZ})_*} \\
|
||
\CH^{\dim Y}(X\times Y)\arrow{ur}{\pr_{XY}^*}
|
||
& & \CH^{\dim Z}(Y\times Z)\arrow{ul}{\pr_{YZ}^*}\\
|
||
& \CH^{*}(X\times Z)
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
Поэтому
|
||
$\pr_{XY}^*(\alpha)\cdot\pr_{YZ}^*(\beta)
|
||
\in\CH^{\dim Y + \dim Z}(X\times Y\times Z))$, и
|
||
мы можем определить
|
||
\[
|
||
\beta\circ\alpha = (\pr_{XZ})_*(\pr_{XY}^*(\alpha)\cdot\pr_{YZ}^*(\beta))
|
||
\]
|
||
Это произведение имеет характер свертки.
|
||
Например, можно взять в качестве $X,Y,Z$ метрические пространства,
|
||
а в качестве морфизмов~--- ядерные операторы,
|
||
и получится свертка.
|
||
Или в качестве $X,Y,Z$~--- конечные множества, а в качестве морфизмов~---
|
||
матрицы, и тогда получится произведение матриц.
|
||
|
||
\subsection{Карубизация}
|
||
|
||
Итак, в категории соответствий $\Cor_F$ морфизмы уже можно складывать:
|
||
это аддитивная категория.
|
||
Заметим, что в ней есть и прямые сумммы
|
||
($X\oplus Y = X\coprod Y$), и произведения ($X\otimes Y = X\times Y$).
|
||
Но эта категория не абелева (и даже не псевдоабелева).
|
||
Напомним, что категория называется \term{псевдоабелевой}, если
|
||
у любого проектора есть образ (в категорном смысле).
|
||
То есть, если $p\colon X\to X$~--- морфизм, для которого $p^2=p$,
|
||
то $X = X_1\oplus X_2$, причем $p$~--- проекция на $X_1$.
|
||
|
||
Есть стандартная процедура, как из аддитивной категории получить
|
||
псевдоабелеву: \term{пополнение по Каруби} (\term{карубизация}).
|
||
Таким образом по $\Cor_F$ строится
|
||
\term{категория мотивов Гротендика--Чжоу} $\mathcal{M}$.
|
||
Ее объекты~--- пары $(X,p)$, где $p\colon X\to X$~--- идемпотент.
|
||
Неформально говоря, эта пара символизирует <<образ>> морфизма $p$
|
||
(которого может не быть в исходной категории).
|
||
Морфизмы определяются так:
|
||
\[
|
||
\Mor((X,p),(Y,q)) = q\circ\Mor(X,Y)\circ p.
|
||
\]
|
||
Есть функтор $\Cor\to\mathcal{M}$, $X\mapsto (X,\id_X)$.
|
||
Для многообразия $X$ объект $M(X) = (X,\id_X)$ называется
|
||
\term{мотивом $X$}.
|
||
На самом деле, нужно писать $\Cor_{\operatorname{rat},\operatorname{eff}}$
|
||
вместо $\Cor$, и $\operatorname{Chow}^{\operatorname{eff}}$ вместо
|
||
$\mathcal{M}$.
|
||
Мы получили функторы
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
\operatorname{SmProj}/F \arrow{r} \arrow[bend right=15, swap]{rr}{M}
|
||
& \Cor_{\operatorname{rat},\operatorname{eff}}(F) \arrow{r}
|
||
& \operatorname{Chow}^{\operatorname{eff}}(F),
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
где $M$~--- функтор <<взятия мотива>>.
|
||
При этом $M(X\coprod Y) = M(X) \oplus M(Y)$,
|
||
$M(X\times Y) = M(X)\otimes M(Y)$.
|
||
|
||
\subsection{Мотив проективной прямой}
|
||
|
||
Попробуем <<посчитать>> мотив проективной прямой $M(\mathbb{P}^1)$.
|
||
Напомним, что у $\CH^(\mathbb{P}^1)$ стоит $\mathbb{Z}$ в коразмерностях
|
||
$0$ (с образующей $1$) и $1$ (с образующей $[\pt]$).
|
||
Рассмотрим вложение $i\colon \pt\to \mathbb{P}^1$
|
||
и проекцию $\pi\colon\mathbb{P}^1\to\pt$.
|
||
Композиция $\pi\circ i \colon \pt \to \mathbb{P}^1 \to \pt$
|
||
тождественна, поэтому $p = i\circ\pi$ является проектором на $\mathbb{P}^1$.
|
||
Это идемпотент, отправляющий все в точку.
|
||
Поэтому в категории мотивов
|
||
$M(\mathbb{P}^1) = M(\pt) \oplus (\mathbb{P}^1, 1 - [p])$.
|
||
Слагаемое $(\mathbb{P}^1, 1 - [p])$ обозначается через $\mathbb{L}$
|
||
и называется \term{мотивом Лефшеца}.
|
||
Это аналог аффинной прямой в категории мотивов.
|
||
Оказывается, мотив Лефшеца неразложим.
|
||
|
||
Мотив точки часто обозначается через $\mathbb Z = M(\pt)$;
|
||
он играет роль нейтрального объекта относительно $\otimes$.
|
||
При этом мотив Лефшеца $\mathbb{L}$ обозначается
|
||
через $\mathbb{Z}(1)[2] = \mathbb{Z}\{1\}$.
|
||
Тензорные степени мотива Лефшеца обозначаются так:
|
||
$L^{\otimes k} = \mathbb{Z}(k)[2k] = \mathbb{Z}\{k\}$.
|
||
Это в некотором смысле <<мотив>> $k$-мерного аффинного пространства.
|
||
|
||
\subsection{Представимость функтора Чжоу}
|
||
|
||
Часто удается разложить мотив многообразия $X$ в прямую сумму вида
|
||
$M(X) = \bigoplus M(Y_i)\otimes\mathbb{L}^{\otimes k_i}$,
|
||
где $Y_i$~--- какие-то другие многообразия.
|
||
Поэтому удобно обозначение
|
||
$M(Y)\otimes\mathbb{L}^{\otimes k} = M(Y)(k)[2k] = M(Y)\{k\}$.
|
||
|
||
Что дает такого рода разложение?
|
||
\begin{fact}
|
||
Пусть
|
||
$M(X) = \bigoplus M(Y_i)\otimes\mathbb{L}^{\otimes k_i}$.
|
||
Тогда
|
||
$\CH^n(X) = \bigoplus\CH^{n-k_i}(Y_i)$.
|
||
\end{fact}
|
||
Например, из разложения $M(\mathbb{P}^1) = M(\pt)\otimes M(\pt)\{1\}$
|
||
следует, что
|
||
\begin{align*}
|
||
\CH^0(\mathbb{P}^1) &= \CH^0(\pt) = \mathbb{Z},\\
|
||
\CH^1(\mathbb{P}^1) &= \CH^1(\pt)\oplus\CH^0(\pt) = \mathbb{Z}.
|
||
\end{align*}
|
||
Вообще, $\CH^n(X) = \Mor(X,\mathbb{L}^{\otimes n})$
|
||
и $\CH_n(X) = \Mor(\mathbb{L}^{\otimes n}, X)$,
|
||
то есть, $\CH$~--- представимый функтор в категории мотивов,
|
||
а $\mathbb{L}$ играет роль пространства Эйленберга--Маклейна.
|
||
|
||
Умножение в $\CH^*$ тоже происходит из категории мотивов.
|
||
Пусть $\alpha\in\CH^k(X)$, $\beta\in\CH^n(X)$, то есть
|
||
$\alpha\colon M(X) \to \mathbb{L}^{\otimes k}$,
|
||
$\beta\colon M(X) \to \mathbb{L}^{\otimes n}$.
|
||
Перемножая эти отображения, получаем
|
||
\[
|
||
\alpha\otimes\beta \colon M(X)\otimes M(X) \to
|
||
\mathbb{L}^{\otimes k} \otimes \mathbb{L}^{\otimes n}.
|
||
\]
|
||
Правая часть изоморфна $\mathbb{L}^{\otimes(k+n)}$.
|
||
Взяв композицию с морфизмом $M(\Delta)\colon M(X) \to M(X\times X)$,
|
||
получаем $\alpha\cup\beta\colon M(X) \to \mathbb{L}^{\otimes(k+n)}$.
|
||
|
||
\subsection{Теорема Карпенко}
|
||
\begin{theorem}[Карпенко, 2000]\label{thm:karpenko}
|
||
Пусть дана фильтрация многообразия $X$ замкнутыми (не обязательно гладкими)
|
||
подмножествами
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}[column sep=1.2em]
|
||
X = X_0 & \arrow{d}{\mathbb{A}^{k_0}} &
|
||
X_1 \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^{k_1}} &
|
||
X_2 \arrow[left hook->]{ll} & & \dots \arrow[left hook->]{ll} & &
|
||
X_n \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^{k_n}} &
|
||
X_{n+1} = \emptyset. \arrow[left hook->]{ll} \\
|
||
& Y_0 & & Y_1 & & & \dots & & & Y_n
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
Вертикальные стрелки означают, что для каждого $i=0,\dots,n$
|
||
задан плоский морфизм $X_i\setminus X_{i+1} \to Y_i$,
|
||
слои которого~--- аффинные пространства $\mathbb{A}^{k_i}$.
|
||
|
||
Тогда $M(X) = \bigoplus M(Y_i)\{k_i\}$
|
||
и, кроме того,
|
||
$M(X) = \bigoplus M(Y_i)\{\dim X - \dim Y_i - k_i\}$.
|
||
В частности, имеется функториальный (по $Z$)
|
||
изоморфизм $\CH^*(X\times Z) \isom \bigoplus\CH^{*-k_i}(Y_i\times Z)$.
|
||
\end{theorem}
|
||
|
||
Фильтрация из теоремы~\ref{thm:karpenko} называется
|
||
\term{относительным клеточным разложением}.
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Фильтрация
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
\mathbb{P}^1 & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} & \pt\arrow[left hook->]{ll}\\
|
||
& \pt
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
приводит к разложению $M(\pt) \oplus M(\pt)\{1\}$.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Фильтрация
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
Q\times Q & \arrow{d}{\mathbb{A}^{\dim Q}} &
|
||
\{f(u,v) = 0\} \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
|
||
Q\arrow[left hook->]{ll}\\
|
||
& Q & & \OGr(1,2;f)
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
из раздела~\ref{ssect:quadric}
|
||
приводит к разложению
|
||
\[
|
||
M(Q\times Q) = M(Q) \oplus M(\OGr(1,2;Q))\{1\}\oplus M(Q)\{\dim Q\}.
|
||
\]
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Пусть на квадрике $Q$ есть рациональная точка (то есть, форма $q$
|
||
изотропна).
|
||
Тогда $q = \la 1,-1\ra \perp q'$, и есть фильтрация
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
Q & \arrow{d}{\mathbb{A}^{\dim Q}} &
|
||
X' \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^1} &
|
||
\pt,\arrow[left hook->]{ll}\\
|
||
& \pt & & Q'
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
где $Q' = \{q'=0\}$.
|
||
Получаем разложение
|
||
\[
|
||
M(Q) = M(\pt) \oplus M(Q')\{1\} \oplus M(\pt)\{\dim Q\}.
|
||
\]
|
||
На картинке это выглядит так:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (2p) at ($\sm*(1.9, 0)$);
|
||
\coordinate (d1) at ($\sm*(2.1, 0)$);
|
||
\coordinate (d2) at ($\sm*(2.3, 0)$);
|
||
\coordinate (d3) at ($\sm*(2.5, 0)$);
|
||
\coordinate (3m) at ($\sm*(2.7, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(3.2, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 1)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, -1)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.2, 0)$);
|
||
\coordinate (6p) at ($\sm*(5.7, 0)$);
|
||
\coordinate (e1) at ($\sm*(5.9, 0)$);
|
||
\coordinate (e2) at ($\sm*(6.1, 0)$);
|
||
\coordinate (e3) at ($\sm*(6.3, 0)$);
|
||
\coordinate (7m) at ($\sm*(6.5, 0)$);
|
||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||
\coordinate (8) at ($\sm*(8.4, 0)$);
|
||
\draw (1)--(2);
|
||
\draw (2)--(2p);
|
||
\draw (3m)--(3);
|
||
\draw (3)--(4);
|
||
\draw (3)--(5);
|
||
\draw (4)--(6);
|
||
\draw (5)--(6);
|
||
\draw (6)--(6p);
|
||
\draw (7m)--(7);
|
||
\draw (7)--(8);
|
||
\draw[dotted] ($\sm*(1, 1.3)$)--($\sm*(7.4, 1.3)$)--($\sm*(7.4,-1.3)$)
|
||
--($\sm*(1, -1.3)$)--($\sm*(1, 1.3)$);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6,7,8}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\draw [black] (1) circle (5.0pt);
|
||
\draw [black] (8) circle (5.0pt);
|
||
\foreach \point in
|
||
{d1,d2,d3,e1,e2,e3}
|
||
{
|
||
\fill [black] (\point) circle (0.7pt);
|
||
}
|
||
\node at (1) [below=3pt,font=\scriptsize] {$1$};
|
||
\node at (8) [below=3pt,font=\scriptsize] {$[\pt]$};
|
||
\draw [|->] ($\sm*(0, -1)$) --node[below=3pt, font=\scriptsize] {$1$}
|
||
($\sm*(1.4, -1)$);
|
||
\draw [|->] ($\sm*(0, -2)$) --node[below=3pt, font=\scriptsize] {$\dim Q$}
|
||
($\sm*(8.4, -2)$);
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
Обратите внимание, что на картинке выделен мотив подквадрики $Q'$,
|
||
который сдвигается на $1$.
|
||
Кроме того, мотив точки (справа) сдвигается на $\dim Q$.
|
||
Иными словами, у нас появились проекторы
|
||
$1\times [\pt]$, $[\pt]\times 1$, $\Delta_Q - 1\times[\pt] - [\pt]\times 1$.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
Обозначение $\mathbb{Z}(1)[2]$ для мотива Лефшеца может показаться странным.
|
||
Здесь второй сдвиг соответствует сдвигу в триангулированной категории
|
||
Воеводского.
|
||
При желании можно представлять это как композицию двух сдвигов:
|
||
$(1)[1]$~--- сдвиг на $\mathbb{G}_m$, $(0)[1]$~--- сдвиг на $S^1$.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
В общем случае, разложение Брюа показывает, что если $G$~--- расщепимая
|
||
группа, $P$~--- ее параболическая подгруппа,
|
||
то мотив однородного многообразия $G/P$ равен прямой сумме
|
||
сдвигов $\mathbb{Z}$:
|
||
$M(G/P) = \bigoplus\mathbb{Z}\{\dots\}$.
|
||
При этом $\mathbb{Z}\{i\}$ встречается столько раз, каково количество
|
||
минимальных представителей классов смежности из $W/W_P$ длины $i$.
|
||
Поэтому сдвиги считываются из диаграммы Хассе.
|
||
\end{remark}
|
||
\begin{example}
|
||
Например, для $\mathbb{P}^n$ диаграмма Хассе выглядит так:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (2p) at ($\sm*(1.9, 0)$);
|
||
\coordinate (d1) at ($\sm*(2.1, 0)$);
|
||
\coordinate (d2) at ($\sm*(2.3, 0)$);
|
||
\coordinate (d3) at ($\sm*(2.5, 0)$);
|
||
\coordinate (3m) at ($\sm*(2.7, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(3.2, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.6, 0)$);
|
||
\node at (1) [below=3pt,font=\scriptsize] {$0$};
|
||
\node at (2) [below=3pt,font=\scriptsize] {$1$};
|
||
\node at (3) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n-1$};
|
||
\node at (4) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n$};
|
||
\draw (1)--(2);
|
||
\draw (2)--(2p);
|
||
\draw (3m)--(3);
|
||
\draw (3)--(4);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\foreach \point in
|
||
{d1,d2,d3}
|
||
{
|
||
\fill [black] (\point) circle (0.7pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
Поэтому мотив $\mathbb{P}^n$ равен
|
||
$\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\{1\}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}\{n\}$.
|
||
Для [расщепимой] квадрики $Q$ четной размерности диаграмма такая:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (2p) at ($\sm*(1.9, 0)$);
|
||
\coordinate (d1) at ($\sm*(2.1, 0)$);
|
||
\coordinate (d2) at ($\sm*(2.3, 0)$);
|
||
\coordinate (d3) at ($\sm*(2.5, 0)$);
|
||
\coordinate (3m) at ($\sm*(2.7, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(3.2, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 1)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, -1)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.2, 0)$);
|
||
\coordinate (6p) at ($\sm*(5.7, 0)$);
|
||
\coordinate (e1) at ($\sm*(5.9, 0)$);
|
||
\coordinate (e2) at ($\sm*(6.1, 0)$);
|
||
\coordinate (e3) at ($\sm*(6.3, 0)$);
|
||
\coordinate (7m) at ($\sm*(6.5, 0)$);
|
||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||
\coordinate (8) at ($\sm*(8.4, 0)$);
|
||
\node at (1) [below=3pt,font=\scriptsize] {$0$};
|
||
\node at (2) [below=3pt,font=\scriptsize] {$1$};
|
||
\node at (5) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n/2$};
|
||
\node at (7) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n-1$};
|
||
\node at (8) [below=3pt,font=\scriptsize] {$n$};
|
||
\draw (1)--(2);
|
||
\draw (2)--(2p);
|
||
\draw (3m)--(3);
|
||
\draw (3)--(4);
|
||
\draw (3)--(5);
|
||
\draw (4)--(6);
|
||
\draw (5)--(6);
|
||
\draw (6)--(6p);
|
||
\draw (7m)--(7);
|
||
\draw (7)--(8);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6,7,8}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\foreach \point in
|
||
{d1,d2,d3,e1,e2,e3}
|
||
{
|
||
\fill [black] (\point) circle (0.7pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
Поэтому $M(Q) = \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\{1\}\oplus\dots
|
||
\oplus\mathbb{Z}\{n/2\}^{\otimes 2} \oplus\mathbb{Z}\{n/2+1\}\oplus\dots
|
||
\oplus\mathbb{Z}\{n\}$.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\subsection{Метод общей точки}
|
||
|
||
Пока что мы получали мотивные разложения только с помощью фильтраций
|
||
и теоремы Карпенко.
|
||
Сейчас мы узнаем еще один прием~--- \emph{метод общей точки}.
|
||
Пусть $X,Y$~--- многообразия, причем $Y$ неприводимо.
|
||
Рассмотрим $X_{F(Y)}$ и его кольцо Чжоу $\CH^*(X_{F(Y)}$
|
||
(напомним, что $F(Y)$~--- поле рациональных функций на $Y$).
|
||
\begin{lemma}
|
||
Отображение $\CH^*(X\times Y)\to\CH^*(X_{F(Y)})$,
|
||
полученное из декартова квадрата
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
X_{F(Y)} \arrow{r}\arrow{d} & X\times Y \arrow{d} \\
|
||
\Spec F(Y) \arrow[right hook->]{r} & Y,
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
сюръективно.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}
|
||
Указанную диаграмму можно представлять себе как индуктивный предел
|
||
диаграмм вида
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
X\times U \arrow{r}\arrow{d} & X\times Y \arrow{d} \\
|
||
U \arrow[right hook->]{r} & Y,
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
где $U$~--- открытое непустое в $Y$ (поскольку $\Spec F(Y) = \varinjlim U$).
|
||
Но каждое полученное таким образом отображение
|
||
$\CH^*(X\times Y) \to \CH^*(X\times U)$ сюръективно в силу точной
|
||
последовательности локализации.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Как этим пользоваться?
|
||
Чтобы выделить прямое слагаемое в мотиве $X$, нам нужно
|
||
найти проектор $p\in\CH^{\dim X}(X\times X)$.
|
||
Для этого есть два варианта:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item взять $Y:= X$, выбрать какой-то элемент из $\CH^i(X_{F(X)})$
|
||
и поднять его в $\CH^i(X\times X)$;
|
||
\item взять какой-нибудь $Y$, построить элементы из $\CH^i(X\times Y)$,
|
||
$\CH^i(Y\times X)$, взять их композицию, и дальше как в первом пункте.
|
||
\end{enumerate}
|
||
Пусть $X$~--- гладкое проективное над $F$.
|
||
Напомним, что цикл $\alpha\in\CH^*(X_{\ol{F}})$ называется
|
||
рациональным, если он лежит в образе отображения
|
||
\[
|
||
\res\colon\CH^*(X) \to \CH^*(X_{\ol{F}}).
|
||
\]
|
||
Аналогично, можно рассмотреть отображение
|
||
\[
|
||
\res\colon\CH^*(X\times X) \to \CH^*(X_{\ol{F}}\times X_{\ol{F}}).
|
||
\]
|
||
Правая часть гораздо лучше левой.
|
||
|
||
Предположим, что мы нашли цикл $p\in\CH^*(X_{\ol{F}}\times X_{\ol{F}})$
|
||
такой, что
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $p$~--- проектор (в смысле композиции, определенной в
|
||
разделе~\ref{ssect:corr-category});
|
||
\item $p$ рационален, то есть, $p$ поднимается до какого-то
|
||
$\wt{p}\in\CH^*(X\times X)$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
Следует ли из этого, что $\wt{p}$ является проектором?
|
||
Вообще говоря~--- нет, но для однородных многообразий есть такая теорема.
|
||
|
||
\begin{theorem}[Теорема нильпотентности Роста]
|
||
Если $X$~--- проективное однородное многообразие,
|
||
$p$~--- рациональный проектор на $X_{\ol{F}}$, то он
|
||
поднимается до проектора $\wt{p}$ на $X$.
|
||
Более сильное утверждение:
|
||
\[
|
||
\ker(\CH^*(X\times X) \to \CH^*(X_{\ol{F}}\times X_{\ol{F}}))
|
||
\]
|
||
состоит из нильпотентных (в смысле композиции) элементов.
|
||
\end{theorem}
|
||
|
||
Как выглядят очевидные элементы $\CH^*(X\times X)$?
|
||
Можно взять $\alpha\in\CH^*(X)$, $b\in\CH^*(X)$, и получить
|
||
$a\times b\in\CH^*(X\times X)$.
|
||
|
||
\begin{exercise}
|
||
В этом случае $(a\times b)\circ (c\times d) = \deg(ad)(c\times b)$,
|
||
где $\deg\colon\CH^*(Y) \to \CH^*(\pt)$ происходит из
|
||
морфизма $Y\to\pt$.
|
||
\end{exercise}
|
||
|
||
\begin{exercise}
|
||
Пусть $R$~--- коммутативное кольцо, $I\trleq R$~--- идеал, состоящий
|
||
из нильпотентных элементов.
|
||
Тогда любой идемпотентв $R/I$ поднимается до идемпотента в $R$.
|
||
\end{exercise}
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Многообразие $X$ называется \term{клеточным}, если существует
|
||
фильтрация вида
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}[column sep=1.2em]
|
||
X = X_0 & \arrow{d}{\mathbb{A}^{k_0}} &
|
||
X_1 \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^{k_1}} &
|
||
X_2 \arrow[left hook->]{ll} & & \dots \arrow[left hook->]{ll} & &
|
||
X_n \arrow[left hook->]{ll} & \arrow{d}{\mathbb{A}^{k_n}} &
|
||
X_{n+1} = \emptyset, \arrow[left hook->]{ll} \\
|
||
& \pt & & \pt & & & \dots & & & pt
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
в которой все базы~--- точки.
|
||
\end{definition}
|
||
\begin{example}
|
||
Разложение Брюа говорит, что если группа $G$ расщепима,
|
||
$P$~--- параболическая подгруппа в $G$,
|
||
то многообразия $G/P$ клеточное.
|
||
\end{example}
|
||
Из теоремы Карпенко~\ref{thm:karpenko} следует, что для клеточного
|
||
многообразия $M(X) = \bigoplus \mathbb{Z}\{r_i\}$.
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Многообразие $X$ называется \term{клеточным над общей точкой}
|
||
(\term{generically cellular}), если $X_{F(X)}$ клеточное.
|
||
\end{definition}
|
||
\begin{example}
|
||
Пусть $Q$~--- \term{Квадрика Пфистера}, то есть, $Q = \{q=0\}$,
|
||
где $q = \lAngle a_1,\dots,a_k\rAngle = \la 1,-a_1\ra \otimes\dots
|
||
\otimes\la 1,-a_k\ra$~--- $k$-кратная форма Пфистера
|
||
(размерность $Q$ равна $2^k-2$).
|
||
Тогда $Q$ клеточная над общей точкой.
|
||
\end{example}
|
||
Верно и обратное: все анизотропные четномерные квадрики,
|
||
клеточные над общей точкой, так выглядят.
|
||
|
||
\subsection{Мотив квадрики Пфистера}
|
||
|
||
Пусть $Q$~--- квадрика Пфистера размерности $2^k - 2$.
|
||
Мы знаем, что $Q_{F(Q)}$~--- клеточное многообразие.
|
||
Обозначим образующие компонент $\CH^*(Q_{F(Q)})$:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (2p) at ($\sm*(1.9, 0)$);
|
||
\coordinate (d1) at ($\sm*(2.1, 0)$);
|
||
\coordinate (d2) at ($\sm*(2.3, 0)$);
|
||
\coordinate (d3) at ($\sm*(2.5, 0)$);
|
||
\coordinate (3m) at ($\sm*(2.7, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(3.2, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 1)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, -1)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.2, 0)$);
|
||
\coordinate (6p) at ($\sm*(5.7, 0)$);
|
||
\coordinate (e1) at ($\sm*(5.9, 0)$);
|
||
\coordinate (e2) at ($\sm*(6.1, 0)$);
|
||
\coordinate (e3) at ($\sm*(6.3, 0)$);
|
||
\coordinate (7m) at ($\sm*(6.5, 0)$);
|
||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||
\coordinate (8) at ($\sm*(8.4, 0)$);
|
||
\node at (1) [below=3pt,font=\scriptsize] {$0$};
|
||
\node at (2) [below=3pt,font=\scriptsize] {$1$};
|
||
\node at (5) [below=3pt,font=\scriptsize] {$2^{k-1}-1$};
|
||
\node at (7) [below=3pt,font=\scriptsize] {$2^k-3$};
|
||
\node at (8) [below=3pt,font=\scriptsize] {$2^k-2$};
|
||
\node at (1) [above=3pt,font=\scriptsize] {$1$};
|
||
\node at (2) [above=3pt,font=\scriptsize] {$h$};
|
||
\node at (4) [above=3pt,font=\scriptsize] {$\rho$};
|
||
\node at (6) [above=3pt,font=\scriptsize] {$h\rho$};
|
||
\node at (8) [above=3pt,font=\scriptsize] {$h^{2^{k-1}}\rho$};
|
||
\draw (1)--(2);
|
||
\draw (2)--(2p);
|
||
\draw (3m)--(3);
|
||
\draw (3)--(4);
|
||
\draw (3)--(5);
|
||
\draw (4)--(6);
|
||
\draw (5)--(6);
|
||
\draw (6)--(6p);
|
||
\draw (7m)--(7);
|
||
\draw (7)--(8);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6,7,8}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\foreach \point in
|
||
{d1,d2,d3,e1,e2,e3}
|
||
{
|
||
\fill [black] (\point) circle (0.7pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
Возьмем $\rho\in\CH^*(Q_{F(Q)})$ и поднимем его до какого-то элемента
|
||
$\alpha\in\CH^*(Q\times Q)$.
|
||
Рассмотрим коммутативную диаграмму
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
\alpha\in\CH^*(Q\times Q) \arrow[->>]{r} \arrow{d}{\res}
|
||
& \CH^*(Q_{F(Q)})\ni\rho \arrow{d}{\isom} \\
|
||
\ol{\alpha}\in\CH^*(Q_{\ol{F}}\times Q_{\ol{F}}) \arrow[->>]{r}
|
||
& \CH^*(Q_{\ol{F}(Q)})\ni\ol{\rho}
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
Мы не умеем следить за $\alpha$, но знаем, что $\ol{\alpha} = \res(\alpha)$
|
||
переходит в $\ol{\rho}$ (который отождествляется с $\rho$
|
||
при помощи изоморфизма), и знаем, как выглядит нижняя
|
||
горизонтальная стрелка.
|
||
|
||
Итак, $\ol{\alpha}$ является прообразом $\rho$, поэтому обязан иметь вид
|
||
\[
|
||
\ol{\alpha} = \ol{\rho}\times 1
|
||
+ c_1\cdot h^{2^{k-1}-2} \times h
|
||
+ c_2\cdot h^{2^{k-1}-3} \times h^2
|
||
+ \dots
|
||
+ c_{2^{k-1}-1}\cdot 1\times h^{2^{k-1}-1}
|
||
+ c\cdot 1\times\ol{\rho}.
|
||
\]
|
||
Заметим, что все слагаемые в правой части, кроме первого и последнего,
|
||
содержатся в образе $\res$, посольку $h$ рационален.
|
||
Поэтому (подправив $\alpha$) можно считать,
|
||
что $\ol\alpha = \ol\rho\times 1 + c\cdot 1 \times \ol\rho$.
|
||
|
||
Кроме того, цикл $2\ol\rho$ рационален, поскольку квадрика $Q$
|
||
ращепляется квадратичным расширением.
|
||
Действительно, если $q = \lAngle a_1,\dots,a_k\rAngle$, достаточно взять
|
||
поле $F(\sqrt{a_1})$.
|
||
Над этим полем $q$ изотропна, а потому гиперболична.
|
||
Рассуждение заканчивается рассмотрением диаграммы
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
\CH^*(Q) \arrow[yshift=-2pt]{r} \arrow{d} & \CH^*(Q_{F(\sqrt{a_1})}) \arrow{d}
|
||
\arrow[yshift=2pt]{l} \\
|
||
\CH^*(Q_{\ol{F}}) \arrow[yshift=-2pt]{r} & \CH^*(Q_{\ol{F}(\sqrt{a_1})}).
|
||
\arrow[yshift=2pt]{l}
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
|
||
Стало быть, либо $\ol\rho\times 1$ рационален, либо
|
||
$\ol\rho\times 1 + 1\times\ol\rho$ рационален (в зависимости от четности $c$).
|
||
|
||
Предположим для начала, что $\ol\rho\times 1$ рационален.
|
||
Докажем, что в этом случае $Q$ изотропна.
|
||
Действительно, циклы $\ol\rho\times 1$ и $1\times\ol\rho$ рациональны,
|
||
а потому и $(\ol\rho\times 1)\cdot(1\times\ol\rho) = \ol\rho\times\ol\rho$
|
||
рационален.
|
||
Кроме того, $\ol{h}\times 1$ и $1\times\ol{h}$ рациональны,
|
||
а потому и $\ol{\pt}\times\ol{\pt}$ рационален.
|
||
Рассмотрим пушфорвард относительно проекции $Q\times Q$ на первый сомножитель:
|
||
\begin{align*}
|
||
\CH^*(\ol{Q}\times\ol{Q}) &\to \CH^*(\ol{Q}),
|
||
\ol{\pt}\times\ol{\pt} &\mapsto \ol{\pt}.
|
||
\end{align*}
|
||
Поэтому и цикл $\ol{\pt}$ рационален.
|
||
Значит, на $Q$ есть $0$-цикл степени $1$.
|
||
По теореме Спрингера из этого следует, что на $Q$ есть рациональная точка,
|
||
то есть, $Q$ изотропна~--- и это неинтересный случай.
|
||
|
||
Значит, на самом деле цикл $\ol\rho\times 1 + 1\times\ol\rho$
|
||
рационален.
|
||
Из него можно постараться изготовить проектор.
|
||
Заметим, что для любых $i,j$ цикл
|
||
$(\ol{h}^i\ol\rho)\times \ol{j}^j + \ol{h}^i\times (\ol{h}^j\ol\rho)$
|
||
тоже рационален.
|
||
Как подобрать $i,j$, чтобы это был проектор?
|
||
Заметим, что $\ol\rho$ лежит в коразмерности $2^{k-1} - 1$,
|
||
поэтому нужно, чтобы $j = 2^{k-1} - 1 - i$.
|
||
Оказывается, этого достаточно: нужно вспомнить формулу
|
||
$(a\times b)(c\times d) = \deg(ad)c\times b$
|
||
и равенство $\ol{h}^{2^{k-1}-1}\ol\rho = \ol{\pt}$.
|
||
После этого прямое вычисление показывает, что
|
||
мы получили проектор.
|
||
Варьируя $i$, получаем $2^{k-1} - 1$ проекторов.
|
||
|
||
Соответствующее разложение мотива $Q$ можно нарисовать так:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (3p) at ($\sm*(3.3, 0)$);
|
||
\coordinate (d1) at ($\sm*(3.5, 0)$);
|
||
\coordinate (d2) at ($\sm*(3.7, 0)$);
|
||
\coordinate (d3) at ($\sm*(3.9, 0)$);
|
||
\coordinate (4m) at ($\sm*(4.1, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.6, 0)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(6.0, 0)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(7.0, 1)$);
|
||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, -1)$);
|
||
\coordinate (8) at ($\sm*(8.0, 0)$);
|
||
\coordinate (9) at ($\sm*(9.4, 0)$);
|
||
\coordinate (9p) at ($\sm*(9.9, 0)$);
|
||
\coordinate (e1) at ($\sm*(10.1, 0)$);
|
||
\coordinate (e2) at ($\sm*(10.3, 0)$);
|
||
\coordinate (e3) at ($\sm*(10.5, 0)$);
|
||
\coordinate (10m) at ($\sm*(10.7, 0)$);
|
||
\coordinate (10) at ($\sm*(11.2, 0)$);
|
||
\coordinate (11) at ($\sm*(12.6, 0)$);
|
||
\coordinate (12) at ($\sm*(14.0, 0)$);
|
||
\draw (1)--(2)--(3)--(3p);
|
||
\draw (4m)--(4)--(5)--(6);
|
||
\draw (5)--(7);
|
||
\draw (6)--(8);
|
||
\draw (7)--(8)--(9)--(9p);
|
||
\draw (10m)--(10)--(11)--(12);
|
||
\draw[dotted] (1) edge[bend left=45](6);
|
||
\draw[dotted] (2) edge[bend left=35](8);
|
||
\draw[dotted] (3) edge[bend left=45](9);
|
||
\draw[dotted] (4) edge[bend right=45](10);
|
||
\draw[dotted] (5) edge[bend right=35](11);
|
||
\draw[dotted] (7) edge[bend right=45](12);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\foreach \point in
|
||
{d1,d2,d3,e1,e2,e3}
|
||
{
|
||
\fill [black] (\point) circle (0.7pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
Иными словами, над базой слагаемые в разложении мотива квадрики
|
||
объединяются в пары.
|
||
|
||
\begin{exercise}
|
||
Пусть $R$~--- коммутативное кольцо, $I\trleq R$~--- идеал, состоящий
|
||
из нильпотентных элементов.
|
||
Тогда любой обратимый элемент $R/I$ поднимается до обратимого элемента в $R$.
|
||
\end{exercise}
|
||
|
||
Слагаемое, которое дает первый проектор из этих,
|
||
называется \term{мотивом Роста} и обозначается через $R$.
|
||
Таким образом, над замыканием
|
||
$\ol{R} = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\{2^{k-1}-1\}$.
|
||
Мотив квадрики Пфистера, таким образом, составлен
|
||
из сдвигов мотива Роста:
|
||
\[
|
||
M(Q) = R \oplus R\{1\} \oplus \dots \oplus R\{2^{k-1}-1\}.
|
||
\]
|
||
\begin{fact}
|
||
Пусть $\lAngle a_1,\dots,a_k\rAngle$,
|
||
$\lAngle a'_1,\dots,a'_k\rAngle$~--- две $k$-формы Пфистера.
|
||
Соответствующие этим квадрикам мотивы Роста изоморфны (в категории мотивов)
|
||
тогда и только тогда, когда сами формы изоморфны,
|
||
что в свою очередь равносильно равенству чашечных произведений
|
||
$(a_1)\cup\dots\cup(a_k) = (a'_1)\cup\dots\cup(a'_k)$
|
||
в $H^k(F, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$.
|
||
\end{fact}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
Мотив Роста над замыканием превращается в
|
||
$\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\{2^{k-1}-1\}$.
|
||
Верно и обратное:
|
||
если мотив над замыканием выглядит так, то это мотив Роста
|
||
(теорема Никиты Семенова).
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
% 02.04.2012
|
||
|
||
\subsection{Пример: $\mathsf{F}_4$}
|
||
|
||
Над замкнутым полем группа типа $\mathsf{F}_4$~--- это автоморфизмы
|
||
эрмитовых матриц $3\times 3$ над октонионами:
|
||
$\mathsf{F}_4 = \Aut(H_3(\mathbb{O}))$.
|
||
|
||
В общем случае приведем сначала <<конструкцию по модулю $2$>>.
|
||
Вместо $\mathbb{O}$ нужно взять другие октонионы
|
||
(они задатся формой Пфистера $\lAngle a,b,c\rAngle$),
|
||
и диагональную эрмитову форму вида $\la 1, -d, -e\ra$.
|
||
Здесь $a,b,c,d,e\in F^* / (F^*)^2$.
|
||
Если у поля $F$ нет расширений нечетной степени, то любая группа
|
||
типа $\mathsf{F}_4$ так выглядит.
|
||
|
||
Например, над $\mathbb{R}$ есть три группы типа $\mathsf{F}_4$:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item построенная по расщепимым октонионам (и тогда неважно, каковы $d,e$);
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\draw (1)--(2);
|
||
\draw (3)--(4);
|
||
\draw (2) edge[transform canvas={yshift=2pt}] (3);
|
||
\draw (2) edge[transform canvas={yshift=-2pt}] (3);
|
||
\draw ($\sm*(2.0, 0.2)$) -- ($\sm*(2.2, 0)$) -- ($\sm*(2.0, -0.2)$);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
\item построенная по компактным октонионам (\term{октавам}) и $d=e=1$;
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\draw (1)--(2);
|
||
\draw (3)--(4);
|
||
\draw (2) edge[transform canvas={yshift=2pt}] (3);
|
||
\draw (2) edge[transform canvas={yshift=-2pt}] (3);
|
||
\draw ($\sm*(2.0, 0.2)$) -- ($\sm*(2.2, 0)$) -- ($\sm*(2.0, -0.2)$);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\draw [black] (4) circle (5.0pt);
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
\item построенная по октавам и $d = e = -1$~--- она анизотропна
|
||
(над $\mathbb{R}$ это равносильно компактности).
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\draw (1)--(2);
|
||
\draw (3)--(4);
|
||
\draw (2) edge[transform canvas={yshift=2pt}] (3);
|
||
\draw (2) edge[transform canvas={yshift=-2pt}] (3);
|
||
\draw ($\sm*(2.0, 0.2)$) -- ($\sm*(2.2, 0)$) -- ($\sm*(2.0, -0.2)$);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
По общей теории скрученных форм над любым полем
|
||
группа типа $\mathsf{F}_4$~--- это группа автоморфизмов
|
||
алгебры $J$, где $J$~--- скрученная
|
||
форма йордановой алгебры $H_3(\mathbb{O})$.
|
||
|
||
Приведем теперь <<конструкцию по модулю $3$>>.
|
||
Пусть $D$~--- центральная простая алгебра степени $3$.
|
||
Они все циклические, поэтому
|
||
$D = (a,b)_3 = \la x,y\mid x^3 = a,\; y^3 = b,\; xy = \zeta yx\ra$
|
||
для некоторых $a,b\in F^*/(F^*)^3$.
|
||
Здесь $\zeta^3 = 1$.
|
||
Возьмем еще $c\in F^*/(F^*)^2$.
|
||
тогда на $D\oplus D\oplus D$ можно завести структуру йордановой
|
||
алгебры $J(a,b,c)$ (с помощью скаляра $c$).
|
||
Ее норма выглядит так:
|
||
\[
|
||
N(\alpha\oplus\beta\oplus\gamma) = \Nrd(\alpha) + c\Nrd(\beta)
|
||
+ c^{-1}\Nrd(\gamma) - \Trd(\alpha\beta\gamma),
|
||
\]
|
||
где $\Trd$~--- приведенный след.
|
||
Автоморфизмы этой нормы образуют группу типа $\mathsf{E}_6$,
|
||
а подгруппа в ней, сохраняющая
|
||
единицу (то есть, $1\oplus 0 \oplus 0$)~--- это группа типа
|
||
$\mathsf{F}_4$.
|
||
|
||
\begin{conjecture}[Ослабленный вариант гипотезы Серра--Роста]
|
||
Полученная группа типа $\mathsf{F}_4$ зависит только
|
||
от $\{a,b,c\} \in K_3^M(F)/3$
|
||
(или, что то же самое, от
|
||
$(a)\cup (b)\cup (c) \in H^3(F,\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$).
|
||
\end{conjecture}
|
||
Известно, что если $J(a,b,c) = J(a',b',c')$, то
|
||
$\{a,b,c\} = \{a',b',c'\}$.
|
||
|
||
Если у поля нет квадратичных расширений, то любая скрученная
|
||
форма $H_3(\mathbb O)$ имеет вид
|
||
$J(a,b,c)$.
|
||
|
||
Для любого поля $F$ определен инвариант
|
||
\[
|
||
g_3\colon H^1(F, \mathsf{F}_4) \to H^3(F, \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}).
|
||
\]
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Если у $F$ нет квадратичных расширений, то образ $g_3$~--- это
|
||
в точности чистые символы $(a)\cup (b)\cup (c)$.
|
||
\item В этом случае ядро тривиально.
|
||
\item Гипотеза состоит в том, что $g_3$ инъективно.
|
||
\end{itemize}
|
||
Мы построили алгебру $J(a,b,c)$ и группу $G = \Aut(J(a,b,c))$.
|
||
\begin{fact}
|
||
Группа $G$ или расщепима, или анизотопна (как и в случае группы
|
||
изометрий пфистеровых форм).
|
||
\end{fact}
|
||
В частности, если $X$~--- $G$-однородное проективное многообрази,
|
||
то оно является клеточным над общей точкой,
|
||
то есть, $X_{F(X)}$ клеточное.
|
||
Пусть $X$~--- скрученная форма $\mathsf{F}_4/P_4$.
|
||
|
||
Отступление: J.-P. Bonnet показал, что
|
||
$M({}_{\xi}(\mathsf{G}_2/P_1)) \isom M({}_{\xi}(\mathsf{G}_2/P_2))$.
|
||
Многообразия $\mathsf{G}_2/P_1$ и $\mathsf{G}_2/P_2$
|
||
оба имеют размерность $5$.
|
||
На самом деле, $\mathsf{G}_2/P_1$~--- квадрика.
|
||
Более того, это максимальный сосед квадрики Пфистера, и поэтому
|
||
ее мотив раскладывается на мотивы Роста.
|
||
Напомним, что $\mathsf{G}_2 = \Aut(\mathbb{O})$,
|
||
где $\mathbb{O}$ задается формой $\lAngle a, b, c\rAngle$.
|
||
Возникающий мотив Роста отвечает как раз квадрике
|
||
$\lAngle a, b, c\rAngle$.
|
||
Вопрос: что если взять $\mathsf{F}_4/P_1$ и $\mathsf{F}_4/P_4$?
|
||
У них тоже одинаковая размерность и многочлен Пуанкаре.
|
||
Теорема Зайнуллина--Николенко--Семенова гласит,
|
||
что
|
||
$M({}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_1)) \isom M({}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_2))$,
|
||
если рассматриваемая группа типа $\mathsf{F}_4$ имеет вид
|
||
$\Aut(J(a,b,c))$.
|
||
|
||
Размерность $\mathsf{F}_4/P_4$ равна $15$.
|
||
Нарисуем диаграмму Хассе для этого многообразия.
|
||
С точностью до каких-то ребер внутри она выглядит так:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin,font=\scriptsize]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(5.2, 1)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(6.6, 1)$);
|
||
\coordinate (7) at ($\sm*(8.0, 1)$);
|
||
\coordinate (8) at ($\sm*(9.4, 1)$);
|
||
\coordinate (9) at ($\sm*(10.8, 1)$);
|
||
\coordinate (10) at ($\sm*(12.2, 1)$);
|
||
\coordinate (11) at ($\sm*(13.6, 1)$);
|
||
\coordinate (12) at ($\sm*(15.0, 1)$);
|
||
\coordinate (5x) at ($\sm*(5.2, -1)$);
|
||
\coordinate (6x) at ($\sm*(6.6, -1)$);
|
||
\coordinate (7x) at ($\sm*(8.0, -1)$);
|
||
\coordinate (8x) at ($\sm*(9.4, -1)$);
|
||
\coordinate (9x) at ($\sm*(10.8, -1)$);
|
||
\coordinate (10x) at ($\sm*(12.2, -1)$);
|
||
\coordinate (11x) at ($\sm*(13.6, -1)$);
|
||
\coordinate (12x) at ($\sm*(15.0, -1)$);
|
||
\coordinate (13) at ($\sm*(16.0, 0)$);
|
||
\coordinate (14) at ($\sm*(17.4, 0)$);
|
||
\coordinate (15) at ($\sm*(18.8, 0)$);
|
||
\coordinate (16) at ($\sm*(20.2, 0)$);
|
||
\node at ($\sm*(0, -2)$) {$0$};
|
||
\node at ($\sm*(1.4, -2)$) {$1$};
|
||
\node at ($\sm*(2.8, -2)$) {$2$};
|
||
\node at ($\sm*(4.2, -2)$) {$3$};
|
||
\node at ($\sm*(5.2, -2)$) {$4$};
|
||
\node at ($\sm*(6.6, -2)$) {$5$};
|
||
\node at ($\sm*(8.0, -2)$) {$6$};
|
||
\node at ($\sm*(9.4, -2)$) {$7$};
|
||
\node at ($\sm*(10.8, -2)$) {$8$};
|
||
\node at ($\sm*(12.2, -2)$) {$9$};
|
||
\node at ($\sm*(13.6, -2)$) {$10$};
|
||
\node at ($\sm*(15.0, -2)$) {$11$};
|
||
\node at ($\sm*(16.0, -2)$) {$12$};
|
||
\node at ($\sm*(17.4, -2)$) {$13$};
|
||
\node at ($\sm*(18.8, -2)$) {$14$};
|
||
\node at ($\sm*(20.2, -2)$) {$15$};
|
||
\node at (2) [above=3pt] {$h$};
|
||
\node at (3) [above=3pt] {$h^2$};
|
||
\node at (4) [above=3pt] {$h^3$};
|
||
\node at (5) [above=3pt] {$\rho$};
|
||
\node at (9) [above=3pt] {$\rho^2$};
|
||
\draw (1)--(2)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7)--(8)--(9)--(10)--(11)--(12)--(13)--(14)--(15)--(16);
|
||
\draw (4)--(5x)--(6x)--(7x)--(8x)--(9x)--(10x)--(11x)--(12x)--(13);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5x,6x,7x,8x,9x,10x,11x,12x,13,14,15,16}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Берем образующую в $\CH^1(\mathsf{F}_4/P_4)$.
|
||
Она рациональная, то есть, лежит в образе отображения
|
||
\[
|
||
\CH^1({}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_4)) \xrightarrow{\res}
|
||
\CH^1(\mathsf{F}_4/P_4).
|
||
\]
|
||
В $\mathsf{F}_4$ решетка весов совпадает с решеткой корней.
|
||
В частности, $\varpi_4$~--- корень.
|
||
\item Тогда $h^2$, $h^3$~--- образующие $\CH^2$ и $\CH^3$.
|
||
\item Далее, $h^4$ и $\rho$~--- базис для $\CH^4$.
|
||
\item Кроме того, $\rho^2 h^7 = [\pt]\pmod{3}$.
|
||
\item $X_{F(X)}$ клеточное.
|
||
\item Если $\Aut(J(a,b,c))$ расщепляется над расширением
|
||
степени, взаимно простой с $3$, то она и была расщепимой
|
||
(это теорема типа Спрингера).
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
Начинаем применять метод общей точки:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
\CH^*(X\times X) \arrow[->>]{r} \arrow{d}{\res} &
|
||
\CH^*(X_{F(X)}) \arrow{d}{\isom} \\
|
||
\CH^*(X_{\ol{F}}\times X_{\ol{F}}) \arrow[->>]{r} &
|
||
\CH^*(X_{\ol{F}(X)}).
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
Элемент $\ol{\rho}\in\CH^*(X_{\ol{F}(X)})$ поднимается
|
||
до элемента в $\CH^*(X\times X)$.
|
||
Поэтому в $\CH^*(X_{\ol{F}}\times X_{\ol{F}})$ есть
|
||
рациональный элемент вида
|
||
\[
|
||
\alpha = \rho\times 1 + ? \cdot h^3\times h
|
||
+ ?\cdot h^2\times h^2 + ?\cdot h\times h^3
|
||
+ ?\cdot 1\times h^4 + c\cdot 1\times \rho.
|
||
\]
|
||
Подправив $\alpha$ на рациональные элементы (степени $h$),
|
||
можно добиться, что останется только
|
||
$\rho\times 1 + c\cdot 1\times\rho$.
|
||
Поскольку $X$ над кубическим расширением становится клеточным,
|
||
можно считать, что $c = 0$ или $c = \pm 1$.
|
||
Почему $c\neq 0$?
|
||
Если $\rho\times 1$ рационален, то и $1\times\rho$ рационален,
|
||
откуда $\rho^2\times\rho^2$ и $h^7\rho^2\times h^7\rho^2$
|
||
рационален, а потому и $\pt\times\pt$ рационален.
|
||
Применяя пушфорвард, видим, что класс
|
||
$\pt\in\CH^*(X)$ рационален~--- противоречие.
|
||
|
||
Поэтому на самом деле класс $\rho\times 1\pm 1\times\rho$
|
||
рационален.
|
||
Значит, $\rho^2\times 1 \pm 2\rho\times\rho + 1\times\rho^2$
|
||
рационален, а потому и
|
||
$\beta = \rho^2 + 1 \mp \rho\times\rho + 1\times\rho^2$
|
||
рационален.
|
||
Будем умножать полученный цикл на $h^i\times h^j$,
|
||
где $i+j=7$.
|
||
Получится цикл
|
||
\[
|
||
h^i\rho^2\times h^j \mp h^i\rho\times h^j\rho
|
||
+h^i\times h^j\rho^2\in\CH^{15}(X_{\ol{F}}\times X_{\ol{F}}).
|
||
\]
|
||
Возьмем его композицию с самим собой, и воспользуемся сравнением.
|
||
$h^{i+j}\rho^2 \equiv \pt \pmod{3}$.
|
||
Вообще, будем считать все по модулю $3$:
|
||
\[
|
||
h^i\rho^2\times h^j + h^i\rho\times h^j\rho + h^i\times h^j\rho^2
|
||
\]
|
||
Значит, этот цикл уже является проектором по модулю $3$.
|
||
Над замыканием каждое его слагаемое, конечно, является проектором~---
|
||
но не рациональным.
|
||
|
||
Итак, мы получили восемь ортогональных проекторов
|
||
$p_0,\dots,p_7$.
|
||
Правые части этих проекторов (24 штуки) образуют базис в группе Чжоу,
|
||
но не тот, который у нас был раньше (клетки Шуберта).
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin,font=\scriptsize]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(5.2, 1)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(6.6, 1)$);
|
||
\coordinate (7) at ($\sm*(8.0, 1)$);
|
||
\coordinate (8) at ($\sm*(9.4, 1)$);
|
||
\coordinate (9) at ($\sm*(10.8, 1)$);
|
||
\coordinate (10) at ($\sm*(12.2, 1)$);
|
||
\coordinate (11) at ($\sm*(13.6, 1)$);
|
||
\coordinate (12) at ($\sm*(15.0, 1)$);
|
||
\coordinate (5x) at ($\sm*(5.2, -1)$);
|
||
\coordinate (6x) at ($\sm*(6.6, -1)$);
|
||
\coordinate (7x) at ($\sm*(8.0, -1)$);
|
||
\coordinate (8x) at ($\sm*(9.4, -1)$);
|
||
\coordinate (9x) at ($\sm*(10.8, -1)$);
|
||
\coordinate (10x) at ($\sm*(12.2, -1)$);
|
||
\coordinate (11x) at ($\sm*(13.6, -1)$);
|
||
\coordinate (12x) at ($\sm*(15.0, -1)$);
|
||
\coordinate (13) at ($\sm*(16.0, 0)$);
|
||
\coordinate (14) at ($\sm*(17.4, 0)$);
|
||
\coordinate (15) at ($\sm*(18.8, 0)$);
|
||
\coordinate (16) at ($\sm*(20.2, 0)$);
|
||
\draw (1)--(2)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7)--(8)--(9)--(10)--(11)--(12)--(13)--(14)--(15)--(16);
|
||
\draw (4)--(5x)--(6x)--(7x)--(8x)--(9x)--(10x)--(11x)--(12x)--(13);
|
||
\draw[dotted] (1) edge[bend left=45] (5);
|
||
\draw[dotted] (5) edge[bend left=45] (9);
|
||
\draw[dotted] (2) edge[bend left=45] (6);
|
||
\draw[dotted] (6) edge[bend left=45] (10);
|
||
\node at ($\sm*(1,1)$) {$p_0$};
|
||
\node at ($\sm*(2.4,1)$) {$p_1$};
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5x,6x,7x,8x,9x,10x,11x,12x,13,14,15,16}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
Можно также рассмотреть $\beta(h^i\times h^j)$ для произвольных
|
||
$i,j$.
|
||
Такие рациональные циклы индуцируют изоморфизмы
|
||
между $(X,p_0)\{i\}$ и $(X,p_i)$.
|
||
|
||
Мы посчитали все по модулю $3$, но можно добиться и
|
||
целочисленных проекторов.
|
||
На самом деле, при каких-то разумных условиях всегда можно
|
||
поднять проекторы (и изоморфизмы) по модулю $2$ и $3$
|
||
до целочисленных.
|
||
|
||
Мотив Роста квадрики Пфистера $\lAngle a_1,\dots,a_k\rAngle$
|
||
обозначается так: $R_{2,k}(\{a_1,\dots,a_k\})$.
|
||
Полученный выше мотив $(X,p_0)$ будем обозначать через
|
||
$R_{3,3}(\{a,b,c\})$.
|
||
|
||
\begin{corollary}
|
||
\[
|
||
M(X) = \bigoplus_{i=0}^{7} R_{3,3}(\{a,b,c\})\{i\}.
|
||
\]
|
||
\end{corollary}
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
Точно так же доказывается, что
|
||
\[
|
||
M({}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_1)) = \bigoplus_{i=0}^{7}
|
||
R_{3,3}(\{a,b,c\})\{i\}.
|
||
\]
|
||
Более того, мотив любого $G$-однородного проективного
|
||
многообразия $Y$ раскладывается в сумму сдвигов
|
||
мотива $R_{3,3}(\{a,b,c\})$.
|
||
Для квадрики Пфистера верно аналогичное замечание.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\begin{theorem}[Зайнуллин--Петров--Семенов]\label{thm:ZPS}
|
||
Пусть $G$~--- полупростая алгебраическая группа над $F$,
|
||
$X$~--- $G$-однородное проективное многообразие, клеточное
|
||
над общей точкой, $p$~--- простое число.
|
||
Тогда мотив $M(X)\otimes\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ изоморфен
|
||
сумме $R_p(G)$ с какими-то сдвигами,
|
||
где $R_p(G)$ не зависит от $X$ и неразложим по модулю $p$.
|
||
\end{theorem}
|
||
Нужно пояснить, что такое $M(X)\otimes\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$:
|
||
в конструкции категории соответствий нужно взять
|
||
$\Mor(X,Y) = \CH^{\dim Y}(X\times Y) / p$.
|
||
|
||
\begin{remark}
|
||
Условие клеточности $X_{F(X)}$ можно заменить
|
||
на требование расщепимости $G_{F(X)}$.
|
||
\end{remark}
|
||
\begin{remark}
|
||
Мотив $R_p(G)$ над алгебраическим замыканием раскладывается
|
||
в сумму мотивов вида $\mathbb{Z}/p = M(\pt)\otimes\mathbb{Z}/p$
|
||
со сдвигами, и для этих сдвигов есть некоторая формула.
|
||
\end{remark}
|
||
\begin{remark}
|
||
Все ситуации, описанные в теореме, перечислены в работе
|
||
Петрова--Семенова.
|
||
\end{remark}
|
||
\begin{remark}
|
||
Сами проекторы можно поднять в $\mathbb{Z}$, но не изоморфизмы
|
||
между ними.
|
||
\end{remark}
|
||
\begin{remark}
|
||
Если $G$ не содержит сомножителей типа $\mathsf{A}$
|
||
и $p\neq 2,3,5$, то $R_p(G) = \mathbb{Z}/p$.
|
||
Случай $p=5$ возникает только для $\mathsf{E}_8$.
|
||
\end{remark}
|
||
\begin{remark}
|
||
Мотив $M(X)\otimes\mathbb{Q}$ раскладывается в
|
||
прямую сумму мотивов $M(\pt)\otimes\mathbb{Q}$ со сдвигами.
|
||
\end{remark}
|
||
\begin{remark}
|
||
Если $G=\mathsf{E}_8$, $p=2$, и инвариант Роста
|
||
тривиален, то все $G$-однородные проективные многообразия $X$
|
||
подходят.
|
||
В этом случае $R_2(G)$~--- мотив Роста,
|
||
отвечающий $5$-символу (см. работу Никиты Семенова
|
||
про конечные подгруппы $\mathsf{E}_8$).
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
% 09.04.2012
|
||
|
||
\subsection{$J$-инвариант}
|
||
|
||
Остается открытым вопрос, каков размер $R_p({}_{\xi}G)$.
|
||
Мы знаем, что над замыканием получается
|
||
$R_p({}_{\xi}G)_{\ol{F}} = \bigoplus\mathbb{Z}/p\{\dots\}$.
|
||
Как посчитать эти сдвиги?
|
||
Можно закодировать их многочленом: по прямой сумме
|
||
$\bigoplus_i\mathbb{Z}/p\{i\}^{\oplus a_i}$ построим
|
||
\term{полином Пуанкаре} $P(R_p(G),t) = \sum_i a_i t^i$.
|
||
Понятно, что этот многочлен контролирует
|
||
образ отображения
|
||
$\CH^*(X)/p \to \CH^*(X_{\ol{F}})/p$.
|
||
|
||
Сейчас мы построим набор целых чисел $J_p({}_{\xi}G)$~---
|
||
\emph{$J$-инвариант}~--- со следующими свойствами:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $P(R_p({}_{\xi}G),t)$ выражается через $J_p({}_{\xi}G)$;
|
||
\item $J_p({}_{\xi}G)$ контролирует, какие ${}_{\xi}G$-однородные
|
||
проективные многообразия действительно являются клеточными
|
||
над общей точкой;
|
||
\item для многих исключительных групп $J_p({}_{\xi}G)$ выражается
|
||
через индекс Титса.
|
||
\end{enumerate}
|
||
Пусть $B\leq G$~--- борелевская подгруппа.
|
||
Рассмотрим <<последовательность>> \emph{чего-то}
|
||
\[
|
||
B \to G \to G/B \to BB = \pt//B.
|
||
\]
|
||
Переходя к кольцам Чжоу, получаем точную последовательность
|
||
градуированных колец вида
|
||
\[
|
||
\CH^*(BB) \to \CH^*(G/B) \to \CH^*(G) \to \CH^*(B).
|
||
\]
|
||
При этом $\CH^*(B) = \mathbb{Z}$.
|
||
Заметим, что $\CH^*(G/B) \to \CH^*(G)$~--- сюръекция.
|
||
Поэтому есть точная последовательность
|
||
\[
|
||
\CH^*(BB) \to \CH^*(G/B) \to \CH^*(G) \to 0.
|
||
\]
|
||
Борелевская подгруппа гомотопически эквивалентна тору:
|
||
$B \sim \mathbb{G}_m\times \dots \times \mathbb{G}_m$.
|
||
Покажем, что $\CH^*(BB) = S^*(X^*(T))$.
|
||
|
||
Что такое $B\mathbb{G}_m$?
|
||
Первое приближение:
|
||
$\mathbb{P}^n = (\mathbb{A}^{n+1}\setminus\{0\})/\mathbb{G}_m$.
|
||
Правильный ответ: $B\mathbb{G}_m = \varinjlim_n\mathbb{P}^n$.
|
||
Мы уже знаем, что $\CH^*(\mathbb{P}^n) = \mathbb{Z}[x] / (x^{n+1})$.
|
||
Поэтому $\CH^*(B\mathbb{G}_m) = \mathbb{Z}[x]$~---
|
||
проективный предел в категории градуированных колец
|
||
(но не в категории колец).
|
||
|
||
Пусть $\chi_1,\dots,\chi_l$~--- базис решетки $X^*(T)$.
|
||
Если $G$ односвязна, можно взять $\varpi_1,\dots,\varpi_l$.
|
||
Если $G$ присоединенная, можно взять $\alpha_1,\dots,\alpha_l$.
|
||
Тогда $S^*(X^*(T)) \isom \mathbb{Z}[\chi_1,\dots,\chi_l]$.
|
||
|
||
Чтобы описать отображение $\CH^*(BB) \to \CH^*(G/B)$,
|
||
достаточно задать образы элементов $\chi_i$.
|
||
Положим $\chi_i\mapsto [L_{\chi_i}]$ (класс линейного
|
||
расслоения $L_{\chi_i}$ в группе Пикара).
|
||
Здесь $L_{\chi_i}$~--- линейное расслоение на $G/B$,
|
||
построенное следующим образом.
|
||
Характер $\chi_i$ является отображением
|
||
$B\to \mathbb{G}_m$.
|
||
Тогда $L_{\chi_i} = G\times_{B}\mathbb{A}^1$,
|
||
где на $\mathbb{A}^1$ задано действие с помощью $\chi_i$.
|
||
Каноническое отображение
|
||
$G\times_{B}\mathbb{A}^1 \to G\times_{B}\pt = G/B$
|
||
превращает $L_{\chi_i}$ в линейное расслоение.
|
||
|
||
Пока что $G$ была расщепима.
|
||
Оказывается, если подкрутить все на $\xi$, все
|
||
$[L_{\chi_i}]$ останутся рациональными.
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Рассмотрим $\mathbb{P}^1 = \SL_2/B$ и обозначим
|
||
характер тора через $\xi$.
|
||
Нас интересует действие $B$ на $\SL_2\times_{B}\mathbb{A}^1$,
|
||
при котором
|
||
матрица $\begin{pmatrix}\alpha & * \\ 0 & \alpha^{-1}\end{pmatrix}$
|
||
действует на $\mathbb{A}^1$ умножением на $\alpha$.
|
||
Упражнение: $L_{\xi} = \mathcal{O}(-1)$,
|
||
$L_{\xi^{-1}} = \mathcal{O}(1)$.
|
||
|
||
В общем случае в $G/B$ есть клетки Шуберта коразмерности $1$.
|
||
Пусть $G$ односвязна.
|
||
Эти клетки соответствуют фундаментальным характерам:
|
||
клетке $\chi_i$ сопоставляется $i$-ая клетка Шуберта
|
||
коразмерности $1$, равная $c_1(L(\chi_i))$.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
Теперь мы взяли $\xi\in H^1(F,G)$.
|
||
Тогда ${}_{\xi}(G/B)$~--- многообразие, клеточное над общей точкой
|
||
(при переходе к его полю функций у $G$ появляется борелевская
|
||
подгруппа, поэтому можно написать фильтрацию).
|
||
Нас интересует образ отображения
|
||
\[
|
||
\CH^*({}_{\xi}(G/B)) \xrightarrow{\res} \CH^*(G/B).
|
||
\]
|
||
Все, что приходит с $\CH^*(BB)$, лежит в образе $\res$,
|
||
поскольку линейные расслоения можно скрутить:
|
||
$\res([{}_{\xi}L_{\chi}]) = [L_{\chi}]$.
|
||
Точность сохранится при факторизации по $p$:
|
||
\[
|
||
\CH^*(BB)/p \to \CH^*(G/B)/p \to \CH^*(G)/p \to 0.
|
||
\]
|
||
При этом $\CH^*(BB)/p \isom \mathbb{Z}/p[x_1,\dots,x_l]$.
|
||
Умножение $G\times G\to G$ дает нам отображение
|
||
$\CH^*(G) \to \CH^*(G) \otimes \CH^*(G)$,
|
||
которое превращает $\CH^*(G)$ в алгебру Хопфа.
|
||
Таким образом, $\CH^*(G)/p$~--- алгебра Хопфа над $\mathbb{Z}/p$,
|
||
градуированная, конечномерная, связная, коммутативная.
|
||
\begin{theorem}
|
||
Все такие алгебры Хопфа изоморфны (как алгебры)
|
||
$\mathbb{Z} / p [x_1,\dots,x_r] / (x_i^{p^{k_i}})$.
|
||
\end{theorem}
|
||
Если $X$~--- клеточное над $\mathbb{C}$, можно сравнить
|
||
$\CH^*(X)$ и $H^*_{\sing}(X)$.
|
||
Оказывается, $\CH^i(X) = H^{2i}_{\sing}(X)$.
|
||
Для $G$ над $\mathbb{C}$ есть нетривиальные элементы
|
||
в $H^{2i+1}_{\sing}(G)$
|
||
Например, $G = \SL_2(\mathbb{C})$, и $\SL_2(\mathbb{C})$
|
||
гомотопически эквивалентно $S^3$.
|
||
\begin{remark}
|
||
Если $p\neq 2,3,5$, и $G$ не изогенична $\SL_n$,
|
||
то $\CH^*(G)/p = \mathbb{Z}/p$.
|
||
Случай $p=5$ возникает только для $\mathsf{E}_8$,
|
||
а случай $p=3$~--- только для $\mathsf{F}_4$,
|
||
$\mathsf{E}_6$, $\mathsf{E}_7$, $\mathsf{E}_8$
|
||
(это делители числа Кокстера).
|
||
\end{remark}
|
||
\emph{Таблица Каца} дает для каждой $G$ и для каждого $p$
|
||
значения $k_i$ и степени элементов $x_i$.
|
||
Обозначим $d_i = \deg(x_i)$.
|
||
|
||
Заметим, что ${}_{\xi}(G/B) = ({}_{\xi}G)/B$; это дает короткую
|
||
точную последовательность
|
||
\[
|
||
{}_{\xi}G \to ({}_{\xi}G)/B \to BB,
|
||
\]
|
||
из которой получаем стрелку $\CH^*(BB)/p \to \CH({}_{\xi}(G/B))/p$.
|
||
Рассмотрим коммутативную диаграму
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
& \CH({}_{\xi}(G/B))/p \arrow{d} \arrow{dr}{\ph} \\
|
||
\CH^*(BB)/p \arrow{ur} \arrow{r}
|
||
& \CH^*(G/B) \arrow[->>]{r}
|
||
& \CH^*(G)/p \arrow[equal]{d} \\
|
||
& & (\mathbb{Z}/p)[x_i] / (x^{p^{k_i}}).
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
Нас интересует образ вертикальной стрелки
|
||
в $\CH^*(G/B)/p$.
|
||
Обозначим через $j_i$ наименьшее целое число такое, что
|
||
$x_i^{p^{j_i}} + \mbox{члены меньшего порядка} \in \im(\ph)$.
|
||
Порядок мы понимаем в смысле Deglex;
|
||
$x_1\leq x_2\leq\dots\leq x_r$, если
|
||
$d_1\leq d_2\leq\dots\leq d_r$.
|
||
Можно рассмотреть $\CH^(G)/p$ как комодуль над собой,
|
||
и тогда $\im(\ph)$ будет подкомодулем.
|
||
|
||
Заметим, что $0\leq j_i \leq k_i$, так как $x_i^{p^{k_i}} = 0$.
|
||
Равенство $j_i = 0$ равносильно тому, что
|
||
$x_i + \mbox{члены меньшего порядка}\in\im(\ph)$.
|
||
Набор чисел $(j_i)$ обозначим через $J_p(\xi)$
|
||
(он действительно зависит только от $\xi$, но не от ${}_{\xi}G$).
|
||
Тогда полином Пуанкаре выглядит так:
|
||
\[
|
||
P(R_p(G), t) = \prod_{i=1}^r\frac{1-t^{p^{j_i}\cdot d_i}}{1-t^{d_i}}.
|
||
\]
|
||
\begin{example}
|
||
Рассмотрим группу типа $\mathsf{F}_4$, $p=3$.
|
||
Тогда $\CH^*(G) = (\mathbb{Z}/3)[x_1]/(x_1^3)$,
|
||
где $d_1 = \deg x_1 = 4$.
|
||
Таким образом, $k_1=1$, и для $j_1$ есть два варианта: $0$ и $1$.
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item случай $J_p(\xi) = (0)$ неинтересен
|
||
(см. замечание: полином Пуанкаре равен $1$;
|
||
\item в случае $J_p(\xi) = (1)$ получаем полином Пуанкаре
|
||
\[\frac{1-t^{3\cdot 4}}{1-t^4} = 1 + t^4 + t^8.\]
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{example}
|
||
\begin{remark}
|
||
$J_p(\xi) = 0$ тогда и только тогда, когда ${}_{\xi}G$ расщепляется
|
||
расширением степени, взаимно простой с $p$.
|
||
\end{remark}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Пусть $G$~--- группа типа $\mathsf{G}_2$, $p=2$.
|
||
Тогда $\CH^*(G) = (\mathbb{Z}/2)[x_1]/(x_1^2)$, и $\deg x_1 = 3$.
|
||
Снова два случая:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item неинтересный: $J_p(\xi) = (0)$;
|
||
\item $J_p(\xi) = (1)$; полином Пуанкаре равен
|
||
\[\frac{1-t^{2\cdot 3}}{1-t^3} = 1 + t^3.\]
|
||
В этом случае $R_2({}_{\xi}(G))$~--- мотив Роста.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{example}
|
||
\begin{example}
|
||
В случаях $\mathsf{F}_4$, $\mathsf{E}_6$ при $p=2$ ответ тот же,
|
||
что и для $\mathsf{G}_2$.
|
||
\end{example}
|
||
\begin{example}
|
||
В случаях $\mathsf{E}_6^{\operatorname{sc}}$, $\mathsf{E}_7$
|
||
при $p=3$ ответ тот же, что и для $\mathsf{F}_4$.
|
||
\end{example}
|
||
\begin{remark}
|
||
Степень полинома $P(R_p(G), t)$ равна $\sum (p^{j_i}-1)d_i$.
|
||
Оказывается, это равно $\operatorname{cd}_p(X)$ (\emph{каноническая размерность}).
|
||
Попросту говоря, это наименьшая из размерностей рациональных циклов.
|
||
\end{remark}
|
||
\begin{example}
|
||
Пусть $G$~--- группа типа $\mathsf{E}_8$, $p=5$.
|
||
Тогда $\CH^*(G) = (\mathbb{Z}/5)[x_1]/(x_1^5)$,
|
||
и $\deg x_1 = 5+1 = 6$ (вообще, $\deg x_i = p+1$, если $r=1$).
|
||
В этом случае любое ${}_{\xi}G$-однородное проективное многообразие
|
||
является клеточным над общей точкой.
|
||
В нетривиальном случае полином Пуанкаре равен
|
||
\[
|
||
\frac{1-t^{5\cdot 6}}{1-t^6}.
|
||
\]
|
||
\end{example}
|
||
|
||
\begin{example}
|
||
Рассмотрим группу типа $\mathsf{E}_8$, $p=2$.
|
||
Тогда
|
||
\[
|
||
\CH^*(G) = (\mathbb Z/2)[x_1,x_2,x_3,x_4]/(x_1^8,x_2^4,x_3^2,x_4^2),
|
||
\]
|
||
$\deg x_1=3, \deg x_2 = 5, \deg x_3 = 9, \deg x_4 = 15$.
|
||
Это можно увидеть так:
|
||
элементы $x_2$ и $x_3$ получаются операцией Стинрода из $x^1$б
|
||
а именно, $x_2 = S^2(x_1)$ и $x_3 = S^4(x_2)$.
|
||
При этом $\deg S^m(x) = \deg x + m\cdot(p-1)$.
|
||
Если $m=\deg x$, то $S^m$~--- возведение в степень $p$;
|
||
если же $m > \deg x$, то $S^m(x) = 0$.
|
||
Операции Стинрода удовлетворяют следующим тождествам:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $S^m$ линейны;
|
||
\item $S^m(xy) = \sum_n S^n(x)S^{m-n}(y)$;
|
||
\item Adem relations.
|
||
\end{itemize}
|
||
Из первых двух соотношений следует, что $\sum_m S^m$~--- гомоморфизм
|
||
колец.
|
||
|
||
Что это означает для $J_p(\xi)$?
|
||
Мы знаем, что $J_p(\xi) = (j_1, j_2, j_3, j_4)$,
|
||
причем $0\leq j_1\leq 3$, $0\leq j_2\leq 2$, $0\leq j_3,j_4\leq 1$.
|
||
Из свойств $S^m$ следует, что $j_1\geq j_2\geq j_3$.
|
||
Кроме того, $j_1\leq j_2+1$ и $j_2\leq j_3+1$.
|
||
Если $j_1 = 3$, то $j_2=2$ и $j_3=1$.
|
||
Если же $j_1 = 0$, то $j_2=0$, $j_3=0$, и возникает
|
||
интересный случай, когда при этом $j_4=1$
|
||
(заметим, что из равенства $j_1=0$ следует,
|
||
что инвариант Роста по модулю $2$ тривиален).
|
||
Тогда
|
||
\[
|
||
P(R_2({}_{\xi}G), t) = \frac{1-t^{2\cdot 15}}{1-t^{15}} = 1 + t^{15},
|
||
\]
|
||
как у мотива Роста.
|
||
Как мы уже упоминали, Никита Семенов доказал, что из этого следует,
|
||
что это и есть мотив Роста.
|
||
Получается некоторый инвариант в $H^5(F,\mathbb{Z}/2)$.
|
||
\end{example}
|
||
|
||
% 16.04.2012
|
||
|
||
\subsection{Набросок доказательства теоремы~\ref{thm:ZPS}}
|
||
|
||
Во-первых, нам понадобится <<теорема Крулля--Шмидта>>.
|
||
О какой категории идет речь?
|
||
Зафиксируем ${}_{\xi}G$ и рассмотрим категорию мотивов
|
||
по модулю простого числа $p$, а в ней~--- псевдоабелеву
|
||
подкатегорию, порожденную мотивами ${}_{\xi}G$-однородных
|
||
многообразий.
|
||
То есть, мы берем замыкание относительно взятия прямых слагаемых и
|
||
свдигов (и тензорных произведений, хотя это не важно).
|
||
|
||
\begin{theorem}[Черноусов--Меркурьев]\label{thm:ChM}
|
||
В этой категории выполнена теорема Крулля--Шмидта:
|
||
если есть разложение объекта в прямую сумму неразложимых,
|
||
то оно единственно.
|
||
\end{theorem}
|
||
Пусть теперь $X,Y$~--- проективные однородные многообразия,
|
||
$X\xrightarrow{f} Y$~--- локально (по Зарискому) тривиальное
|
||
расслоение с клеточным слоем $F$.
|
||
В силу клеточности $F$, его мотив раскладывается в
|
||
сумму сдвигов мотивов Тейта:
|
||
\[
|
||
M(F) = \bigoplus\mathbb{Z}\{i\}.
|
||
\]
|
||
Тогда $M(X) = M(Y)\otimes M(F) = \bigoplus M(Y)\{i\}$.
|
||
Поэтому, в частности,
|
||
$\CH(X) = \CH(Y)\otimes\CH(F)$ как $\CH(Y)$-модуль.
|
||
Это можно понять явно:
|
||
если наше расслоение тривиализуется над $U\subseteq Y$,
|
||
то морфизм $U\times F \to U$ дает нам возможность
|
||
по элементу $a\in\CH^*(F)$ построить
|
||
цикл $1\times a$ и рассмотреть его замыкание в $X$.
|
||
Такие замыкания как раз и образуют $\CH(Y)$-базис в $\CH(X)$,
|
||
если в качестве $a$ брать элементы базиса $\CH(F)$.
|
||
|
||
Пусть теперь $X$~--- ${}_{\xi}G$-однородное проективное
|
||
многообразие: $X = {}_{\xi}(G/P)$.
|
||
Рассмотрим расслоение
|
||
${}_{\xi}(G/b) \to X$ со слоем $P/B$.
|
||
Над $F(X)$ наш торсор становится тривиальным,
|
||
поэтому расслоение выглядит как $G/B \to G/P$.
|
||
Оно локально тривиально по Зарискому, поэтому
|
||
это верно и над некоторым открытым $U\subseteq X$.
|
||
Теперь мы можем подействовать группой $G$ и покрыть все $X$
|
||
такими открытыми.
|
||
Значит, все отображение локально тривиально по Зарискому.
|
||
По теореме~\ref{thm:ChM} $M({}_{\xi}(G/B)) = M(X)\otimes M(P/B)$.
|
||
Поэтому, если $M({}_{\xi}(G/B))\otimes(\mathbb{Z}/p)$
|
||
раскладывается в сумму сдвигов $R_p(\xi)$, то и $M(X)$
|
||
тоже (по теореме Крулля--Шмидта).
|
||
|
||
Значит, достаточно для случая $X = {}_{\xi}(G/B)$ доказать,
|
||
что $M(X)\otimes(\mathbb{Z}/p)$ раскладывается в сумму
|
||
неразложимых кусков $R_p(\xi)$ со сдвигами.
|
||
Рассмотрим коммутативную диаграмму
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
\CH^*(BB)/p \arrow{r} \arrow[equal]{d}
|
||
& \CH^*({}_{\xi}(G/B))/p \arrow[->>]{r} \arrow{d}
|
||
& \CH^*(\xi)/p \arrow{d} \\
|
||
\CH^*(BB)/p \arrow{r}
|
||
& \CH^*(G/B)/p \arrow[->>]{r}
|
||
& \CH^*(G)/p.
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item
|
||
Мы знаем, что над замыканием
|
||
$\CH^*(G)/p = (\mathbb{Z}/p)[x_1,\dots,x_r] / (x_i^{p^{k_i}})$,
|
||
и образ $\CH^*(BB)/p$ в $\CH^*(G/B)/p$
|
||
состоит из рациональных циклов.
|
||
Обозначим через $e_i$ любой прообраз элемента $x_i$.
|
||
\item Из определения $J_p(\xi) = (j_1,\dots,j_r)$ мы знаем,
|
||
что $e_i^{p^{j_i}} + \mbox{добавка}$~--- тоже рациональный цикл.
|
||
У $\CH^*(G/B)/p$ как $\CH^*(BB)/p$-модуля есть система образующих
|
||
(точнее, базис над образом $\CH^*(BB)/p$), состоящая
|
||
из элементов вида $e^I=e_1^{j_1}\dots e_r^{i_r}$,
|
||
где $I = (i_1,\dots,i_r)$, и $0\leq I \leq p^K-1$
|
||
(то есть, $0\leq i_m \leq p^{k_m}-1$ для всех $m$).
|
||
\item Ищем рациональные циклы на $X\times X$ при помощи
|
||
метода общей точки:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
\CH^*(X\times X) \arrow[->>]{r} \arrow{d}{\res}
|
||
& \CH^*(X_{F(X)}) \arrow{d}{\isom} \\
|
||
\CH^*(G/B\times G/B) \arrow[->>]{r}
|
||
& \CH^*((G/B)_{F(X)}).
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
Возьмем какой-нибудь прообраз $\alpha_i\in\CH^*(X\times X)$
|
||
элемента $e_i\in\CH^*((G/B)_{F(X)})$,
|
||
и пусть $\ol{\alpha_i} = \res(\alpha_i)$~--- его образ
|
||
в $\CH^*(G/B\times G/B)$.
|
||
Тогда $\ol{\alpha_i} = e_i \times 1 + \mbox{добавка}$.
|
||
Более аккуратные рассуждения показывают, что
|
||
$\ol{\alpha_i} = e_i \times 1 + (\mbox{добавка}) - 1\times e_i$.
|
||
\item Пусть цикл $a\in\im(\CH^*(BB)/p)$ рационален.
|
||
Можно найти <<двойственный>> к нему
|
||
цикл $\alpha^{\vee} \in\im(\CH^*(BB)/p)$ такой, что
|
||
$\deg(e^{p^k-1}\cdot a \cdot a^{\vee}) = 1$.
|
||
То есть, на $\im(\CH^*(BB)/p)$ есть невырожденная билинейная
|
||
форма со значениями в $\mathbb Z/p$.
|
||
Тогда цикл
|
||
\[
|
||
q = \alpha^{p^J-1} \cdot
|
||
\left(e^{p^JM}a\times e^{p^J(p^{K-J}-1-M)}a^\vee\right)
|
||
\]
|
||
рационален, поскольку $\alpha^{p^J-1}$ рационален,
|
||
и степени $e^{p^J}$ рациональны (по определению
|
||
$J$-инварианта).
|
||
Нетрудно проверить, что $q$~--- проектор
|
||
(если проигнорировать добавки).
|
||
Построение $q$ зависит от произвольных $M$ и $a$ из образа.
|
||
Если брать все возможные $M$ такие, что $0\leq M \leq p^{K-J}-1$,
|
||
и $a$ из базиса образа, получается
|
||
набор попарно ортогональных проекторов, которые в сумме
|
||
дают диагональ.
|
||
|
||
Упражнение: некоторая степень любого элемента конечного моноида
|
||
является идемпотентом
|
||
(на самом деле, нужно брать не такую степень, а еще большую
|
||
степень этого, чтобы убить добавки).
|
||
|
||
Посчитаем $q\cdot q$.
|
||
Можно считать, что $\alpha = e\times 1 - 1\times e$.
|
||
Тогда
|
||
$\alpha^{p^J-1} = \sum_{I} e^I \times e^{p^J-1-I}$,
|
||
и поэтому
|
||
\[
|
||
q = \sum_I e^{p^J M + I} a
|
||
\times e^{p^K-p^J M - 1 - I}a^{\vee}
|
||
= \deg(e^{p^K-1} a a^{\vee})(\dots).
|
||
\]
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
\subsection{Группы типа $\mathsf{F}_4$}
|
||
|
||
Приведем пример многообразия, не расщепимого над общей точкой.
|
||
Будем обозначать расщепимые октонионы через $\mathbb{O}$,
|
||
а их компактную форму (над $\mathbb{R}$) через $C$.
|
||
Напомним, что над $\mathbb{R}$
|
||
бывают такие группы типа $\mathsf{F}_4$:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $H_3(\mbox{компактная форма},C)$:
|
||
$\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\draw (1)--(2);
|
||
\draw (3)--(4);
|
||
\draw (2) edge[transform canvas={yshift=2pt}] (3);
|
||
\draw (2) edge[transform canvas={yshift=-2pt}] (3);
|
||
\draw ($\sm*(2.0, 0.2)$) -- ($\sm*(2.2, 0)$) -- ($\sm*(2.0, -0.2)$);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}$
|
||
|
||
\item $H_3(\mathbb{O})$:
|
||
$\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\draw (1)--(2);
|
||
\draw (3)--(4);
|
||
\draw (2) edge[transform canvas={yshift=2pt}] (3);
|
||
\draw (2) edge[transform canvas={yshift=-2pt}] (3);
|
||
\draw ($\sm*(2.0, 0.2)$) -- ($\sm*(2.2, 0)$) -- ($\sm*(2.0, -0.2)$);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}$
|
||
|
||
\item $H_3(\mbox{гиперболическая форма}, C)$:
|
||
$\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\draw (1)--(2);
|
||
\draw (3)--(4);
|
||
\draw (2) edge[transform canvas={yshift=2pt}] (3);
|
||
\draw (2) edge[transform canvas={yshift=-2pt}] (3);
|
||
\draw ($\sm*(2.0, 0.2)$) -- ($\sm*(2.2, 0)$) -- ($\sm*(2.0, -0.2)$);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\draw [black] (4) circle (5.0pt);
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
$
|
||
\end{enumerate}
|
||
Что нарисовано в последнем случае?
|
||
Существует поле $F$ (например, $F=\mathbb{R}$) и группа типа
|
||
$\mathsf{F}_4$ над ним такие, что параболическая подгруппа
|
||
типа $P_4$ определена над $\mathbb{R}$, а остальные~--- нет.
|
||
Пусть $\xi\in H^1(F,\mathsf{F}_4)$~--- коцикл,
|
||
$X = {}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_4)$.
|
||
Тогда $\xi_{F(X)}$ может дать группу с индексом
|
||
$\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\draw (1)--(2);
|
||
\draw (3)--(4);
|
||
\draw (2) edge[transform canvas={yshift=2pt}] (3);
|
||
\draw (2) edge[transform canvas={yshift=-2pt}] (3);
|
||
\draw ($\sm*(2.0, 0.2)$) -- ($\sm*(2.2, 0)$) -- ($\sm*(2.0, -0.2)$);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\draw [black] (4) circle (5.0pt);
|
||
\end{tikzpicture}$.
|
||
По модулю $2$ есть два инварианта:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $f_3\colon H^1(F, \mathsf{F}_4) \to H^3(F, \mathbb{Z}/2)$;
|
||
\item $f_5\colon H^1(F, \mathsf{F}_4) \to H^5(F, \mathbb{Z}/2)$.
|
||
\end{itemize}
|
||
Если у поля нет расширений нечетной степени, то это чистые формы.
|
||
Поэтому есть $3$-кратная и $5$-кратная формы Пфистера,
|
||
ассоциированные с $\xi$.
|
||
|
||
Пусть $J$~--- 27-мерная йорданова алгебра.
|
||
Предполагаем, что она приведенная (reduced).
|
||
Наш коцикл $\xi\in H^1(F,\mathsf{F}_4)$
|
||
удовлетворяет следующим равносильным условиям:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item
|
||
Каноническое отображение $H^1(F,\mathsf{F}_4) \to H^1(F,\mathsf{E}_6)$
|
||
переводит наш коцикл $\xi$
|
||
в изотропную группу с индексом Титса
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6);
|
||
\draw (2)--(4);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\draw [black] (1) circle (5.0pt);
|
||
\draw [black] (6) circle (5.0pt);
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
\item $g_3(\xi)=0$, где
|
||
$g_3\colon H^1(F,\mathsf{F}_4) \to H^3(F,\mu_3^{\otimes 2})$.
|
||
Этого всегда можно добиться кубическим расширением;
|
||
а если нет расширений нечетной степени, то это заведомо так.
|
||
\item Пусть $Q_x(y) = xyx$~--- квадратичная операция в $J$.
|
||
Элемент $e\in J$ называется \term{идемпотентом ранга $1$},
|
||
если $Q_e(J)\leq Fe$. Это равносильно тому, что
|
||
$N(e)=0$ и $e^{\sharp}=0$ (или тому, что $N(e,e,x)=0$ для всех
|
||
$x\in J$).
|
||
Рассмотрим многообразие
|
||
\[
|
||
\{\la e\ra \mid e\mbox{ --- идемпотент ранга $1$}\} =
|
||
{}_{\xi}(\mathsf{E}_6/P_6).
|
||
\]
|
||
Условие состоит в том, что у него есть рациональная точка.
|
||
\end{enumerate}
|
||
Поэтому внутри ${}_{\xi}(\mathsf{E}_6/P_6)$ есть $\mathbb{G}_m$,
|
||
которая дает разложение вида
|
||
$J = Fe\oplus U\oplus V$ по весовым пространствам $\mathbb{G}_m$.
|
||
При этом $\dim U = 16$, $\dim V = 10$.
|
||
Будем записывать элементы $J$ как тройки
|
||
вида $(\alpha,b,c)$ в соответствии с этим разложением.
|
||
Заметим, что ${}_{\xi}(\mathsf{E}_6/P_6)$~--- замкнутое
|
||
подмногообразие в $\mathbb{P}(J)$.
|
||
Следующая фильтрация будет $\Spin_{10}$-инвариантной:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}[column sep=0.4em]
|
||
{}_{\xi}(\mathsf{E}_6/P_6)
|
||
& \arrow{d}{\mathbb{A}^{16}}
|
||
& \{\alpha=0\} \arrow[left hook->]{ll}
|
||
& \arrow{d}{\mathbb{A}^{5}}
|
||
& \{\alpha=0,b=0\} = \Spin_{10}/P_1\arrow[left hook->]{ll} \\
|
||
& \{b=0,c=0\} = \pt
|
||
&
|
||
& \{\alpha=0,c=0\} = \Spin_{10}/P_5
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
Можно начать с другого конца и получить такую фильтрацию:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}[column sep=0.4em]
|
||
{}_{\xi}(\mathsf{E}_6/P_6)
|
||
& \arrow{d}\mathbb{A}^{8}
|
||
& \{c=0\} \arrow[left hook->]{ll}
|
||
& \arrow{d}\mathbb{A}^{1}
|
||
& \{c=0,b=0\} = \pt \arrow[left hook->]{ll} \\
|
||
& \{b=0,\alpha=0\} = \Spin_{10}/P_1
|
||
&
|
||
& \{c=0,\alpha=0\} = \Spin_{10}/P_5
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
Кстати, $\Spin_{10}/P_1$~--- это восьмимерная пфистерова квадрика,
|
||
которая и дает отображение $f_3$.
|
||
|
||
Если у ${}_{\xi}(\mathsf{E}_6/P_6)$ есть рациональная точка,
|
||
то есть большая клетка, и оно бирационально эквивалентно
|
||
проективному пространству:
|
||
\begin{eqnarray*}
|
||
{}_{\xi}(\mathsf{E}_6/P_6) & \dashrightarrow
|
||
& \mathbb{P}(Fe\oplus U),\\
|
||
{}[\alpha:b:c] & \mapsto & [\alpha:b],\\
|
||
{}[\alpha^2:\alpha b:Q_b(e)] & \mapsfrom & [\alpha:b].
|
||
\end{eqnarray*}
|
||
Локус стрелки $[\alpha:b:c]\mapsto [\alpha:b]$~--- восьмимерная
|
||
квадрика.
|
||
Локус стрелки $[\alpha:b]\mapsto [\alpha^2:\alpha b:Q_b(e)]$~---
|
||
это $\{\alpha=0, Q_b(e)=0\} = \Spin_{10}/P_5$~--- скрученная
|
||
форма максимального ортогонального грассманиана.
|
||
|
||
Многообразие ${}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_4)$ живет внутри
|
||
${}_{\xi}(\mathsf{E}_6/P_6)$ как гиперплоское сечение
|
||
вида $\alpha + t(c) = 0$, где $t$~--- линейная форма на $V$
|
||
(напомним, что $\dim V = 10$).
|
||
Давайте пересечем все с этим уравнением.
|
||
Получим бирациональное отображение
|
||
\[
|
||
{}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_4) \dashrightarrow Q.
|
||
\]
|
||
Локус слева~--- семимерная квадрика $\Spin_9/P_1$.
|
||
Локус справа~--- пятнадцатимерная квадрика
|
||
$\{\alpha^2 + t(Q_b(e)) = 0\} = \Spin_{10}/P_5 = \Spin_9 / P_4$.
|
||
Здесь $Q$~--- норменная квадрика:
|
||
мы начали с формы Пфистера $\lAngle a,b,c,d,e\rAngle$.
|
||
Семнадцатимерная
|
||
квадратичная форма $\la a\ra\perp \lAngle b,c,d,e\rAngle$~---
|
||
инвариант этой формы.
|
||
Ассоциированная с ней пятнадцатимерная квадрика и есть $Q$.
|
||
|
||
Что дальше?
|
||
Оказывается, $\Bl_{\Spin_9/P_1}({}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_4)) \isom
|
||
\Bl_{\Spin_9/P_4}(Q)$.
|
||
Для мотива раздутия есть формула вида
|
||
\[
|
||
M(\Bl_X(Y)) = M(Y) \oplus ( M(X)\otimes M(\mathbb{P}(N_XY))\{\dots\}).
|
||
\]
|
||
Мотив норменной квадрики раскладывается в один экземпляр
|
||
мотива Роста $R(\lAngle a,b,c,d,e\rAngle)$ (он как раз
|
||
пятнадцатимерный) и $R(\lAngle b,c,d,e\rAngle)$
|
||
в нужном количестве (7 штук):
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin,font=\scriptsize]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (0) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(8.4, 0)$);
|
||
\coordinate (7) at ($\sm*(9.8, 0)$);
|
||
\coordinate (8) at ($\sm*(11.2, 0)$);
|
||
\coordinate (9) at ($\sm*(12.6, 0)$);
|
||
\coordinate (10) at ($\sm*(14.0, 0)$);
|
||
\coordinate (11) at ($\sm*(15.4, 0)$);
|
||
\coordinate (12) at ($\sm*(16.8, 0)$);
|
||
\coordinate (13) at ($\sm*(18.2, 0)$);
|
||
\coordinate (14) at ($\sm*(19.6, 0)$);
|
||
\coordinate (15) at ($\sm*(21.0, 0)$);
|
||
\coordinate (p1) at ($\sm*(6.8, 1)$);
|
||
\coordinate (p2) at ($\sm*(7.0, 1)$);
|
||
\coordinate (p3) at ($\sm*(7.2, 1)$);
|
||
\coordinate (p4) at ($\sm*(15.2, 1)$);
|
||
\coordinate (p5) at ($\sm*(15.4, 1)$);
|
||
\coordinate (p6) at ($\sm*(15.6, 1)$);
|
||
\draw (0)--(1)--(2)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7)--(8)--(9)--(10)--(11)--(12)--(13)--(14)--(15);
|
||
\draw[dashed] (0) edge[bend left=45](15);
|
||
\draw[dotted] (1) edge[bend left=35](8);
|
||
\draw[dotted] (2) edge[bend left=35](9);
|
||
\draw[dotted] (7) edge[bend left=35](14);
|
||
\node at (0) [below=5pt] {$0$};
|
||
\node at (1) [below=5pt] {$1$};
|
||
\node at (2) [below=5pt] {$2$};
|
||
\node at (3) [below=5pt] {$3$};
|
||
\node at (4) [below=5pt] {$4$};
|
||
\node at (5) [below=5pt] {$5$};
|
||
\node at (6) [below=5pt] {$6$};
|
||
\node at (7) [below=5pt] {$7$};
|
||
\node at (8) [below=5pt] {$8$};
|
||
\node at (9) [below=5pt] {$9$};
|
||
\node at (10) [below=5pt] {$10$};
|
||
\node at (11) [below=5pt] {$11$};
|
||
\node at (12) [below=5pt] {$12$};
|
||
\node at (13) [below=5pt] {$13$};
|
||
\node at (14) [below=5pt] {$14$};
|
||
\node at (15) [below=5pt] {$15$};
|
||
\foreach \point in
|
||
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\foreach \point in
|
||
{p1,p2,p3,p4,p5,p6}
|
||
{
|
||
\fill [black] (\point) circle (0.7pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
Мотив норменной квадрики $\Spin_9/P_1$ раскладывается
|
||
в $R(\lAngle b,c,d,e\rAngle)$ (1 штука) и мотивы Роста,
|
||
соответствующие $f_3$.
|
||
Многообразие $\Spin_9/P_4$ расщепимо над общей точкой.
|
||
Мотив ${}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_4)$ выглядит так:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin,font=\scriptsize]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(5.2, 1)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(6.6, 1)$);
|
||
\coordinate (7) at ($\sm*(8.0, 1)$);
|
||
\coordinate (8) at ($\sm*(9.4, 1)$);
|
||
\coordinate (9) at ($\sm*(10.8, 1)$);
|
||
\coordinate (10) at ($\sm*(12.2, 1)$);
|
||
\coordinate (11) at ($\sm*(13.6, 1)$);
|
||
\coordinate (12) at ($\sm*(15.0, 1)$);
|
||
\coordinate (5x) at ($\sm*(5.2, -1)$);
|
||
\coordinate (6x) at ($\sm*(6.6, -1)$);
|
||
\coordinate (7x) at ($\sm*(8.0, -1)$);
|
||
\coordinate (8x) at ($\sm*(9.4, -1)$);
|
||
\coordinate (9x) at ($\sm*(10.8, -1)$);
|
||
\coordinate (10x) at ($\sm*(12.2, -1)$);
|
||
\coordinate (11x) at ($\sm*(13.6, -1)$);
|
||
\coordinate (12x) at ($\sm*(15.0, -1)$);
|
||
\coordinate (13) at ($\sm*(16.0, 0)$);
|
||
\coordinate (14) at ($\sm*(17.4, 0)$);
|
||
\coordinate (15) at ($\sm*(18.8, 0)$);
|
||
\coordinate (16) at ($\sm*(20.2, 0)$);
|
||
\node at ($\sm*(0, -2)$) {$0$};
|
||
\node at ($\sm*(1.4, -2)$) {$1$};
|
||
\node at ($\sm*(2.8, -2)$) {$2$};
|
||
\node at ($\sm*(4.2, -2)$) {$3$};
|
||
\node at ($\sm*(5.2, -2)$) {$4$};
|
||
\node at ($\sm*(6.6, -2)$) {$5$};
|
||
\node at ($\sm*(8.0, -2)$) {$6$};
|
||
\node at ($\sm*(9.4, -2)$) {$7$};
|
||
\node at ($\sm*(10.8, -2)$) {$8$};
|
||
\node at ($\sm*(12.2, -2)$) {$9$};
|
||
\node at ($\sm*(13.6, -2)$) {$10$};
|
||
\node at ($\sm*(15.0, -2)$) {$11$};
|
||
\node at ($\sm*(16.0, -2)$) {$12$};
|
||
\node at ($\sm*(17.4, -2)$) {$13$};
|
||
\node at ($\sm*(18.8, -2)$) {$14$};
|
||
\node at ($\sm*(20.2, -2)$) {$15$};
|
||
\draw (1)--(2)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7)--(8)--(9)--(10)--(11)--(12)--(13)--(14)--(15)--(16);
|
||
\draw (4)--(5x)--(6x)--(7x)--(8x)--(9x)--(10x)--(11x)--(12x)--(13);
|
||
\draw[dashed] (1) edge[bend left=45](16);
|
||
\draw[dotted] (2) edge[bend left=45](5);
|
||
\draw[dotted] (3) edge[bend left=45](6);
|
||
\draw[dotted] (4) edge[bend right=35](7);
|
||
\draw[dotted] (8) edge[bend left=45](11);
|
||
\draw[dotted] (9) edge[bend left=45](12);
|
||
\draw[dotted] (10) edge[bend right=35](13);
|
||
\draw[dotted] (5x) edge[bend right=45](8x);
|
||
\draw[dotted] (6x) edge[bend right=45](9x);
|
||
\draw[dotted] (7x) edge[bend left=45](10x);
|
||
\draw[dotted] (11x) edge[bend right=45](14);
|
||
\draw[dotted] (12x) edge[bend right=45](15);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5x,6x,7x,8x,9x,10x,11x,12x,13,14,15,16}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
Предположим, что у ${}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_4)$ есть точка
|
||
над $F'$, где $F'/F$~--- расширение нечетной степени.
|
||
Верно ли, что у него есть точка над $F$?
|
||
Если есть два проективных гладких многообразия $Y_1,Y_2$,
|
||
которые бирационально эквивалентны, то
|
||
$Y_1(F)\neq\varnothing$ тогда и только тогда,
|
||
когда $Y_2(F)\neq\varnothing$.
|
||
Теперь из ${}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_4)(F')\neq\varnothing$
|
||
следует, что $Q(F')\neq\varnothing$,
|
||
и по теореме Спрингера $Q(F)\neq\varnothing$,
|
||
откуда ${}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_4)(F)\neq\varnothing$.
|
||
|
||
Мы получили картинку
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
\Bl_{\Spin_9/P_1}({}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_4)) \arrow{r}{\isom}\arrow{d}
|
||
& \Bl_{\Spin_9/P_4}Q\arrow{d} \\
|
||
{}_{\xi}(\mathsf{F}_4/P_4) & Q
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
|
||
% 23.04.2012
|
||
|
||
\subsection{Многообразия, клеточные над общей точкой}
|
||
|
||
Вернемся к общей ситуации: по коциклу $\xi\in H^1(F,G)$, где
|
||
$G$~--- расщепимая группа, и простому числу $p$ мы построили
|
||
набор чисел $J_p(\xi) = (j_1,\dots,j_r)$.
|
||
Теорема Зайнуллина--Петрова--Семенова~\ref{thm:ZPS} утверждает,
|
||
что если $X$~--- ${}_{\xi}G$-однородное многообразие, клеточное
|
||
над $F(X)$, то $M(X)\otimes\mathbb{Z}/p = \bigoplus R_p(G)\{\dots\}$,
|
||
и
|
||
\[
|
||
P(R_p(G),t) = \prod\frac{1-t^{p^{j_i}d_i}}{1-t^{d_i}}.
|
||
\]
|
||
\begin{remark}
|
||
При помощи знания $J_p(\xi)$ для всех $p$ можно описать все такие $X$.
|
||
\end{remark}
|
||
Выше мы встречали точную последовательность вида
|
||
\[
|
||
\CH^*(BB) \to \CH^*(G/B) \to CH^*(G) \to 0.
|
||
\]
|
||
Пусть $X = {}_{\xi}(G/P)$.
|
||
Попробуем нарисовать аналогичную последовательность для $P$:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
\CH^*(BP) \arrow{d} \\
|
||
\CH^*(G/P) \arrow{r} & \CH^*(G)\arrow{r} & \CH^*(P)\arrow{r} & 0
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
Нижняя строка этой диаграммы является точною последовательностью
|
||
градуированных колец.
|
||
Однако, точность всей последовательности в члене $\CH^*(G/P)$
|
||
неизвестна.
|
||
При этом $\CH^*(P) \isom \CH^*(L)$ (поскольку $P/U\isom L$,
|
||
а $U$ аффинно).
|
||
Более того, мы утверждаем, что $\CH^*(L) \isom \CH^*([L,L])$.
|
||
Почему это так?
|
||
Рассмотрим коммутативную диаграмму
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
\CH^*(BB_L) \arrow{r}\arrow{d}
|
||
& \CH^*(L/B) \arrow{r}\arrow{d}{\isom}
|
||
& \CH^*(L) \arrow{d}\arrow{r}
|
||
& 0 \\
|
||
\CH^*(BB_{[L,L]}) \arrow{r}
|
||
& \CH^*(L/B) \arrow{r}
|
||
& \CH^*([L,L]) \arrow{r}
|
||
& 0
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
Здесь $B_L$ обозначает борелевскую подгруппу в $L$, а
|
||
$B_{[L,L]}$~--- борелевскую в $[L,L]$.
|
||
Левая вертикальная стрелка не обязана быть изоморфизмом,
|
||
однако образы $\CH^*(BB_L)$ и $\CH^*(BB_{[L,L]})$ в
|
||
$\CH^*(L/B)$ совпадают.
|
||
Это утверждение достаточно проверить на $\CH^1$.
|
||
|
||
Обозначим $H = [L,L]$.
|
||
Мы получили точную последовательность
|
||
\[
|
||
\CH^*(G/P)/p \to \CH^*(G)/p \xrightarrow{\ph} \CH^*(H)/p \to 0.
|
||
\]
|
||
Нам известно, что
|
||
$\CH^*(G)/p = (\mathbb{Z}/p)[x_1,\dots,x_r]/(x_i)^{p^{k_i}}$
|
||
и
|
||
$\CH^*(H)/p = (\mathbb{Z}/p)[y_1,\dots,y_s]/(y_j)^{p^{l_j}}$.
|
||
|
||
Оказывается, есть отображение $\sigma\colon\{1,\dots,s\}\to\{1,\dots,r\}$
|
||
такое, что
|
||
\[
|
||
\ph(x_{\sigma(m)}) = c\cdot y_m + \mbox{члены меньшего порядка},
|
||
\]
|
||
где $c\in (\mathbb{Z}/p)^*$~--- некоторая константа.
|
||
|
||
\begin{theorem}\label{thm:cellularity}
|
||
Пусть $G$~--- простая расщепимая группа,
|
||
$\xi\in H^1(F,G)$, $X = {}_{\xi}(G/P)$, $Y = {}_{\xi}(G/B)$.
|
||
Тогда следующие условия эквивалентны.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $X$~--- клеточное над общей точкой.
|
||
\item Композиция отображений
|
||
\[
|
||
\CH^*({}_{\xi}(G/B)) \xrightarrow{\res} \CH^*(G/B) \to \CH^*(G) \to
|
||
\CH^*(P)
|
||
\]
|
||
сюръективна.
|
||
\item Для любого простого $p$ выполняются условия
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item $j_{\sigma(m)}(\xi) = 0$, если $m$ такое, что $\deg(y_m) > 1$;
|
||
\item\label{item:thm-mod-p} композиция отображений
|
||
\[
|
||
\CH^1({}_{\xi}(G/B))/p \xrightarrow{\res} \CH^1(G/B)/p \to \CH^1(G)/p \to
|
||
\CH^1(P)/p
|
||
\]
|
||
сюръективна.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{theorem}
|
||
\begin{example}
|
||
Пусть $\xi\in H^1(F,\mathsf{E}_7)$, $X = {}_{\xi}(\mathsf{E}_7/P_7)$.
|
||
Когда $X$ расщепимо над общей точкой?
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $p=2$. В этом случае
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[remember picture]
|
||
\node (a1) {$\CH^*(\mathsf{E}_7)/2 = (\underset{\deg:}{\mathbb{Z}/2})
|
||
[\underset{1}{x_1}, \subnode{x1}{$\underset{3}{x_2}$}, \underset{5}{x_3},
|
||
\underset{9}{x_4}]/(\dots)$};
|
||
\node (b1) [below=of a1] {$\CH^*(\mathsf{E}_6)/2 =
|
||
(\underset{\deg:}{\mathbb{Z}/2})[\subnode{y1}{$\underset{3}{y_1}$}]/(y_1^2)$};
|
||
\draw[|->] (x1.south) -- (y1.north);
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
Условие~(\ref{item:thm-mod-p}) теоремы~\ref{thm:cellularity}
|
||
превращается в $j_2 = 0$.
|
||
Элементы $x_3$, $x_4$ получаются операцией Стинрода, и потому
|
||
$j_3 = j_4 = 0$ автоматически.
|
||
\item $p=3$. В этом случае
|
||
\end{itemize}
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[remember picture]
|
||
\node (a2) {$\CH^*(\mathsf{E}_7)/3 = (\underset{\deg:}{\mathbb{Z}/3})
|
||
[\subnode{x2}{$\underset{4}{x_1}$}]/(x_1^3)$};
|
||
\node (b2) [below=of a2] {$\CH^*(\mathsf{E}_6)/3 =
|
||
(\underset{\deg:}{\mathbb{Z}/3})[\subnode{y2}{$\underset{4}{y_1}$}]/(y_1^3)$};
|
||
\draw[|->] (x2.south) -- (y2.north);
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
Условие состоит в том, что $j_1=0$; и тогда весь $j$-инвариант для модуля $3$
|
||
равен нулю.
|
||
\end{example}
|
||
Задача: посчитать $j_2$ для компактной формы $\mathsf{E}_7$ над $\mathbb{R}$.
|
||
Эквивалентно:
|
||
\begin{equation}\label{eqn:condition-e7}
|
||
\begin{array}{p{0.8\textwidth}}
|
||
верно ли, что над полем $\mathbb{R}(\SB(\mathbb{H}))$
|
||
(которое изоморфно $\Frac(\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-1))$)
|
||
компактная форма $\mathsf{E}_7$ расщепляется?
|
||
\end{array}
|
||
\end{equation}
|
||
Еще одна эквивалентная формулировка: пусть $R_2(\xi)$~--- мотив Роста,
|
||
отвечающий кватернионам.
|
||
Сравним ${}_{\xi}(\mathsf{E}_7/P_7)$ и $\SB(\mathbb{H})$.
|
||
Над $F({}_{\xi}(\mathsf{E}_7/P_7))$ алгебра Титса ($\mathbb{H}$)
|
||
тривиальна, и потому $\SB(\mathbb{H})$ приобретает рациональную точку.
|
||
Если условие~\ref{eqn:condition-e7} выполняется, то верно и обратное:
|
||
над $F(\SB(\mathbb{H}))$ многообразие ${}_{\xi}(\mathsf{E}_7/P_7)$
|
||
имеет рациональную точку. Почему это так?
|
||
\begin{theorem}
|
||
Пусть $X,Y$~--- проективные однородные многообразия (возможно,
|
||
относительно разных групп), $p$~--- простое число.
|
||
Предположим, что $X_{F(Y)}$ и $Y_{F(X)}$ имеют рациональные точки.
|
||
Тогда $M(X)\otimes(\mathbb{Z}/p)$ и $M(Y)\otimes(\mathbb{Z}/p)$
|
||
имеют общее слагаемое, <<задевающее>> точку
|
||
(то есть, $q\in\CH^{\dim X}(X\times X)$~--- проектор,
|
||
и $\im(q)$ над замыканием содержит $\pt\in\CH^{\dim X}(X)$).
|
||
\end{theorem}
|
||
|
||
\begin{proposition}
|
||
Если есть изотропная ${}_{\xi}G$, и анизотропное ядро типа $H$,
|
||
то $\xi$ приходит из $\zeta\in H^1(F,H)$.
|
||
Тогда $J_p(\xi)$ выражается через $J_p(\zeta)$:
|
||
\[
|
||
j_i(\xi) = \begin{cases} j_m(\zeta), & \text{если $i=\sigma(m)$
|
||
для некоторого $m$};\\
|
||
0, & \text{иначе}.
|
||
\end{cases}
|
||
\]
|
||
Поэтому имеет смысл считать $J_p(\xi)$ только для анизотропных
|
||
групп (то есть, над $\mathbb{R}$~--- только для компактных форм).
|
||
\end{proposition}
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $\mathsf{G}_2$, $\mathsf{F}_4$:
|
||
$(\underset{\deg:}{\mathbb{Z}/2})[\underset{3}{x_1}]/(x_1^2)$,
|
||
$J_2(\xi) = (1)$~--- а не $0$, ибо у $\mathbb{R}$ нет расширений нечетной
|
||
степени. При этом $R_2(\xi)$~--- мотив Роста $\lAngle -1,-1,-1\rAngle$.
|
||
\item $\mathsf{E}_6$: компактная форма есть, но она внешняя.
|
||
\item $\mathsf{E}_7$: $(\underset{\deg:}{\mathbb{Z}/2})
|
||
[\underset{1}{x_1}, \underset{3}{x_2}, \underset{5}{x_3}, \underset{9}{x_4}]$.
|
||
\end{itemize}
|
||
\begin{proposition}\label{prop:j-inv-for-e7}
|
||
В этом случае $J_2(\xi) = (1, 0, 0, 0)$, $R_2(\xi)$~--- это мотив Роста
|
||
квадрики $\lAngle -1, -1\rAngle$.
|
||
\end{proposition}
|
||
Для доказательства этого утверждения нужен \term{инвариант Роста}.
|
||
|
||
\subsection{Инвариант Роста}
|
||
Пусть $G$~--- простая, односвязная, но не обязательно расщепимая группа.
|
||
Тогда есть инвариант
|
||
\[
|
||
r\colon H^1(F,G) \to H^3(F, (\mathbb{Q}/\mathbb{Z})(2))
|
||
= \varinjlim_{N} H^3(F, \mu_N^{\otimes 2}),
|
||
\]
|
||
который порождает всю абелеву группу таких инвариантов.
|
||
Вместо предела в правой части можно взять одно достаточно большое $N$.
|
||
Заметим, что $r(\xi)$ всегда лежит в кручении.
|
||
Посмотрим на наименьшее $N_G$ такое, что всегда $N_G\cdot r(\xi) = 0$
|
||
(для всех расширений $E/F$ и для всех $\xi$).
|
||
Тогда $N_G$ зависит только от типа $G$.
|
||
А именно, для исключительных групп
|
||
$N_{\mathsf{G}_2} = 2$, $N_{\mathsf{F}_4} = N_{\mathsf{E}_6} = 6$,
|
||
$N_{\mathsf{E}_7} = 12$, $N_{\mathsf{E}_8} = 60$.
|
||
Для $\mathsf{G}_2$ мы это видели:
|
||
$\mathsf{G}_2 = \Aut(\mathbb{O})$, и $\mathbb{O}$ определяется формой
|
||
$\lAngle a, b, c\rAngle \in H^3(F,\mathbb{Z}/2)$.
|
||
Для $\mathsf{F}_4$, $\mathsf{E}_6$: $f_3 = 3r\in H^3(F, \mathbb{Z}/2)$,
|
||
$g_3 = 2r \in H^3(F,\mathbb{Z}/3)$, где
|
||
$r\in H^3(F,\mathbb{Z}/6)$.
|
||
|
||
\begin{exercise}[Исследовательская задача]
|
||
Придумать формулу для $r\colon H^1(F,G) \to H^3(f, \mathbb{Z}/4)$,
|
||
где $G$~--- односвязная группа типа $\mathsf{D}_6$
|
||
с индексом Титса
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(5.2, 1)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.2, -1)$);
|
||
\draw (1)--(2)--(3)--(4)--(5);
|
||
\draw (4)--(6);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\foreach \point in
|
||
{2,4,5}
|
||
{
|
||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
Такая группа задается кватернионами.
|
||
\end{exercise}
|
||
\begin{theorem}[Черноусов--Гарибальди]
|
||
Если $G$~--- расщепимая группа типа $\mathsf{G}_2$, $\mathsf{F}_4$,
|
||
$\mathsf{E}_6$ или $\mathsf{E}_7$, то ядро инварианта Роста тривиально.
|
||
\end{theorem}
|
||
Пусть $\xi\in H^1(F,G)$.
|
||
Хотим узнать, тривиален ли $\xi$.
|
||
Теорема Черноусова--Гарибальди говорит, что (оказывается!)
|
||
достаточно посчитать $r(\xi)$.
|
||
Для $\mathsf{E}_8$ это неверно: можно взять
|
||
$\xi\in H^1(\mathbb{R},\mathsf{E}_8)$, задающий компактную форму.
|
||
|
||
Воспользуемся этой теоремой для доказательства
|
||
утверждения~\ref{prop:j-inv-for-e7}.
|
||
Достаточно доказать, что $\xi_{F(SB(\mathbb{H}))} = *$.
|
||
Действительно, если это так, то ${}_{\xi}(\mathsf{E}_7/B)$
|
||
и $\SB(\mathbb{H})$ имеют рациональные точки над полями функций
|
||
друг друга.
|
||
Тогда у них есть общее мотивное слагаемое
|
||
$R_2(\xi) = R_2(\lAngle -1, -1\rAngle)$, и потому $J_2(\xi) = (1,0,0,0)$
|
||
из формулы для полинома Пуанкаре.
|
||
|
||
Мы должны представить $\xi$ как элемент $H^1(F,G')$,
|
||
где $G'$ односвязна.
|
||
Расщепимая $G'$ не подойдет: $\xi$ приходит из
|
||
$H^1(F, \mathsf{E}_7^{\operatorname{ad}})$,
|
||
но не из $H^1(F, \mathsf{E}_7^{\operatorname{sc}})$
|
||
(поскольку алгебра Титса нетривиальна).
|
||
Возьмем в качестве $G'$ группу с индексом Титса
|
||
\[
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7);
|
||
\draw (2)--(4);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6,7}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,3,4,6}
|
||
{
|
||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\]
|
||
Тогда $\xi\in H^1(F,G')$.
|
||
Что можно сказать про $r(\xi)$?
|
||
Мы знаем, что $\xi$ расщепим над $\mathbb{C}$, и потому
|
||
$2r(\xi) = 0$.
|
||
Стало быть, $r(\xi) \in H^3(\mathbb{R}, \mathbb{Z}/2)$.
|
||
Значит, это либо $0$, либо $\lAngle -1, -1, -1\rAngle$.
|
||
|
||
Переходим на $F(\SB(\mathbb{H}))$.
|
||
Тогда $r(\xi)$ в любом случае становится $0$,
|
||
а $G'_{F(\SB(\mathbb{H}))}$ расщепима.
|
||
Поэтому можно применить теорему Черноусова--Гарибальди,
|
||
и заключить, что $\xi_{F(\SB(\mathbb{H}))} = *$,
|
||
чего мы и добивались.
|
||
|
||
Посмотрим теперь на компактную форму группы типа $\mathsf{E}_8$.
|
||
Мы знаем, что
|
||
\[
|
||
\CH^*(\mathsf{E}_8)/2 = (\underset{\deg:}{\mathbb{Z}/2})
|
||
[\underset{3}{x_1},\underset{5}{x_2},\underset{9}{x_3},\underset{15}{x_4}]
|
||
/(\dots).
|
||
\]
|
||
Инвариант Роста равен нулю; $j_1=0$, и потому $j_2 = j_3 = 0$.
|
||
Получаем, что $J_2(\xi) = (0, 0, 0, 1)$.
|
||
Отсюда следует, что $P(R_2(\xi), t) = 1 + t^{15}$
|
||
и $R_2(\xi) = R_2(\lAngle -1, -1, -1, -1, -1\rAngle)$.
|
||
|
||
Мораль: над $\mathbb{R}$ мотивы однородных проективных многообразий
|
||
(расщепимых над общей точкой) раскладываются в мотивы Роста
|
||
от пфистеровых форм с каким-то количеством $-1$;
|
||
количество зависит от типа группы.
|
||
|
||
Пусть $\xi\in H^1(F, G)$, где $G$~--- расщепимая группа типа $\mathsf{E}_6$.
|
||
Свяжем $J$-инвариант с индексом Титса.
|
||
Например, $J_3(\xi)$ определяется индексом Титса над ко-$3$-замыканием
|
||
поля $F$.
|
||
|
||
Что это значит?
|
||
Посмотрим на абсолютную группу Галуа $\operatorname{Gal}(\ol{F}/F)$
|
||
и возьмем в ней $3$-силовскую подгруппу.
|
||
Ей соответствует расширение $E/F$, которое называется
|
||
\term{ко-$3$-замыканием $F$}.
|
||
Неформально говоря, мы игнорируем расширения степеней, не делящихся на $3$.
|
||
|
||
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
|
||
\hline
|
||
$J_3(\mathsf{E}_6^{\operatorname{ad}})$ & $(0,0)$ & $(1,0)$ & $(0,1)$ & $(1,1)$ & $(2,1)$ \\
|
||
\hline
|
||
индекс Титса &
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,thin]\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6);
|
||
\draw (2)--(4);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6}
|
||
{
|
||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
&
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,thin]\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6);
|
||
\draw (2)--(4);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\foreach \point in
|
||
{2,4}
|
||
{
|
||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
& \multicolumn{3}{|c|}{
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,thin]\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6);
|
||
\draw (2)--(4);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
}\\
|
||
\hline
|
||
индекс алгебры Титса & $1$ & $3$ & $1$ & $3$ & $9$ или $27$\\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
|
||
Приведем аналогичную таблицу для $J_2(\mathsf{E}_7^{\operatorname{sc}})$:
|
||
|
||
\begin{tabular}{|p{2.9cm}|p{2.5cm}|p{2.6cm}|p{2.9cm}|p{2.5cm}|}
|
||
\hline
|
||
\begin{center} $J_2(\mathsf{E}_7^{\operatorname{sc}})$ \end{center}
|
||
& \begin{center} $(0,0,0)$ \end{center}
|
||
& \begin{center} $(1,0,0)$ \end{center}
|
||
& \begin{center} $(1,1,0)$ \end{center}
|
||
& \begin{center} $(1,1,1)$ \end{center} \\
|
||
\hline
|
||
\begin{center}индекс Титса
|
||
над ко-$2$-замыканием\end{center} &
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7);
|
||
\draw (2)--(4);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6,7}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6,7}
|
||
{
|
||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
&
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7);
|
||
\draw (2)--(4);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6,7}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,6,7}
|
||
{
|
||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
&
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7);
|
||
\draw (2)--(4);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6,7}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\foreach \point in
|
||
{1}
|
||
{
|
||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
&
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7);
|
||
\draw (2)--(4);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6,7}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\\
|
||
\hline
|
||
\begin{center}$r(\xi)$\end{center}
|
||
& \begin{center}$0$\end{center}
|
||
& \begin{center}чистый символ $\neq 0$ из $H^3(F,\mathbb{Z}/2)$:
|
||
$\lAngle a,b,c\rAngle$\end{center}
|
||
& \begin{center}сумма двух символов из $H^3(F,\mathbb{Z}/2)$
|
||
с общим слотом: $\lAngle a,b,c\rAngle + \lAngle a,d,e\rAngle$\end{center}
|
||
& \begin{center}иначе\end{center} \\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
|
||
Случаи $\mathsf{E}_6\pmod{2}$, $\mathsf{E}_7\pmod{3}$~--- легкие упражнения.
|
||
Случаи $\mathsf{E}_8\pmod{2}$, $\mathsf{E}_7^{\operatorname{ad}}\pmod{2}$~---
|
||
исследовательское упражнение.
|
||
Случай $\mathsf{E}_8\pmod{5}$~--- легкое упражнение.
|
||
Вот ответ для $\mathsf{E}_8\pmod{3}$:
|
||
|
||
\begin{tabular}{|p{2.9cm}|p{3.0cm}|p{3.0cm}|p{3.0cm}|}
|
||
\hline
|
||
\begin{center} $J_3(\mathsf{E}_8)$ \end{center}
|
||
& \begin{center} $(0,0)$ \end{center}
|
||
& \begin{center} $(1,0)$ \end{center}
|
||
& \begin{center} $(1,1)$ \end{center} \\
|
||
\hline
|
||
\begin{center}индекс Титса\end{center}
|
||
&
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||
\coordinate (8) at ($\sm*(8.4, 0)$);
|
||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7)--(8);
|
||
\draw (2)--(4);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6,7,8}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6,7,8}
|
||
{
|
||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
&
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||
\coordinate (8) at ($\sm*(8.4, 0)$);
|
||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7)--(8);
|
||
\draw (2)--(4);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6,7,8}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\foreach \point in
|
||
{7,8}
|
||
{
|
||
\draw [black] (\point) circle (5.0pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
&
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,thin]
|
||
\def\sm{0.7}
|
||
\coordinate (1) at ($\sm*(0, 0)$);
|
||
\coordinate (2) at ($\sm*(2.8, -1.4)$);
|
||
\coordinate (3) at ($\sm*(1.4, 0)$);
|
||
\coordinate (4) at ($\sm*(2.8, 0)$);
|
||
\coordinate (5) at ($\sm*(4.2, 0)$);
|
||
\coordinate (6) at ($\sm*(5.6, 0)$);
|
||
\coordinate (7) at ($\sm*(7.0, 0)$);
|
||
\coordinate (8) at ($\sm*(8.4, 0)$);
|
||
\draw (1)--(3)--(4)--(5)--(6)--(7)--(8);
|
||
\draw (2)--(4);
|
||
\foreach \point in
|
||
{1,2,3,4,5,6,7,8}
|
||
{
|
||
\fill [white] (\point) circle (2.0pt);
|
||
\draw [black] (\point) circle (2.0pt);
|
||
}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\\
|
||
\hline
|
||
\begin{center} $r(\xi)$ \end{center}
|
||
& \begin{center} $0$ \end{center}
|
||
& \begin{center} чистый символ $\neq 0$ из $H^3(F,\mathbb{Z}/3)$\end{center}
|
||
& \begin{center} иначе \end{center} \\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
|
||
\end{document}
|
||
|