Corrected version from Alexei Stepanov

qforms.tex

@@ -6,8 +6,10 @@
 \usepackage[utf8]{inputenc}
 \usepackage{amsfonts, amssymb, amsmath, amsthm}
 \usepackage{multirow}
-
-\usepackage{ccfonts,eulervm,euler}
+% \begin{AS}
+\usepackage[unicode]{hyperref} 
+% \end{AS}
+%\usepackage{ccfonts,eulervm,euler}
 \renewcommand{\bfdefault}{sbc}
 
 \theoremstyle{plain} { \swapnumbers
@@ -98,11 +100,12 @@
 \par\noindent $\bullet$ Albrecht Pfister, {\it Quadratic forms with applications to algebraic geometry and topology},
 London Math. Soc. Lect. Notes 217, Cambridge University Press, 1995.
 \par\noindent $\bullet$ Bruno Kahn, {\it Formes quadratiques sur un corps},
-Société Mathématique de France, 2009.
+Societe Mathematique de France, 2009.
 \par\noindent $\bullet$ конспект лекций Олега Ижболдина, 1997.
 \par\noindent $\bullet$ Philippe Gille, Tam\'as Szamuely, {\it Central simple algebras and Galois cohomology}.
 Cam\-bridge University Press, 2006.
 
+%%========================================================================
 \section{Квадратичные формы: начало}
 
 \subsection{Основные понятия}
@@ -178,7 +181,7 @@ $$
 
 {\bf Определителем} $\ph$ называется определитель матрицы Грама $\ph$. Заметим,
 что при замене базиса определитель матрицы Грама умножается на квадрат определителя
-матрицы замены базиса; поэтому $\det(\ph)\in k^*/(k^*)^2\cup 0$~--- определен
+матрицы замены базиса; поэтому $\det(\ph)\in k^*/(k^*)^2\cup\{0\}$~--- определен
 только с точностью до домножения на квадраты в поле $k$.
 
 Пусть $(V_1,\ph_1)$, $(V_2,\ph_2)$~--- два квадратичных пространства над $k$ размерностей
@@ -372,6 +375,7 @@ $\la a,b\ra\cong\la c,d\ra$ для некоторого $d\in k$. Из срав
 пропорциональный можно заменить $d$ на $abc$.
 \end{proof}
 
+%%================================================================================
 \subsection{Теорема Витта о сокращении}
 
 Пусть $(V,\ph)$~--- квадратичная форма; $v$~--- анизотропный вектор. Определим отражение $s_v$
@@ -379,9 +383,13 @@ $\la a,b\ra\cong\la c,d\ra$ для некоторого $d\in k$. Из срав
 $$
 s_v(u)=u-2\frac{\ph(u,v)}{\ph(v,v)}v.
 $$
+%% \begin{AS}
+Простое вычисление показывает, что отражение является изометрией.
 \begin{lemma}
-Пусть $v_1,v_2\in V$ и $\ph(v_1)=\ph(v_2)\neq 0$. Тогда существует изометрия $V$, переводящая $v_1$ в $v_2$.
+Пусть $v_1,v_2\in V$ и $\ph(v_1)=\ph(v_2)\neq 0$. Тогда существует композиция отражений, 
+переводящая $v_1$ в $v_2$.
 \end{lemma}
+%% \end{AS}
 \begin{proof}
 Если $\ph(v_1-v_2)\neq 0$, то подойдет отражение относительно $v_1-v_2$: $s_{v_1-v_2}(v_1)=v_2$.
 Если $\ph(v_1+v_2)\neq 0$, то подойдет композиция отражения относительно $v_1+v_2$ ($s_{v_1+v_2}(v_1)=-v_2$)
@@ -391,16 +399,14 @@ $$
 что невозможно.
 \end{proof}
 
-% 1.03.2010
-
+%% \begin{AS}
 \begin{corollary}
-Любая изометрия есть композиция отражений.
+Любая изометрия невырожденного пространства есть композиция отражений.
 \end{corollary}
 \begin{proof}
-Пусть $T\colon V\to V$~--- изометрия; из доказательства теоремы~\ref{thm:regular_part}
-(о выделении вполне изотропной части) понятно, что можно рассматривать только случай невырожденной формы.
+Пусть $T:V\to V$ -- изометрия невырожденного квадратичного пространства $(V,\ph)$.
 Доказываем индукцией по $n=\dim V$; база $n=1$ очевидна. Пусть $n>1$.
-Возьмем $v\in V$ такой, что $\ph(Tv)=\ph(v)\neq 0$. Из доказательства леммы следует, что найдется
+Возьмем $v\in V$ такой, что $\ph(Tv)=\ph(v)\neq 0$. По лемме найдется
 композиция отражений $S\colon V\to V$ такая, что $Sv=Tv$. Отображение $S^{-1}T$, таким образом,
 является изометрией и оставляет $v$ на месте; значит, $S^{-1}T$ оставляет на месте и $W=(kv)^\perp$~---
 подпространство размерности $n-1$. По предположению индукции изометрия $S^{-1}T|_W$ является композицией
@@ -409,6 +415,8 @@ $$
 тех же самых отражений, рассматриваемых уже как преобразований всего пространства $V$.
 Перенося $S$ в другую часть, получаем, что и $T$ является композицией отражений.
 \end{proof}
+%% \end{AS}
+
 \begin{theorem}[Витта о сокращении]
 Если $q\perp\ph_1\cong q\perp\ph_2$, то $\ph_1\cong\ph_2$.
 \end{theorem}
@@ -427,14 +435,35 @@ $\psi_2(v_2)=a$ и $\psi_2(Tv_1)=a$. По лемме найдется изоме
 кроме того, $S^{-1}Tv_1=v_2$, поэтому $S^{-1}T$ переводит $W_1=(kv_1)^\perp$ в $W_2=(kv_2)^\perp$.
 Это означает, что ограничение $S^{-1}T$ на $W_1$ и дает нужную изометрию между $\ph_1$ и $\ph_2$.
 \end{proof}
+
+%% \begin{AS}
 \begin{corollary}[{\bf Теорема о продолжении изометрии}]
-Пусть $(V,\ph)$~--- квадратичное пространство, $W_1,W_2$~--- два изометричных подпространства
-(то есть $\ph|_{W_1}\cong\ph|_{W_2}$. Тогда существует изометрия $\a\colon V\to V$ такая,
-что $\a(W_1)=\a(W_2)$.
+Пусть $(V,\ph)$~--- квадратичное пространство, $W_1,W_2$~--- подпространства в $V$ такие,
+что существует изометрия $\a\colon W_1\to W_2$. Тогда существует изометрия $\b\colon V\to V$ такая,
+что $\b|_{W_1}=\a$.
 \end{corollary}
+
 \begin{proof}
-Это просто другая переформулировка теоремы Витта о сокращении.
+Как и в доказательстве теоремы Витта о сокращении можно считать, что форма невырождена
+на $V$. 
+В случае, когда $W_1$ невырождено, утверждение следует из теоремы Витта о сокращении.
+Действительно, в этом случае $V$ раскладывается в прямую сумму $W_i$ и его ортогонального
+дополнения ($i=1,2$). По теореме о сокращении существует изометрия 
+$\gamma:W_1^\perp\to W_2^\perp$. Тогда $\b=(\a,\gamma)$~--- изометрия $V\to V$.
+
+Если же $W_1$~--- вырожденное подпространство в невырожденном пространстве
+$V$, то можно выбрать базис $u_1,\dots,u_{2m},v_1,\dots,v_k$ пространства $V$, содержащий базис 
+$u_1,u_3,\dots,u_{2s-1}$,\allowbreak $v_1,\dots,v_r$ пространства $W_1$ такой, 
+что матрица формы $\ph$ в этом базисе будет иметь вид
+$$
+\operatorname{diag}\left(\left(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\right),\dots,
+\left(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\right),\alpha_1,\dots,\alpha_k\right).
+$$
+В этом случае нетрудно распространить изометрию на невырожденное подпространство, порожденное
+$u_1,\dots,u_{2s},v_1,\dots,v_r$, а затем использовать теорему о сокращении.
 \end{proof}
+%% \end{AS}
+
 \begin{corollary}
 Любая невырожденная форма $\ph$ представляется в виде
 $$\ph\cong\underbrace{\mathbb H\perp\dots\perp\mathbb H}_{r\text{ раз}}\perp\ph_{an},$$