mahalex/qforms
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Actions Packages Projects Releases Wiki Activity

Corrected version from Alexei Stepanov

Browse Source
This commit is contained in:
Alexander Luzgarev 2018-04-10 19:29:22 +02:00
parent b9b2c3a021
commit bc435a3c36
2 changed files with 44 additions and 15 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

BIN
qforms.pdf
View File

Binary file not shown.

59
qforms.tex Executable file → Normal file
View File

@ -6,8 +6,10 @@
\usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts, amssymb, amsmath, amsthm} \usepackage{amsfonts, amssymb, amsmath, amsthm}
\usepackage{multirow} \usepackage{multirow}
% \begin{AS}
\usepackage{ccfonts,eulervm,euler} \usepackage[unicode]{hyperref}
% \end{AS}
%\usepackage{ccfonts,eulervm,euler}
\renewcommand{\bfdefault}{sbc} \renewcommand{\bfdefault}{sbc}
\theoremstyle{plain} { \swapnumbers \theoremstyle{plain} { \swapnumbers
@ -98,11 +100,12 @@
\par\noindent $\bullet$ Albrecht Pfister, {\it Quadratic forms with applications to algebraic geometry and topology}, \par\noindent $\bullet$ Albrecht Pfister, {\it Quadratic forms with applications to algebraic geometry and topology},
London Math. Soc. Lect. Notes 217, Cambridge University Press, 1995. London Math. Soc. Lect. Notes 217, Cambridge University Press, 1995.
\par\noindent $\bullet$ Bruno Kahn, {\it Formes quadratiques sur un corps}, \par\noindent $\bullet$ Bruno Kahn, {\it Formes quadratiques sur un corps},
Société Mathématique de France, 2009. Societe Mathematique de France, 2009.
\par\noindent $\bullet$ конспект лекций Олега Ижболдина, 1997. \par\noindent $\bullet$ конспект лекций Олега Ижболдина, 1997.
\par\noindent $\bullet$ Philippe Gille, Tam\'as Szamuely, {\it Central simple algebras and Galois cohomology}. \par\noindent $\bullet$ Philippe Gille, Tam\'as Szamuely, {\it Central simple algebras and Galois cohomology}.
Cam\-bridge University Press, 2006. Cam\-bridge University Press, 2006.
%%========================================================================
\section{Квадратичные формы: начало} \section{Квадратичные формы: начало}
\subsection{Основные понятия} \subsection{Основные понятия}
@ -178,7 +181,7 @@ $$
{\bf Определителем} $\ph$ называется определитель матрицы Грама $\ph$. Заметим, {\bf Определителем} $\ph$ называется определитель матрицы Грама $\ph$. Заметим,
что при замене базиса определитель матрицы Грама умножается на квадрат определителя что при замене базиса определитель матрицы Грама умножается на квадрат определителя
матрицы замены базиса; поэтому $\det(\ph)\in k^*/(k^*)^2\cup 0$~--- определен матрицы замены базиса; поэтому $\det(\ph)\in k^*/(k^*)^2\cup\{0\}$~--- определен
только с точностью до домножения на квадраты в поле $k$. только с точностью до домножения на квадраты в поле $k$.
Пусть $(V_1,\ph_1)$, $(V_2,\ph_2)$~--- два квадратичных пространства над $k$ размерностей Пусть $(V_1,\ph_1)$, $(V_2,\ph_2)$~--- два квадратичных пространства над $k$ размерностей
@ -372,6 +375,7 @@ $\la a,b\ra\cong\la c,d\ra$ для некоторого $d\in k$. Из срав
пропорциональный можно заменить $d$ на $abc$. пропорциональный можно заменить $d$ на $abc$.
\end{proof} \end{proof}
%%================================================================================
\subsection{Теорема Витта о сокращении} \subsection{Теорема Витта о сокращении}
Пусть $(V,\ph)$~--- квадратичная форма; $v$~--- анизотропный вектор. Определим отражение $s_v$ Пусть $(V,\ph)$~--- квадратичная форма; $v$~--- анизотропный вектор. Определим отражение $s_v$
@ -379,9 +383,13 @@ $\la a,b\ra\cong\la c,d\ra$ для некоторого $d\in k$. Из срав
$$ $$
s_v(u)=u-2\frac{\ph(u,v)}{\ph(v,v)}v. s_v(u)=u-2\frac{\ph(u,v)}{\ph(v,v)}v.
$$ $$
%% \begin{AS}
Простое вычисление показывает, что отражение является изометрией.
\begin{lemma} \begin{lemma}
Пусть $v_1,v_2\in V$ и $\ph(v_1)=\ph(v_2)\neq 0$. Тогда существует изометрия $V$, переводящая $v_1$ в $v_2$. Пусть $v_1,v_2\in V$ и $\ph(v_1)=\ph(v_2)\neq 0$. Тогда существует композиция отражений,
переводящая $v_1$ в $v_2$.
\end{lemma} \end{lemma}
%% \end{AS}
\begin{proof} \begin{proof}
Если $\ph(v_1-v_2)\neq 0$, то подойдет отражение относительно $v_1-v_2$: $s_{v_1-v_2}(v_1)=v_2$. Если $\ph(v_1-v_2)\neq 0$, то подойдет отражение относительно $v_1-v_2$: $s_{v_1-v_2}(v_1)=v_2$.
Если $\ph(v_1+v_2)\neq 0$, то подойдет композиция отражения относительно $v_1+v_2$ ($s_{v_1+v_2}(v_1)=-v_2$) Если $\ph(v_1+v_2)\neq 0$, то подойдет композиция отражения относительно $v_1+v_2$ ($s_{v_1+v_2}(v_1)=-v_2$)
@ -391,16 +399,14 @@ $$
что невозможно. что невозможно.
\end{proof} \end{proof}
% 1.03.2010 %% \begin{AS}
\begin{corollary} \begin{corollary}
Любая изометрия есть композиция отражений. Любая изометрия невырожденного пространства есть композиция отражений.
\end{corollary} \end{corollary}
\begin{proof} \begin{proof}
Пусть $T\colon V\to V$~--- изометрия; из доказательства теоремы~\ref{thm:regular_part} Пусть $T:V\to V$ -- изометрия невырожденного квадратичного пространства $(V,\ph)$.
(о выделении вполне изотропной части) понятно, что можно рассматривать только случай невырожденной формы.
Доказываем индукцией по $n=\dim V$; база $n=1$ очевидна. Пусть $n>1$. Доказываем индукцией по $n=\dim V$; база $n=1$ очевидна. Пусть $n>1$.
Возьмем $v\in V$ такой, что $\ph(Tv)=\ph(v)\neq 0$. Из доказательства леммы следует, что найдется Возьмем $v\in V$ такой, что $\ph(Tv)=\ph(v)\neq 0$. По лемме найдется
композиция отражений $S\colon V\to V$ такая, что $Sv=Tv$. Отображение $S^{-1}T$, таким образом, композиция отражений $S\colon V\to V$ такая, что $Sv=Tv$. Отображение $S^{-1}T$, таким образом,
является изометрией и оставляет $v$ на месте; значит, $S^{-1}T$ оставляет на месте и $W=(kv)^\perp$~--- является изометрией и оставляет $v$ на месте; значит, $S^{-1}T$ оставляет на месте и $W=(kv)^\perp$~---
подпространство размерности $n-1$. По предположению индукции изометрия $S^{-1}T|_W$ является композицией подпространство размерности $n-1$. По предположению индукции изометрия $S^{-1}T|_W$ является композицией
@ -409,6 +415,8 @@ $$
тех же самых отражений, рассматриваемых уже как преобразований всего пространства $V$. тех же самых отражений, рассматриваемых уже как преобразований всего пространства $V$.
Перенося $S$ в другую часть, получаем, что и $T$ является композицией отражений. Перенося $S$ в другую часть, получаем, что и $T$ является композицией отражений.
\end{proof} \end{proof}
%% \end{AS}
\begin{theorem}[Витта о сокращении] \begin{theorem}[Витта о сокращении]
Если $q\perp\ph_1\cong q\perp\ph_2$, то $\ph_1\cong\ph_2$. Если $q\perp\ph_1\cong q\perp\ph_2$, то $\ph_1\cong\ph_2$.
\end{theorem} \end{theorem}
@ -427,14 +435,35 @@ $\psi_2(v_2)=a$ и $\psi_2(Tv_1)=a$. По лемме найдется изоме
кроме того, $S^{-1}Tv_1=v_2$, поэтому $S^{-1}T$ переводит $W_1=(kv_1)^\perp$ в $W_2=(kv_2)^\perp$. кроме того, $S^{-1}Tv_1=v_2$, поэтому $S^{-1}T$ переводит $W_1=(kv_1)^\perp$ в $W_2=(kv_2)^\perp$.
Это означает, что ограничение $S^{-1}T$ на $W_1$ и дает нужную изометрию между $\ph_1$ и $\ph_2$. Это означает, что ограничение $S^{-1}T$ на $W_1$ и дает нужную изометрию между $\ph_1$ и $\ph_2$.
\end{proof} \end{proof}
%% \begin{AS}
\begin{corollary}[{\bf Теорема о продолжении изометрии}] \begin{corollary}[{\bf Теорема о продолжении изометрии}]
Пусть $(V,\ph)$~--- квадратичное пространство, $W_1,W_2$~--- два изометричных подпространства Пусть $(V,\ph)$~--- квадратичное пространство, $W_1,W_2$~--- подпространства в $V$ такие,
(то есть $\ph|_{W_1}\cong\ph|_{W_2}$. Тогда существует изометрия $\a\colon V\to V$ такая, что существует изометрия $\a\colon W_1\to W_2$. Тогда существует изометрия $\b\colon V\to V$ такая,
что $\a(W_1)=\a(W_2)$. что $\b|_{W_1}=\a$.
\end{corollary} \end{corollary}
\begin{proof} \begin{proof}
Это просто другая переформулировка теоремы Витта о сокращении. Как и в доказательстве теоремы Витта о сокращении можно считать, что форма невырождена
на $V$.
В случае, когда $W_1$ невырождено, утверждение следует из теоремы Витта о сокращении.
Действительно, в этом случае $V$ раскладывается в прямую сумму $W_i$ и его ортогонального
дополнения ($i=1,2$). По теореме о сокращении существует изометрия
$\gamma:W_1^\perp\to W_2^\perp$. Тогда $\b=(\a,\gamma)$~--- изометрия $V\to V$.
Если же $W_1$~--- вырожденное подпространство в невырожденном пространстве
$V$, то можно выбрать базис $u_1,\dots,u_{2m},v_1,\dots,v_k$ пространства $V$, содержащий базис
$u_1,u_3,\dots,u_{2s-1}$,\allowbreak $v_1,\dots,v_r$ пространства $W_1$ такой,
что матрица формы $\ph$ в этом базисе будет иметь вид
$$
\operatorname{diag}\left(\left(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\right),\dots,
\left(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\right),\alpha_1,\dots,\alpha_k\right).
$$
В этом случае нетрудно распространить изометрию на невырожденное подпространство, порожденное
$u_1,\dots,u_{2s},v_1,\dots,v_r$, а затем использовать теорему о сокращении.
\end{proof} \end{proof}
%% \end{AS}
\begin{corollary} \begin{corollary}
Любая невырожденная форма $\ph$ представляется в виде Любая невырожденная форма $\ph$ представляется в виде
$$\ph\cong\underbrace{\mathbb H\perp\dots\perp\mathbb H}_{r\text{ раз}}\perp\ph_{an},$$ $$\ph\cong\underbrace{\mathbb H\perp\dots\perp\mathbb H}_{r\text{ раз}}\perp\ph_{an},$$